sử dụng phương pháp hàm lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
LÊ THỊ THANH TUYẾT
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV
VÀ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ THỨ NHẤT ĐỂ
NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - Năm 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
LÊ THỊ THANH TUYẾT
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV
VÀ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ THỨ NHẤT ĐỂ
NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU
Hà Nội - Năm 2011
Mục lục
Lời nói đầu 3
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Phổ của toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach và toán tử sinh 10

1.4.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach . . . . 10
1.4.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . 13
2 Sự ổn định của phương trình vi phân trong không gian Hilbert 15
2.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . 15
2.2 Sự ổn định theo Lyapunov của phương trình vi phân trong không
gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 Các định lý về ổn định theo Lyapunov . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Sự ổn định theo Lyapunov của một số phương trình vi phân có
dạng đặc biệt trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1 Các khái niệm về J-ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2 Các định lý về J-ổn định theo Lyapunov . . . . . . . . . . . 29
1
2.4 Phương pháp xây dựng hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Toán tử tiến hóa của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . 42
2.6 Sự ổn định của phương trình vi phân theo phương pháp xấp xỉ
thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Phương trình tiến hoá đặt chỉnh và bài toán ứng dụng 49
3.1 Phương trình tiến hoá đặt chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Mô hình chung của bài toán dân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Mô hình cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Kết luận 58
2
Lời nói đầu
Lý thuyết ổn định là một trong những bộ phận quan trọng trong lý
thuyết định tính của phương trình vi phân (LTDTCPTVP). Một trong những
hướng nghiên cứu quan trọng được nhiều người quan tâm của LTDTCPTVP
là lý thuyết ổn định theo Lyapunov (1857-1918). Dù đã trải qua thời gian dài
nhưng lý thuyết ổn định vẫn là một trong những lĩnh vực được nhiều nhà toán
học quan tâm nghiên cứu và đã thu được nhiều thành tựu quan trọng. Đồng

thời lý thuyết ổn định cũng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực: Vật
lý, Khoa học kỹ thuật công nghệ, Sinh thái học,
Để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của phương trình vi phân trong không gian
Hilbert chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, tuy nhiên trong
khuôn khổ của một luận văn thạc sỹ toán học, trong bản luận văn này chúng tôi
sẽ sử dụng hai phương pháp cơ bản là phương pháp Lyapunov và phương pháp
nửa nhóm.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành
ba chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trình bày một số kiến thức cơ bản của giải
tích hàm và nửa nhóm toán tử tuyến tính trong không gian Banach sẽ sử dụng
trong các chương sau.
Chương 2: Trình bày các khái nệm về sự ổn định của phương trình vi phân
trong không gian Hilbert theo phương pháp hàm Lyapunov và xấp xỉ thứ nhất.
Đồng thời thông qua việc xét lớp các hệ phương trình vi phân có dạng đặc biệt
(dạng "tựa tam giác") chúng tôi đưa ra khái niệm ổn định từng phần (J ổn
3
định) cho hệ vô hạn các phương trình vi phân và xác lập mối quan hệ giữa tính
ổn định theo Lyapunov và J-ổn định. Ngoài ra, trong chương này chúng tôi cũng
trình bày phương pháp xây dựng hàm Lyapunov cho một số hệ phương trình vi
phân tuyến tính dạng đơn giản.
Chương 3: Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về
phương trình tiến hóa đặt chỉnh và sử dụng phương pháp nửa nhóm các toán tử
tuyến tính liên tục mạnh trong không gian Banach để nghiên cứu bài toán ứng
dụng trong mô hình dân số phụ thuộc tuổi.
Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới PGS. TS. Đặng Đình Châu, người thầy
đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình hoàn thành bản luận văn
này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại Học, Khoa
Toán - Cơ - Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia

Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại
trường.
Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế. Tác giả rất mong
nhận được sự góp ý của quý bạn đọc.
4
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert
1.1.1 Không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1. X là không gian định chuẩn trên trường K, tức là đối với
mỗi x ∈ X có xác định một số không âm ||x||, gọi là chuẩn của x, thỏa mãn các
điều kiện sau:
• ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X; ||x|| = 0 ⇔ x = 0;
• ||λx|| = |λ|||x||, ∀λ ∈ K, x ∈ X;
• ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X.
Định nghĩa 1.1.2. Không gian X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy
trong X đều là dãy hội tụ (tức là, nếu {x
n
}
∞
n=1
là dãy Cauchy trong X thì tồn
tại x
0
∈ X mà x
n
→ x
0
(n → ∞)).
Định nghĩa 1.1.3. Nếu không gian tuyến tính định chuẩn (X, ||.||) là không gian

đầy đủ thì (X, ||.||) được gọi là không gian Banach.
Định lý 1.1.1. (Định lý Banach-Steinhaus) Một họ bị chặn từng điểm của các
phép toán liên tục tuyến tính từ không gian Banach X vào không gian định chuẩn
thì bị chặn đều.
Định lý này còn được gọi là nguyên lý bị chặn đều.
5
1.1.2 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.4. (Không gian tiền Hilbert)
Không gian tuyến tính X xác định trên trường số thực được gọi là không gian
tiền Hilbert nếu mọi x, y ∈ X, xác định một số (x, y) gọi là tích vô hướng của x
và y thỏa mãn các tiên đề
• Xác định dương: (x, x) ≥ 0 với ∀x ∈ X. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = 0.
• Đối xứng: (x, y) = (y, x) với ∀x, y ∈ X.
• Song tuyến tính:
(αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z) với ∀α, β ∈ R, ∀x, y, z ∈ X.
Định nghĩa 1.1.5. (Không gian Hilbert)
Không gian Hilbert là không gian tiền Hilbert đầy đủ.
1.2 Toán tử tuyến tính
Định nghĩa 1.2.1. (Toán tử tuyến tính)
Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính định chuẩn, toán tử A tác dụng từ
không gian X vào không gian Y là được gọi là tuyến tính nếu:
∀x, y ∈ X; ∀α, β ∈ K thì A(αx + βy) = αAx + βAy.
(trong đó K là trường số).
Một số tính chất của toán tử
1. A0 = 0.
2. A(−x) = −Ax.
3. A(tx) = tAx ∀t ∈ R.
6
Định nghĩa 1.2.2. Toán tử tuyến tính A được gọi là liên tục tại x

0
∈ X nếu
với mọi dãy x
n
hội tụ đến x
0
, ta đều có Ax
n
→ Ax
0
(n → ∞).
Định lý 1.2.1. Nếu toán tử tuyến tính A liên tục tại điểm x
0
∈ X thì A liên
tục tại mọi điểm x ∈ X.
Như vậy để kiểm tra tính liên tục của toán tử tuyến tính A (trong toàn không
gian) ta chỉ cần kiểm ra tính liên tục tại x = 0.
Định nghĩa 1.2.3. (Toán tử tuyến tính giới nội)
Giả sử X, Y là các không gian Banach. Toán tử A : X → Y được gọi là toán tử
tuyến tính giới nội (bị chặn) nếu A là toán tử tuyến tính và đưa mọi tập giới
nội vào tập giới nội.
Xuyên suốt khoá luận này ta sẽ kí hiệu L(X) là không gian các toán tử tuyến
tính giới nội trên X.
Định lý 1.2.2. Toán tử tuyến tính A liên tục khi và chỉ khi nó giới nội.
Định lý 1.2.3. Giả sử X, Y là các không gian Banach và A : X → Y là toán tử
tuyến tính. Điều kiện cần và đủ để toán tử A giới nội là tồn tại một số c > 0 sao
cho:
Ax  c x ∀x ∈ X.
Định nghĩa 1.2.4. Giả sử X, Y là các không gian Banach. Chuẩn A của toán
tử tuyến tính liên tục A : X → Y là đại lượng:

A = sup
x1
Ax = sup
x=0
Ax
x
.
1.3 Phổ của toán tử tuyến tính
Giả sử X là không gian Banach.
7
Định nghĩa 1.3.1. Xét toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X với tập xác định
D(A), trong đó D(A) là không gian vector con của X.
- Điểm λ ∈ C được gọi là giá trị chính quy của A nếu (λI − A) là song ánh giữa
D(A) và X đồng thời (λI − A)
−1
∈ L(X).
- Tập các giá trị chính quy, ký hiệu ρ(A) được gọi là tập giải của toán tử A.
- Tập hợp các điểm không phải là giá trị chính quy của A gọi là phổ của toán tử
A (kí hiệu là σ(A)). Ta có σ(A) = C \ ρ(A).
- Toán tử R(λ, A) = (λI − A)
−1
được gọi là toán tử giải hoặc giải thức đối với toán
tử A.
Nếu A là toán tử đóng thì (λI − A) cũng là toán tử đóng (do λI liên tục). Do
đó nếu (λI − A)
−1
tồn tại thì cũng là toán tử đóng. Suy ra nếu (λI − A) là song
ánh giữa D(A) và X, A là toán tử đóng thì theo định lý đồ thị đóng (λI − A)
−1
là liên tục. Vậy đối với toán tử đóng định nghĩa phổ có thể phát biểu lại là:

ρ(A) =

λ ∈ C : λI − A là song ánh giữa D(A) và X

.
σ(A) = C\ρ(A) = {λ ∈ C : (λI − A) : D(A) → X không là song ánh}.
Một số tính chất của phổ
Định lý 1.3.1. Nếu toán tử A không có phổ là toàn mặt phẳng phức C thì A là
toán tử đóng.
Chứng minh. Theo giả thiết, tồn tại λ /∈ σ(A). Khi đó B = (λI − A)
−1
∈ L(X);
B : X → D(A).
Giả sử {x
n
}
n
⊂ D(A): x
n
→ x, Ax
n
→ y.
Đặt h
n
= (λI − A)x
n
. Suy ra lim
n↓∞
h
n

= λx − y.
Vì B liên tục nên B(λx − y) = lim
n↓∞
Bh
n
= lim
n↓∞
x
n
= x. Suy ra x ∈ D(A).
Ta có: (λI − A)x = (λI − A)B(λx − y) = λx − y. Suy ra Ax = y.
Vậy A là toán tử đóng.
8
Mệnh đề 1.3.1. giả sử A : D(A) ⊂ X → X và B : D(B) ⊂ X → X là các
toán tử tuyến tính sao cho R(λ
0
, A) = R(λ
0
, B) với λ
0
nào đó thuộc C, khi đó
D(A) = D(B) và A = B.
Chứng minh. Thật vậy, D(A) = RangeR(λ
0
, A) = RangeR(λ
0
, B) = D(B),và với
mọi x ∈ D(A) = D(B) ta có
R(λ
0

, A)(λ
0
x − Ax) = R(λ
0
, B)(λ
0
x − Ax) = R(λ
0
, B)(λ
0
x − Bx)
do đó λ
0
x − Ax = λ
0
x − Bx, suy ra Ax = Bx.
Tiếp theo ta có phương trình giải thức sau
R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A), ∀λ, µ ∈ ρ(A)
Mệnh đề 1.3.2. Cho Ω ⊂ C là tập mở, {F (λ) : λ ∈ Ω} ⊂ L(X) là họ các toán
tử tuyến tính thỏa mãn
F (λ) − F (µ) = (µ − λ)F (λ)F (µ) ∀λ, µ ∈ Ω.
Giả sử với λ
0
nào đó, λ
0
∈ Ω, toán tử F (λ
0
) khả nghịch. Khi đó tồn tại toán tử
tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X sao cho ρ(A) ⊃ Ω và R(λ, A) = F (λ) với λ ∈ Ω.
Chứng minh Với mỗi λ

0
∈ Ω, đặt
D(A) = RangeF (λ
0
), Ax = λ
0
x − F (λ
0
)
−1
x, ∀x ∈ D(A).
Với λ ∈ Ω và y ∈ X, phương trình giải thức λx − Ax = y tương đương với
(λ − λ
0
)x + F(λ
0
)
−1
x = y. Suy ra (λ − λ
0
)F (λ)x + F(λ)F (λ
0
)
−1
x = F (λ)y. Do đó
F (λ)F (λ
0
)
−1
= (λ

0
− λ)F(λ) + I. Suy ra, phương trình giải thức có nghiệm duy
nhất x = F(λ)y. Vậy λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = F (λ).
9
1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Ba-
nach và toán tử sinh
1.4.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach
Định nghĩa 1.4.1. Một họ (T (t))
t≥0
của toán tử tuyến tính liên tục trên không
gian Banach X được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc C
0
− nửa nhóm) nếu
nó thỏa mãn phương trình hàm
(F E)

T (t + s) = T (t)T(s) ∀t, s ≥ 0,
T (0) = I
và
lim
t→t
0
T (t)x = T (t
0
)x, với ∀x ∈ X
Chú ý. i) Nếu (T (t))
t∈R
⊂ L(X) thỏa mãn các điều kiện trên với mỗi t, s ∈ R thì
ta có một nhóm liên tục mạnh các toán tử tuyến tính liên tục.
ii) Trong trường hợp nửa nhóm tại t

0
= 0 ta lấy giới hạn bên phải.
Tiếp theo chúng ra sẽ đi tìm các điều kiện tương đương với tính liên tục mạnh.
Mệnh đề 1.4.1. (xem [4], tr.38) Cho một nửa nhóm (T (t))
t≥0
trên một không
gian Banach X. Khi đó các tính chất sau là tương đương
(i) (T (t))
t≥0
là nửa nhóm liên tục mạnh.
(ii) lim
t↓0
T (t)x = x, ∀x ∈ X.
(iii) Có một số δ > 0, M ≥ 1, và một tập con trù mật D ⊂ X thỏa mãn
(a) ||T (t)|| ≤ M, ∀t ∈ [0, δ],
(b) lim
t↓0
T (t)x = x, ∀x ∈ D.
Mệnh đề 1.4.2. (xem [4], tr.39) Cho một nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))
t≥0
.
Khi đó tồn tại hằng số w ∈ R và M ≥ 1 thỏa mãn
||T (t)|| ≤ Me
wt
, ∀t ≥ 0. (1.1)
10
Ví dụ 1.4.1. Cho A ∈ M
n
(C) và t ≥ 0, chuỗi
e

tA
=
∞

k=0
t
k
.A
k
k!
(1.2)
hội tụ tuyệt đối.
Hơn nữa ánh xạ
R
+
 t → e
tA
∈ M
n
(C)
là liên tục và thỏa mãn
(F E)

e
(t+s)A
= e
tA
e
sA
∀t, s ≥ 0,

e
0A
= I.
hay (T (t))
t≥0
= e
tA
là nửa nhóm liên tục mạnh.
Chứng minh.
Do ||e
tA
|| = ||
∞

k=0
t
k
A
k
k!
|| ≤
∞

k=0
|t|
k
||A||
k
k!
= e

|t|||A||
< ∞,
nên chuỗi e
tA
hội tụ tuyệt đối. Khi đó sử dụng quy tắc Cauchy về nhân chuỗi
lũy thừa, ta có
∞

k=0
t
k
A
k
k!
.
∞

k=0
s
k
A
k
k!
=
∞

n=0
n

k=0

t
n−k
.A
n−k
(n − k)!
.
s
k
A
k
k!
=
∞

n=0
(t + s)
n
.A
n
n!
.
Suy ra (F E) được chứng minh.
Ta chỉ ra t → e
tA
liên tục.
Từ tính chất (FE) ta có e
(t+h)A
− e
tA
= e

tA
(e
hA
− I) ∀t, h ≥ 0.
Do
||e
hA
− I|| = ||
∞

k=1
h
k
.A
k
k!
|| ≤
∞

k=1
|h|
k
.||A||
k
k!
= e
|h|||A||
− 1,
nên lim
h→0

e
hA
= I, suy ra lim
h→0
(e
(t+h)A
− e
tA
) = 0.
Suy ra t → e
tA
liên tục.
Vậy (T (t))
t≥0
là nửa nhóm liên tục mạnh.
Định nghĩa 1.4.2. Cho một nửa nhóm liên tục mạnh T = (T (t))
t≥0
, chúng ta
gọi ω
0
là cận tăng trưởng nếu
ω
0
= ω
0
(T) = inf{w ∈ R : tồn tại M
w
≥ 1 thỏa mãn ||T(t)|| ≤ M
w
e

wt
∀t ≥ 0}.
11
Xét trong trường hợp đặc biệt:
- Nếu w = 0, nửa nhóm (T(t))
t≥0
được gọi là nửa nhóm bị chặn.
- Nếu w = 0 và M = 1, (T (t))
t≥0
được gọi là là nửa nhóm co.
- Nếu ||T (t)x|| = ||x|| ∀t ≥ 0 và x ∈ X, nửa nhóm (T (t))
t≥0
được gọi là đẳng cự.
Định nghĩa 1.4.3. Nửa nhóm điều chỉnh (Rescaled)
∀µ ∈ C và α > 0 chúng ta định nghĩa nửa nhóm điều chỉnh (S(t))
t≥0
bởi
S(t) = e
µt
T (αt).
Định nghĩa 1.4.4. Nửa nhóm (T (t))
t≥0
được gọi là nửa nhóm ổn định mũ đều
nếu tồn tại các hằng số ω > 0, M ≥ 1 sao cho
||T (t)|| ≤ Me
−ωt
, t ≥ 0
Định nghĩa 1.4.5. Nửa nhóm (T (t))
t≥0
được gọi là nửa nhóm liên tục đều trong

L(X) nếu R
+
 t → T(t) liên tục đối với Tôpô chuẩn (Tôpô đều) trong L(X),
tức là
lim
h→0
||T (t + h) − T (t)|| = 0, ∀t ≥ 0
Mệnh đề 1.4.3. (xem [4]) Giả sử toán tử A ∈ L(X), chúng ta định nghĩa
(e
tA
)
t≥0
như sau:
e
tA
=
∞

n=0
t
n
A
n
n!
, ∀t ≥ 0.
Khi đó các tính chất sau là đúng.
(i) (e
tA
)
t≥0

là nửa nhóm trên X thỏa mãn
R
+
 t → e
tA
∈ (L(X), ||.||)
là liên tục.
(ii) Ánh xạ R
+
 t → e
tA
∈ (L(X), ||.||) là khả vi và thỏa mãn phương trình vi
phân
12
(DE)

d
dt
T (t) = AT (t), ∀t ≥ 0,
T (0) = I.
Ngược lại, mọi hàm khả vi T(.) : R
+
→ (L(X), ||.||) thỏa mãn (DE) có dạng
T (t) = e
tA
với A =
˙
T (0) ∈ L(X).
1.4.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh
Để xây dựng khái niệm toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh, trước hết

ta chứng minh bổ đề sau.
Bổ đề 1.4.1. (xem [4], tr.48) Cho một nửa nhóm (T (t))
t≥0
liên tục mạnh và
một phần tử x ∈ X. Đối với ánh xạ quỹ đạo ξ
x
: t → T(t)x, các tính chất sau là
tương đương.
(i) ξ
x
(.) là khả vi trên R
+
.
(ii) ξ
x
(.) khả vi bên phải tại t = 0.
Định nghĩa 1.4.6. Toán tử sinh A : D(A) ⊂ X → X của nửa nhóm liên tục
mạnh (T (t))
t≥0
trên không gian Banach X là toán tử
Ax =
˙
ξ
x
(0) = lim
h↓0
1
h
(T (h)x − x)
xác định với mọi x trong miền xác định của nó

D(A) = {x ∈ X : ξ
x
là khả vi trên R
+
}.
Theo bổ đề 1.4.1, ta thấy miền xác định D(A) là tập tất cả các phần tử x ∈ X
mà ξ
x
(.) là khả vi bên phải tại t = 0. Do đó
D(A) = {x ∈ X : lim
h↓0
1
h
(T (h)x − x) tồn tại}. (1.3)
Miền D(A) là một không gian vector, và chúng ta ký hiệu toán tử sinh của nó
là (A, D(A)). Chúng ta thường chỉ viết A, và coi miền xác định của nó là cho bởi
(1.3).
Sau đây là một vài tính chất của toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh.
13
Mệnh đề 1.4.4. (xem [4], tr.50) Cho toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm liên
tục mạnh (T (t))
t≥0
, các tính chất sau là đúng.
(i) A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính.
(ii) Nếu x ∈ D(A) thì T (t)x ∈ D(A) và
d
dt
T (t)x = T (t)Ax = AT(t)x ∀t ≥ 0. (1.4)
(iii) ∀t ≥ 0 và x ∈ X, ta có
t


0
T (s)xds ∈ D(A).
(iv) ∀t ≥ 0, ta có
T (t)x − x = A
t

0
T (s)xds nếu x ∈ X, (1.5)
=
t

0
T (s)Axds nếu x ∈ D(A). (1.6)
Định lý 1.4.1. (xem [4], tr.73) Định lý toán tử sinh của nửa nhóm (Hille,Yosida)
Cho (A, D(A)) là một toán tử tuyến tính trên một không gian Banach X. Khi đó
các tính chất sau là tương đương.
(a) (A, D(A)) sinh ra một nửa nhóm co liên tục mạnh.
(b) (A, D(A)) đóng, xác định trù mật, với mỗi λ > 0, ta có λ ∈ ρ(A) và
||λR(λ, A)|| ≤ 1. (1.7)
(c) (A, D(A)) là đóng, xác định trù mật, với mỗi ∀λ ∈ C mà Reλ > 0, ta có
λ ∈ ρ(A) và
||R(λ, A)|| ≤
1
Reλ
. (1.8)
14
Chương 2
Sự ổn định của phương trình vi
phân trong không gian Hilbert

2.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert
Cho H là không gian Hilbert. Trong H ta xét phương trình vi phân:
dx(t)
dt
= f(t, x(t)), (2.1)
trong đó
f : R
+
× H −→ H.
(t ≥ 0; x(.) ∈ H)
Bài toán Cauchy. Tìm nghiệm x = x(t) của phương trình (2.1) thỏa mãn điều
kiện ban đầu x(t
0
) = x
0
với (t
0
, x
0
) ∈ I × H cho trước.
Tương ứng với bài toán Cauchy của phương trình (2.1), người ta thường xét
phương trình dạng tích phân:
x(t) = x
0
+
t

t
0
f(τ, x(τ))dτ. (2.2)

Nhận xét. Nếu f liên tục theo chuẩn trong H thì ta có thể chỉ ra rằng nghiệm
của (2.2) là nghiệm của bài toán Cauchy và ngược lại.
15
Định lý 2.1.1. (Tính duy nhất nghiệm địa phương)
Giả sử tồn tại lân cận đóng (t
0
, x
0
) sao cho trong lân cận đó hàm f(t, x) liên
tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz
||f(t, x
2
) − f(t, x
1
)|| ≤ M||x
2
− x
1
|| (2.3)
(M là hằng số dương hữu hạn).
Khi đó tồn tại lân cận của (x
0
, t
0
) mà trong lân cận đó (2.1) có duy nhất nghiệm
x = x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t
0
) = x
0
.

Chứng minh. xem [2]
Chú ý. Nghiệm x(t) chỉ tồn tại duy nhất trên ||t − t
0
|| ≤ ε , ||x − x
0
|| ≤ η với
ε, η đủ nhỏ. Định lý sau đây chỉ ra sự tồn tại nghiệm trên toàn bộ [a, b].
Định lý 2.1.2. (Tính duy nhất nghiệm toàn cục)
Giả sử tồn tại miền [a, b] × H mà trên miền đó hàm f(t,x) liên tục theo t vào
thỏa mãn điều kiện Lipschitz (2.3). Khi đó với mọi (t
0
, x
0
) ∈ [a, b] × H, bài toán
Cauchy có nghiệm duy nhất x = x(t) xác định trên [a, b] .
Chứng minh. xem [2]
Định lý 2.1.3. (Sự kéo dài nghiệm trong không gian Hilbert)
Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t
0
, hàm f(t, x) thỏa mãn điều kiện
||f(t, x(t))|| ≤ L(||x||),
trong đó L(r) là hàm liên tục có tính chất

r
r
0
dr
L(r)
→ ∞ khi r → ∞
Khi đó mọi nghiệm của phương trình (2.2) có thể kéo dài trên khoảng thời gian

vô hạn t
0
≤ t < ∞.
Chứng minh. xem [2]
16
2.2 Sự ổn định theo Lyapunov của phương trình vi
phân trong không gian Hilbert
2.2.1 Các khái niệm về ổn định
Giả sử H là không gian Hilbert tách được;
D = R
+
× H.
Xét phương trình vi phân
dx
dt
= f(t, x), (2.4)
trong đó t ∈ R
+
; x ∈ H, f : D −→ H là một hàm liên tục thỏa mãn f(t, 0) = 0 và
thỏa mãn điều kiện Lipschitz, tức là tồn tại hằng số L > 0 sao cho:
Với mọi (t, x
1
), (t, x
2
) ∈ D thì ||f (t, x
1
) − f(t, x
2
)|| ≤ L||x
1

− x
2
||.
Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày lại một số định lý cơ bản về tính ổn định
của nghiệm tầm thường của phương trình vi phân trong không gian Hilbert theo
phương pháp thứ hai Lyapunov. Trước hết chúng ta nhắc lại một số định nghĩa
về sự ổn định của nghiệm tầm thường.
Ký hiệu:
G = {x : x ∈ H, ||x|| ≤ r < +∞};
x(t) = x(t, t
0
, x
0
) là nghiệm của (2.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu
x(t
0
) = x
0
(x
0
∈ G).
Định nghĩa 2.2.1. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (2.4)
được gọi là ổn định theo Lyapunov khi t → +∞ nếu
∀ε > 0, t
0
∈ R
+
; ∃δ = δ(t
0
, ε) > 0 : ∀x

0
∈ G; ||x
0
|| < δ ⇒ ||x(t, t
0
, x
0
)|| < ε; ∀t ≥ t
0
.
Định nghĩa 2.2.2. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (
2.4) được gọi là ổn định đều theo Lyapunov nếu số δ trong định nghĩa (2.2.1) có
thể chọn không phụ thuộc vào t
0
.
17
Định nghĩa 2.2.3. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (2.4)
được gọi là ổn định tiệm cận khi t → ∞ nếu
(i) Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 là ổn định.
(ii) Tồn tại  = (t
0
) > 0 sao cho với mọi x
0
∈ G và ||x
0
|| <  thì
lim
t→+∞
||x(t, t
0

, x
0
)|| = 0.
Định nghĩa 2.2.4. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (2.4)
được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu:
(i) Nghiệm x(t) ≡ 0 là ổn định đều.
(ii) Tồn tại  > 0 (không phụ thuộc vào t
0
) sao cho với mọi x
0
∈ G thỏa mãn
||x
0
|| <  thì
lim
t→+∞
||x(t, t
0
, x
0
)|| = 0.
Định nghĩa 2.2.5. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (
2.4) được gọi là ổn định mũ khi t → ∞ nếu mọi nghiệm x = x(t, t
0
, x
0
) của (2.4)
thỏa mãn
||x(t, t
0

, x
0
)|| ≤ B||x
0
||e
−α(t−t
0
)
,
trong đó B, α là các hằng số dương nào đó không phụ thuộc vào (t
0
, x
0
).
Định nghĩa 2.2.6. (Phiếm hàm Lyapunov) Ta nói phiếm hàm V : R
+
× H → R
là phiếm hàm Lyapunov nếu nó liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo
biến thứ hai.
Đạo hàm phải của V dọc theo nghiệm của (2.4), kí hiệu là
.
V
(t, x) được xác định
bởi
.
V
(t, x) = lim
h→+∞
1
h

{V [t + h, x + hf(t, x)] − V (t, x)}.
2.2.2 Các định lý về ổn định theo Lyapunov
Ký hiệu CPI: Họ các hàm tăng, liên tục, xác định dương. Chúng ta có các
định lý ổn định của nghiệm tầm thường như sau:
18
Định lý 2.2.1. (Định lý ổn định)
Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R
+
× H → R
+
và hàm
a(.) ∈ CIP thỏa mãn điều kiện:
(i) V (t, 0) = 0;
(ii) a(||x||) ≤ V (t, x);
(iii)
.
V
(t, x) ≤ 0.
Khi đó, nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.4) là ổn định.
Chứng minh. Giả sử có hàm V (t, x) thỏa mãn các điều kiện (i), (ii), (iii), ta sẽ
chứng minh nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.4) là ổn định.
Cho ε > 0 đủ bé, ta xác định mặt cầu
S
ε
= {x : x ∈ H, ||x|| = ε}.
Từ (ii) ta suy ra
0 < a(ε) ≤ V (t, x), t ∈ R
+
, x ∈ S
ε

.
Vì V (t, 0) = 0, V (t, x) là hàm liên tục nên với t
0
cố định và a(ε) > 0 tồn tại số
δ(t
0
, ε) > 0 sao cho nếu ||x|| < δ(t
0
, ε) thì V (t
0
, x) < a(ε).
Lấy x(t, t
0
, x
0
) là nghiệm của (2.4) sao cho ||x
0
|| < δ, ta sẽ chứng minh
||x(t, t
0
, x
0
)|| < ε, ∀t ≥ t
0
.
Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại t
1
> t
0
sao cho nghiệm x(t, t

0
, x
0
) với ||x
0
|| < δ
thỏa mãn
||x(t
1
)|| = ε.
Từ điều kiện (iii) ta suy ra
V (t
1
, x(t
1
)) ≤ V (t
0
, x(t
0
)),
từ đó ta suy ra
a(ε) ≤ V (t
1
, x(t
1
)) ≤ V (t
0
, x(t
0
)) < a(ε).

19
Mâu thuẫn trên chứng tỏ điều giả sử là sai. Như vậy nếu ||x
0
|| < δ thì
||x(t, t
0
, x
0
)|| < ε, ∀t ≥ t
0
,
tức là nghiệm tầm thường x ≡ 0 ổn định.
Định lý 2.2.2. (Định lý ổn định đều)
Giả sử tồn tại phiếm hàm Lyapunov V : R
+
× H → R
+
và các hàm a(.), b(.) ∈
CIP thỏa mãn điều kiện:
(i) a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||).
(ii)
.
V
(t, x) ≤ 0.
Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.4) ổn định đều.
Chứng minh. Xét mặt cầu
S
ε
= {x : x ∈ H, ||x|| = ε}.
Từ điều kiện (i) ta có a(||x||) ≤ V (t, x) suy ra a(ε) ≤ V (t, x), với mọi x ∈ S

ε
.
Đồng thời, do
V (t, x) ≤ b(||x||) và b(||x||) ∈ CIP
nên với a(ε) > 0 ta chọn được số δ = δ(ε) > 0 sao cho nếu ||x|| < δ(ε) thì
b(||x||) < a(ε), do đó b(δ) < a(ε).
Lấy một nghiệm x(t
0
, x
0
) tùy ý của (2.4) với ||x
0
|| < δ(ε) thì với t
0
cố định bất
kỳ từ giả thiết
.
V
(t, x) ≤ 0, ta có
a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ V (t
0
, x
0
) ≤ b(||x
0
(t)||) ≤ b(δ) < a(ε).
Như vậy với ||x
0
|| < δ(ε) thì
||x(t, t

0
, x
0
)|| < ε, ∀t ≥ t
0
.
Do đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 là ổn định đều.
20
Định lý 2.2.3. (Định lý ổn định tiệm cận đều)
Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R
+
× H → R
+
và các hàm
a(.), b(.), c(.) ∈ CIP thỏa mãn điều kiện:
(i) a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||).
(ii)
.
V
(t, x) ≤ −c(||x||).
Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.4) ổn định tiệm cận đều.
Chứng minh. Tương tự như trong (2.2.2), ta có nghiệm x ≡ 0 là ổn định đều.
Ta sẽ chứng minh nghiệm tầm thường ổn định tiệm cận đều.
Do nghiệm x ≡ 0 ổn định đều nên tồn tại δ
0
> 0 sao cho với mọi t
0
∈ R
+
,

||x|| ≤ δ
0
, ta có:
||x(t, t
0
, x
0
)|| < M < +∞, ∀t ≥ t
0
.
Mặt khác, với mọi ε > 0 tồn tại số δ
ε
> 0 sao cho t
0
∈ R
+
, ||x|| ≤ δ
ε
, ta có
||x(t, t
0
, x
0
)|| < ε, ∀t ≥ t
0
.
Giả sử ngược lại tồn tại một nghiệm x(t, t
0
, x
0

), t
0
∈ R
+
, ||x|| ≤ δ
0
nhưng
lim
t→+∞
||x(t, t
0
, x
0
)|| = 0, khi đó tồn tại dãy {t
k
} với t
k
≥ t
0
lim
k→+∞
t
k
= +∞ sao
cho
δ(ε) ≤ ||x
t
k
|| < M.
Kết hợp với điều kiện (ii)

.
V
(t, x) ≤ −c(||x||), ta suy ra tồn tại γ > 0 sao cho
.
V
(t, x) < −γ.
Do δ(ε) ≤ ||x(t
k
)|| < M nên

t
t
0
.
V
(t, x(τ))d(τ) ≤

t
t
0
−γd(τ).
Do đó
V (t, x) ≤ V (t
0
, x
0
) − γ(t − t
0
) → −∞ khi t → +∞,
mâu thuẫn với giả thiết (i).

Mâu thuẫn này chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai.
21
Do đó lim
t→+∞
||x(t, t
0
, x
0
)|| = 0.
Như vậy nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.4) ổn định tiệm cận đều.
Nhận xét. Trong định lý (2.2.3), thay cho điều kiện c(.) ∈ CIP, ta có thể lấy
c(.) là hàm liên tục, xác định dương.
2.3 Sự ổn định theo Lyapunov của một số phương
trình vi phân có dạng đặc biệt trong không gian
Hilbert
2.3.1 Các khái niệm về J-ổn định
Trong không gian Hilbert tách được H ta xét cơ sở trực chuẩn đếm được
{e
i
}
∞
1
. Khi đó với mọi x ∈ H đều viết được dưới dạng x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . .) với
x =

∞

i=1
x
i
e
i
.
Giả sử P
n
: H → H là phép chiếu được xác định bởi
P
n
(x) = P
n

∞

i=1
x
i
e
i

= x
∗
= (x
1
, x
2

, . . . , x
n
, 0, 0 . . .).
Đặt H
n
= P
n
(H); J = {n
j
}
n
1
là dãy tăng thực sự trong N.
Xét phương trình vi phân
dx
dt
= f(t, x), t ≥ 0; (2.5)
với f : R
+
× H → H là toán tử thỏa mãn điều kiện đảm bảo sự tồn tại duy
nhất nghiệm của bài toán Cauchy và kéo dài trên toàn bộ R
+
(đã xét trong 2.1),
f(t, 0) = 0 và thỏa mãn điều kiện
f(t, P
m
x) = P
m
f(t, P
m

x); ∀x ∈ H, m ∈ J. (2.6)
Tiếp theo để minh họa cho giả thiết (2.6) chúng ta có thể xét phương trình vi
phân trong l
2
viết dưới dạng của một hệ đếm được các phương trình vi phân
như sau:
22



























































dx
1
dt
= f
1
(t, x
1
, x
2
, . . . , x
n
1
, . . . , x
n
j
, . . . , x
n
, . . .)
dx
2
dt
= f
2
(t, x
1
, x

2
, . . . , x
n
1
, . . . , x
n
j
, . . . , x
n
, . . .)
. . . . . .
dx
n
1
dt
= f
n
1
(t, x
1
, x
2
, . . . , x
n
1
, . . . , x
n
j
, . . . , x
n

, . . .)
dx
n
1
+1
dt
= f
n
1
+1
(t, 0, 0, . . . , 0, x
n
1
+1
, . . . , x
n
j
, . . . , x
n
j+1
, . . .)
. . . . . .
dx
n
j
dt
= f
n
j
(t, 0, 0, . . . , 0, x

n
j
, x
n
j
+1
, . . . x
n
(j+1)
, . . . , x
n
j
, . . . , x
n
, . . .)
dx
n
j
+1
dt
= f
n
j
+1
(t, 0, 0, . . . , 0, x
n
j
+1
, . . . x
n

(j+1)
, . . . , x
n
(j+2)
, . . . , x
n
, . . .)
. . . . . .
dx
n
(j+1)
dt
= f
n
(j+1)
(t, 0, 0, . . . , 0, x
n
j
+1
, . . . x
n
(j+1)
, . . . , x
n
j+2
, . . . , x
n
, . . .)
. . . . . .
Phương trình vi phân dạng này thường được gặp trong mô hình của hệ động

lực các quần thể sinh học. Trước hết chúng ta chứng minh bổ đề sau đây:
Giả sử x
0
∈ H; x
∗
0
= P
m
x
0
∈ P
m
H. Bằng cách sử dụng định lý tồn tại duy
nhất nghiệm cho phương trình vi phân (2.5), ta có:
Bổ đề 2.3.1. Giả sử điều kiện (2.6) được thỏa mãn. Khi đó nghiệm x(t) =
x(t, t
0
, x
∗
0
) của (2.5) thỏa mãn điều kiện
x(t) = x(t, t
0
, x
∗
0
) = P
m
x(t, t
0

, x
∗
0
),
tức là x(t, t
0
, P
m
x
0
) = P
m
x(t, t
0
, P
m
x
0
) (∀t ∈ R
+
, m ∈ J).
Chứng minh. Với mỗi m ∈ J cho trước, ta xét phương trình vi phân
du
dt
= f(t, P
m
u), u ∈ H, t ∈ R
+
.
Với ξ

0
∈ P
m
H, nghiệm u(t) = u(t, t
0
, ξ
0
) của phương trình vi phân trên cũng
là nghiệm của phương trình tích phân
u(t) = ξ
0
+

t
t
0
f(τ, P
m
u(τ))dτ. (2.7)
23