Về ánh xạ tiếp xúc và đối tiếp xúc trong rn

Mục lục
Mở đầu
Chơng 1. Liên thông tuyến tính và ánh xạ tiếp xúc trong Rn
Đ1. Liên thông tuyến tính trong Rn
Đ2. ánh xạ tiếp xúc trong Rn
Chơng 2. Các dạng vi phân và ánh xạ đối tiếp xúc trong Rn
Đ3. 1- dạng vi phân và 2 - dạng vi phân trong Rn
Đ4. ánh xạ đối tiếp xúc trong Rn
Kết luận
Tài liệu tham khảo

1

Trang
2
4
4
11
20
20
26
37
38


Lời mở đầu
ánh xạ tiếp xúc và ánh xạ đối tiếp xúc có nhiều ứng dụng trong hình
học, giải tích ..., chẳng hạn sử dụng nó để tính thể tích của các miền trên đa
tạp nhiều chiều. Do đó vấn đề này đã đợc trình bày trong nhiều tài liệu Hình
học (xem [1], [3], [6], [7]). Vì vậy, đây là một đề tài tuy không còn mới nhng
vẫn rất hấp dẫn đối với tác giả.

Mục đích của khóa luận là trình bày một cách hệ thống các khái niệm
cơ bản, chứng minh chi tiết các tính chất và đa ra một số nhận xét về ánh xạ
tiếp xúc và ánh xạ đối tiếp xúc trong Rn.
Khoá luận đợc chia làm 2 chơng và trình bày trong 4 mục:
Chơng 1: Liên thông tuyến tính và ánh xạ tiếp xúc trong Rn.
Đ 1. Liên thông tuyến tính trong Rn.
Đ 2. ánh xạ tiếp xúc trong Rn .
Chơng 2: Các dạng vi phân và ánh xạ đối tiếp xúc trong Rn
Đ 3: 1 - dạng vi phân và 2 - dạng vi phân trong Rn.
Đ 4: ánh xạ đối tiếp xúc trong Rn.
Trong Đ1, chúng tôi đa ra định nghĩa và 2 ví dụ về liên thông tuyến tính
trong Rn (mệnh đề 1.2; mệnh đề 1.6), các tính chất đợc chúng tôi trình bày và
chứng minh khá chi tiết (định lý 1.3; định lý 1.4; mệnh đề 1.5, mệnh đề 1.7).
Trong Đ2, chúng tôi trình bày định nghĩa và một vài tính chất của ánh
xạ tiếp xúc trong Rn. Qua đó đã rút ra đợc một số nhận xét (thể hiện ở mệnh
đề 2.5; mệnh đề 2.6; định lý 2.8; nhận xét 2.10, mệnh đề 2.11). Đồng thời qua
ví dụ 2.3 đã nêu đợc cách tìm ánh xạ tiếp xúc dựa vào định nghĩa. Ngoài ra
trong mục này chúng tôi đã đa ra khái niệm trờng véctơ bất biến trái và một số
tính chất (thể hiện ở định lý 2.13, nhận xét 2.14).
Trong Đ3, chúng tôi hệ thống lại định nghĩa và các tính chất của 1 dạng vi phân và 2 - dạng vi phân làm cơ sở cho phần sau.
Trong Đ4, là mục cuối của khoá luận, trớc hết chúng tôi trình bày định
nghĩa và một số tính chất của ánh xạ đối tiếp xúc và phép tính vi phân ngoài
(mệnh đề 4.3, mệnh đề 4.4, mệnh đề 4.5, mệnh đề 4.6). Sau đó chúng tôi nêu
định nghĩa, ví dụ và tính chất của tích phân 1 - dạng vi phân dọc đờng cong
trong Rn (mệnh đề 4.8, mệnh đề 4.9).

2


Tơng tự nh ở Đ3, trong mục này chúng tôi đa ra khái niệm 1 - dạng vi

phân bất biến trái và một số tính chất (thể hiện ở nhận xét 4.12, mệnh đề
4.13).
Khoá luận đợc hoàn thành tại khoa Toán - Trờng Đại học Vinh.
Nhân dịp hoàn thành khoá luận, chúng tôi xin gửi đến thầy giáo PGSTS Nguyễn Hữu Quang lời cảm ơn chân thành nhất vì sự hớng dẫn, chỉ dạy
tận tình của thầy giáo trong suốt quá trình chúng tôi làm khoá luận. Đồng thời
chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán
và bạn bè đã giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành
khoá luận.

Vinh, tháng 4 năm 2004.
Tác giả

Chơng 1

Liên thông tuyến tính và ánh xạ tiếp xúc trong Rn
Trong chơng này, chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản và một số
tính chất của liên thông tuyến tính tổng quát trong Rn. Đồng thời chúng tôi
cũng trình bày một số tính chất của ánh xạ tiếp xúc của một ánh xạ khả vi
trong Rn .
Đ1. liên thông tuyến tính trong Rn
Trong mục này chúng ta xét Rn nh là một không gian Ơclit n chiều. Ta
ký hiệu:

B(Rn) = {XX là trờng vectơ khả vi trong Rn}. Nh chúng ta đã biết

3


[xem 4] B(Rn) là một môđun trên vành f(Rn) = {ff là ánh xạ khả vi:

Rn

R}.
1.1. Định nghĩa. ánh xạ : B(Rn) x B(Rn) B(Rn)
(X, Y) XY
đợc gọi là liên thông tuyến tính trên Rn nếu thoả mãn các tính chất:
(T1)

( X1 + X 2 ) Y = X1 Y + X 2 Y ; X1, X2, Y B(Rn)

(T2)

Y = X Y ; X, Y B(Rn); f(Rn)
X

(T3)

X (Y1 + Y2 ) = X Y1 + X Y2 ; X, Y1, Y2 B(Rn)

(T4)

X (Y ) = X[].Y + . X Y ; X,Y B(Rn), f (Rn)

Ta nhận thấy từ (T1) và (T2) suy đợc là ánh xạ tuyến tính theo biến thứ
nhất. Và theo (T4) thì là một ánh xạ có tính chất đạo hàm.
n



1.2. Mệnh đề. Giả sử

= E i là cơ sở của B(Rn). Khi đó:
x i
i=1
ánh xạ D : B(Rn) x

B(Rn) B(Rn)
n

(X, Y)

DXY =

X[ Yi ] E i
i =1

là một liên thông tuyến tính trong Rn.
Chứng minh. Giả sử. X =

n

n

i =1

i =1

X i E i ; Y = Yi E i

Ta cần kiểm nghiệm các điều kiện của định nghĩa 1.1:
(T1)

X + X~ Y

(

)

n
~
= X + X [Yi ] Ei
i =1

n

=



n

X[Yi] Ei +

i =1

i =1

= XY + X~ Y .

4

~

X[ Yi ] E i


n

(T2)

XY



=

(X) [Yi]. Ei

i =1

n

=

X [Yi]. Ei
i =1

= . XY.
(T3)

(

~
X Y + Y

)

n

X [Yi + Y~i ]. Ei

=

i =1
n

n

i =1

i =1

X [Yi]. Ei + X [ Y~i ]. Ei

=

~
= X Y + x Y .
n

(T4)

X(Y)

X [Yi]. Ei

=

i =1
n



=

(Yi. X [] + . X [Yi]) .Ei

i =1
n



=

i =1

n

Yi. X []Ei +

i =1

. X [Yi]) .Ei

= Y. X[] + . XY.
~ B(Rn); (X ~ ), khi đó với Y
1.3 Định lý. Giả sử X, X
X
~
XYp = X~ Y p nếu và chỉ nếu XP = X P.
Chứng minh.
~ B(Rn); lúc đó ta có sự biểu diễn:
Với X, X
n

~
X = i E i ; X
=
i =1

n

~ i . E i ; trong
i =1

~
Từ giả thiết: XP = X P suy ra:

~ f (Rn)
đó i,

i

~ ( p)
i(p) =
i

Ta có:

5

; i =1.n

B(Rn) thì





Y
= n
i ( p ).Ei
i =1
p

(XY)|p

i ( p ) ( E Y )
n

=

i

i =1

p

~ i ( p ) ( E Y )
n

=

i

i =1

p




Y
= n~
i ( P ).Ei
i =1
p
= ( X~ Y ) p .

.

Cho trớc vectơ p luôn có trờng vectơ X mà Xp = p. Từ định lý trên ta
có thể xây dựng đợc định nghĩa đạo hàm của Y theo p bằng cách sau:
P = ( X Y ) P ; ở đây XP = P.

1.4. Định lý. ( X Y ) p phụ thuộc các giá trị của trờng vectơ Y trong lân cận
điểm p.
Chứng minh. Nh ta đã biết, trong Rn luôn tồn tại một hàm số khả vi đợc xác
định nh sau:
( p ) = 0
; trong đó U là lân cận mở của p.

R n \ U = 1

(

)

+ Trớc hết, ta xét trờng vectơ Z thoả mãn: Z|U = 0. Khi đó: . Z = Z
Ta có:

( X Z) P

= ( X Z ) P
= X[].Zp + (p) ( X Z ) P
= XP []. 0 + 0. ( X Z ) P

= 0.
~
~ B(Rn), sao cho : Y = Y
+ Bây giờ, ta giả sử Y, Y

U
U

6


Lúc đó thì:

Từ đó ta đợc:

( Y Y~ ) = 0 nên ta có:
~
~
.( Y Y ) = Y Y
( Y ) = ( Y~ ) .
U

X

X

P

P

.

1.5. Mệnh đề. Giả sử và ' là hai liên thông tuyến tính trên Rn và , '

f

(Rn). Khi đó + ' ' là một liên thông tuyến tính trên Rn +'=1.
Chứng minh. Ta cần kiểm nghiệm 4 điều kiện của liên thông tuyến tính :
(T1)

( + '') X1 + X2

Y

= X1 + X 2 Y + ' 'X1 + X 2 Y

= X1 Y + X 2 Y + ' 'X1 Y' + ' 'X 2 Y'
= ( + '') X1
(T2) ( + '')XY

Y

+ ( + '') X2

Y

.

= XY + ''XY
= .XY + .''XY
= (.XY + ''XY)
= ( + '')XY.

(T3) ( + '')X(Y1 + Y2) = X(Y1 + Y2) + ''X(Y1 + Y2)
= XY1 + XY2 + ''XY1 + ''XY2

= (X + ''X) Y1 + (X + 'X)Y2
= ( + '')X Y1 + ( + ')XY2.
(T4) ( + '')X( Y)

= X( Y) + ''X(Y)
= (X[]. Y + XY) + '(X[]. Y + 'XY)
= ( + ') X[]. Y + ( '')XY.

(T4) đợc thoả mãn + ' = 1.

.

Từ mệnh đề 1.5. ta có nhận xét: tổng của 2 liên thông tuyến tính nói
chung không phải là một liên thông tuyến tính.
1.6. Mệnh đề. Giả sử là liên thông tuyến tính trong R3. Ta đặt:
1
~
X Y = X Y + ( X Y ) ; với n N*.
n

7


~ lµ liªn th«ng tuyÕn tÝnh trong R3.
Khi ®ã: ∇
Chøng minh. Ta kiÓm tra c¸c ®iÒu kiÖn cña liªn th«ng tuyÕn tÝnh:
1
~
(T1) ∇
X + X1 Y = ∇ X + X1 Y + [( X + X1 ) ∧ Y ]

n
= ∇X Y + ∇X Y +
1

1
1
( X ∧ Y ) + ( X1 ∧ Y )
n
n

1
1

 

= ∇ X Y + (X ∧ Y)  + ∇ X 1 Y + ( X1 ∧ Y)
n
n

 

~
~ XY + ∇
n
=∇
X1 Y ; víi ∀X, X1, Y ∈ B(R )
1
~
(T2) ∇ ϕXY = ∇ ϕXY + [(ϕX) ∧ Y]
n

= ϕ ∇ XY + ϕ .
= ϕ[ ∇ XY +

1
(X ∧ Y)
n

1
(X ∧ Y)]
n

~
= ϕ . ∇ XY ; víi X, Y ∈ B(Rn), ϕ ∈ F(Rn).
~ X(Y1 + Y2) = ∇ X(Y1 + Y2) + 1 [X ∧ (Y1 + Y2)]
(T3): ∇
n
= ∇ XY1 + ∇ X Y2 +

1
1
(X ∧ Y1) + (X ∧ Y2)
n
n

1
1
(X ∧ Y1)] + [ ∇ X Y2 + (X ∧ Y2)]
n
n
~ Y + ~ Y ; víi X, Y , Y ∈ B(Rn).

=∇
X 1
1
2
∇X 2
= [ ∇ X Y1 +

1
~
(T4) ∇ X(ϕY) = ∇ X(ϕY) + [X ∧ (ϕY)]
n
= X[ϕ]. Y + ϕ. ∇ XY + ϕ.
= X[ϕ]. Y + ϕ. [ ∇ XY +

1
(X ∧ Y)
n

1
(X ∧ Y)]
n

~
= X[ϕ]. Y + ϕ. ∇ XY ; víi X, Y ∈ B(Rn), ϕ ∈ F(Rn).
8

.


Ta đã biết rằng: Tích Lie của hai trờng vectơ X và Y là một trờng vectơ

đợc ký hiệu: [X, Y] và xác định bởi:
[X, Y](f) = X[Y(f)] - Y[X(f)];

f F(Rn).

1.7. Mệnh đề. Liên thông tuyến tính D trong Rn có các tính chất sau:
1) DXY - DYX = [X, Y] ; X, Y B(Rn).
2) Z[X. Y] = X. DZY + Y. DZX; X, Y, Z B(Rn).
n

Chứng minh. 1) Với f F (R ) và X = X i E i ; Y =
n

i =1

n

Yi E i ; ta có
i =1

(DXY - DYX) [f] = (DxY) [f] - (DYX) [f]
=

n

X[ Yi ] E i [ f ] i =1

n

Y[ X i ] E i [ f ]

i =1

n

n
Yi f
X i f
.
Yj
.
= X j

x

x

x
x i
j
i
j
i , j =1
i , j =1


Yi
X i f

X
.

Y
.
j x
j


x
j
j x i
i , j =1
Mặt khác: [X, Y] [f] = X[Y[f]] - Y[X[f]]
=

n

(1)

n
n
f
f
= X Yi
Y X i

i = i x i
i =1 x i
n
n
n

Yi f
f2
X i f
f2
.
+ X jYi
Yj
.
X i Yj
= Xj

x

x

x

x

x

x
x i x j
j
i
i
j
j
i
i , j =1

i , j =1
i , j =1
i , j =1
n

=


Yi
X i f

X
.

Y
.
j x
j


x
j
j x i
i , j =1
n

(2)

Từ (1) và (2), ta suy ra: (DXY - DYX) [f] = [X, Y] [f]; f F (Rn)
Vậy: DXY - DYX = [X, Y]

2) Ta có: X.DZY + Y.DZX =

n

X i Z[ Yi ] +
i =1

=

n

n

Yi Z[ X i ]
i =1

(X i . Z[ Yi ] + Yi Z[X i ])
i =1

9


=

n

Z[ X i . Yi ]
i =1

= Z[X . Y] .

.

{ }

1. 8. Chú ý. Giả sử là một liên thông tuyến tính và E i
tự nhiên trong Rn. Khi đó ta có sự biểu diễn: E j Ei =

F(Rn). Các hằng số Cijk

n

n
i =1

là trờng mục tiêu

Cijk E k
k =1

ở đây

C ijk

đợc gọi là hằng số cấu trúc của .Trong trờng hợp

= D thì ta có: C ijk = 0; i, j, k = 1, n .

10

Đ2. ánh xạ tiếp xúc trong Rn
Trong mục này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản và một số tính
chất của ánh xạ tiếp xúc của một ánh xạ khả vi f: Rm Rn
Giả sử ánh xạ f: Rm Rn; x(x1, ..., xm)

f(x1, ..., xm) thì f đợc đồng nhất với

bộ n hàm số (f1, ..., fn) với fj : Rm R; (x1, ..., xm)

fj (x1, ..., xm). Chúng ta

đã biết rằng f khả vi khi và chỉ khi fj khả vi j = 1, n
2.1. Định nghĩa. Giả sử f là ánh xạ khả vi từ Rm vào Rn. ánh xạ tiếp xúc của f
tại p đợc ký hiệu là f*|p : TpRm Tf(p) Rn và đợc xác định nh sau: nếu vp
TpRm là vectơ tiếp xúc của đờng cong (t) tại p ((t0) = p) thì f*|p (v) là vectơ
tiếp xúc với đờng cong f (t) tại f(p).
2.2. Chú ý. + Khi không chú ý tới điểm p, ta thờng viết f* thay cho f*|p.
+ Nếu f* đơn ánh thì f đợc gọi là dìm.
+ Nếu f* toàn ánh thì f đợc gọi là ngập.
+ Nếu f* song ánh thì f đợc gọi là trải.
2.3. Ví dụ.
f : Rm Rn
(x1, , xm)

x '1 = a 11x1 + ... + a 1m x m + b1


x ' = a + ... + a + x + b
n1

nm
m
n
n

Giả sử p(p1, ..., pm) và vp TpRm, với v(v1, ..., vm) bây giờ ta xác định
v'f(p) = f*|p (vp)
Ta xét đờng cong (t) = (x1(t) = p1 + v1t, ..., vm(t) = pm + vmt). Khi đó với
t = 0 thì (0) = p và '(0) = vp. Theo định nghĩa, ta có:
v' f ( p ) =
=

d
f ( x1 ( t ),..., x m ( t ) )
dt

d
f ( t ) t =0
dt

t =0

11


=
=

d
f ( p1 + v1t ,..., p m + v m t )

dt

t =0

d
( a 11 ( p1 + v1t ) + ... + a 1m ( p m + v m t ) ,..., a n1 ( p1 + v1t ) + ... + a nm ( p m + v m t ) )
dt

= (a11v1 + ...+ a1mvm, ..., an1v1 + ... + anmvm) .
2.4. Mệnh đề. Ta ký hiệu J f

p

t =0

.

là ma trận Jacobi của f tại p. Khi đó ta có:
[v'f(p)] = J f p [vp]

ở đây [v'f(p)] và [vp] tơng ứng là cột toạ độ của các vectơ v' f(p) và vp đối với cơ
sở trực chuẩn của Tf( p ) Rn và TpRm
Chứng minh. Theo định nghĩa ta có:
v'f(p) =

d
f .( t )
dt

t=0

=

d
( f1 , ..., f n ).( t )
dt

=

d
( f1 .( t ), ..., f n .( t ) )
dt

=

d
[ f1 .( x1 ( t ), ..., x m ( t ) ),..., f n ( x1 ( t ),..., x m ( t ) ) ]
dt

t=0

; (f (f1, ..., fn))

t=0

t =0

với (t) = (x1(t), , xm(t))
=

d
f1 . ( x1 ( t ) , ..., x m ( t ) )
dt

t = 0 , ... ,

d
f n . ( x1 ( t ) , ..., x m ( t ) )
dt

t = 0

n
n f

f
= 1 .x i ' ( t ) t =0 ,..., n .x i ' ( t ) t =0
i =1 x i
i=1 x i


x1 ' ( t )
f j
; i = 1, m; j = 1.n
=


x i t =0 x ' ( t )
m t =0
= Jf

P

[vp ] .

.

2.5. Mệnh đề.

1) (f*|p vp) (g) = vp(g f); g F (Rn).

12


2) f*|p là ánh xạ tuyến tính.
Chứng minh. 1) Ta có:
(f*|p vp) (g) =
=

d
g (f o (t))
dt

t=0

d
(g f) (t)
dt

t=0

= vp (g f).
2) p, p Tp Rm, , à R ta có:
f*p (. p + àp)(g) = ( . p + àp) (g f)
= ( . p ) (g f) + (àp)(g f)
= ( . f*P (p)) (g) + (à. f*P(p)) (g)
= .f * p ( P ) + à . f *P ( P )(g) .
f*P là ánh xạ tuyến tính.

.

Nhận xét: Từ mệnh đề 2.4 và mệnh đề 2.5 ta suy đợc:
f là vi phôi: Rn Rn thì f*p là đẳng cấu tuyến tính; p Rn.
2.6. Mệnh đề. Giả sử f: Rm Rn ; g : Rn Rp là các ánh xạ khả vi. Khi đó:
(g f)*p = g*f(p) f*p ; p Rm.
Chứng minh. h

F (Rn) và P TP Rm, ta có:
((g f)*p (p)) (h) = p(h (g f))

Mặt khác:
(g*f(p) o f*p (p)) (h) = (g*f(p) (f*P (p))) (h)
= (f*p (p) (h g)
= p ((h g) f)
= p (h (g f))
Vậy ((g f)*p (p)) (h) = (g*f(p) f*p (p)) (h)
p Tp Rm, h F (Rn)
Do đó: (g f)*p = g*f(p) f*p.

.

13


2.7. Định nghĩa. Giả sử f là vi phôi Rn Rn, là một liên thông tuyến tính.
f đợc gọi là bảo toàn nếu và chỉ nếu:
f*( XY ) = f*X f *Y ; X, Y B(Rn).
2.8. Định lý. f là vi phôi bảo toàn D nếu và chỉ nếu f là phép afin.
Chứng minh. Trớc khi chứng minh định lý ta chứng minh bổ đề sau:
X là trờng vectơ song song khi và chỉ khi DZX = 0; Z B(Rn).
Thật vậy:
Giả sử X(Xi), vì X là trờng vectơ song song nên Xi là hàm hằng,i = 1, n
Ta có: DZX =

n

Z[X i ] E i , vì Xi là hàm hằng nên Z[Xi] = 0, i = 1, n
i =1

Do đó: DZX = 0; Z B(Rn).
Ngợc lại: Nếu DZX = 0; Z B(Rn) ta có:
n

Z[X i ]E i = 0 ; Z B(Rn).
i =1

Do đó, lấy Z = Ej, j = 1, n thì:

n

E j[X i ]E i = 0 ; j = 1, n
i =1
n

X



x i E j = 0 ; j = 1, n



X i
= 0 ; i, j = 1, n
x j

i =1

j

Xi là hàm hằng; i = 1, n . Vậy X là trờng vectơ song song.
+ Bây giờ ta sẽ chứng minh định lý 2.7.
Điều kiện cần: Giả thiết f vi phôi và bảo toàn D, ta chứng minh f là
phép afin.
Giả sử X là trờng vectơ song song. Khi đó:
DZX = 0; Z B(Rn)
f*(DZX) = 0 (vì f* là ánh xạ tuyến tính)
D f*Z f *X = 0 ; Z (vì f vi phôi và bảo toàn D)

14

f*X song song
Jf[Xi] là ma trận hằng; i = 1, n
Jf là ma trận hằng


f j
x i

hằng; i, j = 1, n .

Giả sử x' = f(x); (x'1, ..., x'n) = f(x1, ..., xm)
x '1 = a 11x1 + ... + a 1m x m + b

ta có:

x ' = a x + ... + a x + b
n1 1
nm m
m
n
Vậy f là phép afin.
Điều kiện đủ: Giả thiết f afin, ta chứng minh f vi phôi bảo toàn D.
Thật vậy ta có: + Mọi phép afin là vi phôi.
+ Lấy trờng mục tiêu song song {Ui}i = 1, n và xét:
f*: Ui Ei (f*Ui = Ei); i = 1, n
Do { U i } i=1,n là trờng mục tiêu song song, f là phép afin { E i } i=1,n là trờng mục tiêu song song.
Giả sử Y =

n


U

f
Y
=
f
i i * p *p i ( p ). U i ( p )
i =1
i=1

n

=

n

i ( p ). f * p U i ( p )
i =1

=

n

i ( p ). E i f ( p )
i =1

(

)

n

= i f 1 . E i f ( p )
i=1

Cho p thay đổi, có f*Y =

( i f 1 ). E i
n

i =1

Do đó: D f*X f *Y

(

)

n

= D f*X i f 1 . E i
i=1


15

=

f*X[i f 1 ]. E i
n

i =1

=

( X[ i ] f 1 ).f* U i
n

i =1

n

= f * X[ i ] U i
i =1

= f*DXY .

.

* Nói chung f* không bảo toàn
2.9. Chú ý. Cho vi phôi f: Rn Rn, X B(Rn); ta có: f*pX B(Rn) và đợc
xác định bởi f*PX (f(p)) = f * p ( X( p ) ) .
2.10. Nhận xét. Giả sử f là phép vi phôi: Rn Rn. Khi đó
1) . f* X = f* ( f) X, X

B(Rn) ;

f (Rn).

2) f* X[] = X [ f] f-1 ; f (Rn), X B (Rn).
Chứng minh: 1) Ta có:
( f* X) (f (p))

= (f(p)) . f* X (f(p))
= ( f) (p) . f*P (X(p))
= f* (( f) (p) X (p))
= f*P [(( f) X)(p)]
= (f* ( f) X)f(p) ; f(p) Rn

Vậy .f* X = f* ( f) X.
2) f (Rn), P Rn thì:
(f*P X (p)) [] = (f*X)(f(p)) []
Mà:

f*P (X(p))[] = X(p) [ f]

Nên (f* X) (f(p)) []

= X() [ f]

f* X [] (f(p))

= X [ f] (p)

16

(f* X [] f) (p)

= X[ f] (p)

; p Rn

f* X []

= X [ f] f-1

2.11. Mệnh đề. Nếu f : Rn Rn là một vi phôi thì:
f* [X, Y] = [f* X, f* Y] ; X, Y

B(Rn)

Chứng minh. f(Rn) ta có:
[f* X, f* Y] []

= f*X [f*Y[]] - f*Y[f*X[]]

(Theo nhận xét 2.9.2)

= X[f*Y[] o f] o f-1 - Y[f* X [] o f] o f-1
= X[Y[ o f] o f-1o f] o f-1 - Y [X[of] o f-1 o f] o f-1
= X[Y[ o f] - Y [X[of] o f-1
= [X, Y] [of] of-1
= f* [X, Y] [] ; f (Rn)

Vậy: f* [X, Y]

= [f*X, f*Y] .

.

2.12. Định nghĩa. Giả sử La: Rn Rn
x a+x
Khi đó: Trờng vectơ X đợc gọi là trờng vectơ bất biến trái khi và chỉ
khi: L a* X = X; a Rn

( )

( L a* X = X nghĩa là: L a
*

p Xp

= Xa + p; a, p Rn)

2.13. Định lý. X là trờng vectơ bất biến trái khi và chỉ khi X là trờng vectơ
song song.
Chứng minh. + Giả sử X là trờng vectơ bất biến trái, ta cần chứng minh X là
trờng vectơ song song.
Thật vâỵ: ta có
1 0

J Lp 0 =


0 1

Vì X là trờng vectơ bất biến trái nên:

17


( )

Xp = L p*

1 0 X 1 ( 0 )



0 X0 =



0 1 X n ( 0 )
= (X1(0), , Xn(0))
= X0; p Rn.

Vậy X là trờng vectơ song song
+ Giả sử X là trờng vectơ song song ta cần chứng minh X là trờng vectơ
bất biến trái.
Do X(Xi) là trờng vectơ song song nên Xi là hàm hằng; i = 1, n
Ta có L p*

1 0

X

0 Xp =
p
0 1
= Xp

[ ]

Mà L p* 0 X p
Nên:

= X'a + p = Xp, a, p Rn

X' = X

Vậy: L p* X = X. Do đó X là trờng vectơ bất biến trái.
2.14. Nhận xét. 1) X là trờng vectơ bất biến trái thì X + Y là trờng vectơ
bất biến trái.
2) K = {X|X bất biến trái}. Khi đó: K đẳng cấu tuyến tính với T0 Rn
Chứng minh: 1) X, Y K , , R ta có:
L a* (X + Y) = L a* (X) + L a* (Y)
= L a* (X) + L a* (Y)
= X + Y.
Vậy X + Y là trờng vectơ bất biến trái.
2) Xét : T0 Rn K
X; X|0 =
Ta chứng minh là một ánh xạ, tức chứng minh mỗi có duy nhất X.

18

~ mà ( ) = X . Khi đó:
Giả sử có 2 trờng vectơ X, X

~
( ) = X
X|0 =



X|p = ; p Rn
~
X= X.

Vậy là một ánh xạ. Dễ thấy là một song ánh
Ta chứng minh tuyến tính
Thật vậy:
Giả sử ( + à) = Z; với Z|0 = + à
= X|0 + àY|0
Vì X, Y, Z là các trờng vectơ bất biến trái nên:
Z|0 = X|p + àY|p; p Rn


Z = X + àY
= () + à()

Trong đó X|0 = ; Y|0 = .

.

19

Chơng 2.

Các dạng vi phân và ánh xạ đối tiếp xúc trong Rn
Trong chơng này, chúng tôi trình bày các khái nệm cơ bản và một số
tính chất của 1- dạng vi phân, 2- dạng vi phân và ánh xạ đối tiếp xúc của một
ánh xạ khả vi xác định trên Rn. Đồng thời chúng tôi cũng trình bày một số
tính chất của tích phân 1 - dạng vi phân dọc theo 1 đờng cong trong Rn.
Đ3. 1 - dạng vi phân và 2 - dạng vi phân trong Rn.
Trong mục này ta ký hiệu Tp* Rn là không gian vectơ đối ngẫu của không
gian tiếp xúc Tp Rn nghĩa là Tp* Rn = {f| f là ánh xạ tuyến tính: Tp Rn R}
3.1. Định nghĩa. Một dạng vi phân bậc 1 hay còn gọi là 1 - dạng vi phân
trên Rn là ánh xạ:
: Rn



Tp*R n

pR n

*
p p Tp Rn

Ta chú ý rằng: (Xp) R, với Xp Tp Rn. Vậy với X B(Rn) thì (X)
F (Rn).
đợc gọi là 1- dạng vi phân khả vi nếu và chỉ nếu hàm số (X) khả vi
với mọi X khả vi và ta ký hiệu: 1(Rn) = {| là 1 - dạng vi phân khả vi trên
Rn}

3.2. Ví dụ. Ta giả sử

F (Rn) và ký hiệu d là 1 - dạng vi phân đợc xác

định bởi: (d)p(p) = p[]; p Tp Rn; p Rn.
Khi đó: d() 1(Rn)
Thật vậy: Với X B(Rn) ta có: d(X) = X[]
Do X là trờng vectơ khả vi và là hàm khả vi nên X[] khả vi, ta suy ra
d khả vi. Vậy d 1(Rn).
* Bây giờ ta đa các phép toán vào 1 (Rn):
20


Giả sử 1, 2 1 (Rn), F (Rn), R. Khi đó, ta định nghĩa:
1) Phép cộng: 1+ 2: p 1(p)+ 2(p); p Rn, 1, 2 1 (Rn)
2) Phép nhân: .1: p (p).1(p); p Rn, 1 1 (Rn)
Khi = const = , thì có: .1: p .1(p); p Rn, 1 1 (Rn)
3.3 Mệnh đề. 1 (Rn) cùng với hai phép toán trên lập thành một môdun trên
vành F (Rn) và dim 1 (Rn) = n.
Chứng minh: Ta dễ kiểm tra đợc hai phép toán trên của 1 (Rn) thoả mãn 8
tiên đề về môdun. ở đây chúng ta lu ý:
Phần tử không của 1 (Rn) là:
0: p 0p : 0p (p) = 0 ; p Tp Rn, p Rn
Phần tử đối của 1 (Rn) là:
Với mỗi 1 (Rn) thì 1- dạng vi phân đối của là:
- : p p : p + (-p) = 0
Để kết thúc việc chứng minh, ta cần chứng minh: dim 1 (Rn) = n.
Thật vậy:
Từ ví dụ 3.2 ta có: dxi (X) = Xi ; X B (Rn); i = 1.n
Vậy: dxi 1 (Rn).

n


n
Giả sử
là cơ sở của B (Rn) ta chứng minh { dx i } i =1 là cơ sở
x i i =1
của 1 (Rn).
Thật vậy:
Ta có { dx i } in=1 là hệ độc lập tuyến tính. (1)
n

Giả sử có i : Rn R sao cho
Khi đó:

i . dx i = 0
i =1






.
dx
=
0
i i x x ; j = 1.n
i =1
j

j
n

21




n



i . x
i =1

j

=0 ;

j = 1.n

=0;

j = 1.n

n



i . ij

i =1

j = 0 ;

j = 1.n

Vậy: { dx i } in=1 là hệ độc lập tuyến tính (1)
Ta sẽ tiếp tục chứng minh { dx i } in=1 là hệ sinh (2)
Thật vậy: 1 (Rn) ; X B (Rn) , ta có sự biểu diễn:


n

X i . x

X=

i =1

n

Từ đó: (X) = X i .
x i
i =1
n

=

. dxi (X)
i

x
i =1

n

=

i

i

i =1

. dxi (X); X B (Rn)

n

Vậy: =

i
i =1

. dxi

Từ (1) và (2) ta suy ra : { dx i } in=1 là cơ sở của 1 (Rn)
Do đó: dim 1 (Rn) = n .

.

3.4 Định nghĩa. Ký hiệu ( R ) =
2

n

n2 (Tp R n )

PR

Dạng vi phân bậc hai hay còn gọi là 2 - dạng vi phân trên Rn là ánh xạ:
: Rn 2( Rn)
p p 2(TpRn)
Với p là ánh xạ song tuyến tính, phản xứng:
p: Tp Rn x Tp Rn R
22


(Xp ,Yp) p (Xp ,Yp)
Với X, Y B (Rn) ta xác định ánh xạ:
(X ,Y) : Rn R
p (X ,Y)(p) = p (Xp ,Yp)
Do đó ta có định nghĩa sau:
là dạng vi phân bậc hai khả vi nếu với X,Y B (Rn) thì (X,Y) là
hàm khả vi.

Ta ký hiệu : 2 (Rn) = { là 2 - dạng vi phân khả vi trên Rn}.
3.5 Ví dụ.
Trong R2 Oxy, ta xét các trờng vectơ X(X1,X2); Y(Y1, Y2);
Khi đó: (X,Y) = X1. Y2 - X2. Y1
Thật vậy: : p p :(Xp ,Yp)

X1 p . Y2

p

X 2 p .Y1

p

Chẳng hạn với: X(x,y); Y(2x, y2); p(1,1) thì:
2
p :(Xp ,Yp) = x p . y

p

y p .2x

p

= 1. 1- 1. 2 = - 1.

* Bây giờ chúng ta trang bị các phép toán cho 2 (Rn):
Giả sử 1, 2 2 (Rn) , F (Rn), R. Khi đó ta định nghĩa:
1) Phép cộng: 1+ 2 : p 1 (p) + 2 (p) ; p Rn.
2) Phép nhân: 1: p (p).1 (p); p Rn.

Nếu = const = , thì có: 1: p .1 (p); p Rn .
3) Giả sử 1, 2 1 (Rn) ; X,Y B (Rn). Khi đó tích ngoài của 1, 2là
1 2 đợc xác định nh sau:
(1 2) (X,Y) = 1(X). 2 (Y) - 1(Y) .2(X)
Ta nhận thấy rằng, với 1, 2 1 (Rn) thì:
1 2 = 0
1 2 = - 2 1
3.6. Mệnh đề.

23


1) 1 (Rn) cùng với 2 phép toán cộng và nhân lập thành một môdun
trên vành F (Rn).
2) {dxi dxj }1 i < j n là cơ sở của 2 (Rn).
Chứng minh. 1) Chúng ta dễ dàng chứng minh đợc 2 phép toán cộng và nhân
đợc xác định nh trên thoả mãn các tiên đề về môdun.
2) Để chứng minh 2 ta cần bổ đề sau:
Bổ đề: dxi dxj (X,Y) = XiYj - Xj Yi ; với i < j
Thật vậy: dxi dxj (X, Y) = dxi (X) . dxj (Y) - dxi (Y) . dxj (X)
= Xi. Yj - Yi . Xj
Bây giờ ta chứng minh 2.
+ Chứng minh {dxi dxj}1 i < j n là hệ độc lập tuyến tính
n

Thật vậy: giả sử:

ij .dx i dx j

= 0; trong đó: ij là hàm số Rn R

i , j=1

( ij .dx i dx j )( E k , E l )
n

Từ đó ta có:

i , j=1

= 0; với 1 k < l n

ij .[dx i ( E k ).dx j ( E l ) dx i ( E l ).dx j ( E k ) ] = 0
n



i , j=1

ij .( ik . jl il . jk ) = 0 ; với
n



i , j=1

1k
kl = 0; với 1 k < l n
Vậy: {dxi dxj}1 i < j n là hệ độc lập tuyến tính

(1)

+ Ta tiếp tục chứng minh {dxi dxj}1 i < j n là hệ sinh
Giả sử X =

n

n

i =1

i =1

X i E i ; Y = YjE j là các trờng vectơ trong Rn

n
n

Ta có: (X,Y) = X i E i ; Yj E j
i=1
i =1


X i Yj .( E i , E j )
n

=

i , j=1

24


n

=

a ijX i Yj

trong đó aij = ( , Ej)

;

i , j=1

Mặt khác: aii = (Ei, Ei ) = 0 và aij = - aji, nên ta có:
(X,Y) =
=

a ij ( X i Yj X jYi )
i< j

a ij ( dx i dx j )( X, Y ) ;
i< j

Từ đó suy ra: =

a ij ( dx i dx j )

X, Y B(Rn)
(2)

i< j

Từ (1) và (2) ta có: {dxi dxj}1 i < j n là cơ sở của 1(Rn).

.

3.7. Ví dụ. Trong R3 xét các trờng vectơ X(x, 1, 1) ; Y(1, y, 3) và giả sử
= xydx + y2dy; 2 = dx + ydz. Ta tính 1[X, Y] và 2(X Y).
Ta có: X = xE1 + E2 + E3; Y = E1 + yE2 + zE3
Do đó: [X, Y] = DXY - DY X
=

3

[ ]

3

X Yi E i Y[ X i ].E i
i =1

Với i = 1,3

i =1

3
3 Y

X
= i X j i Yj E i
j=1 x

j=1 x j
j


= E2 + E3 - E1

Ta đợc: 1[X, Y]

= (xydx + y2dy) (E2 + E3 - E1)
= - xydxE1 + y2dyE2
= - xy + y2

+ Tính 2(X Y)
1 1 1 x x 1

,
,
Ta có: (X Y) =
y
z
z
1
1
y

= (z - y, 1 - xz, xy - 1)
= (z - y)E1 + (1 - xz)E2 + (xy - 1) E3
Vậy 2(X Y) = (dx + ydz) ((z - y)E1 + (1 - xz)E2 + (xy - 1)E3)
= (z - y) dxE1+ y(xy 1) dzE3
= (z - y) + xy2 - y
25

1