Vận dụng cặp phạm trù cái chung và cái riêng trong dạy học hình học nhằm bồi dưỡng năng lực gải toán cho học sinh trung học phổ thông luận văn tốt nghiệp đại học

LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới cô giáo Th.s.
Thái Thị Hồng Lam đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn khoa học để tác giả
hoàn thành khóa luận.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong chuyên
ngành Lý luận và phương pháp giảng dạy bộ môn Toán, trường Đại học Vinh,
đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và thực hiện
Khóa luận.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban chủ nhiệm cùng các thầy cô khoa
Toán, Đại học Vinh; Ban giám hiệu cùng các thầy cô Trường THPT Nghi Lộc
1 đã tạo điều kiện giúp đỡ trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin gửi tới tất cả người thân và bạn bè lòng biết ơn sâu sắc.
Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ quý báu đó!
Khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận
được và biết ơn các ý kiến đóng góp của thầy cô giáo và các bạn.
Vinh tháng 05 năm 2011
Tác giả


MỤC LỤC
Trang
5. Kết luận chương 3:........................................................................................91


3
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ph.Ăngghen định nghĩa "Phép biện chứng là khoa học về sự liên hệ phổ
biến". V.I.Lênin viết "Phép biện chứng, tức là học thuyết về sự phát triển, dưới
hình thức hoàn bị nhất, sâu sắc nhất và không phiến diện, học thuyết về tính
tương đối của nhận thức của con người, nhận thức này phản ánh vật chất luôn

phát triển không ngừng". Phép biện chứng duy vật là sự thống nhất hữu cơ giữa
thế giới quan duy vật với phương pháp biện chứng; giữa lí luận nhận thức với
logic biện chứng. Sự ra đời của phép biện chứng duy vật là cuộc cách mạng
trong phương pháp tư duy triết học; là phương pháp tư duy khác về chất so với
các phương pháp tư duy trước đó; là "phương pháp mà điều căn bản là nó xem
xét những sự vật và những sự phản ánh của chúng trong tư tưởng, trong mối
liên hệ qua lại lẫn nhau của chúng, trong sự ràng buộc, sự vận động, sự phát
sinh và sự tiêu vong của chúng". Nội dung của phép biện chứng duy vật bao
gồm hai nguyên lí (nguyên lí về mối liên hệ phổ biến; nguyên lí về sự phát
triển); sáu cặp phạm trù cơ bản (cái riêng, cái chung và cái đơn nhất; nguyên
nhân và kết quả; tất nhiên và ngẫu nhiên; nội dung và hình thức; bản chất và
hiện tượng; khả năng và hiện thực) và ba qui luật cơ bản (qui luật chuyển hoá
từ những thay đổi về lượng dấn đến những thay đổi về chất và ngược lại; qui
luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập; qui luật phủ định của phủ
định). Tư duy biện chứng có thể phản ánh đúng đắn thế giới xung quanh và
nhiệm vụ của người thầy giáo là rèn luyện cho học sinh xem các các đối tượng
và hiện tượng trong sự vận động và phát triển.
Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đưa ra kiến thức (khái niệm, định lí)
rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung
định lí, hiểu chứng minh định lí, cố gắng tập vận dụng các công thức, các định
lí để tính toán, để chứng minh khi làm bài tập mà ở đó cái gì cho biết, cái gì
phải tính toán, phải chứng minh là rõ ràng. Nhiều học trò giỏi thường thắc mắc


4
không biết giả thiết và kết luận của bài toán từ đâu mà ra, ai nghĩ ra đầu tiên và
làm thế nào mà nghĩ ra được. Những bài toán khó đối với họ là những bài mà
con đường suy diễn từ giả thiết đến kết luận là khó xác định, thường gồm nhiều
mắt xích khó thấy ngay. Nhưng làm xong được một bài toán như thế, chân trời
của họ cũng ít được mở rộng, nếu thầy hay sách không ra cho họ thêm bài tập

mới thì họ thường không biết làm gì vì nhà trường không dạy cho họ cách
"phát hiện vấn đề" để tự đề xuất ra bài toán. Trong việc phát hiện và định
hướng cho cách giải quyết vấn đề thì tư duy biện chứng đóng vai trò chủ đạo.
Cũng như các khoa học khác, Toán học nghiên cứu những quy luật của
hiện thực khách quan. Nó là một trong những môi trường thuận lợi, là phương
tiện để người dạy có thể tổ chức lồng ghép, cài đặt những quy luật của hiện
thực khách quan vào trong quá trình dạy học của mình. Vì vậy các kiến thức
Toán học, nếu được giảng dạy chính xác với phương pháp đúng đắn sẽ góp
phần tích cực giúp học sinh hiểu sâu sắc các quy luật phát triển của tự nhiên,
cũng như nhận thức đúng về thái độ của con người đối với tự nhiên, đối với
những biến đổi đang diễn ra trong tự nhiên, tức là sẽ góp phần vào việc bồi
dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cho học sinh. Và ngược lại khi học
sinh nhận thức được các quy luật của tự nhiên, hoà mình vào thực tế của cuộc
sống thì tất yếu sẽ nảy sinh nguyện vọng và ý chí cải tạo thực tiễn và từ đó có
được động cơ mạnh mẽ vươn lên nắm lấy những kiến thức mới mẻ khác, giải
quyết những vấn đề Toán học tốt hơn. Do đó vận dụng tư tưởng của phép biện
chứng duy vật nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT, giúp
học sinh hiểu tốt hơn nguồn gốc kiến thức, mối quan hệ giữa Toán học và thực
tiễn, mối quan hệ giữa nội bộ Toán học, tăng thêm hứng thú học tập, nâng cao
hiệu quả học tập, và rèn luyện tư duy biện chứng cho các em.
Trong chương trình ở trường phổ thông, học sinh thường gặp khó khăn
khi giải quyết các bài toán Hình học vì nó đòi hỏi người học sinh phải biết định
hướng và tư duy chứ hầu như không phải là dạng tính toán và lắp ráp theo công
thức định sẵn. Hệ thống bài tập khá phong phú về chủng loại với nhiều mức độ


5
khác nhau nhưng để giải nó đòi hỏi học sinh phải có một năng lực giải toán
nhất định.
Mặc dù có nhiều công trình liên quan đến việc bồi dưỡng năng lực giải

toán cho học sinh nhưng đây vẫn là vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu cả về
phương diện lý luận và triển khai trong thực tiễn dạy học.
Vì những lý do trên đây mà chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Khóa
luận là: “Vận dụng cặp phạm trù cái chung và cái riêng trong dạy học
Hình học nhằm bồi dưỡng năng lực giải Toán cho học sinh Trung học phổ
thông”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề lý luận và thực tiễn về các vấn đề vận dụng
cặp phạm trù cái chung và cái riêng trong dạy học Hình học nhằm bồi dưỡng
năng lực giải toán cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn
Toán ở trường phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan đến vấn đề vận dụng cặp phạm
trù cái chung và cái riêng và bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh.
• Nghiên cứu và đề ra các biện pháp sư phạm vận dụng cặp phạm trù
cái chung và cái riêng nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh
trong dạy học Hình học.
• Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của các biện pháp sư
phạm đã đề xuất.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu dạy học Hình học theo định hướng bồi dưỡng năng lực giải toán cho
học sinh thông qua việc vận dụng cặp phạm trù cái chung và cái riêng thì có thể
đổi mới phương pháp dạy học, nâng cao chất lượng dạy học Toán ở trường phổ
thông.
5. Phương pháp nghiên cứu
Khóa luận sử dụng các phương pháp sau trong quá trình nghiên cứu:


6
5.1. Nghiên cứu lý luận:

• Nghiên cứu các tài liệu về Triết học, Giáo dục học, Tâm lý học, Lý
luận dạy học môn toán.
• Nghiên cứu các sách báo, các bài viết về Toán học, các công trình
khoa học giáo dục có liên quan trực tiếp đến đề tài.
5.2. Điều tra quan sát:
Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong
quá trình khai thác các bài tập.
5.3. Thực nghiệm sư phạm:
Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem tính khả thi của khóa luận.
6. Đóng góp của khóa luận
• Về mặt lý luận: Góp phần làm sáng tỏ một số thành phần trong năng
lực giải toán của học sinh thông qua việc vận dụng cặp phạm trù cái
chung và cái riêng.
• Về mặt thực tiễn: Xây dựng một số biện pháp sư phạm vận dụng cặp
phạm trù cái chung và cái riêng nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho
học sinh vào thực tiễn dạy học Hình học ở trường phổ thông.
Với các đóng góp nhỏ trên, hy vọng khóa luận có thể làm tài liệu tham
khảo cho các giáo viên Toán và các bạn sinh viên nghành Toán nhằm góp phần
nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường phổ thông.
7. Cấu trúc của khóa luận
Khóa luận ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, gồm 3
chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Một số biện pháp sư phạm vận dụng cặp phạm trù cái chung
và cái riêng trong dạy học Hình học nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho
học sinh phổ thông.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.


7

Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.
1.1. Cái chung và cái riêng
1.1.1. Quan điểm biện chứng về cặp phạm trù cái chung, cái riêng.
Sự phong phú và đa dạng của các sự vật, hiện tượng trong tự nhiên, xã
hội, tư duy qui định nội dung phép biện chứng duy vật. Nội dung của phép biện
chứng duy vật bao gồm nguyên lý về mối liên hệ phổ biến và nguyên lí về sự
phát triển. Đây là các nguyên lí có ý nghĩa khái quát nhất. Các phạm trù, các
qui luật cơ bản của phép biện chứng duy vật là sự cụ thể hoá của các nguyên lí
trên.
Chúng được hình thành và phát triển trong quá trình hoạt động nhận
thức, hoạt động cải tạo tự nhiên, xã hội. Các cặp phạm trù cái chung, cái riêng,
cái đơn nhất; tất nhiên và ngẫu nhiên; bản chất và hiện tượng là cơ sở phương
pháp luận của các phương pháp phân tích và tổng hợp, diễn dịch và qui nạp;
khái quát hoá và trừu tượng hoá để từ đó nhận thức được toàn bộ các mối liên
hệ theo hệ thống. Các cặp phạm trù nguyên nhân và kết quả; khả năng và hiện
thực là cơ sở phương pháp luận chỉ ra các mối liên hệ và sự phát triển giữa sự
vật, hiện tượng là một quá trình. Các cặp phạm trù nội dung và hình thức là cơ
sở phương pháp luận để xây dựng các hình thức tồn tại trong sự phụ thuộc vào
nội dung, phản ánh tính đa dạng của các phương pháp nhận thức và thực tiễn.
Nghiên cứu và làm sáng tỏ các nguyên lí, các cặp phạm trù, qui luật cơ bản đó
là nhiệm vụ của phép biện chứng duy vật. Ph.Ăngghen nhấn mạnh "Vậy là từ
trong lịch sử của xã hội loài người mà người ta đã rút ra được các quy luật của
biện chứng". Những qui luật không phải là cái gì khác ngoài những qui luật
chung nhất của hai giai đoạn phát triển lịch sử ấy cũng như là bản thân tư duy.
Theo quan niệm của phép duy vật biện chứng, nhận thức bắt đầu từ sự
phản ánh những sự vật, hiện tượng cụ thể của thế giới. Nhưng trong quá trình
so sánh giữa những sự vật, hiện tượng này với sự vật hiện tượng khác; phân
biệt chỗ giống nhau và khác nhau giữa chúng, nhận thức đi đến sự phân biệt cái

8
riêng, cái chung. Cái riêng là phạm trù dùng để chỉ một sự vật, hiện tượng nhất
định và cái đơn nhất. Cái chung là phạm trù dùng để chỉ những mặt, những
thuộc tính lặp lại trong nhiều sự vật, nhiều hiện tượng. Cái đơn nhất là phạm
trù dùng để chỉ những mặt, những đặc điểm chỉ có ở một sự vật, hiện tượng nào
đó mà không lặp lại ở các hiện tượng, sự vật khác.
Cái riêng, cái chung, cái đơn nhất có mối liên hệ biện chứng với nhau.
Cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng, biểu hiện thông qua cái riêng, ngược lại,
cái riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ với cái chung, bao hàm cái chung; Cái
riêng là cái toàn bộ, phong phú hơn cái chung, cái chung là cái bộ phận nhưng
sâu sắc hơn cái riêng; cái đơn nhất và cái chung có thể chuyển hoá lẫn nhau
trong quá trình vận động, phát triển của sự vật. V.I.Lênin viết: "cái riêng chỉ
tồn tại trong mối liên hệ đưa đến cái chung. Cái chung chỉ tồn tại trong cái
riêng, thông qua cái riêng. Bất cứ cái riêng nào cũng là cái chung. Bất cứ cái
chung nào cũng chỉ bao quát một cách đại khái tất cả mọi vật riêng lẻ. Bất cứ
cái riêng nào cũng không gia nhập đầy đủ vào cái chung, v.v.. Bất cứ cái riêng
nào cũng thông qua hàng nghìn sự chuyển hoá mà liên hệ với những cái riêng
thuộc loại khác".
1.1.2. Tư tưởng của phép biện chứng đối với cặp phạm trù cái chung và cái
riêng thể hiện trong Toán học và trong dạy học môn Toán.
Toán học có lẽ là lĩnh vực đặc thù để xét mối quan hệ giữa cái chung và
cái riêng. Các chân lí Toán học cũng như các chân lí thực nghiệm là sự phản
ánh gần đúng hiện thực; chúng luôn luôn cần được hoàn thiện để phản ánh chân
thực hơn nhằm đáp ứng cao hơn những nhu cầu thực tiễn của loài người. Cái
thay đổi trong Toán học là sự thay đổi quan điểm từ đó nhìn nhận những kết
quả đã thu lượm được. Trước sự thay đổi quan điểm, các định lí Toán học vẫn
đúng trong chừng mực như khi chúng được khám phá ra, vẫn tồn tại mà không
bị thay thế bởi định lí khác; tuy nhiên vị trí cơ bản duy nhất, chúng trở thành
thứ yếu, riêng biệt trong hệ thống tri thức Toán học. Chẳng hạn, sự thay đổi

quan điểm về thực thể Toán học. Từ thượng cổ đến thế kỉ thứ 19 có một sự


9
thống nhất giữa các nhà Toán học về quan niệm các thực thể Toán học; đó là
những số, những đại lượng, những hình và " chúng ta không thể gán cho chúng
những tính chất bất kì, cũng như các nhà vật lí không thể thay đổi một hiện
tượng tự nhiên ".
Ở các giai đoạn kế tiếp, quan niệm về thực thể Toán học gắn liền với
quan niệm về mô hình. Thí dụ là đại số n - biến số là mô hình của Hình học n chiều; một điểm trên mặt phẳng là mô hình của số phức... Các nhà toán hoc chỉ
" an tâm " công nhận một khái niệm Toán học mới khi tìm thấy một mô hình
được diễn đạt bằng ngôn ngữ của Toán học cổ điệm tương ứng. Ngày nay Toán
học hiện đại quan niệm các thực thể Toán học như các cấu trúc, " Toán học
hiện đại là sự trình bày Toán học có dùng đến những tập hợp và những cấu trúc
lớn ".
Như vậy nhận thức đi từ cái riêng đến cái chung, rồi cái chung lại chuyển
hóa thành cái riêng. Xét đến một phương diện nào đó thì cái chung và cái riêng
mâu thuẫn, nhưng xét đến một phương diện khác thì cái riêng và cái chung là
thống nhất: Cái chung bao trùm lên cái riêng, cái riêng nằm trong cái chung;
mỗi cái riêng có thể nằm trong nhiều cái chung khác nhau và mỗi cái chung
như vậy ứng với một cách nhìn về cái riêng, ứng với một quan điểm làm cơ sở
cho sự thống nhất giữa cái chung đó và cái riêng. Từ một cái riêng nếu biết
nhìn theo nhiều quan điểm khác nhau thì có thể khái quát thành nhiều cái chung
khác nhau, đôi khi đem đặc biệt hóa nhiều cái chung khác nhau ta lại được một
cái riêng. Thí dụ: vòng tròn vừa là trường hợp riêng của mặt cầu, vừa là trường
hợp riêng của elip. Xét về số chiều thì mặt cầu và vòng tròn mâu thuẫn, nhưng
xét về tính chất "cách đều một điểm cố định " thì mặt cầu và vòng tròn là thống
nhất; xét về số chiều thì vòng tròn và elip là thống nhất, nhưng xét về tính chất
"cách đều một điểm cố định " thì vòng tròn và elip lại mâu thuẫn. Nắm vững
qui luật trên chúng ta sẽ dạy toán và học Toán tốt hơn.

10
1.1.2.1. Trong quá trình dạy học Toán tuân theo cặp phạm trù cái chung,
cái riêng cần đặc biệt rèn luyện cho HS một số thao tác tư duy như: Khái
quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự, qui nạp.
Khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng đến cái chung, là "chuyển từ
việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập lớn
hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu" (G. Polya).
Đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược của khái quát hoá, là "chuyển từ
việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập
nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho". Trong quá trình dạy học không chỉ yêu
cầu học sinh đi từ cái riêng đến cái chung (khái quát hoá) mà còn đòi hỏi họ đi
từ cái chung đến cái riêng (đặc biệt hoá) và làm rõ mối quan hệ chung - riêng
giữa cái đạt được và cái xuất phát.
Tương tự được xem như tiền thân của khái quát hoá, bởi vì việc chuyển
từ một trường hợp riêng này sang một trường hợp riêng khác của cùng một cái
tổng quát, là một bước để đi tới những trường hợp riêng bất kì của cùng một cái
tổng quát đó. Nhiều khi học sinh đã có một sự hình dung nhất định về cái
chung nhưng chưa hiểu nó một cách đầy đủ, chỉ có thể đưa ra những hiện
tượng riêng lẻ coi như đại biểu của cái chung. Vì thế trong những trường hợp
nhất định, ta có thể coi thực hiện phép tương tự như là biểu hiện của khái quát
hoá.
Cần làm cho học sinh hiểu rằng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự
là phương pháp suy nghĩ giúp chúng ta mở rộng, đào sâu và hệ thống hoá kiến
thức. Từ những kiến thức đã có có thể vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá,
tương tự để hình thành những tri thức mới, đề xuất và giải những bài Toán mới.
Trên cơ sở đó giúp các em đào sâu và hiểu rõ các khái niệm, định lí, góp phần
mở rộng vốn kiến thức của mình. từ đó sẽ tạo cho các em hiểu rõ hơn bản chất
và các quy luật của các sự kiện Toán học, xác lập mối liên hệ và thống nhất

giữa các tri thức mà các em tiếp nhận được.


11
1.1.2.2. Một cái riêng có thể là trường hợp đặc biệt của nhiều cái chung
khác nhau.
Một khái niệm, một định lý, một tính chất nào đó có thể là trường hợp
đặc biệt của nhiều khái niệm, một định lý, một tính chất khác nhau.
Ví dụ 1: "cái riêng" là định lí Pitago
- Theo góc độ tam giác vuông là trường hợp riêng của tam giác thường,
định lý Pitago có thể xem là trường hợp riêng của định lí cosin.
- Theo góc độ bình phương vô hướng bằng bình phương độ dài, có thể
xem là trường hợp riêng của phép tính tổng vectơ:
uuur uuur uuur
uuur uuur 2 uuur 2
uuur uuu
r
AB + BC = AC ⇒ AB + BC = AC ⇒ AB2 + BC 2 + 2AB.BC = AC 2 .

(

)

uuur uuur

Khi AB.BC = 0 hay AB ⊥ BC thì ta có định lí Pitago.
"Cái riêng" là hình thoi có thể xem là trường hợp đặc biệt của "cái
chung" là hình bình hành nếu ta nhìn hình thoi dưới góc độ có các cạnh đối
diện song song; ta có thể xem nó là trường hợp đặc biệt của "cái chung" là tứ
giác có vòng tròn nội tiếp nếu ta nhìn nó dưới góc độ " có vòng tròn nội tiếp";

là trường hợp đặc biệt của "cái chung" là tứ giác có hai đường chéo vuông góc
nếu nhìn dưới góc độ " hai đường chéo vuông góc"v.v...
Trung điểm của một đoạn thẳng có thể xem xét dưới các góc độ sau đây:
trọng tâm của đoạn thẳng, trọng tâm của hệ hai điểm, tâm của đường tròn
không chiều (tập hợp các điểm cách trung điểm của đoạn thẳng một đoạn thẳng
bằng nửa đoạn thẳng), tâm đối xứng của đoạn thẳng hay hai đầu mút của đoạn
thẳng, đoạn liên hợp điều hoà của những điểm xa vô tân trên đường thẳng chứa
đoạn thẳng đối với hai đầu mút của đoạn thẳng.
Nếu p là một số nguyên tố thì p + 1 có thể xem như là số nguyên đi sau
p, nhưng cũng có thể xem như là tổng các ước số của p.
Tập nhìn một cái "riêng" theo nhiều góc độ khác nhau là một điều rất
quan trọng đối với việc rèn luyện óc sáng tạo Toán học vì mỗi góc độ lại gợi ra
một hướng mở rộng "cái riêng" đó; đồng thời khi đứng trước một bài toán có


12
thể có nhiều hướng suy nghĩ để giải quyết vấn đề. Tìm ra một cách nhìn mới
độc đáo về một "cái riêng" nào đó vốn đã có nhiều cách nhìn thông dụng, có
thể là mầm mống của một phát minh khoa học.
1.1.2.3. Một cái chung, đem đặc biệt hoá từng bộ phận khác nhau, bằng
những cách khác nhau sẽ cho nhiều cái riêng khác nhau.
Ví dụ, một tứ giác đem đặc biệt hoá theo tính chất và quan hệ giữa các
cạnh và góc có thể cho ta hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhât,
hình vuông. Đó là những cách đặc biệt hoá quen thuộc. Thường ở nhà trường ít
lưu ý học sinh đến những cách đặc biệt hoá ít gặp như đặc biệt hoá tứ giác bằng
cách cho một cạnh triệt tiêu, hoặc bằng cách cho một góc đạt tới giới hạn 180 0
để có tam giác.
1.1.3. Qui trình của một sự mở rộng
1.1.3.1. Các phát minh lí thuyết chủ yếu là sự mở rộng
Sự sắp xếp chương trình học Toán nói chung là sự dẫn dắt học sinh đi từ

những trường hợp riêng rồi khái quát lên thành những cái chung như từ số tự
nhiên rồi đến số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ, từ tam giác vuông rồi đến tam giác
thường, từ tam giác rồi đến tứ giác, từ hàm lượng giác các góc nhọn đến hàm
lượng giác các góc suy rộng,.v.v. Khi làm bài tập, học sinh phải vận dung
những khái niệm chung, những định lí chung vào các trường hợp riêng cụ thể
cho từng bài .
Nói rộng ra thì sự phát minh lí thuyết có tầm cỡ trong lĩnh vực Toán học
luôn luôn là một sự mở rộng từ một cái riêng dã biết đến hay nhiều cái chung
trước đó chưa ai biết, mà cái riêng đã biết chỉ là một trường hợp đặc biệt. Cũng
có những phát minh chỉ là phát hiện một trường hợp riêng trước đó chưa ai biết
của một cái chung đã biết. Trong lịch sử Toán học, có những bài toán mà suốt
hàng chục năm, có khi hàng trăm năm, công sức của bao thế hệ các nhà Toán
học chỉ mới giải được bài toán trong một số trường hợp đặc biệt, nghĩa là chỉ
mới giải được một phần của bài toán. Lấy thí dụ bài toán sau đây:


13
" Chứng minh rằng phương trình:
xn + yn = zn
không có nghiệm nguyên khác không với n > 2 ", được gọi là "định lí lớn
Fecma", do Fecma đề ra từ thế kỷ thứ 17. Hơn 100 năm sau, Ơ- le chứng minh
được định lí cho các trường hợp đặc biệt n = 3, n = 4. Sau đó Lơ-giăng và Đirich-lê chứng minh được cho trường hợp n = 5, La-me chứng minh được cho
trường hợp n = 7, Cu-me chứng minh được cho mọi số nguyên tố n từ 3 đến
100. Năm 1960, dùng máy tính điện tử người ta chứng minh được định lí cho
mọi n ≤ 2521 (n > 2). Đến nay định lí đã được chứng minh cho những số n lớn
hơn nữa nhưng như vậy định lí cũng chỉ mới được chứng minh cho một số rất
lớn các trường hợp đặc biệt. Sự cố gắng của các nhà Toán học còn tiếp tục và
trong thời gian qua, việc tìm cách chứng minh định lí lớn Fecma đã góp phần
thúc đẩy Toán học tiến tới. Đừng hiểu lầm rằng phát minh ra cái "mới" thì
"mới" đó phải là "mới toanh", còn mở rộng cái cũ thì không mới lắm. Đã có

người, khi nhận xét về một công trình nghiên cứu Toán học, đã nói: "cũng chả
có gì mới lắm, chẳng qua chỉ là một sự mở rộng...". Nói như vậy là không hiểu
gì về qui luật "phủ định của phủ định". Không bao giờ có cái "mới toanh" hiểu
theo nghĩa "không dính dáng gì tới cái cũ". Cái "mới" bao giờ cũng là từ cái cũ
mà ra, các nhà phát minh thế hệ sau bao giờ cũng đứng lên vai những nhà phát
minh thế hệ trước, kế thừa các thành quả của họ. Các thành quả này chỉ đẻ ra
vấn đề cho thế hệ sau nghiên cứu khi chúng bất lực trong việc giải quyết các
vấn đề lí luận hay thức tiễn mới đặt ra. Kết quả nghiên cứu sẽ là một lí thuyết
mới vừa có tính kề thừa những mặt tích cực của lí thuyết cũ (đây là mặt thống
nhất giữa hai lí thuyết mới và cũ), vừa phủ định những mặt tiêu cực của lí
thuyết cũ, theo nghĩa là nó giải quyết được những yêu cầu mà theo lí thuyết cũ
đành bất lực. Chẳng hạn, lí thuyết số phức đã kế thừa mặt tích cực của lí thuyết
số thực vì nó cũng thoả mãn các tính chất của một trường. Đồng thời cũng phủ
định mặt tiêu cực của lí thuyết số thực là đã bó tay với việc lấy căn bậc hai của
số âm, nhờ vậy mà phương pháp Cácđanô đã trót lọt trong việc giải phương


14
trình bậc ba. Quy luật phủ định của phủ định này là khách quan, không phụ
thuộc chủ quan người nghiên cứu. Lôbasepki khi phát minh ra Hình học mang
tên ông, chỉ ngĩ rằng mình phủ định tiên đề của Ơclít, phủ định Hình học Ơclít.
Những nghiên cứu khách quan của ông và của các tác giả khác càng ngày càng
cho thấy Hình học Lôbasepki một mặt phủ định Hình học Ơclít, mặt khác là sự
mở rộng của Hình học Ơclít, Hình học Ơclít là một trường hợp giới hạn của
Hình học Lôbesepki khi góc nhọn giữa hai đường thẳng song song với một
đường thẳng a xuất phát từ một điểm A nằm ngoài a, dần tới không. Như vậy,
ngay một phát minh vĩ đại đã tạo cuộc cách mạng trong Toán học như Hình
học Lôbesepki cũng không thoát khỏi qui luật "phủ định của phủ định", tức là
phủ định có kế thừa, không mới toanh. Vì vậy, tập dượt phát minh, tập dượt
sáng tạo trong Toán học chủ yếu là tập dượt sự mở rộng.

1.1.3.2. Qui trình của một sự mở rộng
Trong quá trình sau đây, "cái riêng" được hiểu là một tiên đề, một định lí
hay một khái niệm, một lí thuyết đã có, nay ta muốn mở rộng.
Bước 1: Phân tích "cái riêng" cần mở rộng thành các bộ phận của nó.
Bước 2: Cố gắng nhìn từng bộ phận đó theo nhiều cách khác nhau, càng
nhiều càng tốt.
Bước 3: Lập các tổ hợp khác nhau về cách nhìn từng bộ phận, mỗi tổ
hợp như vậy sẽ cho một cách nhìn "cái riêng" mà ta muốn mở rộng.
Bước 4: Mỗi cách nhìn từng bộ phận dễ dàng cho ta một hướng mở rộng
về bộ phận đó. Từ đó ta có thể đề xuất nhiều giả thuyết về những "cái chung"
mở rộng "cái riêng" đã biết.
Bước 5: Mỗi giả thuyết có thể đúng, có thể sai. Nhiều khi, bằng trực giác
có thể thấy ngay những giả thuyết sai để bỏ đi ngay.
Bước 6: Với những giả thuyết không bị bỏ ở bước 5, ta có thể thử thách
chúng bằng cách đem ứng dụng chúng vào một số trường hợp đặc biệt: Nếu
ứng dụng đưa đến kết quả sai thì chắc chắn giả thuyết sai. Nếu các thử thách
đều đưa đến kết quả đúng thì chưa chắc giả thuyết tương ứng đã đúng, nhưng


15
lòng tin rằng nó sẽ đúng tăng lên. Sở dĩ chưa dám khẳng định giả thuyết tương
ứng là đúng vì từ một cái "sai", bằng một suy diễn chặt chẽ, có thể rút ra được
một cái "đúng".
Bước 7: Sử dụng các kết quả trong bước 6 để điều chỉnh, bổ sung các
giải thuyết không bị bác bỏ qua bước 5 và bước 6. Nếu cần có thể áp dụng
bước 6 cho các giả thuyết đã được bổ sung, điều chỉnh để hoàn chỉnh chúng
thêm một bước.
Bước 8: Chứng minh từng giả thuyết không bị bác bỏ qua hai bước 5 và
bước 6 và được hoàn chỉnh thêm ở bước 7. Nếu ta thành công với giả thuyết
nào thì giả thuyết đó là đúng, nó là một cái chung mở rộng cho cái riêng đã

biết. Có bao nhiêu giả thuyết được chứng minh thì có bấy nhiêu "cái chung"
mở rộng "cái riêng" đó. Còn những giả thuyết chưa được chứng minh ( cũng
chưa bác bỏ được) thì đặt ra vấn đề tiếp tục nghiên cứu.
Bước 9: Nếu sau bước 7, tất cả các giả thuyết đều bị vứt bỏ thì như vậy
chưa phải là thất bại. Nói đúng hơn, thì đó mới chỉ là một sự thất bại tạm thời.
Thất bại tạm thời này do một trong hai nguyên nhân sau đây:
a) Ta chưa tìm ra được một cách nhìn thích hợp về cái rieng đã biết để có
một sự mở rộng cái riêng đó. Vậy phải tiếp tục xem xét từng bộ phận trong cái
riêng đó, hy vọng khám phẩ những cách nhìn mới mà trước đây chưa nghĩ tới.
b) Ở bước 4, ta đã phạm sai lầm nào đó ( ví dụ suy nghĩ đơn giản) trong
việc đề xuất các giả thuyết. Sự phát hiện ra những cái " riêng" sai ở bước 6 có
thể giúp ta thấy được trước đây ta đã phạm sai sót gì và hướng sửa chữa.
Kiên trì khắc phục hai nguyên nhân trên, có thể đến một lúc nào đó, ta
thành công. Đức tính kiên trì này cũng không thuần tuý thuộc phạm trù "đạo
đức", " nhân sinh quan" mà còn thuộc cả phạm trù "thế giới quan", "phương
pháp luận": giữa cái "chung" (chưa biết) và cái "riêng" vừa có mâu thuẫn, vừa
có thống nhất (và tin rằng đến một ngày nào đó sẽ nhìn ra). Nhiều phát minh
Toán học, trong đó có những phát minh tầm cỡ, đều bắt đầu ở chỗ tác giả có


16
được cách nhìn mới về một cái riêng cũ kĩ, quen biết đến mức tưởng chừng như
không còn gì để tìm tòi, khai thác trên cái riêng đó.
Ví dụ 1:
Bài toán 1: Cho x 2 + y 2 + z 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của S = xy + yz + xz .
Trước hết giải bài toán trên:
Cách 1: Ta có bất đẳng thức quen thuộc: x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + xz ⇒ S ≤ 1
Vậy giá trị lớn nhất S = 1 ⇔ x = y = z =

3

3
hoặc x = y = z = − .
3
3

Cách 2: áp dụng BĐT Bunnhiacôpski ta có:
S2 = ( yx + yz + xz ) ≤ ( x 2 + y2 + z 2 ) ( y 2 + z 2 + x 2 ) = 1
2

⇒S ≤1

Vậy giá trị lớn nhất S = 1 ⇔ x = y = z =

3
3
hoặc x = y = z = −
3
3

Cách 3: áp dụng BĐT Côsi ta có:
x 2 + y 2 ≥ 2 xy ≥ 2xy 

y 2 + z 2 ≥ 2 yz ≥ 2yz  ⇒ 2S ≤ 2 ( xy + yz + zx ) ≤ 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 2

z 2 + x 2 ≥ 2 zx ≥ 2xz 
⇒ S ≤1
x = y = z

Vậy giá trị lớn nhất S=1 khi và chỉ khi  x, y, z
cùng dấu

x 2 + y2 + z 2 = 1


3
x = y = z =
3
⇔

3
x = y = z = −
3


Ở đây cái riêng là bài toán trên
Bước 1: Phân tích cái riêng cần mở rộng thành các bộ phận của nó: Giả
thiết, kết luận.
Bước 2: Nhìn từng bộ phận nêu ra ở bước 1 theo nhiều quan điểm khác
nhau, càng nhiều càng tốt.


17
*) Nhìn giả thiết theo các góc độ:
a) Tổng các luỹ thừa bậc chẵn, cùng bậc, cùng hệ số của x, y, z .
b) Tổng các luỹ thừa bậc chẵn, cùng bậc của x, y, z .
c) Tổng các luỹ thừa cùng bậc, cùng hệ số của x, y, z .
**) Nhìn kết luận: Giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng:
a) Tổng của các tích đôi một của x, y, z .
b) Tổng của các tích cùng bậc của x, y, z .
1
c) Tổng của các tích đôi một của x, y, z mà bậc bằng bậc của giả thiết.

2

Bước 3: Ta sẽ cố gắng phối hợp các cách nhìn ở *) và **) để đề ra các
bài toán khác dưới dạng giả thuyết ở bước 4.
Bước 4: Ta chưa viết giả thuyết thành bài toán được vì có thể sẽ không
đủ giả thiết để giải bài toán.
Giả thuyết 1: Cho x 4 + y 4 + z 4 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của S = xy + yz + xz .
Giả thuyết 2: Cho x 4 + y 4 + z 4 = m . Tìm giá trị lớn nhất của S = xy + yz + xz .
Giả thuyết 3: Cho x 2n + y 2n + z 2n = M . Tìm giá trị lớn nhất của
S = xy + yz + xz .

Giả thuyết 4: Cho x 2n + y 2n + z 2n = M . Tìm giá trị lớn nhất của
S = x n yn + yn z n + x n z n .

Giả thuyết 5: Cho x n + y n + z n = M . Tìm giá trị lớn nhất của S = xy + yz + xz .
Giả thuyết 6: Cho x 2 + y 2 + 2z 2 = 5 . Tìm giá trị lớn nhất của S = xy + yz + xz .
Giả thuyết 7: Cho 4(x 2 + y 2 ) + 3z 2 = 9 . Tìm giá trị lớn nhất của
S = xy + yz + xz .

Giả thuyết 8: Cho 2x 2 + 3y 2 + 4z 2 = 10 . Tìm giá trị lớn nhất của
S = xy + yz + xz .

Giả thuyết 9: Cho ax 2n + by 2n + cz 2n = M . Tìm giá trị lớn nhất của
S = xy + yz + xz .


18
Giả thuyết 10: Cho ax 2n + by 2n + cz 2n = M . Tìm giá trị lớn nhất của
S = x n yn + yn z n + x n z n .

Bước 5: Ở giả thuyết 5) căn cứ vào phương pháp giải bài toán 1, ta thấy
không tìm được giá trị lớn nhất của S, muốn tìm được ta cần phải bổ sung thêm
điều kiện cho x, y, z.
Bước 6: Nếu giải được (tức là khẳng định được có đủ điều kiện để có kết
quả) các giả thuyết 1, giả thuyết 2, giả thuyết 6, giả thuyết 7, giả thuyết 8 thì
các giả thuyết 3, giả thuyết 9, giả thuyết 10 cũng có cơ sở.
Chẳng hạn:
*) Xem xét giả thuyết 1:
Do vai trò của x, y, z như nhau nên có thể dự đoán trước giá trị lớn nhất
1

4
4
4
sẽ đạt được khi x = y = z ⇒ x = y = z = 3 ⇒ x = y = z =

1
4
3

Ta áp dụng bất đẳng thức Côsi như sau:
1 1
1
4
x 4 + y 4 + + ≥ 4.
xy ≥
xy
3 3
3
3

1 1
1
4
y 4 + z 4 + + ≥ 4.
yz ≥
yz
3 3
3
3
1 1
1
4
x 4 + z 4 + + ≥ 4.
xz ≥
xz
3 3
3
3
⇒

4
≤ 2 ( x 4 + y 4 + z 4 ) + 2 = 4 ⇒ S ≤ 3.
3

Vậy giá trị lớn nhất S = 3 .
*) Từ việc khẳng định giả thuyết 1 đúng ta có
Bài toán 1.1: Cho x 4 + y 4 + z 4 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của S = xy + yz + xz .
Tổng quát bài toán 1.1 theo phương pháp giải ta có giả thuyết 2, giả
thuyết 3 đúng. Ta có các bài toán;
Bài toán 1.2: Cho x 4 + y 4 + z 4 = m . Tìm giá trị lớn nhất của S = xy + yz + xz .

Bài toán 1.3: Cho x 2n + y 2n + z 2n = M . Tìm giá trị lớn nhất của S = xy + yz + xz .


19
1.2. Bài toán và dạy học giải bài tập toán:
1.2.1. Bài toán
Theo nhà Toán học G.Polya: “Nếu khi có một ước muốn, mà trong óc ta,
không cần một chút cố gắng nào, lập tức nảy sinh ra một phương tiện rõ rành
rành, mà dùng phương tiện đó chắc chắn có thể thực hiện được ước muốn, thì
sẽ không nảy ra bài toán. Nhưng nếu không có một phương tiện như vậy, thì đó
là một bài toán”. Như vậy là, bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một
cách ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới mục đích trông thấy rõ ràng nhưng
không thể đạt được ngay. Giải bài toán tức là tìm ra phương tiện đó.
Một bài toán có thể là phức tạp hay đơn giản; tìm ra lời giải bài toán
phức tạp là một việc khó, còn bài toán đơn giản thì dễ. Tuy nhiên, tính chất khó
của lời giải ở chừng nào đó, nằm ngay trong bản thân khái niệm bài toán, nếu
không có khó khăn thì cũng không có bài toán.
Về mức độ khó dễ của bài toán, G.Polya cho rằng: “ Không dễ dàng xét
đoán về mức độ khó của một bài toán, lại càng khó hơn nữa khi xác lập giá trị
giáo dục của nó”.
Theo G.Polya, thầy giáo nên nắm được cách phân loại mức độ khó, dễ
của một bài toán, vì đó là một điều có ích cho giảng dạy. Ông đã ghi nhận công
lao của Frank Denk về sự phân loại này. Trên cơ sở sự phân loại của Frank
Denk, G.Polya có điều chỉnh chút ít và phân loại như sau:
Loại thứ nhất: các bài toán có thể giải được bằng cách vận dụng trực tiếp
quy tắc mẫu hoặc tuân theo một cách máy móc các ví dụ mẫu. Hơn nữa, quy
tắc hoặc ví dụ mẫu có ngay trước mắt học sinh (vừa mới học xong), thầy giáo
thường cho những bài như thế vào cuối giờ học.
Loại toán thứ hai khó hơn, nó được giải tuy cũng được vận dụng trực
tiếp quy tắc mẫu hoặc tuân thủ máy móc các ví dụ mẫu đã được biết. Tuy

nhiên, học sinh chưa rõ ngay nên chọn quy tắc mẫu nào hoặc ví dụ mẫu nào,
học sinh cần phải có sự chọn lọc sơ bộ trong một phạm vi nào đó.


20
Loại thứ ba còn khó hơn nữa. Để giải được chúng, học sinh cần phải kết
hợp một số quy tắc hoặc ví dụ đã học. Bài toán sẽ không quá khó nếu một tổ
hợp nào đấy tương tự với nó (nhưng không phải chính nó) đã dược thảo luận ở
lớp. Nếu tổ hợp này hoàn toàn mới, hoặc cần phải phối hợp nhiều phần của
giáo trình (có thể rất xa nhau), thì bài toán thường là rất khó.
Trong thực tiễn dạy học, các bài tập toán thường được sử dụng với
những dụng ý khác nhau. Tất nhiên, các bài toán thường không chỉ nhằm vào
một mục đích đơn nhất mà thường bao hàm nhiều dụng ý khác nhau.
Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy
học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác
nhau. Những chức năng này đều hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy
học.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán mang các chức năng sau:
- Chức năng dạy học: Bài tập nhằm hình thành củng cố, ôn tập hệ thống
các kiến thức của lý thuyết, hoàn thiện các kiến thức cơ bản, nâng cao lý thuyết
trong chừng mực có thể, làm cho học sinh nhớ và khắc sâu những lý thuyết đã
học. Qua bài tập toán, học sinh có thể phải đào sâu một khía cạnh nào đó của
kiến thức hoặc phân tích, tổng hợp, huy động nhiều kiến thức để giải. Tất cả
những thao tác tư duy đó sẽ góp phần củng cố, khắc sâu và mở rộng kiến thức
cho học sinh. Đây là phương tiện tốt để học sinh phát triển tư duy sáng tạo, xây
dựng và củng cố những kỹ năng,kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình
dạy học.
- Chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển tư duy của học sinh, đặc
rèn luyện thao tác trí tuệ, hình thành và phát triển phẩm chất của tư duy. Bồi
dưỡng cho học sinh phương pháp nghiên cứu khoa học, bởi vì thông qua việc

giải bài tập sẽ rèn luyện cho học sinh thói quen và khả năng độc lập phát hiện
và giải quyết vấn đề có liên quan. Trong môi trường đó, tư duy logic, tư duy
sáng tạo của các em từng bước được phát triển, năng lực các em được nâng
cao.


21
Bài tập toán cũng là phương tiện nghiên cứu tài liệu mới, nhằm đảm bảo
cho học sinh lĩnh hội kiến thức một cách toàn diện, sâu sắc và vững chắc hơn.
Là phương tiện trong việc phát triển năng lực tư duy của học sinh, ta có thể sử
dụng kiến thức trung gian để nâng cao chất lượng học tập của học sinh.
- Chức năng giáo dục: Thông qua việc giải bài tập, sẽ tạo môi trường rèn
luyện cho học sinh phẩm chất trí tuệ như: tính sáng tạo, tính độc lập, tính linh
hoạt, tính mềm dẻo, tính phê phán, .... Việc giải các bài tập sẽ giúp học sinh
làm quen với nhiều tình huống mới lạ. Những tình huống đó cùng với phương
pháp dạy học thích hợp của giáo viên sẽ giúp học sinh tính linh hoạt, tính mềm
dẻo của tư duy.
- Chức năng kiểm tra, đánh giá: Bài tập Toán học là một phương tiện có
hiệu quả để kiểm tra kiến thức, kiểm tra năng lực tư duy, sáng tạo của học sinh.
Thông qua bài tập, có thể kiểm tra được sự hiểu biết của học sinh phân phần
thuyết cơ bản, lý thuyết mở rộng (hoặc kiến thức sâu hơn). Khả năng vận dụng
lý thuyết vào bài tập.
1.2.2 Dạy học giải bài tập toán:
Thế nào là biết giải toán? Đó là phải biết giải toán không chỉ những bài
toán thông thường mà còn cả những bài toán đòi hỏi tư duy độc lập nhất định,
có óc phê phán, tính độc đáo và sáng tạo nữa. Vì vậy, việc vận dụng có hiệu
quả tư tưởng của phép biện chứng đối với cặp phạm trù cái chung và cái riêng
vào giải bài tập toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán.
Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên chỉ đơn thuần cung
cấp cho học sinh lời giải bài toán. Biết lời giải bài toán không quan trọng bằng

làm thế nào để giải được bài toán. Để tăng hứng thú học tập cho học sinh, phát
triển tư duy, rèn luyện kỹ năng và hoạt động độc lập sáng tạo cho họ, thầy giáo
phải hình thành cho học sinh quy trình chung, các phương pháp tìm tòi lời giải
một bài toán.
Mỗi bài toán mà học sinh đã giải, dạy cho họ kỹ năng hướng về những
tình huống có vấn đề khác nhau, biết phân biệt tình huống, biết lựa chọn cái


22
riêng trong cái chung, một hướng đi để giải quyết vấn đề. Khi làm toán trí tuệ
con người được huy động tối đa, khả năng phân tích, tổng hợp được rèn luyện,
các thao tác tư duy từ đó trở nên nhanh nhạy. Có thể nói kỹ năng giải toán là tài
sản đặc trưng của tư duy Toán học.
Thông qua động thái của học sinh khi giải bài tập, bộc lộ được khả năng
về trí tuệ, tính nhanh, tính sáng tạo v.v…. Cũng thông qua hoạt động này, phát
hiện những khuyết điểm, những sai lầm và nguyên nhân dẫn đến sai lầm của
học sinh để kịp thời uốn nắn. Từ đó đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh
giá khả năng độc lập học Toán và trình độ phát triển của học sinh.
• Những yêu cầu chủ yếu đối với lời giải bài tập:
- Lời giải không có sai lầm: học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập thường
do ba nguyên nhân sau:
+ Sai sót về kiến thức Toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm, giả
thiết hay kết luận của định lý,…;
+ Sai sót về phương pháp suy luận;
+ Sai sót do tính sai, sử dụng ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai.
- Lời giải phải có cơ sở lý luận;
- Lời giải đầy đủ;
- Lời giải đơn giản nhất.
• Dạy học sinh phương pháp chung để giải bài tập:
Một số người có tham vọng muốn có một thuật giải tổng quát để giải

mọi bài toán. Đó là điều ảo tưởng. Ngay cả đối với những lớp bài toán riêng.
Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát
hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cũng với những gợi ý chi tiết của
Polya (1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn
dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:


23
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
- Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung
bài toán;
- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.
- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hộ trợ cho việc diễn tả đề
bài
Bước 2: Tìm cách giải
- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chát tìm đoán:
biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã
cho hoặc cái phải tìm với những tri thức tri đã biết, liên hệ bài toán cần giải với
một bài toán cụ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay
một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng với những phương pháp đặc thù với
từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp Toán học, toán dựng
hình, toán quỹ tích v.v…
- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kỹ từng bước thực hiện hoặc đặc
biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên
quan,…
- Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải
hợp lý nhất.
Bước 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một

chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước
đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

A

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả
H

của lời giải.

M

- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự,
mở rộng hay lật ngược vấn đề.

B

I'

I

K

C


24
Ví dụ: Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ nằm trong
một tam giác đều tới ba cạch của tam giác đó là một hằng số.

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
Bài toán này có thể phát biểu một cách cụ thể như sau:
Cho một tam giác đều ABC. Gọi M là một điểm nằm trong tam đó. Kí hiệu các
hình chiếu của M trên 3 cạnh AB, BC và CA lần lượt là H, I và K. Chứng minh
rằng MH + MI + MK không đổi dù cho lấy M ở vị trí nào trong tam giác.
Bước 2: Tìm lời giải:
Việc giải bài toán sẽ dễ hơn nếu ta xác định được hằng số MH + MI + MK.
Muốn vậy ta có thể đặc biệt hóa chẳng hạn bằng cách lấy M trùng với đỉnh A.
,

,

,

Khi đó I tới vị trí I và MH + MI + MK = 0 + AI + 0 = AI . Như vậy hằng số
cần tìm chính bằng độ dài đường cao h của tam giác đều đã cho (chú ý rằng
trong một tam giác đều, ba đường cao có độ dài bằng nhau) . Bài toán trở thành
chứng minh rằng: MH + MI + MK = h.
Để chứng minh tổng MH + MI + MK = h, người ta thường nghĩ tới sắp đặt ba
đoạn thẳng này liên tiếp trên một đường thẳng nào để tạo thành một đoạn thẳng
có độ dài bằng h. Nhưng vị trí sự thay đổi vị trí của ba đoạn thẳng này trên hình
vẽ khi M di chuyển trong tam giác ABC cho thấy điều này khó thực hiện với
bài toán này.
Một hướng khác là có thể biểu thị h qua những đại lượng không đổi khác. Cho
trước một tam giác đều thì không chỉ là đường cao mà cả diện tích, cạnh a, …
của tam giác đó cũng không đổi. Ý nghĩa về mối liên hệ giữa MH + MI + MK
với diện tích gợi ra sự liên tưởng tới đẳng thức sau đây:
dt( ∆ MAB) + ( ∆ MBC) + dt( ∆ MCA) = dt( ∆ ABC).
Hay

1
1
1
1
a. MH + a. MI + a.MK = a.h
2
2
2
2

Hay

1
1
a(MH + MI + MK) = a.h,
2
2

do đó: MH + MI + MK = h.


25
Để kiểm tra lời giải, trước hết ta thử lại hằng số MH + MI + MK ở một vài vị
trí đặc biệt khác, chẳng hạn lấy M là giao điểm của ba đường cao, đồng thời là
ba trung tuyến của tam giác đều.
Khi đó MH = MI = MK =

1
h, do đó MH + MI + MK = h.
3

Mặt khác có thể kiểm tra lời giải bằng cách rà soát lại từng mắt xích chứng
minh.
Bước 3: Trình bày lời giải.

A

Gọi M là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác
đều ABC, hình chiếu của M trên ba cạnh AB,

H

BC, và CA lần lượt là H, I và K. Ký hiệu cạnh

M

và đường cao của tam giác đó lần lượt là a và h,

K

ta có:
dt( ∆ MAB) + ( ∆ MBC) + dt( ∆ MCA) = dt( ∆
ABC).
Hay

1
1
1
1
a. MH + a. MI + a.MK = a.h

2
2
2
2

Hay

1
1
a(MH + MI + MK) = a.h,
2
2

B

I

do đó: MH + MI + MK = h.
Đẳng thức cuối cùng chứng tỏ tổng MH + MI + MK không đổi dù cho ta lấy M
ở vị trí bất kỳ nào trong tam giác.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Từ bài toán trong ví dụ này có thể phát biểu và giải những bài toán khái quát
hoặc mở rộng sau đây.
(i)

Mở rộng ra trường hợp đa giác đều. Chứng minh rằng tổng tổng các
khoảng cách từ một điểm bất kỳ nằm trong một đa giác đều tới các cạnh
của đa giác đó là một hằng số.

(ii)

Mở rộng ra trường hợp đa giác lồi có các cạnh bằng nhau: Phân tích kỹ
lời giải, ta thấy kết quả trên không đòi hỏi đa giác đã cho bắt buộc phải là

C