Về một số lớp vành thoả nãm điều kiện chuỗi đối với linh hoá tử

1

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học vinh

==== o0o ====

ngô văn nghĩa

Về một số lớp vành thỏa mãn
điều kiện chuỗi đối với linh hóa tử
Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số : 60.46.05

luận văn thạc sĩ toán học

Cán bộ hớng dẫn khoa học
TS. chu trọng thanh

Vinh 2009


2

mở đầu
Trong nghiên cứu vành các điều kiện chuỗi đóng vai trò nh một công cụ
thông dụng và hữu ích. Có nhiều lớp vành đã đợc nghiên cứu nhờ sử dụng các điều
kiện chuỗi trên các môđun con.
Trong chơng trình học tập ở bậc Sau đại học chuyên ngành Đại số Lý
thuyết số các chuyên đề Lý thuyết vành và Lý thuyết môđun đã gợi mở một số vấn
đề về các cấu trúc đại số này. Qua việc nghiên cứu các tài liệu tham khảo, chúng

tôi đợc biết gần đây có nhiều ngời đang nghiên cứu một số lớp vành thỏa mãn các
điều kiện chuỗi đối với các linh hóa tử. Với sự mong muốn đợc tiếp tục học tập,
tích lũy thêm kiến thức và rèn luyện khả năng tự học, làm quen với nguồn t liệu về
lĩnh vực lý thuyết vành và môđun, chúng tôi chọn đề tài luận văn là: Về một số
lớp vành thỏa mãn điều kiện chuỗi đối với linh hóa tử.
Luận văn này chủ yếu nhằm tìm hiểu các kiến thức thuộc lĩnh vực đã chọn,
hệ thống hóa các kiến thức tìm hiểu đợc, sắp xếp lại thành một tài liệu chuyên đề
có tính hệ thống. Đây là công việc không dễ dàng đối với tác giả. Vì rằng các kiến
thức liên quan với nhau trên một diện rộng lớn. Nhiều chứng minh của các kết quả
các tác giả đã sử dụng nhiều t liệu trên các tạp chí mà tác giả không có điều kiện
tìm đọc đợc. Vì vậy không tránh khỏi những chỗ việc trình bày, hệ thống hóa cha
đợc thực sự rõ ràng.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận văn đợc
chia thành 2 chơng:
Chơng 1. Trình bày các khái niệm và tính chất về iđêan và vành, linh hoá tử
của một tập hợp trong một vành, môđun con cốt yếu, môđun con suy biến, môđun
nội xạ, các điều kiện chuỗi và các kiến thức liên quan.
Chơng 2. Tập trung tìm hiểu một số lớp vành sau: Vành nửa nguyên tố với
điều kiện chuỗi, vành Goldie nửa nguyên tố, vành hữu hạn trực giao và đếm đợc
các linh hóa tử phải.


3

Luận văn hoàn thành tại trờng Đại học Vinh vào tháng 12 năm 2009. Nhờ sự
hớng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của thầy giáo TS. Chu Trọng Thanh. Nhân dịp
này tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và và sự biết ơn sâu sắc tới thầy, ngời
đã tận tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin gửi tới
các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số, khoa Toán, khoa Đào tạo sau đại học- trờng
Đại học Vinh lời cảm ơn chân thành.Tác giả xin cảm ơn trờng THPT Bắc Quỳnh

Lu đã tạo mọi điều kiện để tác giả đợc theo học chơng trình đào tạo sau đại học.
Xin cảm ơn bạn bè và ngời thân đã động viên, khích lệ tác giả hoàn thành chơng
trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dầu đã rất cố gắng trong quá trình nghiên cứu, tham khảo các tài liệu cũng
nh tiếp thu các ý kiến đóng góp nhng luận văn khó tránh khỏi những hạn chế, thiếu
sót. Kính mong tiếp tục nhận đợc các ý kiến đóng góp của các quý thầy, cô và các
bạn.
Vinh, tháng 12 năm 2009

Ngô Văn Nghĩa


4

chơng 1
các kiến thức chuẩn bị
Việc nghiên cứu tính chất của vành có thể xuất phát từ chính những điều
đã biết hay đợc thừa nhận đã có (tức là tiên đề) trong vành đó, cũng có thể
xuất phát từ những điều đã biết hay những điều kiện giả thiết là đã có trên các
môđun thuộc một lớp môđun trên vành đó đợc chọn trớc. Những tính chất ban
đầu về vành và môđun này đóng vai trò công cụ để chúng ta tìm hiểu về vành.
Vì vậy trong chơng này chúng tôi trình bày những khái niệm cơ sở về vành và
môđun cùng với những tính chất về các đối tợng này. Những kiến thức cơ sở
chúng tôi hệ thống hóa, sắp xếp lại ở đây chủ yếu dựa theo những tài liệu
tham khảo đợc liệt kê ở cuối luận văn. Chúng ta bắt đầu với các kiến thức cơ
sở về vành.
1.1. một số kiến thức cơ sở về vành
Trong luận văn này mọi vành nói đến đều đợc giả thiết là vành kết hợp.
Đối với mỗi vành R cho trớc phần tử đơn vị nếu có luôn đợc kí hiệu là 1.
1.1.1. Một số khái niệm về iđêan và vành

Định nghĩa 1. Giả sử R là một vành cho trớc và I là một iđêan của R.
Iđêan I đợc gọi là iđêan nguyên tố (prime) nếu với mọi iđêan A, B của
vành R sao cho AB I luôn suy ra A I hoặc B I .
Iđêan I của vành R đợc gọi là iđêan hoàn toàn nguyên tố (completely prime)
nếu với mọi phần tử a, b của vành R mà ab I suy ra a I hoặc b I .


5

Iđêan I của vành R đợc gọi là iđêan nửa nguyên tố (semiprime) nếu I là
giao của một họ nào đó các iđêan nguyên tố.
Vành R đợc gọi là vành nguyên tố nếu iđêan 0 của R là iđêan nguyên tố.
Vành R đợc gọi là vành nửa nguyên tố nếu iđêan 0 của R là iđêan nửa nguyên tố.
Đối với các vành giao hoán hai khái niệm iđêan nguyên tố và iđêan hoàn
toàn nguyên tố trùng nhau. Trong phần sau của mục này chúng tôi dẫn ra một
chứng minh khẳng định rằng trong vành bất kì mọi iđêan hoàn toàn nguyên tố
đều là iđêan nguyên tố nhng chiều ngợc lại không đúng.
Định nghĩa 2. Iđêan M của vành R đợc gọi là iđêan tối đại (maximal) nếu R
chứa thực sự M và M không bị chứa thc sự trong một iđêan nào khác của R .
Iđêan I 0 của vành R đợc gọi là iđêan tối tiểu (minimal) nếu I không
chứa thực sự một iđêan nào của R.
Chúng tôi nhắc các khái niệm về tổng, tích của hai tập hợp A và B khác
rỗng của vành R nh sau:
A + B = {a + b| a A, b B};
AB = {ni=1 aibi, n N}.
Tổng của hai tập hợp xác định nh trên là hoàn toàn tự nhiên và đơn giản
nhng tích của hai tập hợp thì có phần phức tạp hơn. Rõ ràng tích AB chứa mọi
phần tử dạng tích ab, với a A, b B. Ngoài các phần tử này ra AB còn chứa
tổng của một số hữu hạn những tích các phần tử nh vậy. Khái niệm tích các iđêan
và lũy thừa của một iđêan đợc nói đến trong các phần sau đây đợc hiểu theo

nghĩa tích các tập hợp trong một vành xác định trên đây. Mệnh đề sau đây cho
thấy mối quan hệ giữa khái niệm iđêan nguyên tố và iđêan tối đại trong một vành
có đơn vị.
Mệnh đề 1. Trong vành có đơn vị mọi iđêan tối đại đều nguyên tố.
Chứng minh. Giả sử M là tối đại trong vành có đơn vị R , A, B là các
iđêan của R sao cho AB M , A M ta chứng minh B M .


6

Giả sử ngợc lại B M . Vì M là iđêan tối đại của R và A M nên ta có A
+ M = R. Tơng tự cũng có B + M = R. Theo giả thiết, vành R có đơn vị nên R.R
= R. Vì vậy ta có: R = ( A + M ) ( B + M ) = AB + AM + BM + M = AB + M . Từ
giả thiết AB M và M bị chứa thực sự trong R, đẳng thức AB + M = R
không thể xẩy ra. Vì vậy ta phải có B M.
Mệnh đề sau đây cho những dấu hiệu nhận biết một iđêan là iđêan
nguyên tố trong một vành có đơn vị.
Mệnh đề 2. Giả sử P là một iđêan trong vành có đơn vị R. Khi đó các phát
biểu sau là tơng đơng:
(a) P là iđêan nguyên tố;
(b) Với mọi iđêan trái I , J của R sao cho I J P , suy ra I P hoặc J P
;
(c) Mọi x, y R sao cho xRy P thì x P hoặc y P .
Trong (b) có thể thay iđêan trái bởi iđêan phải.
Chứng minh. Trớc hết ta chứng minh ( a ) ( b ) . Giả sử có (a) và I , J là
iđêan trái của R sao cho I J P . Khi đó IR, JR là các iđêan của R . Từ giả
thiết IJ P, ta có IR.JR = IJR P . Do P là iđêan nguyên tố, ta có IR P
hoặc JR P . Vì R có đơn vị nên I IR và J JR. Vì vậy ta có I P hoặc J
P, tức là (b) đúng.
Ta chứng minh ( b ) ( c ) . Giả sử có (b) và x, y R sao cho xRy P .

Khi đó do R là vành có đơn vị nên Rx, Ry là các iđêan trái của R và

( Rx ) ( Ry ) = R ( xRy ) P. Điều này suy ra Rx

P hoặc Ry P. Vì x Rx và

y Ry nên từ Rx P hoặc Ry P ta có x P hoặc y P .
Ta chứng minh ( c ) ( a ) . Giả sử (c) đúng và I , J là iđêan của R sao
cho với I P, J P ta chứng minh IJ P . Vì I P nên tồn tại x I \ P.


7

Vì J P nên tồn tại yJ \ P. Khi đó theo (c) ta có xRy P . Vì x I nên
xR I, vì yJ nên xRy IJ. Do xRy IJ và xRy P nên ta có IJ P.
Vậy P nguyên tố.
Mệnh đề 3.

( a ) Trong mọi vành iđêan hoàn toàn nguyên tố là iđêan nguyên tố.
( b ) Trong vành giao hoán mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan hoàn toàn nguyên
tố.
Chứng minh. (a) Giả sử P là iđêan hoàn toàn nguyên tố và I , J là iđêan
của R sao cho IJ P, I P, ta chứng minh J P . Từ I P ta suy ra tồn tại
phần tử x I \ P. Vì IJ P và xI nên xJ P. Do đó với mọi yJ ta có
xy P . Do P là iđêan hoàn toàn nguyên tố của R nên ta có x P hoặc y P .
Vì x P nên ta có y P. Vì vậy mọi phần tử của J đều thuộc P nên J P.
(b) Giả sử R là vành giao hoán, ta chứng minh mọi iđêan nguyên tố cũng
là iđêan hoàn toàn nguyên tố. Thật vậy, giả sử P là iđêan nguyên tố và x, y là
các phần tử thuộc R sao cho xy P ta chứng minh xP hoặc yP. Vì xy P
nên xyR P . Do R là vành giao hoán nên xyR = xRy xRy P . Do P là

iđêan nguyên tố nên suy ra x P hoặc y P .
Vậy P là iđêan hoàn toàn nguyên tố.
Định nghĩa 3. Iđêan nguyên tố P đợc gọi là iđêan nguyên tố tối tiểu nếu P
không chứa thực sự iđêan nguyên tố nào.
Mệnh đề 4. Mọi iđêan nguyên tố của vành R chứa một iđêan nguyên tố tối tiểu.
Chứng minh. Giả sử P là iđêan nguyên tố của vành R. Xét họ F là tất cả
các iđêan nguyên tố chứa trong P . Khi đó P F nên F . Giả sử J F là
một tập sắp thứ tự tuyến tính theo quan hệ bao hàm. Lấy Q là giao của tất cả


8

các phần tử thuộc J. Khi đó Q P . Ta chứng minh Q là iđêan nguyên tố. Với
mọi x, y R sao cho xRy Q ta chứng minh x Q hoặc y Q .
Giả sử x Q ta chứng minh y Q . Vì x Q nên tồn tại P J sao cho
xP. Khi đó xP, với mọi P P.
Với mọi P J sao cho P P ' thì do tính sắp thứ tự của J ta có P ' P .
Từ xRy Q P ' xRy P ' x P ' hoặc y P ' . Vì x P ' y P ' . Vì
P' P y P .
Mặt khác xRy Q xRy P" , P" J và P" P '
Vậy y A, A J y Q hay Q là nguyên tố
Vì Q là giao của tất cả các iđêan thuộc J nên Q bé nhất trong J theo
quan hệ bao hàm. Theo Bổ Zorn sắp ngợc F có phần tử tối tiểu. Vậy P chứa
iđêan nguyên tố tối tiểu.
Mệnh đề sau đây cho ta một cách xây dựng các iđêan nguyên tố trong
một vành dựa vào các tập hợp khép kín đối với phép nhân.
Mệnh đề 5. Giả sử R là một vành, X là tập hợp con của R sao cho X khép kín
với phép nhân, X không chứa phần tử 0. Giả sử P là iđêan của R tối đại trong các
iđêan của R có giao với X bằng rỗng. Khi đó P là iđêan nguyên tố.
Chứng minh: Ta chứng minh R P là vành nguyên tố, giả sử

I=I

'

P

,J =J

'

'
'
R
P là các iđêan của vành P ( I , J là các iđêan của R chứa P

) với IJ = 0 R P ta chứng minh I ' = P hoặc J ' = P . Giả sử I ' , J ' là các iđêan
của R chứa thực sự P . Do tính tối đại của P (với tính chất không giao với X )
ta có
I ' X , J ' X x I ' X , y J ' X


9

' '
' '
' '
' '
khi đó xy X , xy I J I J X I J P, I J R P là nguyên

tố. Suy ra P là nguyên tố.

Mệnh đề 6. Iđêan P của vành R là nguyên tố khi và chỉ khi R P là vành
nguyên tố.
Chứng minh. ( ) . Giả sử P là iđêan nguyên tố, giả sử I , J là iđêan của
R . Sao cho IJ = 0 ; 0 R
P
P Ta cần chứng minh: I = 0 hoặc J = 0
I là iđêan của R P nghĩa là tồn tại I ' là iđêan của R sao cho I '
'

chứa P và I = I P .
J là iđêan của R P nghĩa là tồn tại J ' là iđêan của R sao cho J '
'

chứa P và J = J P .
' '
IJ = 0 ; 0 R P I J P , Do P là nguyên tố, Suy ra I ' P hoặc

J' P.
'

'

Vì I ' P, J ' P I ' = P hoặc J ' = P . Hay I = I P , J = J P I = 0
hoặc J = 0 trong R P Vậy R P là vành nguyên tố.
Nếu P là iđêan của R sao cho R P nguyên tố. Ta có 0 là iđêan nguyên
tố trong R P mà 0 = R P
A, B là các iđêan của R và AB P ,


( A + P)

Khi đó

P

,

( A + P)

( B + P)
P

.

P

( B + P)

là các iđêan của R P
P

=

( AB + AP + PB + P )

P

=0

10

Suy ra A P hoặc B P .
Đối với các iđêan nửa nguyên tố ta cũng có một mệnh đề tơng tự nh
mệnh đề nhận biết iđêan nguyên tố ở trên. Lập luận chứng minh cũng đợc
thực hiện tơng tự.

Mệnh đề 7. Giả sử P là một iđêan trong vành có đơn vị R. Khi đó các phát
biểu sau là tơng đơng:

( a)

P là iđêan nửa nguyên tố

( b)

Với mọi iđêan trái I của R sao cho I2 P suy ra I P .

( c)

Mọi x R sao cho xRx P thì x P .

Trong (b) có thể thay iđêan trái bởi iđêan phải.
Định nghĩa 4. Iđêan I của vành R đợc gọi là iđêan lũy linh (nilpotent) nếu
tồn tại n N sao cho I n = 0 .
Iđêan I của vành R đợc gọi là iđêan linh (nil) nếu mọi phần tử của I
là phần tử lũy linh.
Chú ý rằng mặc dù In chứa tất cả các tích a1 a2 . . . an, ai thuộc I, với mọi i
= 1, 2, . . . , n và tổng hữu hạn của những tích nh vậy. Ta có In = 0 xảy ra khi
và chỉ khi a1a2 . . . an = 0, với mọi ai I. Từ điều này suy ra hệ quả sau.

Hệ quả 8. Nếu I là iđêan lũy linh thì mọi phần tử của I là phần tử lũy linh.
Hệ quả trên đây khẳng định rằng mọi iđêan lũy linh đều là iđêan linh.
Tuy nhiên điều ngợc lại không đúng trong trờng hợp tổng quát: Tồn tại những
vành mà trong đó có những iđêan linh nhng không lũy linh.
1.1.2. Linh hóa tử của các tập hợp trong một vành.
Định nghĩa 5. Cho vành R và A là một tập hợp con của R .


11

Tập hợp l ( A ) = { x R | xa = 0, a A} đợc gọi là linh hóa tử trái của A
trong R .
Tập hợp r ( A ) = { x R | ax = 0, a A} đợc gọi là linh hóa tử phải của A
trong R . Tập hợp An ( A) = l ( A) r ( A ) đợc gọi là linh hóa tử của A trong R .
Nếu A chỉ gồm một phần tử a thì ta dùng kí hiệu l(a), r(a), An(a) để chỉ
l({a}), r({a}) và An({a}), tơng ứng.
Mệnh đề 9. Cho R là một vành và A là tập hợp con của R.

( a)

l ( A ) là iđêan trái của vành R , r ( A ) là

Nếu A khác rỗng thì

iđêan phải của vành R ;

( b)

Nếu A B thì l ( B ) l ( A ) ; r ( B ) r ( A ) ;

( c)

A l ( r ( A) ) ; A r ( l ( A) ) ;

( d)

l r ( l ( A) ) = l ( A) ; r l ( r ( A ) ) = r ( A) ;

(

)

(

)

( e ) Nếu A C ( R ) thì l ( A ) = r ( A ) ;
( f ) Nếu A là iđêan trái của vành R thì l ( A ) là iđêan của vành R ,
Nếu A là iđêan phải của vành R thì r ( A ) là iđêan của vành R ;

( g)

Nếu A là iđêan trái sinh bởi một lũy đẳng e của vành R thì

R = A l ( e) ;

( h)

Nếu A là iđêan của vành R sinh bởi một lũy đẳng trung tâm e thì

R = A An ( e ) .
1.2. MộT Số Kiến thức cơ sở về môđun
Trong mục này chúng tôi hệ thống hóa lại một số kiến thức về môđun
có liên quan đến nội dung các phần sau. Các môđun đợc đề cập đến ở đây đều
đợc giả định là môđun phải trên một vành có đơn vị R.


12

1.2.1. Môđun con cốt yếu của một môđun
Định nghĩa 6. Cho M là một môđun và A là một môđun con của M. Ta nói A
là một môđun con cốt yếu của M nếu với mọi môđun con B 0 của M ta luôn
có A B 0 và kí hiệu là A e M.
Nếu A là môđun con cốt yếu của môđun M thì ta cũng nói M là một mở
rộng cốt yếu của môđun A. Ngời ta thờng xét các mở rộng cốt yếu của một
môđun con A của môđun M trong M. Nếu A không có mở rộng cốt yếu nào
trong môđun M thì ta nói A là một môđun con đóng trong M.
Khi xét vành R nh là môđun trái hay phải trên chính nó, ta có các khái
niệm iđêan trái cốt yếu, iđêan phải cốt yếu. Khái niệm iđêan cốt yếu đợc hiểu
là một iđêan vừa là iđêan phải cốt yếu vừa là iđêan trái cốt yếu.
Các mệnh đề sau đây cho ta một số tính chất của các môđun con cốt yếu.
Mệnh đề 10. Giả sử A B là các môđun con của một môđun M. Khi đó
nếu A e M thì B e M.
Mệnh đề 11. Giao của một họ hữu hạn và tổng của một họ tùy ý những
môđun con cốt yếu của một môđun là một môđun con cốt yếu của môđun đó.
Mệnh đề 12. Giả sử A là một môđun con cốt yếu của một R-môđun phải M
cho trớc và a là một phần tử khác 0 của M. Khi đó tồn tại một iđêan phải cốt
yếu L của R sao cho 0 aL A.
1.2.2. Môđun con suy biến
Định nghĩa 7. Cho vành có đơn vị R và M là một môđun trái trên R. Phần tử

mM đợc gọi là suy biến nếu tồn tại iđêan trái cốt yếu I của R sao cho Im = 0.
Mệnh đề sau đây cho biết cấu trúc của tập hợp các phần tử suy biến
trong một môđun cho trớc.
Mệnh đề 13. Cho môđun M trên vành R. Khi đó tập hợp các phần tử suy
biến của M làm thành một môđun con của M.


13
e
Chứng minh. Ký hiệu Z ( M ) = { x M | I R R : Ix = 0} là tập hợp tất

cả các phần tử suy biến của môđun M. Ta chứng minh Z(M) là một môđun
e
con của M . Thật vậy ta có Z(M) vì ta luôn có R R R và R0 = 0.

Với mọi phần tử x,y Z(M) ta chứng minh x+y Z(M).
Thật vậy, vì x, y Z(M) nên tồn tại hai iđêan trái cốt yếu của R là I và J
sao cho Ix = 0, Jy = 0. Khi đó ta có I J e R R và
(I J)(x +y) = (I J)x + (I J)y Ix + Jx = 0. Vậy x+y Z(M).
Với mọi r R, mọi x Z(M) ta chứng minh rx Z(M). Thật vậy, do x
Z(M) nên tồn tại iđêan trái I của R sao cho Ix = 0. Khi đó nếu r = 0 thì hiển
nhiên rx = 0 Z(M). Nếu r 0 thì tập hợp L = {a R | ar I} làm thành
một iđêan trái cốt yếu của R và Lrx Ix = 0.
Vậy Z(M) là một môđun con của M.
Môđun con Z(M) của môđun M nói trên đợc gọi là môđun con suy biến của M.
Định nghĩa 8. Cho M là một môđun trái trên vành R.
Nếu Z ( M ) = 0 thì ta gọi M là môđun không suy biến.
Nếu Z ( M ) = M thì ta gọi M là môđun suy biến.
Chú ý rằng tồn tại những môđun không là môđun suy biến, cũng không
là môđun không suy biến.

Vì Z(M) là môđun con của M nên ta có môđun thơng M/Z(M). Môđun
con suy biến của môđun M/Z(M) có dạng A/Z(M), trong đó A là một môđun
con của M. Ta gọi A là môđun con suy biến cấp 2 của M và kí hiệu là Z2(M).
Dấu hiệu nhận biết môđun suy biến là:
Môđun M suy biến khi và chỉ khi M A B trong đó B e A .
Từ dấu hiệu này ta suy ra rằng: với môđun M bất kì Z2(M) là một mở
rộng cốt yếu của môđun con suy biến Z(M) của M. Ngời ta cũng chứng minh


14

đợc rằng Z2(M) đóng trong M. Điều này có nghĩa là trong M môđun con
Z2(M) không có mở rộng cốt yếu thực sự nào.
1.2.3. Chiều Goldie của môđun
Định nghĩa 9. Chúng ta nói rằng môđun M có chiều Goldie hữu hạn nếu M
không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không.
Một vành R luôn có thể xét nh một môđun trái hay môđun phải trên
chính nó. Vì vậy ta có thể nói đến chiều Goldie trái hay phải của vành R tùy
thuộc khi xét nó nh là môđun trái hay môđun phải. Một vành Noether phải là
một vành Goldie phải, nhng điều ngợc lại không đúng bởi vì bất kỳ miền
nguyên giao hoán nào cũng một là vành Goldie.
Định nghĩa 10. Một môđun U khác 0 đợc gọi là môđun đều (uniform) nếu bất
kỳ hai môđun con A, B khác 0 của U luôn có A B 0.
Định nghĩa môđun đều trên đây tơng đơng với điều kiện: mọi môđun
con khác 0 của U là cốt yếu trong U. Mệnh đề sau đây cho ta mối liên hệ giữa
chiều Goldie hữu hạn của môđun với sự tồn tại môđun con đều và tổng trực
tiếp các môđun con đều.
Mệnh đề 14. Giả sử M là một R- môđun trái khác không cho trớc.
(a) Nếu M có chiều Goldie hữu hạn thì mỗi môđun con khác 0 của M chứa
một môđun con đều và có một số hữu hạn các môđun con đều của M sao cho

tổng của các môđun con này là tổng trực tiếp và là môđun con cốt yếu của M.
(b) Giả sử rằng M có các môđun con đều U1 ,U 2 ,K ,U n sao cho tổng
U1 + U 2 + L + U n là trực tiếp và là một môđun con cốt yếu của M thế thì M có

chiều Goldie hữu hạn. Số nguyên dơng n là độc lập với sự lựa chọn U i .
Chúng ta gọi n nói trong (b) đợc gọi là chiều Goldie của M và kí hiệu là
GdimM. Chiều Goldie của một môđun M còn đợc gọi là chiều đều hay chiều
uniform của M và còn đợc kí hiệu là UdimM.
1.2.4. Môđun nội xạ


15

Định nghĩa 11. Cho M là một môđun trái trên vành R. M đợc gọi là môđun
nội xạ nếu với mọi môđun A của môđun N, mỗi đồng cấu f: A M luôn mở
rộng đợc thành một đồng cấu môđun từ N vào M.
Có một tiêu chuẩn để nhận biết môđun nội xạ thông qua điều kiện mở
rộng đợc của các đồng cấu môđun từ các iđêan trái của vành cơ sở.
Mệnh đề 15 (Tiêu chuẩn Baer). R-môđun trái M là một môđun nội xạ khi và
chỉ khi với mọi iđêan trái I của R, mỗi đồng cấu (R-môđun trái), f: I M
luôn mở rộng đợc thành một đồng cấu từ R vào M.
Trong mệnh đề trên nếu các môđun đợc xét là môđun phải trên vành R thì
ta phải dùng các iđêan phải để phát biểu tiêu chuẩn nhận biết môđun nội xạ.
Môđun nội xạ còn đợc đặc trng bởi một dấu hiệu sau đây: môđun M là
nội xạ nếu và chỉ nếu hễ M là môđun con của một môđun A nào đó thì M là
một hạng tử trực tiếp của môđun A. Ta kí hiệu điều kiện này là điều kiện (C).
Khái niệm môđun nội xạ đợc nghiên cứu từ thập niên ba mơi của thế kỉ
trớc và đã trở thành công cụ thông dụng trong nghiên cứu vành. Những năm
giữa và cuối thế kỉ XX nhiều nhà nghiên cứu lí thuyết vành đã mở rộng lớp
môđun nội xạ để có các lớp môđun rộng hơn và ứng dụng vào nghiên cứu các

đặc trng cho các lớp vành. Bằng cách xuất phát từ định nghĩa của khái niệm
môđun nội xạ hay từ các điều kiện tơng đơng của định nghĩa môđun nội xạ
mà ta có những lớp môđun mở rộng khác nhau. Sau đây chúng tôi hệ thống
hóa một số lớp môđun đợc mở rộng từ lớp môđun nội xạ. Trớc hết, xuất phát
từ định nghĩa của môđun nội xạ, bằng cách giảm nhẹ điều kiện ta có khái
niệm môđun nội xạ đối với một môđun N cho trớc.
Định nghĩa 12. Cho trớc R-môđun trái N. Một R-môđun trái M đợc gọi là
môđun N-nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N, mỗi đồng cấu f: A M
luôn mở rộng đợc thành một đồng cấu R-môđun từ N vào M.
Nếu môđun M là M-nội xạ thì ta nói M là môđun tựa nội xạ (hay tự nội xạ).


16

Đối với một vành R cho trớc ta luôn có thể xét R nh là một môđun trái
hay phải trên chính nó. Khi đó tùy thuộc vào việc ta xét R nh là môđun trái
hay môđun phải trên chính nó mà có các khái niệm vành tự nội xạ trái hay tự
nội xạ phải. Đối với một vành không giao hoán, thuộc tính tự nội xạ trái và tự
nội xạ phải nói chung là không tơng đơng với nhau.
Bằng cách thay đổi một số yêu cầu trong điều kiện (C) ở trên ta có thể
định nghĩa một vài khái niệm liên quan đến khái niệm môđun nội xạ.
Định nghĩa 13. R-môđun trái M đợc gọi là môđun CS hay môđun Extending nếu
mỗi môđun con của M cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M.
Điều kiện nêu trong định nghĩa môđun CS trên đây còn đợc kí hiệu là
điều kiện C1. Các môđun nội xạ, môđun tựa nội xạ luôn thỏa mãn điều kiện
C1. Do đó lớp môđun CS là một lớp mở rộng thực sự của lớp môđun nội xạ.
Các môđun đều U luôn có tất cả các môđun con khác 0 của nó cốt yếu trong
hạng tử trực tiếp của U (chính là U). Do đó môđun đều cũng là môđun CS.
Trong những năm gần đây lớp môđun CS đợc sử dụng nhiều vào việc mô tả
các đặc trng của các lớp vành.

Định nghĩa 14. Môđun M thỏa mãn điều kiện CS và điều kiện: giao của hai
hạng tử trực tiếp của M cũng là một hạng tử trực tiếp của M đợc gọi là môđun
tựa liên tục.
Điều kiện này thờng đợc kí hiệu là C3.
Lớp môđun tựa liên tục là lớp con của lớp môđun CS và là một lớp
môđun mở rộng thực sự của lớp môđun nội xạ và lớp môđun tựa nội xạ.
Trong định nghĩa trên đây nếu ta thay điều kiện về giao của các hạng tử trực
tiếp bởi một điều kiện chặt hơn sau đây: mỗi môđun con của M đẳng cấu với một
hạng tử trực tiếp của M cũng là một hạng tử trực tiếp của M thì ta có khái niệm
môđun liên tục. Điều kiện nói đến trên đây đợc kí hiệu là điều kiện C2.


17

Lớp môđun liên tục cũng là một lớp môđun mở rộng thực sự của lớp
môđun nội xạ.
Ta cũng có thể mở rộng lớp môđun nội xạ xuất phát từ tiêu chuẩn Baer
nh trong định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 15. Môđun trái M trên vành R đợc gọi là môđun P-nội xạ nếu với
mỗi iđêan trái chính I của vành R, mỗi đồng cấu R- môđun từ I vào M mở rộng
đợc thành đồng cấu R-môđun từ R vào M.
Một vành R là P-nội xạ trái (phải) nếu RR (hay RR) là R-môđun P-nội xạ.
Trong chơng 2 chúng tôi sẽ hệ thống hóa một số đặc trng của vành P-nội xạ trái.
1.2.5. Các điều kiện chuỗi
Cho X là một tập hợp đợc sắp thứ tự bởi quan hệ . Ta gọi một dãy phần
tử a1 a2 a3 . . . an . . . . (1) trong X là một dãy tăng.
Định nghĩa 16. Tập hợp X đợc sắp thứ tự bởi quan hệ đợc gọi là thỏa mãn
điều kiện chuỗi tăng (ascending chain condition), viết tắt là điều kiện ACC,
nếu mọi dãy tăng (1) đều dừng sau một số hữu hạn bớc, tức là tồn tại số
nguyên dơng n sao cho an = an+1 = . . .

Nếu trong dãy (1) ta thay quan hệ bởi quan hệ ngợc của nó thì dãy thu
đợc sẽ đợc gọi là dãy giảm. Tơng ứng với điều kiện mọi dãy tăng dừng sau
một số hữu hạn bớc ta có điều kiện mọi dãy giảm dừng sau một số hữu hạn bớc. Lúc này ta nói tập hợp X thỏa mãn điều kiện chuỗi giảm (descending chain
condition), viết tắt là DCC.
Các điều kiện ACC và DCC đợc gọi chung là điều kiện chuỗi. Các điều
kiện chuỗi lúc đầu đợc phát biểu cho tập hợp đợc sắp thứ tự. Khi áp dụng các
điều kiện chuỗi cho các môđun hay vành trong đó quan hệ thứ tự đợc chọn là
quan hệ bao hàm ta nhận đợc các lớp môđun thỏa mãn điều kiện chuỗi (đối
với quan hệ bao hàm). Ngày nay điều kiện chuỗi đã trở thành một công cụ để


18

mô tả tính chất các vành và môđun. Sau đây chúng tôi nhắc lại một số khái
niệm về môđun và vành với điều kiện chuỗi.
Định nghĩa 17. Môđun M đợc gọi là môđun Noether nếu M thỏa mãn điều
kiện ACC xét với quan hệ bao hàm đối với các môđun con.
Môđun M đợc gọi là môđun Artin nếu M thỏa mãn điều kiện DCC xét
với quan hệ bao hàm đối với các môđun con .
Một vành R đợc gọi là Noether trái hay phải tùy theo môđun RR hay RR là
Noether; R đợc gọi là Artin trái hay phải tùy theo môđun RR hay RR là Artin.
Mệnh đề sau đây cho thấy thuộc tính Noether và Artin của các môđun
bảo toàn qua việc lấy môđun con và môđun thơng.
Mệnh đề 16. Môđun con và môđun thơng của môđun Noether là môđun
Noether. Môđun con và môđun thơng của môđun Artin là môđun Artin.
Có thể sử dụng khái niệm dãy tăng hay giảm và khái niệm môđun con cốt
yếu để mô tả khái niệm môđun có chiều Goldie hữu hạn. Mệnh đề sau đây cho phép
ta rút ra mối liên hệ giữa môđun Noether với môđun có chiều Goldie hữu hạn.
Mệnh đề 17. Môđun M có chiều Goldie hữu hạn nếu mọi dãy tăng các môđun
con của M sau đây A1 A2 . . . . An . . . luôn tồn tại một số nguyên dơng n sao cho An cốt yếu trong An+1, với mọi n n0.

Từ mệnh đề trên đây ta rút ra kết luận: mọi môđun Noether luôn là
môđun có chiều Goldie hữu hạn. Tuy nhiên chiều ngợc lại không đúng trong
trờng hợp tổng quát. Ta cũng có một phát biểu tơng tự bằng cách thay chuỗi
tăng bởi chuỗi giảm. Do đó cũng có kết luận: mọi môđun Artin luôn là môđun
có chiều Goldie hữu hạn.
1.3. Một số khái niệm về căn của vành
1.3.1. Căn nguyên tố của vành
Chúng tôi đã trình bày trong phần trên các khái niệm về phần tử lũy
linh, iđêan lũy linh, iđêan linh iđêan tối đại và iđêan nguyên tố. Trong phần


19

tiếp đây tôi sẽ sử dụng các khái niệm này để làm rõ một số cấu trúc con của
vành đợc quan tâm nhiều trong nghiên cứu. Đó là các khái niệm căn của vành.
Trớc hết ta phát biểu một mệnh đề cho trờng hợp vành giao hoán.
Mệnh đề 18. Cho R là một vành giao hoán. Khi đó giao của tất cả các iđêan
nguyên tố của R là tập tất cả các phần tử lũy linh của R .
Chứng minh. Giả sử r là phần tử lũy linh của R , P là iđêan nguyên tố
bất kì của R . Vì r là phần tử lũy linh nên r n = 0 với n nào đó thuộc N .
- Nếu n = 1 thì r = 0 P. Vì P là iđêan nguyên tố bất kì nên r thuộc giao
của tất cả các iđêan nguyên tố của R.
- Nếu n > 1 thì r có thể bằng 0 hoặc khác 0. Trờng hợp r = 0 thì hiển nhiên
r thuộc giao của tất cả các iđêan nguyên tố của R. Ta xét trờng hợp r 0.
Do R là vành giao hoán nên P là iđêan hoàn toàn nguyên tố. Khi đó, từ
thuộc tính lũy linh của r và tính hoàn toàn nguyên tố của P ta có suy luận rn = 0
P suy ra r P. Lại do P là iđêan nguyên tố bất kì nên r thuộc giao của tất cả
các iđêan nguyên tố của R. Lí luận trên đây cho thấy giao của tất cả các iđêan
nguyên tố của vành giao hoán R chứa tất cả các phần tử lũy linh của R.
Ta xét chiều ngợc lại. Giả sử r R , r không lũy linh. Xét tập hợp

X = { r n | n N } . Do r không lũy linh suy ra r 0 , X khép kín với phép

nhân; 0 X , iđêan P của R tối đại với P X = là iđêan nguyên tố. Khi đó
r P nên r không thuộc giao của tất cả các iđêan nguyên tố của R.
Từ chứng minh phần thứ nhất ta thấy rằng trong lập luận ta chỉ dùng đến
thuộc tính hoàn toàn nguyên tố của P khi xét iđêan nguyên tố P trong vành giao
hoán. Do đó có thể đi đến kết luận: Trong mọi vành R, giao của tất cả các iđêan
hoàn toàn nguyên tố chứa tập hợp các phần tử lũy linh của R. Sau đây chúng tôi hệ
thống lại một số khái niệm sau có liên quan đến các tập hợp nói trên.


20

Định nghĩa 18. Tổng của tất cả các iđêan linh của vành R đợc gọi là căn linh
của R và kí hiệu là N(R).
Định nghĩa 19. Giao của tất cả các iđêan nguyên tố của vành R đợc gọi là căn
nguyên tố của vành R và kí hiệu là P(R).
Từ định nghĩa trên đây ta suy ra rằng một vành là nửa nguyên tố nếu và
chỉ nếu căn nguyên tố của nó bằng 0.
Chúng ta biết rằng khi R là vành giao hoán thì N(R) chính là tập hợp tất
cả các phần tử lũy linh của R. Tuy nhiên chiều ngợc lại không đúng trong trờng hợp tổng quát. Thực chất ở đây là mọi phần tử của N(R) đều là phần tử lũy
linh nhng ngoài các phần tử thuộc N(R) ra trong vành R còn có thể có các
phần tử lũy linh khác. Một số tính chất của các căn linh và căn nguyên tố đợc
cho trong các mệnh đề sau:
Mệnh đề 19. Giả sử R là một vành cho trớc và N(R) là căn linh của R. Khi đó
vành thơng R/N(R) có căn linh là 0, tức là N(R/N(R)) = 0 R/N(R) = 0+N(R).
Chứng minh. Giả sử A là căn linh của R/N(R). Khi đó A có dạng
A/N(R), trong đó A là một iđêan của R chứa N(R). Theo nhận xét ở trên, mỗi
phần tử thuộc N(R/N(R)) = A/N(R) đều lũy linh. Lấy một phần tử a+N(R)
A/N(R), ta có một số nguyên dơng n sao cho (a+N(R))n = 0 (trong R/N(R)).

Điều này suy ra an N(R). Lại vì các phần tử thuộc N(R) là phần tử lũy linh
(trong R) nên tồn tại số nguyên dơng m sao (an)m = 0. Vì vậy anm = 0 (trong
R), tức là a phần tử lũy linh. Vì a là phần tử bất kì của A nên ta có A là iđêan
linh. Điều này chứng tỏ A N(R), hay là A = 0 trong R/N(R).
Kết luận chơng 1.
Trong chơng 1 chúng tôi đã hệ thống hóa một số khái niệm và tính chất
về vành và môđun. Chúng tôi đề cập đến 19 khái niệm và 19 mệnh đề thờng
dùng trong bớc đầu tìm hiểu về cấu trúc vành và môđun. Đó cũng là những
kiến thức cơ bản luôn đợc sử dụng để mô tả các đặc trng của các lớp vành và


21

m«®un trong nghiªn cøu. ViÖc hÖ thèng hãa l¹i nh÷ng kiÕn thøc trªn ®©y chñ
yÕu lµm c¬ së cho viÖc tr×nh bµy ch¬ng 2.


22

Chơng 2
một số lớp Vành thỏa mãn điều kiện chuỗi
đối với các iđêan linh hoá tử
Nhiệm vụ chủ yếu của chơng 2 là tiếp cận một số đề tài kiến thức mới
về lý thuyết vành và môđun. Các kiến thức đợc hệ thống hóa trong chơng này
phần nhiều đợc tìm hiểu qua các bài báo đợc công bố từ những năm cuối thế
kỷ XX đến những năm gần đây. Chúng tôi đã cố gắng hiểu đợc hớng phát
triển của vấn đề nghiên cứu đồng thời học tập một số kỹ thuật mà các tác giả
những bài báo đã sử dụng. Tuy vậy do thiếu nhiều t liệu nên chúng tôi gặp
nhiều khó khăn và nhiều chỗ không vợt qua đợc. Do đó một số đoạn chứng
minh buộc phải thừa nhận các khẳng định trung gian từ các kết quả nghiên

cứu mà không trình bày chứng minh chi tiết đợc.
2.1. Vành nửa nguyên tố với điều kiện chuỗi
2.1.1. Iđêan suy biến phải của vành
Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu iđêan suy biến phải của một vành.
Mệnh đề 1. Giả sử R là một vành cho trớc. Khi đó tập hợp Z(R) cho nh sau:
Z(R) = {r R | rK = 0 đối với một iđêan phải cốt yếu K nào đó của R}
là một iđêan hai phía của R.
Chứng minh. Ta có 0r = 0 , với mọi phần tử r của R nên 0 là một phần tử
thuộc Z(R). Vậy Z(R) khác rỗng. Với a, b thuộc Z(R), ta có các iđêan phải cốt
yếu L và K của R sao cho aL = 0 và bK = 0. Khi đó I = L K là một iđêan
phải cốt yếu của R. Ta có (a+b)I = 0. Vậy a+b Z(R).
Với mỗi phần tử a Z(R), r R ta chứng minh ra và ar Z(R). Ta kí
hiệu I là iđêan phải của R sao cho aI = 0. Khi đó (ra)I = r(aI) = r0 = 0. Vậy
ra Z(R). Ta chứng minh ar Z(R). Nếu a = 0 hay r = 0 thì kết luận là hiển
nhiên. Xét trờng hợp a 0 và r 0. Theo tính chất của môđun con cốt yếu, áp


23

dụng cho các iđêan phải cốt yếu trong vành R, ta có iđêan phải cốt yếu L của
R sao cho rL I. Khi đó (ar)L = a(rL) aI = 0, nên ar Z(R). Vậy là iđêan
của R.
Định nghĩa 1. Cho R là một vành. Ta gọi iđêan Z(R) trong mệnh đề trên là
iđêan suy biến phải của R.
Nếu vành R có Z(R) = 0 thì ta nói R là một vành không suy biến phải.
Ta nhận thấy rằng điều kiện trong định nghĩa của Z(R) có thể phát biểu
cách khác: Z(R) là tập hợp các phần tử của R mà linh hóa tử phải của nó là
một iđêan phải cốt yếu của R.
Các thuật ngữ về bên trái đợc định nghĩa tơng tự.
Mệnh đề sau đây nói về iđêan suy biến phải của vành thỏa mãn điều

kiện ACC đối với linh hóa tử phải.
Mệnh đề 2. Giả sử R là một vành thoả mãn điều kiện ACC đối với các linh
hóa tử phải. Khi đó iđêan suy biến phải của R là iđêan luỹ linh.
Chứng minh. Kí hiệu Z là iđêan suy biến phải của R . Chúng ta có
Z Z 2 Z 3L
2
3
Do đó r ( Z ) r ( Z ) r ( Z ) L . Theo giả thiết R thoả mãn điều kiện

ACC đối với các iđêan linh hóa tử phải nên tồn tại số nguyên dơng n sao cho:
r ( Z n ) = r ( Z n+1 ) = L
Giả sử Z n+1 0 , chúng ta sẽ chứng tỏ điều này dẫn đến mâu thuẫn. Vì
Z n+1 0 nên tồn tại một phần tử a Z sao cho Zna 0. Ta chọn phần tử a sao
cho r ( a ) lớn nhất có thể đợc theo quan hệ bao hàm. Giả sử b Z khi đó
r ( b ) là một iđêan phải cốt yếu của R do đó r ( b ) aR 0 . Vì vậy tồn tại một

phần tử c R sao cho ac 0 và ac r ( b ) . Vì Z là một iđêan của R nên ta có
ba Z và r ( a ) r ( ba ) nhng ac 0 và bac = 0 do đó r ( a ) đợc chứa thực sự


24

trong r ( ba ) . Từ cách chọn phần tử a thì suy ra rằng Z nba = 0 . Nhng vì b là
phần tử tùy ý của Z suy ra Z n+1a = 0 . Vì Zn+1 = Zn nên ta cũng có Z n a = 0 điều
này là mâu thuẫn. Vậy Zn+1 = 0, hay Z là iđêan lũy linh.
2.1.2. Vành nửa nguyên tố thỏa mãn ACC đối với iđêan linh hoá tử phải
Vành nửa nguyên tố là vành có iđêan 0 là iđêan nửa nguyên tố. Đối với
các vành nửa nguyên tố thỏa mãn điều kiện ACC đối với các iđêan suy biến
phải ta có tính chất sau đây về các iđêan linh.
Mệnh đề 3. Giả sử R là một vành nửa nguyên tố thoả mãn điều kiện ACC

đối với linh hóa tử phải. Khi đó R không có iđêan một phía khác không linh (nil).
Chứng minh. Giả sử I là một iđêan một phía khác không của R và a là một
phần tử khác không của I có r ( a ) lớn nhất có thể đợc. Bởi vì R là vành nửa
nguyên tố nên tồn tại phần tử x R sao cho axa 0 . Thế thì axa là một phần tử
khác không của I và r ( a ) r ( axa ) vì vậy theo cách chọn phần tử a ta phải có
r ( a ) = r ( axa ) . Chúng ta có ax 0 tức là x r ( a ) thế thì x cũng không thuộc
2
3
vào r ( axa ) . Do đó axax 0 hay là ( ax ) 0 . Vì vậy xax r ( a ) nên ( ax ) 0 .

Tiếp tục quá trình này thì chúng ta nhận đợc ax không phải là phần tử
luỹ linh. Tơng tự nh vậy xa cũng không phải là phần tử luỹ linh. Vì ax hoặc
ax thuộc vào I nên I không lũy linh.
Giả sử A và B là những iđêan phải luỹ linh của vành R thì Ak = B n = 0
với các số nguyên k , n nào đó. Ta thấy rằng

( A + B)

k +n

chính là tổng của

những tích của các phần tử lấy trong A và trong B có ít nhất k phần tử thuộc
A hoặc n phần tử thuộc B đứng cạnh nhau. Vì vậy tất cả các hạng tử nh vậy
đều bằng không, tức là ( A + B )

k +n

= 0.

25

Nhận xét trên đây suy ra rằng tổng của một số hữu hạn các iđêan phải
lũy linh cũng là một iđêan phải lũy linh. Chú ý rằng nếu A là một iđêan phải
lũy linh thì RA là một iđêan hai phía lũy linh. Các kết luận tơng tự cho phía
trái cũng đúng. Do đó mỗi một iđêan một phía lũy linh luôn bị chứa trong một
iđêan hai phía lũy linh nào đó.
Ta biết rằng vành Nơte phải thỏa mãn điều kiện ACC cho mọi iđêan phải
do đó nó cũng thỏa mãn điều kiện ACC cho các iđêan linh hóa tử phải vì vậy
từ định lý trên ta suy ra một hệ quả sau.
Hệ quả 4. Giả sử R là một vành Noether phải thế thì mỗi iđêan một phía linh
(nil) của R là lũy linh.
Chứng minh. Giả sử W là tổng của tất cả các iđêan phải linh (nil) của R
. Thế thì W là một iđêan. Do R là vành Nơte phải nên W là tổng của một số
hữu hạn các iđêan phải lũy linh. Vì vậy W lũy linh. Ta thấy rằng R W là
không có iđêan phải lũy linh khác không. Giả sử I là một iđêan một phía linh
(nil) của R thế thì ảnh của I qua phép chiếu từ

RR

W sẽ là 0 (áp dụng

mệnh đề trên). Do đó I W . Điều này suy ra I lũy linh.
2.2. vành goldie nửa nguyên tố
2.2.1. Phần tử giản ớc đợc và iđêan cốt yếu
Định nghĩa 2. Phần tử a của vành R đợc gọi là phần tử giản ớc đợc bên trái
(phải) nếu r(a) = 0 (tơng ứng, l(a) = 0). Nếu có r(a) = l(a) = 0 thì a đợc gọi là
phần tử giản ớc đợc.
Mệnh đề 5. Giả sử R là một vành với chiều Goldie phải hữu hạn và c là một phần

tử giản ớc đợc bên phải của R . Khi đó cR là một iđêan phải cốt yếu của R .
Chứng minh. Giả sử I là một iđêan phải của R với I cR = 0 thế thì
tổng I + cI + c 2 I + c 3 I + K là trực tiếp. Vì thế c n I = 0 với một số n nào đó.