Khảo sát điều kiện nghịch đảo mật độ cư trú trong một số loại laser luận văn thạc sỹ vật lý

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

Phạm Chí Hữu

KHẢO SÁT ĐIỀU KIỆN NGHỊCH
ĐẢO MẬT ĐỘ CƯ TRÚ TRONG
MỘT SỐ LOẠI LASER

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

VINH , 2011


2

LỜI CẢM ƠN

Trước hết tôi xin phép được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy
PGS.TS Đào Xuân Hợi - Thầy đã trực tiếp định hướng và tận tình giúp đỡ
tôi cả về kiến thức cũng như phương pháp nghiên cứu và đã cung cấp cho
tôi các tài liệu để tơi hồn thành luận văn này.
Cho phép tơi bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với các thầy TS
Nguyễn Văn Phú, TS Lưu Tiến Hưng đã đóng góp những ý kiến q báu,
giúp đỡ tơi hồn thiện luận văn.
Nhân đây tôi xin chân thành cảm ơn tới các Thầy - Cô giáo trong
khoa vật lý, các Thầy – Cô giáo trong khoa sau đại học Trường Đại Học
Vinh cũng như các Thầy – Cô giáo trường THPT Nguyễn Công Trứ - Hà
Tĩnh và tập thể lớp Cao học 17 chuyên nghành Quang học đã tạo điều kiện

thuận lợi, giúp đỡ tơi rất nhiều trong q trình học tập, cũng như trong q
trình làm luận văn.
Cuối cùng tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đối với gia đình, bố mẹ, anh chị
em và những người đã thường xuyên giúp đỡ tơi về mọi mặt trong suốt q
trình học tập và công tác.
Tuy tôi đã cố gắng rất nhiều nhưng cũng khơng thể tránh khỏi những
sai sót, vậy tơi mong các thầy cơ, bạn đọc thơng cảm và đóng góp ý kiến
nhằm hoàn thiện luận văn được tốt hơn.

Vinh, tháng 10 năm 2011

Phạm Chí Hữu


3

MỤC LỤC
Trang
Mở đầu

………………………………………………………........

3

Chương 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Mức năng lượng của hệ lượng tử, bức xạ tự nhiên, bức xạ cảm
ứng, hệ số Einstein …………………………………………

6

1.2. Đặc trưng của trạng thái không cân bằng, khái niệm trạng thái
nghịch đảo mật độ cư trú ……………………………………..

11

1.3. Điều kiện tự kích của Laser …………………………………..

13

1.4. Dạng và bề rộng của vạch phổ ……………………………….

17

Chương 2. KHẢO SÁT ĐIỀU KIỆN NGHỊCH ĐẢO MẬT ĐỘ
CƯ TRÚ TRONG MỘT SỐ LOẠI LASER
2.1. Một số phương pháp tạo TTNĐMĐCT ……………………...

20

2.1.1. Tạo TTNĐMĐCT bằng phương pháp bơm ……………..

20

2.1.1.1. Tạo TTNĐMĐCT vùng sóng vơ tuyến …………..

21

2.1.1.2. Tạo TTNĐMĐCT vùng quang …………………..

27

2.1.2. Tạo TTNĐMĐCT bằng một số phương pháp khác ……

32

2.2. Điều kiện nghịch đảo mật độ cư trú trong một số loại Laser
2.2.1. Laser Khí
2.2.1.1. Điều kiện nghịch đảo mật độ cư trú trong Laser khí

33

2.2.1.2. Nghịch đảo mật độ cư trú trong Laser He–Ne …...

40

2.2.1.2. Nghịch đảo mật độ cư trú trong Laser CO2 .............

41

2.2.2. Laser Rắn
2.2.2.1. Điều kiện nghịch đảo mật độ cư trú trong Lasser rắn. 43
2.2.2.2. Nghịch đảo mật độ cư trú trong Lasser Rubi ……..

47

Kết luận ……………………………………………………………...

53

Tài liệu tham khảo …………………………………………………..

54


4

Mở đầu
Laser là khuếch đại ánh sáng bằng bức xạ cưỡng bức, chữ Laser được
tạo thành bởi những chữ cái đầu của cụm từ trong tiếng Anh (Light
Amplification by Stimulated Emission of Radiation). Ta biết rằng, vào năm
1916, sau khi được bầu vào viện hàn lâm khoa học Đức, Albert Einstein bằng
tư duy trừu tượng cao, đã nêu lên giả thuyết “Nếu chiếu những nguyên tử
bằng một làn sóng điện từ, sẽ có thể xẩy ra một bức xạ được kích hoạt và trở
thành một chùm tia hồn tồn đơn sắc, ở đó tất cả những photon (quang tử)
phát ra sẽ có cùng một bước sóng”. Đó là một ý tưởng khoa học hồn tồn
đúng đắn, nhưng chưa có ai chứng minh, nên lý thuyết đó đã bị lãng quên
trong một thời gian dài.
Mãi đến năm 1951, GS Charles Townes của Trường đại học Columbia
thuộc thành phố New York (Mỹ) đã bắt đầu chú đến sự khuếch đại của sóng
cực ngắn (vi sóng), với sự lao động cần cù, say mê, cùng với chi phí khá tốn
kém để nghiên cứu trong phịng thí nghiệm và ơng đã thành cơng. Ơng đã tạo
ra được Maser – là khuếch đại vi sóng bằng bức xạ cảm ứng.
Cũng trong thời gian này, hai nhà bác học Xô Viết là N.Batsoc và
A.Prokhorov cũng phát minh ra máy khuếch đại vi sóng và gần như cùng một
dạng nguyên lý. Vì thế cả ba nhà khoa học nói trên đều được nhận giải
thưởng Nobel vật lý năm 1964. Sau thành công này, C.Townes được giao
trọng trách mới nên ít có thời gian để nghiên cứu. Sau này C.Townes đã nuối
tiếc rằng “Đã đạt tới khuếch đại được sóng cực ngắn rồi mà sao khơng đạt tới
khuếch đại sóng ánh sáng”. Tuy nhiên băn khoăn đó của ông đã được Anthus
Schawlow (là em rể của C.Townes) đã dày công nghiên cứu để biến từ Maser

đến Laser. Tháng 8 năm 1958 A.Schawlow đã công bố phần lý thuyết này
trên tạp chí “Physical Review” nhưng rồi lý thuyết này cũng dừng lại ở đó.


5

Sau này Theodora Maimann phát triển thêm lên. Theodora-Maimann là nhà
khoa học làm việc tại phịng thí nghiệm Hughes tại Malibu, bang California.
Dựa vào lý thuyết và nền tảng thực nghiệm của C.Townes và A.Schawlow,
T. Maimann đã dành thời gian gần 3 năm nghiên cứu sâu thêm và đã trở thành
người đầu tiên tìm ra tia Laser.
Ngày 18/3/1960 là một ngày đáng nhớ, bởi ngày này T.Maimann chính
thức tạo ra tia Laser từ tinh thể rắn Hồng ngọc. Tia sáng do ơng tìm ra là
luồng sáng có độ hội tụ cao, gần như đơn sắc, độ dài bước sóng đo được là
0,694µm .

Như vậy là giả thuyết mà A.Eintein đưa ra cách đây 54 năm đã

được chứng minh.
Những năm tiếp theo, các nhà khoa học trên thế giới đã nối dài thành
quả Laser, tạo ra được nhiều loại Laser bằng cách đưa vào hoạt chất thể khí
(ví dụ như CO2, He, Ne, Ar....) ta có Laser khí; khi đưa vào chất bán dẫn, ta
có Laser bán dẫn hoặc khi đưa vào dung dịch các chất màu hữu cơ, ta có
Laser màu .v.v..
Ngày nay, vật lý Laser nói chung và Laser nói riêng đã phát triển vơ
cùng mạnh mẽ, Laser đã được ứng dụng vào rất nhiều lĩnh vực khác nhau của
khoa học, công nghệ, quân sự và trong cuộc sống.v.v.. Người ta đã dự đoán
rằng “Cùng với bán dẫn, Laser sẽ là một trong những lĩnh vực khoa học &
công nghệ quan trọng bậc nhất của thế kỷ XXI ”.
Qua đó ta thấy rằng, vật lý Laser là một lĩnh vực rất phong phú và hấp

dẫn. Nên đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều người. Nhưng
muốn nghiên về vật lý Laser, thì trước hết phải hiểu thật sâu sắc về trạng thái
nghịch đảo mật độ cư trú, đó là lý thuyết quan trọng nhất của vật lý Laser. Vì
lý do đó nên tơi chọn tên của đề tài luận văn là:

“Khảo sát trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú trong một số loại Laser”


6

Luận văn gồm có hai chương
Chương I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Trình bày một số khái niệm cơ bản về Laser: mức năng lượng, hệ lượng
tử, bức xạ tự nhiên, bức xạ cảm ứng, hệ số Einstein, khái niệm trạng thái
nghịch đảo mật độ cư trú, bề rộng của vạch phổ.v.v. nhằm phục vụ cho
chương II.
Chương II: KHẢO SÁT ĐIỀU KIỆN NGHỊCH ĐẢO MẬT ĐỘ CƯ
TRÚ TRONG MỘT SỐ LOẠI LASER
Đây là nội dung chính của luận văn, trong chương này tôi muốn đưa
ra cách tiếp cận trạng thái nghịch đảo mật độ trú bằng cách riêng của mình,
và để đạt được mục tiêu đó tơi đã trình bày một cách có hệ thống từ việc khảo
sát các phương pháp để tạo trạng thái nghịch đảo mât độ cư trú, sau đó đi
khảo sát trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú trong một số loại Laser khí và
Laser rắn.


7

CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Để thuận tiện trong việc khảo sát trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú
thì ta cần hiểu một số khái niệm sau.
1.1. Mức năng lượng của hệ lượng tử, bức xạ tự nhiên, bức xạ cảm ứng,
hệ số Einstein
Tất cả các khái niệm: Mức năng lượng của hệ lượng tử, bức xạ tự nhiên, bức
xạ cảm ứng, hệ số Einstein, khái niệm trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú,
dạng và bề rộng của vạch phổ.v.v. Các khái niệm đó đã được nhiều tác giả
trong và ngoài nước giới thiệu trong các tài liệu khác nhau. Trong luận văn
này, dựa vào các tài liệu tham khảo [1-6] ta khảo sát như sau:
Trong cơ học lượng tử, nội năng của hạt được lượng tử hóa, có nghĩa là
nội năng của hạt nhận một loạt các giá trị xác định và gián đoạn. Những giá
trị đó, trong vật lý gọi là các mức năng lượng.
Mức năng lượng thấp nhất gọi là mức cơ bản, các mức cịn lại gọi là các
mức kích thích.
Khi một hạt chuyển từ mức năng lượng này sang mức năng lượng khác
thì hạt sẽ thay đổi năng lượng, độ thay đổi năng lượng đó bằng hiệu năng
lượng của các mức đó. Khi hạt chuyển từ mức năng lượng thấp lên mức năng
lượng cao thì hạt hấp thụ năng lượng, khi hạt chuyển từ mức năng lượng cao
xuống mức năng lượng thấp thì hạt bức xạ năng lượng.
Xét hạt với hai mức năng lượng (hai trạng thái năng lượng) m và n, có
năng lượng tương ứng với các mức đó là E m và E n . Giả sử E m lớn hơn E n
(có nghĩa là mức m cao hơn mức n). Khi hạt ở mức năng lượng cao m thì nó
có thể tự chuyển xuống mức năng lượng thấp n và khi đó hạt sẽ bức xạ một


8

lượng tử năng lượng hν = E m − E n . Bức xạ như vậy gọi là bức xạ tự nhiên hay
bức xạ tự phát.
Khi hạt chuyển từ mức năng lượng cao m xuống mức năng lượng thấp n

nhờ tác động của trường ngồi và khi đó hạt cũng bức xạ một lượng tử năng
lượng hν = E m − E n . Bức xạ như vậy gọi là bức xạ cảm ứng. Người ta thấy rằng
khả năng dịch chuyển của hạt từ mức cao xuống mức thấp khi có trường
ngồi sẽ mạnh hơn khi khơng có trường ngồi, có nghĩa là trường điện từ đã
làm tăng xác suất bức xạ lượng tử. Bức xạ cảm ứng có tính chất rất quan
trọng là : Lượng tử năng lượng của bức xạ cảm ứng có cùng tần số, cùng độ
phân cực và cùng phương lan truyền với trường điện từ ngoài.
Ngoài bức xạ tự nhiên và bức xạ cảm ứng, khi hạt nằm trong trường
điện từ ngoài và hạt ở mức năng lượng thấp n có thể hấp thụ một lượng tử
năng lượng hν = E m − E n để chuyển lên mức cao hơn m. Q trình đó gọi là quá
trình hấp thụ cộng hưởng.
Khái niệm bức xạ tự nhiên, bức xạ cảm ứng và hấp thụ cộng hưởng lần
đầu tiên được Einstein đưa vào trong vật lý.
Bây giờ ta xét một hệ hạt đặt trong trường điện từ ngồi, giả sử trường
điện từ ngồi có mật độ phổ năng lượng điện từ là ρ .
ν
Khi đó mật độ năng lượng toàn phần của trường điện từ sẽ là:
∞

ρν = ∫ ρ(ν)dν
0

Khi hệ hạt đặt trong trường điện từ có thể xẩy ra cả ba q trình: bức xạ
tự nhiên, bức xạ cảm ứng và hấp thụ cộng hưởng.
tn
Gọi dWmn là xác suất hạt chuyển tự nhiên từ mức m về mức n trong

khoảng thời gian dt và bức xạ lượng tử năng lượng hν = E m − E n .
tn
Theo Einstein, ta có dWmn = A mn .dt

(1.1)

Trong đó A mn khơng phụ thuộc thời gian và mật độ phổ năng lượng
trường điện từ.


9

Cũng trong khoảng thời gian dt này do hệ hạt đặt trong trường điện từ
nên hạt có thể chuyển từ mức m về mức n do bức xạ cảm ứng và bức xạ
lượng tử năng lượng hν = E m − E n . Theo Einstein thì xác suất của bức xạ cảm
ứng dWmn tỷ lệ với mật độ phổ năng lượng của trường điện từ nên, ta có:
dWmn = B mn .ρν .dt

(1.2)

Trong đó B mn khơng phụ thuộc thời gian và mật độ phổ năng lượng
trường điện từ.
Cùng với các q trình bức xạ thì có thể có quá trình hấp thụ. Gọi
dWnm là xác suất hạt ở mức n hấp thụ lượng tử năng lượng hν = E m − E n rồi

chuyển lên mức m, trong khoảng thời gian dt. Theo Einstein, ta có :
dWnm = B nm ρν .dt

(1.3)
Trong đó B nm cũng khơng phụ thuộc thời gian và mật độ phổ năng
lượng trường điện từ.
Trong các công thức (1.1), (1.2) và (1.3) các hệ số A mn , B mn và B nm
được gọi là các hệ số Einstein.

Để tìm mối liên hệ giữa các hệ số Einstein ta khảo sát hệ hạt ở trong
trạng thái cân bằng nhiệt ở nhiệt độ T (trạng thái cân bằng nhiệt là trạng thái ở
đó có số lượng tử sinh ra do bức xạ bằng số lượng tử hấp thụ).
Gọi N m , N n lần lượt là số hạt ở m và mức n trong một đơn vị thể tích
của vật chất.
Đối với hệ lượng tử không suy biến đại lượng N m và N n được gọi là
mật độ cư trú của hạt ở mức m và mức n. Xét trong thể tích V của vùng mà
hạt chiếm và trong khoảng thời gian dt, ta có:
Số lượng tử bức xạ do q trình bức xạ tự nhiên là:
tn
N m VdWmn = N m VA mn dt

(1.4)

Số lượng tử bức xạ do quá trình bức xạ cảm ứng là :
N m VdWmn = N m VB mn ρν dt

(1.5)


10

Số lượng tử hấp thụ do quá trình hấp thụ cộng hưởng là :
N n VdWnm = N n VB nm ρν dt

(1.6)

Đối với trạng thái cân bằng nhiệt thì số hạt chuyển lên mức m bằng số
hạt chuyển xuống mức n, tức là:
N m VA mn dt + N m VB mn ρν dt = N n VB nm ρν dt

⇔

N m (A mn + B mn ρν ) = N n B nm ρν

(1.7)

Với hệ hạt ta xét trên sẽ thỏa mãn phân bố Bolzoman, tức là số hạt ở
mức i trong một đơn vị thể tích vật chất được tính theo cơng thức:
Ni =

trong đó:

N

∑

 E 
g1 exp − i 
 kT 

(1.8)

N là tổng số hạt trong một đơn vị thể tích vật chất.
g i là trong số thống kê của mức năng lượng (hệ hạt).



∑ là tổng thống kê, ∑ =∑g exp − kT  .
Ei

N

i =1

i





k là hằng số Bolzman, T là nhiệt độ tuyệt đối.
Để đơn giản, ta xét trường hợp không suy biến ( g i =1). Khi đó, từ cơng
thức (1.8) ta có số hạt trên mức m và số hạt trên mức n là:
Nm =

N

∑

N
 E 
 E 
exp − m  ; N n =
exp − n 
 kT 
 kT 
∑

thay các giá trị này vào (1.7) ta được:

 E 
 E 
( Amn + B mn .ρν ) exp − m  = B nm .ρν exp − n 
 kT 
 kT 

(1.9)

Khi T → ∞ , mật độ phổ năng lượng ρ tăng vô hạn. Như vậy khi T đủ
ν
lớn ta có: B mn .ρν >> A mn .

Mặt khác, khi T → ∞ thì cả exp −

Em 
 E 
 và exp − n  đều bằng 1.
 kT 
 kT 

Bởi vậy, từ (1.9) ta có:

B mn .ρν = B nm .ρν

Ta có mối liên hệ giữa các thông số Einstein B mn = B nm

(1.10)


11

ρν =

Thay (1.10) vào (1.9) ta có
ρν =

mà E m − E n = hν nên

A mn
B mn

A mn
B mn

1
 E − En 
exp m
 −1
 kT 

1
 hν 
exp  − 1
 kT 

(1.11)

A mn

Bây giờ ta xác định tỷ số B . Ta có, khi ở các tần số bé, tức là khi

mn
hν << kT , khi đó mật đổ phổ năng lượng được xác định công thức Relây:
ρν =

8πν 2
kT
c3
hν
<<1
kT

Mặt khác, nếu

ρν =

khi đó từ (1.11) ta có

(1.12)
thì

exp

hν
hν
≈1 +
kT
kT

A mn kT
kết hợp với (1.12) ta có:

Bmn hν

A mn 8πν2
= 3
B mn
c

(1.13)

Công thức (1.10) và (1.13) không phụ thuộc vào bản chất của môi
trường hoạt. Thay (1.13) vào (1.11), ta nhận được công thức của Planck:
ρν =

Hệ số

8πν 2
c3

hν
 hν 
exp
 −1
 kT 

(1.14)

8πν2
là số dao động tử (số kiểu dao động) trong một đơn vị
c3

thể tích. Từ đây ta có năng lượng trung bình trong một kiểu dao động
1)
E (TB =

ρν
hν
2 =
8πν
 hν 
exp  − 1
3
c
 kT 

(1.15)

1.2. Đặc trưng của trạng thái không cân bằng, khái niệm trạng thái
nghịch đảo mật độ cư trú.


12

Trong phần trước ta đã khảo sát mối liên hệ giữa các hệ số Einstein,
trong trạng thái cân bằng nhiệt. Nhưng trong Laser các trạng thái vật lý
thường gặp lại là trạng thái không cân bằng.
Một đặc trưng của trạng thái không cân bằng là khái niệm trạng thái
nghịch đảo mật độ cư trú. Trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú là khái niệm cơ
bản của điện tử lượng tử. Cũng như trong phần trước ta xét hệ có hai mức
năng lượng E m và E n ( E m > E n ). Như ta đã biết ở trạng thái cân bằng nhiệt
động không suy biến, mật độ cư trú của các hạt ở các mức là:

Nm =
Nn =

N

∑
N

∑

 E 
exp − m 
 kT 

(1.16)

 E 
exp − n 
 kT 

(1.17)

Nm
 E − En 
= exp − m

Nn
kT 


Vậy

Ta suy ra

T=

Em − En
N
k ln n
Nm

(1.18)

(1.19)

Vì E m > E n nên E m - E n > 0
Xét trong các trường hợp:
N

N

n
n
+ Nếu N > 1 thì ln N > 0 suy ra T > 0 . Đây là điều kiện bình thường,
m
m

có nghĩa là ở trạng thái cân bằng nhiệt động, mật độ hạt ở mức năng lượng
cao ít hơn mật độ hạt ở mức năng lượng thấp.
N

n
+ Nếu N = 1
m

N

⇒T = +∞

N

n
n
+ Nếu N < 1 thì ln N < 0 suy ra T < 0 . Trạng thái mà ở đó mức năng
m
m

lượng cao có mật độ hạt lớn hơn mật độ hạt ở mức năng lượng thấp.
Trạng thái có mật độ cư trú ở mức năng lượng cao lớn hơn mật độ cư
trú ở mức năng lượng thấp gọi là trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú. Trong


13

vật lý Laser cịn có các cách gọi khác như trạng thái nhiệt độ âm, trạng thái
nghịch đảo mật độ cư trú, trạng thái nghịch đảo độ tích lũy hoặc trạng thái
Laser là hồn tồn tương đương, hay nói cách khác có bản chất như nhau
N m > N n . Trong luận văn này tôi thống nhất một tên gọi đó là trạng thái nghịch

đảo mật độ cư trú.

Một môi trường gồm các nguyên tử hai mức năng lượng rất khó tạo ra
được trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú. Giả sử có tạo ra được trạng thái này
thì xác suất dịch chuyển từ mức cơ bản lên mức kích thích và ngược lại bằng
nhau, do đó trạng thái này không tồn tại được lâu, mà quay về trạng thái cân
bằng ban đầu. Như vậy để có được trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú, chúng
ta chỉ có thể tìm thấy trong các ngun tử có ít nhất ba mức năng lượng.
Trong sơ đồ các mức năng lượng đó ít nhất
Đặc trưng của trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú: trạng thái nghịch
đảo mật độ cư trú chỉ có thể nhận được đối với một số mức năng lượng nhất
định. Điều đó liên quan đến vấn đề: Muốn tạo nên trạng thái nghịch đảo mật
độ cư trú giữa hai mức năng lượng thì cần tốn một năng lượng nhất định, vậy
nếu số mức là vô hạn thì cần tốn một năng lượng vơ hạn. Như vậy khái niệm
trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú của môi trường (mẫu) và trạng thái nghịch
đảo mật độ cư trú là hồn tồn khác nhau. Ví dụ trong Laser Rubi, mẫu Rubi
có nhiệt độ trong khoảng nhiệt độ của Heli lỏng đến nhiệt độ của phịng.
Nhưng trong khi đó giữa các mức năng lượng vẫn có trạng thái nghịch đảo
mật độ cư trú.
1.3. Điều kiện tự kích của Laser
Một câu hỏi đặt ra là: Có thể đạt được sự bức xạ cảm ứng lớn hơn hấp
thụ cộng hưởng không? Có nghĩa là mơi trường có khả năng khuếch đại bức
xạ điện từ khi nó truyền qua mơi trường hay không?


14

N m VB mn ρν dt > N n VB nm ρν dt . Theo (1.10) ta có điều kiện để có

Nếu

Nm > Nn

khuếch đại bức xạ là:

(1.20)

Điều kiện (1.20) nói lên rằng giữa mức m và mức n thiết lập sự nghịch
đảo mật độ cư trú, hay các mức m và n được đặc trưng bởi trạng thái nghịch
đảo mật độ cư trú.
Một mơi trường trong đó tồn tại sự nghịch đảo mật độ cư trú gọi là môi
trường hoạt.
Trong phần trước ta xét trọng số thống kê bằng 1, nhưng nếu trọng số
g
g
thống kê của các mức m là ~m , và của mức n là ~n . Theo công thức (1.10) ta

~ B =~ B
g m mn g n nm

có:
thay B mn

(1.21)

~ A
g m mn 8πhν 3
từ (1.13) vào (1.21) ta được: ~ B = c 3
g
n

thay cho (1.19) ta có:

T=

(1.21’)

nm

Em − En
 N n / ~n 
g
k ln
 N /~ 

 m gm 

(1.22)

Vậy để khuếch đại được sóng điện từ ta cần phải có:
Nm Nn
~ > ~
gm
gn

(1.23)

- Trong phần trước ta chỉ mới nói tới mật độ phổ bức xạ ρ , trong thực
ν
tế ta còn gặp khái niệm cường độ bức xạ I( ν ) =

cρν

là số phôtôn trong khoảng
hν

tần số ν → ν + dν đi qua trong một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian,
còn

~
I = ∫ I(ν).dν

tiện ta gọi

~
I

và

là cường độ bức xạ toàn phần. Từ nay trở về sau để thuận

I(ν là
)

cường độ (nhưng cần lưu ý chỉ số ν ).

Giả sử sóng điện từ hầu như đơn sắc, với cường độ I lan truyền trong
môi trường dọc theo một hướng Z nào đó. Sự thay đổi cường độ của sóng
trong mơi trường được mơ tả bởi phương trình:
~
~
d I = G I dZ

(1.24)


15

với G gọi là hệ số khuếch đại lượng tử của môi trường hoạt, và cũng là đại
lượng cơ bản đặc trưng cho môi trường.
- Ta biểu diễn G qua tiết diện ngang của bức xạ cảm ứng là σmn (ν) ,
và qua tiết diện ngang hấp thụ công hưởng là σnm (ν)
Theo [1] sự liên hệ giữa xác suất dịch chuyển cảm ứng với tiết diện
ngang bức xạ có dạng:

dWmn = σmn (ν) I(ν).dν

(1.25)

Lấy tích phân theo mọi tần số ta được:
Wmn = ∫ σmn (ν) I(ν)dν

(1.25a)

Trong trường hợp bức xạ có phổ rất mảnh trong vùng tần số ν0 , thì
trong vùng đó σmn có thể xem là khơng đổi, có nghĩa là σmn (ν) = σmn (ν 0 ) và
đưa ra ngồi dấu tích phân ta được:
~
Wmn = σmn (ν0 ) ∫ I(ν)dν = σmn (ν0 ). I

(1.25b)

Hệ số khuếch đại lượng tử biểu diễn qua tiết diện bức xạ cảm ứng và

mật độ cư trú của mức theo công thức:
G( ν ) = σ

~


g
 N m − ~m N n 
mn (ν )

gn



(1.26)

g g
Khi khơng có suy biến ( ~m = ~n = 1) , công thức (1.26) có dạng
G ( ν ) = σ mn (ν )( N m − N n )

(1.26a)

Trong công thức (1.26) và (1.26a) các ký hiệu N m và N n là số hạt
trong
một đơn vị thể tích trên mức m và mức n tương ứng, thứ nguyên của chúng là
[N] = L-3, do vậy hệ số khuyếch đại có thứ nguyên là [G] = L-1.
Từ công thức (1.26) và (1.26a) nếu N m > N n (không suy biến) hay
~
g
N m > N n ~m (có suy biến) thì G (ν) > 0 , và theo công thức (1.24) thì mơi trường

gn

khuếch đại được sóng điện từ khi truyền qua nó.


16

Mặt khác, ta lại thấy rằng khi sóng lan truyền qua mơi trường thì cường
độ sẽ bị yếu đi do bị mất mát. Sự biến đổi cường độ đó được biểu diễn qua:
~
~
d I = −G h I .dZ

(1.24a)

với G h là hệ số tiêu hao.
Do vậy ta có sự thay đổi của cường độ sóng khi đi qua mơi trường:
~
~
d I = (G − G h ) I .dZ

Tích phân (1.27) ta được: I = I 0 exp[ ( G − G h ) Z]

(1.27)
(1.28)

Từ (1.28) ta thấy rằng, để khuếch đại được sóng điện từ thì G khơng
những dương mà còn phải lớn hơn G h .
Cũng từ (1.28) ta thấy rằng, để tăng I thì phải tăng G hoặc tăng Z, việc
tăng G của một chất là rất khó, bởi vậy trong thực tế để khuếch đại cường độ I

người ta tăng Z. Z sẽ được tăng khi kích thước mơi trường hoạt tăng, nhưng
một Laser phải có một kích thước nhất định, nghĩa là Z khơng thể tăng một
cách tùy ý. Trong thức tế người ta tăng Z bằng cách cho ánh sáng đi lại nhiều
lần trong môi trường. Phương pháp này gọi là phương pháp phản hồi dương
(hộp cộng hưởng).
Giả sử có sóng điện từ I lan truyền dọc theo trục Z và phản xạ ngược trở
lại từ hai gương 1 và 2. Gọi I10 là cường độ ánh sáng tại gương 1, I 2 là
cường độ ánh sáng khi đến gương 2, Z là khoảng cách giữa hai gương, vậy
theo công thức (1.28) ta có:

I 2 = I10 exp[ ( G − G h ) Z]

(1.29)

Gọi r1 , r2 là hệ số phản xạ của gương 1 và 2, thì ta có cường độ ánh
sáng sau khi phản xạ lần thứ nhất qua gương 2 là

I 20 = I 2 .r2 = r2 I10 exp[ ( G − G h ) Z]
Gọi I1 là cường độ ánh sáng phản xạ từ gương 2 khi đến gương 1
ta có:

I1 = I 20 exp[ ( G − G h ) Z]

hay

I1 = r2 I10 exp[ 2( G − G h ) Z]

(1.29.a)

17

Như vậy ta đã khảo sát trong một chu kỳ của cường độ sáng khi đi từ
gương 1 đến gương 2, sau đó lại phản xạ từ gương 2 về gương 1.

I10
I1

Z

I2

I 20

2
1
Hình 1.1- Biểu diễn quá trình phản xạ ánh sáng giữa hai gương

Ta khảo sát tiếp vòng thứ hai, gọi I’ 10 là cường độ sóng phản xạ từ
gương 1 (lần thứ hai)
ta có:

I'10 = I1 .r1 = r1r2 I10 exp[ 2( G − G h ) Z]

(1.30)

Rõ ràng quá trình sẽ lặp lại giống như trên nếu thỏa mãn điều kiện:
I’10 = I10
Khi đó theo (1.30) ta có:

r1r2 exp[ 2( G − G h ) Z] = 1

(1.31)

Từ (1.3) biến đổi ta được:
exp[ 2( G − G h ) Z] =

1
r1r2

⇔

exp[ 2( G − G h ) Z] =

⇒

G = Gh +

1
r1r2

1
1
ln
2 Z r1r2

(1.32)

Công thức (1.32) được gọi là điều kiện tự kích của Laser.
1.4. Dạng và bề rộng của vạch phổ

Trong những phần trước ta coi mức năng lượng là vơ cùng mảnh. Trong
khi đó, thực tế mức năng lượng lại có một bề rộng nhất định, hay nói cách
khác nó tồn tại một sự phân bố nào đó của cường độ bức xạ (hấp thụ) theo tần
số. Có nghĩa là đường bức xạ (hấp thụ) có dạng nhất định. Dạng của vạch phổ
được đặc trưng bởi hàm

g (ω
)

thỏa mãn:

+
∞

)
=
∫g (ωdω 1

−
∞


18

Đặc trưng của vạch phổ là bề rộng của vạch phổ, bề rộng vạch phổ là
khoảng tần số ∆ω (Hình 1.2) giữa các điểm sao cho tại đó cường độ bức xạ
(hấp thụ) giảm đi hai lần so với giá trị cực đại.
I()
I0

I0
2
0

∆ω
ω0

ω

ω

Hình 1.2 - Biểu diễn bề rộng vạch
phổ
Việc vạch phổ có bề rộng nhất định có thể giải thích do các nguyên
nhân khác nhau. Ở đây ta xét nguyên nhân: Thời gian sống trên mức năng
lượng là hữu hạn. Ví dụ thời gian sống trên mức năng lượng là ∆t , vậy theo
nguyên lý bất định:

∆E.∆t =  ⇒ ∆E =


∆t

là hữu hạn, có nghĩa mức năng

lượng bị giãn ra. Bề rộng vạch phổ giãn ra do thời gian sống hữu hạn trên
mức năng lượng gọi là bề rộng tự nhiên của vạch phổ.
Bằng thực nghiệm, các vạch phổ quan sát được có thể là tổ hợp của một
số vạch phổ. Trong trường hợp đó, ta có sự mở rộng không đồng nhất (lưu ý
mở rộng tự nhiên là mở rộng đồng nhất). Một ví dụ về mở rộng không đồng

nhất là mở rộng Doppler. Sự mở rộng này thường thấy được trong mơi trường
khí. Vì các hạt tạo thành mơi trường khí ở trong trạng thái chuyển động nhiệt
hỗn loạn. Sự bức xạ của hạt chuyển động theo phương nhìn của người quan
sát với vận tốc v. Vì có hiệu ứng Doppler, sự dịch chuyển của tần số đi một
lượng

ω0

v
c

, ở đây ω là tần số bức xạ của hạt đứng yên. Vì sự mở rộng tự
0


19

nhiên, bức xạ của một hạt thực chất là vạch phổ với bề rộng tự nhiên và dịch
ω0

theo tần số đi một lượng

v
c

, vì trong mơi trường khí, các hạt có vận tốc

khác nhau và sự sai lệch của mỗi hạt theo tần số sẽ khác nhau, còn dạng của
đường bức xạ của mơi trường khí được coi như là một hàm của sự phân bố
của các hạt bức xạ theo vận tốc f(v), và khi đó dạng vạch phổ có dạng:

g (ω dω = f ( v)dv
)

(1.33)

Tần số bức xạ của hạt chuyển động với vận tốc v theo hướng mắt của
người quan sát là:

ω = ω0 +

v
ω0 .
c

Từ đây ta có thể biểu diễn các đại lượng v và

ω − ω0

dv qua ω và ω ta có v = c ω
0
0

và

dv = c

dω
ω0 .

 ω − ω0  dω

c
g (ω)dω = f  c

ω0  ω0



được:

Thay v , dv vào (1.33) ta

(1.34)

Nếu sự phân bố của hạt theo vận tốc trong mơi trường khí là phân bố
Maxwell thì:
  v
1
f ( v)dv =
exp − 

π
  v0


Vậy:

2
  dv
 
 v .

  0


Ở đây v 0 =

 ω − ω0
1
g (ω)dω =
exp −

ω0
π


Ở đây ∆ωD = ω0

2kT
m

2

 dω

 ∆ω

D

(1.35)

v0

c

Đường mà dạng của nó được xác định theo biểu thức (1.35) gọi là
đường mở rộng Doppler. Dạng của đường đối xứng với tần số ω = ω0 . Bề
ω
rộng của nó được xác định bởi thơng số ∆ D . Khi ω − ω0 = ∆ωD thì cường độ

của vạch giảm đi e lần so với giá trị cực đại.
Nếu gọi nửa bề rộng vạch phổ của đường Doppler là ∆ωd , thì theo [1], ta có :
∆ωd
= ln 2∆ D
2

(1.36)


20

Sự mở rộng vạch phổ được chia thành các loại sau:
- Sự mở rộng tự nhiên: Sự mở rộng vạch phổ do thời gian sống của các
nguyên tử trên mức kích thích là hữu hạn.
- Sự mở rộng Doppler: Sự mở rộng vạch phổ do chính nguyên tử khi
bức xạ chuyển động.
- Sự mở rộng Lorentz: Sự mở rộng vạch phổ do sự va chạm giữa các
nguyên tử bức xạ.
- Sự mở rộng do hiệu ứng Stark: Sự mở rộng vạch phổ do ảnh hưởng
của điện trường của các hạt xung quanh lên hạt bức xạ.
- Sự mở rộng do hiệu ứng Zeeman: Sự mở rộng vạch phổ do ảnh hưởng
của từ trường lên hạt bức xạ.

CHƯƠNG 2
KHẢO SÁT ĐIỀU KIỆN NGHỊCH ĐẢO MẬT ĐỘ CƯ TRÚ TRONG
MỘT SỐ LOẠI LASER
2.1. Một số phương pháp tạo trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú
2.1.1. Tạo trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú bằng phương pháp bơm
( Phương pháp dùng bức xạ bổ trợ)
Khái niệm trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú là khái niệm cơ bản
trong vật lý Laser, và muốn khuếch đại được sóng điện từ khi truyền qua mơi
trường thì phải tạo được trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú. Trong thực tế có


21

nhiều phương pháp, trong đó phương pháp bơm tức dùng bức xạ bổ trợ là
phương pháp phổ biến nhất [1].
Ta biết rằng dựa vào bước sóng dài ngắn khác nhau, người ta chia sóng
điện từ thành các loại sau
Loại sóng

Bước sóng (m)

Tần số (Hz)

3.104

104

Tia Rơn-ghen

÷ 10-4

10-3 ÷ 7,6.10-7
7,6.10-7 ÷ 3,8.10-7
3,8.10-7 ÷ 10-9
10-8 ÷ .10-11

Tia gamma

Nhỏ hơn 10-12

Lớn hơn 3.1019

Sóng vơ tuyến điện
Tia hồng ngoại
Ánh sáng nhìn thấy
Tia tử ngoại

÷ 3.1012
3.1011 ÷ 4.1014
4.1014 ÷ 8.1014
8.1014 ÷ 3.1017
3.1016 ÷ 3.1019

Mặt khác ngoài các tia Rơn-ghen, tia gamma, người ta chia thang sóng
điện từ cịn lại ra làm 2 vùng:
- Vùng sóng vơ tuyến: có bước sóng từ 10-3m trở lên.
- Vùng quang: có bước sóng từ 10-9m

÷ 10-3m

Sau đây ta sẽ xét phương pháp để thu được trạng thái nghịch đảo mật độ

cư trú trong 2 vùng đó.
2.1.1.1. Tạo trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú vùng sóng vơ tuyến
Ta xét hệ 3 mức năng lượng
Trên hình 2.1 biểu diễn 3 mức năng lượng 1, 2, 3 tương ứng với các giá

E
trị năng lượng E1, E2, E3 E3 1 < E2 < E3).
(E
T< 0

E
E3

T< 0

E2
E2
E1

E1
0

N

0N 0
2
3

a

0
N1

N

0

N

0
3

b

0
N 0 N1
2

Hình 2.1 – Biểu diễn sự phân bố mật độ hạt trên các mức trong
trường hợp cân bằng và không cân bằng nhiệt

N


22

Bức xạ bổ trợ tác dụng giữa mức 1 và mức 3 tạo nên các chuyển mức
bổ trợ. Trong trạng thái cân bằng nhiệt (T > 0), mật độ hạt trên các mức thỏa
mãn phân bố Boltzman (đường liền nét trên hình 2.1), từ đó ta thấy mật độ hạt
trên mức 1 là lớn nhất còn mật độ hạt trên mức 3 là bé nhất. Đường nét đứt

trên hình 2.1 biểu diễn sự phân bố của các hạt trên các mức khi T < 0. Nếu
o
j

o
gọi N i là mật độ hạt trên mức i và N là mật độ hạt trên mức j ở trạng thái

cân bằng nhiệt động với nhiệt độ T.
 E − Ej 
N io

= exp − i

N oj
kT 



Khi đó ta có:

Theo [1] thì trong vùng sóng vơ tuyến

(2.1)

Ei − E j
<< 1 . Chỉ khi nhiệt độ rất
kT

thấp và tần số đủ cao, thì biểu thức trên gần đến 1. Thật vậy, ví dụ khi nhiệt
độ đủ thấp, T = 4,2 0 K , ta thử xem đối với những tần số nào sẽ thỏa mãn

Ei − E j
kT
ν=

= 1 . Ta dễ dàng nhận thấy rằng, đẳng thức đó thỏa mãn với các tần số:

Ei − E j
η

=

kT
= 8,8.1010 Hz (λ = 3,3mm)


Từ điều kiện
hν
kT

e ≈1+

Ei − E j
kT

nghĩa là đối với tần số cao.

<< 1 , ta phân tích hàm exp (−

Ei − E j
kT

) thành chuổi (

hν
) và giữ lại số hạng đầu tiên, sẽ nhận được:
kT

N0
E − E1
3
= 1− 3
0
N1
kT

(2.2)

N0
E − E1
2
=1− 2
0
N1
kT

(2.3)


23

Bây giờ ta xem xét ở điều kiện nào thì xuất hiện trạng thái nghịch đảo
mật độ cư trú giữa các mức 3 – 2 hay 2 – 1.
Giả sử trong hệ 3 mức, có sự tác dụng của bức xạ bổ trợ với tần số đúng
bằng khoảng tần số giữa mức 1 và mức 3.
Để đơn giản ta coi:
- Ở biên độ của tín hiệu đủ lớn thì mật độ hạt trên mức 1 và mức 3 là
như nhau.
- Mật độ hạt ở mức 2 ở thời điểm đó chưa thay đổi.
Nếu N1, N2, N3 là mật độ hạt của các mức khi có tín hiệu bơm, thì điều
ta giả thiết ở trên có nghĩa là:
0
0
N10 − N 3 N10  N 3 
N1 = N 3 =
= 1 + 0 
2
2  N1 



từ (2.2) ta có:

 E − E1 
N1 = N 3 = N10 1 − 3

2kT 


(2.4)

Còn N2 vẫn giữ nguyên như cũ và được xác định bởi công thức (2.3).
Nếu ta cần tạo nên trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú giữa các mức 3
và 2 thì nhất thiết phải có: N3 > N2.
Từ (2.4) và (2.3) ta có:
hay:

1−

E 3 − E1
E − E1
>1− 2
2kT
kT

E 2 − E1 >

E 3 − E1
2

(2.5)

Vậy rõ ràng để thiết lập trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú giữa mức 3
và mức 2 thì cần có mức 2 nằm gần mức 3 hơn mức 1(Hình 2.1a).
Tương tự nếu ta muốn tạo ra trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú giữa
mức 2 và mức 1, thì mức 2 phải nằm gần mức 1 hơn mức 3(Hình 2.1b). Thật
vậy từ (2.3) và (2.4) để có N2 > N1, phải có:
E 2 − E1 <

E 3 − E1
2

(2.6)


24

Trong các tính tốn trên đây, ta đã bỏ qua các chuyển mức “không
quang học” hay ‘không bức xạ’ như thăng giáng Spin–mạng, bức xạ nhiệt.v.v.
Trong thực tế thì các chuyển mức “khơng quang học”có ảnh hưởng lớn đến
cơ chế trên đây. Tiếp theo ta sẽ khảo sát thực tế này.
Giả sử ký hiệu ω - xác suất của các chuyển mức “không quang học”
kq
ij

từ mức i sang mức j.
3

kq
ω13

W13

ω kq
23

W23

kq
ω12

2

kq
ω 32 W32

1

kq
ω 31 W31

ω kq
21

Hình 2.2- Sơ đồ biểu diễn các mức năng lượng
Từ hình 2.2 ta có hệ phương trình, nói lên sự thay đổi hạt trên các mức:
và các chuyển mức

 dN 3
kq
kq
kq
 dt = − N 3 ( ω 32 + ω 31 ) − N 3 (W31 + W32 ) + N 2 (ω 23 + W23 )

kq
+ N1 (ω 13 + W13 )


 dN 2
kq
kq

kq
kq
 dt = − N 2 ( ω 23 + ω 21 ) − N 2 W23 + N1ω 12 + N 3ω 32 + N 3 W32

 dN1 = − N ( ω kq + ω kq ) − N W + N ω kq + N ω kq + N W
1
12
13
1 13
3 31
2 21
3 31
 dt


(2.7)

Trong các phương trình (2.7) với W 31 và W13 là các xác suất chuyển
mức của hạt từ mức 3 về mức 1 và ngược lại dưới tác động của bức xạ bổ trợ
nên W31 = W13. Mặt khác như ta đã biết các hệ số Einstein đối với các chuyển
mức đó là như nhau. Tương tự ta có W23 = W32. Ngồi ra ta cịn lưu ý, ví dụ


25

 dN 3 

 dt 

như phương trình thứ nhất cho ta sự thay đổi mật độ trên mức 3 là 

được xác định bởi hai quá trình:

- Quá trình làm tăng mật độ hạt trên mức 3 (các hạt chuyển từ mức khác
đến mức 3) được xác định bởi các thành phần mang dấu (+).
- Quá trình giảm mật độ hạt trên mức 3 (các hạt chuyển từ mức 3 đến
các mức khác) được xác định bởi các thành phần mang dấu (-).
Ta giải các phương trình (2.7) ở điều kiện dừng, tức là:
dN 1 dN 2 dN 3
=
=
= 0 , và xác định N1, N2 và N3.
dt
dt
dt

Như ta đã biết: N1+ N2 + N3 = N = const

(2.8)

Xét phương trình 3 của (2.7) ta có :
kq
kq
kq
− N1 ( ω 12 + ω 13 + W13 ) + N 2ω kq + N 3 ( ω 31 + W13 ) = 0
21

(2.9)

Rút N3 từ (2.8) thay vào (2.9) ta có
kq

kq
kq
− N1 ( ω 12 + ω 13 + ω 31 + 2W13 )

kq
kq
kq
+ N 2 ( ω 21 − ω 31 − W13 ) + N( ω 31 + W13 ) = 0

(2.10)

Nếu như xác suất W13 lớn hơn rất nhiều so với xác suất ω (có nghĩa là
kq
ij

kq
W13 >> ωij )

thì phương trình (2.10) có dạng:
− 2 N1 W13 − N 2 W13 + NW13 = 0

Sau khi chia phương trình này cho W13, ta sẽ được:
2N1 + N2 = N

(2.11)

Kết hợp (2.11) và (2.8) ta có: -N1 + N3 = 0
Hay là:

N1 = N3

(2.12)

kq
Đẳng thức (2.12) ta thu được khi coi W13 >> ωij , hay nói cách khác là

bơm phải đủ lớn để có thể khơng tính đến các q trình liên quan đến việc các
trạng thái cân bằng nhiệt động ở trong hệ.
Từ (2.11) ta rút N2 rồi thay vào (2.10) ta tìm được N1 có dạng: