Sự phân tích nguyên sơ của iđêan đơn thức luận văn thạc sỹ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ HOA

SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ
CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học:

TS. NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN

Nghệ An - 2011


MỤC LỤC

Trang bìa phụ

1

Mục lục

2

Mở đầu

3

1

Sự phân tích nguyên sơ của môđun Noether

6

1.1. Iđêan nguyên sơ và một số lớp iđêan đặc biệt khác . . . . . . . .

6

1.2. Vành và môđun Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3. Iđêan nguyên tố liên kết của môđun
1.4. Môđun con nguyên sơ

. . . . . . . . . . . . . . . 14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5. Sự phân tích nguyên sơ của môđun Noether
2

. . . . . . . . . . . 21

Sự phân tích nguyên sơ của iđêan đơn thức

26

2.1. Vành đa thức nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Iđêan đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3. Sự phân tích nguyên sơ của iđêan đơn thức . . . . . . . . . . . . 37
2.4. Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Kết luận

44

Tài liệu tham khảo

45


MỞ ĐẦU

Định lý Lasker - Noether về sự phân tích nguyên sơ là tổng quát hóa Định
lý cơ bản trong Số học. Ý nghĩa hình học của định lý phân tích nguyên sơ
cho iđêan là: Mỗi tập đại số afin đều được phân tích thành hợp của một số
hữu hạn các tập đại số afin bất khả quy.
Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, M là một R-môđun Noether.
Theo Định lí Lasker - Noether về sự phân tích nguyên sơ thì mọi môđun con

N của M luôn có sự phân tích nguyên sơ thu gọn và giả sử
N = Q1 ∩ Q2 ∩ . . . ∩ Qn

(∗)

là một sự phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun con N , trong đó Qi là
môđun con pi -nguyên sơ với mọi i = 1, 2, . . . , n (phân tích (*) được gọi là thu
gọn nếu các iđêan pi là phân biệt và không có môđun con Qi nào là thừa).
Khi đó tập hợp {p1 , p2 , . . . , pn } xác định duy nhất không phụ thuộc vào cách
phân tích của môđun con N . Cụ thể {p1 , p2 , . . . , pn } = Ass (M/N ). Nếu pi
là tối thiểu trong tập hợp {p1 , p2 , . . . , pn } thì Qi xác định duy nhất và được
gọi là thành phần cô lập. Trái lại, Qi được gọi là thành phần nhúng.
Cho R là một vành giao hoán Noether (nghĩa là R là R-môđun Noether).
Khi đó mỗi iđêan I của vành R là một môđun con của R-môđun R nên cũng
theo Định lý Lasker - Noether, I có sự phân tích thành giao của các iđêan
nguyên sơ. Giả sử

I = q 1 ∩ q2 ∩ . . . ∩ qn

(∗)


4

là một sự phân tích nguyên sơ thu gọn của iđêan I , trong đó qi là pi -nguyên
sơ với mọi i = 1, 2, . . . , n. Tập hợp {p1 , p2 , . . . , pn } xác định duy nhất không
phụ thuộc vào cách phân tích của iđêan I và {p1 , p2 , . . . , pn } = Ass (R/I).
Nếu pi là tối thiểu trong tập hợp {p1 , p2 , . . . , pn } thì iđêan qi xác định duy
nhất và qi được gọi là thành phần cô lập. Trái lại, được gọi là thành phần
nhúng.
Cho K là một trường. Khi đó theo Định lý Hilbert về cơ sở thì vành đa
thức n biến K [x1 , x2 , . . . , xn ] là một vành Noether. Một iđêan I trong vành

K [x1 , x2 , . . . , xn ] được gọi là iđêan đơn thức nếu nó được sinh bởi các đơn

thức. Lớp các iđêan đơn thức trông tuy đơn giản nhưng có rất nhiều tính chất
thú vị. Lớp iđêan này rất quan trọng, trước hết vì nó là ví dụ cho nhiều vấn
đề trong Đại số giao hoán. Hơn nữa, lí thuyết về cơ sở Gr¨obner cho phép xấp
xỉ một iđêan tùy ý bằng iđêan đơn thức, mà trong nhiều trường hợp từ cấu
trúc của nó có thể nhận thông tin ngược trở lại về iđêan ban đầu. Như phần
trên đã trình bày thì iđêan đơn thức I có sự phân tích nguyên sơ. Có những
phương pháp nào để phân tích và làm thế nào để phân tích nhanh nhất một
iđêan đơn thức thành giao của các iđêan nguyên sơ. Mục đích của luận văn
là dựa vào các tài liệu tham khảo để trình bày về những vấn đề đó.
Luận văn này được chia thành 2 chương.
Chương 1. Sự phân tích nguyên sơ của môđun Noether. Trong
chương này, chúng tôi trình bày về lý thuyết phân tích nguyên sơ của vành
và môđun Noether. Cụ thể là sẽ trình bày về các vấn đề như: iđêan nguyên
sơ, môđun con nguyên sơ, tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun, Định
lí Lasker - Noether về sự phân tích nguyên sơ của vành và môđun Noether,
.... Ngoài ra, còn nêu một số kết quả đã có sẵn dưới dạng những mệnh đề
nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau.


5

Chương 2. Sự phân tích nguyên sơ của iđêan đơn thức. Chương
này là nội dung chính của luận văn. Chúng tôi trình bày về vành đa thức
nhiều biến; về một lớp iđêan đặc biệt trong vành đa thức nhiều biến, đó là
lớp iđêan đơn thức và sự phân tích nguyên sơ của các iđêan đơn thức trong
vành đa thức cùng một số phương pháp phân tích.
Để hoàn thành luận văn này tác giả xin cảm ơn sự hướng dẫn tận tình,
chu đáo của TS. Nguyễn Thị Hồng Loan và muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số - Khoa Toán của trường Đại
học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học

tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn trong luận văn này còn có
nhiều sai sót mong muốn nhận được sự chỉ bảo quý báu của các thầy giáo,
cô giáo và các bạn học viên.

Nghệ An, tháng 12 năm 2011
Tác giả


CHƯƠNG 1

SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ CỦA MÔĐUN
NOETHER

1.1

Iđêan nguyên sơ và một số lớp iđêan đặc biệt khác

1.1.1 Iđêan nguyên sơ. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là một iđêan
của vành R và I = R. Iđêan I được gọi là iđêan nguyên sơ nếu ∀x, y ∈ R
mà xy ∈ I , nếu x ∈
/ I thì ∃n ∈ N sao cho y n ∈ I .
Ví dụ, trong vành số nguyên Z, iđêan mZ là nguyên sơ nếu và chỉ nếu

m = pk (trong đó p là số nguyên tố và k ∈ N∗ ) hoặc m = 0.
1.1.2 Iđêan nguyên tố. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, p là một iđêan
của vành R và p = R. Iđêan p được gọi là iđêan nguyên tố nếu ∀x, y ∈ R
mà xy ∈ p thì x ∈ p hoặc y ∈ p.
Ví dụ, trong vành số nguyên Z, iđêan mZ là nguyên tố nếu và chỉ nếu m
là số nguyên tố hoặc m = 0.
Chú ý, p là iđêan nguyên tố của vành R khi và chỉ khi R/p là một miền

nguyên.
1.1.3 Iđêan cực đại. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, m là một iđêan
của vành R và m = R. Iđêan m được gọi là iđêan cực đại nếu không tồn tại
iđêan J = R mà m

J.

Ví dụ, trong vành số nguyên Z, iđêan mZ là cực đại nếu và chỉ nếu m là
số nguyên tố.


7

Chú ý rằng, m là iđêan cực đại của vành R khi và chỉ khi R/m là một
trường. Do đó iđêan m cực đại ⇒ iđêan m nguyên tố ⇒ iđêan m nguyên sơ.
1.1.4 Iđêan sinh bởi một tập, iđêan hữu hạn sinh. Cho R là vành và

S ⊂ R. Khi đó giao của tất cả các iđêan của R chứa S là một iđêan của R
chứa S . Iđêan này được gọi là iđêan sinh bởi tập hợp S , kí hiệu: < S >.
Như vậy, I = < S > khi và chỉ khi I là iđêan bé nhất của vành R chứa

S . Nếu S là iđêan của vành R thì < S > = S . Vì vậy, hệ sinh của một iđêan
là không duy nhất.
Cho I là một iđêan của vành R. Nếu tồn tại một hệ sinh của I gồm hữu
hạn phần tử thì I được gọi là iđêan hữu hạn sinh.
1.1.5 Iđêan chính. Iđêan sinh bởi một phần tử gọi là iđêan chính.
Ví dụ, trong vành số nguyên Z, mọi iđêan đều có dạng mZ với m là một
số nguyên nào đó, nên chúng là iđêan chính mZ = < m >.
1.1.6 Iđêan bất khả quy. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là một
iđêan của vành R và I = R. Iđêan I được gọi iđêan bất khả quy nếu I không

thể phân tích được thành giao của hai iđêan thực sự chứa I .
1.1.7 Iđêan căn. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan của vành

R. Kí hiệu
√

√

I = {a ∈ R| ∃n ∈ N : an ∈ I}.

I là một iđêan của vành R và được gọi là căn của iđêan I .
√
Nếu I = I thì I được gọi là iđêan căn.

Khi đó

1.1.8 Tích của các iđêan. Cho R là vành giao hoán, có đơn vị với I, J là
iđêan của vành R. Kí hiệu IJ là iđêan sinh bởi tất cả các phần tử dạng ab
với a ∈ I và b ∈ J , tức là
n

ai bi | ai ∈ I, bi ∈ J, n ∈ N .

IJ =
i=0


8

Khi đó IJ được gọi là tích của hai iđêan I và J .

Tương tự, định nghĩa cho tích của hữu hạn iđêan. Cho I1 , I2 , . . . , In là các
iđêan của vành R. Khi đó
m

a1i a2i . . . ani | aji ∈ Ij , ∀i = 0, m, ∀j = 1, n, m ∈ N

I1 I2 . . . In =
i=0

là một iđêan của vành R và được gọi là tích của các iđêan I1 , I2 , . . . , In .
Đặc biệt, I n =

m

a1i a2i . . . ani | aji ∈ I, ∀i = 0, m, ∀j = 1, n, m ∈ N .
i=0

Quy ước, I 0 = R = < 1 >.
1.1.9 Thương của các iđêan. Cho vành R và I, J là các iđêan của vành

R. Khi đó tập hợp
I : J = {a ∈ R| aJ ⊆ I} = {a ∈ R| ab ∈ I, ∀b ∈ J}
là một iđêan của vành R và được gọi là thương của hai iđêan I và J .
Kí hiệu

AnnR (J) := 0 : J = {a ∈ R| ab = 0, ∀b ∈ J}
là một iđêan của vành R và AnnR (J) được gọi là linh hoá tử của iđêan J .
Cho x ∈ R, x = 0. Ta viết AnnR (x) thay cho AnnR (< x >), tức là

AnnR (x) = {a ∈ R| ax = 0}.

1.1.10 Phổ của vành. Cho vành R và I là một iđêan của vành R. Kí hiệu

SpecR = {p| p là iđêan nguyên tố của R},
V (I) = {p ∈ SpecR| p ⊇ I}.
Các tập hợp dạng V (I) có các tính chất sau:
(i) Nếu I, J là một iđêan của vành R thì V (IJ) = V (I) ∪ V (J).
Điều này đúng cho họ hữu hạn các iđêan.


9

(ii) V

Ij =

V (Ij ), với S là tập chỉ số tuỳ ý.
√
√
(iii) V (I) = V (J) khi và chỉ khi I = J .
j∈S

j∈S

(iv) V (0) = SpecR, V (R) = ∅.
Các tập hợp dạng V (I) với I là iđêan của vành R thoả mãn các tiên đề
về họ tập đóng trong không gian tôpô. Khi đó X = SpecR trở thành một
không gian tôpô với họ tập đóng là V (I) trong đó I là iđêan của vành R.
Tôpô này được gọi là tôpô Zariski. Không gian tôpô Zariski được gọi là phổ
của vành R. Mỗi tập hợp V (I) được gọi là tập đại số xác định bởi I .

1.2

Vành và môđun Noether

1.2.1 Môđun Noether. Cho M là một R-môđun. Môđun M được gọi là
môđun Noether nếu mọi dãy tăng các môđun con của M đều dừng, nghĩa là
nếu M1 ⊂ M2 ⊂ . . . ⊂ Mn ⊂ . . . là một dãy tăng các môđun con của M thì
tồn tại một số tự nhiên m sao cho Mk = Mm với mọi k ≥ m.
Định lí sau đây là những đặc trưng của môđun Noether.
1.2.2 Định lí. Cho môđun M . Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

(i) M là môđun Noether;
(ii) Mọi tập hợp khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực đại
theo quan hệ thứ tự bao hàm;

(iii) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Gọi S = {Ai | Ai là môđun con nào đó của M }. Lấy

A1 ∈ S . Nếu A1 tối đại trong S ta có (ii). Nếu A1 không tối đại trong S thì
sẽ ∃A2 ∈ S mà A1 ⊂ A2 . Lập luận A2 như A1 ta có A1 ⊂ A2 ⊂ A3 . Tiếp tục
quá trình lập luận trên ta sẽ có một dãy tăng A1 ⊂ A2 ⊂ . . . ⊂ Ak ⊂ . . .. Và
do M là môđun Noether nên ∃k ∈ N∗ để Ak = Ak+1 = . . .. Do đó Ak tối đại
trong S nên ta có (ii).


10

(ii) ⇒ (iii). Lấy A là môđun con bất kì của M . Xét tập hợp

Γ = {môđun con hữu hạn sinh của A}.

Ta thấy Γ là một tập hợp các môđun con của M nên Γ = ∅. Vì x ∈ A
nên Rx ∈ Γ, Rx là xyclic nên hữu hạn sinh < x > = Rx = {rx| r ∈ R}.
Do Γ thoả mãn (ii) nên Γ có phần tử tối đại là < x1 , x2 , . . . , xk > = C với

xi ∈ A. Ta phải chứng minh < x1 , x2 , . . . , xk > = A. Ta sẽ sử dụng chứng
minh phản chứng. Giả sử nếu < x1 , x2 , . . . , xk >

A khi đó sẽ ∃a ∈ A mà

a∈
/ < x1 , x2 , . . . , xk >. Lấy B = < x1 , x2 , . . . , xk , a > suy ra C

B điều này

mâu thuẫn với tính tối đại của C do đó C = A hay là < x1 , x2 , . . . , xk > = A.
Vậy A hữu hạn sinh, tức là ta có (iii).
(iii) ⇒ (i). Lấy dãy tăng các môđun con của M như sau

A1 ⊂ A2 ⊂ . . . ⊂ Ak ⊂ . . . . (∗)
Gọi A =

∞
i=1 An .

Kiểm tra được A là môđun con của M theo (iii) nên ta có

A hữu hạn sinh và A = < x1 , x2 , . . . , xk >. Do (∗) là dãy tăng nên ∃n ∈ N∗
để x1 , x2 , . . . , xk ∈ An . Suy ra < x1 , x2 , . . . , xk >⊆ An suy ra A ⊆ An . Mà

A=

∞
i=1 An

nên An ⊆ A nên A = An tức là An = An+1 = . . .. Vậy dãy (∗)

dừng nên M là môđun Noether, tức là ta có (i).
1.2.3 Ví dụ. a) Xét Z là Z-môđun thì Z là môđun Noether.
b) V là không gian vectơ hữu hạn chiều thì V là một môđun Noether.
1.2.4 Vành Noether. Vành R được gọi là vành Noether nếu mọi dãy tăng
các iđêan trong R đều dừng, nghĩa là nếu I1 ⊂ I2 ⊂ . . . ⊂ In ⊂ . . . là dãy
tăng các iđêan trong R thì tồn tại số tự nhiên m sao cho Ik = Im với mọi

k ≥ m.
Như vậy, vành R là Noether nếu nó là môđun Noether trên chính nó.
Chúng ta có nhiều cách nhận biết vành Noether qua định lí đặc trưng của
vành Noether như sau.


11

1.2.5 Định lí. Giả sử R là một vành. Khi đó các điều kiện sau là tương
đương:

(i) R là vành Noether;
(ii) Mọi tập hợp khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực đại theo
quan hệ thứ tự bao hàm;

(iii) Mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh.
1.2.6 Ví dụ. a) Vành số nguyên Z là vành Noether, vì mọi iđêan của Z có

dạng mZ (m ∈ Z) có nghĩa là mọi iđêan của Z đều hữu hạn sinh (sinh bởi
một phần tử là mZ = < m >).
b) Mọi trường X đều là vành Noether, vì trường X bất kì chỉ có hai iđêan
là {0} và X nên dãy tăng các iđêan chỉ là {0} ⊆ X (dãy có hai phần tử), suy
ra dãy dừng hoặc hai iđêan đều hữu hạn sinh (do {0} = < 0 >, X = < 1 >).
1.2.7 Linh hoá tử. Giả sử M là một R-môđun. Kí hiệu

AnnR (M ) = {a ∈ R| aM = 0} = {a ∈ R| ax = 0, ∀x ∈ M }.
Khi đó Ann(M ) là một iđêan của vành R và được gọi là linh hoá tử của
môđun M .
Chú ý, giả sử x ∈ M . Kí hiệu AnnR (x) = {a ∈ R| ax = 0}. Ta có Ann(x)
là một iđêan của R.
1.2.8 Phần tử ước của không. Cho M là một R-môđun. Phần tử a ∈ R
được gọi là một ước của không của M nếu tồn tại x ∈ M, x = 0 sao cho

ax = 0.
1.2.9 Phần tử chính quy. Cho M là một R-môđun. Phần tử b ∈ R được
gọi là phần tử chính quy của M nếu b không phải là ước của không của M .
1.2.10 Môđun các thương. Cho vành R và S ⊂ R. Tập hợp S được gọi là
tập nhân đóng của vành R nếu ab ∈ S, 1 ∈ S với ∀a, b ∈ S .


12

Cho S là tập nhân đóng của vành R. Trên tích Đề-các

R × S = {(r, s)| r ∈ R, s ∈ S}.
Xét quan hệ hai ngôi ∼ như sau:

(r, s) ∼ (r , s )

⇔

∃t ∈ S : t(rs − r s) = 0.

Dễ dàng chứng minh được quan hệ ∼ là một quan hệ tương đương trên R×S .
Khi đó R × S được chia thành các lớp tương đương

(r, s) = {(r , s ) ∈ R × S| (r , s ) ∼ (r, s)}.
Kí hiệu r/s thay cho (r, s) và

S −1 R = R × S/∼ = {(r, s)| r ∈ R, s ∈ S}.
Trang bị phép toán cộng (+) và nhân (·) trên S −1 R như sau:
Phép toán cộng (+):
Phép toán nhân (·):

r/s + r /s = (rs + sr )/ss .
r/s · r /s = rr /ss .

Hai phép toán trên không phụ thuộc vào việc chọn đại diện.
Tập hợp S −1 R cùng với phép cộng và nhân như trên là một vành giao
hoán có đơn vị.
Phần tử không: 0/1 = 0/s với ∀s ∈ S .
Phần tử đơn vị: 1/1 = s/s.
Phần tử r/s = r /s ⇔ (r, s) ∼ (r , s ) ⇔ ∃t ∈ S : t(rs − r s) = 0.
Cho M là một R-môđun và S là tập nhân đóng của vành R. Trên tích
Đề-các M × S ta xét quan hệ hai ngôi ∼ như sau:

(m, s) ∼ (m , s )

⇔

∃t ∈ S : t(s m − sm ) = 0.

Dễ chứng minh được ∼ là quan hệ tương đương trên M × S . Khi đó M × S
được chia thành các lớp tương đương. Với mỗi phần tử (m, s) ∈ M × S , kí


13

hiệu m/s là lớp tương đương chứa (m, s), tức là

m/s = {(m , s ) ∈ M × S| (m , s ) ∼ (m, s)}
= {(m , s ) ∈ M × S| ∃t ∈ S : t(s m − sm ) = 0}.
Kí hiệu tập thương của M × S theo quan hệ tương đương ∼ là:

S −1 M = M × S/∼ = {m/s| m ∈ M, s ∈ S}.
Trên S −1 M ta có m/s = m /s ⇔ ∃t ∈ S : t(s m − sm ) = 0 và trang bị hai
phép toán:
Phép toán cộng (+):

m/s + m /s = (s m + sm )/ss .

Phép toán nhân với vô hướng (·) :

r/s · m/s = rm/ts;

với ∀m/s, m /s ∈ S −1 M ; ∀r/s ∈ S −1 R.
Khi đó dễ kiểm tra thấy S −1 M là một S −1 R-môđun và gọi là môđun các
thương của R theo tập nhân đóng S , với phần tử không là 0/1 = 0M /s, ∀s ∈

S . Nếu p là một iđêan nguyên tố của vành R thì S = R\p là một tập nhân
đóng của vành R. Trong trường hợp này thay cho việc S −1 R ta viết Rp và
thay cho việc S −1 M ta viết Mp . Khi đó Rp (tương ứng Mp ) được gọi là vành
địa phương hoá (tương ứng môđun địa phương hoá ) của vành R (tương ứng
môđun M ) tại iđêan nguyên tố p.
1.2.11 Mệnh đề. Cho S là một tập nhân đóng của vành giao hoán R. Nếu

0→M →M →M →0
là một dãy khớp ngắn các R-môđun thì

0 → S −1 M → S −1 M → S −1 M → 0
cũng là một dãy khớp ngắn.


14

1.2.12 Hệ quả. Giả sử N và P là các môđun con của R-môđun M . Khi đó

S −1 (M/N ) ∼
= S −1 M/S −1 N.
1.2.13 Giá của môđun. Cho môđun M là một R-môđun. Ta gọi giá của
môđun M là tập hợp được kí hiệu SuppR M = {p ∈ SpecR| Mp = 0} ⊆

SpecR.
Chú ý, nếu M là môđun hữu hạn sinh thì SuppR M = V (AnnM ).

1.3

Iđêan nguyên tố liên kết của môđun

1.3.1 Định nghĩa. Giả sử M là một R-môđun. Một iđêan nguyên tố p của
vành R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x ∈ M, x = 0
sao cho
p = AnnR (x) = {a ∈ R| ax = 0}.
Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR M
(hoặc AssM nếu ta không để ý đến vành R).
1.3.2 Ví dụ. Giả sử p là một iđêan nguyên tố của vành R. Ta xét vành
thương R/p như là R-môđun. Khi đó p là một iđêan nguyên tố liên kết của
môđun R/p. Thật vậy, giả sử x là một phần tử khác không tuỳ ý của R/p,
tức là x = x + p với x ∈ R, x ∈
/ p. Ta có

Ann(x) = {a ∈ R| ax = 0} = {a ∈ R| ax ∈ p} = {a ∈ R| a ∈ p} = {p}.
Từ chứng minh trên ta còn suy ra p là iđêan nguyên tố duy nhất của môđun

R/p. Do đó AssR (R/p) = {p}.
1.3.3 Mệnh đề. Giả sử M là một R-môđun và p là một iđêan nguyên tố
của vành R, p ∈ AssR M khi và chỉ khi M chứa một môđun con N sao cho
N∼
= R/p.


15

Chứng minh. Giả sử p ∈ AssR M . Khi đó ∃x ∈ M, x = 0 sao cho p = Ann(x).
Khi đó, ánh xạ f : R → N biến a → ax là một R-toàn cấu môđun. Ta có

Kerf = {a ∈ R| ax = 0} = p.
Theo định lí đồng cấu môđun ta có N ∼

= R/Kerf = R/p.
Ngược lại, giả sử tồn tại một môđun con N của M sao cho N ∼
= R/p. Lấy
phần tử tuỳ ý x ∈ N, x = 0, do đó x ∈ M . Do N ∼
= R/p nên mỗi phần tử
của N có thể được viết dưới dạng x = x + p với x ∈ R. Chứng minh như Ví
dụ 1.3.2, ta có AssR (x) = p. Do đó p ∈ AssR M .
1.3.4 Mệnh đề. Kí hiệu

là tập hợp tất cả các iđêan của R có dạng Ann(x)

với x ∈ M, x = 0. Nếu p là phần tử cực đại trong

theo quan hệ bao hàm

thì p ∈ AssM .
Chứng minh. Để chứng minh p ∈ AssR M ta chỉ cần chứng minh p là iđêan
nguyên tố. Thật vậy, giả sử p = Ann(x) với x ∈ M, x = 0. Lấy ∀a, b ∈ R,
với ab ∈ p và b ∈
/ p. Khi đó, bx = 0 và abx = 0. Suy ra a ∈ AnnR (bx). Mặt
khác, ta lại có AnnR (bx) ⊇ AnnR (x) = p. Do Ann(bx) ∈
cực đại của

và p là phần tử

nên p = AssR (bx). Do đó a ∈ p. Vậy p là iđêan nguyên tố.

Từ kết quả trên ta suy ra được các hệ quả sau.
1.3.5 Hệ quả. M = 0 khi và chỉ khi AssR M = ∅.
Chứng minh. Nếu M = 0. Khi đó tập hợp

= ∅. Do đó AssR M = ∅.

Ngược lại, nếu AssR M = ∅. Ta phải chứng minh M = 0. Giả sử, M = 0.
Khi đó, ∃x ∈ M mà x = 0. Do đó tập hợp

= ∅. Vì R là vành Noether

nên mọi tập khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực đại. Suy ra

có

phần tử cực đại và theo Mệnh đề 1.3.4, phần tử đó thuộc AssR M . Điều này
mâu thuẫn với giả thiết AssR M = ∅. Vậy M = 0.


16

Chú ý, từ Hệ quả 1.3.5 ta suy ra M = 0 khi và chỉ khi AssR M = ∅.
1.3.6 Hệ quả. Kí hiệu D là tập hợp tất cả các ước của không của M . Khi
đó

D=

p.
p∈AssR M

Chứng minh. Giả sử a ∈ D. Khi đó, ∃x ∈ M, x = 0 sao cho ax = 0. Suy
ra a ∈ Ann(x). Theo Mệnh đề 1.3.4, ∃p ∈ AssR M sao cho p ⊇ Ann(x) nên

a ∈ p. Do đó D ⊆
Giả sử b ∈

p∈AssR M

p∈AssR M

p.

p. Khi đó, ∃p ∈ AssR M sao cho b ∈ p. Mặt khác, do

p ∈ AssR M nên ∃x ∈ M, x = 0 sao cho p = AssR M . Từ đó b ∈ Ann(x) hay

bx = 0. Do đó b ∈ D. Suy ra

p∈AssR M

p ⊆ D.

1.3.7 Mệnh đề. Cho S là một tập nhân đóng của vành R và M là R-môđun
hữu hạn sinh. Khi đó:

AssR (S −1 M ) = AssR M ∩ {p ∈ SpecR| p ∩ S = ∅}.
1.3.8 Bổ đề. Giả sử 0 → M → M → M → 0 là một dãy khớp ngắn các

R-môđun. Khi đó:
(i) AssR M ⊆ AssR M ⊆ AssR M ∪ AssR M ;
(ii) SuppR M = SuppR M ∪ SuppR M .
Chứng minh. (i) Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết M là môđun
con của M và M = M/M . Vì M là môđun con của M nên theo định nghĩa,

ta có AssR M ⊆ AssR M .
Giả sử p ∈ AssR M . Theo Mệnh đề 1.3.3, tồn tại một môđun con N của
M sao cho N ∼
= R/p. Nếu N ∩ M = 0, thì ∃x = 0 và x ∈ N ∩ M . Vì
N∼
= R/p và R/p là miền nguyên nên Ann(x) = p. Do đó, p ∈ AssR M . Suy
ra, p ∈ AssR M ∪ AssR M . Nếu N ∩ M = 0 thì có thể xem N là môđun con
của M . Do đó p ∈ AssR M .


17

Từ các chứng minh trên ta có AssR M ⊆ AssR M ⊆ AssR M ∪ AssR M .
(ii) Theo Mệnh đề 1.2.11, từ dãy khớp

0→M →M →M →0
ta có dãy sau cũng khớp

0 → Mp → Mp → Mp → 0
với ∀p ∈ SpecR. Do đó, nếu p ∈
/ SuppM , tức là Mp = 0 thì ta suy ra

Mp = 0 và Mp = 0 nên p ∈
/ SuppM và p ∈
/ SuppM . Điều đó chứng tỏ
rằng SuppM ⊆ SuppM ∪ SuppM . Mặt khác, giả sử p ∈ SuppM . Khi đó

Mp = 0. Ta suy ra Mp và Mp không thể đồng thời bằng 0. Vì nếu như vậy
thì Mp = 0. Do đó Mp = 0 hoặc Mp = 0 hay p ∈ SuppM ∪ SuppM .
1.3.9 Định lí. Giả sử R là vành Noether và M là một R-môđun. Khi đó

AssR M ⊆ SuppR M và bất kì phần tử tối thiểu nào của SuppM theo quan hệ
bao hàm đều thuộc AssR M .
Chứng minh. Giả sử p ∈ AssR M . Theo Mệnh đề 1.3.3 thì R/p đẳng cấu với
một môđun con của M . Do đó ta có dãy khớp 0 → R/p → M . Áp dụng
Mệnh đề 1.2.11, ta có dãy khớp 0 → Rp /pRp → Mp . Do Rp /pRp là trường
thặng dư của vành Rp nên Rp /pRp = 0. Do đó Mp = 0 hay p ∈ SuppM .
Vậy AssR M ⊆ SuppR M . Giả sử p là thành phần cực tiểu của SuppM (theo
quan hệ thứ tự bao hàm). Khi đó Mp = 0. Ta có SpecR = {qRp | q ⊆ p; q ∈

SpecR}. Do đó SuppRp Mp = {pRp }.
Mặt khác, do Mp = 0 nên AssRp Mp = 0 bởi Hệ quả 1.3.5. Theo chứng minh
trên ta lại có AssRp Mp ⊆ SuppRp Mp = {pRp }. Do đó AssRp Mp = {pRp }. Suy
ra AssRp Mp = {p}. Áp dụng Mệnh đề 1.3.7, ta có AssRp Mp = AssR M ∩ {q ∈

SpecR| q ⊆ p}. Từ đó suy ra p ∈ AssR M .


18

1.3.10 Định lí. Giả sử M là R-môđun Noether khi đó tập hợp AssR M là
hữu hạn.
Chứng minh. Nếu M = 0 thì AssR M = ∅ bởi Hệ quả 1.3.5. Giả sử M = 0
ta có AssR M = ∅. Do đó ∃p1 ∈ AssR M . Theo Mệnh đề 1.3.3, tồn tại môđun
con M1 ⊂ M sao cho M1 ∼
= R/p1 .
- Nếu M1 = M thì M/M1 = 0, suy ra ∃p2 ∈ AssR (M/M1 ) = 0. Do đó
tồn tại môđun con M2 ⊆ M và M2 ⊇ M để M/M1 ∼
= M2 /M1 .
- Nếu M2 = M1 lại tiếp tục quá trình trên với M1 /M2 , . . . ta tìm được một

dãy tăng các môđun con của M là 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂ . . . ⊂ Mn = M ,
dãy này là hữu hạn vì M là môđun Noether và dãy có tính chất Mi /Mi+1 ∼
=

R/pi trong đó pi ∈ SpecR. Ta có các dãy khớp ngắn
0 → M1 → M2 → M2 /M1 → 0,
0 → M2 → M3 → M3 /M2 → 0,
...
0 → Mn−1 → Mn → Mn /Mn−1 → 0.
Áp dụng Bổ đề 1.3.8 (i) vào các dãy khớp trên ta có AssR M ⊆ AssR (M2 /M1 )∪

AssR (M3 /M2 )∪. . .∪AssR (Mn /Mn−1 ) = {p1 }∪{p2 }∪. . .∪{pn } = {p1 , p2 , . . . , pn }.
(vì Mi /Mi−1 ∼
= R/pi với pi ∈ SpecR nên suy ra AssR (Mi /Mi−1 ) = {pi }).
Vậy tập hợp AssR M hữu hạn.

1.4

Môđun con nguyên sơ

Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và một R-môđun M . Khi đó với
mỗi a ∈ R, thì qui tắc λa : M → M cho bởi λa (x) = ax với ∀x ∈ M , là một
tự đồng cấu của M . Đồng cấu này được gọi là đồng cấu nhân bởi phần tử a
cho M .


19

1.4.1 Chú ý. (i) λa là đơn cấu khi và chỉ khi a không là ước của không trong

M , điều này tương đương với 0 : a = {x ∈ M | ax = 0} = 0.
(ii) λa là luỹ linh nếu và chỉ nếu ∃n ∈ N∗ để an M = 0, tương đương với
√
an ∈ AnnM , hay a ∈ AnnM .

√

(iii) Nếu M = 0 thì mỗi phần tử a ∈ R không thể đồng thời vừa thuộc

AnnM , vừa không thể là ước của không trong M , tức là λa không thể vừa

là đơn cấu, vừa là luỹ linh.
1.4.2 Định nghĩa. Môđun con N của một R-môđun M được gọi là một
môđun con nguyên sơ của M nếu N = M , đồng thời với mỗi a ∈ R thì đồng
cấu nhân λa : M/N → M/N hoặc đơn cấu hoặc luỹ linh.
Từ Định nghĩa 1.4.2 ta thấy, một môđun con thực sự N của M là một
môđun con nguyên sơ khi và chỉ khi, với mỗi a ∈ R mà ∃x ∈ M \N làm cho

ax ∈ N , thì ∃n để an M ⊂ N .
1.4.3 Mệnh đề. Nếu N là một môđun con nguyên sơ của môđun M . Khi
√
đó tập hợp p = rM (N ) = N : M = Ann(M/N ) là một iđêan nguyên tố.
Trong trường hợp này, người ta gọi N là môđun con p-nguyên sơ của M .
Chứng minh. Nếu N là một môđun con nguyên sơ của M thì rM (N ) là tập
tất cả những phần tử a ∈ R làm cho đồng cấu nhân λa : M/N → M/N
không là đơn cấu.
Mặt khác, nếu ab ∈ rM (N ), tức là λab = λa λb không là đơn cấu, thì một
trong hai đồng cấu λa hoặc λb sẽ không là đơn cấu. Điều đó rút ra hoặc

a ∈ rM (N ), hoặc b ∈ rM (N ). Chú ý rằng đồng cấu đồng nhất λ1 là đơn cấu,

nên 1 ∈
/ rM (N ). Vậy rM (N ) là một iđêan nguyên tố.
Từ Mệnh đề 1.4.3, ta có hệ quả sau.


20

1.4.4 Hệ quả. Nếu q là iđêan nguyên sơ của vành R thì p =

√

q là một

iđêan nguyên tố và q cũng được gọi là iđêan p-nguyên sơ.
Chú ý rằng, chiều ngược lại của mệnh đề trên nói chung là không đúng.
Trong trường hợp iđêan cực đại, ta có mệnh đề sau.
√
1.4.5 Mệnh đề. Nếu I = m là một iđêan cực đại của vành R thì I là một
iđêan m-nguyên sơ.
Chứng minh. Giả sử ab ∈ I và b ∈
/

√

I = m. Từ tính cực đại của m, ta có

m + Rb = R. Do đó ∃x ∈ m và r ∈ R để x + rb = 1 và ∃k để xk ∈ I . Từ đó
rút ra I = (x + rb)k = xk + sb và do đó a = axk = sab ∈ I . Vậy I là một
iđêan m-nguyên sơ.
Từ Mệnh đề 1.4.5 ta nhận được hệ quả sau.

1.4.6 Hệ quả. Luỹ thừa của một iđêan cực đại là một iđêan nguyên sơ.
1.4.7 Mệnh đề. Nếu N1 , N2 là các môđun con p-nguyên sơ của M thì N =

N1 ∩ N2 cũng là một môđun con p-nguyên sơ của M .
Chứng minh. Giả sử rM (N1 ) = rM (N2 ) = p. Khi đó với mỗi a ∈ p, ∃n1 và

∃n2 để an1 M ⊂ N1 và an2 M ⊂ N2 . Do đó an1 +n2 M ⊂ N hay a ∈ rM (N ).
Ngược lại, với mỗi a ∈∈ rM (N ), thì ∃n để an M ⊂ N = N1 ∩ N2 , nghĩa là

a ∈ p. Do vậy rM (N ) = p.
Ta còn phải chứng minh N là nguyên sơ. Thật vậy, với ∀a ∈ R, x ∈ M
sao cho ax ∈ N . Suy ra ax ∈ N1 và ax ∈ N2 . Điều đó dẫn đến a ∈ p hoặc

x ∈ N1 ∩ N2 . Do đó nếu a ∈
/ rM (N ) = p thì x ∈ N1 ∩ N2 = N . Vậy N là
một môđun con nguyên sơ.


21

1.5

Sự phân tích nguyên sơ của môđun Noether

1.5.1 Định nghĩa. Cho vành R và M là một R-môđun.
(i) Cho N là môđun con của M . Ta nói rằng N có sự phân tích nguyên sơ
nếu tồn tại hữu hạn môđun con nguyên sơ Q1 , Q2 , . . . , Qn sao cho

N = Q1 ∩ Q2 ∩ . . . ∩ Qn

(∗).

(ii) Giả sử AssR (M/Qi ) = {pi }, i = 1, 2, . . . , n (Qi là pi -nguyên sơ)
thì phân tích nguyên sơ (∗) được gọi là phân tích nguyên sơ thu gọn nếu
p1 , p2 , . . . , pn đôi một khác nhau và không có Qi nào có thể bỏ đi được.
Nhận xét, theo Mệnh đề 1.4.6, mọi phân tích nguyên sơ (nếu có) của
môđun N đều có thể thu gọn được. Định lí sau đây được gọi là Định lí phân
tích nguyên sơ Lasker - Noether của môđun.
1.5.2 Định lí. Giả sử M là một R-môđun Noether. Khi đó các phát biểu sau
là đúng:
(i) Mọi môđun con N của M luôn có sự phân tích nguyên sơ thu gọn;
(ii) Giả sử N = Q1 ∩ Q2 ∩ . . . ∩ Qn (∗) là một sự phân tích thu gọn của
môđun con N , trong đó Qi là môđun con pi -nguyên sơ với mọi i = 1, 2, . . . , n.
Khi đó tập hợp {p1 , p2 , . . . , pn } xác định duy nhất không phụ thuộc vào cách
phân tích của môđun con N . Cụ thể {p1 , p2 , . . . , pn } = Ass(M/N ). Nếu pi là
tối thiểu trong tập hợp {p1 , p2 , . . . , pn } thì Qi xác định duy nhất.
Chứng minh. (i) Ta có M/N là Noether nên chỉ cần chứng minh cho trường
hợp N = 0. Giả sử p ∈ AssM là một iđêan nguyên tố liên kết tuỳ ý cho
trước. Khi đó ta xét tập hợp
Rõ ràng

= ∅ vì 0 ∈

đại trong

, kí hiệu là Q(p) ∈

= {L môđun con của M | p ∈
/ AssR L}.

. Do M là Noether nên tồn tại phần tử cực
. Ta có Q(p) = M vì p ∈
/ AssR Q(p).


22

Ta chứng minh Q(p) là p-nguyên sơ tức là AssR (M/Q(p)) = {p}. Dễ thấy
p ∈ AssR (M/Q(p)) = {p}. Giả sử tồn tại p = p và p ∈ AssR (M/Q(p)).
Theo Mệnh đề 1.3.3 tồn tại môđun con Q ⊃ Q(p) để Q /Q(p) ∼
= R/p. Do
đó AssR Q ⊆ AssR Q(p) ∪ AssR (Q /Q(p)). Từ đó suy ra p ∈
/ AssR Q và do
đó Q ∈

. Điều này vô lí vì Q(p) là phần tử cực đại thuộc

. Do đó

AssR (M/Q(p)) = {p}.
Ta thấy

AssR

Ass(Q(p)) = ∅.

Q(p) =
p∈AssR M

p∈AssR M

Vậy

(Q(p)) = 0

(∗).

p∈AssR M

Mặt khác, do |AssR M | < ∞ nên (∗) là phân tích nguyên sơ của 0.
(ii) Giả sử N = Q1 ∩ Q2 ∩ . . . ∩ Qn là một sự phân tích nguyên sơ thu gọn
của môđun con N . Ta xét ánh xạ

f : M → M/Q1 ⊕ M/Q2 ⊕ . . . ⊕ M/Qn
→

x

(x1 , x2 , . . . xn ),

trong đó x1 , x2 , . . . , xn là ảnh của x trong M/Q1 , M/Q2 , . . . , M/Qn . Dễ thấy

f là một đồng cấu R-môđun và
n

Kerf = {x ∈ M | f (x) = 0} = {x ∈ M | (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0} =

Qi = N.
i=1

Từ đó ta có đơn cấu
n

Qi → M/Q1 ⊕ M/Q2 ⊕ . . . ⊕ M/Qn .

ϕ : M/
i=1


23

Suy ra

AssR (M/N ) ⊆ AssR (M/Q1 ⊕ M/Q2 ⊕ . . . ⊕ M/Qn )
⊆ AssR (M/Q1 ) ∪ AssR (M/Q2 ) ∪ . . . ∪ AssR (M/Qn ) = {p1 , p2 , . . . , pn }.
Bây giờ ta sẽ chứng minh {p1 , p2 , . . . , pn } ⊆ AssR (M/N ), tức là ta chỉ cần
chứng minh {p1 } ∈ AssR (M/N ) (các pi khác tương tự). Thật vậy, ta có

Q1 + (Q2 ∩ Q3 ∩ . . . ∩ Qn )/Q1 ∼
= (Q2 ∩ Q3 ∩ . . . ∩ Qn )/N.
Mặt khác

Q1 + (Q2 ∩ Q3 ∩ . . . ∩ Qn )/Q1 ⊆ M/Q1 .
Suy ra

AssR ((Q2 ∩ Q3 ∩ . . . ∩ Qn )/N ) ⊆ AssR (M/Q1 ) = {p1 }.

(∗)

Vì N = Q1 ∩Q2 ∩Q3 ∩. . .∩Qn là sự phân tích thu gọn nên Q2 ∩Q3 ∩. . .∩Qn =

N hay (Q2 ∩ Q3 ∩ . . . ∩ Qn )/N = 0. Từ đó ta có
AssR ((Q2 ∩ Q3 ∩ . . . ∩ Qn )/N ) = ∅ (bởi Hệ quả 1.3.5).
Do đó

AssR ((Q2 ∩ Q3 ∩ . . . ∩ Qn )/N ) = {p1 }.
Do

(Q2 ∩ Q3 ∩ . . . ∩ Qn )/N ⊆ M/N.
Suy ra
p1 ∈ AssR (M/N ).
Tương tự ta cũng có pi ∈ AssR (M/N ) với ∀i = 2, . . . , n. Vậy

AssR (M/N ) = {p1 , p2 , . . . , pn }.


24

Giả sử Q1 là p1 -nguyên sơ và p1 tối thiểu trong AssR (M/N ). Ta cần chứng
minh Q1 là duy nhất với mọi sự phân tích nguyên sơ của N . Với ∀i ta có

(M/Qi )pi = Mp1 /(Q1 )p1 . Theo Mệnh đề 1.3.7 ta có
AssR (M/Qi ) = AssR (M/Qi )∩{p ∈ SpecR| p ⊆ p1 } = ∅ (vì pi tối thiểu) ∀i = 1.
Do đó (M/Qi )pi = 0 suy ra Mp1 /(Q1 )p1 = 0 hay Mp1 = (Q1 )p1 = 0, với

∀i = 1. Từ đó ta có
Np1 = (Q1 ∩ Q2 ∩ . . . ∩ Qn )p1 = (Q1 )p1 ∩ (Q2 )p1 ∩ . . . ∩ (Qn )p1 .
Xét đồng cấu f : M/Q1 → (M/Q1 )p1 là đồng cấu tự nhiên. Ta có Kerf =

/ p1 , tx = 0} = 0 (Do nếu

{x ∈ M/Q1 | f (x) = 0} = {x ∈ M/Q1 | ∃t ∈
x ∈ M/Q1 thì Ann(x) ⊆ p1 ). Vậy f là đơn cấu.
Do đó ta có biểu đồ sau giao hoán
α

M FF

FF
FF
π FFF"

/ (M/Q )
1 p1
q8
q
q
q
qqq
q
q
f
q

M/Q1
Do (M/N )p1 = Mp1 /Np1 = Mp1 /(Q1 )p1 = (M/Q1 )p1 nên biểu đồ trên có thể
viết dưới dạng

M FF

α

FF
FF
π FFF"

/

Mp8 1 /(Q1 )p1

ppp
ppp
p
p
ppp f

M/Q1
Từ đó ta có Q1 = Kerπ .
Mặt khác, do f là đơn cấu nên Q1 = Kerπ = Ker(f π) = Kerα. Do đó Q1
chỉ phụ thuộc vào M, N, p1 mà không phụ thuộc vào sự phân tích nguyên sơ
của N .
Mỗi vành Noether R là một môđun Noether trên chính nó. Khi đó mỗi
iđêan nguyên sơ của vành R là một môđun con nguyên sơ của R-môđun R.


25

Vì vậy từ định lí trên ta có ngay hệ quả sau là Định lí Lasker - Noether cho
vành.
1.5.3 Hệ quả. Cho R là một vành giao hoán, Noether và I là một iđêan của
vành R. Khi đó tồn tại sự phân tích nguyên sơ

I = q1 ∩ q2 ∩ . . . ∩ qn

(∗),

trong đó qi là pi -nguyên sơ với ∀i = 1, 2, . . . , n. Nếu (∗) là một sự phân tích
thu gọn thì tập hợp {p1 , p2 , . . . , pn } xác định duy nhất và {p1 , p2 , . . . , pn } =

Ass(R/I). Nếu pi là tối thiểu trong tập hợp {p1 , p2 , . . . , pn } thì iđêan qi xác
định duy nhất.
1.5.4 Chú ý. (i) Giả sử N = Q1 ∩ Q2 ∩ . . . ∩ Qn là sự phân tích nguyên sơ
thu gọn của môđun con N của môđun M , trong đó Qi là pi -nguyên sơ. Khi
đó nếu pi tối thiểu (theo quan hệ thứ tự bao hàm) trong tập hợp Ass(M/N )
thì Qi được gọi là thành cô lập trong sự phân tích của N . Nếu Qi không phải
là thành phần cô lập thì được là thành phần nhúng. Theo Định lí 1.5.2, trong
sự phân tích nguyên sơ của N thì các thành phần cô lập là xác định duy nhất
còn các thành phần nhúng có thể không duy nhất.
(ii) Cũng từ Định lí 1.5.2 ta thấy muốn tìm AssM ta chỉ cần tìm sự phân
tích nguyên sơ của môđun con 0 của M . Giả sử 0 của M có sự phân tích
nguyên sơ thu gọn

0 = Q1 ∩ Q2 ∩ . . . ∩ Qn ,
trong đó Qi là pi -nguyên sơ. Khi đó AssM = {p1 , p2 , . . . , pn }.