Tính dịch chuyển địa phương hóa của môđun đối đồng điều địa phương luận văn thạc sĩ toán học

1

MỞ ĐẦU
Địa phương hóa là một công cụ quan trọng trong Đại số giao hoán. Ở
đó người ta luôn tìm cách quy vành về một vành địa phương. Cho (R, m) là
vành giao hoán địa phương Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh. Ta biết
rằng trong phạm trù các môđun Noether, mối liên hệ giữa tập các iđêan
nguyên tố liên kết của một môđun hữu hạn sinh M và tập các iđêan nguyên tố
liên kết của môđun địa phương hóa của M tại một iđêan nguyên tố p được
biểu thị bởi hệ thức sau:
AssRp M p ={qRp : q AssR M , q  p} .

Trong phạm trù các môđun Artin, người ta cũng muốn tìm một công
thức tương tự như vậy cho tập các iđêan nguyên tố gắn kết. Tuy nhiên đến
nay người ta vẫn chưa tìm được. Ta biết rằng môđun đối đồng điều địa
phương với giá là iđêan cực đại luôn là Artin. Năm 1975, R.Y. Sharp đã
nghiên cứu tính chất sau đây đối với môđun đối đồng điều địa phương
H mi ( M ) :
R/ p
Att Rp ( H piRdim
( M p ))={qRp : q Att R ( H mi ( M )), q  p}
p

với mọi iđêan nguyên tố p  Spec(R). Ông đã gọi tính chất này là tính dịch
chuyển địa phương hóa của môđun đối đồng điều địa phương. R.Y. Sharp đã
chỉ ra rằng tính chất này không đúng trong trường hợp tổng quát nhưng đúng
trong trường hợp R là vành thương của vành Gorenstein. Nói chung môđun
đối đồng điều địa phương H mi ( M ) luôn thỏa mãn tính dịch chuyển địa phương
hóa yếu, nghĩa là
Att R ( H pi Rdim R/ p ( M p )) {qRp : q Att R ( H mi ( M )), q  p}.
p

p


2

Trong bài báo [3], Trần Nguyên An đã nghiên cứu tập các iđêan
nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương H mi ( M ) để từ đó đưa
ra một số điều kiện để H mi ( M ) thỏa mãn tính dịch chuyển địa phương hóa.
Nội dung chính của luận văn là trình bày lại một cách chi tiết các kết quả
trong bài báo [3] của Trần Nguyên An.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia
thành hai chương.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày
một số khái niệm của Đại số giao hoán nhằm mục đích làm cơ sở cho việc
trình bày nội dung chính của luận văn ở Chương 2. Ngoài ra chúng tôi còn
trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho
các chứng minh ở phần sau.
Chương 2: Tính chất dịch chuyển địa phương hóa của môđun đối đồng
điều địa phương. Trong chương này chúng tôi trình bày lại các kết quả trong
bài báo [3] của Trần Nguyên An. Cụ thể là chúng tôi sẽ trình bày những vấn
đề sau:
- Giả giá của môđun và một tính chất về linh hóa tử của môđun đối
đồng điều địa phương.
- Tính chất dịch chuyển địa phương hóa của môđun đối đồng điều địa
phương.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
đến cô, người đã hướng dẫn, giúp đỡ tận tình, chu đáo và nghiêm khắc trong
suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Nhân dịp này, tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong
khoa Toán học, phòng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh và Trường
Đại học Sài Gòn đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập.


3

Luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong
nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và đồng nghiệp.
Nghệ An, tháng 9 năm 2012
Tác giả


4

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm của Đại số
giao hoán sử dụng trong luận văn như: Địa phương hóa, giá của môđun, iđêan
nguyên tố liên kết, chiều của vành và môđun, vành Gorenstein, vành địa
phương đầy đủ theo tôpô m - adic, môđun đối đồng điều địa phương, biễu
diễn thứ cấp và tập các iđêan nguyên tố gắn kết, đối ngẫu Matlis.
1.1. Địa phương hóa
1.1.1. Vành các thương. Cho S là tập nhân đóng của vành R. Trên tích Đề
các R x S ta xét quan hệ hai ngôi:  r, s  r,, s,  t  S : t rs,  sr,  0 . Khi









đó  là quan hệ tương đương trên R x S. Với (r,s)  R x S, ký hiệu r/s là lớp
tương đương chứa (r,s) và S-1R là tập thương của R x S theo quan hệ tương
đương : S-1R = {r/s | r R, s S}.
Trên S-1R trang bị hai phép toán là phép cộng và phép nhân, khi đó S-1R
trở thành một vành và gọi là vành các thương của R theo tập nhân đóng S.
Mỗi iđêan của vành S-1R có dạng S-1I = {a /s | a I, s S}, trong đó I là iđêan
của R. Ta có S-1I = S-1R  I  S   . Do đó S-1I là iđêan thực sự của S-1R
khi và chỉ khi I  S   .
Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó S  R \ p là một tập
nhân đóng của vành R. Vành S-1R trong trường hợp này là vành địa phương,
ký hiệu là Rp , với iđêan cực đại duy nhất pRp  S 1p  a / s a  p, s  R \ p
nên được gọi là vành địa phương hoá của vành R tại iđêan nguyên tố p .
1.1.2. Môđun các thương. Cho S là tập nhân đóng của vành R. Khi đó ta có
vành các thương S-1R. Trên tích Đề các M x S ta xét quan hệ hai ngôi:
 m, s   m,, s,   t  S : t  ms,  sm,   0 . Khi đó  là quan hệ tương đương


5

trên M x S. Do đó M x S được chia thành các lớp tương đương, ta ký hiệu tập
thương của M x S theo quan hệ tương đương  là S-1M và ký hiệu lớp tương
đương chứa (m,s) là m / s . Như vậy S-1 M = { m / s | m M, s S}.
Trên S-1M trang bị phép cộng và phép nhân với vô hướng:
m / s  m '/ s '   s ' m  sm '  / ss ', m / s; m '/ s '  S 1 M

và r / t. m / s  rm / ts, r / t  S 1 R, m / s  S 1M . Khi đó S 1 M có cấu trúc
là một S 1 R -môđun và gọi là môđun các thương của M theo tập nhân đóng S.

S 1 M cũng có thể xem là một R-môđun với phép nhân vô hướng như sau:

r.x / s  rx / s , với mọi r  R, x / s  S 1 M .
Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R và S  R \ p . Khi đó môđun

S 1 M được gọi là môđun địa phương hoá của M tại iđêan nguyên tố p , ký
hiệu là Mp . Như vậy Mp có thể xem như là Rp -môđun hoặc là R-môđun.
1.2. Giá của môđun
1.2.1. Phổ của vành. Ký hiệu SpecR là tập tất cả các iđêan nguyên tố của
vành R. Khi đó SpecR được gọi là phổ của vành R.Với mỗi iđêan I của R , ta
ký hiệu V( I )  p  Spec R p  I .
1.2.2. Giá của môđun. Cho M là một R-môđun. Khi đó tập hợp

p  Spec R M  0
p

được gọi là giá của R- môđun M và ký hiệu là Supp R ( M) hoặc Supp( M) .





Như vậy: Supp( M)  p Spec R Mp  0 . Với mỗi x  M ta ký hiệu:
Ann R (x)  a  R ax  0;

Ann R M  a  R aM  0  a  R ax  0,  x  M.

6

Ta có Ann R (x) và Ann R M (hoặc viết Ann(x) và Ann M nếu không để ý đến
vành R) là những iđêan của vành R, Ann R M gọi là linh hóa tử của môđun M.
Hơn nữa nếu M là R -môđun hữu hạn sinh thì:
Supp M  V(Ann R M)   p Spec R Ann R M  p.

1.3. Iđêan nguyên tố liên kết
1.3.1. Định nghĩa. Cho M là một R-môđun. Ta gọi iđêan nguyên tố p của R
là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử x  M, x  0 sao
cho:

p  Ann R (x)  a  R / ax  0.
Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được ký hiệu là Ass R M ( hoặc Ass M
nếu không để ý đến vành R). Như vậy:
Ass M  p Spec R p  Ann(x) víi x  M.

1.3.2. Tính chất. (i). p AssR ( M ) khi và chỉ khi tồn tại môđun con Q của M,

Q  0 sao cho Q  R / p.
(ii). Đặt  = Ann R (x) x  M, x  0 . Khi đó nếu p là phần tử tối đại trong

 theo quan hệ bao hàm thì p  AssR ( M ) .
(iii). R là vành Noether và M là R- môđun. Khi đó, Ass M    M  0 .
Suy ra AssM    M  0 .

(iv). Cho M là R - môđun. N là môđun con của M thì Ass N  Ass M.
(v). Cho M là R-môđun. Khi đó: Ass M  Supp M. Nếu p  Supp M và p tối
tiểu trong Supp M theo quan hệ bao hàm thì p  Ass M.

(vi). Nếu M là R-môđun Noether thì tập AssR ( M ) hữu hạn.
(vii). Cho p  Spec R thì Ass R M p  Ass R M

 qSpecR / q Íp.

1.3.3. Bổ đề. Giả sử 0  M  M  M  0 là một dãy khớp ngắn các Rmôđun. Khi đó


7

(i) Ass M  Ass M  Ass M  Ass M;
(ii) Supp M  Supp M  Supp M.
1.4. Chiều của vành và môđun
1.4.1. Chiều Krull. Cho R là vành giao hoán. Một dãy giảm các iđêan nguyên
tố của R: p0  p1  p2  ...  pn được gọi là một xích nguyên tố có độ dài là n
(i) Cho p Spec R. Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố
p0  p được gọi là độ cao của p , ký hiệu là ht(p). Nghĩa là

ht (p)  sup ®é cao xÝch nguyªn tè víi p0  p.
(ii) Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được gọi là
chiều Krull của vành R, ký hiệu là dimR. Ta có
dim R  sup ht (p) p  spec R .

(iii) Cho M là R-môđun. Khi đó dim( R /Ann R M) được gọi là chiều Krull của
môđun M, ký hiệu là dim R M (hoặc dim M nếu ta không tập trung chú ý đến
vành R). Như vậy, dim R có thể vô hạn do ht (p) có thể vô hạn và

dim M  dim R. Chú ý rằng dim M  dim M, trong đó M là bao đầy đủ m –
adic của M.
1.4.2. Chiều Noether. Cho M là R-môđun. Chiều Noether của M, ký hiệu bởi

N – dim M, được định nghĩa như sau:
Khi M = 0 ta đặt N  dim M   1. Cho một số nguyên d  0 ta đặt
N  dim M  d nếu N  dim M  d là sai và với mỗi dãy tăng các môđun

con M0  M1  M2  ... của M, tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho
N  dim ( Mn  1 / Mn )  d và với mọi n  n0.

Như vậy N  dim M  0 khi và chỉ khi M  0 và M là Noether.


8

1.5. Vành Gorenstein
1.5.1. Định nghĩa. Cho M là một R - môđun. Chiều nội xạ của M là số
nguyên nhỏ nhất n sao cho tồn tại một lời giải nội xạ
I  : 0  M  I  I 2 ...  I n...

của M mà I m  0 với mọi m  n .
Chiều nội xạ của R -môđun M được kí hiệu là inj.dimR M hoặc
inj.dim M .

1.5.2. Định nghĩa. (i) Giả sử R là vành địa phương, Noether. Khi đó R được
gọi là vành Gorenstein nếu inj.dimR R   .
(ii) Nếu R là vành Noether không nhất thiết địa phương thì R được gọi là
vành Gorenstein nếu Rm là vành Gorenstein với mọi iđêan cực đại m.
1.5.3. Mệnh đề. Cho R là vành Noether. Giả sử R là vành Gorenstein. Khi
đó với mỗi tập nhân đóng S trong R , vành các thương Rs cũng là vành
Gorenstein.
1.5.4. Hệ quả. Cho R là vành Noether. Khi đó nếu R là vành Gorenstein thì
vành địa phương hóa Rp cũng là vành Gorenstein với mọi iđêan nguyên tố

pSpecR .
1.5.5. Mệnh đề. Giả sử R là vành Noether, x là một phần tử chính quy của
vành R . Nếu R là vành Gorenstein thì vành thương R /  x  cũng là vành
Gorenstein. Điều ngược lại  R, m  cũng đúng khi R là vành địa phương.
1.5.6. Mệnh đề. Giả sử  R, m  là vành địa phương, Noether. Nếu R là vành
chính quy thì R là vành Gorenstein.
1.6. Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m -adic
Vành R được gọi là vành địa phương nếu nó chỉ có duy nhất một iđêan
tối đại.


9

Cho  R, m  là một vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất m. Ta xét
R như một vành tôpô với cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan m t , với t =
0,1,2.... Chú ý rằng cơ sở lân cận của một phần tử tuỳ ý r  R gồm các lớp
ghép r  mt với t = 0, 1,2.... Khi đó vành đầy đủ theo tôpô m - adic của R ký
hiệu bởi R được định nghĩa bằng cách thông thường theo ngôn ngữ dãy
Cauchy như sau: Một dãy Cauchy trong R là một dãy (rn) các phần tử của R
sao cho với mọi t > 0, tồn tại số tự nhiên n0 để S  R \ p với mọi n, m  n0 .
Dãy (rn) được gọi là hội tụ về dãy không nếu với mọi t > 0 tồn tại số tự
t
nhiên n0 để rn  0  rn  m với mọi n  n0 .

Hai dãy Cauchy  rn  và  sn  được gọi là hai dãy tương đương, ký hiệu
là  rn 

 sn 

nếu dãy  rn  sn  là dãy không. Khi đó quan hệ  trên tập các

dãy Cauchy là quan hệ tương đương. Ta ký hiệu R là tập các lớp tương
đương của các dãy Cauchy.
Chú ý rằng nếu  rn  và  sn  là các dãy Cauchy thì các dãy  rn  sn  ,

 rn sn  cũng là các dãy Cauchy và lớp tương đương của các dãy  rn  sn  ,

 rn sn 

là không phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tương

đương của các dãy  rn  và  sn  , tức là nếu  rn 

 rn  sn 

r

,
n

 sn,  và  rn sn 

 r s  . Vì thế
, ,
n n

r 
,
n

và  sn 

s 
,
n

thì

R được trang bị hai phép toán

hai ngôi + và . đồng thời cùng với hai phép toàn này, R lập thành một vành.
Mỗi phần tử r  R có thể đồng nhất với lớp tương đương của dãy Cauchy mà
tất cả các phần tử trong dãy đều là r. Vì thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữa
các vành


10

R  R
r

 r ,

trong đó  r  là dãy mà tất cả các phần tử của nó đều là r.
Định nghĩa tương tự cho môđun M với cơ sở lân cận của phần tử 0 là

m M  . Khi đó M
t

là một R -môđun với phép nhân vô hướng như sau: Cho

a   a1 , a2 ,...  R , x   x1 , x2 ,...  M . Ta có ax   a1 x1 , a2 x2 ,...  M .

1.7. Môđun đối đồng điều địa phương
1.7.1. Định nghĩa. Giả thiết R là vành Noether địa phương, m là iđêan tối đại
duy nhất của R và M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dimM = d.
(i) Đối đồng điều địa phương lần đầu tiên được định nghĩa bởi A.
Grothendick. Cho I là một iđêan của R. Với mỗi R-môđun M, đặt
 I (M ):

nN





(0:M I n )  x  M | n  N , xI n  0 .

Ta có  I (M ) là một môđun con của M. Với mỗi R-đồng cấu f : M  N , ta
có f (I (M ))  I ( N ) . Do đó tồn tại
I ( f ): I (M )  I ( N ) .
x

I ( f )( x)  f ( x), x I (M )

Khi đó  I là một hàm tử cộng tính, hiệp biến, khớp trái từ phạm trù các Rmôđun vào phạm trù các R-môđun.  I được gọi là hàm tử xoắn.
Với mỗi số tự nhiên i, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của  I được kí hiệu
là H Ii và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i với giá là I.
Với mỗi R-môđun M, ta kí hiệu H Ii (M ) là ‘ảnh’ của môđun M qua tác

động bởi hàm tử H Ii . Khi đó, H Ii (M ) được gọi là môđun đối đồng điều địa
phương thứ i của môđun M với giá là I.


11

(ii) Người ta gọi H Id (M ) (với dimM = d) là môđun đối đồng điều địa
phương cấp cao nhất của môđun M.
1.7.2. Định lý. (i) Giả sử M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó R-môđun
H mi ( M ) là Artin với mọi số tự nhiên i.

(ii) Giả sử M là R-môđun hữu hạn sinh, khác không, có chiều Krull
dimM = d. Khi đó, R-môđun H Id (M ) là Artin.
1.7.3. Hệ quả. Cho p AssM với dimR / p = t. Khi đó H mt (M )  0 và
p Att R H mt (M ) .

1.7.4. Định lý. Giả sử M là R-môđun hữu hạn sinh, chiều d. Khi đó:
H md (M )  0 và Att R H md (M )  p Ass R M | dim( R / p)  d .

Môđun đối đồng điều địa phương cũng có thể được xây dựng là giới
hạn trực tiếp của các môđun mở rộng Ext thông qua đối đồng điều của phức
Cech, thông qua giới hạn trực tiếp của các môđun đồng điều phức Koszul
(xem [6]).
Sau đây là một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương cần
sử dụng cho các chứng minh ở chương sau.
1.7.5. Định lý. (Tính độc lập với vành cơ sở). Cho R’ là một R- đại số và M’
là một R’-môđun. Khi đó ta có các đẳng cấu R-môđun:
HIRi ' ( M ')  HIi ( M ') với mọi i  0.

1.7.6. Định lý (Định lý chuyển cơ sở phẳng). Cho R’ là một R- đại số phẳng

và M là một R-môđun. Khi đó ta có R’-đẳng cấu :
i
HIi ( M) R R '  HIR
' ( M  R R ') với mọi i  0.

1.8. Biểu diễn thứ cấp và tập các iđêan nguyên tố gắn kết
Trong phần này ta nhắc lại khái niệm biễu diễn thứ cấp theo thuật ngữ
của I.G.Macdonald. Ta luôn ký hiệu M là một R- môđun hữu hạn sinh và A là


12

một R- môđun Artin. Một R- môđun S được gọi là thứ cấp nếu S  0 và với
mọi x  R, phép nhân bởi x trên S hoặc là toàn cấu hoặc là lũy linh. Trong
trường hợp này Rad(Ann R S)  p là một iđêan nguyên tố và ta gọi S là p - thứ
cấp. Cho N là R- mô đun, Một biễu diễn thứ cấp của N là một sự phân tích
N  S1  S2  ...  Sn thành tổng hữu hạn các môđun con pi -thứ cấp Si . Nếu

N  0 hoặc N có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói N là biểu diễn được. Biểu
diễn thứ cấp này được gọi là tối tiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là đôi một
khác nhau và không có hạng tử Si nào thừa i  1,..., n .
Dễ thấy rằng mọi biễu diễn thứ cấp của N đều có thể đưa về dạng tối
tiểu. Khi đó tập hợp p1 , p2 ,..., pn  là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp
tối tiểu của N và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của N, ký hiệu là
Att R N . Các hạng tử Si , i  1,..., n , được gọi là các thành phần thứ cấp của N.

Nếu pi là tối tiểu trong Att R N thì Si được gọi là thành phần thứ cấp cô lập.
Tương tự như tập các iđêan nguyên tố liên kết, ta có tính chất sau của tập
iđêan nguyên tố gắn kết. Giả sử 0  N '  N  N ''  0 là dãy khớp các Rmô đun biễu diễn được. Khi đó ta có Att R N ''  Att R N  Att R N ' Att R N '' .
Bên cạnh đó ta cần một số kết quả dưới đây.

1.8.1.Mệnh đề.Giả sử N là một R- môđun biễu diễn được. Khi đó các điều
kiện sau là đúng.
i) N  0  Att R N   ;
ii) Tập các iđêan nguyên tố tối tiểu của R chứa Ann(N) chính là tập các
phần tử tối tiểu Att R N .
1.8.2 Định lý. Mọi môđun Artin đều biễu diễn được.
Chú ý rằng R- môđun Artin M có cấu trúc tự nhiên như Rˆ - môđun. Với
cấu trúc này, một môđun con của M xét như R-môđun nếu và chỉ nếu nó là


13

môđun con của M xét như Rˆ -môđun. Do đó M là Rˆ - môđun Artin và ta có
mối liên hệ giữa các tập iđêan nguyên tố gắn kết như sau.
1.8.3. Bổ đề. Att R ( M )  { pˆ R | pˆ  Att Rˆ ( M )} .
Định lý sau đây gọi là tính dịch chuyển địa phương hóa tổng quát yếu
1.8.4. Định lý. Cho pSupp M sao cho dim R/ p = t. Giả sử i ≥ 0 là một số
nguyên và q là iđêan nguyên tố với qÍ p sao cho qRp  Att Rp ( H pi Rp ( M p )  0 .
Khi đó q  Att R ( H mit ( M )) .
Hệ quả sau của định lý trên cũng được sử dụng trong luận văn.
1.8.5. Hệ quả. Cho p Ass M với dim R/ p = t. Khi đó H mt ( M )  0 và
p Att R ( H mt ( M )) .

Đối với môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá là iđêan
cực đại, G. Macdonald và R. Y. Shap đã đưa ra công thức của tập iđêan
nguyên tố gắn kết cho lớp môđun này.
1.8.6. Định lý. Giả sử R là R- môđun hữu hạn sinh, chiều d. Khi đó
H mi ( M )  0 và Att R H md ( M )  {p AssR M |dim( R / p)  d} .

1.9. Đối ngẫu Matlis

1.9.1. Đối ngẫu Matlis. Ký hiệu E( R / m) là bao nội xạ của trường thặng dư

R / m của R. xét hàm tử D()  Hom R (, E ( R / m)) từ phạm trù R- môđun
đến chính nó. Vì E( R / m) là mô đun nội xạ nên D() là hàm tử khớp. Ta gọi

D() là đối ngẫu Matlis. Giả sử L là R- môđun, ký hiệu L là R - môđun đầy
đủ của L theo tôpô m -adic.
1.9.2. Định lý (Định lý đối ngẫu Matlis) Cho (R, m ) là vành giao hóa địa
phương noether đầy đủ và M, A là các R-môđun. Khi đó các mệnh đề sau là
đúng.
i) Nếu M là môđun Noether thì DR ( M) là môđun Artin và
M  DR (DR ( M )).


14

ii) Nếu A là môđun Artin thì DR ( A) là môđun Noether và
A  DR ( DR ( A)) .

Định lý đối ngẫu địa phương sau đây cho ta mối liên hệ giữa đối đồng
điều địa phương và hàm tử Ext.
1.9.3. Định lý (Định lý đối ngẫu địa phương) Giả sử (R, m ) là ảnh đồng
cấu của vành địa phương Gorenstein (R’, m' ) chiều n’ và EXt Rj ' ( M , R ') là
toàn cấu vành. Giả sử M là một R- môđun hữu hạn sinh. Khi đó
EXt Rj ' ( M , R ') là R- môđun hữu hạn sinh và ta có đẳng cấu:
H mi ( M )  DR ( EXt nR''i ( M , R ') .


15

CHƯƠNG 2
TÍNH DỊCH CHUYỂN ĐỊA PHƯƠNG HÓA
CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether, M là một R-môđun
hữu hạn sinh. Ta biết rằng trong phạm trù các môđun Noether, mối liên hệ
giữa tập các iđêan nguyên tố liên kết của một môđun hữu hạn sinh M và tập
các iđêan nguyên tố liên kết của môđun địa phương hóa của M tại một iđêan
nguyên tố p được biểu thị bởi hệ thức sau:
AssRp M p ={qRp : q AssR M , q  p} .

Trong phạm trù các môđun Artin, người ta cũng muốn tìm một công
thức tương tự như vậy cho tập các iđêan nguyên tố gắn kết. Tuy nhiên đến
nay người ta vẫn chưa tìm được. Ta biết rằng môđun đối đồng điều địa
phương với giá là iđêan cực đại luôn là Artin. Năm 1975, R.Y. Sharp đã
nghiên cứu tính chất sau đây đối với môđun đối đồng điều địa phương
H mi ( M ) :
R/ p
Att Rp ( H piRdim
( M p ))={qRp : q Att R ( H mi ( M )), q  p}
p

với mọi iđêan nguyên tố p  Spec(R). Ông đã gọi tính chất này là tính dịch
chuyển địa phương hóa của môđun đối đồng điều địa phương. R.Y. Sharp đã
chỉ ra rằng tính chất này không đúng trong trường hợp tổng quát nhưng đúng
trong trường hợp R là vành thương của vành Gorenstein. Nói chung môđun
đối đồng điều địa phương H mi ( M ) luôn thỏa mãn tính dịch chuyển địa phương
hóa yếu, nghĩa là
Att R ( H pi Rdim R/ p ( M p )) {qRp : q Att R ( H mi ( M )), q  p}.
p

p


16

Trong bài báo [3], Trần Nguyên An đã nghiên cứu tập các iđêan
nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương H mi ( M ) để từ đó đưa
ra một số điều kiện để H mi ( M ) thỏa mãn tính dịch chuyển địa phương hóa.
Dựa vào [3], trong chương này, chúng tôi trình bày lại một cách chi tiết các
kết quả về tính dịch chuyển địa phương của môđun đối đồng điều địa phương.
Trong suốt chương này, ta luôn giả thiết ( R, m) là vành địa phương
Noether, A là một R-môđun Artin và M là một R- môđun hữu hạn sinh với
dim M = d. Với mỗi iđêan I của R, ta ký hiệu V(I) là tập các iđêan nguyên tố
của R chứa I. Tập giả giá và tính chất (*) của môđun đối đồng điều địa
phương H mi ( M ) là hai khái niệm quan trọng liên quan đến kết quả chính nên
tiết đầu tiên của Chương chúng tôi dành để trình bày về hai vấn đề này.
2.1 Giả giá của môđun và một tính chất về linh hóa tử của môđun đối
đồng điều địa phương
Để trình bày các kết quả về sau ta cần khái niệm vành catenary.
2.1.1. Định nghĩa. Cho q  p là các i đêan nguyên tố của R. Một dãy các
iđêan nguyên tố q = p0  p1  ...  pn = p sao cho pi  pi1 , i = 0, …, n – 1,
được gọi là một dãy iđêan bão hòa giữa q và p nếu với mọi i, không tồn tại
một iđêan nguyên tố chèn giữa pi và pi1 . Cho R là vành giao hoán, Noether.
R được gọi là vành catenary nếu với mọi cặp iđêan nguyên tố q  p của R
luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa p và q và mọi dãy nguyên tố
bão hòa giữa p và q đều có cùng độ dài.
2.1.2. Chú ‎ý. (i) Khi R là vành Noether địa phương thì dim R   . Rõ ràng,
nếu dim R  2 thì R là catenary.
(ii) Vành thương của vành catenary cũng là vành catenary.

17

Tiếp theo chúng tôi trình bày về khái niệm giả giá và giả chiều. Hai
khái niệm này được đưa ra bởi M. Brodmand và R.Y. Sharp năm 2002, nhằm
xây dựng một công thức bội cho môđun đối đồng điều địa phương.
2.1.3. Định nghĩa. Cho i≥ 0 là một số nguyên. Giả giá thứ i (pseudo-support)
của M, ký hiệu là PsuppiR M , được cho bởi công thức



iR/



PsuppiR ( M )  pSpecR : H pRp p ( M p)  0 .

Giả chiều thứ i (pseudo dimension) của M, ký hiệu là psdiR M , được cho bởi
công thức
psdiR M  supdim R / p : p PsuppiR M  .

Khi R là vành đầy đủ theo tôpô m - adic, bằng đối ngẫu Matlis (Định lý
1.9.2) và đối ngẫu địa phương (Định lý 1.9.3), ta có
R/ p
H pi Rdim
( M p )  DRp ( DR ( H mi ( M )))p ) .
p

Do đó PsuppiR M  V(Ann R ( H mi ( M )) .
Trong trường hợp tổng quát ta có mối liên hệ giữa tập giả giá

PsuppiR ( M ) và tập V(Ann R ( H mi ( M )) như sau.
2.1.4. Bổ đề. Giả sử i≥ 0 là một số nguyên. Khi đó

PsuppiR M  V(Ann R ( H mi ( M )) .
Chứng minh. Lấy p PsuppiR M . Khi đó H pi RpR/p ( M p)  0 . Theo Mệnh đề 1.8.1,
tồn tại iđêan nguyên tố gắn kết qR Att R ( HpiRpR / p ( Mp)) , với iđêan nguyên tố
p

q  p . Suy ra

qAtt R ( Hmi ( M)) theo Định lý 1.8.4. Do đó ta có

p  q  Ann R ( H mi ( M )) . Vì vậy PsuppiR M  V(Ann R ( H mi (M )) .


18

Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether với iđêan tối đại duy
nhất là m; A là một R – môđun Artin. Môđun A được gọi là thỏa mãn tính chất
(*) nếu
AnnR (0 :A p) = p với mỗi iđêan nguyên tố p  AnnR A.
Tính chất (*) của của môđun Artin được đưa ra và nghiên cứu lần đầu
tiên vào năm 2002 bởi N. T. Cường và L. T. Nhàn trong [7] nhằm mục đích
xét mối quan hệ giữa chiều Krull và chiều Noether của môđun Artin. Tính
chất (  ) luôn đúng khi vành cơ sở là đầy đủ theo tôpô m-adic. Khi vành R
không đầy đủ, họ đã chỉ ra ví dụ về sự tồn tại môđun Artin không thỏa mãn
tính chất (  ). Cũng trong bài báo này họ đã chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ để
một môđun Artin A thỏa mãn tính chất (  ) là chiều Noether của A bằng chiều
Krull của A. Tính chất này ngày càng được quan tâm trong việc nghiên cứu

môđun Artin, môđun hữu hạn sinh và cấu trúc của vành cơ sở.
Đến năm 2007, N. T. Cường, N. T. Dung và L. T. Nhàn [5] đã chỉ ra
mối liên hệ giữa tính chất (  ) của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao
nhất với giá là iđêan cực đại và tính catenary của vành cơ sở: Môđun đối đồng
d
điều địa phương cấp cao nhất H m  M  thỏa mãn tính chất (  ) khi và chỉ khi

vành thương R/ AnnR( H m  M  ) là catenary. Tuy nhiên tồn tại vành catenary
d

và tồn tại môđun đối đồng điều địa phương của vành đó bậc nhỏ hơn d không
catenary.
Định lý sau đây cho thấy tính chất (*) là điều kiện cần và đủ để dấu “=”
trong Bổ đề 2.1.4 xảy ra. Phần chứng minh chi tiết của Định lý này có thể
xem trong tài liệu [8].


19

2.1.5. Định lý. Giả sử i≥ 0 là một số nguyên. Khi đó các điều kiện sau là
tương đương:
(i) H mi ( M ) thỏa mãn tính chất (*);
(ii) PsuppiR M  V(Ann R ( H mi ( M ))) .
Hơn nữa nếu (i) và (ii) thỏa mãn thì
psdiR M  psdiRˆ Mˆ  N  dimR ( H mi (M )) dim R / Ann R H mi (M ),
{pSuppiR M :dim( R / p)  psdiR M }  {pˆ R : pˆ  PsuppiRˆ Mˆ ,dim( Rˆ / pˆ )  psdiRˆ Mˆ }.
i
( M )) cho ta một đặc
Như vậy, đẳng thức PsuppiR M  V(Ann R ( H m

trưng về môđun đối đồng điều địa phương H mi ( M ) thỏa mãn tính chất (*).
Áp dụng Định lý 2.1.5, ta có hệ quả sau chỉ ra mối liên hệ giữa cấu trúc
vành là catenary phổ dụng và các thớ hình thức là Cohen-Macaulay và điều
kiện các môđun đối đồng điều địa phương thỏa mãn tính chất (*).
2.1.6. Hệ quả. Nếu vành R / Ann R ( M) là catenary phổ dụng và các thớ hình
thức là Cohen-Macaulay thì H mi ( M ) thỏa mãn tính chất (*) với mọi i  d .
Áp dụng Định lý 2.1.5 cùng với đặc trưng của tính chất (*) cho môđun
đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá cực đại H md ( M ) qua tính
catenary của vành R / Ann R Hmd ( M) , ta có hệ quả sau chỉ ra điều kiện cần và
đủ để tập giả giá thứ i là đóng.
2.1.7. Hệ quả. Các điều kiện sau là tương đương:
i) PsuppdR M đóng;
ii) PsuppdR M đóng dưới phép đặc biệt hóa;
iii) Vành R / Ann R Hmd ( M) là catenary;
iv) Hmd ( M ) thỏa mãn tính chất (*);
v) PsuppdR M  V(AnnR ( H md ( M )) .


20

2.2.Tính chất dịch chuyển địa phương hóa của môđun đối đồng điều địa
phương
Như đã trình bày ở phần đầu chương này, tính chất sau đây:
R/ p
Att Rp ( H piRdim
( M p ))={qRp : q Att R ( H mi ( M )), q  p}
p

với mọi iđêan nguyên tố p  Spec(R) được gọi là tính chất dịch chuyển địa
phương hóa của môđun đối đồng điều địa phương. Tính chất dịch chuyển địa

phương hóa không đúng trong trường hợp tổng quát, chẳng hạn khi ta xét
( R, m) là miền nguyên, địa phương Noether 2 chiều được xây dựng bởi

M.Frerand và D. Raynaud thì H m1 ( R) không thỏa mãn tính chất dịch chuyển
địa phương hóa, hơn nữa tồn tại một miền nguyên địa phương Noether, chiều
1 mà không thể biểu diễn được như ảnh đồng cấu của một vành địa phương
Gorenstein. Khi đó H mi ( N ) thỏa mãn tính chất (*) với mọi N là R- môđun hữu
hạn sinh.Vấn đề được đặt ra là với điều kiện nào thì H mi ( M ) thỏa mãn tính
dịch chuyển địa phương hóa?
2.2.1 Bổ đề. Giả sử i ≥ 0 là một số nguyên. Nếu vành R / Ann R H mi ( M ) là
catenary thì
i dim R p

PsuppRp

( M p )  qRp | q  PsuppiR ( M ), q  p,

với mọi pSpec  R  . Dấu đẳng thức xảy ra nếu R / Ann R M là catenary.
Chứng minh. Lấy p,q Spec  R  và q  q . Nếu q  PsupiR ( M ) theo chứng
minh (i)  (ii) của Định lý 2.1.5, ta có q  V(Ann R H mi ( M )) . Vì vậy
p  q  Ann R H mi ( M ) .

Vì R / Ann R H mi ( M ) là catenary nên
(i  dim R / p)  dim Rp / qRp  (i  dim R / p)  ht p/q
 (i  dim R / p)  (dim R / q- dim R / p)
 i  dim R / q.


21

i dim R /q

Ta có q  PsuppiR ( M ) suy ra H q Rq

( M q )  0, suy ra

( i dim R / p)dim Rp /qRp

HqRq
i dim R / p

và suy ra qRp  PsuppRp

(Mq )  0

( M p ) . Vì vậy

PsuppiRdim R/p ( M p )  qRp | q  PsuppiR ( M ), q  p,
p

Nếu qRp  PsuppiRpdim R/ p ( M p ) thì Hq(Riqdim R/ p)ht p/q ( M p )  0 vì ( M p )qR  M q . Điều
p

này kéo theo q  PsuppiRdim R/qdim R/ pht p/q ( M ) . Do đó chứng minh như (i)  (ii)
của Định lý 2.1.5, ta có
p  q  Ann R H midim R/qdim R/pht p/q ( M )  Ann R M .

Vì R / Ann R ( M ) là catenary nên
(i  dim R / p)  dim Rp / qRp  (i  dim R / p)  ht p / q
 (i  dim R / p)  (dim R / q  dim R / p)

 i  dim R / q

Ta có qRp  PsuppiRpdim R/ p ( M p ) suy ra Hq(Riqdim R/ p)dim Rp /qRp ( M q )  0 , suy ra
HqiRqdim R/q ( M q )  0, và suy ra q  PsuppiR ( M ) . Điều này chứng tỏ
PsuppiRdim R/p ( M p )  qRp | q  PsuppiR ( M ), q  p,
p

với mọi pSpec( R) và với mọi i. Nếu vành R / Ann R M là catenary thì vành
R / Ann R H mi ( M ) cũng là catenary. Vì vậy dấu đẳng thức xảy ra.

Mệnh đề sau đây chỉ ra mối liên hệ giữa tính chất (*) cho môđun đối
đồng điều địa phương của M và môđun đối đồng điều địa phương của địa
phương hóa của nó, mối liên hệ giữa giả giá của M và của M .
2.2.2. Mệnh đề. Cho i≥ 0 là một số nguyên. Giả sử R / Ann R H mi ( M ) là
catenary. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
i) H mi ( M ) thỏa mãn tính chất (*);
R/p
( M p ) thỏa mãn tính chất (*), với mọi pSupp( M ) ;
ii) H pi Rdim
p


22

iii) PsuppiR ( M )  {pˆ R | pˆ  PsuppiRˆ ( Mˆ )} .
Chứng minh: (i)  (ii) . Lấy pSupp(M ). Theo Định lý 2.1.5, ta chỉ cần
chứng minh
PsuppiRdim R/ p ( M p )  V(Ann R ( H pi Rdim R/ p ( M )).
p

p

p

p

Theo Bổ đề 2.1.4, ta có
PsuppiRdim R/ p ( M p )  V(Ann R ( H pi Rdim R/ p ( M )).
p

p

p

p

R/ p
Ngược lại lấy qRp  V(Ann R H piRdim
( M p )) . Theo Bổ đề 1.8.1 tồn tại
p
p

q ' Rp  Att Rp ( H piRdim R/ p ( M p ) thỏa mãn q ' Rp  qRp . Vì vậy
p

q  q'  Att R H mi ( M )

bởi Định lý 1.8.4. Vì H mi ( M ) thỏa mãn tính chất (*) nên theo Định lý 2.1.5 ta
có
q  V(Ann R H mi ( M ))  PsuppiR ( M ) .

Vì vậy theo Bổ đề 2.2.1, ta có
qRp  PsuppiRdim R/ p (M p ).
p

(ii)  (i) là hiển nhiên.

(i)  (iii) . Giả sử p PsuppiR ( M ) . Khi đó H piRdim R/ p ( M p )  0 . Lấy
p

pˆ  AssRˆ / pRˆ , thỏa mãn dim Rˆ / pˆ = dim R / p ta có pˆ

R  p và đồng cấu tự

nhiên Rp  Rˆpˆ là hoàn toàn phẳng. Do đó theo Định lý 1.6.4
ˆ
R/p
H pˆi Rˆdim R/ pˆ ( Mˆ pˆ )  H pi Rdim
( M p )  Rˆpˆ  0 ,
p
pˆ

Điều này kéo theo pˆ  PsuppiRˆ ( Mˆ ) . Vì vậy
PsuppiR ( M )  { pˆ

ˆ  Psuppiˆ ( Mˆ )}.
R|p
R

23

Ngược lại lấy pˆ  PsuppiRˆ ( Mˆ ) . Vì PsuppiRˆ ( Mˆ )  V(Ann Rˆ ( H mi ( M ))), nên theo
Bổ đề 1.8.1, tồn tại qˆ  min Att Rˆ ( H mi ( M ) thỏa pˆ  qˆ . Do đó theo Bổ đề 1.8.3 ta
có
pˆ

R  qˆ

R  Att R H mi ( M ).

Vì vậy theo Mệnh đề 1.8.1 (ii) và Định lý 2.1.5 ta có
pˆ

R  V(Ann R ( H mi ( M ))  PsuppiR ( M ) .

(iii)  (i) Theo Định lý 2.1.5 và Bổ đề 2.1.4, ta chỉ cần chứng minh
V(Ann R ( H mi ( M ))  PsuppiR ( M ).

Lấy p V(Ann R ( H mi ( M )) . Khi đó theo ii) của Mệnh đề 1.8.1, tồn tại
q  min Att R ( H mi ( M )); p  q , Theo Bổ đề 1.8.3 tồn tại qˆ  Att Rˆ ( H mi ( M )) thỏa

ˆ ) nên qˆ  Psuppiˆ ( Mˆ ) . Do
R  q . Vì V(Ann Rˆ ( H mi ( M ))  PsuppiRˆ ( M
R

mãn qˆ

vậy theo giả thiết, ta có
q  PsuppiR ( M ) , tức là HqiRdim R/q ( M q )  0 .

q

Vì Rq là mô đun, HqiRdim R/q ( M q ) là mô đun Artin khác không nên nó phải có
q

một iđêan nguyên tố gắn kết (xem 1.8.1), chú ý rằng Rq  ( Rp )qRp , do
đó áp dụng Định lý 1.8.4 trên vành địa phương Rp ta có
H piRdim R/qht( p/q) ( M q )  0
q

Vì R / Ann R ( H mi ( M ) là catenary nên dim R / q- ht(p / q)  dim R / p . Do vậy
R/ pht( p/q)ht( p/q))
R/p
0  H piRdim R/qht( p/q) ( M p )  H piR(dim
( M p )  H piRdim
(M p) .
p
p
q

Vậy p PsuppiR ( M ) .
Kết quả sau đây cho ta điều kiện cần và đủ để môđun đối đồng điều địa
phương cấp cao nhất thỏa mãn tính dịch chuyển địa phương hóa. Đây là một
trong những kết quả chính trong [3].


24

Định lý 2.2.3. Các điều kiện sau là tương đương:
i) H md ( M ) thỏa mãn tính dịch chuyển địa phương hóa;

ii) Vành R / Ann R ( H md ( M )) là catenary;
iii) H pdRdim R/p ( M p ) thỏa mãn tính dịch chuyển địa phương hóa với mọi
p

pSupp( M ) .
Chứng minh. (i)  (ii) . Trước hết ta chứng minh H md ( M ) thỏa mãn tính chất
(*). Theo Định lý 2.1.5 và Bổ đề 2.1.4, ta chỉ cần chứng minh
V(Ann R ( H md ( M ))  PsuppdR ( M ) .

Lấy p V(Ann R ( H md ( M ) . Khi đó
p  q  min Ann R H md ( M ) .

Do đó q  Att R H md ( M ) theo Mệnh đề 1.8.1(ii). Khi đó theo giả thiết, ta có
qRp  Att R H pdRdim R/ p ( M p ) .
p

p

Điều này kéo theo H pdRdim R/p ( M p )  0 . Do đó p PsuppdR ( M ) .
p

Vì vậy theo Hệ quả 2.1.6, ta có vành R / Ann R ( H md ( M )) là catenary.

(ii)  (i) : Lấy pSpec( R) ta cần chứng minh
Att Rp ( H pdRpdim R/p ( M p ))  {qRp : q Att R ( H dm ( M )), q  p}.
Theo Định lý 1.8.4, ta chỉ cần chứng minh

Att Rp ( H pdRpdim R/p ( M p ))  {qRp : q Att R ( H md ( M )), q  p} .
Lấy q  p và q Att R ( H md ( M )) . Theo Định lý 1.8.6, q  AssR ( M ) và
dim R / q  d . Điều này kéo theo qRp  AssRp ( M p ) .Vì vành R / Ann R ( H md ( M ))

là catenary nên
dim Rp / qRp  ht(p / q)  dim R / q- dim R / p  d  dim R / p.

Từ đó theo Hệ quả 1.8.5, qRp  Att R H pdRdim R/ p ( M p ) .
p

p


25

(iii)  (ii) . Theo Định lý 2.1.4, điều kiện này tương đương với điều kiện
H md ( M ) thỏa mãn tính chất (*). Điều này lại tương đương với H pdRdim R/p ( M p )
p

thỏa mãn tính chất (*) theo Mệnh đề 2.2.2. Do vậy (iii)  (ii) được chứng
minh tương tự như (i)  (ii) .
Mặc dù định lý sau đây chưa đưa ra được điều kiện cần và đủ để các
môđun đối đồng điều địa phương cấp nhỏ hơn d thỏa mãn tính dịch chuyển
địa phương hóa nhưng cũng phần nào cho chúng ta một cách tiếp cận mới.
Định lý này cũng là một kết quả chính trong [3].
2.2.4 Định lý. Cho i≥ 0 là một số nguyên. Giả sử R / Ann R ( M ) là catenary.
Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
R/p
i) min Att Rp ( H pi-dim
( M p ))  {qRp | q  min Att R ( H mi ( M )), q  p}, pSpec( R);
Rp

ii) H mi ( M ) thỏa mãn tính chất (*).

Chứng minh. (i)  (ii) tương tự như chứng minh (i)  (ii) của Định lý 2.2.3.
(ii)  (i) : Lấy qRp  min Att Rp ( H piRdim R/p ( M p )) . Vì H mi ( M ) thỏa mãn tính chất
p

(*) nên H piRdim R/p ( M p ) cũng thỏa mãn tính chất (*) theo Mệnh đề 2.2.2. Do
p

vậy theo Định lý 2.1.5,
PsuppiRdim R/ p ( M p )  V(Ann R H piRdim R/p ( M p ) .
p

p

p

Vì vậy qRp  min PsuppiR-dim R/ p ( M p ) theo Mệnh đề 1.8.1. Mặt khác theo Định lý
p

1.8.4, ta có q  Att R H mi ( M ) , lấy q1  min Att R H mi ( M ) thỏa mãn q  q1 . Vì
H mi ( M ) thỏa mãn tính chất (*) nên theo Định lý 2.1.5,
PsuppiR ( M )  V(Ann R H mi ( M )) .

Do đó q1  PsuppiR ( M ) . Theo Bổ đề 2.2.1 ta có q1Rp  PsuppiRdim R/ p ( M p ) .
p

Vì qRp  q1Rp và tính chất tối tiểu của qRp , ta có q  q1 . Vì vậy