Sử dụng công cụ toán học thiết lập phương trình cho bài toán vật lý

Sử dụng công cụ toán học thiết lập phương trình cho bài toán vật lý

LỜi NÓI ĐẦu
Toán học là một nghành khoa học không những phục vụ cho sự phát
triển của chính nó mà đặc biệt đã trở thành công cụ cho việcphát triển các
nghành khoa học khác, trong đó có vật lý . Cho nên cũng có sự khác nhau
trong viêc dạy và học đối với những người chuyên nghiên cứu toán và những
người sử dụng toán như một công cụ để nghiên cứu các vấn đề khoa học .
Trong phương pháp toán cho vật lý có sự giao thoa giữa toán và lý , do đó nó
đã và đang được giảng dạy rộng rãi trong các trường đại học nhằm trang bị cho
người học những kiến thức toán và kỹ năng sử dụng toán như một công cụ để
nghiên cứu vật lý.
Trên tinh thần đó cũng như xuất phát từ thực tế bản thân và
thăm dò ý kiến của sinh viên nghành vật lý. Tôi nhận thấy rằng , nếu chúng ta
không nắm vững các kiến thức toán học và sử dụng thành thao nó thì sẽ gặp rất
nhiều khó khăn trong nghiên cứu vật lý .
Trong khuôn khổ khóa luận này tôi muốn trình bày về vấn đề” Sử dụng
công cụ toán học để thiết lập phương trình cho bài toán vật lý “. Tôi hy vọng
rằng nó sẽ góp phần hỗ trợ cho sinh viên nghành vật lý khi tìm phương trình
mô tả quy luật của bài toán vật lý.
Với những kiến thức về phương pháp toán lý ,giải tích…. Cùng với việc
tìm tòi thu thập tài liệu , tôi đã hoan thành khóa luận này với các nội dung sau :
Phần I : Những kiến thức toán học.
Phần II : Sử dụng công cụ toán học để thiết lập phương trình
cho bài toán vật lý.
Chương I : phương trình chuyển động của chất điểm.
Chương II : Phương trình truyền sóng
Chương III : Phương trình truyền nhiệt.

Lê Hữu Hiếu

1


Sử dụng công cụ toán học thiết lập phương trình cho bài toán vật lý

Đây là giai đoạn đầu của người mới tập sự làm nghiên cứu khoa học với
kiến thức còn nhiều hạn chế vốn kinh nghiệm còn ít và quỹ thời gian có hạn ….
Nên khóa luận chắc chắn sẽ có nhiều thiếu sót, rất mong đựoc sự quan tâm
đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và của các bạn sinh viên để khóa luận
dược hoàn chỉnh hơn .
Cuối cùng tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Tất Thư đã
giúp đỡ tôi rất nhiều về kiến thức , phương pháp , và tài liệu nghiên cứu . Xin
chân thành cảm ơn các thây cô giáo trong khoa vật lý và bạn bè đã giúp đỡ tôi
hoàn thành khóa luận này.
Vinh , tháng 5 năm 2005
Tác giả.

Lê Hữu Hiếu

2


S dng cụng c toỏn hc thit lp phng trỡnh cho bi toỏn vt lý

PhN I : những kiến thức toán học
A.chơng trình vi phân thờng
I.

phơng trình vi phân dạng nhất một biến số

I.1 định nghĩa :
Phơng trình vi phân hạng nhất là phơng trình có dạng :F ( x , y ,y ) = 0

1.2 Định lý :
Nếu trong phơng trình y = f(x , y) mà f(x , y)và đạo hàm riêng

f
f

liên tục trong một miền D nào đó của mặt phẳng xoy chứa điểm (x0 , y0) nào đó
thì phơng trình trên có mt nghiệm duy nhất y = (x) thoả mãn điều kiện : x =
x0 thì y = y0.
1.3.phơng trình với biến số phân ly :
Xét phơng trình vi phân dạng :
dy
= f1 (x) . f2(x)
dx

(1.1)

Ta biến đổi (1.1) nh sau ( giả sử f2(y) # 0)
1
1
dy = f 1 ( x)dx
dy = f 1 ( x)dx + c
f 2 ( y)
f 2 ( y)

1.4.phơng trình vi phân đng cấp hạng nhất :
1.4.1. Định nghĩa : phơng trình vi phân đng cấp hạng nhất là phơng trình có

dạng :
dy
+ P ( x). y = Q( x)
dx

(1.2)

trong đó : P(x) và Q(x)là những hàm số liên tục của x (hoặc là hằng số ).

Lờ Hu Hiu

3


S dng cụng c toỏn hc thit lp phng trỡnh cho bi toỏn vt lý

1.4.2. Cách giải :
Ta tìm nghiệm của (1.2) dới dạng tích của hai hàm số của x:
y = u(x) . v(x)

(1.3)

một trong hai hàm số này có thể lấy tuỳ ý , hàm số kia sẽ đợc xác định dựa trên
phơng trình (1.2)
lấy vi phân của hai vế (1.3) ta có :
dy
du
du
=u
+v

dx
dx
dx
u

thay biểu thức vào(1.2) ta đợc :

du
du
+v
+ Puv = Q
dx
dx


hay u

du
du

+ Pv + v
=Q
dx
dx


ta chọn hàm số v sao cho

(1.4)
dy

+ P.v = 0
dx

(1.5)

phân ly biến số này trong phờng trình vi phân ta đợc :
dy
= Pdx
v

Lấy tích phân : - ln c1 + ln v = Pdx hay v = c1 e-pdx
Vì ta chỉ cần một nghiệm nào đó , khác không của (1.5) nên ta lấy :
v(x) = e-pdx
Thay v(x) vào (1.4) ta đợc :
v(x)

dy
= Q(x)
dx

hay du =

Q( x)
dx . Do đó u =
v( x)

Q( x)

v( x) dx + C

thay vào (1.3) , cuối cùng ta đợc :

Lờ Hu Hiu

Q( x)

dx + C
v( x)


y = v(x) .

4


S dng cụng c toỏn hc thit lp phng trỡnh cho bi toỏn vt lý

I.

phơng trình vi phân hạng hai

2.1. phơng trình tuyến tính cp hai đng cấp với hệ số là hằng số :
Dạng tổng quát : y +py + qy = 0

(1.7)

(trong đó p,q là những hằn số thực )
Theo định lý cơ bản để tìm nghiệm tổng quát của (1.7) ta cần tìm hai nghiệm
riêng độc lập tuyến tính của (1.7)
ta sẽ tìm các nghiệm đó dới dạng:

y = ek

(1.8)

(trong đó k = const)
khi đó y = kekx , y = k2ekx

(1.9)

Thay (1.8) và (1.9) vào (1.7) ta đợc :
ekx (k2 + pk +q) = 0 , vì

ekx # 0 mọi x k2 + pk +q = 0

(1.10)

(1.10) gọi là phơng trình đặc trng của (1.7) có hai nghiệm là:
k1,2 = (- p p 2 4 p )/2
có thể xảy ra 3 trờng hợp :
a)
b)

k1 , k2thc và k1 # k2 khi đó y1 = eklx , y2 = eklx là hai nghiệm riêng độc lập
tuyến tính của (1.7) nghiờm tng quỏt ca (1.7) sẽ là y = c1 eklx + c2 ek2x
k1 , k2 là phức liên hợp: k1= + i , k2 = - i khi đó :
y1 = e(+i)x , y2 = e(-i)x nghiệm tổng quát y = c1 e(+i)x + c2 e(-i)x
hay : y = ex ( c1 cos x + c2 sin x )

c)

k1 , k2 thực và k1 = k2 = -p/2 khi đó ta đợc một nghiệm riêng y1 = eklx và có
y2 = x eklx độc lập tuyến tính với y1 = eklx nghiệm tổng quát của (1.7) là :
y = c1 + c2x) eklx .

2.2. phơng trình vi phân tuyến tính cấp hai không đẳng cấp với hệ số là
hằng số :

Lờ Hu Hiu

5


S dng cụng c toỏn hc thit lp phng trỡnh cho bi toỏn vt lý

Dạng tổng quát : y + py + qy = f(x)

(1.11)

trong đó p,q là hằng số thực , f(x)là hàm số liên tục trong(a,b)
định lý1:
Nghim tổng quát của phơng trình không đẳng cấp có thể viết dới dạng tổng
quát của một nghiệm riêng y nào đó của (1.11) với nghiệm tổng quát y của
y" + p y ' + q y
phơng trình đẳng cấp tơng ứng:
Phơng trình đẳng cấp tơng ứng của (1.11) có nghiệm tổng quát dạng :
y* = c1 y1 + c2 y 2
Ta cần tìm nghiệm của riêng của (1.11) dới dạng ỹ = c1 (x) y1 + c2 (x) y2
trong đó c1(x) , c2 (x)đợc xác định:

c1 (x) y1 + c2 (x) y2 = 0
c1 (x) y1 + c2 (x) y2 = (x)

(1.12)

Giải (1.12) ta đợc c1 (x) = 1(x) , c2 (x) = 2 (x)
suy ra :

c1 (x) = 1 (x) dx ,
c2 (x) = 2 (x) dx

và tìm đợc nghiệm : ỹ = y11(x) dx +y2 1(x) dx

nghiệm tổng quát của

(1.11) có dạng : y = y* + ỹ = c1y + c2y + y11(x) dx +y2 1(x) dx phơng pháp
này là phơng pháp biến thiên hng số .
+ Trong một số trờng hợp đặc biệt của vế phải ta có thể không dùng phơng pháp
biến thiên hằng số để giải phơng trình đó.
Trờng hợp 1 : Vế phải của (1.11) : f(x) =Pn (x) ex , trong đó Pn (x) là đa thức bậc n
đối với x,là số thực tuỳ ý . khi đó (1.11) có dạng :

Lờ Hu Hiu

6


S dng cụng c toỏn hc thit lp phng trỡnh cho bi toỏn vt lý

y + py + qy = Pn (x) ex

(1.13)

Ta tìm nghiệm riêng của (1.13) dới dạng sau :
y = Qn (x) ex

(1.14)

trong đó Qn (x) là đa thức cùng bậc với Pn (x) .
thay (1.14) vào (1.13) ta đợc :
Q '' n (x) +(2 + p ) .Q n (x) + (2 + p +q) Qn (x) = Pn (x)

(1.15)

Từ đó ta thấy rằng , để (1.14) là nghiệm của (1.13) thì Qn (x) phải là nghiệm
đúng của (1.15).
Từ (1.13) ta có phơng trình đặc trng :

k2 +pk + q = 0

(1.16)

Giả sử k1, k2 là nghiệm của (1.16) khi đó có 3 khả năng sau có thể sảy ra .
*) nếu không trùng với nghiệm của (1.16) tức là k1 , k2 , do đó hàm
số Qn (x) ở vế trá của (1.14) khác không nên bậc đa thức ở vế trái của (1.15)
cùng bậc với đa thức Pn (x) ở vế phải . Do vậy ta tìm đợc nghiệm riêng của
(1.13) có dạng :
y = Qn (x) ex ( trong đó Qn (x) cùng bậc với Pn (x) )
dùng phơng pháp hệ thức bất định sẽ xác định đợc Qn (x) tức là tìm đợc y .
**) trùng với nghiệm đơn của phơng trình (1.16) : =k1 k2 .

trong trờng hợp này ta có hệ số của Qn (x) ở vế trái của (1.14) bằng không nên
bậc đa thức ở vế trái n-1 .Để vế trái có bậc của đa thức bằng bậc của đa thức ở
vế phải ta tìm nghiệm riêng của (1.11) dới dạng : ỹ = xQn(x) ex
trong đó : Qn (x) cùng bậc với Pn (x) , và dùng phơng pháp hệ số bất định để xác định
Qn (x) giống nh ta làm ở trên .

Lờ Hu Hiu

7


S dng cụng c toỏn hc thit lp phng trỡnh cho bi toỏn vt lý

***) trùng với nghiệm kép của phơng trình đặc trng tức là :
= k1 = k2 = -p/2
khi đó hệ số của Qn (x) và Q ' n (x) ở vế trái của (1.15) bằng không nên bậc của đa thức
ở vế trái bằng n-2.Do đó ta tìm nghiệm riêng của (1.13) dới dạng
y =x2 Qn(x) ex và sau đó cũng làm theo cách ở *).
Trờng hợp 2 :

f(x) = P1(x) ex cos x + P2(x) ex sin x.

Trong đó P1(x), P2(x) là đa thức của x: ,là các số thực , 0 ( vì nếu = 0 thì quay
trở về trờng hợp 1) . khi đó phơng trình (1.11) có dạng
y + py + qy = P1(x) ex cos x + P2(x) ex sin x

(1.17)

ta chứng minh đợc :
*) Nếu + i k 1 , + i k 2 thì nghiệm riêng của (1.17) có thể tìm dới dạng ỹ =

Q1(x) ex cos x + Q2(x) ex sin x
**) Nếu + i k 1 thì nghiệm riêng của (1.17) dới dạng
ỹ = x [ Q1(x) ex cos x + Q2(x) ex sin x ]
cả hai trờng hợp Q1(x) , Q2(x) là các đa thức bằng bậc cao nhất của các đa thức P1(x) ,
P2(x) sau đó trùng phơng pháp hệ số bất định để xác định số .

Lờ Hu Hiu

8


S dng cụng c toỏn hc thit lp phng trỡnh cho bi toỏn vt lý

III.
I.2

Phơng trình đạo hàm riêng

. Một số ví dụ :
a)

Phơng trình hàm dây đàn hồi giao động ( phơng trình sóng một chiều )

2u 1 2u
=
;
x 2 a t 2

a=

T
: vận tốc truyền sóng


T : lực căng dây ; : mật độ dài
b).

Phơng trình khuếch tán : u

1 u
=0
K t

Nếu u là nhiệt độ thì

k =

K
Đ ộ dẫn nhiệt
=
c.
(tỉ nhiệt) x (mật Đ ộ)

1 2u
c.phơng trình sóng ba chiều: u 2 . 2 = 0
a t

d.phơng trình Sichrodinger: -

2.2.

tr 2

+ V( x ) = i
2m
t

phơng trình tách biến giải một số phơng trình đạo hàm riêng

Ta dùng phơng pháp tách biến để khử bớt một hoặc một số hạng riêng để thu đợc một
phơng trình với ít biến hơn.
a)

Xét hai bài toán sáu:

Sợi dây đàn hồi dao động

Lờ Hu Hiu

9


S dng cụng c toỏn hc thit lp phng trỡnh cho bi toỏn vt lý

Phơng trình:

2u 1 2
= .
x 2 a t 2

(1.18)

Đặt u(x,t) = X(x) . T(t) . Lấy đạo hàm hai lần và thay vào (1.18) ta đợc :

XT =

1
X ''
T ''
.
=
XT
hay
a2
X
a2T

Và vế trái chỉ phụ thuộc x, vế phải chỉ phụ thuộc t nên để hai vế bằng nhau thì chúng
phải một hằng số, chng hạn - .

Tức là ta có :

Hay:

X ''
T ''
= 2 =-
X
a T

x + x = 0

(1.19)

T + a2T = 0

(1.20)

Nh vậy , ta có hai phơng tình vi phân với biến số ít hơn, dễ giải hơn .tìm đợc X,T thì
ta sẽ tìm đợc u.
b.

Phơng trình khuếch tán trong mặt phẳng

Tìm sự phân bố nhiệt độ trong một tấm nào đó .

Phơng trình :

2u 2u
u
= a 2 2 + 2
t
y
x

(1.21)

Trớc hết ta tìm u(x,y,t) dạng : u(x,y,t) = V(x,y) . T(t)

Lờ Hu Hiu

10


S dng cụng c toỏn hc thit lp phng trỡnh cho bi toỏn vt lý

2V 2V
T'
V
+
V
=
thế vào (4) ta đợc : 2 =
với
x 2 y 2
V
a T

Đẳng thức xẩy ra khi :

T'
V
=
= - . Hay ta có : V + V = 0 (1.22)
2
V
a T

T + aT = 0 (1.23)
sau đó ta tìm V dạng : V(x,y) = X(x) . Y(y)

thay vào (1.22) ta đợc :

X '' Y ''
+
+ = 0
X
Y

số hạng đầu chỉ phụ thuộc x, số hạng thứ hai chi phụ thuộc y. Vậy đẳng thức trên chỉ
xảy ra khi cả hai số hạng đó đều là hằng số .Vậy , x, y, phải tha mãn phơng trình :
X + x =0
Y + y = 0
Trong đó : + =
Nh vậy, để tìm u(x,y.t) , bây giờ ta tìm T, X , Y.

B .Một số khái niệm và định lý về chuổi hàm , chuỗi Fourier

I.

chuỗi hàm

1. một số khái niệm

Lờ Hu Hiu

11


S dng cụng c toỏn hc thit lp phng trỡnh cho bi toỏn vt lý

u1 (x) + u2 (x) + . Un (x) + .. uk (x )
k =1

chuổi hàm đó đợc gọi là hội tụ tại điễm x0 nếu chuổi

(1.23)


u (x
k =1

k

0

)

Điểm x0 gọi là điểm hội tụ của chuổi hàm (1.23) tập tất cả các điểm hội tụ của
chuổi hàm gọi là miền hội tụ của nó . Giả sử Sn (x) là tổng của n số hạng đầu
tiên của chuổi hàm (1.22) .Ngời ta gọi nó là tổng riêng thứ n của chuổi hàm
(1.23) , gọi U(x) là tổng của chuổi hàm (1.23) trong miền hội tụ của nó .Điều
đó có nghĩa là với mọi > 0 cho trớc , bé tuỳ ý , ta có thể tìm đợc một số N sao
cho khi n>N ta có u(x) sn(x) < số N nói chung phụ thuộc vào x .
Nếu > 0 cho trớc , có thể tìm đợc một số N không phụ thuộc vào x sao
cho n>N ta có u(x) sn(x) < x một khoảng nào đó , ta nói rằng chuổi
hàm (1.22) hội tụ đề trong khoảng ấy .
Tiêu chuẩn hội tụ của chuổi hàm

Nếu x [a,b] ta có uk (x) ak, trong đó ak là những số dơng và nếu chuỗi
số



a
k =1

k

.Hội tụ thì chuổi hàm (1.23) thì hội tụ đều trong [a,b]

Ngời ta chứng minh rằng :
+ Mọi chuỗi luỹ thừa a0 +a1(x) + a2 x2 + an xn hi tụ đều trong miền hội tụ
của nó.
+ Nếu hàm (x) liên tục và có đạo hàm liên tục từng khúc trong khoảng
[,- ], có các giá trị tại hai mút bằng nhau () = (-) thì chuổi Fourier của
nó là:
a0
+ ( a n cos nx + bn sin nx )
2 n =1



1
,trong đó an = ( x ) sin nxdx


hội tụ đều tới f(x) trong đoạn [,- ].

Lờ Hu Hiu

12


S dng cụng c toỏn hc thit lp phng trỡnh cho bi toỏn vt lý

Các chuỗi hàm hội tụ có các tính chất sau :
Nếu các hàm uk (x) liên tục , chuỗi hàm

a)



u (x )
k =1

k

hôi tụ đều trong khoảng

[a,b] thì tổng của nó là hàm liên tục trong [a,b]
Nếu các hàm uk (x) liên tục , chuỗi hàm

b)



u (x )
k =1

k

hôi tụ đều trên [a,b]

Và có tổng bằng u(x) thì chuỗi hàm:
x

x

x

u ( x )dx + u ( x )dx + ............ + u
1

2

a

a

n

( x )dx +.........

a

x

cũng hội tụ đều trên [a,b] và có tổng bằng : u( x )d ( x )

a

Ngời ta nói rằng với các điều kiện đă nêu ta có thể lấy tích phân từng số hạng
của chuổi :



u (x )
k =1

k

c)Nếu các hàm uk (x) khả vi , liên tục , chuổi hàm
bằng u(x) chuỗi hàm :



u

'

k



u (x ) hội tụ và có tổng
k =1

k

( x)

k =1

hội tụ đều trong khoảng [a,b] thì hàm u(x) khả vi liên tục trong khoảng ấy và ta
có:
u(x) = u1(x) + u2(x) + + uk(x) +
ta nói rằng với các điềukiện trên, ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi


u (x )
k =1

k

Chú thích:
Nếu định nghĩa sự hội tị đều của chuỗi cuat hàm nhiều biến thì các mệnh đề
đã phát biểu trên cũng có thể mở rộng cho trờng hợp các hàm nhiều biến.

Lờ Hu Hiu

13


S dng cụng c toỏn hc thit lp phng trỡnh cho bi toỏn vt lý

2.

Xét tích phân phụ thuộc hàm số y:
b

I (y) = f ( x, y )dx

(1.24)

a

Nếu hàm dới đầu tích phân f(x,y) liên tục trong hình chữ nhật

{ a x b, c y d } thì f(x,y) là một hàm liên tục của y trong [c,d].
nếu ngoài ra f(x,y) cũng liên tục trên hình chữ nhật trên thì ta nói y [c,d]
b

I(y) =

f ( x, y)dx
a

Khi đó ta nói rằng có thể lấy đạo hàm dới đấu tích phân biểu thức (1.24)
a)Giả sử hàm f(x,y) xác định với x a , y [c,d] và giả sử tồn tại tích phân
+

I (y) =

f ( x, y)dx

(1.25)

a

Theo định nghĩa ta có:
I (y) = lim

F

a +

(A,y)

Trong đó:
F(A,y) =



f(x,y) dx, A>a

Nói cách khác với mọi > 0 cho trớc, có thể tìm đợc mọt số N sao cho khi A >
N ta có:
I(y) F (A,y)=

+

A

a

a

f ( x, y)dx - f ( x, y)dx

+

=

f ( x, y)dx

<

a

số n nói chung phụ thuộc vào và y.
Nếu > 0 cho trớc có thể tìmđợc một số N không phụ thuộc vào y sao cho ta
có :

Lờ Hu Hiu

14


S dng cụng c toỏn hc thit lp phng trỡnh cho bi toỏn vt lý

+

f ( x, y)dx

<

a

Với y [c,d], ta nói rằng tích phân (1.25) hội tụ đều với y [c,d]

-

Tiêu chuẩn hội tụ đều :
Nếu x a, y [c,d] ta có : f (x,y) (x), trong đó (x) khả tích trong
đoạn [,] thì tích phân (1.25) hội tụ đều đối với y [c,d]
Ta có mệnh đề sau :
Nếu hàm f(x,y) liên tục với x a , y[c,d] và nếu tích phân (1.24) hội tụ đều với
y [c,d] thì tích phân đó là một hàm liên tục của y trong khoảng đó .
Nếu ngoài ra fy (x,y) cũng liên tục x a, y [c,d] thì ta có y [c,d] .
+

I(y) =

f

'

( x, y )dx

a

b) Ngời ta cũng định nghĩa tơng tự nh vậy sự hội tụ đều của tích phân
+

I(y) =

f

'

( x, y )dx

a

Khi hàm dới dấu tích phân f(x, y) dẫn tới vô cùng tại một điểm trong hai
mút a và b. Trong trờng hợp này ta cũng có những kết quả tơng tự nh đối với
dấu tích phân (1.25)
c. Nếu hàm (x) liên tục trên toàn trục x, có thể khai triển thành chuỗi
Rourier trong mọi khoảng (-1, 1) và thoả mãn điều kiện:
+

( x)dx < +
a

Thì có thể khai triển dới dạng:
+

(x) =



[A() cos ax + B() sinx ] d, (- < x < + )

a

Lờ Hu Hiu

15

S dng cụng c toỏn hc thit lp phng trỡnh cho bi toỏn vt lý

Trong đó:
1
A() =
2
1
B() =
2

+




+





() cosd
() sind (1.26)

Tích phân (1.25) trong đó A(), B() đợc tính bởi (1.26) đợc gọi là tích
phân Fourier của hàm (x).
II. Chuỗi Fourier

1. Định nghĩa:

Chuỗi có dạng

a0/2 + (a1cosx + b1sin) + (a2cos2x + b2sin2x) + ... + (a1cosnx + bnsinnx)+....
=


a0
+ (a n cos nx + bn sin nx)
2
n =1

Đợc gọi là chuỗi hàm lợng giác, trong đó a0, a1, b1, a2, b2, ... , an, bn... là các
số thực, gọi là các hệ số.
Mỗi số hạng ancosx + bnsinx (n = 1, 2, 3...) của chuỗi hàm lơng giác là các
hàm tuần hoàn.
Giả sử : Chuỗi hàm lợng giác đã cho là hội tụ đều trên [- , ] và có tổng
bằng f(x) ta sẽ xác định đợc các hệ số của chuỗi này.
Bằng biến đổi toán học ngời ta tìm đợc:
1
an =




f ( x) cos nxdx



(n = 0, 1, 2, 3...)

bn =

1





Lờ Hu Hiu

(1.27)

f ( x ) sin nxdx

16


S dng cụng c toỏn hc thit lp phng trỡnh cho bi toỏn vt lý

Dựa vào tính chất của hàm, các cận của tích phân trong (1.27) có thể lấy từ
0 đến 2 hoặc từ a đến a + 2 với a là hằng số bất kỳ.
Giả sử : f(x) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 liên tục trên [-, ]. Khi
đó các hàm số trong công thức (1.27) tồn tại và đợc gọi là hệ số Fourier của
hàm f(x), chuỗi hàm lợng giác có hệ số xác định bởi công tác (1.27) đợc gọi là
chuỗi Fourier của hàm f(x).
Từ đây suy ra:
i) Nếu f(x) là tổng của chuỗi hàm lợng giác họi tụ đều trên [-, ] thì
chuỗi đó là chuỗi Fourier của hàm f(x).
ii) Không tồn tại hai chuỗi hàm lợng giác khác nhau hội tụ đều trên

[-

, ] về cùng một hàm số.
Nói cách khác: nếu hàm số f(x) đợc khai triển đợc thành chuỗi hàm lợng
giác hội tụ đều trên [-, ] thì khai triển đó là duy nhất.
Trong trờng hợp chuỗi Fourier hội tụ về chính hàm số đó ở tất cả những
điểm mà hàm số đó liên tục thì khi đó ta nói rằng hàm f(x) đợc khai triển thành
chuỗi Fourier.
2. Một số tính chất của chuỗi Fourier.
Ngời ta đã chỉ ra đợc với một số điều kiện nào đó thì hàm f(x) đã cho có
thể khai triển thành chuỗi Fourier. Chúng ta sẽ nêu ra đây một số điều kiện.
Định lý 1: (định lý Dirichlet)
Nếu hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2, trên [-, ] hàm liên tục hoặc có
một số điểm gián đoạn loại một, còn đoạn [-, ] có thể chia ra thành một số
hữu hạn các đoạn nhỏ sao cho hàm f(x) đơn điệu trong mỗi đoạn này.
Khi đó: Chuỗi Fourier của hàm f(x) sẽ hội tụ với mọi x tại những điểm liên
tục của hàm f(x) sẽ có tổng bằng f(x), còn những điểm gián đoạn của nó thì
chuỗi có tổng bằng:

Lờ Hu Hiu

17


S dng cụng c toỏn hc thit lp phng trỡnh cho bi toỏn vt lý

f ( x 0) + f ( x + 0)
2

Khi đó chuỗi Fourier của hàm f(x) sẽ hội tụ đều trên mọi đoạn bất ỳ nằm

trong những khoảng liên tục của hàm f(x).
Định lý 2: Nếu hàm f(x) có chu kỳ 2, f(x) cùng với đạo hàm củanó f'(x)
là các hàm liên tục (hoặc chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn loại một) trên
[-, ] thì chuỗi Fourier của f(x) sẽ hội tụ lại mọi giá trị x của đoạn đó, thêm
vào đó ở các điểm liên tục của hàm f(x) tổng của chuỗi bằng f(x), còn các điểm
gián đoạn tổng của chuỗi bằng:
f ( x 0) + f ( x + 0)
2

và chuỗi Fourier của f(x) sẽ hội tụ đều trên mọi đoạn bất kỳ nằm trong
khoảng liên tục của f(x).
Chú thích:
lim f xxx + 0 = f (x0 + 0)
0

lim f xxx0 0 = f (x0 + 0)
trên đây ta đã xét những hàm đã cho trên [-, ]. Trong trờng hợp f(x)
cho trên đoạn [-1, 1] và khả vi từng khúc trên đoạn đó, thì dùng phơng pháp đổi
biến số x = 1y/ (- x ) ta thu đợc hàm đối với y, xét trên đoạn

[-,

]. Đối với hàm này ta cũng thu đợc kết quả nh đã nói ở trên, cụ thể là: trừ các
điểm gián đoạn và các mút -, ta có thể triển khai hàm số thành chuỗi
Fourier:

ly a
f = 0 + (an cosnx + bnsin nx)
2 n =1

Vi an bn đợc xác định bởi công thức:
an =

Lờ Hu Hiu

1





ly

f cos nydy



18


S dng cụng c toỏn hc thit lp phng trỡnh cho bi toỏn vt lý

với (n = 0, 1, 2 ...)
bn =



1

ly

f sin nydy





Trở lại biến cũ bằng cách đặt y = x/l thì hàm f(x) đợc khai triển thành
hàm lợng giác:

a0
nx
nx

f ( x) =
+ a n cos
+b

2 n =1
1
l

Với:
l
an =
l

l

f ( x) cos

l

nx
dx
l

với (n = 0, 1, 2, ...)
l
bn =
l

l

f ( x) sin

l

nx
dx
l

Cuối cùng: trong một số trờng hợp đặc biệt thì khai triển Fourier của hàm
đã cho có thể chỉ chứa một hàm số sin hoặc cosin, đó là trờng hợp các hàm đã
cho là chẵn hay lẻ.
Lu ý rằng: Một hàm f(x) cho trên đoạn [-, ] là một hàm lẻ thì:


f ( x)dx = 0

Còn nếu f(x) cho trên [-, ] chẵn thì:






0

f ( x)dx = 2 f ( x)dx

Bởi vậy: Nếu f(x) chẵn và khả vi từng khúc trong [-, ] thì f(x) sin n(x)
là lẻ và do đó:

1
bn =




f ( x) sin nxdx = 0



Khi đó chuỗi Fourier của hàm f(x) chỉ chứa cosin:

Lờ Hu Hiu

19


Sử dụng công cụ toán học thiết lập phương trình cho bài toán vật lý

∞
a0
+
a n cos nxdx
f(x) =
∑
2
n =1

Víi:
π

2
an =
π

∫π f ( x) cos nxdx = 0

Víi (n = 0, 1, 2, 3...)

−

Cßn nÕu f(x) lÎ th× f(x) cos nx còng lÎ vµ do ®ã:
π

1
an =
π

∫π f ( x) cos nxdx = 0

Víi (n = 0, 1, 2, 3...)

−

Vµ chuçi Fourier lµ:
∞

f(x) =

∑b
n =1

n

sin nπxdx

Víi:

2
bn =
π

Lê Hữu Hiếu

π

∫π f ( x) sin nxdx = 0

Víi (n = 0, 1, 2, 3...)

−

20


S dng cụng c toỏn hc thit lp phng trỡnh cho bi toỏn vt lý

PHN II
S DNG CễNG C TON HC THIT LP PHNG
TRèNH CHO Bài toán Vật lý
Chơng I: Phơng trình vi phân chuyển động của chất điểm
1. Cơ sở lý thuyết
1.1.

Phơng trình cơ bản của động lực học

Khảo sát chất điểm M có khối lợng m chịu tác dụng của lực F chuyển
động trong hệ quy chiếu quán tính với gia tốc a thoả mãn phơng trình sau:
ma =

(1 - 1)

F

Đợc gọi là phơng trình cơ bản của động lực học.
+ Chú thích:
- Trong trờng hợp hợp chất điểm chịu tác dụng của nhiều lực thì lực F là
hợp lực của các lực đó, tức: F =

F

k

k

.

- Trong thực tế kỹ thuật hệ quy chiếu quán tính thờng đợc chọn là hệ quy
chiếu gắn liền với quả đất hoặc chuyển động tịnh tiến thẳng đều đối với quả đất.
- Đối với chất điểm không tự do, để sử dụng (1 - 1) cần áp dụng trên để
giải phóng liên kết, thay các liên kết bằng các lực liên kết và lực tác dụng lên
chất điểm bao gồm các lực liên kết đó.
1.2. Các dạng phơng trình vi phân chuyển động cho chất điểm.
khi chọn các hệ trục toạ độ khác nhau gắn với hệ quy chiếu quán tính ta
nhận đợc các phơng trình vi phân đợc gọi là hệ phơng trình vi phân chuyển

Lờ Hu Hiu

21


S dng cụng c toỏn hc thit lp phng trỡnh cho bi toỏn vt lý

động của chất điểm, sau khi tách phân chúng ta nhận đợc phơng trình chuyển

động của chất điểm.
Từ phơng trình (1 - 1) có thể viết phơng trình vi phân chuyển động trong
các dạng khác nhau. Dới đây ta nêu tóm tắt trong bảng một số dạng phơng trình
vi phân chuyển động thờng gặp của chất điểm.
Dạng

Lực

Toạ độ

Gia tốc

Phơng trình vi phân
chuyển động của chất

Véc tơ

F

r

d 2 r
a= 2 = r
dt

Đề các

Fx = X

x

d 2 x ..
ax = 2 = x
dt

Fy = Y

y

Fz = Z

z

Tự

Ft

S

nhiên

Fn

(trên quỹ

Fb

đạo định hớng)

..

ay =

..

..

mx = X
..

my =Y

2

d y ..
=y
dt 2

d 2 z ..
az = 2 = z
dt
..
t
d 2 S
a =
= S
dt 2
an =

điểm

m a = m
r = F

V 2 (S ) 2
=



..

m z =Z
ma-t = m S = Fr
V2
ma = m
= Fn

n

mab = 0 = Fb

ab = 0
Độ cực

Fr

r

phẳng

F

..
.
dr = r
r

2

1d 2 .
(r )
a =
r dt

.

. 2

m ( r r ) = Fr
m d 2 .
( r ) = F
r dt

Lực này luôn luôn hớng về góc toạ độ O. Chính là tầm của quỹ đạo chuyển
động.
1.3. Bài toán ngợc đối với chất điểm

Lờ Hu Hiu

22


S dng cụng c toỏn hc thit lp phng trỡnh cho bi toỏn vt lý

1.3.1. Hớng dẫn áp dụng.
- Biết đợc các lực tác dụng lên chất điểm, tức là biết đợc vế bên phải trong
các phơng trình vi phân đã nêu trong bảng tóm tắt ở trên. Vậy để tìm quy luật
chuyển động ta phải tích phõn các phơng trình vi phân chuyển động đó.
- Trên thực tế tuỳ theo bản chất của lực tác dụng F mà những yếu tố xác
định lực ở vế phải các phơng trình trên đây là không đổi hoặc là những hàm đối
với thời gian, đối với vận tốc, đối với vị trí của chất điểm ... Những lực đó xác
định dạng của phơng trình vi phân nhận đợc và do đó tơng ứng với mỗi loại phơng trình ta có các phơng pháp tích phân khác nhau.
Hệ phơng trình vi phân chuyển động của chất điểm là lực phơng trình vi
phân cấp hai, do đó khi tích phân hệ phơng trình ấy ta nhận đợc nghiệm tổng
quát tổng quát của bài toán dới dạng các hàm của thời gian chứa các hằng số
tích phân. Nghiệm tổng quát xác định một lớp chuyển động có thể xảy ra bao
gồm chuyển động thực của chất điểm. Để xác định nghiệm cứng với chuyển
động thực xảy ra ta cần xác định hằng số tích phân trong nghiệm tổng quát nhờ
điều kiện đầu của bài toán.
Đó là những điều kiện xác định vị trí và vận tốc của chất điểm ở thời điểm
to nào đò đợc gọi là các điều kiện đầu của bài toán. Thờng ta lấy t0 = 0. Nghiệm
của (1-1)nhận đợc gọi là nghim riêng của bài toán.
Các bớc để giải bài toán ngc:
- Khảo sát chất điểm ở một vị trí bất kỳ và đặt các lực tác dụng lên nó.
Viết phơng trình chuyển động thích hợp và các điều kiện đầu của bài toán.

Lờ Hu Hiu

23

S dng cụng c toỏn hc thit lp phng trỡnh cho bi toỏn vt lý

- Tích phân phơng trình nhận đợc để có nghim tổng quát của bài toán.
Trên cơ sở điều kiện đầu cho, xác định các hằng số tích phân để cuối cùng nhận
đợc nghiệm riêng của bài toán.
2. Bài giải mẫu:
Trong các bài toán dới đây ta phân biệt thành các chuyển động thẳng và
chuyển động cong của chất điểm. Việc tích phân phân phơng trình chuyển động
phụ thuộc dạng của lực tác dụng nên ta phân loại các chuyển động theo dạng
lực tác dụng. Dới đây ta chỉ xét một số trờng hợp đơn giản: lực hằng, lực phụ
thuộc thời gian, lực thuộc vị trí, lực thuộc vận tốc chất điểm, hoặc tổ hợp các
yếu tố này.
A. Bài toán chuyển động thẳng.
Đối với các chuyển động của chất điểm có quỹ đạo thẳng bao giờ cũng
chọn ngay đờng thẳng quỹ đạo của chất điểm làm trục Ox. Khi ấy phơng trình
vi phân chuyển động cùng với điều kiện đầu của chất điểm của chuyển động đợc viết:

mx'' = Fx
x' (0) = v0

(1 - 3)

x (0) = x0
Fx: là hình chiếu trên trục Ox của hợp lực tác dụng lên chất điểm.
Bài toán 1:

Một đoàn tàu chuyển động trên một đờng thẳng nằm ngang

với vận tốc không đổi v0. Vào một thời điểm nào đó ngời ta tắt máy và hãm tàu
lại. Lực hãm và cản tác dụng lên tàu bằng 1/10 trọng lợng của nó. Hãy xác định
chuyển động của tàu từ khi tắt máy và hãm.
Bài giải: Khảo sát đoàn tàu nh
một chất điểm có khối lợng m.
Các lực tác dụng lên chất điểm gồm:

N
v
F
P

trọng lực P , phản lực pháp tuyến N , lực cản ngay F .

Lờ Hu Hiu

24


S dng cụng c toỏn hc thit lp phng trỡnh cho bi toỏn vt lý

Chọn trục hớng theo phơng ngang, gốc O là điểm mà từ đó tàu đợc tắt máy
và bắt đầu hãm, với thời điểm lúc đó t0 = 0.
Theo (1 - 3) phơng trình vi phân chuyển động cùng với điều kiện đầu đợc
viết nh sau:

mx'' = - F
x' (0) = v0
x(0) =

Vì F =

0

mg
g
1
x" =
P nên: m x" =
10
10
10

Tích phân phơng trình này ta đợc:
x' = -

g
t + c1
10

x=-

g 2
t + c1 t + c 2
20

Để xác định c1; c2 ta thay điều kiện đầu vào đợc: c1 = v0, c2 = 0
=> Phơng trình chuyển động của chất điểm là:
gt 2
x = v0 t 20

Nhận xét: Từ kết quả nhận đợc ta thấy đoàn tàu chuyển động chậm dần
đều với vận tốc đầu là v0 và gia tốc là

g
. Tàu sẽ dừng bến ở thời điểm t1; t1 đợc
10

xác định từ điều kiện v(t1) = 0.
10v 0
gt1
= 0 t1 =
g
g

v(t1) = x'(t1) = v0 -

Quãng đờng mà tàu chạy thêm đợc từ khi tắt máy:
2

10v0 5v02
g 10v0
x (t1) =
+ v0 .
=
20 g
g
g

Bài toán 2:

Một chất điểm có khối lợng m chịu tác dụng của một lực

theo phơng ngang x là X = Psinkt.

Lờ Hu Hiu

25