Về lớp (1 c1) môđun và tổng trực tiếp các môđun đều

1

MỤC LỤC

Danh mục kí hiệu

2

Mở đầu

3

1 Kiến thức cơ sở

5

1.1

Môđun con cốt yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Môđun đều

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Chiều Goldie (chiều Uniform) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2 Lớp (1 − C1 ) - môđun

11

2.1

Lớp (1 − C1 ) - môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2

Lớp (1 − C1 ) - môđun và CS - môđun . . . . . . . . . . . . .

17

3 Tổng trực tiếp các môđun đều

21

3.1

Môđun chứa môđun con đều . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.2

Tổng trực tiếp các môđun đều . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Kết luận

31

Tài liệu tham khảo

32


2

CÁC KÝ HIỆU

K ⊆ M : K là môđun con của môđun M .
K ✂ M :K là môđun con cốt yếu của môđun M .
K ⊂⊕ M : K là hạng tử trực tiếp của môđun M .
E(M ): Bao nội xạ của môđun M
⊕ Mi : Tổng trực tiếp các môđun Mi , i ∈ I

i∈I
n

⊕ Mi : Tổng trực tiếp các môđun Mi , 1 ≤ i ≤ n

i=1

U dimM (hoặc GdimM ): Chiều Goldie (chiều đều) của môđun M .
End(M ): Vành các tự đồng cấu của môđun M .


3

LỜI MỞ ĐẦU

Vào năm 1977, Chatters và Hajarnavis lần đầu tiên đưa ra khái niệm
CS - môđun (hay Extending môđun). Tiếp đó Harada và các học trò của ông
đã nghiên cứu lớp môđun mở rộng của CS - môđun, đó là những môđun mà
mọi môđun con đóng đều của nó là hạng tử trực tiếp. Đến năm 1988 Kamal
và Muller đã gọi những môđun thoã mãn điều kiện trên là (1 − C1 ) - môđun
và tiếp tục thu được nhiều kết quả. Các tác giả đã chứng minh rằng trên miền
giao hoán không xoắn hoặc trên vành Noether, tổng trực tiếp hữu hạn các
n

môđun đều M = ⊕ Mi là CS khi và chỉ khi Mi ⊕ Mj là CS ∀1 ≤ i ≤ j ≤ n.
i=1

Lớp CS - môđun hiện nay đang được nhiều người nghiên cứu lý thuyết
vành và môđun quan tâm. Môđun nửa đơn, môđun đều và môđun nội xạ là
những ví dụ của Extending môđun.
Trong quá trình nghiên cứu môđun để dẫn đến đặc trưng của vành,
một mặt ta nghiên cứu môđun đã cho nhờ sự phân tích nó thành những
môđun đơn giản hơn, mặt khác ta hướng tới việc xây dựng những môđun
mới từ những môđun đã cho.Theo hướng nghiên cứu này, một trong những

cấu trúc đặc biệt có ý nghĩa là tổng trực tiếp các môđun. Qua việc nghiên
cứu đối với tổng trực tiếp các môđun đều người ta đã ứng dụng kết quả để
khảo sát các lớp môđun và các lớp vành như: Noether, Artin và đặc biệt là
vành QF.
Mục đích của luận văn là trình bày lại một số tính chất của lớp (1−C1 )
- môđun và các tính chất của tổng trực tiếp các môđun đều mà chủ yếu dựa
vào các tài liệu tham khảo [2],[3],[4],[7].


4

Luận văn được trình bày thành 3 chương:
Chương 1. Trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của môđun cốt yếu,
môđun đều, môđun bé,...,cùng các khái niệm có liên quan.
Chương 2. Tập trung nghiên cứu tính chất của lớp (1 − C1 ) - môđun và lớp
CS - môđun.
Chương 3. Nghiên cứu các tính chất liên quan đến tổng trực tiếp các môđun
đều.
Luận văn được bắt đầu thực hiện từ tháng 1/2010 và được hoàn thành
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này, tác giả xin
bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng, người
đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận
lợi, cùng với những lời động viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học
tập nghiên cứu.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán,
khoa Đào tạo sau đại học cùng các bạn trong lớp cao học khoá 16 Đại số lý
thuyết số đã động viên giúp đỡ và có nhiều ý kiến đóng góp quý báu để luận
văn được hoàn thành đúng kế hoạch.
Vì khả năng và thời gian có hạn nên luận văn không thể tránh khỏi
những hạn chế và thiếu sót, rất mong sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô giáo

cùng các bạn học viên.
Vinh, tháng 12 năm 2010
Tác giả


5

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này chúng tôi nêu ra các khái niệm và các tính chất cơ bản
liên quan đến các chương sau. Các khái niệm, tính chất và ký hiệu cơ bản
chúng tôi chủ yếu dựa vào các tài liệu: F. W. Anderson and Fuller [1], Ng.V.
Dung, D.V. Huynh, P.F. Smith and R. Wisbauer [2].
Các vành luôn được giả thiết là vành kết hợp có đơn vị, các môđun trên một
vành luôn được hiểu là môđun phải unita.

1.1

Môđun con cốt yếu

1.1.1 Định nghĩa. Cho M là một R-môđun phải và N là môđun con của

M.
(1) Môđun con N được gọi là môđun con cốt yếu (essential) trong M và ký
hiệu là N ✂ M , nếu với mọi môđun con K khác không của M thì N ∩ K = 0.
Khi đó ta nói rằng M là mở rộng cốt yếu (essential extension) của N .
(2) Một đơn cấu f : A → M được gọi là đơn cấu cốt yếu nếu f (A) ✂ M . Lúc
đó ta nói rằng A nhúng cốt yếu được vào M .

(3) Môđun con N của M được gọi là đóng (closed) trong M nếu N không
có một mở rộng cốt yếu thực sự trong M . Nói cách khác N được gọi là đóng
trong M nếu với mọi môđun con K khác không của M mà N ✂K thì K = N .
(4) Môđun con T của M được gọi là tối đại trong M nếu mọi môđun con X
của M thõa mãn T ⊆ X thì X = M hoặc X = T .
(5) Môđun con K của M được gọi là bao đóng (closed) của môđun N trong


6

M nếu K là môđun con tối đại trong M sao cho N cốt yếu trong K .
(6) Môđun con B của M được gọi là bé (small) trong M (hay là đối cốt yếu)
trong M và ký hiệu B

M , nếu mọi môđun con L của M, L = M thì

B + L = M , nói cách khác nếu B + L = M thì L = M .
(7) Một môđun con H của M được gọi là một tập bù của N (trong M ) nếu

H là tối đại trong tập hợp những môđun con Q của M mà Q ∩ N = 0.
(8) Một môđun con N của M được gọi là một tập bù (trong M ) nếu tồn tại
một môđun con H của M sao cho N là một tập bù của H (trong M ).
1.1.2 Tính chất. Cho M là R- môđun. K và N là các môđun con của M .
Khi đó ta có:
(1) N ✂ M ⇔ 0 = ∀x ∈ M, Rx ∩ N = 0.
(2) Cho K ⊆ N, N ⊆ M thì K ✂ M khi và chỉ khi K ✂ N và N ✂ M .
(3) Nếu Ai ✂ Bi , i = 1, 2, ..., n; Ai , Bi ⊆ M thì
n

Ai ✂ M thì

n

n

Ai ⊆
i=1

Bi . Đặc biệt nếu
i=1

Ai ✂ M .

i=1

(4) Cho K ⊆ N, N ⊆ M . Nếu N/K ✂ M/K thì N ✂ M .
(5) Nếu f : B −→ C là một đồng cấu môđun và A ✂ C thì f −1 (A) ✂ B .

Mi , A = ⊕ Ai , Ai và Mi là các môđun con của M và

(6) Cho M =
i∈I

i∈I

Ai ✂ Mi , ∀i ∈ I , trong đó . Khi đó tồn tại ⊕ Mi và A ✂ ⊕ Mi .
i∈I

i∈I

Chứng minh.
(1) Giả sử N ✂ M , với 0 = x ∈ M ⇒ Rx = 0 ⇒ Rx ∩ N = 0 (hiển nhiên
theo định nghĩa).
Ngược lại, nếu Rx ∩ N = 0, ∀x ∈ M, x = 0. Khi đó giả sử 0 = X ⊆ M mà

N ∩X = 0. Do X = 0 ⇒ ∃x ∈ X mà x = 0. Ta có: 0 = N ∩X ⊃ Rx∩X = 0
(vô lý).Vậy X ∩ N = 0 hay N ✂ M .
(2) Giả sử K ✂ M . Lấy 0 = A ⊆ N ⇒ A ⊆ M ⇒ A ∩ K = 0.Vậy K ✂ N .
Lấy 0 = B ⊆ M ⇒ B ∩ K = 0 mà K ⊆ N ⇒ B ∩ N = 0.


7

Vậy N ✂ M .
Ngược lại, giả sử K ✂ N và N ✂ M .
Lấy 0 = A ⊆ M , vì N ✂ M nên A ∩ N = 0. Mà A ∩ N ⊆ N và K ✂ N ⇒

A ∩ N ∩ K = 0 ⇒ A ∩ K = 0.Vậy K ✂ M .
n

(3) Lấy 0 = X ⊆

Bi ⇒ X ⊆ Bi , ∀i = 1, 2, 3..., n mà Ai ✂ Bi ⇒

i=1

X ∩ Ai = 0.

n

Lúc đó X ∩ (

n

Ai ) = 0 hay

i=1

n

Ai ✂

i=1

Bi .
i=1

(4) Lấy 0 = A ⊆ M . Nếu A = K , lúc đó A ∩ N = K ∩ N = K = 0 ⇒

N ✂ M.
Nếu A = K , do N/K ✂ M/K ⇒ N/K ∩ ((A + K)/K) = 0
Tồn tại n + k1 = a + k + k2 ⇒ a = n + k1 − k − k2 ∈ N mà a = 0 ⇒ a ∈

A ∩ N = 0.Vậy N ✂ M .
(5) Lấy 0 = X ⊆ B . Ta cần chứng minh X ∩ f −1 (A) = 0. Thật vậy:
+ Nếu f (X) = 0 ⇒ X ⊆ f −1 (0) ⊆ f −1 (A))

⇒ X ∩ f −1 (A) = X = 0.
+ Nếu f (X) = 0, do A ✂ C ⇒ A ∩ f (X) = 0 ⇒ ∃a = 0, a ∈ A và

a ∈ f (X) ⇒ a = f (x) (với x là phần tử khác 0 nào đó của X).
Suy ra

x = f −1 (a) ⇒ x ∈ f −1 (A)
⇒ X ∩ f −1 (A) = 0
Vậy f −1 (A) ✂ B .
(6) Trước hết ta chứng minh cho trường hợp I hữu hạn. Dùng qui nạp ta
chỉ xét với n=2.
Ta có M = M1 + M2 ; A = A1 + A2 . Do

Ai ✂ Mi ⇒
⇒
⇒
⇒

A1 ∩ A2 ✂ M1 ∩ M2
0 ✂ M1 ∩ M2
M1 ∩ M2 = 0
∃ ⊕ Mi
i∈I


8

Tiếp theo ta xét f1 : M1 ⊕ M2 → M1 ; f2 : M1 ⊕ M2 → M2
Do

A1 ✂ M1 ⇒ f −1 (A1 ) ✂ M1 ⊕ M2
theo(5)
⇒ A1 ⊕ M2 ✂ M1 ⊕ M2 (1)

Do

A2 ✂ M2 ⇒ f −1 (A2 ) ✂ M1 ⊕ M2
theo(5)
⇒ A2 ⊕ M1 ✂ M1 ⊕ M2 (2)
Lấy giao từng vế của (1) và (2) ta có

(A1 ⊕ M2 ) ∩ (A2 ⊕ M1 ) ✂ M1 ⊕ M2
Bây giờ ta chứng minh cho trường hợp I vô hạn.
Lấy x ∈

Mi , ta có biểu diễn x =
i∈I

xi , với F hữu hạn thuộc I .
i∈F

Theo trường hợp trên thì ⊕ Mi tồn tại và sự biểu diễn đó là duy nhất.
i∈F

Tiếp theo ta lấy 0 = X ⊆ ⊕ Mi , suy ra ∃0 = x ∈ X mà x ∈ ⊕ Mi và
i∈I

⊕ Ai ✂ ⊕ Mi với F hữu hạn thuộc I )

i∈F

i∈I

i∈F

⇒ xR ∩ ⊕ Ai = 0
i∈F

⇒ x ∩ ⊕ Ai = 0ha
i∈F

Vậy ⊕ Ai ✂ ⊕ Mi .
i∈I

1.2

i∈I

Môđun đều

1.2.1 Định nghĩa. (1) Giả sử R là một vành, một R- môđun phải U được
gọi là đều (hay uniform) nếu U = 0 và A ∩ B = 0 đối với mọi môđun con
khác không A, B của U. Hay nói cách khác, U là đều nếu U = 0 và mọi
môđun con khác không là cốt yếu trong U .
(2) Một môđun M được gọi đơn nếu M không chứa môđun con thực sự nào
(nghĩa là M chỉ chứa hai môđun con đó là 0 và chính nó).
(3) Giả sử (Tα )α∈I là tập các môđun con đơn của M . Nếu M là tổng trực
tiếp của (Tα )α∈I thì M = ⊕ Tα là sự phân tích nửa đơn của M .
i∈α


9

(4) Môđun M được gọi là nửa đơn nếu M có sự phân tích nửa đơn.

(5) Tập hợp r(m) = {r ∈ R | mr = 0} được gọi là linh hóa tử của phần tử

m.
Tập hợp r(M ) = {r ∈ M | mr = 0, ∀m ∈ M } được gọi là linh hóa tử của
môđun M .
(6) Tập hợp ZR (U ) = {x ∈ U : rR (x) ✂ R} được gọi là môđun con suy biến
của U .
Nếu ZR (U ) = 0 thì ta nói rằng U không suy biến.

1.3

Chiều Goldie (chiều Uniform)

1.3.1 Định nghĩa. (1) Một môđun M trên vành R gọi là có chiều Goldie
(hay chiều đều, chiều Uniform) hữu hạn nếu không tồn tại một tổng trực tiếp
vô hạn các môđun con khác không trong M . M được gọi là có chiều Goldie
vô hạn trong trường hợp ngược lại.
Người ta đã chứng minh được rằng (xem [2]): số hạng tử khác không lớn
nhất của tổng trực tiếp các môđun con đều của M là một bất biến và được
gọi là số chiều Goldie (hay chiều Uniform) của M và được ký hiệu là Gdim
(M) (hay Udim (M)).
(2) Cho R là vành tùy ý, ta gọi chiều Goldie phải của R là chiều Goldie của

RR và chiều Goldie trái của R là chiều Goldie của R R.
1.3.2 Tính chất. (Xem [1, 1.10]).Gọi N là một môđun con của một Rmôđun M .
(1) Nếu N ✂ M thì M có chiều đều hữu hạn nếu và chỉ nếu N có chiều đều
hữu hạn, và trong trường hợp này udimM = udimN .
Ngược lại, nếu M có chiều đều hữu hạn và udimM = udimN thì N ✂ M .
(2) Nếu M = M1 ⊕ M2 ... ⊕ Mn thì udimM = udimM1 + udimM2 + ... +

udimMn .


10

(3) Giả sử N và M/N đồng thời có chiều đều hữu hạn thì M có chiều đều
hữu hạn và udimM ≤ udimN + udimM/N.
(4) Nếu M có chiều đều hữu hạn thì mọi môđun con của M có chiều đều hữu
hạn.
1.3.3 Bổ đề. Mọi môđun khác không có chiều Goldie hữu hạn luôn chứa một
môđun con đều.
Chứng minh. Giả sử ngược lại rằng M không chứa một môđun con đều. Cụ
thể:
Nếu M không là đều thì tồn tại những môđun con khác không K1 , L1 của

M sao cho K1 ∩ L1 = 0. Khi đó K1 không là môđun đều nên tồn tại những
môđun con khác không K2 , L2 của K1 sao cho K2 ∩ L2 = 0. Ta lại có K2
không là môđun đều nên ta tiếp tục phân tích như trên dẫn đến M chứa một
tổng trực tiếp vô hạn L1 ⊕ L2 ⊕ ... của những môđun con khác không của

M . Suy ra M có chiều Goldie vô hạn và điều này mâu thuẫn với giả thiết M
có chiều Goldie hữu hạn. Vậy M chứa một môđun con đều.


11

CHƯƠNG 2

LỚP (1 − C1 ) - MÔĐUN

Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm CS - môđun và (1 − C1 )
- môđun và một số tính chất của chúng. Những vấn đề trình bày trong
chương này được chúng tôi tổng hợp từ một số kết quả có trong các tài liệu
[1],[2],[4],[9].

2.1

Lớp (1 − C1 ) - môđun

2.1.1 Định nghĩa. Môđun M được gọi là CS - môđun nếu mỗi môđun con
của M cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M .
2.1.2 Định nghĩa. Môđun M được gọi là (1 − C1 )-môđun (hay có tính chất
CS cho các môđun con đều), nói đơn giản M là (1 − C1 )-môđun hay M có

(1 − C1 ) nếu mỗi môđun con đều của M là cốt yếu trong một hạng tử trực
tiếp của M .
2.1.3 Định nghĩa. Môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M thõa mãn các
điều kiện sau:
(1) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M .
(2) Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và A ∩ B = 0 thì A ⊕ B cũng
là hạng tử trực tiếp của M .
2.1.4 Định nghĩa. Cho M là R - môđun phải.
(1) Một R - môđun phải A được gọi là M - nội xạ nếu với mỗi môđun con N
của M và mỗi đồng cấu f : N → A luôn tồn tại mở rộng f ∗ : M → A sao


12

cho biểu đồ sau giao hoán, nghĩa là : f ∗ ◦ i = f .
/M

N @@

@@
@
f @@

A

~

f∗

(2) R - môđun phải A được gọi là nội xạ nếu A là M - nội xạ với mọi môđun

M.
(3) Môđun M được gọi là tự nội xạ (tựa nội xạ) nếu M là M - nội xạ.
(4) Vành R gọi là tự nội xạ phải (trái) nếu R là R - nội xạ như R - môđun
phải (trái).
(5) Cho R - môđun phải M , ta gọi bao nội xạ của M là một môđun nội xạ

E và tồn tại đơn cấu cốt yếu f : M → E tức là f (M ) ✂ E .
Bao nội xạ của môđun M luôn tồn tại và được ký hiệu là E(M ).
2.1.5 Định nghĩa. Cho R - môđun M .
a) Một {Xα ; α ∈ I} các môđun con của môđun M được gọi là hạng tử trực
tiếp địa phương của M nếu

Xα là trực tiếp và
α∈I

Xα là hạng tử trực tiếp
α∈F

của M với mọi tập hữu hạn F ⊂ I .

Xα là hạng tử trực tiếp của M , ta nói hạng tử trực tiếp địa phương

Nếu
α∈I

là hạng tử trực tiếp.
b) Sự phân tích M =

Mi được gọi là bù hạng tử trực tiếp nếu với mọi
α∈I

hạng tử trực tiếp A của M , tồn tại tập con J ⊂ I sao cho M = A ⊕ M (J).
2.1.6 Hệ quả. Bất kỳ CS - môđun là (1 − C1 ) - môđun.
Chứng minh. Vì M là CS- môđun nên theo định nghĩa 2.1.1, mỗi môđun con
của M cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp. Do vậy mỗi môđun con đều cũng
cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp, dẫn đến M là (1 − C1 )- môđun theo
định nghĩa 2.1.2.


13

2.1.7 Bổ đề. Giả sử M là một môđun và K ⊆ L là những môđun con của

M sao cho K là một môđun đóng trong L và L là môđun đóng trong M . Thì
K là môđun đóng trong M .

Chứng minh. Xem [2, 1.10].
2.1.8 Bổ đề. Một môđun M là CS - môđun (tương ứng (1 − C1 ) - môđun)
nếu và chỉ nếu mọi môđun con đóng (đóng đều) trong M là một hạng tử trực
tiếp của M .
Chứng minh. Giả sử M là (1 − C1 ) - môđun và N là một môđun con đóng
và đều bất kỳ của M . Thì từ tính đóng, N là cốt yếu trong chính nó và dẫn
đến N ⊂⊕ M .
Ngược lại, giả sử rằng mọi môđun con đóng và đều trong M luôn là một
hạng tử trực tiếp của M . Gọi K là một môđun con đều bất kỳ của M thì
khi đó, bao đóng E(K) của K là đóng và đều trong M và do đó là một hạng
tử trực tiếp của M . Vậy M là (1 − C1 ) - môđun.
2.1.9 Hệ quả. Nếu môđun M có tính chất (1 − C1 ) thì mọi hạng tử trực tiếp
của M cũng có tính chất (1 − C1 ).
Chứng minh. Gọi môđun con N là một hạng tử trực tiếp của M và U là
môđun con đóng đều trong N . Khi đó theo Bổ đề 2.1.7 thì U đóng trong M .
Vì M có (1 − C1 ) nên U là một hạng tử trực tiếp của M , dẫn đến

M =U ⊕U
với U là môđun con nào đó của M . Vì U ⊆ N nên theo luật modula ta có

N = U ⊕ (N ∩ U ).
Vậy U là một hạng tử trực tiếp của N và dẫn đến N có (1 − C1 ) .
2.1.10 Bổ đề. Giả sử M là (1 − C1 ) - môđun và V ⊕ U là một môđun con
đóng của M , trong đó U là môđun con đều và V là một hạng tử trực tiếp của

M . Khi đó V ⊕ U là một hạng tử trực tiếp của M .


14

Chứng minh. Vì V là hạng tử trực tiếp của M nên ta có:

M = V ⊕ M1
với M1 là môđun con nào đó của M .
Gọi: π : M → M1 là phép chiếu tự nhiên.
Giả sử X là mở rộng cốt yếu của π(U ) trong M1 . Vì U ∩ V = 0 nên π |U là
một đơn cấu, do đó ta có: π(U ) ∼
= U . Từ đó X là một môđun con đóng đều
của M1 . Do M1 ⊂⊕ M , M là (1 − C1 ) - môđun nên M1 cũng là (1 − C1 ) môđun. Do vậy X là hạng tử trực tiếp của M1 .
Ta có π −1 (X) ⊇ π −1 (π(U )) ⊇ V ⊕ U (bởi vì π(V ) = 0) Mặt khác x ∈

π −1 (X), khi đó π(x) ∈ X , mà x = x + m1 với x ∈ V và m1 ∈ M1 .
Do vậy π(x) = m1 ∈ X . Từ đó suy ra

x=x +m∈V ⊕X
, nghĩa là: π −1 (X) ⊆ V ⊕ X . Do đó ta có:

V ⊕ U ⊆ π −1 (X) ⊆ V ⊕ X

(1).

Ta sẽ chứng minh rằng V ⊕ U cốt yếu trong V ⊕ X . Thật vậy, gọi:

Z = (V ⊕ U ) ∩ X.
Lấy x + u ∈ V ⊕ U, u = 0. Từ (1), x + u ∈ V ⊕ X hay x + u = x + v , do đó

v = x − x + u, v = 0 do u = 0.
Điều này cho thấy Z = 0. Bởi vì X là đều nên Z ✂ X .

⇒ (V ⊕ Z) ✂ (V ⊕ X).

Nhưng V ⊕ Z ⊆ V ⊕ U , do vậy (V ⊕ U ) ✂ (V ⊕ X). Vì (V ⊕ U ) là đóng nên

V ⊕ U = V ⊕ X.


15

Từ M = V ⊕ M1 và X là hạng tử trực tiếp của M1

⇒ V ⊕ X là hạng tử trực tiếp của M , hay V ⊕ U là hạng tử trực tiếp của
M.
2.1.11 Bổ đề. Cho R là vành tùy ý và một R - môđun M là (1 − C1 ) môđun với chiều Goldie hữu hạn. Thì M là một tổng trực tiếp hữu hạn của
những môđun con đều.
Chứng minh. Gọi U là môđun con đều tối đại của M , thì U đóng trong M .
Do M là (1 − C1 ) - môđun nên U là một hạng tử trực tiếp của M , nghĩa là

M =U ⊕U
với môđun con U nào đó của M . Từ giả thiết và Hệ quả 2.1.9 dẫn đến U là

(1 − C1 ) - môđun với chiều Goldie hữu hạn. Bằng quy nạp trên chiều Goldie
và Hệ quả 2.1.9 dẫn đến, U là một tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con
đều.
Vậy M là một tổng trực tiếp hữu hạn những môđun con đều.
2.1.12 Bổ đề. Cho R là vành tuỳ ý và R- môđun M là (1 − C1 )-môđun. Khi
đó mọi môđun con N đóng trong M và có chiều Goldie hữu hạn là một hạng
tử trực tiếp của M .
Chứng minh. Gọi U là một môđun con đều và đóng trong N . Khi đó U là
đóng trong M (Bổ đề 2.1.7). Từ giả thiết suy ra U là một hạng tử trực tiếp
của M , nghĩa là

M =U ⊕U
với môđun con U nào đó của M . Do U ⊆ N nên N = U ⊕ (N ∩ U ) bởi luật
modula. Do vậy U là hạng tử trực tiếp của N , hay N có (1 − C1 ). Khi đó
theo Bổ đề 2.1.11 ta có sự phân tích của N thành tổng trực tiếp hữu hạn

N = N1 ⊕ N2 ⊕ ... ⊕ Nn
trong đó mỗi Ni (1 ≤ i ≤ n) là đều. Tiếp theo ta quy nạp theo n và sử dụng


16

Bổ đề 2.1.10 ta có được N là hạng tử trực tiếp của M .
2.1.13 Hệ quả. Một môđun M với chiều Goldie hữu hạn là CS - môđun nếu
và chỉ nếu nó là (1 − C1 ) - môđun.
Chứng minh. Nếu M là CS - môđun thì hiển nhiên là (1 − C1 ) - môđun.
Ngược lại, giả sử rằng M là (1 − C1 ) - môđun và N là một môđun đóng trong

M . Ngay lập tức ta có, N là một hạng tử trực tiếp của M bởi Bổ đề 2.1.12.
Vậy M là CS - môđun.
2.1.14 Hệ quả. Giả sử M = M1 ⊕ M2 trong đó M1 , M2 là các (1 − C1 ) môđun. Khi đó M là (1 − C1 ) - môđun nếu và chỉ nếu mọi môđun con đóng
đều K của M với K ∩ M1 = 0 hoặc K ∩ M2 = 0 là hạng tử trực tiếp của M .
Chứng minh. Giả sử M là (1 − C1 ) - môđun. Lúc đó K là môđun đóng đều
của M thõa mãn K ∩ M1 = 0. Rõ ràng ta có K là hạng tử trực tiếp của M .
Ngược lại, nếu mọi môđun con đóng đều K của M . Khi đó tồn tại phần bù

H trong L sao cho L ∩ M2 ✂ M , ta có H đóng đều trong M . Theo giả thiết
thì H ∩ M1 = 0 nên M = H ⊕ H với H là môđun con nào đó của M .
Theo luật modula ta có:

L = H ⊕ (L ∩ H ).

Hơn nữa L ∩ H đóng trong L, L đóng trong M , nên L ∩ H đóng trong M .
Vì vậy theo giả thiết (L ∩ H ) ∩ M2 = 0, do đó L ∩ H là hạng tử trực tiếp
của H , nghĩa là H = (L ∩ H ) ⊕ X với X là môđun con của H .
Mà M = H ⊕ H ⇒ M = H ⊕ (L ∩ H ) ⊕ X = L ⊕ X hay L là hạng tử trực
tiếp của M .
Vậy M là (1 − C1 ) - môđun.
2.1.15 Định lí. Cho R là vành tùy ý. Một R - môđun M là (1 − C1 ) - môđun
với chiều Goldie hữu hạn nếu và chỉ nếu:


17

(i) M là một tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều
(ii) Mọi hạng tử trực tiếp của M có chiều Goldie 2 là (1 − C1 ) - môđun.
Chứng minh. Giả sử rằng M là (1 − C1 ) - môđun với chiều Goldie hữu hạn
khác không. Khi đó dễ nhận thấy rằng, có (i) bởi Bổ đề 2.1.11 và sử dụng Hệ
quả 2.1.9 ta có (ii).
Ngược lại, giả sử M thõa mãn (i), (ii). Đặt M = M1 ⊕ ... ⊕ Mn trong đó

n là một số nguyên dương và Mi là một môđun đều với mỗi 1

i

n. Gọi

V là một môđun con đóng đều của M . Giả sử V = M thì tồn tại một chỉ số
nào đó 1

i

n sao cho V ∩ Mi = 0. Không làm mất tính tổng quát ta cho

i = 1. Đặt M = M2 ⊕ ... ⊕ Mn thì tồn tại một môđun con K đóng trong M
sao cho V ⊕ M1 ✂ K . Khi đó K = M1 ⊕ (K ∩ M ) bởi luật modula.
Mặt khác, do K ∩ M đóng trong K nên dẫn đến cũng đóng trong M (Bổ
đề 2.1.7). Như vậy K ∩ M đóng trong M .
Bằng phép quy nạp theo số chiều Goldie, (K ∩ M ) ⊂⊕ M và dẫn đến

K ⊂⊕ M . Mặt khác, K có chiều Goldie 2 nên theo (ii), K là (1 − C1 ) môđun.
Bởi vì V đóng đều trong M nên V cũng đóng đều trong K , do đó V ⊂⊕ K
hay V ⊂⊕ M . Vậy M là (1 − C1 ) - môđun.

2.2

Lớp (1 − C1 ) - môđun và CS - môđun

2.2.1 Nhận xét. Ta thấy rằng một môđun CS là một (1 − C1 )-môđun. Ví
dụ dưới đây chỉ ra điều ngược lại không đúng. Nghĩa là lớp (1 − C1 )-môđun
rộng hơn thực sự lớp các môđun CS.
2.2.2 Ví dụ. Tồn tại một Z -môđun là (1 − C1 ) nhưng không phải là CS
môđun, trong đó Z là vành các số nguyên.


18

Chứng minh. Gọi F là nhóm Aben tự do vô hạn sinh, nghĩa là F là Z -môđun
và F = ⊕ Ui , trong đó Ui ∼
= Z , ∀i ∈ I (I là tập vô hạn).
i∈I

Vì F là nhóm Aben có chiều vô hạn do đó F không phải là CS-môđun, ta sẽ
chứng minh F là (1 − C1 )-môđun.
Thật vậy, giả sử U là môđun con đóng đều của F . Nhóm con của nhóm Aben
tự do là nhóm Aben tự do nên U là nhóm Aben tự do.
Như vậy ta có U là tổng trực tiếp của một số lượng bản nào đó, với tất cả
các bản đẳng cấu với Z . Theo giả thiết thì U là môđun con đóng đều nên U
không phân tích được, do đó U ∼
= Z . Từ đó ta có U là một Z -môđun xiclic.
Khi đó tồn tại số tự nhiên n sao cho:

U ⊆ U1 ⊕ U2 ⊕ ... ⊕ Un
với {1, 2, ..., n} ⊂ I .
Vì U1 ⊕ U2 ⊕ ... ⊕ Un là nhóm Aben tự do hạng hữu hạn nên:

U1 ⊕ U2 ⊕ ... ⊕ Un
là một CS-môđun.
Mặt khác, U là môđun con đóng trong U1 ⊕ U2 ⊕ ... ⊕ Un nên ta có U là hạng
tử trực tiếp của U1 ⊕ U2 ⊕ ... ⊕ Un (theo Bổ đề 2.1.12). Như vậy ta có U ⊂⊕ F ,
do đó theo định nghĩa của (1 − C1 )-môđun ta có F là (1 − C1 )-môđun.

2.2.3 Bổ đề. Giả sử M = M1 ⊕ M2 là tổng trực tiếp các môđun M1 và M2 .
Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
i) M1 là M2 nội xạ.
ii) Với mọi môđun con N của M sao cho N ∩ M1 = 0 thì tồn tại M ⊆ M
sao cho M = M1 ⊕ M và N ⊆ M .
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh i) suy ra ii). Xét phép chiếu pi : M −→

Mi ; i = 1, 2.

19

Giả sử N ⊆ M sao cho N ∩ M1 = 0, do M1 là M2 nội xạ nên ta có sơ đồ sau:
α

N BB

BB
BB
β BB!

M1

/M
2
|

f

Trong đó α = p2 |N và β = p1 |N . Ta có Ker(α) = Ker(p2 )∩N = M1 ∩N = 0,
suy ra dòng là khớp.
Vì M1 là M2 nội xạ nên tồn tại f : M2 −→ M sao cho f ◦ α = β .
Đặt M = {f (m) + m|m ∈ M2 }, khi đó hiển nhiên ta có:

M ⊆ M và N ⊆ M , M = M1 ⊕ M .
Xét m ∈ M , ta có m = m1 + m2 .
Do m2 ∈ M2 suy ra tồn tại m = f (m2 ) + m2 ∈ M .

⇒ m2 = m − f (m2 )
⇒ m = (m1 − f (m2 )) + m = m1 + m .

(Vì f (m2 ) ⊆ M1 nên m1 − f (m2 ) = m1 ⊆ M1 ).
Điều này chứng tỏ rằng M = M1 + M

(∗)

Xét m ∈ M1 ∩ M ⇒ ∃n : m = f (n) + n (Với n ∈ M1 ; n ∈ M2 )

⇒ m − f (n) = n ∈ M1 ∩ M2
⇒n=0⇒m=0

(∗∗)

Từ (∗) và (∗∗) ta có M = M1 ⊕ M . Ta có ii).
Bây giờ ta chứng minh ii) ⇒ i).
Giả sử N ⊆ M , N ∩ M1 = 0, M ⊆ M ,M = M1 ⊕ M , N ⊆ M .
Chọn L ⊆ M2 ; g : L → M1 .
Đặt H = {−g(x) + x|x ∈ L, khi đó rõ ràng H ⊆ M và H ∩ M1 = 0.
(Vì nếu m1 = x − g(x) ∈ M1 ∩ H , với x ∈ L thì x ∈ M1 ∩ L ⇒ x = 0 ⇒

m1 = 0).
Suy ra tồn tại H ⊆ M sao cho H ⊕ M1 = M ; H ⊃ H .
Lấy p : H ⊕ M1 −→ M1 là ánh xạ chiếu, khi đó p|M2 : M2 −→ M1 .
Với mọi x ∈ L ta có: p(x) = p(g(x) + (−g(x) + x)) = g(x).


20

Điều này chứng tỏ rằng M1 là M2 nội xạ.

2.2.4 Định lí. Giả sử M = M1 ⊕ M2 ⊕ ... ⊕ Mn là tổng trực tiếp các môđun

nội xạ.
Khi đó M là (1 − C1 ) - môđun nếu và chỉ nếu Mi là (1 − C1 ) - môđun với

1 ≤ i ≤ n.
Chứng minh. Chúng ta dễ nhận thấy điều kiện cần là hiển nhiên vì mỗi hạng
tử trực tiếp của (1 − C1 ) - môđun là (1 − C1 ) - môđun (theo hệ quả 2.1.9).
Điều kiện đủ: Ta giả sử các Mi là (1 − C1 ) - môđun (1 ≤ i ≤ n), ta chứng
minh M là (1 − C1 ) - môđun bằng quy nạp theo n.
Muốn vậy ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp n = 2, nghĩa là M =

M1 ⊕ M2 .
Giả sử K là môđun đóng đều của M sao cho M = M1 ⊕ M với K ⊆ M .
Khi đó ta có ngay M ∼
= M2 , mà M là (1 − C1 ) - môđun, K là môđun con
đóng đều của M . Do đó K là hạng tử trực tiếp của M . Vậy K là hạng tử
trực tiếp của M .
Mặt khác, nếu H là môđun con đóng đều của M với H ∩ M2 = 0 thì H là
hạng tử trực tiếp của M . Theo Hệ quả 2.1.14 ta có M là (1−C1 ) - môđun.


21

CHƯƠNG 3

TỔNG TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN ĐỀU

Trong chương này chúng tôi tiếp nối nghiên cứu tính chất CS cho các
môđun con đều hay các (1 − C1 )- môđun.

3.1

Môđun chứa môđun con đều

Như đã định nghĩa trong chương 2, một môđun M được gọi là CS - môđun
nếu mọi môđun con đóng của nó là hạng tử trực tiếp.
Một môđun được gọi là (1 − C1 ) - môđun nếu mọi môđun con đóng đều của
nó là hạng tử trực tiếp. Chúng ta có sơ đồ sau: M là nội xạ ⇒ M là tựa
nội xạ ⇒ M là liên tục ⇒ M là tựa liên tục ⇒ M là CS - môđun ⇒ M là

(1 − C1 ) - môđun. Nhưng chiều ngược lại chưa hẳn đúng (xem ví dụ 2.2.3),
điều này chứng tỏ rằng lớp (1−C1 )-môđun là lớp mở rộng của các lớp môđun
trên. Vậy với điều kiện gì để chiều ngược lại của sơ đồ là đúng?
Đã có nhiều kết quả nghiên cứu về vấn đề này và có một câu hỏi hết sức
tự nhiên được đặt ra đó là:
n

"Cho M = ⊕ Mi là tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều sao cho
i=1

Mi ⊕ Mj là liên tục (tương ứng là tựa liên tục, CS, (1 − C1 )), với mọi
1 ≤ i ≤ j ≤ n. Vậy M có phải là liên tục (tựa liên tục, CS, (1 − C1 )) hay
không?".
Tính chất liên tục và tựa liên tục đã được A.Harmanci và P.F Smith chứng
minh rằng mệnh đề trên có tính hai chiều (1992). Còn trước đó, năm 1988
M.A Kamal và B.J Muller đã chứng minh cho tính chất CS, tuy nhiên nó chỉ


22

đúng trên miền giao hoán cho các môđun không xoắn rút gọn. Riêng đối với

tính chất (1 − C1 )-môđun hai ông đã đưa ra điều kiện End(Mi ) là vành địa
phương và chỉ chứng minh Mi ⊕ Mj là CS - môđun thì M là (1 − C1 )-môđun
trên các vành Noether còn trên các vành hoàn chỉnh tổng quát chưa có câu
trả lời cụ thể.
3.1.1 Bổ đề. Giả sử M = ⊕ Mi là tổng trực tiếp các môđun đều Mi

(i ∈ I),

i∈I

khi đó mỗi môđun con khác 0 của M đều chứa một môđun con đều.
Chứng minh. Giả sử A là một môđun con khác 0 bất kỳ của M . Khi đó tồn
tại tập con J tối đại của I với tính chất

A ∩ M (J) = 0
(ở đây ta hiểu M (J) = ⊕ Mi . Chúng ta xét k ∈ I \ J và giả sử
i∈J

πk : Mk ⊕ M (J) → Mk
là phép chiếu tự nhiên. Gọi Ak = A ∩ (Mk ⊕ M (J)). Bởi tính tối đại của J ,

Ak = 0. Bởi vì Ak ∩ M (J) = 0, nên chúng ta có
Ak ∼
= πk (Ak ) ⊆ Mk .
Vì Mk là đều nên Ak đều. Vậy A chứa môđun con đều Ak = 0.

3.1.2 Hệ quả. Giả sử M = ⊕ Mi với Mi là các môđun con đều của M ,
i∈I

∀i ∈ I . Nếu M là (1 − C1 )-môđun thì mỗi môđun con đóng khác không của

M chứa một môđun con đều là hạng tử trực tiếp của M .
Chứng minh. Giả sử A là môđun con đóng khác không của M .
Theo bổ đề trên ta có A chứa môđun con đều khác không U . Gọi V là bao
đóng của U trong A (V là bao đóng của U nghĩa là U ✂ V và V đóng).
Chú ý rằng bao đóng V luôn tồn tại vì V chính là hợp tất cả các mở rộng
cốt yếu của U . Khi đó ta có V đóng trong A, A đóng trong M nên ta có V
đóng trong M .


23

Vậy V là môđun con đóng đều của M . Mặt khác ta lại có M là (1 − C1 )môđun.

⇒ V ⊂⊕ M.
Điều này chứng tỏ rằng A chứa một môđun con đều là hạng tử trực tiếp của

M.
3.1.3 Mệnh đề. Giả sử M là môđun khác không sao cho mọi môđun con
khác không chứa môđun con đều. Khi đó M chứa môđun con cốt yếu N sao
cho N là tổng trực tiếp các môđun con đều.
Chứng minh. Giả sử S = {Uλ /λ ∈ ∧} là tập tất cả các tập khác rỗng các
môđun con của M , với điều kiện Uλ đều và

Uλ là tổng trực tiếp.
λ∈∧

Theo bổ đề Zooc, S có phần tử tối đại {Vα /α ∈ A}, trong đó Vα là đều
với mọi α ∈ A. Gọi V = ⊕ Vα , giả sử K là một môđun con khác không của
α∈A

M , theo giả thiết thì K chứa một môđun con đều U.
Do tính tối đại của {Vα /α ∈ A}, V ∩ U = 0 nên V ∩ K = 0. Điều đó
chứng tỏ V là môđun con cốt yếu của M .
3.1.4 Bổ đề. Nếu M là môđun khác không, không chứa một tổng trực tiếp
vô hạn các môđun con khác không. Khi đó M chứa một môđun con đều.
Chứng minh. Giả sử nếu M không chứa một môđun con đều nào. Trước hết
do M không phải là môđun đều, thế thì tồn tại các môđun con khác không
là K1 , L1 của M sao cho K1 ∩ L1 = 0.
Bây giờ, nếu L1 không đều, tồn tại các môđun con K2 , L2 của L1 sao cho

K2 ∩ L2 = 0. Nếu L2 không đều, lập luận tương tự trên, ta sẽ được một tổng
vô hạn: K1 ⊕ K2 ... các môđun con khác không. Điều đó mâu thuẫn với giả
thiết. Vậy M chứa môđun con đều.


24

3.2

Tổng trực tiếp các môđun đều
n

3.2.1 Bổ đề. Giả sử M = ⊕ Mi với Mi là các môđun đều (1 ≤ i ≤ n). Khi
i=1

đó một môđun con A của M là đều và đóng trong M nếu và chỉ nếu:
n

A = {

φi (b)/b ∈ B ⊂ Mk } với k nào đó thuộc {1, ..., n} và φi :

i=1

B → Mi là đồng cấu (1 ≤ i ≤ n) sao cho φk (b) = b với mọi b ∈ B và φi là
không mở rộng được đồng thời (có nghĩa là nếu ψi : Bi → Mi là mở rộng của
n

φi , B ⊂ Bi ⊂ Mk với 1 ≤ i ≤ n thì B =

Bi .
i=1

Chứng minh. Giả sử A là môđun con đóng đều của M , πi là các phép chiếu
từ M lên Mi (1 ≤ i ≤ n).
Giả sử A ∩ Kerπi = 0 với mọi i ∈ {1, ..., n}.
n

Đặt 0 = Ai = A∩Kerπi . Xét X = ∩ Ai , do A là môđun con đều nên X = 0,
i=1

tức là tồn tại phần tử x ∈ X, x = 0.
Suy ra x ∈ Ai với mọi i ∈ {1, ..., n}, x không có thành phần phụ thuộc Ai ,

∀i ∈ {1, ..., n}, tức là x = 0. Vậy ∃k ∈ {1, ..., n} để A ∩ Kerπk = 0.
Khi đó πk /A là đơn cấu. Với mỗi i ∈ {1, ..., n} thì φi = πi (πk /A )−1 là đồng
cấu từ πk (A) vào Mi .
Ta có: φk (b) = πk πk −1 (b) = πk πk−1 (πk (a)) = πk (a) = b với b ∈ πk (A).
n

Ta cần chứng minh A = {

φi (x)/x ∈ πk (A)}.
i=1

n

Lấy a ∈ A, a =

ai (ai ∈ Mi , 1 ≤ i ≤ n), ak = πk (a) ∈ πk (A).
i=1

Vì φi (ak ) = φi (πk (a)) = πi πk−1 πk (a) = πi (a) = ai .
n

Suy ra

n

ai = a ∈ A.

φi (x) =
i=1

n

i=1

n

φi (x) ∈ {

Ngược lại lấy

i=1

φi (x)/x ∈ πk (A)}, x ∈ πk (A).

i=1

⇒ x = πk (a) với a ∈ A, φi (x) = πi πk−1 (x) = πi πk−1 πk (a) = πi (a) = ai
n

⇒

n

φi (x) =
i=1

ai = a ∈ A.
i=1

Giả sử ψi : Bi → Mi là mở rộng của φi , trong đó πk (A) ⊆ Bi ⊆ Mk ,


25

1 ≤ i ≤ n.
n

Xét A = {

n

n

i=1

i=1

ψi (y)/y ∈ ∩ Bi }, do
i=1

ψi (y) là tổng hữu hạn nên A xác

định và A ⊆ M . Vì Mk là môđun đều nên πk (A) ✂ Mk

⇒ πk (A) ✂ Bi , ∀i ∈ {1, .., n}.

n

n

Từ đó suy ra πk (A) ✂ ∩ Bi . Lấy 0 = m ∈ A , m =

n

ψi (y) với y ∈ ∩ Bi

i=1

i=1

n

i=1

(m = 0 nên y = 0). Do πk (A) ✂ ∩ Bi
i=1

⇒ 0 = yr ∈ yR ∩ πk (A), với r ∈ R.
n

mr = r

n

ψi (y) =
i=1

n

ψi (yr) =
i=1

φi (yr) ∈ A. Và do φk (yr) = yr = 0 nên
i=1

mr = 0 ⇒ mR ∩ A = 0 với mọi 0 = m ∈ A . Tức là A ✂ A ⊂ M .

n

Do A đóng trong M nên A = A . Vậy ∩ Bi = πk (A).
i=1

n

Ngược lại, giả sử X = {

fi (b)/ b ∈ B ⊆ Mk },

i=1

trong đó fi : B → Mi là không mở rộng đồng thời được, i ∈ {1, .., n} và

fk (b) = b, ∀b ∈ B .
Khi đó rõ ràng X ∼
= B và do B ⊆ Mk nên X là môđun đều. Ta chứng
minh X đóng trong M .
Giả sử X ✂ X ∗ ⊆ M , ta có X ∩ Kerπk = 0, vì nếu x ∈ X ∩ Kerπk ,
n

fi (b) với b ∈ B ⊆ Mk và thành phần thứ k của x là b ∈ Mk , do đó

x=

i=1

b = 0.

n

Khi đó x =

n

fi (b) =
i=1

fi (0) = 0 và do đó X ∗ ∩ Kerπk = 0.

i=1

B = πk (X) ⊆ πk (X ∗ ) ⊆ Mk .
Xét gi = πi (πk /X ∗ )−1 : πk (X ∗ ) → Mi thì gi là mở rộng của fi với mọi

i ∈ {1, .., n}. Vì với b ∈ B = πk (X) nên
n

b = πk (x) = πk (

fi (b))
i=1

do đó gi (b) = πi πk −1 (b) = πi πk −1 πk (

n

n

fi (b)) = πi (

i=1

fi (b)) = fi (b).

i=1

Theo giả thiết thì B = πk (X ∗ ), tức là πk (X) = πk (X ∗ ). Ta có πk /X ∗ là