Sự lan truyền xung quang học trong môi trường phi tuyến luận văn thạc sỹ vật lý

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG

SỰ LAN TRUYỀN XUNG QUANG HỌC
TRONG MÔI TRƯỜNG PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SỸ VẬT LÝ


Vinh, tháng 9/2012

2


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG

SỰ LAN TRUYỀN XUNG QUANG HỌC
TRONG MÔI TRƯỜNG PHI TUYẾN
Chuyên ngành: Quang học
Mã số: 60.44.01.09

LUẬN VĂN THẠC SỸ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. ĐINH XUÂN KHOA

Vinh, tháng 9/2012

3


LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS.
TS. Đinh Xuân Khoa vì những giúp đỡ mà thầy đã giành cho tác giả trong
suốt thời gian vừa qua. Thầy đã định hướng nghiên cứu, cung cấp tài liệu
quan trọng và nhiều lần thảo luận, tháo gỡ những khó khăn trong quá trình
nghiên cứu mà tác giả gặp phải.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy giáo và các bạn
học viên chuyên ngành Quang học – Cao học 18 – Đại học Vinh, đã nhiệt tình
giảng dạy, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và có những nhận xét đóng
góp quí báu cho tác giả trong quá trình tác giả thực hiện đề tài này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận
lợi, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu đã qua.
Cuối cùng, xin gửi đến các thầy giáo, bạn hữu và người thân lòng biết
ơn chân thành cùng lời chúc sức khỏe và thành công trong cuộc sống.

Tác giả
Nguyễn Thị Thanh Hương

4


MỤC LỤC
Trang
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2.....................................................................................................57
KẾT LUẬN CHUNG...........................................................................................................58

TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................................59


LỜI MỞ ĐẦU
Việc nghiên cứu quá trình lan truyền các xung ánh sáng trong môi
trường vật chất là quan trọng trong sự phát triển khoa học - công nghệ hiện
nay, đặc biệt là triển vọng ứng dụng của nó trong thông tin và truyền thông.
Chẳng hạn đối với lĩnh vực Thông tin quang thì vấn đề lan truyền xung sẽ là
nền tảng của nó.
Một trong các phương pháp nghiên cứu quá trình lan truyền các xung
ánh sáng trong môi trường vật chất là xuất phát phương trình Maxwell từ đó
dẫn ra phương trình sóng, vì lý thuyết điện từ của Maxwell mô tả tốt các quá
trình điện từ trong một giới hạn khá rộng và đặc biệt nó lại rất đơn giản về
mặt toán học. Không giống như các quá trình tuyến tính, các quá trình phi
tuyến rất phức tạp nên chỉ có thể mô tả được một cách gần đúng mà thôi.
Với vấn đề lan truyền xung cũng như nhiều ứng dụng khác của Quang
học phi tuyến thì tương tác phi tuyến giữa các trường Laser cường độ lớn với
vật chất mô tả theo quan điểm cổ điển và lượng tử không khác nhau nhiều.
Chính vì những lý do đó mà chúng tôi chọn đề tài “sự lan truyền xung
quang học trong môi trường phi tuyến” cho luận văn của mình.
Trên cơ sở đó, ngoài lời mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu
tham khảo, luận văn được cấu trúc gồm 2 chương. Nội dung cơ bản như
sau:
Trong chương 1, chúng tôi tập trung nghiên cứu các hiện tượng tuyến
tính cơ bản, qua đó thực hiện các tính toán cụ thể cho một số trường hợp riêng
của xung vào. Sự lan truyền tuyến tính của xung trong môi trường tinh thể
đơn trục được nghiên cứu chi tiết. Chúng tôi dẫn ra phương trình lan truyền
cho các sóng thường và dị thường, từ đó giải thích rõ hiện tượng lệch khỏi
trục lan truyền của sóng dị thường khi đi qua môi trường dị hướng.

6


Trong chương 2, chú ng tôi nghiên cứ u sự lan truyề n củ a cá c xung
laser picô giây và femtô giây trong môi trườ ng phi tuyế n Kerr. Bằ ng việ c
sử dụ ng cá c phé p gầ n đú ng thí ch hợ p, chú ng tôi dẫ n ra cá c phương trì nh
lan truyề n tương ứ ng vớ i cá c xung có bậ c thờ i gian đó . Chú ng tôi trì nh
bà y phương phá p tí nh toá n gầ n đú ng thường đượ c sử dụ ng cho cá c bà i
toá n nà y và minh họ a cho mộ t số trườ ng hợ p tiêu biể u, qua đó thấ y đượ c
sự phù hợ p vớ i cá c quan sá t thự c nghiệ m, đồ ng thờ i khẳ ng đị nh tí nh đú ng
đắ n và hiệ u quả củ a phương phá p.

7


CHƯƠNG 1
SỰ LAN TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƯỜNG TUYẾN TÍNH
1.1. Hệ phương trình Maxwell
Trong nghiên cứu quang học, ta quan tâm đến 4 đại lượng vectơ trường




điện từ: Vectơ cường độ điện trường E , vectơ cảm ứng điện D , vectơ cường




độ từ trường H , vectơ cảm ứng từ B . Lý thuyết cơ bản của các trường điện
từ được dựa trên các phương trình Maxwell. Dưới dạng vi phân, chúng được

biểu diễn như sau:

∇.D = ρ

∇.B = 0

(1.1)
(1.2)



∂B
∇× E = −
∂t

(1.3)


   ∂D
∇ × H = j = jc +
(1.4)
∂t


ở đây vectơ j là mật độ dòng điện và ρ kí hiệu mật độ của điện tích, jc và

ρ là các nguồn sinh ra các trường điện từ.

Ta có thể tóm tắt các diễn giải vật lí của các phương trình Maxwell
như sau: Phương trình (1.1) là một biểu diễn khác của định luật Gauss cho các

điện trường. Để chuyển phương trình này sang dạng tích phân cho rõ ràng
hơn về mặt vật lí, chúng ta lấy tích phân phương trình (1.1) theo thể tích V
được bao bởi mặt S và sử dụng định lí Gauss,

 
∇
.
D
dV
=
D
∫
∫ .dS

V

(1.5)

S

và nhận được:
 

∫ D.dS = ∫ ρdV
S

(1.6)

V

8


 
D
phương trình này chỉ ra rằng thông lượng điện ∫ .dS chảy ra khỏi mặt S bao
S

quanh V bằng tổng điện tích ở trong thể tích V đó.
Phương trình (1.2) là dạng tương tự của phương trình (1.1) đối với từ
trường và có thể được chuyển thành dạng tích phân tương tự như (1.6) bằng
cách tiếp tục sử dụng định lí Gauss:
 
B
∫ .dS = 0

(1.7)

S

các vế phải của các phương trình (1.2 và 1.7) bằng 0 vì theo quan điểm cổ
điển thì các đơn cực từ không tồn tại. Do đó thông lượng từ trường luôn được
bảo toàn.
Phương trình (1.3) phát biểu định luật Faraday về độ dẫn. Để chuyển
nó về dạng tích phân, chúng ta tích phân mặt mở S bao bởi đường C và sử
dụng định lí Stockes,






∫ (∇ × E ).dS =∫ E.dl
S

(1.8)

C

và nhận được:


∂B 
∫ E.dl = −∫S ∂t .dS
C

(1.9)

phương trình này cho thấy rằng suất điện động cảm ứng


E.
∫ dl

C

trong vòng dây

C bằng tốc độ thay đổi theo thời gian của thông lượng từ trường chuyển qua
diện tích của vòng dây. Suất điện động được cảm ứng theo, nghĩa là nó chống

lại sự thay đổi của từ trường, như được chỉ ra bởi dấu “ - ” trong phương
trình (1.9), nó được gọi là định luật Lentz.
Tương tự như vậy, dạng tích phân của phương trình (1.4) là:

∫

C


H .dl =


 
∂D 
.
d
S
+
∫S ∂t
∫S jc .dS

(1.10)

9




nó chỉ ra rằng tích phân đường của H theo vòng kín C bằng dòng điện toàn
phần (dòng điện dẫn và dòng điện dịch) chuyển qua mặt bao bởi vòng dây C.

Khi lần đầu tiên được đưa ra bởi Ampere, các phương trình (1.4) và (1.10) chỉ


có số hạng dòng điện dẫn jc ở vế phải. Maxwell đề nghị bổ sung thêm số


hạng dòng điện dịch ∂D / ∂t để bao hàm hiệu ứng của các dòng truyền qua, ví
dụ như là các tụ điện.
Đối với một phân bố mật độ điện tích và dòng cho trước, lưu ý rằng có
bốn phương trình (1.1) đến phương trình (1.4) cho bốn ẩn số cần xác định để
giải bài toán trường điện từ đặt ra. Như vậy, bài toán được xác định rõ ràng.
Tuy nhiên, sự khảo sát kĩ hơn cho thấy rằng các phương trình (1.3) và (1.4) là
các phương trình vectơ, chúng tương đương với sáu phương trình vô hướng.
Cũng như vậy, do phương trình liên tục:
 ∂ρ
∇. jc +
=0
∂t

(1.11)

Phương trình (1.1) không độc lập với (1. 4), và tương tự, (1.2) là hệ quả
của (1.3). Ta có thể kiểm tra điều này bằng cách lấy div của 2 vế của các
phương trình (1.3) và (1.4) và bằng cách dùng phương trình liên tục (1.11),
đồng thời với hệ thức vectơ:

∇.(∇ × A) = 0

(1.12)

kết quả của việc thảo luận này là, có sáu phương trình vô hướng độc lập và
  



mười hai ẩn số ( các thành phần x,y,z của các vectơ E , D, H và B ) cần phải
giải. Sáu phương trình vô hướng cần thiết nữa được cho bởi các hệ thức vật
chất


D = ε .E


B = µH

(1.13a)
(1.13b)

ở đây ε kí hiệu độ điện thẩm (F/m) và µ là độ từ thẩm (H/m) của môi trường.
Lưu ý rằng chúng ta đã biết ε và µ là các hằng số vô hướng. Điều này là

10


đúng đối với các môi trường tuyến tính đồng nhất và đẳng hướng. Môi trường
là tuyến tính nếu các tính chất của nó không phụ thuộc vào biên độ của các
trường bên trong môi trường. Môi trường là đồng nhất nếu các tính chất của
nó không phải là các hàm số theo không gian. Cuối cùng, môi trường là đẳng
hướng nếu các tính chất của nó là như nhau theo tất cả các phương tại một
điểm cho trước bất kỳ. Từ bây giờ ta sẽ giả thiết rằng môi trường là tuyến

tính đồng nhất và đẳng hướng. Các vật liệu bất đẳng hướng sẽ được nghiên
cứu trong phần 3.
Trở lại với mối quan tâm của ta về các môi trường đồng nhất và đẳng
hướng, các hằng số cần phải nhớ là các giá trị của ε và µ đối với chân
không: ε 0 = (1 / 36π ) × 10 −19 ( F / m), µ 0 = 4π × 10 −7 ( H / m) . Đối với các chất điện
môi, giá trị của ε lớn hơn giá trị của ε 0 , vì chứa đựng số hạng đặc trưng cho




môi trường vật chất, là mật độ mô men lưỡng cực P (C/m2). P được liên hệ


với điện trường E như sau:


P = χ .ε 0 .E

(1.14)

ở đây, χ là độ cảm điện, nó đặc trưng cho khả năng định hướng theo điện


trường của các lưỡng cực điện trong điện môi. Vectơ trường D là tổng của


ε 0 E và P ,

 



D = ε 0 .E + P = ε 0 (1 + χ ) E = ε 0ε .E

(1.15)

ở đây, ε là độ điện thẩm tương đối, do đó
ε = (1 + χ ).ε 0

(1.16)

Tương tự như vậy, đối với các vật liệu từ tính µ lớn hơn µ 0
1.2. Sự lan truyền trong các môi trường tuyến tính, đồng nhất và đẳng
hướng
1.2.1. Các lời giải sóng lan truyền

11


Trong phần trước, ta đã đưa ra phương trình Maxwell và các hệ thức


vật chất. Đối với một giá trị j c và ρ cho trước, ta đã lưu ý rằng, thực tế ta có


thể tìm được các thành phần của điện trường E . Trong phần này, ta sẽ thấy
việc này sẽ được thực hiện như thế nào. Ta dẫn ra phương trình sóng mô tả sự
lan truyền của điện trường và từ trường, đồng thời tìm các nghiệm tổng quát
của nó trong các hệ tọa độ khác nhau. Bằng cách lấy rota cả hai vế của
phương trình (1.3) ta được:





∂B ∂
∂
∇ × ∇ × E = −∇ ×
=
∇ × B = −µ
∇× H
∂t ∂t
∂t

(

)

(

)

(1.17)

ở đây chúng ta đã dùng hệ thức vật chất thứ hai (1.13b) và giả thiết rằng độ từ
thẩm µ không thay đổi theo không gian và thời gian. Sử dụng (1.4) khi đó
(1.17) trở thành:



∂jc
∂E 2

∇ × ∇ × E = − µε 2 − µ
∂t
∂t

(1.18)

ở đây, chúng ta đã sử dụng hệ thức vật chất thứ nhất (1.13a) và giả thiết rằng
ε không phụ thuộc vào thời gian. Tiếp đó bằng việc sử dụng các hệ thức

vectơ ta được:



∇ × ∇ × A = ∇.(∇. A) − ∇ 2 A,

∇ 2 = ∇.∇

(1.19)

trong (1.18), chúng ta nhận được:


2


∂
E
∂
j
∇ 2 E − µε 2 = µ c + ∇.(∇.E)

∂t
∂t

(1.20)

Nếu bây giờ chúng ta giả thiết rằng độ điện thẩm ε cũng không phụ
thuộc cả vào không gian thì ta có thể viết lại phương trình (1.1) dưới dạng:
 ρ
∇.E =
ε

(1.21)

sử dụng hệ thức vật chất thứ nhất (1.13a). Kết hợp phương trình (1.21) vào
phương trình (1.20), ta thu được:

12




2

∂
E
∂
j 1
∇ 2 E − µε 2 = −µ c + ∇.ρ
∂t
∂t ε

(1.22)

là phương trình sóng có các số hạng mô tả nguồn ở vế phải. Thực tế phương
trình (1.22) là phương trình vectơ, tương đương với ba phương trình vô


hướng cho các thành phần của trường E .
Trong chân không, các nguồn ( jc = 0, ρ = 0 ), phương trình (1.22) rút
gọn về phương trình sóng thuần nhất


∂2E
∇ E = µε 2
∂t

(1.23)

2



Phương trình tương tự có thể được dẫn ra cho từ trường H ,


∂2H
∇ H = µε 2
∂t

(1.24)

2

lưu ý rằng, đại lượng µ.ε có đơn vị là (1/v) 2. Ta định nghĩa vận tốc đó như
sau:
v2 =

1
µ .ε

(1.25)

đối với chân không thì ε = ε 0 , µ = µ 0 và v = c . Ta có thể tính giá trị của c qua
các giá trị đã biết của ε 0 , µ 0 , kết quả là c ≈ 3.10 8 (m / s 2 ) .
Khảo sát các lời giải của các phương trình dạng (1.23) hoặc (1.24). Để
đơn giản hóa, ta sẽ phân tích phương trình sóng thuần nhất
∂ 2ψ
− v 2 .∇ 2ψ = 0
2
∂t

(1.26)


ở đây ψ có thể biểu diễn thành phần của điện trường E hoặc từ trường

H và v là vận tốc của sóng. Lời giải tổng quát là

ψ ( x, y, z, t ) = c1 f (ω 0 t − k 0 x x − k 0 y y − k 0 z z ) + c 2 g (ω 0 t − k 0 x x + k 0 y y − k 0 z z ) (1.27)

với c1 , c 2 là các hằng số và với điều kiện
ω0 2
ω 02
=
= v2
2
2
2
2
k 0 x + k 0 y + k oz k 0

13

(1.28)


Trong phương trình (1.28), ω 0 là tần số góc (rad/s) của sóng và k 0 là
hằng số lan truyền (rad/m) trong môi trường. Vì tỷ số ω 0 / k 0 là hằng số, môi
trường lan truyền được gọi là không tán sắc. Ta có thể biểu diễn lại phương
trình (1.27) như sau:
 
 
ψ ( x, y, z , t ) = c1 f (ω 0 t − k 0 .R ) + c 2 g (ω 0 t + k 0 .R )

(1.29)

ở đây:





R = x.a x + y.a y + z.a z

(1.30a)

k 0 = k 0 x .a x + k 0 y .a y + k 0 z .a z

(1.30b)

k 0 được gọi là vectơ lan truyền và k 0 = k 0 ; a x , a y , a z kí hiệu các vectơ đơn vị

tương ứng trên các phương x, y, z.
Theo một chiều không gian (chẳng hạn chiều z), phương trình sóng
(1.26) có dạng:
2
∂ 2ψ
2 ∂ ψ
−
v
=0
∂t 2
∂z 2

(1.31)

và lời giải tổng quát của nó là:
ψ ( z , t ) = c1 f (ω 0 t − k 0 z ) + c 2 g (ω 0 t − k 0 z ),

v=

ω0
k0

(1.32)

Lưu ý rằng, phương trình (1.27) hoặc (1.29) bao gồm sự chồng chất của
hai sóng, lan truyền theo hai hướng ngược nhau. Ta có thể định nghĩa sóng
như là một dạng nhiễu động, đặc trưng bởi sự lan truyền với một vận tốc có
thể xác định được.
Khảo sát trường hợp đặc biệt c1 ≠ 0, c 2 = 0 . Nhận thấy rằng, nếu ψ là
 

hằng số thì ( ω 0 t − k 0 .R ) cũng thế. Do đó
 
k 0 .R = ω 0 t + hằng số

(1.33)

nhưng đây là phương trình của mặt phẳng vuông góc với vectơ k 0 với tham số
 

là t , vì vậy sóng được gọi là sóng phẳng. Khi t tăng, k 0 .R cần phải tăng để

14




phương trình (1.33) luôn luôn được nghiệm đúng. Ví dụ, nếu k 0 = k 0 a z (k 0 > 0)


và R = z.a z , z cần phải tăng giống như t tăng. Điều này có nghĩa là sóng đang
xét lan truyền theo phương +z. Với c1 = 0 , ta có sóng phẳng lan truyền theo
hướng ngược lại. Mặt sóng được định nghĩa là các mặt chứa tất cả điểm có
 

pha giống nhau. ω 0 t ± k 0 .R là mặt phẳng.
1.2.2. Hiện tượng tán sắc
Trong mục này ta sẽ khảo sát một hiện tượng quan trọng trong quá
trình lan truyền: sự mở rộng của các xung ánh sáng do tán sắc. Thực tế ở trên
chúng ta đã nghiên cứu sự lan truyền của các sóng sử dụng phương trình sóng
trong môi trường có các tính chất mô tả bởi độ điện thẩm hoặc vận tốc pha là
hằng số đối với tần số của sóng. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, độ điện
thẩm hay chiết suất có thể là các hàm số của tần số hoặc bước sóng. Sự phụ
thuộc này của n vào ω , hoặc của ω vào hằng số lan truyền k được gọi là tán
sắc, có thể là các tính chất nội tại của vật liệu trong thiên nhiên. Các tính chất
nội tại này có thể do đóng góp của:
a) sự phân cực định hướng,
b) sự phân cực điện tử,
c) sự phân cực nguyên tử hoặc ion.
thỉnh thoảng sự tán sắc có thể được sinh ra do tính chất hình học mà trong đó
sóng lan truyền, ví dụ trong cấu trúc dẫn sóng như sợi quang học, cáp quang.
Sau đây ta sẽ tóm tắt phương pháp phân tích sóng lan truyền trong môi trường
mà sự phụ thuộc của ω vào k cho trước. Ta sẽ thấy rằng việc sử dụng hệ thức
tán sắc ω = ω (k ) có thể dẫn ra phương trình đạo hàm riêng đối với hàm sóng là
các trường quang học.
Sau đây ta sẽ phác thảo phương pháp để phân tích phương trình sóng
trong môi trường mà sự phụ thuộc của ω vào k đã được xác định. Ta sẽ thấy

15

rằng bằng việc sử dụng hệ thức tán sắc ω = ω (k ) , có thể dẫn ra phương trình
đạo hàm riêng cho hàm sóng mô tả trường quang học. Đầu tiên ta xét trường
hợp hệ thức tán sắc có dạng đơn giản như sau:
ω 2 = v. k

(1.34)

phương trình đạo hàm riêng tương ứng có thể dẫn ra nếu ta lưu ý rằng các
toán tử có thể được thay bởi:
ω → −i

∂
∂
,k → i
∂t
∂z

(1.35)

lý do ta có thể làm điều này là bởi vì bó sóng bất kỳ có thể được xem là tổ
hợp của các sóng phẳng đơn sắc với các biên độ khác nhau, biểu diễn qua
biến đổi Fourier

E (r , t ) =



 

1
i ( k r −ωt )
E
(
k
,
ω
)
e
d
k
dω
(2π ) 4 ∫

(1.35a)

và tương tự ta có biến đổi ngược:

 


E (k , ω ) = ∫ E ( r , t ) e −i ( kr −ωt ) dr dt

(1.35b)

do đó các đạo hàm theo các biến không gian và thời gian được thay thế bởi
các phép nhân đại số, như trong (1.35). Kết quả là hệ thức tán sắc dạng bậc
hai (1.34) tương ứng với phương trình sóng:
2
∂ 2ψ

2 ∂ ψ
−v
=0
∂t 2
∂z 2

(1.36)

có thể chỉ ra rằng với hàm sóng ψ đối với hàm sóng thực, hệ thức tán sắc
ω = ω (k ) hoặc k = k (ω ) tương ứng phải là hàm lẻ của ω và k . Trong hệ thức

tán sắc, giá trị k < 0 không phải nghĩa là sóng lan truyền theo hướng này còn
với k > 0 thì sóng lan truyền theo hướng ngược lại. Mà hơn thế, sóng lan
truyền theo phương + z là tổ hợp của các giá trị k > 0 với ω > 0 và k < 0 với
ω < 0 , dẫn đến vận tốc pha được xem là dương. Sóng lan truyền theo phương
− z tổ hợp các k > 0 với ω < 0 và ngược lại.

16


Mở rộng phương trình sóng ở trên ra trường hợp nhiều chiều, ta chỉ đơn
giản thực hiện việc thay thế toán tử

∂2
bởi toán tử Laplace ∇ 2 . Do đó dạng
∂z 2

ba chiều của phương trình sóng là
∂ 2ψ
− v 2 ∇ 2ψ = 0

∂t 2

(1.37)

với giả thiết sóng phân kỳ yếu theo phương vuông góc với trục lan truyền
chính 0 z (nghĩa là k x , k y nhỏ hơn rất nhiều với k z ), ta có gần đúng
k = k x2 + k y2 + k z2 = k z + (

1
∂
i
)(k x2 + k y2 ) → i + (
) ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 + ∂y 2
2k 0
∂z
2k 0

(

)

(1.38)

phương trình đạo hàm riêng được dẫn ra từ (1.38) là rất quan trọng vì nó mô
tả sự thay đổi của chùm xung trong không gian và thời gian. Để thấy điều này
rõ ràng hơn, có thể chỉ ra bằng cách thay thế
ψ = Re[ψ e ( x, y, z, t ) exp (iω0t − ik 0 z ) ]

(1.39)

dẫn đến phương trình đạo hàm riêng cho hàm bao biến thiên chậm ψ e dưới
dạng
2ik 0 (v −1

∂ψ e ∂ψ e
∂ 2ψ e ∂ 2ψ e
+
)=
+
∂t
∂z
∂x 2
∂y 2

(1.40)

trong thực tế, hệ thức tán sắc thường có dạng phức tạp hơn (1.34). Dạng của
hệ thức này có thể được rút ra từ thực nghiệm, gọi là đường cong tán sắc. Giả
sử môi trường với hệ thức tán sắc là một hàm tùy ý ω = ω (k ) , người ta thường
sử dụng phép khai triển ( ω > 0 ):
ω = ω (k ) = ω 0 + u 0 ( k − k 0 ) +

u0 '
(k − k 0 ) 2 + ...., ω > 0
2

(1.40a)

ở đây u0 là vận tốc nhóm và u0’ được gọi là tán sắc vận tốc nhóm. Khai triển
tương tự được áp dụng cho các thành phần tần số âm. Bây giờ ta đặt:

Ω = ω − ω0

, κ = k − k0

17

(1.40b)


ở đây Ω, κ chỉ các miền lân cận ω0 , k 0 , ta nhận được hệ thức tán sắc đối với
hàm bao ψ e của hàm sóng ψ như sau:
Ω = u0 κ +

u0 ' 2
κ + ...
2

đối với trường hợp một chiều, việc thay thế Ω và κ bởi các toán tử dẫn tới
phương trình:
∂ψ e
∂ψ e u 0' ∂ 2ψ e
i(
+ u0
)−
=0.
∂t
∂z
2 ∂ z2

trong hệ tọa độ chuyển động Z = z - u0t, T = t, phương trình trên có thể viết lại

như sau:
∂ψ e
iu ' ∂ 2ψ e
=− 0.
∂T
2 ∂Z 2

biến đổi Fourier vế phải ta được:
∂ψ e iu 0' 2
=
.κ ψ e
∂T
2

hay là :
i

ψe =e 2

u 0' κ2 T

(1.41)

.ψe (0, κ)

trong đẳng thức cuối cùng ta có đại lượng ψ e (0, κ ) bằng ảnh Fourier của hàm
bao ban đầu. Để minh hoạ cho trường hợp này chúng tôi lấy ví dụ cho xung
vào dạng Gauss lan truyền trong môi trường. (Xung Gauss là một dạng xung
quang học quan trọng). Đối với xung Gauss hàm bao ban đầu có dạng:

ψ e (0, Z ) = ψ 0e

1
− Z 2 / z02
2

−
z
ψ e (0, κ ) = 0 e
2π

và

κ 2 z02
2

thay hệ thức này vào (1.41) và sau đó tính ảnh Fourier ngược, cuối cùng ta sẽ
thu được:

ψ e (T , Z ) =ψ 0

z0
z 02 − iu 0'

18

e

 1


2
2
'
− ( Z −u 0T ) /( z 0 −iu 0T ) 
 2



1.2.3. Hiện tượng nhiễu xạ
Tiếp theo, ta phân tích kĩ hơn sự thay đổi của hình dạng xung hoặc
chùm tia trong không gian trong quá trình lan truyền, ta bắt đầu từ phương
trình (1.29) ở trên. Giả sử rằng trường vô hướng toàn phần ψ ( x, y, z, t ) tổ hợp
của hàm bao phức ψ e ( x, y, z ) với sóng mang tần số ω0 và hằng số lan truyền k 0
lan truyền theo phương + z :
ψ ( x, y, t ) = Re{ψ e ( x, y , z ) exp[ i (ω0t − k 0 z )]} ,

ω0
=v
k0

(1.42)

lưu ý rằng hàm bao phức ψ e ( x, y, z ) liên hệ với pha ψ p như sau:
ψ p ( x, y, z ) = ψ e ( x, y, z ) exp(−ik 0 z ),

(1.43)

và để tiện lợi ta sẽ sử dụng một trong các đại lượng trên trong quá trình trình
bày. Cũng lưu ý rằng:
ψ e ( x, y, z ) = ψ p ( x, y, z ) = a ( x, y, z ),

(1.44)

thay phương trình (1.42) vào (1.29) và giả thiết rằng ψ e biến thiên chậm dọc
theo trục lan truyền z, theo nghĩa là:
∂ 2ψ c ∂ψ e
/
<< k 0,
∂z 2
∂z

(1.45)

chúng ta thu được phương trình sóng cận trục:
2ik 0

∂ψ e ∂ 2ψ e ∂ 2ψ e
=
+
∂z
∂ x2
∂ y2

(1.46)

phương trình này mô tả hàm bao ψ e ( x, y, z ) xuất phát tự dạng ban đầu:
ψe

z =0

= ψ e 0 ( x, y )

bây giờ ta giải phương trình (1.6) nhờ phép biến đổi Fourier (theo (1.5a). Nó
sẽ giúp ta hiểu hiện tượng nhiễu xạ nhờ khái niệm hàm truyền đơn giản của
sóng lan truyền, và cũng đưa đến công thức nhiễu xạ Fresnel.

19


Giả thiết rằng ψ e ( x, y, z ) có thể biến đổi Fourier được, từ định nghĩa và
các tính chất của phép biến đổi này, sau khi áp dụng vào phương trình (1.46),
dẫn đến:
dΨe
1
2
2
=
(k x + k y )Ψe
dz
2k 0

(1.47)

Ở đây Ψe (k x , k y , z ) là biến đổi Fourier của ψ e ( x, y, z ) và k x , k y tương ứng biểu
diễn các biến tần số không gian ứng với x và y . Bây giờ ta có thể giải
phương trình (1.47) và nhận được:
 i(k x 2 + k y 2 ) z 

Ψe (k x , k y ; z ) = Ψe 0 (k x , k y ) exp



2
k
0



(1.48)

Ψe 0 (k x , k y ) = ψ e (k x , k y ; z ) = Fxy {ψ e 0 ( x, y )}

(1.49)

ở đây,

− ik z
ta lưu ý rằng Ψ p (k x , k y ; z ) = Ψe (k x , k y ; z )e
đôi khi được xem như là phổ của
0

sóng phẳng theo góc của hàm bao ψ e ( x, y, z ) . Có thể diễn giải phương trình
(1.49) theo cách sau đây: Xét một hệ tuyến tính với Ψe 0 (k x , k y ) là phổ đầu vào
(tức là ở z = 0 ) và ở đầu ra có phổ là Ψe (k x , k y ; z ) . Do đó sự phản ứng theo tần
số không gian của hệ tuyến tính được cho bởi:
 i (k x 2 + k y 2 ) z 

Ψe
= H (k x , k y ; z ) = exp 

Ψe 0

2k 0



(1.50)



gọi H (k x , k y ; z ) là hàm truyền không gian trong quá trình lan truyền của ánh
sáng qua khoảng cách z trong môi trường (như trong hình 1).
Sự phản ứng xung theo không gian được cho bởi:
−1

h( x, y, z ) = Fxy H ( k x , k y ; z ) =

 i ( x 2 + y 2 )k 0 
ik 0
exp −

2πz
2z



(1.51)

do đó bằng phép biến đổi Fourier ngược của phương trình (1.48) và sử dụng
phương trình (1.51), ta nhận được:

20

ψ e ( x, y , z ) = ψ e 0 ( x, y ) ∗ h ( x , y , z )
=

{

ik 0 ∞ ∞
 k
ψ e 0 ( x′, y ′) exp − i 0 ( x − x′) 2 + ( y − y ′) 2
∫
∫
2πz −∞ −∞
 2z

} dx′dy′,

(1.52)



ở đây * kí hiệu tích chập. Cách viết phương trình (1.53) cho biết rằng các toạ
độ vuông góc x’, y’ trong mặt đầu vào và x,y trong mặt đầu ra ở khoảng cách
z cách xa mặt đầu vào (xem hình 1). Sử dụng phương trình (1.43), từ phương
trình (1.52) ta có thể viết:
ψ p ( x, y , z ) =

∞

ik 0

exp[ − ik 0 z ] ∫
2πz
−∞

∞

∫ψ

−∞

p0

{

 k
( x′, y ′) exp − i 0 ( x − x′) 2 + ( y − y ′) 2
 2z

} dx′dy′


(1.53)

ở đây:
ψ p 0 ( x, y ) = ψ p ( x, y, z ) z =0 = ψ e ( x, y, z ) z =0 = ψ e 0 ( x, y ).

Phương trình (1.52) hoặc (1.53) được gọi là công thức nhiễu xạ Fresnel và
mô tả hiện tượng nhiễu xạ Fresnel của chùm tia trong quá trình lan truyền với
biên độ hàm bao phức ban đầu tuỳ ý ψ e 0 .

21


[

R = ( x − x' ) 2 + ( y − y ' ) 2 + z 2

]

1/ 2

P’(x’,y’)

P(x,y)

[

H (k x , k y , z ) = exp i (k x2 + k y2 ) z / 2

z=0

Mặt phẳng đầu vào:
ψe0 (x,y)
Ψe0 (kx, ky)

]

z=z

Mặt phẳng đầu ra:

ψe0 (x,y, z)
Ψe0 (kx, ky; z)

Hình 1.1. Biểu diễn theo biểu đồ hình khối của hàm truyền không gian
của quá trình lan truyền.

Sau đây ta sẽ xét một ví dụ về sự nhiễu xạ của chùm tia Gauss khi lan
truyền trong môi trường tuyến tính đồng nhất và đẳng hướng. Chúng ta kí
hiệu chùm Gauss ở z = 0 có dạng:
 (x2 + y 2 ) 
ψ e 0 ( x, y ) = exp −

w02



(1.54)

 (k x2 + k y2 ) w02 
Ψe 0 ( k x , k y ) = πw02 exp −

4



(1.55)

do đó:

và kéo theo:

ψ e (k x , k y , z ) = ψ e 0 (k x , k y ) = H ( k x , k y ; z )
 (k x 2 , k y 2 ) w0 2 
 i(k 2 x , k 2 y ) z 
= πw0 exp −
 exp 

4
2k 0




2

 i (k x2 , k y2 )q 
= πw 0 exp 

 2k 0 
2

22

(1.56)


ở đây
ik 0 w02
q= z+
= z + iz R
2

(1.57)

được gọi là tham số q của chùm Gauss. Sự lan truyền của chùm Gauss được
mô tả một cách đầy đủ thông qua sự biến đổi của tham số q của nó. Ví dụ, có
thể thấy từ các phương trình (1.56) và (1.57) rằng nếu chùm Gauss lan truyền
qua quãng đường R trong chân không, tham số q biến đổi thành q' , trong đó:
q' = q + L

(1.58)

Để tìm sự tiến triển của chùm Gauss trong quá trình lan truyền, ta sử
dụng biến đổi Fourier ngược của phương trình (1.56). Lưu ý rằng phương
trình này có dạng giống phương trình (1.50), trong đó z được thay bởi q . Do
đó:
2
 ik 0 w0 2 
 i ( x 2 + y 2 )k 0 
ik 0 w0
ψ e ( x, y , z ) =
exp −
 exp −

2q
2q 
2q



2

2
x + y 
 w 
 ik

=  0  exp  2
exp − 0 ( x 2 + y 2 ) exp[ − iφ ]

 2R

 w( z ) 
 w ( z) 

(1.59)

ở đây:
2
2zR   z  
1 +   
w ( z) =
k 0   z R  



(1.60)

z 2 + z R2
R( z ) =
z

(1.61)

2

 z
φ ( z ) = − tan −1 
 zR





(1.62)

việc khảo sát các phương trình (1.59) đến (1.62) cho thấy rằng độ lớn của
dạng chùm Gauss nhiễu xạ vẫn là dạng Gauss mặc dù biên độ giảm và độ
rộng w (lúc đầu thì nó bằng kích cỡ w0 của điểm thắt) tăng trong quá trình
lan truyền. Ta thấy rằng tại z = z R = k 0 w02 / 2, w 2 = 2w02 (quãng đường này được
gọi là độ dài Rayleigh). Các số hạng còn lại biểu thị độ cong pha, với bán

23


kính cong R phụ thuộc vào quãng đường lan truyền và độ dịch pha bổ sung φ
. Lưu ý rằng bán kính cong thì luôn luôn dương và cho biết sự tản ra của các
mặt sóng. Hơn thế, bằng cách lấy đạo hàm phương trình (1.61) theo z, ta có
thể tìm ra vị trí của bán kính cong cực tiểu tại vị trí z = z R . Do đó bắt đầu từ vị
trí z = 0, đầu tiên bán kính cong giảm từ vô hạn (ứng với các mặt sóng phẳng)
đến giá trị cực tiểu trước khi bắt đầu tăng trở lại. Với các giá trị z lớn, bán
kính cong có giá trị xấp xỉ bằng z. Ứng với điều đó, biên độ ứng với z lớn

giảm theo tỷ lệ 1/z. Các kết quả này phù hợp với thực tế là từ các khoảng cách
lớn, chùm Gauss hầu như trông giống các nguồn điểm bức xạ ra các sóng cầu.
1.3. Sự lan truyền sóng trong môi trường bất đẳng hướng
Trên đây chúng ta đã nghiên cứu lời giải cơ bản của phương trình sóng
lan truyền trong môi trường đẳng hướng theo đó độ điện thẩm ε không phụ
thuộc vào không gian. Tuy nhiên nhiều vật liệu (ví dụ các tinh thể) là các môi
trường bất đẳng hướng. Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu sự lan truyền
sóng tuyến tính trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng đối với từ trường (
µ là hằng số), nhưng lại là bất đẳng hướng đối với điện trường. Điều này có

nghĩa là sự phân cực sinh ra trong môi trường khi có điện trường ngoài tác
động phụ thuộc vào định hướng của điện trường trong môi trường.
1.3.1. Tenxơ điện môi
Hình 2 là mô hình minh họa sự liên kết bất đẳng hướng của electron
trong tinh thể. Tính bất đẳng hướng được xét tới thông qua việc giả thiết rằng
các hằng số đàn hồi của lò xo theo các phương khác nhau là khác nhau.
(Trong trường hợp đẳng hướng tất cả các hằng số đàn hồi là như nhau). Điều
này dẫn tới thực tế là sự dịch chuyển của electron chịu ảnh hưởng của điện
trường ngoài, không những phụ thuộc vào biên độ của trường mà còn phụ
thuộc vào hướng của nó.

24


z
x

y

Electron

x

Hình 1.2. Mô hình minh họa liên kết dị hướng của điện tử trong tinh thể. Các hệ số
đàn hồi dọc theo mỗi hướng có thể khác nhau.


Trong trường hợp tổng quát, vectơ D sẽ không hướng theo phương của






vectơ E . Do đó trong phương trình (1.13a), các thành phần của D và E được
liên hệ bằng các phương trình sau đây [(1.13b) vẫn được nghiệm đúng do
chúng ta đang xét môi trường đồng nhất đối với từ trường)]:




D x = ε xx E x + ε xy E y + ε xz E z

(1.63a)





D y = ε yx E x + ε yy E y + ε yz E z

(1.63b)





D z = ε zx E x + ε zy E y + ε zz E z

(1.63c)

3


Di = ∑ ε ij E j

(1.64)

hay là:
j =1

ở đây i, j tương ứng bằng 1 đối với x , 2 đối với y và 3 đối với z .
Thường thì các phương trình (1.63a) đến (1.63c), hoặc phương trình (1.64)
được viết như sau:
 
D = e .E

(1.65)

25