Tính trù mật của các toán tử hypercyclic trên không gian hilbert

1

MỤC LỤC
Trang
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1: Không gian Hilbert và đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Một số tôpô trên không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 C ∗ -đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chương 2: Tính trù mật của các toán tử hypercyclic trên không
gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Các tôpô trên B(H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Tính trù mật của các toán tử hypercyclic trong B(H) với tôpô toán tử
mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40


2

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết toán tử là một trong những chủ đề nghiên cứu quan trọng của
giải tích hàm, nó có nhiều ứng dụng trong giải tích và nhiều ngành toán
học khác, nó thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế
giới. Sau khi S. Rolewicz (1969) đưa ra ví dụ chứng tỏ sự tồn tại của toán
tử hypercyclic trên không gian Hilbert, nhiều chuyên gia về lý thuyết toán
tử đã quan tâm nghiên cứu cấu trúc của lớp các toán tử hypercyclic trong
C ∗ -đại số B(H) các toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert H vào
H.

Năm 2001, K. C. Chan đã chứng minh lớp các toán tử hypercyclic trù mật
trong đại số B(H) với tôpô toán tử mạnh và bao tuyến tính của lớp toán
tử này trù mật trong B(H) với tôpô chuẩn toán tử. Để tìm hiểu về đại số
Banach, về lý thuyết toán tử trong không gian Hilbert chúng tôi nghiên cứu
một số tôpô trên đại số B(H), tính trù mật của lớp các toán tử hypercyclic
trong B(H) với các tôpô đó.
Với mục đích đó luận văn được trình bày theo hai chương.
Chương 1. Không gian Hilbert và đại số Banach
Chương này trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về không gian
định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert, đại số Banach.
Đầu tiên, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả cơ sở về không
gian tôpô, không gian định chuẩn, không gian Banach, ánh xạ tuyến tính
liên tục, ... Sau đó, chúng tôi trình bày định nghĩa về không gian Hilbert,
dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert,


3

hệ trực chuẩn và một số tính chất của tôpô chuẩn, tôpô yếu trên không gian
Hilbert.
Phần cuối của chương này, trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính
chất của đại số Banach, C ∗ -đại số mà chúng cần dùng về sau.
Chương 2. Tính trù mật của các toán tử hypercyclic trên
không gian Hilbert
Chương này trình bày một số tôpô trên đại số B(H) các toán tử tuyến
tính liên tục trên không gian Hilbert và tính trù mật của tập các toán tử
hypercyclic trong B(H) đối với các tôpô đó.
Đầu tiên chúng tôi trình bày và chứng minh chi tiết một số tính chất của
tôpô chuẩn, tôpô toán tử mạnh, tôpô toán tử yếu trên B(H).

Tiếp theo, chúng tôi trình bày về tính trù mật của các toán tử hypercyclic
và các toán tử cyclic trong B(H) với tôpô toán tử mạnh, đối với không
gian Hilbert phức khả li, vô hạn chiều H, chúng được thể hiện trong Nhận
xét 2.2.2, Định lý 2.2.7, Hệ quả 2.2.8 và Hệ quả 2.2.9.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.
TS. Đinh Huy Hoàng cùng với sự giúp đỡ, động viên của các thầy giáo, cô
giáo trong tổ Giải tích, Ban chủ nhiệm khoa Toán, Khoa đào tạo Sau đại
học, bạn bè, gia đình. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự chỉ
bảo, dìu dắt, động viên của các thầy cô cùng các bạn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những hạn
chế, thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy
cô giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 12 năm 2010
Tác giả


4

CHƯƠNG 1

KHÔNG GIAN HILBERT VÀ ĐẠI SỐ BANACH

1.1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1.1 Định nghĩa. Cho tập hợp X . Họ τ các tập con của X được gọi là
một tôpô trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(a) ∅, X ∈ τ ;
(b) Nếu A, B ∈ τ thì A ∩ B ∈ τ ;

(c) Nếu Ai ∈ τ với mọi i ∈ I thì

Ai ∈ τ ,
i∈I

trong đó I là tập chỉ số bất kỳ.
Cặp (X, τ ) được gọi là không gian tôpô. Mỗi phần tử thuộc τ được gọi
là một tập mở trong X. Phần bù của tập mở trong X được gọi là tập đóng
trong X.
1.1.2 Định nghĩa. Giả sử trên cùng một tập X trang bị hai tôpô τ1 và τ2 .
Ta nói τ1 mạnh hơn τ2 (τ2 yếu hơn τ1 ) nếu τ1 ⊃ τ2 , tức là mỗi tập mở đối
với tôpô τ2 cũng là một tập mở đối với tôpô τ1 .
1.1.3 Định nghĩa. Tập con U của không gian tôpô (X, τ ) được gọi là một
lân cận của điểm x ∈ X khi và chỉ khi trong U có một tập mở chứa x.
1.1.4 Định nghĩa. Giả sử B là họ tất cả các lân cận của điểm x ∈ (X, τ ).
Họ U ⊂ B được gọi là cơ sở lân cận của điểm x nếu với mỗi B ∈ B đều tồn
tại U ∈ U sao cho U ⊂ B.
1.1.5 Định nghĩa. Họ B các tập được gọi là cơ sở của tôpô τ khi và chỉ
khi, B được chứa trong τ và với mọi điểm x của không gian và lân cận U


5

tùy ý của nó, tồn tại phần tử V ∈ B sao cho x ∈ V ⊂ U.
1.1.6 Định nghĩa. Họ σ các tập được gọi là tiền cơ sở của tôpô τ khi
và chỉ khi họ tất cả các giao hữu hạn có thể của các phần tử thuộc σ lập
thành cơ sở của tôpô τ (hoặc mỗi phần tử thuộc τ là hợp các giao hữu hạn
các phần tử họ σ ).
1.1.7 Định lý ([3]). Giả sử σ là họ không trống tùy ý các tập. Khi đó
họ tất cả các giao hữu hạn có thể của các phần tử thuộc σ lập thành cơ

sở của một tôpô nào đó trên tập X = ∪{S : S ∈ σ}, nói cách khác σ là
tiền cơ sở của một tôpô nào đó trên X .
1.1.8 Định nghĩa. Cho hai không gian tôpô (X ,τx ) và (Y ,τy ). Ánh xạ
f : X → Y được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu mỗi lân cận V của
f (x0 ) ∈ Y tồn tại một lân cận U của x0 sao cho f (U ) ⊂ V .
f được gọi là liên tục (trên X ) nếu f liên tục tại mọi điểm của X .

1.1.9 Định nghĩa. Dãy suy rộng {xα }α∈I trong không gian tôpô (X, τ )
gọi là hội tụ tới x ∈ X nếu với mọi lân cận U của x tồn tại α0 ∈ I để
xα ∈ U, ∀α

α0 .

1.1.10 Định lý ([3]). Giả sử f là ánh xạ từ không gian tôpô X vào
không gian tôpô Y.
Khi đó, các điều kiện sau là tương đương:
1) f liên tục;
2) Nghịch ảnh của tập mở qua f là tập mở;
3) Nghịch ảnh của tập đóng qua f là tập đóng.
1.1.11 Định nghĩa. Cho E là một không gian vector trên trường K (C
hoặc R). Một chuẩn trên E là một hàm x → x từ E vào R thỏa mãn các
điều kiện sau với mọi x, y ∈ E, mọi λ ∈ R
(1) x

0, x = 0 khi và chỉ khi x = 0;


6

(2) λx = |λ| x ;

(3) x + y

x + y .

Một không gian định chuẩn là một không gian vector cùng với một chuẩn
trên đó.
1.1.12 Định lý ([1]). Nếu x → x là một chuẩn trên E thì d(x, y) =
x−y là một mêtric trên E . Ta gọi metric này là metric sinh bởi chuẩn.

1.1.13 Định lý ([1]). Chuẩn x → x là một hàm tiên tục đều từ E vào
R.

1.1.14 Định nghĩa. Không gian Banach là không gian định chuẩn đầy
đủ (với metric sinh bởi chuẩn).
Giả sử E, F là các không gian vector trên trường K, f : E → F là một
ánh xạ tuyến tính. Chú ý rằng nếu f là một ánh xạ tuyến tính thì f (0) = 0.
1.1.15 Định lý ([1]). Giả sử f là ánh xạ tuyến tính từ không gian định
chuẩn E vào không gian định chuẩn F .
Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:
a) f liên tục đều;
b) f liên tục;
c) f liên tục tại 0 ∈ E;
d) f bị chặn, tức là tồn tại k > 0 sao cho f (x)

k x với mọi

x ∈ E.

Giả sử E, F là các không gian định chuẩn trên cùng một trường K. Ký
hiệu L(E, F ) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F .

L(E, F ) là không gian vector con của K - không gian vector tất cả các ánh

xạ tuyến tính từ E vào F . Với mỗi f ∈ L(E, F ), đặt
f = inf{k : f (x)

k x với mọi x ∈ E}.


7

1.1.16 Định lý ([1]). Với mọi f ∈ L(E, F ) ta có
f (x)
f = sup
= sup f (x) = sup f (x) .
x
x=0
x 1
x =1
1.1.17 Định lý ([1]). Hàm f → f là một chuẩn trong L(E, F ) và nếu
F là không gian Banach thì L(E, F ) là không gian Banach.

Ta viết E ∗ thay cho L(E, K) và gọi E ∗ là không gian liên hợp của không
gian định chuẩn E. Vì K là không gian Banach nên E ∗ là không gian Banach.
1.2

Không gian Hilbert

1.2.1 Định nghĩa. Cho E là một K-không gian vector, và hàm ϕ : E×E →
K. Hàm ϕ được gọi là một tích vô hướng trên E nếu thỏa mãn

(1) ϕ(x, x)

0 với mọi x ∈ E và ϕ(x, x) = 0 khi và chỉ khi x = 0;

(2) ϕ(x1 + x2 , y) = ϕ(x1 , y) + ϕ(x2 , y) với mọi x1 , x2 , y ∈ E;
(3) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y) với mọi x, y ∈ E, với mọi λ ∈ K.
(4) ϕ(x, y) = ϕ(y, x) với mọi x, y ∈ E.
Không gian tuyến tính E cùng với một tích vô hướng trên nó được gọi là
không gian tiền Hilbert. Ký hiệu (E, ϕ) hay E.
Nếu ϕ là tích vô hướng thì ta viết (x|y) hoặc < x, y > thay cho ϕ(x, y).
1.2.2 Bổ đề ([1]). Giả sử E là không gian tiền Hilbert. Khi đó ta có bất
đẳng thức sau được gọi là bất đẳng thức Cauchy-Schwartz
|(x|y)|2

(x|x).(y|y),

∀x, y ∈ E

và
(x + y|x + y)

(x|x) +

(y|y),

∀x, y ∈ E

được gọi là bất đẳng thức Minkowski.
1.2.3 Mệnh đề ([1]). Nếu E là không gian tiền Hilbert thì công thức
x =

xác định một chuẩn trên E.

(x|x),

(1)


8

1.2.4 Nhận xét. Không gian tiền Hilbert với chuẩn xác định bởi công thức
(1) là không gian định chuẩn và chuẩn xác định bởi (1) được gọi là chuẩn
sinh bởi tích vô hướng.
1.2.5 Định nghĩa. Nếu không gian tiền Hilbert là không gian Banach đối
với chuẩn sinh bởi tích vô hướng thì nó được gọi là không gian Hilbert.
∞

1.2.6 Ví dụ. l2 = {(xn ) ⊆ R :

|xn |2 < ∞} là không gian Hilbert với

n=1

tích vô hướng.
∞

xn yn , ∀x = (xn ), y = (yn ) ∈ l2 .

(x|y) =
n=1

Chuẩn sinh bởi tích vô hướng trên l2 là
∞
2

|x|

x =

1
2

, ∀x = (xn ) ∈ l2 .

n=1

1.2.7 Định nghĩa. Một hệ trực giao trong không gian tiền Hilbert E là
một tập con A các vector khác 0 của E sao cho hai vector khác nhau bất kỳ
của A đều trực giao với nhau.
1.2.8 Định lý (Riesz) ([1]). Nếu E là một không gian tiền Hilbert thì
ánh xạ x → (x|a) với a ∈ E là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E , có
chuẩn là a . Ngược lại, nếu E là không gian Hilbert thì mọi phiếm hàm
tuyến tính liên tục f trên E tồn tại duy nhất a ∈ E sao cho f (x) = (x|a)
với mọi x ∈ E.
1.2.9 Định nghĩa. Một hệ trực giao A trong không gian Hilbert E được
gọi là hệ trực chuẩn nếu x = 1 với mọi x ∈ A.
Một hệ trực chuẩn toàn vẹn của không gian Hilbert E được gọi là hệ trực
chuẩn đầy đủ hay là một cơ sở trực chuẩn.
1.2.10 Định lý ([1]). Nếu {en } là một dãy trực chuẩn trong không gian
Hilbert E thì các điều kiện sau là tương đương:

9

(i) Dãy {en } đầy đủ;
∞

(x|ei )ei với mọi x ∈ E;

(ii) x =

i=1

∞

(x|ei )(y|ei ) với mọi x, y ∈ E;

(iii) (x|y) =
(iv) x

2

i=1
∞

|(x|ei )|2 với mọi x ∈ E.

=
i=1

1.2.11 Định lý ([1]). Trong không gian Hilbert E vô hạn chiều các điều
kiện sau đây là tương đương:
(i) E khả li;
(ii) E có một dãy toàn vẹn độc lập tuyến tính;
(iii) E có một cơ sở trực chuẩn đếm được;
(iv) E đẳng đấu với l2 .
Ký hiệu B(E) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào E
với E là không gian Hilbert.
1.2.12 Định nghĩa. Với mỗi f ∈ B(E) ta gọi g ∈ B(E) là toán tử liên
hợp của f nếu (f (x)|v) = (x|g(v)) với mọi x, y ∈ E. Trong trường hợp này
ta ký hiệu g = f ∗ .
1.2.13 Định lý ([1]). Với mọi g ∈ B(E) ánh xạ liên hợp f ∗ tồn tại và
duy nhất, hơn nữa f = f ∗ .
1.2.14 Định lý ([1]). Với mọi f, g ∈ B(E), λ ∈ K ta có
a) f ∗∗ = (f ∗ )∗ = f ;
b) (f + g)∗ = g ∗ + f ∗ ;
c) (λf )∗ = λf ∗ ;
d) (f g)∗ = g ∗ f ∗ .
1.3

Một số tôpô trên không gian Hilbert

Giả sử H là không gian Hilbert. Sau đây ta sẽ xây dựng hai tôpô trên H
và xem xét một số tính chất của chúng.


10

1.3.1 Định nghĩa. Ta gọi tôpô sinh bởi chuẩn trên H là tôpô chuẩn hay
tôpô mạnh trên H và kí hiệu là τs .

Theo Định lý 1.1.12, mỗi không gian định chuẩn là một không gian metric
(với metric sinh bởi chuẩn). Từ đó suy ra tôpô chuẩn trên H chính là tôpô
được sinh ra từ metric sinh bởi chuẩn. Do đó, với mỗi a ∈ H, họ {B(a, n1 ) :
n = 1, 2, ...} là một cơ sở lân cận tại điểm a đối với tôpô chuẩn, trong đó
B(a, r) là hình cầu mở, tâm a bán kính r, tức
B(a, r) = {x ∈ H : a − x < r}, (r > 0).

1.3.2 Định nghĩa. Với mỗi x, y ∈ H và mỗi số dương , đặt
O(x; y; ) = {t ∈ H : |(x − t|y)| < }.

Ta gọi tôpô trên H nhận họ
{O(x; y; ) : x, y ∈ H, > 0}

làm tiền cơ sở là tôpô yếu trên H và kí hiệu là τw .
Từ Định lý 1.1.7 suy ra rằng với mỗi a ∈ H, họ
{O(a; y1 , ..., yn ; ) : n ∈ N ; yj ∈ H, j = 1, ..., n; > 0}

lập thành cơ sở lân cận tại điểm a đối với tôpô τw , trong đó
O(a; y1 , ..., yn ; ) = {t ∈ H : |(a − t|yj )| < , ∀j = 1, ..., n}.

1.3.3 Mệnh đề ([4]). Trên không gian Hilbert, tôpô yếu là yếu hơn tôpô
mạnh.
Chứng minh. Để chứng minh mệnh đề, ta chỉ cần chứng tỏ rằng với mỗi
a ∈ H, với mỗi

> 0 và với các điểm y1 , ..., yn ∈ H đều tồn tại δ > 0 sao

cho
B(a, δ) ⊂ O(a; y1 , ..., yn ; ).

11

Nếu yj = 0 với mọi j = 1, ..., n thì O(a; y1 , ..., yn ; ) = H nên bao hàm thức
cần chứng minh là hiển nhiên đúng với mọi δ > 0. Giả sử tồn tại yj = 0 với
j nào đó. Khi đó, đặt δ =

max yj

thì với mọi x ∈ B(a, δ), theo bất đẳng

j=1,n

thức Cauchy-Schwartz ta có
|(a − x|yj )|

a − x . yj <

max yj

. yj < với mọi j = 1, n.

j=1,n

Do đó x ∈ O(a, y1 , ..., yn ; ). Như vậy
B(a, δ) ⊂ O(a; y1 , ..., yn ; ).

Từ Mệnh đề này trực tiếp suy ra hệ quả sau.
1.3.4 Hệ quả. Mọi dãy trong H mà hội tụ theo tôpô yếu thì hội tụ theo
tôpô chuẩn.

1.3.5 Mệnh đề ([4]). Giả sử {xλ }λ∈I là một dãy trong H và x ∈ H. Khi
đó,
1) {xλ } hội tụ tới x theo tôpô τs khi và chỉ khi xλ − x → 0;
2) {xλ } hội tụ tới x theo tôpô τw khi và chỉ khi (xλ |y) → (x|y) với mọi
y ∈ H.

Chứng minh. (1) Vì tôpô mạnh là tôpô metric, do đó {xλ } hội tụ tới x theo
tôpô τs khi và chỉ khi d(xλ , x) → 0 hay xλ − x → 0.
(2) {xλ } là hội tụ tới x theo tôpô τw và chỉ khi với mỗi y ∈ H, với mọi
> 0, tồn tại λ0 ∈ I sao cho
|(xλ − x|y)| < với mọi λ

λ0 ,

hay
|(xλ |y) − (x|y)| < với mọi λ

nghĩa là
(xλ |y) → (x|y).

λ0 ,


12

1.3.6 Hệ quả. Nếu {en : n = 1, 2, ..., } là cơ sở trực chuẩn của không
gian Hilbert H thì dãy {en } hội tụ tới 0 ∈ H theo tôpô yếu.
Chứng minh. Vì {en : n = 1, 2, ...} là cơ sở trực chuẩn của H nên với mọi
a ∈ H, theo Định lý 1.2.10 ta có
a

2

∞

=

|(a|en )|2 .

n=1

Do đó
|(en |a)| = |(a|en )| → 0 khi n → ∞.

Như vậy
(en |a) → 0 = (0|a) với mọi a ∈ H.

Vì vậy, theo Mệnh đề 1.3.5, en → 0 ∈ H theo tôpô yếu τw .
Ta đã biết rằng mỗi f ∈ H ∗ là ánh xạ tuyến tính, liên tục từ H → C đối
với tôpô τs trên H. Một câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên ở đây là, nếu
trên H ta xét tôpô τw thì các f ∈ H ∗ còn liên tục hay không? Định lý sau
đây trả lời câu hỏi này.
1.3.7 Định lý. Tôpô τw là tôpô yếu nhất trong tất cả các tôpô trên H
sao cho đối với chúng mọi f ∈ H ∗ đều liên tục.
Chứng minh. Đầu tiên, ta chứng minh mọi f ∈ H ∗ đều liên tục đối với tôpô
τw trên H. Với bất kỳ f ∈ H ∗ , theo Định lí Riesz (Định lý 1.2.8) tồn tại
a ∈ H sao cho
f (x) = (x|a) với mọi x ∈ H.

Với mọi x ∈ H, với mọi số dương thì O(x; a; ) là một lân cận của x trong

(H, τw ). Khi đó, với mỗi y ∈ O(x; a; ) ta có |(x − y|a)| < hay
|f (x) − f (y)| = |(x|a) − (y|a)| < .


13

Điều này chứng tỏ f (O(x; a; )) ⊂ B(f (x), ).
Do đó f liên tục tại x đối với τw trên H. Vì x là điểm bất kỳ thuộc H nên
ta kết luận được f liên tục trên (H, τw ).
Bây giờ giả sử τ là một tôpô trên H sao cho mọi f ∈ H ∗ liên tục trên
(H, τ ). Để hoàn thành chứng minh Định lý ta chứng tỏ τw yếu hơn τ . Để

thực hiện điều này ta chứng minh O(a; b; ) ∈ τ với mọi a, b ∈ H và

> 0.

Thật vậy, với mỗi b ∈ H, theo Định lý Riesz, hàm fb ∈ H ∗ với
fb (t) = (t|b), t ∈ H.

Vì fb liên tục trên (H, τ ) nên theo Định lý 1.1.10, fb−1 (B(fb (a), )) ∈ τ với
mọi a ∈ H và mọi > 0. Mặt khác
fb−1 (B(fb (a), )) = {y ∈ H : |fb (a) − fb (y)| < }
= {y ∈ H : |(a|b) − (y|b)| < }
= {y ∈ H : |(a − y|b)| < } = O(a; b; ).

Do đó O(a; b; ) ∈ τ với mọi a và b ∈ H, mọi > 0.
1.4

C*-đại số

1.4.1 Định nghĩa. Một không gian vector A trên trường số C được trang
bị thêm một phép nhân trong thỏa mãn các điều kiện
1) x(yz) = (xy)z với mọi x, y, z ∈ A;
2) (x + y)z = xz + yz, x(y + z) = xy + xz, ∀x, y, z ∈ A;
3) α(xy) = (αx)y = x(αy), ∀x, y ∈ A và α ∈ C
được gọi là một đại số phức hay nói gọn là đại số.
Đại số A được gọi là giao hoán nếu phép nhân trong A giao hoán.
Một đại số phức A thỏa mãn thêm điều kiện
4) A là một không gian Banach với chuẩn . thỏa mãn
xy

x . y , ∀x, y ∈ A


14

được gọi là đại số Banach.
Nếu tồn tại phần tử e trong đại số Banach A sao cho xe = ex = x với
mọi x ∈ A và e = 1 thì A được họi là đại số Banach có đơn vị.
1.4.2 Định nghĩa. Giả sử A là đại số Banach, ánh xạ f → f ∗ của đại số
A vào chính nó được gọi là phép đối hợp nếu thỏa mãn các điều kiện sau

với mọi f, g ∈ A và mọi α ∈ C
(1) (f + g)∗ = f ∗ + g ∗ ;
(2) (λf )∗ = λf ∗ ;
(3) (f g)∗ = g ∗ f ∗ ;
(4) (f ∗ )∗ = f.
Đại số Banach A với phép đối hợp f → f ∗ thỏa mãn điều kiện
f.f ∗ = f

2

với mọi f ∈ A.

được gọi là một C ∗ -đại số.
1.4.3 Ví dụ. a) Giả sử H là không gian Hilbert, ký hiệu
B(H) = {f : H → H, f là ánh xạ tuyến tính, liên tục}

Khi đó, với phép cộng hai hàm và phép nhân vô hướng với một hàm thông
thường, B(H) là không gian Banach với chuẩn
f = sup
x

f (x) , f ∈ B(H).

1

Trên B(H), ta xác định thêm phép nhân trong bằng cách đặt tương ứng
(f, g) ∈ B(H) × B(H) với hàm f.g được cho bởi
(f g)(x) = f ◦ g(x), ∀x ∈ X.

Khi đó với mọi f, g, h ∈ B(H) ta có
(i) [f (gh)](x) = f ◦ (gh)(x) = f ◦ g ◦ h(x) = [(f g)h](x), ∀x ∈ X.
Vậy
f (gh) = (f g)h.


15

(ii) [(f + g)h](x) = (f + g) ◦ h(x) = f ◦ h(x) + g ◦ h(x)

= (f h)(x) + gh(x) = (f h + gh)(x), ∀x ∈ X.

Vậy
(f + g)h = f h + gh.

Tương tự ta có
f (g + h) = f g + f h.

(iii) [α(f g)](x) = α(f g)(x) = αf ◦ g(x) = (αf ) ◦ g(x)
= [(αf )g](x), ∀x ∈ X, α ∈ K

và
[α(f g)](x) = α(f g)(x) = (αf ) ◦ g(x) = [f ◦ (αg)](x) (do f tuyến tính)
= [f (αg)](x), ∀x ∈ X, α ∈ K.

Vậy
α(f g) = (αf )g = f (αg).

(iv) f g = sup (f g)(x) = sup f ◦ g(x)
x

= f

1

x

sup
x

sup ( f

1

x

g(x) )

1

g(x) = f . g .

1

Vậy
fg

f . g .

Do đó B(H) là đại số Banach, có đơn vị. Đơn vị trong B(H) là hàm đồng
nhất trên H.
b) Giả sử H là không gian Hilbert phức. Theo a) B(H) là đại số Banach có
đơn vị. Với mỗi f ∈ B(H), ký hiệu f ∗ là ánh xạ liên hợp của f . Khi đó, từ
các tính chất của ánh xạ liên hợp trong không gian Hilbert suy ra ánh xạ
f → f ∗ , với mọi f ∈ B(H) là phép đối hợp trên B(H).

Với mỗi f ∈ B(H) ta có f = f ∗ . Do đó
f ∗f

f∗

f = f

2.

(1)

Mặt khác với mọi x ∈ H, theo Định nghĩa của ánh xạ liên hợp và bất
đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có


16

f (x)

2

= (f (x)|f (x)) = (x|f ∗ f (x))
x

2

x

f ∗ f (x)

f ∗f .

Do đó
f ∗f

f (x)

x , ∀x ∈ H.

Suy ra
f

Kết hợp với (1) ta có f ∗ f = f 2 .
Vậy B(H) là C ∗ -đại số.

f ∗f .


17

CHƯƠNG 2

TÍNH TRÙ MẬT CỦA CÁC TOÁN TỬ HYPERCYCLIC
TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT

Trong chương này, ta giả thiết H là không gian Hilbert phức khả li vô
hạn chiều và B(H) là C ∗ -đại số các ánh xạ tuyến tính liên tục từ H vào H .
2.1

Các tôpô trên B(H)

Trong mục này, ta sẽ trình bày các tính chất của ba tôpô trên B(H), đó
là tôpô chuẩn, tôpô toán tử mạnh và tôpô toán tử yếu. Ta đã biết B(H) là
không gian Banach với chuẩn được xác định bởi công thức

f = sup{ f (x) : x ∈ H, x

1}

= sup{f (x) : x ∈ H, x = 1}
= sup{

f (x)
x

: x ∈ H\{0}}; f ∈ B(H) .

(1)

2.1.1 Định nghĩa. 1) Ta gọi tôpô trên B(H) mà nó được sinh bởi chuẩn
xác định bởi công thức (1) là tôpô chuẩn trên B(H).
2) Với mỗi f ∈ B(H), mỗi > 0 và mỗi x ∈ H, ta kí hiệu
O(f ; x; ) = {g ∈ B(H) : (f − g)(x) < }.

Ta gọi tôpô trên B(H) mà nó nhận họ
{O(f ; x; ) : f ∈ B(H); x ∈ H; > 0}

làm tiền cơ sở là tôpô toán tử mạnh trên B(H) và viết tắt là S.O.T.
3) Với mỗi f ∈ B(H), mỗi > 0 và x, y ∈ H ta kí hiệu
O (f ; x, y; ) = {g ∈ B(H) : |((f − g)x|y)| < }.


18

Ta gọi tôpô trên B(H) mà nó nhận họ

{O(f ; x, y; ) : f ∈ B(H); x; y ∈ H; > 0}

làm tiền cơ sở là tôpô toán tử yếu trên B(H) và kí hiệu là W.O.T.
2.1.2 Nhận xét. 1) Tôpô chuẩn trên B(H) là tôpô metric và với mỗi
f ∈ B(H) thì họ {S(f, n1 ) : n = 1, 2, ...} lập thành cơ sở lân cận đếm được

tại f (đối với tôpô chuẩn), ở đây S(f, n1 ) là hình cầu mở tâm f bán kính n1 .
2) Từ Định lý 1.1.7 suy ra các họ
{O(f ; x1 , ...., xn ; ) : n ∈ N, xj ∈ H, j = 1, ..., n; > 0},
{O (f ; x1 , ..., xn ; y1 , ..., yn ; ) : n ∈ N, xj , yj ∈ H, j = 1, ..., n; > 0}

là cơ sở lân cận tại f ∈ B(H) lần lượt theo tôpô S.O.T, W.O.T, trong đó
O(f ; x1 , ..., xn ; ) = {g ∈ B(H) : (f − g)(xj ) < ; ∀j = 1, ..., n},
O (f ; x1 , ..., xn ; y1 , ..., yn ; ) = {g ∈ B(H) : |((f −g)xj |yj )| < ; ∀j = 1, ..., n}.

2.1.3 Mệnh đề ([4]). Tôpô W.O.T yếu hơn tôpô S.O.T và tôpô S.O.T
yếu hơn tôpô chuẩn.
Chứng minh. Giả sử f ∈ B(H), x và y ∈ H, và
g ∈ O(f ; x;

y

> 0. Khi đó, với mọi

), (y = 0) theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có
((f − g)x|y)

(f − g)(x) . y < .

Do đó g ∈ O (f ; x, y; .) Từ đó suy ra nếu y = 0 thì

O(f ; x;

y

) ⊂ O (f ; x, y; ).

Nếu y = 0 thì hiển nhiên
O(f ; x; ) ⊂ O (f ; x, y; ).

Như vậy W.O.T yếu hơn S.O.T.


19

Bây giờ, giả sử f ∈ B(H), x ∈ H và > 0.
Khi đó, nếu x = 0 thì với mọi g ∈ S(f ;
(f − g)(x)

x

) ta có

f −g . x < ,

tức là g ∈ O(f ; x; ). Do đó
S(f ;

x

) ⊂ O(f ; x; ).

Nếu x = 0 thì hiển nhiên S(f ; ) ⊂ O(f ; 0; ). Như vậy S.O.T yếu hơn tôpô
chuẩn.
2.1.4 Hệ quả. Một dãy trong B(H) nếu hội tụ theo W.O.T thì hội tụ
theo S.O.T và nếu hội tụ theo S.O.T thì hội tụ theo tôpô chuẩn.
Chứng minh. Giả sử {fα }α∈I là dãy (suy rộng) trong B(H) và nó hội tụ tới
f ∈ B(H) theo W.O.T. Khi đó, nếu U là một tập mở trong B(H) theo tôpô
S.O.T và U chứa f thì theo Mệnh đề 2.1.3, U cũng là tập mở trong B(H)

theo W.O.T. Do đó tồn tại α0 ∈ I sao cho với mọi α ∈ I mà α0

α ta có

fα ∈ U. Như vậy fα → f theo tôpô S.O.T.

Kết luận thứ hai của Hệ quả được chứng minh tương tự.
2.1.5 Mệnh đề. Với W.O.T, B(H) là T2 -không gian. Do đó B(H) cũng
là T2 -không gian đối với S.O.T và đối với tôpô chuẩn.
Chứng minh. Giả sử f1 , f2 ∈ B(H) sao cho f1 = f2 . Để chứng minh mệnh
đề, ta chỉ cần chứng tỏ tồn tại x, y ∈ H và

> 0 sao cho O (f1 ; x, y; ) ∩

O (f2 ; x, y; ) = φ.

Vì f1 = f2 nên tồn tại x ∈ H sao cho f1 (x) = f2 (x). Do đó tồn tại y ∈ H
sao cho
(f1 (x) − f2 (x)|y) = 0.

20

= 12 |(f1 (x) − f2 (x)|y)|, ta có O (f1 ; x, y, ) ∩ O (f2 ; x, y; ) = 0. Thật

Lấy

vậy nếu tồn tại g ∈ O (f1 ; x, y; ) ∩ O (f2 ; x, y; ) thì
|((f1 − g)x|y)| < , |((f2 − g)x|y)| < ,

do đó
|(f1 (x) − f2 (x)|y)|

|(f1 (x) − g(x)|y)| + |(−f2 (x) + g(x)|y)| < 2 .

Đây là một điều mâu thuẫn.
Ta đã biết rằng fn → f ∈ B(H) theo tôpô chuẩn khi và chỉ khi fn −f →
0. Một câu hỏi được đặt ra ở đây là, đặc trưng của một dãy hội tụ trong
B(H) đối với W.O.T và S.O.T có tương tự như đối với tôpô chuẩn hay

không? Định lý sau trả lời câu hỏi này.
2.1.6 Định lý ([4]). Giả sử {fα }α∈I là dãy (suy rộng) trong B(H) và
f ∈ B(H). Khi đó,

1) fα → f theo S.O.T khi và chỉ khi (fα − f )x → 0 với mọi x ∈ H;
2) fα → f theo W.O.T khi và chỉ khi (fα (x)|y) → (f (x)|y) với mọi
x, y ∈ H.

Chứng minh. 1) Giả sử fα → f theo S.O.T. Khi đó, với mỗi x ∈ H và mỗi
> 0 tồn tại α0 ∈ I sao cho
fα ∈ O(f ; x; ) với mỗi α ∈ I, α

α0 .

Do đó
(fα − f )x → 0.

Ngược lại, giả sử (fα − f )x → 0 với mọi x ∈ H. Khi đó, với mọi x ∈ H,
với mọi > 0 ắt tồn tại α0 ∈ I sao cho với mọi α
tức là fα ∈ O(f ; x; ) với mọi α

α0 ta có (fα −f )x < ,

α0 . Do đó, fα → f theo tôpô S.O.T.


21

2) Giả sử fλ → f theo W.O.T. Khi đó, với mọi x, y ∈ H, với mọi
tồn tại α0 ∈ I sao cho với mọi α ∈ I mà α

>0

α0 ta có

fα ∈ O (f ; x, y; ),

tức là |((fα − f )x|y)| < với mọi α

α0 .

Từ đó suy ra
(fα (x)|y) → (f (x)|y).

Ngược lại, giả sử (fα (x)|y) → (f (x)|y) với mọi x, y ∈ H. Khi đó, với mọi
x, y ∈ H, với mọi > 0 tồn tại α0 ∈ I sao cho
|(fα (x)|y) − (f (x)|y)| < với mọi α

α0 ,

hay
|((fα − f )x|y)| < với mọi α

tức là fα ∈ O (f ; x, y; ) với mọi α

α0 ,

α0 . Từ đó suy ra fα → f theo tôpô

W.O.T.

2.1.7 Định lý ([4]). Giả sử B(H) là đại số các toán tử tuyến tính liên
tục trên không gian Hilbert H. Khi đó:
1) Nếu (An x|y) hội tụ đều về (Ax|y) với mọi y = 1 thì An x−Ax →
0.

2) Nếu An x − Ax hội tụ đều về 0 với mọi chuẩn x = 1 thì An −
A → 0.

Chứng minh. 1) (An x|y) hội tụ đều về (Ax|y) với mọi y = 1, nghĩa là với
mọi > 0, tồn tại N ( ) sao cho với mọi n

N

|(An x|y) − (Ax|y)| < với mọi y = 1,

hay
|((An − A)x|y)| < với mọi y = 1.


22

Có thể giả thiết An x − Ax = 0 với mọi n. Khi đó, ta có
An x − Ax

2

= (An x − Ax|An x − Ax)
An x − Ax
= (An x − Ax|
An x − Ax

An x − Ax )

An x − Ax
)
An x − Ax
An x − Ax
= 1),
An x − Ax

= An x − Ax (An x − Ax|
< An x − Ax . (vì

hay An x − Ax <
N sao cho với mọi n

với mọi n

N. Từ đó suy ra với mọi

> 0, tồn tại

N thì An x − Ax < hay An x − Ax → 0.

2) An x − Ax hội tụ đều về 0 với mọi x = 1, nghĩa là với mọi > 0 tồn
tại n0 sao cho với mọi n

n0

An x − Ax < với mọi x = 1.

Khi đó, với mọi x = 0, mọi n

n0 ta có

An x − Ax = (An − A)x = (An − A)(

x
x

. x ) = x

(An − A)

x
x

< x ..

Vì vậy với mọi n

n0 , mọi x ∈ H
(An − A)x < x . .

Do đó
An − A < với mọi n

n0 ,

hay
An − A → 0 khi n → ∞.

2.1.8 Định lý ([4]). Phép nhân các toán tử trong B(H) liên tục phải,
liên tục trái theo tôpô toán tử mạnh và tôpô toán tử yếu, nghĩa là với
mỗi B ∈ B(H), ánh xạ A → AB và A → BA liên tục theo tôpô toán tử
mạnh và tôpô toán tử yếu.


23

Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh tính liên tục phải của phép nhân
theo tôpô toán tử mạnh.
Giả sử Aλ → A theo tôpô toán tử mạnh khi đó, theo Định lý 2.1.6
Aλ x → Ax với mọi x ∈ H. Do đó với mỗi B ∈ B(H) ta có Aλ (Bx) → A(Bx)

với mọi x ∈ H. Lại theo Định lý 2.1.6, Aλ B → AB theo tôpô toán tử mạnh.
Như vậy phép nhân trong B(H) là liên tục phải theo tôpô toán tử mạnh.
Xét với tôpô toán tử yếu.
Giả sử Aλ → A theo tôpô toán tử yếu. Khi đó, theo Định lý 2.1.6
(Aλ x|y) → (ABx|y) với mọi x, y ∈ H. Do đó (Aλ Bx|y) → (ABx|y) với

mọi x, y ∈ H và B ∈ B(H). Theo định lý 2.1.6 Aλ B → AB theo tôpô toán
tử yếu. Vậy phép nhân trong B(H) là liên tục phải theo tôpô toán tử yếu.
Tính liên tục trái của phép nhân đối với tôpô toán tử mạnh và tôpô toán
tử yếu được chứng minh tương tự.
Ta biết rằng, trong không gian định chuẩn, ánh xạ chuẩn là liên tục đều
(đối với tôpô chuẩn ). Do đó ánh xạ chuẩn là liên tục đều trên B(H) đối với
tôpô chuẩn. Một câu hỏi được đặt ra ở đây là, ánh xạ chuẩn B(H) có liên
tục đối với tôpô toán tử mạnh và tôpô toán tử yếu hay không? Định lý sau
đây trả lời câu hỏi này.
2.1.9 Định lý ([4]). Ánh xạ chuẩn f → f , f ∈ B(H) không liên tục
đối với S.O.T và W.O.T.
Chứng minh. Vì ánh xạ chuẩn là ánh xạ từ B(H) vào R mà trên B(H)
thì W.O.T yếu hơn S.O.T nên để chứng minh định lý chỉ cần chứng minh
ánh xạ chuẩn không liên tục đối với S.O.T. Thật vậy, lấy H = l2 . Với mỗi
n = 1, 2... ta đặt
En = {(0, ..., 0, xn+1 , xn+2 , ...) : (x1 , x2 , ...) ∈ l2 }.

Ta kiểm tra được En là không gian con của l2 và En+1 ⊂ En với mọi

24

∞

n = 1, 2, ... Giả sử x = {xm } ∈

En . Khi đó x ∈ E với mọi n = 1, 2, ...
n=1

∞

En = {0}.

Do đó xn = 0 với mọi n, tức là x = 0. Như vậy
n=1

Với mỗi m = 1, 2, ..., ta xác định ánh xạ Pm : l2 → Em bởi công thức
Pm ({xn }) = (0, ..., 0, xm+1 , xm+2 , ...), {xn } ∈ l2 .

Rõ ràng Pm là ánh xạ tuyến tính và
x với mọi x ∈ l2 .

Pm (x)

Do đó Pm liên tục, tức Pm ∈ B(H) với mọi m = 1, 2, ... Lấy em+1 =
(0, ..., 0, 1, 0, 0, ...) (số hạng thứ m + 1 bằng 1 ) ta có Pm (em+1 ) = 1 =
em+1 . Từ đó suy ra Pm = 1 với mọi m = 1, 2, ...
Pm ({xn }) = (0, ..., 0, xm+1 , xm+2 , ...), {xn } ∈ l2 .

Với mỗi x = {xn } ∈ l2 ta có
∞

Pm (x)

2

|xn |2 → 0 khi m → ∞.

=
n=m+1

Do đó, theo Định lý 2.1.6, Pm → 0 ∈ B(l2 ) theo S.O.T.
Mặt khác, vì Pm = 1 với mọi m nên Pm

0. Như vậy ánh xạ chuẩn

không liên tục trên B(H) theo S.O.T.
2.1.10 Định lý ([4]). Phép đối hợp liên tục theo tôpô chuẩn và tôpô
toán tử yếu, và không liên tục theo tôpô toán tử mạnh.
Chứng minh. a) Phép đối hợp liên tục theo tôpô chuẩn.
Giả sử A → A0 , khi đó A − A0 → 0. Mặt khác
A∗ − A∗0 = (A − A0 )∗ = A − A0 → 0.

Vậy
A∗ → A∗0


25

b) Phép đối hợp liên tục theo tôpô W.O.T.
Giả sử A → A0 theo tôpô toán tử yếu, nghĩa là |(Ax|y) − (A0 x|y)| → 0 với
mọi x, y ∈ H
Lại vì
|(A∗ y|x) − (A∗0 y|x)| = |((A∗ − A∗0 )y|x)|
= |(y|(A∗ − A∗0 )∗ x)| = |(y|(A − A0 )x)|
= |(y|Ax) − (y|A0 x)| = |(Ax|y) − (A0 x|y)| → 0

với mọi x, y ∈ H.
Vậy A∗ → A∗0 theo tôpô toán tử yếu.
c) Phép đối hợp không liên tục theo S.O.T.
Lấy H = l2 với
∞

|xn |2 < ∞}

l2 = {{xn } ⊂ R :
n=1

là không gian Hilbert với tích vô hướng
∞

xn yn ; x = {xn }, y = {yn } ∈ l2 .

(x|y) =
n=1

Xét ánh xạ U : l2 → l2 được cho bởi công thức
U ({x1 , x2 , ...}) = {0, x1 , x2 , ...}, ∀ {xn } ∈ l2 .

Khi đó, U là ánh xạ tuyến tính liên tục, tức là U ∈ B(l2 ). Hơn nữa U (x) =
x với mọi x = {xn } ∈ l2 .

Ta có U ∗ ({xn }) = {x2 , x3 , ..., }, ∀x = {x1 , x2 , ..., } ∈ l2
bởi vì U ∗ ∈ B(l2 ) và với mọi x = {xn }, y = {yn } ∈ l2 ta có
∞

xn yn+1 = (x|U ∗ (y)).

(U (x)|y) =
n=1

Với mỗi k = 1, 2, ... lấy Ak = (U ∗ )k = (U k )∗ . Ta sẽ chứng minh {Ak } hội
tụ tới 0 theo S.O.T nhưng {A∗k } không hội tụ tới 0∗ = 0 theo S.O.T. Thật