Vấn đề duy nhất cho ánh xạ phân hình với một họ siêu phẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LÊ NGỌC QUỲNH

VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO ÁNH XẠ
PHÂN HÌNH VỚI MỘT HỌ SIÊU
PHẲNG

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 60.46.01.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. SĨ ĐỨC QUANG

HÀ NỘI, 2012


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của
TS. Sĩ Đức Quang. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
người Thầy đã tận tình giúp đỡ tôi và xin chân thành cảm ơn các Thầy,
Cô phản biện đã dành thời gian đọc và góp những ý kiến quý báu cho
luận văn này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các Thầy, Cô trong
Khoa Toán - Tin ĐHSP nói chung và các Thầy, Cô trong bộ môn Hình
học Khoa Toán - Tin ĐHSP nói riêng, đã tận tình dạy dỗ chúng tôi trong
suốt thời gian học cao học. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng
nghiệp, những người luôn động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt
nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Hà Nội, tháng 9 năm 2012
Tác giả

Lê Ngọc Quỳnh

i


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

i

MỤC LỤC

ii

LỜI GIỚI THIỆU

iii

1 Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào đa tạp
phức compact
1
1.1 Công thức Poincaré - Lelong . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Các hàm Nevanlinna và định lý cơ bản thứ nhất . . . . . .
3
2 Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào không

gian xạ ảnh phức
9
2.1 Phân thớ siêu phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2 Định lý cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình . . . . . . . 12
3 Định lý về tính duy nhất cho ánh xạ phân hình với họ các
siêu phẳng
16
3.1 Bài toán duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Định lý duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
KẾT LUẬN

32

TÀI LIỆU THAM KHẢO

33
ii


LỜI GIỚI THIỆU
Lý thuyết Nevanlinna, hay thường được gọi là Lý thuyết phân bố giá
trị, được xây dựng đầu tiên bởi R. Nevanlinna vào năm 1925 cho trường
hợp một biến phức. Sau khi bài báo của ông được công bố, lý thuyết này
đã được mở rộng và nghiên cứu sâu sắc bởi nhiều nhà toán học như A.
Bloch, H. Cartan, H. J. Weyles, L. Ahlfors, W. Stoll, J. Noguchi và nhiều
tác giả khác.
Năm 1926, R. Nevanlinna đã chỉ ra rằng hai hàm phân hình phân biệt
khác hằng f và g trong mặt phẳng phức C thì không thể có cùng ảnh
ngược của năm giá trị phân biệt. Đặc biệt, g là một biến đổi phân tuyến

tính của f nếu chúng có cùng ảnh ngược tính cả bội của bốn giá trị phân
biệt. Hai kết quả trên được gọi là định lý năm điểm và bốn điểm của
Nevanlinna.
Trong những năm qua, việc tổng quát kết quả nói trên của Nevanlinna
cho trường hợp ánh xạ phân hình nhiều biến đã thu hút sự quan tâm
nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới với nhiều kết quả đẹp đẽ
và sâu sắc đã được công bố như L. Smiley, H. Fujimoto, Y. Aihara, M.
Ru, G. Dethloff, D. D. Thai, T. V. Tan và S. D. Quang ...
Mục đích chính của luận văn là nhằm tìm hiểu về lý thuyết Nevanlinna
cho ánh xạ phân hình vào không gian phức và áp dụng nó để nghiên cứu
bài toán về tính duy nhất của các ánh xạ phân hình có chung ảnh đối với
một họ các siêu phẳng.
Luận văn gồm có ba chương:
Chương I. Trình bày lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào
đa tạp phức compact.
iii


Chương II. Trình bày lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào
không gian xạ ảnh phức.
Chương III. Là chương chính của luận văn, nghiên cứu về vấn đề duy
nhất của ánh xạ phân hình đối với một họ siêu phẳng. Mục đích chính
của chúng tôi trong chương này là tổng quát các kết quả về vấn đề duy
nhất cho ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của một số các siêu phẳng.
Cụ thể, chúng tôi chứng minh hai định lý sau:
Định lý 3.1.1. Với 1 ≤ k ≤ n và q = (n + 1)k + n + 2 ta có:
G(f, {Hi }qi=1 , k, 1) = 1.
Trong đó họ G(f, {Hi }qi=1 , k, d) được định nghĩa trong Chương 3.
Định lý 3.1.2. Cho f , g là hai ánh xạ phân hình khác hằng từ Cm
vào Pn (C), k là một số nguyên dương (1 ≤ k ≤ n). Cho {Hj }qj=1 (q =

2nk + n + 2) là họ các siêu phẳng trong Pn (C) ở vị trí tổng quát thỏa mãn:
k+1

dim f

−1

Hij

≤m−2

(∀ 1 ≤ i1 < ... < ik+1 ≤ n + 1).

j=1

Giả sử f và g là không suy biến tuyến tính trên Rf (trường các hàm phân
hình nhỏ tương ứng với f trên Cm ) và:
(a) min{ν(f,Hj ) , n} = min{ν(g,Hj ) , n} với mọi n + 2 ≤ j ≤ q
−1
−1
(b) f = g trên n+1
j=1 (f (Hj ) ∪ g (Hj ))
Khi đó f = g.

iv


Chương 1
Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ
phân hình vào đa tạp phức compact

1.1

Công thức Poincaré - Lelong
1

Với z = (z1 , · · · , zm ) ∈ Cm , ta kí hiệu: z = (|z1 |2 + · · · + |zm |2 ) 2 ,
B(a, r) = {z ∈ Cm ; z − a < r}, S(a, r) = {z ∈ Cm ; z − a = r},
B(r) = B(0, r), S(r) = S(0, r) (r > 0),
γ = ddc z 2 , η = dc log z 2 ∧ (ddc log z 2 )m−1 .
Định lí 1.1.1 (Công thức Jensen). Cho ϕ ≡ 0 là hàm đa điều hòa dưới
trên B(R). Khi đó với mọi 0 < s < r < R, ta có:
r

ϕη −
S(r)

S(s)

dt

ϕη = 2

ddc [ϕ] ∧ γ m−1

t2m−1
s

B(t)

Định nghĩa 1.1.2 (Divisor trên đa tạp). Một divisor D trên đa tạp M

là một tổng hình thức D = λ kλ Aλ trong đó kλ ∈ Z, {Aλ }λ là họ hữu
hạn địa phương các siêu mặt giải tích trong M .
Với D là một divisor trên M khi đó tồn tại duy nhất một họ hữu
hạn địa phương phân biệt các siêu mặt giải tích bất khả quy {Aλ }λ∈Λ
và họ các số nguyên khác không {kλ }λ∈Λ sao cho D được viết dưới dạng
D=
kλ Aλ . Biểu thức trên gọi là phân tích bất khả quy của D. Khi
λ∈Λ

đó:
1


(1) Siêu mặt SuppD = ∪λ∈Λ Aλ được gọi là giá của D.
(2) D gọi là không âm nếu kλ ≥ 0 ∀λ ∈ Λ, ta viết D ≥ 0.
Ta nói D ≥ D nếu D − D ≥ 0.
(3) Xem D: M → Z là một ánh xạ xác định bởi D (z) =

kλ .

Aλ z

(4) D gọi là divisor rút gọn nếu kλ = 1, ∀λ ∈ Λ.
Tập hợp các divisor trên M được kí hiệu là Div(M ), đây là một nhóm
Abel.
Định nghĩa 1.1.3 (Dòng sinh bởi divisor). Cho D =

kλ Aλ là divisor
λ

trên M . Khi đó dòng 2 (m − 1)-chiều sinh ra bởi D trên M , kí hiệu là D,
được định nghĩa bởi:
D (φ) =

φ với φ ∈ D2m−2 (M ).

kλ
λ

Aλ

Ta có D là dòng bậc 0 và là dòng dương nếu D là divisor không âm.
Cho f là hàm chỉnh hình trên M , A = {f = 0} là siêu mặt giải tích
trong M . Giả sử A có phân tích bất khả quy A = ∪λ Aλ . Khi đó với mỗi
x ∈ R (Aλ ) \ S (A), tồn tại một lân cận U x cùng với một hệ tọa độ địa
phương (z 1 , ..., z m ) trên U sao cho x = (0, ..., 0), U ∩ A = {z ∈ U ; z 1 = 0}
m
và f |U (z) = (z 1 ) λ gλ với gλ là hàm chỉnh hình không có không điểm trên
U. Khi đó divisor xác định bởi f được định nghĩa bởi:
(f ) =

mλ Aλ .
λ

Nếu f là hàm phân hình trên M , khi đó tồn tại phủ mở {Uλ } của U
sao cho trên mỗi Uλ hàm f được viết dưới dạng thương của hai hàm chỉnh
hλ
với gλ ≡ 0 và {h = g = 0} là tập con giải tích có đối chiều ≥ 2.
hình
gλ

Khi đó:
hλ
hβ
=
⇒ (hλ ) = (hβ ), (gλ ) = (gβ ) trên Uλ ∩ Uβ = ∅.
gλ
gβ
Ta định nghĩa divisor không điểm, divisor cực điểm và divisor xác định bởi
f lần lượt như sau: (f )0 = (hλ ), (f )∞ = (gλ ) và (f ) = (f )0 −(f )∞ trên Uλ .
2


Ngược lại, nếu D là divisor trên M thì với mọi x ∈ M , tồn tại lân cận
U x và một hàm phân hình ϕ trên U sao cho D|U = (ϕ). Như vậy tồn
tại họ {Uα , ϕα } với {Uα } là phủ mở của M và ϕα là hàm phân hình trên
M sao cho D|Uα = (ϕα ). Họ {ϕα }α được gọi là họ hàm phân hình xác
định của D.
Định lí 1.1.4 (Công thức Poincaré - Lelong). Cho f ≡ 0 là hàm phân
hình trên M và φ là (2m − 2)-dạng thuộc lớp C 2 trên M với giá compact.
Khi đó:
φ = log|f |2 ddc φ = ddc [log|f |2 ] ∧ φ.
(f )

M

M

Nói cách khác, ddc log |f |2 = (f ).

1.2

Các hàm Nevanlinna và định lý cơ bản thứ nhất

Định nghĩa 1.2.1 (Phân thớ đường thẳng chỉnh hình). Cho L, M là các
đa tạp phức, dim M = m, dim L = m + 1, π : L → M là toàn ánh chỉnh
hình. Khi đó bộ ba (L, π, M ) được gọi là một phân thớ đường thẳng chỉnh
hình trên M nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Với mỗi x ∈ M , Lx = π −1 (x) là không gian véc tơ phức 1 chiều
(thớ tại điểm x).
(ii) Với mỗi điểm x ∈ M , tồn tại lân cận Vx và song chỉnh hình
φx : L|Vx = π −1 (Vx ) → Vx ×C sao cho p1 ◦φ = π, p2 ◦φx |π−1 (y) : π −1 (y) → C
là đẳng cấu tuyến tính với mọi y ∈ Vx , ở đó p1 , p2 lần lượt là phép chiếu
của Vx × C lên thành phần thứ nhất và thứ hai.
Cho (L, π, M ) là phân thớ đường thẳng chỉnh hình (ta có thể viết là
π : L → M hoặc viết tắt đơn giản là L). Khi đó tồn tại một phủ mở
{Vλ } của M , các song chỉnh hình φλ : L|Vλ = π −1 (Vλ ) → Vλ × C thỏa
mãn φλ |Lx : Lx → {x} × C ∼
= C là ánh xạ tuyến tính và các hàm chỉnh
hình không có không điểm φλµ xác định trên tập Vλ ∩ Vµ = ∅ thỏa mãn:
φλ ◦ φ−1
µ |(Vλ ∩Vµ )×C : (x, z) ∈ (Vλ ∩ Vµ ) × C → (x, φλµ (x)z) ∈ (Vλ ∩ Vµ ) × C
3


là song chỉnh hình. Khi đó họ φλµ thỏa điều kiện đối chu trình, tức là
thỏa mãn:
(i) φλλ = 1,
(ii) φλµ φµλ = 1,
(iii) φλµ φµγ φγλ = 1.
Họ {Uλ , φλ } như trên được gọi là phủ tầm thường hóa địa phương của L

và {φλµ } là hệ hàm chuyển.
Định nghĩa 1.2.2 (Nhát cắt trên phân thớ). Cho π : L → M là phân
thớ đường thẳng chỉnh hình trên M , U là tập con mở của M . Mỗi ánh
xạ chỉnh hình (tương ứng phân hình) ϕ : U → L sao cho πo ϕ = idU được
gọi là một nhát cắt chỉnh hình (phân hình) trên U của L. Tập hợp các
nhát cắt đó lập thành một không gian véc tơ kí hiệu Γ (U, L) (tương ứng
Γrat (U, L)).
Khi U = M , ϕ như trên được gọi là nhát cắt toàn cục trên M . Ta
thường dùng kí hiệu H 0 (M, L) để chỉ Γ (M, L). Nhát cắt s ∈ Γ (U, L)
thỏa mãn s(x) = 0x ∈ Lx được gọi là một mục tiêu chỉnh hình địa
phương trên U của L.
Giả sử {Uλ , φλ } và {φλµ } là phủ tầm thường hóa địa phương và hệ
hàm chuyển của L. Đặt sλ (x) = φ−1
λ (x, 1), ∀x ∈ Uλ , khi đó sλ là một mục
tiêu chỉnh hình địa phương trên M . Đôi khi ta cũng gọi họ ({Uλ } , {φλ })
là phủ tầm thường hóa địa phương của M .
Lấy σ ∈ Γrat (M, L)\{0}, ta có σ (x) = σλ (x) .sλ (x) = σλ (x) .φ−1
λ (x, 1),
với σλ (x) là hàm phân hình trên Uλ . Khi đó trên Uλ ∩ Uµ = ∅, ta có:
−1
−1
σλ (x) .φ−1
λ (x, 1) = σµ (x) .φµ (x, 1) = σµ (x) .φλµ (x) .φλ (x, 1) .

Do vậy 2 divisor (σλ ) = (σµ ) trên Uλ ∩ Uµ = ∅. Ta đặt (σ) = (σλ ) trên Uλ
với mỗi λ. Như vậy ta được (σ) ∈ Div(M ), gọi là divisor sinh bởi σ. Ta
đặt:
|L| = {(σ) ; σ ∈ Γ (M, L) \ {0}} .
Định nghĩa 1.2.3 (Metric Hermitian). Cho phân thớ đường thẳng chỉnh
hình π : L → M . Họ H = {Hx }x∈M được gọi là một metric Hermitian

trên L nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
4


(i) Hx là dạng Hermitian trên Lx .
(ii) Với Umở ⊂ M , s ∈ Γ (U, L) thì Hx (s (x) , s (x)) ∈ C ∞ (U ).
Chú ý 1.2.4. (1) Lấy ({Vλ } , {sλ }) là một phủ tầm thường địa phương
của L và {φλµ } là hệ hàm chuyển. Đặt Hλ (x) = Hx (sλ (x) , sλ (x)), khi
đó Hλ ∈ C ∞ (U ) thỏa mãn hai điều kiện sau:
(i) Hλ > 0, ∀x ∈ Uλ .
(ii) φ2λµ Hλ (x) = Hµ (x), ∀x ∈ Uλ ∩ Uµ .
Khi đó họ hàm {Hλ } cũng được gọi là metric Hermitian trên L.
(2) Đồng thời ta định nghĩa hàm . trên L như sau: Với a ∈ Lx ,
x ∈ Uλ , a = vλ .sλ (x) ta đặt a = |vλ | Hλ (x). Hàm . cũng được gọi
là metric Hermitian trên L.
Ba định nghĩa trên là tương đương và phân thớ đường thẳng chỉnh
hình L với một metric Hermitian trên đó được gọi là phân thớ đường
thẳng Hermitian, ta viết (L, H).
Định nghĩa 1.2.5 (Dạng Chern). Cho L là phân thớ đường thẳng Hermitian trên M với metric Hermitian {Hλ }. Khi đó dạng vi phân kiểu
(1,1):
i ¯
ωL,H = − ∂ ∂logH
λ.
2π
được gọi là dạng Chern của (L, H).
Định nghĩa 1.2.6 (Hàm đếm của dòng). Với T là dòng bậc 0 kiểu (1,1)
trên Cm . Ta định nghĩa hàm đếm của T như sau:
r

T χB(t) γ m−1

n (t, T ) =
, N (r, T ) =
t2m−2

n (t, T )
dt.
t
1

Với D ∈ Div(M ), D có thể xem như là hiệu của 2 divisor không âm trên
M . Mặt khác, mỗi divisor không âm được xem như một dòng dương kiểu
(1,1), do vậy D là một dòng bậc 0 kiểu (1,1) trên M . Hàm số N (r, D)
được gọi là hàm đếm của D.

5


Với D ∈ Div(M ), giả sử D có biểu diễn bất khả quy: D = λ aλ Vλ .
Với k, l là số nguyên dương hay k = ∞, đặt D(k) =
min {k, aλ } Vλ và
λ

ta định nghĩa hàm đếm chặn bội đến bậc k của D như sau:
r

N

(k)

(r, D) = N r, D

(k)

=

r

n t, D(k)
dt =
t

D(k) χB(t) γ m−1
dt
t2m−1

1

1
r

dt

=

γ m−1 .

t2m−1
1

min{k,aλ }Vλ )

B(t)∩(
λ

Hàm N (k) (r, D) được gọi là hàm đếm chặn bội đến bậc k của D. Khi
k = ∞, ta bỏ kí tự (k) trong các kí hiệu trên và hàm số N (r, D) được gọi
là hàm đếm của D.
Cho F là một hàm chỉnh hình khác không trên một miền Ω trên
Cm . Với một tập gồm các số nguyên không âm α = (α1 , ..., αm ), ta đặt
∂ |α| F
α
.
|α| = α1 + ... + αm và D F = α
∂ 1 z1 ...∂ αm zm
Khi đó ta định nghĩa hàm số νF : Ω → Z cho bởi:
νF (z) := max{l : Dα F (z) = 0, ∀α : |α| < l} (z ∈ Ω).
Để tiện lợi, chúng ta có thể xem một divisor trên miền Ω ⊂ Cm là
một ánh xạ ν : Ω → Z sao cho với mỗi a ∈ Ω, có các hàm chỉnh hình
khác không F và G trên một lân cận liên thông U ⊂ Ω thỏa mãn ν(z) =
νF (z) − νG (z) với mỗi z ∈ U ngoài một tập giải tích có chiều ≤ m − 2.
Hai divisor được gọi là tương đương nếu chúng cùng đồng nhất ngoài
một tập giải tích có số chiều ≤ m − 2. Với mỗi divisor ν trên Ω, ta đặt
|ν| := {z : ν(z) = 0}, là một tập con giải tích (m − 1) chiều của Ω hoặc
là tập rỗng.
Với ν là divisor trên Cm và số nguyên dương k, l hay k = ∞, ta định
nghĩa hàm đếm của ν bởi:
ν (k) (z) = min{k, ν(z)}
6


0
nếu ν(z) ≤ l
(k)
ν>l (z) =
ν (k) (z) nếu ν(z) > l

ν(z)γ m−1


nếu m ≥ 2

t2m−1
B(t)
n(t, ν) =


ν(z)
nếu m = 1

|z|≤t

(k)

(k)

Tương tự, ta định nghĩa n(k) (t) = n(t, ν (k) ), n>l (t) = n(t, ν>l ).
r

n(t, ν)

dt (1 < r < ∞)
t

Ta định nghĩa: N (r, ν) =
1
(k)

(k)

(k)

Tương tự, ta định nghĩa N (r, ν) = N (r, ν (k) ), N>l (r, ν) = N (r, ν>l ).
Với hai divisor ν và µ trên Cm , ta định nghĩa:

1 nếu ν(z) = µ(z)
Sν=µ (z) =
và N (r, ν = µ) = N (r, Sν=µ ).
0 nếu ν(z) = µ(z)
Trường hợp k = ∞, ta bỏ kí tự (k) trong các kí hiệu trên.
Cho M là đa tạp phức compact n chiều, f : Cm → M là ánh xạ
phân hình được xác định bởi ánh xạ chỉnh hình f0 : W → M . Trong đó
W = Cm \ I(f ), với I(f ) là tập không xác định của f , nó là một tập con
giải tích có đối chiều ≥ 2 của Cm .
Định nghĩa 1.2.7 (Hàm đặc trưng của ánh xạ phân hình). Cho ω là
dạng vi phân thực liên tục kiểu (1,1) trên M . Hàm đặc trưng của f tương
ứng với ω được định nghĩa như sau:
Tf (r, ω) = N (r, [f ∗ ω]) .
Cho L là phân thớ đường thẳng Hermitian trên M với mêtric Hermitian
. . Cho D là divisor trên M sao cho D = (σ) với σ ∈ Γ (M, L) (Vì M
compact nên ta có thể giả sử σ < 1) và f (Cm ) ⊂ SuppD.

Định nghĩa 1.2.8 (Hàm xấp xỉ của ánh xạ phân hình). Hàm xấp xỉ của
7


f tương ứng với D được định nghĩa (sai khác một hàm bị chặn) như sau:
mf (r, D) =

log

1
η.
σo f

S(r)

Định lí 1.2.9 (Định lý cơ bản thứ nhất). Cho ω là dạng Chern của phân
thớ đường thẳng Hermitian L trên M và f : Cm → M là ánh xạ phân
hình. Giả sử f là chỉnh hình hoặc ω ≥ 0, khi đó với mọi D ∈ |L| mà
f (Cm ) ⊂ D, ta có:
Tf (r, ω) = N (r, f ∗ D) + mf (r, D) − mf (1, D) .

8


Chương 2
Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ
phân hình vào không gian xạ ảnh
phức
2.1
2.1.1

Phân thớ siêu phẳng
Ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức

Kí hiệu Pn (C) là không gian xạ ảnh n chiều trên C liên kết với không
gian véctơ Cn+1 . Ta cố định một mục tiêu xạ ảnh trên Pn (C) và gọi
(ω0 : · · · : ωn ) là tọa độ thuần nhất của Pn (C) trong mục tiêu xạ ảnh trên.
ωi
là hàm phân hình trên Pn (C).
Khi đó
ωj
Cho f : Cm → Pn (C) là ánh xạ phân hình. Ta giả sử f (Cm ) ⊂ {ω; ω0 =
0}. Gọi H là divisor rút gọn trên Pn (C) thỏa mãn SuppH = {ω; ω0 = 0}.
Khi đó tồn tại hàm chỉnh hình f0 trên Cm sao cho (f0 ) = f ∗ H. Mặt
khác, fi = f0 .( ωω0i ◦ f ) là các hàm chỉnh hình trên Cm , i = 1, · · · , n. Với
z∈
/ Suppf ∗ H hiển nhiên có f (z) = (f0 (z) : · · · : fn (z)).
Như vậy, với mỗi ánh xạ phân hình f : Cm → Pn (C) tồn tại các hàm
chỉnh hình f0 , · · · , fn không đồng thời đồng nhất bằng không sao cho
f (z) = (f0 (z) : · · · : fn (z)) với z ∈
/ {f0 = · · · = fn = 0}. Bộ (f0 : · · · : fn )
được gọi là một biểu diễn của f . Nếu tập {f0 = · · · = fn = 0} là tập con
giải tích có đối chiều ≥ 2 thì f = (f0 : · · · : fn ) được gọi là biểu diễn rút
9


gọn (hay chấp nhận được của f ).
Cho f : Cm → Pn (C) có biểu diễn rút gọn là f = (f0 : · · · : fn ) với
n

dim

Zerofi

≤ m − 2, fi chỉnh hình. Ta nói f không suy biến tuyến

i=0

tính (không suy biến đại số) nếu ảnh của f không thuộc bất kì siêu phẳng
H (siêu mặt D) nào của Pn (C).
Mỗi một siêu phẳng H trên Pn (C) được xác định bởi phương trình
tuyến tính có dạng:
H : a0 ω0 + · · · + an ωn = 0 với |a0 | + · · · + |an | = 0.
Mỗi một siêu mặt D bậc d trên Pn (C) xác định bởi phương trình thuần
nhất có dạng:
aI ω I = 0,
|I|=d

với I = (i0 , ...in ), |I| = i0 + · · · + in = d, ω I = ω0i0 ...ωnin .
n

ai fi và (f, D) = D(f ) =

Ta kí hiệu (f, H) = H(f ) =

aI fI , với

i=0

fI = i∈I fi

Họ các siêu phẳng {Hi }qi=0 , q ≥ n + 1 (các siêu mặt {Di }qi=0 ) được gọi
là ở vị trí tổng quát nếu giao của bất kì n + 1 siêu phẳng (siêu mặt) trong
chúng đều bằng rỗng.
Cho N ≥ n, khi đó họ các siêu phẳng {Hi }qi=0 , q ≥ n + 1 (các siêu mặt
{Di }qi=0 ) được gọi là ở vị trí N - dưới tổng quát nếu mỗi tập con gồm
N + 1 siêu phẳng (siêu mặt) trong chúng đều có giao bằng rỗng.
2.1.2

Phân thớ siêu phẳng của không gian xạ ảnh phức

Cho Pn (C) là không gian xạ ảnh phức với hệ tọa độ thuần nhất (ω0 :
· · · : ωn ). Khi đó Pn (C) là đa tạp phức n chiều với hệ bản đồ (Vi , φi ),
i = 0, · · · , n trong đó:
Vi = {ω = (ω0 : · · · : ωn ); ωi = 0} ,
ωˆi
ωn
ω0
,··· , ,··· ,
∈ Cn .
φi : (ω0 : · · · : ωn ) ∈ Vi −→
ωi
ωi
ωi
10


Lấy H là một siêu phẳng tùy ý trong Pn (C), H = {ω;

n

ai ωi = 0}
i=0

với a0 , · · · , an là các số phức không đồng thời bằng không. Khi đó H là
tập con giải tích chiều thuần túy n − 1 của Pn (C) và xác định cho chúng
ta một divisor rút gọn, vẫn kí hiệu là H, được cho bởi họ các hàm chỉnh
n a ω
k k
hình {ϕi : ω ∈ Ui →
}. Như vậy, H sẽ xác định cho chúng ta một
k=0 ωi
phân thớ đường thẳng chỉnh hình L(H) trên Pn (C) với hệ hàm chuyển
ϕij : Vi ∩ Vj → C cho bởi:
ϕij =

ak ω k
ak ω k
/
ωi
ωj

=

ωj
.
ωi

Do họ ϕij xác định như trên không phụ thuộc vào H, do đó phân thớ
đường thẳng chỉnh hình L(H) là duy nhất (sai khác một đẳng cấu phân
thớ) không phụ thuộc vào H. Ta kí hiệu phân thớ này là H0 .

Giả sử g ∈ Γ(Pn (C), H0 )\{0}, khi đó tồn tại duy nhất g ∗ ∈ Γ(Pn (C))
sao cho với (x0 , ..., xn ) ∈ Cn+1 \{0} thì:
g(x0 : ... : xn ) =
∗

(x0 : ... : xn ),

1 ∗
g (x0 , ..., xn )
xi

.

n

ai xi với a0 , ..., an ∈ C không đồng thời bằng 0.

và g (x0 , ..., xn ) =
i=1

Phân thớ đường thẳng chỉnh hình H0 xác định như trên được gọi là phân
thớ siêu phẳng trên Pn (C).
|H0 | = {H; H là siêu phẳng trong Pn (C)}.
2.1.3

Dạng Fubini Study trên không gian xạ ảnh phức

(a) Cho H0 là phân thớ siêu phẳng trên Pn (C). Trên H0 ta định nghĩa
một metric Hermitian xác định bởi họ các hàm Hi lớp C ∞ trên Vi được
định nghĩa như sau:

Hi (ω0 : · · · : ωn ) =
11

|ωi |2
.
n
2
k=0 |ωk |


Như vậy, ta có |ϕij |2 Hi = Hj trên Vi ∩ Vj . Vậy {Hi }ni=0 xác định một
metric Hermitian trên H0 . Chuẩn . sinh bởi metric được cho bởi:
[((ω0 : · · · : ωn ), z)i ] = |z|

Hi (ω0 : · · · : ωn ).

Giả sử σ ∈ Γ(Pn (C), H0 ) được xác định bởi dạng tuyến tính: σ ∗ (ω0 , ..., ωn ) =
n
i=0 ai ωi . Với (ω0 : · · · : ωn ) ∈ Vi , ta có:
1
σ(ω0 : · · · : ωn ) =
ωi

n

Hi (ω0 : · · · : ωn ) =

ak ω k
k=0

|
(

n
k=0 ak ωk |
.
n
2 ) 21
|ω
|
k
k=0

(b) Dạng Chern của H0 , kí hiệu là Ω là dạng vi phân kiểu (1,1) được
tính như sau:


|ωk2 | 
c
c

Ω|Vi (ω0 : · · · : ωn ) = −dd log Hi (ω0 : · · · : ωn ) = dd log 1 +
.
|ωi2 |
k=i

Dạng vi phân Ω trên được gọi là dạng Fubini - Study của Pn (C) và là
dạng vi phân kiểu (1, 1) xác định dương trên Pn (C).

2.2

2.2.1

Định lý cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình
Hàm đặc trưng, hàm đếm, hàm xấp xỉ

(a) Trong Pn (C) cố định một tọa độ thuần nhất (ω0 : · · · : ωn ). Gọi
f : Cm → Pn (C) là ánh xạ phân hình có một biểu diễn rút gọn f = (f0 :
· · · : fn ).
Cho H là siêu phẳng trong Pn (C) xác định bởi H = {ω;

n

ai ωi = 0}
i=0

với a0 , · · · , an là các số phức không đồng thời bằng không. Như vậy, H
được xem là divisor không điểm của nhát cắt σ ∈ Γ(Pn (C), H0 ) được xác
định bởi dạng tuyến tính σ ∗ (x0 , · · · , xn ) = ni=0 ai xi .
1
1
Ta đặt H = (|a0 |2 + · · · + |an |2 ) 2 , f = (|f0 |2 + · · · + |fn |2 ) 2 (∼
maxi=0,n |fi |)) và (f, H) = ni=0 ai fi . Nếu f (Cm ) ⊂ H hay (f, H) ≡ 0 thì
divisor không điểm của hàm (f, H) không phụ thuộc vào biểu diễn rút
12


gọn của f và các hệ số ai . Ta kí hiệu divisor này là (f, H) nếu không có
gì nhầm lẫn. Như vậy, (f, H) = f ∗ H theo nghĩa của divisor.
|fk |2
∗

c
= ddc log f 2 .
(b) Ta có: f Ω|f −1 (Vi ) = dd log 1 +
2
k=i |fi |
Do vậy, kí hiệu Tf (r) là hàm đặc trưng của f tương ứng với dạng Fubini
- Study, ta sẽ có:
r

dt

Tf (r) = Tf (r, Ω) =

f ∗ Ω ∧ γ m−1

t2m−1
1

B(t)
r

dt

=

ddc log f

t2m−1
1

∧ γ m−1

B(t)

log f η −

=

2

S(r)

log f η

(Theo công thức Jensen).

S(1)

(c) Lấy H là siêu phẳng như mục (a) sao cho f (Cm ) ⊂ H. Theo công
thức Poincaré - Lelong thì (f, H) = ddc [log |(f, H)|2 ] theo nghĩa của dòng.
Do vậy, kí hiệu N(f,H) (r) là hàm đếm của f tương ứng với H, ta có:
r

dt

N(f,H) (r) = N (r, f ∗ H) =

χB(t) γ m−1

t2m−1

1

(f,H)

r

dt

=

ddc log |(f, H)|2 ∧ γ m−1

t2m−1
1

B(t)

log |(f, H)|η −

=
S(r)

log |(f, H)|η

(Theo công thức Jensen).

S(1)

Kí hiệu m(f,H) (r) là hàm xấp xỉ của f tương ứng với H, ta có:
m(f,H) (r) =

log

1
η−
σ◦f

1
η
σ◦f

log

f
η.
|(f, H)|

S(1)

S(r)

=

log

log

f
η−
|(f, H)|

S(r)

S(1)

13


Định lí 2.2.1 (Định lý cơ bản thứ nhất). Cho f : Cm → Pn (C) là ánh
xạ phân hình và H là siêu phẳng trong Pn (C) thỏa f (Cm ) ⊂ H. Khi đó:
Tf (r) = N(f,H) (r) + m(f,H) (r) + O(1).
2.2.2

Hàm phân hình và ánh xạ phân hình

(a) Lấy một hàm phân hình khác không ϕ trên miền Ω trên Cm . Với mỗi
a ∈ Ω, chúng ta chọn các hàm chỉnh hình khác không F và G trên một
F
lân cận U ⊂ Ω sao cho ϕ = G
và dim(F −1 (0) ∩ G−1 (0)) ≤ m − 2. Để
thuận tiện cho việc trình bày, chúng ta định nghĩa các divisor νϕ , νϕ∞ như
sau νϕ := νF , νϕ∞ := νG , việc định nghĩa này không phụ thuộc vào việc
chọn F và G.
Cho ϕ : Cm → C và k, l là số nguyên dương hay k = ∞, ta định nghĩa:
(k)

(k)

Nϕ (r) = N (r, νϕ ), Nϕ(k) (r) = N (k) (r, νϕ ), Nϕ,>l (r) = N>l (r, νϕ ).
Trường hợp k = ∞, ta bỏ kí tự (k) trong các kí hiệu trên.

Cho f : Cm → Pn (C) là ánh xạ phân hình có biểu diễn rút gọn f =
(f0 : ... : fn ) và H là một siêu phẳng trong Pn (C) xác định bởi H =
{a0 ω0 + ... + an ωn = 0} với a := (a0 , ..., an ) = (0, ..., 0). Ta định nghĩa
divisor tương ứng f ∗ H xác định bởi f ∗ H(z) = ν(f,H) (z) (z ∈ Cm ), định
nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đại diện của f. Từ đây,
chúng ta sẽ viết ν(f,H) thay cho f ∗ H nếu không có gì nhầm lẫn.
(b) Cho ϕ là hàm phân hình khác hằng trên Cm , ta xem ϕ là ánh xạ
phân hình từ Cm vào P1 (C) có biểu diễn rút gọn ϕ = (ϕ0 : ϕ1 ) với ϕ0 , ϕ1
là các hàm chỉnh hình thỏa mãn tập {z ∈ Cm ; ϕ0 (z) = ϕ1 (z) = 0} là tập
giải tích có đối chiều ≥ 2.
Ta định nghĩa hàm xấp xỉ của ϕ bởi:
log + |ϕ|η.

m(r, ϕ) =
S(r)

trong đó log+ t = max{0, log t} với t > 0. Hàm đặc trưng Nevanlinna của
ϕ được định nghĩa bởi:
T (r, ϕ) = N ϕ1 (r) + m(r, ϕ).
14


Khi đó, ta có:
Tϕ (r) = T (r, ϕ) + O(1).
Hàm phân hình ϕ được gọi là nhỏ tương ứng với f nếu và chỉ nếu:
T (r, ϕ) = o(Tf (r)) trong đó, kí hiệu P dùng để nói rằng kết luận P
đúng ngoài một tập E ⊂ [0, +∞) có độ đo Lebesgue hữu hạn.
Trường các hàm phân hình nhỏ tương ứng với f trên Cm được kí hiệu
là Rf .
Định lí 2.2.2 (Định lý cơ bản thứ hai). Cho f : Cm → Pn (C) là ánh xạ

phân hình không suy biến tuyến tính và H1 , · · · , Hq là các siêu phẳng ở
vị trí tổng quát. Khi đó:
q
(n)

(q − n − 1)Tf (r) ≤

N(f,Hj ) (r) + o(Tf (r)).
j=1

15


Chương 3
Định lý về tính duy nhất cho ánh xạ
phân hình với họ các siêu phẳng
3.1

Bài toán duy nhất

Vào năm 1975, H. Fujimoto [4] đã chứng minh định lý duy nhất sau cho
ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với điều kiện có cùng giao ảnh ngược
của 3n + 2 siêu phẳng với bội bị chặn.
Định lý A (H. Fujimoto [4]). Cho Hi (1 ≤ i ≤ 3n + 2) là 3n + 2 siêu
phẳng của Pn (C) ở vị trí tổng quát, f và g là hai hàm phân hình khác
hằng từ Cm vào Pn (C) thỏa f (Cm ) Hi , g(Cm ) Hi và ν(f,Hi ) = ν(g,Hi )
với 1 ≤ i ≤ 3n + 2. Giả sử f và g đều không suy biến tuyến tính trên C,
tức là ảnh của chúng không thuộc bất kỳ siêu phẳng nào trong Pn (C) thì
f = g.
Vào năm 1983, L. Smiley đã xem xét trường hợp các hàm phân hình

có chung ảnh đối với 3n + 2 siêu phẳng của Pn (C) không kể bội và ông
đã chứng minh định lý sau:
Định lý B (L. Smiley [8]). Cho f và g là ánh xạ phân hình không suy
biến tuyến tính từ Cm vào Pn (C). Cho {Hj }qj=1 (q ≥ 3n + 2) là họ siêu
phẳng trong Pn (C) ở vị trí tổng quát. Giả sử:
(a) f −1 (Hj ) = g −1 (Hj ) với mọi 1 ≤ j ≤ q,
(b) dim(f −1 (Hi ) ∩ f −1 (Hj )) ≤ m − 2 với mọi 1 ≤ i < j ≤ q,
16


(c) f = g trên qj=1 f −1 (Hj ).
Khi đó f = g.
Sau đó, vấn đề duy nhất của ánh xạ phân hình với bội bị chặn được
mở rộng và nghiên cứu sâu hơn bởi nhiều tác giả. Trong [1], [2], [7] và [9]
các tác giả đã chứng minh kết quả của L. Smiley trong trường hợp số siêu
phẳng bé hơn. Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày kết quả của Z. Chen và Q.
Yan, đây là một trong các kết quả tốt nhất cho đến lúc này.
Cho ánh xạ phân hình f : Cm → Pn (C) không suy biến tuyến tính, số
nguyên dương d và q siêu phẳng H1 , H2 , ..., Hq trong Pn (C) ở vị trí tổng
quát với
dim f −1 (Hi ∩ Hj ) ≤ m − 2 (1 ≤ i < j ≤ q).
(3.1)
và xét F(f, {Hi }qi=1 , d) là tập hợp các ánh xạ phân hình g : Cm → Pn (C)
không suy biến tuyến tính thỏa các điều kiện sau:
(a) min(ν(f,Hj ) , d) = min(ν(g,Hj ) , d) (1 ≤ j ≤ q),
(b) f (z) = g(z) trên qj=1 f −1 (Hj ).
Kí hiệu S là lực lượng của tập hợp S.
Định lý C (Z. Chen-Q. Yan [1]).

F(f, {Hi }2n+3

i=1 , 1) = 1.

Tuy nhiên, trong tất cả kết quả của Z. Chen-Q.Yan và các tác giả trên
về vấn đề duy nhất với bội bị chặn, điều kiện (3.1) không thể bỏ đi được.
Mục đích đầu tiên của chương này là tổng quát các kết quả trên trong
trường hợp điều kiện (3.1) được thay thế bởi điều kiện tổng quát hơn hay
được bỏ đi. Trước tiên chúng tôi đưa ra khái niệm sau.
Cho ánh xạ phân hình f : Cm → Pn (C) không suy biến tuyến tính
trên Cm , số nguyên dương d, k (1 ≤ k ≤ n) và q siêu phẳng H1 , H2 , ..., Hq
trong Pn (C) ở vị trí tổng quát với
k+1

dim f

−1

Hij

≤ m − 2 (1 ≤ i1 < ... < ik+1 ≤ q).

(3.2)

j=1

và xét tập G(f, {Hj }qj=1 , k, d) là tập hợp các ánh xạ phân hình g : Cm →
Pn (C) không suy biến tuyến tính trên C thỏa các điều kiện sau:
(a) min(ν(f,Hj ) , d) = min(ν(g,Hj ) , d) (1 ≤ j ≤ q),
17

(b) f (z) = g(z) trên qj=1 {z ∈ Cm : ν(f,Hj ) (z) > 0}.
Khi đó, với mọi k ≥ 1 chúng ta thấy rằng:
F(f, {Hj }qj=1 , d) = G(f, {Hj }qj=1 , 1, d) ⊂ G(f, {Hj }qj=1 , k, d).
Định lí 3.1.1. Với 1 ≤ k ≤ n và q = (n + 1)k + n + 2, ta có:
G(f, {Hi }qi=1 , k, 1) = 1.
Rõ ràng Định lý C là trường hợp đặc biệt của Định lý 3.1.1 trên với
k = 1. Đặc biệt, chúng ta thấy rằng điều kiện (3.2) được thỏa mãn một
cách tự động với k = n vì họ siêu phẳng ở vị trí tổng quát.
Mặt khác, trong [10] các tác giả đã mở rộng kết quả của L. Smiley cho
trường hợp tập đồng nhất của hai ánh xạ phân hình f và g trong điều
kiện (c) được thay thế bởi một tập hợp nhỏ hơn như sau:
Định lý D (Trinh-Quang-Tan [10]). Cho f , g là hai ánh xạ phân hình
khác hằng từ Cm vào Pn (C) và {Hj }qj=1 (q = 3n + 2) là các siêu phẳng
trong Pn (C) ở vị trí tổng quát thỏa mãn:
dim (f −1 (Hi ∩ Hj )) ≤ m − 2

(1 ≤ i < j ≤ q).

(3.3)

Giả sử f và g là không suy biến tuyến tính trên Rf (trường các hàm phân
hình nhỏ tương ứng với f trên Cm ) và:
(a) min{ν(f,Hj ) , n} = min{ν(g,Hj ) , n} với mọi n + 2 ≤ j ≤ q,
−1
−1
(b) f = g trên n+1
j=1 (f (Hj ) ∪ g (Hj )).
Khi đó f = g.
Mục đích thứ hai của chương này là mở rộng kết quả trên trong trường
hợp điều kiện (3.3) trên giao của ảnh ngược của các siêu phẳng được thay

thế bởi điều kiện tổng quát hơn. Cụ thể chúng tôi sẽ chứng minh định lý
sau:
Định lí 3.1.2. Cho f , g là hai ánh xạ phân hình khác hằng từ Cm vào
Pn (C), k là một số nguyên dương (1 ≤ k ≤ n). Cho {Hj }qj=1 (q = 2nk +
n + 2) là họ siêu phẳng trong Pn (C) ở vị trí tổng quát thỏa mãn:
k+1

dim f

−1

Hij

≤m−2

j=1

18

(1 ≤ i1 < ... < ik+1 ≤ n + 1)


Giả sử f và g là không suy biến tuyến tính trên Rf và:
(a) min{ν(f,Hj ) , n} = min{ν(g,Hj ) , n} với mọi n + 2 ≤ j ≤ q,
−1
−1
(b) f = g trên n+1
j=1 (f (Hj ) ∪ g (Hj )).
Khi đó f = g.
Chúng ta thấy rằng Định lý D là hệ quả của Định lý 3.1.2 với k = 1.

3.2

Định lý duy nhất

A. Chứng minh Định lý 3.1.1
Để chứng minh Định lý 3.1.1, ta cần các bổ đề sau:
Bổ đề 3.2.1. Cho f , g là các ánh xạ phân hình khác hằng đi từ Cm vào
Pn (C). Cho {Hi }qi=1 (q ≥ n + 2) là họ siêu phẳng trong Pn (C) ở vị trí
tổng quát. Giả sử rằng:
min{ν(f,Hi ) , 1} = min{ν(g,Hi ) , 1} với mọi 1 ≤ j ≤ q.
Khi đó: Tg (r) = O(Tf (r)) và Tf (r) = O(Tg (r)).
Chứng minh. Theo Định lý cơ bản thứ hai, ta có:
q
(n)

(q − n − 1)Tg (r) ≤

N(g,Hi ) (r) + o(Tg (r))
i=1
q
(1)

≤

nN(g,Hi ) (r) + o(Tg (r))
i=1

≤ qn Tf (r) + o(Tg (r)).
Do đó (q − n − 1)Tg (r) ≤ qn Tf (r) + o(Tg (r)).

Vậy Tg (r) = O(Tf (r)). Tương tự, ta cũng có Tf (r) = O(Tg (r)).
Chứng minh Định lý 3.1.1. Giả sử rằng tồn tại hai ánh xạ phân hình
phân biệt f , g ∈ G(f, {Hi }qi=1 , k, 1). Bằng cách thay đổi các chỉ số nếu

19


cần thiết, chúng ta có thể giả sử rằng:
(f, H1 ) (f, H2 )
(f, Hk1 )
≡
≡ ··· ≡
(g, H1 )
(g, H2 )
(g, Hk1 )

≡

(f, Hk1 +1 )
(f, Hk2 )
≡ ··· ≡
(g, Hk1 +1 )
(g, Hk2 )

group 1

group 2

(f, Hks−1 +1 )
(f, Hk2 +1 )

(f, Hk3 )
(f, Hks )
≡
≡ ··· ≡
≡ ··· ≡
≡ ··· ≡
(g, Hk2 +1 )
(g, Hk3 )
(g, Hks−1 +1 )
(g, Hks )
group 3

group s

trong đó ks = q
Với mỗi 1 ≤ i ≤ q, ta đặt:

i + n
σ(i) =
i + n − q
và

nếu i + n ≤ q
nếu i + n > q

Pi = (f, Hi )(g, Hσ(i) ) − (g, Hi )(f, Hσ(i) ).

Vì f ≡ g, số phần tử của mỗi nhóm nhiều nhất là n. Khi đó

(f, Hi )

và
(g, Hi )

(f, Hσ(i) )
thuộc vào hai nhóm khác nhau. Do đó Pi ≡ 0(1 ≤ i ≤ q).
(g, Hσ(i) )
Ta đặt:
q

Pi ≡ 0

P =
i=1

và

k+1

S=

f
1≤i1 <...
−1

Hij .
j=1

Khi đó S là một tập con giải tích có đối chiều ít nhất 2.
Cố định một điểm z ∈

/ I(f ) ∪ I(g) ∪ S. Chúng ta giả sử rằng z là không
điểm của các hàm (f, Hi1 ), ..., (f, Hit ) với bội m1 , ..., mt tương ứng, trong
đó 1 ≤ i1 < ... < it ≤ q, t ≤ k và z không là không điểm của bất kỳ
(f, Hi ) với i ∈
/ {i1 , ..., it }. Với mỗi chỉ số i ∈ {1, ..., q}, chúng ta chia thành
bốn trường hợp sau:
Trường hợp 1. i, σ(i) ∈
/ {i1 , ..., it }. Khi đó z là một không điểm
của Pi với bội ít nhất là 1 vì f (z) = g(z). Chúng ta kí hiệu v(z) là số
20