Về một số định lý điểm bất động cho ánh xạ co kiểu tích phân trong không gian METRIC nón

1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1

4

Không gian metric nón và tích phân trên nón

1.1. Nón trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Không gian metric nón

6

1.3. Tích phân trên nón

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Các định lý điểm bất động đối với ánh xạ co kiểu tích phân
trong không gian metric nón

18

2.1. Định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co kiểu tích phân trong
không gian metric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co kiểu tích phân suy
rộng trong không gian metric nón
Kết luận

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Tài liệu tham khảo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31


2

MỞ ĐẦU

Năm 2007, Huang Long-Guang và Zhang Xian (xem [6]) đã đưa ra khái
niệm không gian metric nón bằng cách thay tập số thực trong định nghĩa
metric bởi một nón định hướng trong không gian định chuẩn. Trong tài liệu
[6], các tác giả đã xây dựng các khái niệm về hội tụ của dãy, tính đầy đủ
của không gian, định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co,... và thu được

những kết quả sâu sắc trên lớp không gian này. Người ta đã thấy được một
số ứng dụng của lớp không gian metric nón trong giải tích phi tuyến, tối ưu
vectơ,... Các vấn đề về tôpô trong không gian metric nón đã bắt đầu được
nghiên cứu ở mức độ khởi đầu. Hiện nay, nghiên cứu cấu trúc của không
gian metric nón đang thu hút sự quan tâm của một số nhà toán học trong
và ngoài nước.
Từ khi ra đời khái niệm không gian metric nón, một trong số các bài
toán được quan tâm hàng đầu của những người làm việc trong lĩnh vực
này là nghiên cứu định lý điểm bất động đối với các kiểu ánh xạ co trên
không gian metric nón. Xuất phát từ loại ánh xạ co kiểu tích phân được
đề xuất bởi Brianciari năm 2002 (xem [3]) đối với không gian metric, F.
Khojasteh, Z. Goodarzi và A. Razani (2010) đã xây dựng khái niệm tích
phân trên nón và thiết lập các định lý điểm bất động cho các ánh xạ co
trên không gian metric nón (xem [7]). Các vấn đề trên là khá mới mẻ và
đang được sự tiếp tục nghiên cứu của một số nhà toán học. Với mục đích
là tìm hiểu về không gian metric nón, các định lý điểm bất động cho ánh
xạ co kiểu tích phân trên không gian metric nón và các ứng dụng, chúng
tôi lựa chọn đề tài sau cho luận văn của mình là
Về các định lý điểm bất động đối với ánh xạ co kiểu tích phân
trên không gian metric nón.


3

Ngoài phần Mục lục, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn
được trình bày trong 2 chương.
Chương 1. Không gian metric nón và tích phân trên nón.
Chương 2. Định lý điểm bất động cho ánh xạ co kiểu tích phân trên không
gian metric nón.
Các kết quả chính của luận vặn được công bố trong tài liệu [5].

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo, TS. Kiều Phương Chi. Tác giả xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy. Nhân dịp này, tác giả xin
chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa
Toán. Tác giả xin được cảm ơn các thầy, cô giáo trong Khoa toán đã nhiệt
tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng
xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp
Cao học 16 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt
quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những
hạn chế, thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của các thầy, cô giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn.

Vinh, tháng 12 năm 2010

Trần Thị Thanh Vân


4

CHƯƠNG 1
KHÔNG GIAN METRIC NÓN VÀ TÍCH PHÂN TRÊN NÓN

Chương này trình bày các khái niệm nón trong không gian định chuẩn,
không gian metric nón các tính chất về dãy hội tụ trong không gian metric
nón. Trình bày cách xây dựng tích phân trên nón, ví dụ về tích phân trên
nón và một số tính chất của hàm khả tích nón.
1.1. Nón trong không gian định chuẩn
Ta bắt đầu từ giới thiệu các vấn đề cơ bản về nón trên không gian định
chuẩn. Những vấn đề sâu sắc hơn về nón trong không gian định chuẩn

chúng ta có thể tìm hiểu trong [2].
1.1.1 Định nghĩa. Cho E là một không gian định chuẩn trên trường K
(K = R, C). Tập con P của E được gọi là một nón trong E nếu thoả mãn
các điều kiện sau:
a) P là đóng, khác rỗng và P = {0};
b) Với mọi x, y thuộc P và a, b thuộc R, a, b

0 thì ax + by thuộc P ;

c) Nếu x thuộc P và −x thuộc P thì x = 0.
1.1.2 Ví dụ. 1) Không gian R với chuẩn thông thường. Khi đó P = {x ∈
R:x

0} là một nón trong R.

2) Trong không gian định chuẩn R2 , tập P = {(x, y) ∈ R2 : x, y

0} là

một nón.
3) Xét không gian định chuẩn C[a,b] với chuẩn f = maxx∈[a,b] |f (x)|.
Khi đó
P = {f ∈ C[a,b] : f (x)

0, ∀x ∈ [a, b]}


5

là một nón trong C[a,b] .

Cho P là một nón trong không gian định chuẩn E. Khi đó trên E xét
quan hệ thứ tự ”

” xác định bởi P như sau: x

thuộc P . Chúng ta quy ước x < y nếu x

y nếu và chỉ nếu y − x

y, x = y, và x

y nếu y − x

thuộc intP với intP là phần trong của P .
1.1.3 Định nghĩa. Cho P là một nón trong không gian định chuẩn E.
1) P được gọi chuẩn tắc nếu tồn tại K > 0 sao cho với mọi x, y thuộc
E, từ 0

x

y kéo theo x

K y . Số dương K nhỏ nhất thoả mãn

điều kiện trên được gọi là hằng số chuẩn tắc của P .
2) P được gọi là chính quy nếu mọi dãy tăng và bị chặn trên trong E
đều hội tụ (một cách tương đương là mọi dãy giảm và bị chặn dưới trong
E đều hội tụ).
Định lý sau nêu lên mối quan hệ giữa nón chuẩn tắc và nón chính quy.
1.1.4 Định lý. Mọi nón chính quy là chuẩn tắc.

Chứng minh. Giả sử P là nón chính quy nhưng P không chuẩn tắc. Khi
1 ta chọn được tn , sn thuộc P sao cho tn − sn thuộc P và
sn
tn
và xn =
. Ta có
< sn . Với mỗi n 1, đặt yn =
tn
tn

đó, với mỗi n
n2 tn

xn , yn , yn − xn ∈ P, yn = 1 và n2
với mọi n

1. Vì chuỗi

∞
n=1

yn
=
n2

∞
n=1

xn ,

1
hội tụ nên chuỗi
n2

hội tụ trong E. Do P đóng suy ra tồn tại y thuộc P sao cho
Bây giờ, vì xn

yn và cách xác định của chuỗi trên suy ra
0

x1

x1 +

Vì P là chính quy nên chuỗi

x2
22

x1 +

x2 x3
+
22 32

...

xn
hội tụ. Suy ra
n2

xn
lim
= 0.
n→∞ n2
∞
n=1

Do đó, ta nhận được sự mâu thuẫn với n2

xn .

y.

∞
n=1

∞
n=1

yn
n2

yn
= y.
n2


6

Ví dụ sau cho thấy mệnh đề ngược lại của định lý trên nói chung không

đúng.
1.1.5 Ví dụ. Xét E = C[0,1] với chuẩn ” max ” và nón P = {f ∈ E : f
Khi đó P là nón chuẩn tắc. Thật vậy, giả sử f, g thuộc E và 0
Khi đó 0

f (x)

0}.

f

g.

g(x), với mọi x thuộc [0, 1]. Suy ra

f = max |f (x)| = max f (x)
x∈[0,1]

max g(x) = max |g(x)| = g .

x∈[0,1]

x∈[0,1]

x∈[0,1]

Vậy P là nón chuẩn tắc.
Xét dãy {fn } trong E xác định như sau fn (x) = xn với mọi x thuộc
[0, 1]. Khi đó
0

...

xn

...

x2

x, với mọi x thuộc [0, 1].

Suy ra dãy {fn } giảm và bị chặn dưới. Tuy nhiên dãy này không hội tụ
trong E. Vậy nón P không chính quy.
Mệnh đề sau trình bày một tính chất của hằng số chuẩn tắc của nón.
1.1.6 Mệnh đề. Nếu K là hằng số chuẩn tắc của nón P thì K

1.

Chứng minh. Giả sử K < 1 là hằng số chuẩn tắc của nón P . Ta chọn x
thuộc P sao cho x = 0 và 0 < ε < 1 − K. Khi đó (1 − ε)x

x và

(1 − ε) x > K x .
Mâu thuẫn với K là hằng số chuẩn tắc.
1.2. Không gian metric nón
Trong cả mục này, ta luôn xét P là một nón trong không gian định chuẩn
E sao cho intP = ∅ và quan hệ thứ tự ”

” trên E xác định bởi P .

1.2.1 Định nghĩa. Cho X là một tập khác rỗng. ánh xạ d : X × X → E
được gọi là một metric nón nếu thoả mãn các điều kiện sau:
1) 0

d(x, y) với mọi x, y thuộc X; d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;


7

2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y thuộc X;
3) d(x, y)

d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z thuộc X.

Khi đó (X, d) được gọi là không gian metric nón.
Không gian metric nón là sự tổng quát của không gian metric. Trong
định nghĩa trên, nếu ta chọn E = R, nón P = {x ∈ R : x

0} thì không

gian metric nón ta nhận được là không gian metric thông thường. Sau đây
là một số ví dụ chứng tỏ lớp không gian metric nón là mở rộng thực sự của
lớp không gian metric.
1.2.2 Ví dụ. 1) Cho E = R2 và P = {(x, y) ∈ R2 : x, y

0}. Xét X = R

và ánh xạ d : X × X → E xác định bởi
d(x, y) = α|x − y|, β|x − y| , với mọi x, y thuộc X,

trong đó α, β là các số thực dương cho trước. Khi đó, dễ dàng kiểm tra
được (X, d) là không gian metric nón.
2) Cho E = l1 và P = {x = {xn } ∈ l1 : xn

0, ∀n}. Nếu (X, ρ) là một

không gian metric thì d : X × X → l1 cho bởi
d(x, y) = {

ρ(x, y) ∞
}n=1 , với mọi x, y thuộc X,
2n

xác định một metric nón trên l1 . Vậy (X, d) là một không gian metric nón.
Sau đây chúng ta trình bày các vấn đề về sự hội tụ của dãy trong không
gian metric nón.
1.2.3 Định nghĩa. Cho (X, d) là một không gian metric nón, {xn } là một
dãy trong X và x thuộc X. Dãy {xn } được gọi là hội tụ tới x nếu với mọi
c thuộc E thoả mãn 0

c, tồn tại số tự nhiên N sao cho
d(xn , x)

c, với mọi n > N.

Khi đó x được gọi là giới hạn của dãy {xn } và ta ký hiệu lim xn = x hoặc
n→∞

xn → x(n → ∞).

8

Định lý sau khẳng định sự duy nhất của giới hạn của dãy trong không
gian metric nón. Trong [6] các kết quả chỉ phát biểu và chứng minh cho
nón chuẩn tắc. Sau đây chúng tôi phát biểu và chứng minh cho nón tuỳ ý.
1.2.4 Định lý. ([6]) Cho (X, d) là không gian metric nón. Nếu dãy {xn }
trong X hội tụ tới cả x và y thì x = y.
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh khẳng định sau: nếu p thuộc P và
p

ε với mọi ε thuộc P thì p = 0. Thật vậy, cố định c thuộc P với 0
c.
c
c
Khi đó, từ giả thiết suy ra p
với mọi số nguyên dương m. Do đó −p
m
m
c
thuộc P với mọi m. Vì − p hội tụ tới −p trong E và P là đóng nên −p
m
thuộc P . Suy ra p = 0. Khẳng định được chứng minh.
Bây giờ, với mọi 0

c thuộc E từ giả thiết {xn } hội tụ tới x và y suy

ra tồn tại các số tự nhiên N1 , N2 sao cho
d(xn , x)

c
, với mọi n > N1 ,
2

và

c
, với mọi n > N2 .
2
c
c
Suy ra − d(xn , x) thuộc int P và − d(xn , y) thuộc int P , với mọi n >
2
2
N = max{N1 , N2 }. Từ int P + int P là tập con của int P với mọi nón P ,
d(xn , y)

suy ra
c
c
− d(xn , x) + − d(xn , y) = c − (d(xn , x) + d(xn , y)) ∈ int P,
2
2
với mọi n > N . Ta nhận được
d(x, y)

d(xn , x) + d(xn , y)

c, với mọi n > N.

Từ khẳng định trên suy ra d(x, y) = 0, tức là x = y.
Ta đã biết đối với không gian metric (X, ρ) thì dãy {xn } trong X hội tụ
tới x thuộc X khi và chỉ khi ρ(xn , x) → 0. Mệnh đề sau đây trình bày một
tính chất tương tự cho không gian metric nón.


9

1.2.5 Mệnh đề. Cho (X, d) là không gian metric nón, P là nón chuẩn tắc
và {xn } là một dãy trong X. Khi đó, {xn } hội tụ tới x thuộc X khi và chỉ
khi d(xn , x) → 0 trong E.
Chứng minh. Giả sử {xn } là một dãy trong X và xn → x thuộc X. Gọi K
là hằng số chuẩn tắc của P . Với mọi ε > 0, chọn c thuộc E sao cho 0

c

và K c < ε. Khi đó, từ xn → x thuộc X suy ra tồn tại số tự nhiên N sao
cho
d(xn , x)

c, với mọi n > N.

Vì nón P là chuẩn tắc với hằng số K nên
d(xn , x)

K c < ε, với mọi n > N.

Vậy d(xn , x) → 0 trong E.
Ngược lại, giả sử d(xn , x) → 0 trong E. Ta có, với mọi 0

c thuộc E,

tồn tại δ > 0 sao cho nếu x < δ thì c − x thuộc int P (do int P là tập
mở). Với δ > 0 xác định như trên, tồn tại số tự nhiên N sao cho
d(xn , x) < δ, với mọi n > N.
Suy ra c − d(xn , x) thuộc int P . Ta nhận được d(xn , x)

c với mọi n > N ,

tức là xn → x, (n → ∞).
Mệnh đề sau nêu lên mối quan hệ giữa tính hội tụ của dãy và các dãy
con của nó. Dễ dàng ta chứng minh được nó.
1.2.6 Mệnh đề. Cho (X, d) là không gian metric nón. Nếu dãy {xn } trong
X hội tụ tới x thuộc X thì mọi dãy con của {xn } cũng hội tụ tới x.
Mệnh đề sau nói lên tính liên tục của ánh xạ metric nón.
1.2.7 Mệnh đề. Cho (X, d) là không gian metric nón, P là nón chuẩn tắc
và {xn }, {yn } là các dãy trong X. Nếu xn → x và yn → y thì
d(xn , yn ) → d(x, y), (n → ∞).


10

Chứng minh. Với mỗi ε > 0, chọn c thuộc E sao cho
0

c và c <

ε
.
4K + 2

Từ xn → x và yn → y, tồn tại số tự nhiên N sao cho
d(xn , x)

c và d(yn , y)

c, với mọi n > N.

Chúng ta có
d(xn , yn )

d(xn , x) + d(x, y) + d(y, yn )

d(x, y) + 2c, với mọi n > N,

và
d(x, y)

d(xn , x) + d(xn , yn ) + d(y, yn )

d(xn , yn ) + 2c.

Suy ra
0

d(x, y) + 2c − d(xn , yn )

4c.

Từ tính chuẩn tắc của nón và bất đẳng thức trên ta nhận được

d(xn , yn ) − d(x, y)

d(x, y) + 2c − d(xn , yn ) + 2c

(K + 2) c < ε,

với mọi n > N . Bất đẳng thức trên chứng tỏ d(xn , yn ) → d(x, y).
Bây giờ ta trình bày định nghĩa khái niệm dãy Cauchy trong không gian
metric nón.
1.2.8 Định nghĩa. Cho (X, d) là không gian metric nón. Dãy {xn } trong
X được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi 0

c thuộc E, tồn tại số tự nhiên

N sao cho
d(xm , xn )

c, với mọi m, n > N.

1.2.9 Mệnh đề. Cho (X, d) là không gian metric nón, P là nón chuẩn tắc
và {xn } là một dãy trong X. Khi đó, {xn } là dãy Cauchy khi và chỉ khi
d(xn , xm ) → 0 trong E, (m, n → ∞).
Chứng minh. Giả sử {xn } là dãy Cauchy trong X. Gọi K là hằng số chuẩn
tắc của P . Với mọi ε > 0, chọn c thuộc E sao cho 0

c và K c < ε. Khi

đó, từ {xn } là dãy Cauchy, tồn tại số tự nhiên N sao cho
d(xn , xm )

c, với mọi n, m > N.


11

Vì nón P là chuẩn tắc với hằng số K nên
d(xn , xm )

K c < ε, với mọi m, n > N.

Vậy d(xn , xm ) → 0 trong E.
Ngược lại, giả sử d(xn , xm ) → 0 trong E. Ta có, với mọi 0

c thuộc E,

tồn tại δ > 0 sao cho nếu x < δ thì c − x thuộc int P (do int P là tập
mở). Với δ > 0 xác định như trên tồn tại N sao cho
d(xn , xm ) < δ, với mọi n, m > N.
Suy ra c − d(xn , xm ) thuộc int P . Ta nhận được d(xn , xm )

c với mọi

n, m > N , tức là {xn } là dãy Cauchy.
1.2.10 Mệnh đề. Nếu {xn } là dãy hội tụ trong (X, d) thì nó là dãy Cauchy.
Chứng minh. Giả sử xn hội tụ tới x thuộc X. Khi đó, với mọi 0

c thuộc

E, tồn tại số tự nhiên N sao cho
d(xn , x)

c
, với mọi n > N.
2

Vì vậy, với mọi m, n > N ta có
d(xm , xn )

d(xn , x) + d(xm , x)

c c
+ = c.
2 2

Ta thu được {xn } là dãy Cauchy.
1.2.11 Định nghĩa. Không gian metric nón (X, d) được gọi là đầy đủ nếu
mọi dãy Cauchy đều hội tụ.
1.2.12 Ví dụ. Cho E = R2 và P = {(x, y) ∈ R2 : x, y

0}. Xét X = R

và ánh xạ d : X × X → E xác định bởi
d(x, y) = α|x − y|, β|x − y| , với mọi x, y ∈ X,
trong đó α, β là các số thực dương cho trước. Khi đó, dễ dàng kiểm tra
được (X, d) là không gian metric nón đầy đủ.


12

Các định nghĩa sau là sự tương tự như trong không gian metric.

1.2.13 Định nghĩa. Cho X, Y là các không gian metric nón. Cho T là
một ánh xạ từ X vào Y .
1) Nếu với mọi dãy {xn }n∈N trong X,
lim xn = x kéo theo lim T xn = T x,

n→∞

n→∞

thì T được gọi là liên tục trên X.
2) T được gọi là hội tụ dãy nếu với mọi dãy {xn } trong X sao cho {T xn }
hội tụ thì dãy {xn } hội tụ.
3) T được gọi là liên tục ngược tại x ∈ X nếu với mọi dãy {xn } trong
X sao cho T xn → T x thì xn → x.
Rõ ràng, nếu T : X → Y có ánh xạ ngược T −1 liên tục tại y = T x thì
T liên tục ngược tại x.
1.3. Tích phân trên nón
Giả sử P là nón chuẩn tắc trong không gian định chuẩn E. Cho a, b thuộc
E sao cho a < b. Đặt
[a, b] := {x ∈ E : x = tb + (1 − t)a, t ∈ [0, 1] ⊂ R};
[a, b) := {x ∈ E : x = tb + (1 − t)a, t ∈ [0, 1) ⊂ R}.
1.3.1 Định nghĩa. ([7]) Tập {a = x0 , x1 , ..., xn = b} được gọi là một phân
hoạch của [a, b], nếu và chỉ nếu tập {[xi−1 , xi )}ni=1 từng đôi một rời nhau
và [a, b] = (

n
i=1 [xi−1 , xi )) ∪ {b}.

Với mỗi phân hoạch Q của [a, b] và với mỗi hàm tăng φ : [a, b] → P , ta
định nghĩa tổng tích phân nón dưới và tổng tích phân nón trên tương ứng

như sau

n

LCon
n (φ, Q)

φ(xi ) xi − xi+1 ,

=
i=0
n

UnCon (φ, Q) =

φ(xi+1 ) xi − xi+1 .
i=0


13

1.3.2 Định nghĩa. ([7]) Giả sử P là nón chuẩn tắc trong E, ánh xạ φ :
[a, b] → P được gọi là khả tích trên [a, b] đối với nón P , (hoặc nói một
cách đơn giản là hàm khả tích nón), nếu và chỉ nếu với mọi phân hoạch Q
của [a, b]
Con
S Con := lim LCon
n (φ, Q) = lim Un (φ, Q),
n→∞

n→∞

trong đó S Con là giá trị duy nhất. Ta kí hiệu giá trị S Con bởi

b

φ dp.
a

Ta kí hiệu tập tất cả các hàm khả tích nón φ : [a, b] → P bởi L1 (E, P ),
với mọi [a, b] là tập con của E . Mệnh đề sau sẽ đưa ra một số tính chất cơ
bản của hàm khả tích nón.
1.3.3 Mệnh đề. ([7]) Giả sử P là nón chuẩn tắc trong E. Khi đó
b

1) Nếu [a, b] là tập con của [a, c] thì

c

f dp
a

f dp, với mọi f thuộc
a

L1 (E, P ).
b

b

(αf + βg) dp = α

2)
a

b

g dp , với mọi f, g thuộc L1 (E, P ),

f dp + β
a

a

với mọi α, β thuộc R.
Chứng minh. 1) Cho P và R tương ứng là các phân hoạch của đoạn [a, b] và [b, c].
Giả sử
P = {a = x0 , x1 , ..., xn = b} và R = {b = xn , xn+1 , ..., xm−1 , xm = c},
thì Q = P ∪ R là một phân hoạch của đoạn [a, c]. Vì vậy, với mọi f thuộc
L1 (E, P ), ta có
n−1

LCon
n (f, P)

f (xi ) xi − xi+1

=
i=0
n−1

m−1

f (xi ) xi − xi+1 +
=
=

i=0
i=n
Con
Con
Ln (f, P) + Ln (f, R)
LCon
n (f, Q).

f (xi ) xi − xi+1


14

Do đó lim LCon
n (f, P)
n→∞

lim LCon
n (f, Q), hay

n→∞

b

c

f dp

f dp.

a

a

2) Giả sử P là một phân hoạch của [a, b], tức là P = {a = x0 , x1 , ..., xn =
b}. Khi đó, với mọi f, g thuộc L1 (E, P ), với mọi α, β thuộc R, ta có
n−1

LCon
n (αf

+ βg, P) =

αf (xi ) + βg(xi ) xi − xi+1
i=0
n−1

f (xi ) xi − xi+1 + β

=α
=

n−1

g(xi ) xi − xi+1

i=0
i=0
Con
Con
αLn (f, P) + βLn (g, P).

Do f, g khả tích trên [a, b], nên
Con
lim LCon
n (f, P) = lim Un (f, P) = A, và

n→∞

n→∞

Con
lim LCon
n (g, P) = lim Un (g, P) = B.

n→∞

n→∞

Suy ra
lim LCon
n (αf + βg, P) = αA + βB.

n→∞

Tương tự
lim UnCon (αf + βg, P) = αA + βB.

n→∞
b

(αf + βg) dp , và

Vậy tồn tại
a

b

b

(αf + βg) dp = α
a

b

f dp + β
a

g dp.
a

1.3.4 Bổ đề. Cho φ thuộc L1 (E, P ). Khi đó, với mỗi a thuộc P , ta có
2a

a

φ dp
0

2

φ dp.
0


15

Chứng minh. Cho P = {a = x0 , x1 , ..., x2n = 2a} là một phân hoạch của
[0, 2a] sao cho xi = ni a, với i = 0, 1, 2, ..., 2n.Ta có
2n−1

LCon
2n (φ, P)

φ(xi ) xi − xi+1

=
i=0
n−1

=
i=0

xi − xi+1
+
φ(xi )
n

2n−1

φ(xi )
i=n

xi − xi+1
.
n

Từ giả thiết φ là hàm tăng, ta có
n−1

LCon
2n (φ, P)

2

φ(xi )
i=0

a
.
n

(1.1)

Mặt khác, do φ là hàm khả tích nón nên
2a

φ dp = lim LCon
2n (φ, P),
n→∞

0

và

a

n−1

φ(xi )

φ dp = lim

n→∞

0

i=0

a
.
n

Từ đó, kết hợp với (1.1) suy ra
2a

a

φ dp

2

0

φ dp.
0

1.3.5 Định nghĩa. Hàm φ : P → E được gọi là khả tích nón cộng tính
dưới nếu
a+b

a

φ dp +

φ dp
0

b

0

φ dp, với mọi a, b thuộc P.

0

1.3.6 Chú ý. Dễ dàng thấy rằng, nếu φ là một hàm khả tích nón cộng tính
dưới thì

2a

a

φ dp
0

2

φ dp.
0


16

Kết hợp với Bổ đề 1.3.4, nếu φ là hàm khả tích nón cộng tính dưới, ta có
2a

a

φ dp = 2
0

φ dp.
0

Ví dụ sau đây ta sẽ chỉ ra sự tồn tại tích phân trên nón.
1.3.7 Ví dụ. ([7]) Cho E = R2 , P = {(x, y) ∈ R2 | ∀x, y

0}, X = R và

d : X × X → E thỏa mãn
d(x, y) = (|x − y|, α|x − y|),
trong đó α > 0 là hằng số. Giả sử φ : [(0, 0), (a, b)] → P được xác định bởi
φ(x, y) = φ1 (x), φ2 (x) , trong đó φ1 , φ2 : [0, ∞) → [0, ∞) là các hàm khả
tích Riemann. Khi đó
(a,b)

a

a2 + b 2

φ dp =

b

1
φ1 (t)dt ,
b

1
a
0

(0,0)

φ2 (t)dt .

(1.2)

0

Chứng minh. Cho P = {(xi , yi )}ni=0 là một phân hoạch của tập [(0, 0), (a, b)]
sao cho xi =

a
n

i và yi =

b
n

i, với mọi i = 0, 1, ..., n. Khi đó, từ tính khả

tích Riemann của φ1 , φ2 trên [0, +∞) ta có:
(a,b)

φ dp = lim LCon
n (φ, P)
n→∞

(0,0)
n−1

φ(xi , yi ) (xi+1 , yi+1 ) − (xi , yi )

= lim

n→∞

i=0
n−1

= lim

n→∞

φ1
i=0

b
a
i , φ2 i
n
n
n−1

=

=

a2

+ b2

a2 + b 2

lim

n→∞

i=0

1
lim
n→∞ n

a b
,
n n

1
a
b
φ1 i , φ2 i
n
n
n

n−1
i=0

a
1

φ1 i , lim
n n→∞ n

n−1

φ2
i=0

b
i
n

.


17

Suy ra
(a,b)

a2

φ dp =

+ b2

a
1
lim
a n→∞ n

(0,0)

n−1
i=0

a 1
b
φ1 i , lim
n b n→∞ n

a

a2 + b 2

=

1
a

n−1

φ2
i=0

b

1
φ1 (t)dt,
b

0

φ2 (t)dt .
0

Ta nhận được
(a,b)

φ dp =
(0,0)

a

a2 + b 2

1
a

b

1
φ1 (t)dt,
b
0

φ2 (t)dt .
0

b
i

n


18

CHƯƠNG 2
CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO
KIỂU TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN

Chương này trình bày một số định lý điểm bất động đối với các ánh xạ
co kiểu tích phân trong không gian metric nón và đưa ra định lý điểm bất
động đối với ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân trong không gian metric
nón.
2.1. Định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co kiểu tích phân
trong không gian metric nón
Mục này trình bày định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co kiểu
tích phân trên không gian metric nón do F.Khojasteh, Z. Goodarzi và A.
Razani (2010) đề xuất. Đây là tương tự một kết quả A.Branciari [3] trên
không gian metric.
2.1.1 Định lý. ([7]) Cho P là một nón chuẩn tắc và (X, d) là một không
gian metric nón đầy đủ. Giả sử φ : P → P là một ánh xạ khác không và
khả tích nón cộng tính dưới trên mỗi tập con [a, b] của P sao cho với mỗi
ε

ε

0,

φdp

0 và ánh xạ θ(t) =

0

t
0 φdp ,

(t

0) có ánh xạ ngược liên

tục. Nếu f : X → X là ánh xạ sao cho với mỗi x, y thuộc X
d(f (x),f (y))

d(x,y)

φ dp
0

φ dp,

α

(2.1)

0

với α thuộc (0, 1), thì f có một điểm bất động duy nhất trong X.
Chứng minh. Lấy x0 thuộc P . Đặt xn+1 = f (xn ), với mọi n = 1, 2, ... Ta

19

có

d(xn+1 ,xn )

d(f (xn ),f (xn−1 ))

φ dp =

φ dp

0

0
d(xn ,xn−1 )

α

φ dp.
0

Suy ra
d(xn+1 ,xn )

φ dp
0

α

d(xn−1 ,xn−2 )

2

φ dp
0

..
.
α

d(x2 ,x1 )

n−1

φ dp.
0

Vì α thuộc (0, 1) nên
d(xn+1 ,xn )

lim

φ dp = 0.

n→∞ 0

Từ θ(t) =

t
0 φdp , (t

(2.2)

0) có ánh xạ ngược liên tục và
d(xn+1 ,xn )

φ dp = 0,

lim

n→∞ 0

suy ra
lim d(xn+1 , xn ) = 0.

n→∞

Bây giờ, ta sẽ chứng minh {xn } là dãy Cauchy. Ta cần chỉ ra rằng
lim d f (xm ), f (xn ) = 0.

(2.3)

m,n→∞

Thật vậy, theo bất đẳng thức tam giác ta có
d(f (xm ),f (xn ))

d(f (xn ),f (xn+1 ))+d(f (xn+1 ),f (xn+2 ))+...+d(f (xm−1 ),f (xm ))

φdp
0

φdp .
0

Vì vậy từ tính cộng tính dưới của φ suy ra
d(f (xm ),f (xn ))

d(f (xn ),f (xn+1 ))

φ dp
0

d(f (xm−1 ),f (xm ))

φ dp + . . . +
0

φ dp
0
d(x2 ,x1 )

(αn + αn+1 + . . . + αm−1 )

φ dp
0

αn

1−α

d(x2 ,x1 )

φ dp → 0 khi n → ∞.
0


20
d(f (xm ),f (xn ))
φ dp
0

Ta nhận được
(t

→ 0 khi m, n → ∞. Vì θ(t) =

0) có ánh xạ ngược liên tục nên

d(f (xm ),f (xn ))
0

t
0 φdp ,

→ 0 khi m, n → ∞. Từ

cách xác định của dãy {xn } suy ra nó là dãy Cauchy. Vì X là không gian
metric đầy đủ nên {xn }n∈N hội tụ đến a thuộc X. Lại do

d(xn+1 ,f (a))

d(f (xn ),f (a))

φ dp =
0

d(xn ,a)

φ dp

α

0

φ dp.
0

Vì vậy lim d xn+1 , f (a) = 0. Điều này có nghĩa là f (a) = a, hay a là
n→∞

điểm bất động của hàm f .
Giả sử, x = y là hai điểm bất động của f . Khi đó
d(x,y)

0

d f (x),f (y)

φ dp =

d(x,y)

φ dp

0

α

0

φ dp.
0

Vì α thuộc (0, 1) nên ta nhận được sự mâu thuẫn với giả thiết: nếu ε

0

ε

φdp

thì

0. Vậy f có một điểm bất động duy nhất a thuộc X.

0

2.1.2 Ví dụ. ([7]) Cho X = { n1 : n ∈ N} ∪ {0}, E = R2 và P = {(x, y) ∈
E:x

0, y

0}. Giả sử d : X × X → E thỏa mãn
d(x, y) = (|x − y|, α|x − y|) với hằng số α

0.

Thế thì (X, d) là không gian metric nón đầy đủ. Cho f : X → X và
φ : P → E, tương ứng được xác định bởi
f (x) =

1
n+1

0

1

φ(t, s) =

nếu x = n1 , n ∈ N,
nếu x = 0.

1

t t−2 (1 − ln t), s s−2 (1 − ln s)
(0, 0)

Ta sẽ chỉ ra

nếu (t, s) ∈ P \{(0, 0)},
nếu (t, s) = (0, 0).

d(f x,f y)

1 d(x,y)
φ dp.
2
0
0
Thật vậy, để chứng minh bất đẳng thức (2.4), xét trường hợp x =
φ dp

1
m,

với m > n. Khi đó
m−n
α(m − n)
,
,
(m + 1)(n + 1) (m + 1)(n + 1)
m − n α(m − n)
d(x, y) =
,
.
mn
mn

d(f x, f y) =

(2.4)
1
n

và y =


21
1

Giả sử φ1 (t) = φ2 (t) = t t−2 (1 − lnt), ∀t > 0 và φ1 (0) = φ2 (0) = 0 . Vậy
φ(t, s) = (φ1 (t), φ2 (t)).
Từ Ví dụ 1.3.7, ta có
α(m−n)
m−n
( (m+1)(n+1)
, (m+1)(n+1)
)

d(f x,f y)

φ dp =

(φ1 , φ2 ) dp

0

(0,0)

m−n
=
(m + 1)(n + 1)

(m + 1)(n + 1)
m−n

1 + α2

(m + 1)(n + 1)
α(m − n)
m−n
(m+1)(n+1)

1 + α2

=

0
τ
0

Lại do

1
φ1 (t)dt,
α

1

m−n
(m+1)(n+1)

φ1 (t) dt,
0

(2.5)

α(m−n)
(m+1)(n+1)

φ2 (t) dt
0

α(m−n)
(m+1)(n+1)

φ2 (t)dt .
0

1

t t−2 (1 − lnt)dt = τ τ , nên
m−n
(m+1)(n+1)

0
α(m−n)
(m+1)(n+1)

φ1 (t) dt =
φ2 (t) dt =

0

m−n
(m+1)(n+1)
α(m−n)
(m+1)(n+1)

(n+1)(m+1)
m−n
(n+1)(m+1)
α(m−n)

(2.6)
.

Kết hợp (2.5), (2.6) ta có
d(f x,f y)

1 + α2

φ dp =
0

m−n
(m + 1)(n + 1)
1

α(m − n)
α (m + 1)(n + 1)

(n+1)(m+1)
m−n

,

(n+1)(m+1)
α(m−n)

(2.7)
.

Mặt khác, Branciari trong [3] đã chỉ ra rằng
m−n
(m + 1)(n + 1)

(n+1)(m+1)
m−n

1 m−n
2 mn

nm
m−n

, ∀m, n ∈ N.

Do đó

m−n
(m + 1)(n + 1)

(n+1)(m+1)
m−n

1
2

(n+1)(m+1)
1
α(m − n)
α(m−n)
,
α (m + 1)(n + 1)
nm
nm
m − n m−n
1 α(m − n) α(m−n)
,
.
mn
α
mn

(2.8)


22

Kết hợp (2.7) và (2.8), ta có
d(f x,f y)

1
2

φ dp
0

m−n
mn

1 + α2

nm
m−n

,

1 α(m − n)
α
mn

nm
α(m−n)

d(x,y)

1
=

2

φ dp,
0

hay
1 d(x,y)
φ dp.
φ dp
2 0
0
Trường hợp x = 0, y = n1 , với mọi n thuộc N. Khi đó
α
1
d(f x, f y) =
,
,
n+1 n+1
1 α
d(x, y) =
,
.
n n
1
, với m > n, ta có
Tương tự như trường hợp x = n1 và y = m
d(f x,f y)

1
α

( n+1
, n+1
)

d(f x,f y)

φ dp =

(φ1 , φ2 ) dp

0

1
=
n+1

(0,0)

1 + α2

1
n+1

(n + 1)
0

1
n+1

n+1

φ1 (t) dt,
α
α

α
n+1

φ2 (t) dt
0

1 n+1
=
1 + α2
φ1 (t)dt,
φ2 (t)dt
α
0
0
(n+1) 1
1
α n+1
α
2
1+α
,
=
.
n+1
α n+1
Mặt khác, theo Branciari trong [3], ta có

n+1
1
1 1 n
, ∀n ∈ N.
n+1
2 n
Do đó
d(f x,f y)
1
1 n 1 α αn
φ dp
1 + α2
,
2
n
α n
0
d(x,y)
1
=
φ dp,
2 0
hay
d(f x,f y)
1 d(x,y)
φ dp
φ dp.
2 0
0
Vậy, theo Định lý 2.1.1, f có điểm bất động duy nhất và điểm bất động là

x = 0.


23

2.2. Định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co kiểu tích phân
suy rộng trong không gian metric nón
Mục này đưa ra một định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co kiểu
tích phân suy rộng trên không gian metric nón. Đây là sự mở rộng thực
sự kết quả của F.Khojasteh, Z. Goodarzi và A. Razani đã trình bày trong
mục trước.
2.2.1 Định lý. Cho P là một nón chuẩn tắc và (X, d) là không gian metric
nón đầy đủ . Cho T : X → X là một đơn ánh, liên tục và hội tụ dãy. Giả
sử rằng φ : P → P là một ánh xạ khác không, khả tích nón cộng tính dưới
trên mỗi tập con [a, b] của P sao cho với mỗi 0
xạ θ(t) =

t
0 φdp ,

r, 0

r
0 φ dp

và ánh

0 liên tục ngược tại 0. Nếu f : X → X là một ánh

t

xạ sao cho với mỗi x, y thuộc X
d(T f x,T f y)

d(T x,T y)

φ dp

q

φ dp,

0

(2.9)

0

với q thuộc (0, 1) thì f có duy nhất điểm bất động trong X.
Chứng minh. Lấy cố định x0 thuộc P và ta định nghĩa dãy xn = f xn−1 với
mỗi n = 1, 2, . . .. Đặt yn = T xn , với mỗi n = 1, 2, . . .. Ta sẽ chỉ ra {yn } là
một dãy Cauchy. Để làm điều này, đầu tiên ta chứng minh d(yn , yn+1 ) →
0 khi n → ∞. Thật vậy, ta có
d(yn ,yn+1 )

d(T xn ,T xn+1 )

φ dp =

φ dp

0
d(T f xn−1 ,T f xn )

0

φ dp

=
0
d(T xn−1 ,T xn )

q

φ dp
0
d(yn−1 ,yn )

=q

φ dp
0

..
.
q

d(y0 ,y1 )

n

φ dp, với mọi n
0

1.


24

hay
d(yn+1 ,yn )

φ dp

q

d(y1 ,y0 )

n

φ dp, với mọi n

0

1.

0

Vì q thuộc (0, 1), nên ta có
d(yn+1 ,yn )

φ dp → 0 khi n → ∞.

(2.10)

0

Từ tính liên tục ngược tại 0 của ánh xạ θ(t) =

t
0 φdp

suy ra

d(yn+1 , yn ) → 0 khi n → ∞.
Bây giờ, ta sẽ chứng minh d(ym , yn ) → 0 khi m, n → ∞. Với mỗi n

m,

từ bất đẳng thức tam giác ta có
d(ym ,yn )

d(ym ,ym+1 )+d(ym+1 ,ym+2 )+...+d(yn−1 ,yn )

φ dp

φdp.

0

0

Kết hợp từ tính cộng tính dưới của φ, ta có
d(ym ,yn )

d(ym ,ym+1 )

φ dp

d(yn−1 ,yn )

φ dp + . . . +

0

φ dp

0

0

m

q +q

m+1

+ ... + q

d(y0 ,y1 )

n−1

φ dp
0

qm
1−q
Suy ra
ánh xạ

d(ym ,yn )
φ dp →
0
t
θ(t) = 0 φdp ta

d(y0 ,y1 )

φ dp → 0 khi m → ∞.
0

0 khi n, m → ∞. Từ tính liên tục ngược tại 0 của
có
lim d(ym , yn ) = 0,

m,n→∞

hay {yn } là dãy Cauchy. Vì X là không gian metric nón đầy đủ, nên {yn } =
{T xn } hội tụ đến y thuộc X. Theo giả thiết, T hội tụ dãy nên {xn } hội tụ
đến x thuộc X. Vì tính liên tục của T nên T x = y. áp dụng (2.9), ta có

d(T xn+1 ,T f x)

0

d(T f xn ),T f x)

φ dp =
0

d(T xn ,T x)

φ dp
0

φ dp → 0.

q
0


25

Vậy yn+1 = T xn+1 → T f x khi n → ∞ . Suy ra T f x = T x . Do T là đơn
ánh nên f x = x. Ta sẽ chứng minh x là điểm bất động duy nhất của f .
Giả sử f có hai điểm bất động x, y thuộc X, x = y . Khi đó
d(T x,T y)

0<

d(T f x,T f y)

φ dp =
0

d(T x,T y)

φ dp

q

0

φ dp.
0

Ta nhận được mâu thuẫn vì q thuộc (0, 1). Định lý đã được chứng minh.

áp dụng Định lý 2.2.1 cho T x = x với mọi x thuộc X ta được một sự
mở rộng của Định lý 2.1.1.
2.2.2 Hệ quả. ( [7]) Cho P là nón chuẩn tắc và (X, d) là không gian metric
nón đầy đủ. Giả sử φ : P → P là một ánh xạ khác không, khả tích nón cộng
ε

tính dưới trên mỗi tập con [a, b] của P sao cho với mỗi ε
và ánh xạ θ(t) =

t
0 φdp , t

0,

φdp

0

0

0 liên tục ngược tại 0. Nếu f : X → X là ánh

xạ sao cho với mỗi x, y thuộc X
d(f x,f y)

d(x,y)

φ dp
0

α

φ dp,

(2.11)

0

với α thuộc (0, 1), thì f có một điểm bất động duy nhất trong X.
Ví dụ sau đây chỉ ra rằng, Định lý 2.2.1 là mở rộng thực sự của Hệ quả
2.2.2. Nó được xây dựng bởi các ý tưởng từ [7] và [9].
2.2.3 Ví dụ. Cho X = { n1 : n ∈ N} ∪ {0}, E = R2 và P = {(x, y) ∈ E :
x

0, y

0}. Giả sử d : X × X → E xác định bởi
d(x, y) = (|x − y|, |x − y|).

Thế thì (X, d) là không gian metric nón đầy đủ. Cho f : X → X, được xác
định bởi

 1
 n+3
fx = 0
 1
n−1

nếu x = n1 , n lẻ
nếu x = 0
nếu x = n1 , n chẵn.