các bất đẳng thức cơ bản

Trang 1

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN
1) Bất đẳng thức trị tuyệt đối:
a) a  b  a  b . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab  0
b) a  b  a  b; a, b  0 Dấu = xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0
2) Bất đẳng thức Cauchy: Cho n số không âm a1;a1;...;an ta luôn có :
a1  a1  ...  an  n n a1.a1.....an .Dấu “=” xảy ra  a1  a2  ....  an
3) Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:

 a1 x1  ...  an xn 

2

  a12  ...  an2  x12  ...  xn2  . Dấu bằng xảy ra khi

a
a1
 ...  n
x1
xn

4) Bất đẳng thức Svácxơ:
an2  a1  a2  ...  an 
a12 a22
a
a a
  ... 

, xi , ai  0 . Dấu bằng xảy ra khi 1  2  ...  n .
x1 x2

xn
x1  x2  ...  xn
x1 x2
xn
2

a12  a22  b12  b22 

5) Bất đẳng thức tam giác:

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƢỜNG DÙNG:
1) x 2  y 2  2 xy
2)

 x  y

2

 4 xy

3) ( x  y)2  2( x 2  y 2 )
4) a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca
2
5)  a  b  c   3  ab  bc  ca 
6) 3  a 2  b 2  c 2    a  b  c 
7)

a  b

4

 8ab  a  b
2

2



z
2z

x y x yz
1 1
4
9)
 
x y x y
1 1 1
9
10)   
x y z x yz
1
1
8
11) 2  2 
x
y
( x  y)2
12) 1  ab  a  b
8)

13) 1  ab  a  b
14)
15)
16)
17)
18)

3( x  y )
x 2  xy  y 2 
2
3
3
2
2
a  b  a b  ab
a 4  b4  a3b  ab3
1
a 3  b 3  ( a  b)3
4
a
b
c
3



bc ca ab 2

2

 a1  b1    a2  b2 
2

2

Dấu bằng xảy ra khi

a1 a2
 0
b1 b2

1
1
2
( x, y  0 , và xy  1 )


1  x 1  y 1  xy
2
1
1
20)
( x, y  0 và xy  1 )


1  xy 1  x 1  y
1
1
1

21)
( x  0 , y  0)


2
2
1  x  1  y  1  xy
19)

1
1
2


2
2
1  x 1  y 1  xy

( x , y  1)

( a, b  0 )

22)

( x, y, z  0)

23)

( x, y  0)

a 2  b2
a 2 , b 2  1
24) 1  a  1  b  2 1 

2
1
1
2 2
25) (1  )(1  )  (1 
)
( x, y  0)
x
y
x y
a
b
2
26)


(a, b  0)
b(1  a) a(1  b) 1  ab

( x, y, z  0)

( x, y  0)

 a, b  1
 a, b  1
( x, y  0 )

(a b  0)

1
1
2 2


x
y
x y
2

27)



a b

( x, y  0)

2



2

 3a 2  10ab  3b2

1
1

2


3a  b
3b  a
a b
29) a  1  b  1  1  a  b  1

28)

30)

(a, b, c  0)

(a, b  0)

( a, b  0 )

x  a 2  y  a 2  a  x  y  a ; x, y  0
2

( a, b  0 )

(a, b  0)

1
1  2

31) (1  )(1  )  
 1 (a, b  0, a  b  1)

a
b  a b 
1 1
3
3

32)  
(a, b  0)
a b 2a  b 2b  a


Trang 2

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ KHÁC
Khi cho các số a, b, c  [m, n] thì ta nên cố gắng sử dụng các giả thiết như (a  m)(b  m)(c  m)  0 ,
(a  n)(b  n)(c  n)  0 , (a  m)(a  n)  0 …và những cái khác. Những bất đẳng thức này có điểm rơi thường là ở
tại biên m và n. Nếu điểm rơi không xảy ra tại biên thì đôi khi ta cần dùng một số kĩ thuật khác kết hợp khảo sát
hàm số.
abc  12
 ba  bc  ca  abc  4  2abc
Bài 1)
Cho a, b, c  [1, 2]; a  b  c  5 , chứng minh: 8 
2
Bài 2)
Cho a, b, c  [1,1] , chứng minh 1  ab  bc  ca  3
Bài 3)
Cho a, b, c  [0,1] , chứng minh a  b  c  ab  bc  ca  1
Bài 4)
Cho a, b, c  [0, 2] , chứng minh 2(a  b  c)  ab  bc  ca  4
Bài 5)

Cho a, b, c  [1, 2]; a  b  c  0 , chứng minh 3  ab  bc  ca
Bài 6)
Cho a, b, c  [0, 2]; a  b  c  3 . Chứng minh 2(ab  bc  ca)  abc  4
Bài 7)
Cho a, b, c  [1, 2] . chứng minh
a  b  c  2  abc
a)
b)
a 2  b 2  c 2  3abc
Bài 8)
( Bất đẳng thức Schur) Cho a, b, c là các số thực không âm, chứng minh
(hướng dẫn: giả sử a  b  c và đặt nhân tử chung)
a(a  b)(a  c)  b(b  c)(b  a)  c(c  a)(c  b)  0
Bất đẳng thức này rất mạnh và dấu bằng xảy ra khi ba biến bằng nhau hoặc hai biến bằng nhau và một biến bằng 0.
Chú ý rằng khi khai triển bất đẳng thức Schur ta được các bất đẳng thức tương đương sau:
a3  b3  c3  3abc  a 2b  ab2  b2c  bc 2  c 2 a  ca 2
a)
b)
abc  (a  b  c)(b  c  a)(c  a  b)
c)
(a  b  c)3  9abc  4(a  b  c)(ab  bc  ca)
Bài 9)
Cho a, b, c là các số thực không âm, chứng minh a 2  b2  c 2  2abc  1  2(ab  bc  ca)
---------------------------------------------Bài 1)

a)
b)
Bài 2)

BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM MỘT BIẾN

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y  5 x 1  3 6  x
y  2 x 4  8 x
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

a)

y  x  12  3 x 2

b)

y  2  x  4  x2

 x  1 5  x 

Bài 3)

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  5  x  x  1 

Bài 4)

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y   x 2  4 x  21   x 2  3x  10

Bài 5)

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  x 2 

Bài 6)

1

;x  0
x

cosx
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
với 0 < x ≤
2
3
sin x(2cosx -sinx)

Bài 7)

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  4 2 x  2 x  2 4 6  x  2 6  x

Bài 8)

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  x 

Bài 9)

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 

11
7 

 2  1  2  với x  0 .
2x
 x 

1

x
 2
;x  0
x 1
x


Trang 3
3

 8  x2 
Bài 10) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số: y  2x  
 2  với x  [0, 2 2]


3

1
4

Bài 11) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số: y  2x 2  2x  1  2x x 2  2x với x  [0, ] .
Bài 12) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số: y  4 2  2x 2  5x  9x 3 với x  [0,1] .
Bài 13) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y 

4
 3x  1 với x  0 .
x 1
3

----------------------------------------------

BẤT ĐẲNG THỨC HAI BIẾN
 Phƣơng pháp: Bất đẳng thức hai biến thường là đối xứng, ta thường đặt ẩn phụ mới, tìm điều kiện của ẩn phụ
mới (chú ý tìm đều kiện chặt nhất có thể hay nói cách khác là phải tìm min, max của ẩn mới nếu có). Sau đó cố
gắng đưa toàn bộ biểu thức về theo ẩn phụ mới để khảo sát.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất ( a,b > 0)
ab
( a  b) 2
ab
ab
B 2

A

a  ab  b 2
ab
ab a  b
Ví dụ 2: Cho hai số thực dương x, y thoả mãn: x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 

1
2

2
x y
xy
2

Ví dụ 3: Cho các số thực x, y  1 thỏa 3( x  y)  4 xy .
a) Chứng minh 3  x  y  4

1 1 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất vả giá trị lớn nhất của M  x3  y 3  3  3  3 
y 
x
BÀI TẬP:
Bài 1)
Tìm giá trị nhỏ nhất ( a, b  0 )
1
a)
A  ab   a  b  1
ab
1
A   a  b   a 2  b2  
b)
 ab  4 
ab
Bài 2)
Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn hệ thức x2  y2  1 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu
thức A 

x2  6xy
1  2xy  2y2

Cho các số thực x, y thỏa x3  y 3  2 .
a) Chứng minh 0  x  y  2
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M  x 2  y 2
Bài 4)
Cho các số thực x, y  (0,1] thỏa x  y  4 xy .
a)
Tìm min, max của S = x + y

b)
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của M  x 2  y 2  7 xy
 Trong nhiều trường hợp ta phải sử dụng một số bất đẳng thức phụ thì mới có thể đặt được ẩn phụ mới. nhưng
khi dùng bất đẳng thức phụ thì cần lưu ý về điểm rơi của bất đẳng thức.
Ví dụ 1: Cho hai số thực dương x, y thỏa x  y  1 , tìm giá trị nhỏ nhất của:
1 1
a) A  x  y  
x y
1 1
b) C  x 2  y 2  
x y
Bài 3)

Ví dụ 2: Cho x,y là các số thực thoả mãn hệ thức: ( x  y)3  4 xy  2 .
a) Tìm min của S = x + y


Trang 4
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A  3( x 4  y 4  x 2 y 2 )  2( x 2  y 2 )  1

Ví dụ 3: Cho x, y là các số thực.
( x  1)2  y2  ( x  1)2  y2  2 1  y2

a)

Chứng minh

b)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  ( x  1)2  y2  ( x  1)2  y2  y  2

BÀI TẬP
Bài 5)
Cho các số thực dương x, y thỏa
a) Tìm min của S  x  y
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A 
Bài 6)

xy ( x  y)  x  y .
1
1
1
1

4( x  y)   2 2
x y 2
xy x y

Cho x, y là các số thực lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P 

x

3

 y3    x2  y2 
( x  1)( y  1)

 2  x 2  y 2   16 xy

Cho hai số thực x, y thỏa mãn các điều kiện 1  x  2; 1  y  2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

x  2y
y  2x
1
P= 2
 2

x  3y  5 y  3x  5 4(x  y  1)

Bài 7)

---------------------------------------------Bài 1)

a)
b)
c)
Bài 2)

Bài 3)

Bài 4)

LUYỆN TẬP
Tìm giá trị nhỏ nhất ( a, b  0 )
a b
ab
A  4 2
b a
a 2  b2
1
1 1

B 2
 
(a  b  1)
2
a b a b
1
1 1
1
C
  (a 2  b 2  )
1  2ab a b
2
2
Cho các số thực x, y thỏa x  y 2  xy  3 .
a) Chứng minh 3  xy  1
b) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của M  x 4  y 4  4 xy  x 3 y 3
Cho các số thực x, y thỏa x 2  y 2  xy  x  y  1 .
a) Tìm min, max của S = x + y
xy
b) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A 
x  y 1
2
2
Cho các số thực x, y thỏa ( x  y)( xy  1)  x  y  2 .
a) Chứng minh x  y  2
b) Tìm giá trị lớn nhất của M 

Bài 5)

Cho x,y thoả mãn ( x  y)xy  x 2  y 2  xy .

a) Tìm min, max của S  x  y
b)

Bài 6)
Bài 7)
Bài 8)

1 1

x y

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =

1 1

x 3 y3

1 1
Cho các số thực dương x, y thỏa x 2  y 2  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của M  (1  x)(1  y )(  )
x y
1
1

Cho các số thực dương x, y thỏa x  y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của M  3
3
x y
xy
3
3
Cho các số thực x, y không âm thỏa x  y  xy  1 .

Trang 5
a) Tìm min, max của S  x  y
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M  x 2  y 2  xy
Bài 9)

Cho x,y,z là các số thực thoả mãn: x 2  xy  y 2  1 .
a) Tìm min, max của P  xy

x4  y 4  1
x2  y 2  1
Bài 10) Cho các số thực x, y khác không thỏa mãn x 2  y 2  xy  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức : M 

A

x6  y 6  1
xy ( x 2  y 2 )
x 4  y 4  x 2 y 2 x 2  y 2  xy

( x  y)4
( x  y)2

Bài 11)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: P 

Bài 12)

Cho các số thực x, y thỏa x  y  1  2 x  4  y  1 .
a) Tìm min, max của S  x  y
b) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của M  ( x  y ) 2  5  x  y 

1
x y

Cho các số thực dương x, y thỏa x  y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x 1  y 2  y 1  x 2
x
y
xy
Bài 14) Cho các số thực dương x, y thỏa x  y  xy  3 . Tìm giá trị lớn nhất của M 


x 1 y 1 x  y
Bài 15) Cho x,y là các số dương thoả mãn: x  y  1 .Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bài 13)

A  (4 x 2  3y)(4 y 2  3x )  25xy
Bài 16) Cho a và b là các số thực dương thỏa a  b  1  3ab . Tìm giá trị lớn nhất của
(a  1)3  (b  1)3  3(a  b)(a  1)(b  1)
M
( a  b) 3
Bài 17) Cho a và b là các số thực dương thỏa mản 2(a 2  b2 )  ab  (a  b)(ab  2) .
a b
a) Tìm min của t  
b a
 a 3 b3   a 2 b 2 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M  4  3  3   9  2  2 
a 

b a  b

Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy  32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  x3  y 3  3( xy  1)( x  y  2)
Bài 19) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy  y  1 .
x
a) Tìm giá trị lớn nhất của t 
y
x y
x  2y
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 

x 2  xy  3 y 2 6  x  y 
Bài 18)

1 
Cho các số thực a, b thuộc đoạn  ,1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 
6
P  a 5b  ab5  2
 3(a  b)
a  b2
Bài 21) Cho các số thực dương x, y thỏa x khác y và x 2  2 y  12
a) Chứng minh xy  8
Bài 20)


Trang 6

4

4
5
 2
2
x
y 8( x  y ) 2
 x 1 y 1 
Bài 22) Cho các số thực dương x, y thỏa 3 

 x y2
x 
 y
x y
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: t  
y x

b)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 

2

 x4 y 4
 1 1 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M   2  2  3xy    
x
y
 x y 
Bài 23) Cho các số thực x, y không âm thỏa x( x  y )  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của


1
1
P  (2 x  y ) 

2
2
 x  xy 2 2 x  xy  y 2







----------------------------------------------



BẤT ĐẲNG THỨC BA BIẾN
Hầu hết các bài toán bất đẳng thức ba biến ta phải dùng các bất đẳng thức phụ nhằm đánh giá điều kiện
của ẩn phụ mới hoặc làm cho biểu thức trở nên đơn giản hơn để có thể đặt được ẩn phụ. Khi dùng bất đẳng
thức phụ cần lưu ý đến điểm rơi của nó.

1 1 1
 
a b c
Ví dụ 2: Cho các số thực dương x, y, z thỏa điều kiện x  y  z  1 .

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  a  b  c 

x2 


 a, b, c  0; a  b  c 


3

2

1
1
1 1
 y 2  2  ( x  y )2  (  )2
2
x
y
x y

a)

Chứng minh

b)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x 2 

1
1

1
 y2  2  z2  2
2
x
y
z

Ví dụ 3: Cho các số thực dương a, b, c.
a2
b2
a
a) Chứng minh


2
2
(a  b) (b  c)
ac

a2
b2
4c3


.
(a  b) 2 (b  c) 2 3(c  a) 3
BÀI TẬP
Bài 1) Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn x 2  y 2  z 2  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
8
A  xy  yz  zx 

x yz
Bài 2) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn các điều kiện a 2  b 2  c 2  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a b c
P    abc
b c a
1
1
1


Bài 3) Cho các số thực dương a, b, c thỏa abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của M 
2
2
(1  a) (1  b) (1  c) 2
 Trong một số bài toán mà vai trò của các biến a, b, c nhƣ nhau (biểu thức đối xứng) thì ta có thể giả sử
a  b  c hoặc a  b  c
Ví dụ 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của M  13abc  4(ab  bc  ca )
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 

Ví dụ 2: Cho các số thực x, y, z không âm, thoả mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M  x 2  y 2  z 2  xyz
BÀI TẬP


Trang 7

Cho a, b, c  0; a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P  abc  a 2  b 2  c 2
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a  b  c  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
9abc
P  a 2  b2  c2 

2
Bài 3)
Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn x  y  z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bài 1)
Bài 2)

A  x( y  z ) 4  y ( z  x) 4  z ( x  y ) 4
 Trong một số bài toán mà vai trò các biến có thể hoán vị vòng quanh thì ta có thể giả sử a là số nhỏ nhất
hoặc lớn nhất trong ba số a, b, c.
1
a
b
c


Ví dụ 1: Cho các số thực dương a, b, c thuộc [ ,3] , Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 
3
ab bc ca
BÀI TẬP
1
a
b
c


Bài 1)
Cho các số thực dương a, b, c thuộc [ ,3] , Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 
3
ab bc ca
Bài 2) Cho các số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

M  a 2b  b 2c  c 2a  abc
Bài 3) Cho các số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M  8abc(a 2  b 2  c 2 )
----------------------------------------------

LUYỆN TẬP
Bài 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

1
1
1
3

 b 2  2  c 2  2  a, b, c  0; a  b  c  
2
b
c
a
2

1
a, b, c  0; a 2  b 2  c 2  1
b) A  a  b  c 

abc
Bài 2) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: x 2  y2  z 2  2 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P  x 3  y3  z 3 – 3xyz
Bài 3) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn các điều kiện abc  1 .
a b c
a) Chứng minh    a  b  c
b c a

a b c
3
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P    
b c a abc
x2  y 2  z 2
Bài 4) Cho các số thực dương x, y, z thỏa x3  y 3  z 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của: P 
( x  z )( y  z )
Bài 5) Cho các số thực dương x, y, z thỏa x  y  z  3 .
a) Chứng minh x 2 y  y 2 z  z 2 x  x 2  y 2  z 2
xy  yz  zx
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x 2  y 2  z 2  2
x y  y2 z  z2 x
a) A  a 2 

Cho a, b, c  0; a  b  c  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P  15abc  4(a3  b3  c3 )
Bài 7) Cho a, b, c  0; a  b  c  1 . Tìm giá trị lớn nhất của P  a  ab  2abc
Bài 8) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 9. Tìm giá trị lớn nhất: A = 2(a + b + c) – abc
3
3
3
Bài 9) Cho a, b, c  0; a  b  c  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P  abc  a  b  c
Bài 10) Cho các số thực x, y, z  1 thỏa x  y  z  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bài 6)

P

x2
y2 1

x 2  y 2  4 xy  4 z 2  4 z  5

Trang 8
Bài 11) Cho các số thực dương x, y, z thỏa x  y  z  xyz . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

( z  z xy ) 2
2z
P

2
2
( x  y )( z  1) ( z  1) z 2  1
Bài 12) Cho các số thực không âm x, y, z thỏa x 2  y 2  z 2  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P  6( y  z  x)  27 xyz
Bài 13) Cho các số thực không âm x, y, z thỏa

1  x2  1  2 y  1  2 z  5 .

a) Chứng minh x 2  2( y  z )  8
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  2 x3  y 3  z 3
Bài 14) Cho các số thực x, y, z thỏa x 2  y 2  z 2  1 .
a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của t  xy  yz  2 zx

8
( x  y  z )  xy  yz  2
Bài 15) Cho các số thực không âm x, y, z thỏa x  y  z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  ( xy  yz  2 xz ) 2 

2

P  2( x 2  y 2  z 2 )  4 xyz  9 x  2020
Bài 16) Cho các số thực không âm a, b, c thoả mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P  3(a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2 )  3(ab  bc  ca )  2 a 2  b 2  c 2
Bài 17) Cho x, y, z là ba số thực thuộc [1; 4] và x  y, x  z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x
y
z
P


2x  3y y  z z  x
Bài 18) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P3

x y

3

yz

3

zx

 6 x2  6 y 2  6 z 2

Bài 19) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x  y  z  0 và x 2  y 2  z 2  1 . Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức P  x5  y 5  z 5 .

Bài 20) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a  c)(b  c)  4c2 .
a) Chứng minh

32a 3
32b3
ab

(
 1)3
3
3
(b  3c) (a  3c)
c

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

32a 3
32b3
a 2  b2


(b  3c)3 (a  3c)3
c

Bài 21) Cho a, b, c là các số thực dương.
a) Chứng minh (a  b) (a  2c)(b  2c)  2(a 2  b2  c 2 )
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 

4



9
.
(a  b) (a  2c)(b  2c)

a b c 4
Bài 22) Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện x 2  y2  z 2  2 .
a) Chứng minh ( x  y  z )2  4(1  yz )
2

2

2

x2
yz
1  yz


2
x  yz  x  1 x  y  z  1
9
Bài 23) Cho các số thực a, b, c không âm và thỏa mãn điều kiện (a+b)c >0.
a
b
2(a  b)


a) Chứng minh

bc
ac abc
a
b
c


b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 
bc
a  c 2a  b
Bài 24) Cho các số thực a,b,c thuộc đoạn [1,3] và thỏa mãn điều kiện a  b  c  6 .
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 


Trang 9
a) Chứng minh 11  ab  bc  ca  12

a 2 b 2  b 2c 2  c 2a 2  12abc  72 1
 abc
ab  bc  ca
2
Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn [0,1] và thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  1 .
Chứng minh 3(a  b  c)  5abc  6
6
Tìm giá trị nhỏ nhất của P  a 2  b 2  c 2  10abc 
abc
Cho các số thực dương x, y, z thỏa xy  yz  zx  3
Chứng minh xyz ( x  y  z )  3
1
4

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 

xyz ( x  1)( y  1)( z  1)
Cho các số thực a, b, c thuộc [1, 4] thỏa a  b  2c  8
Chứng minh ab  2c  7
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M  a 3  b3  5c3
Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn x 2  y 2  z 2  3
Chứng minh x  y  z  x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2
16
xy  yz  zx  1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 

x yz
x2 y 2  y 2 z 2  z 2 x2  1
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M 

Bài 25)

a)
b)
Bài 26)

a)
b)
Bài 27)

a)
b)
Bài 28)

a)
b)

Bài 29) Cho các số thực dương x, y, z thỏa x 2  y 2  z 2  1

xy
yz
1 1 y y 

    
2
2
1 z 1 x
4 8 x z 
xy
yz
y 3 ( x3  z 3 )


b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 
1  z 2 1  x2
24 x3 z 3
2(a 2  b 2  c 2 )
 ab  bc  ca  1
Bài 30) Cho các số thực dương a, b, c thỏa
ab  bc  ca
a) Chứng minh ab  bc  ca  1

a)

Chứng minh

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M  2(a 2  b 2  c 2 )  ( a  b  b  c  c  a )
Bài 31) Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn x + y > 0
a) Chứng minh 4 z  16  2 x  y  16  4  2 x  y  4 z  4
1
 2 z  4  2 x  y  16
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 
xy  yz  2 zx
b)

Bài 32) Cho các số thực dương x, y, z thỏa 5( x 2  y 2  z 2 )  9( xy  yz  zx)

a)

Chứng minh x  2( y  z )

x
1

2
y  z ( x  y  z )3
Bài 33) Cho các số thực dương a, b, c thỏa a 2  b 2  c 2  ab  2bc  2ca  0
c
a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của t 
ab
c2
c2
2ab
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 



2
2
2
( a  b  c ) a  b ( a  b) 2
Bài 34) Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn z  x; z  y

b)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 

a)

Chứng minh

2

x
y
4( x  y )
2

1
yz
z x x yz


Trang 10

b)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 

x
y
z
2
 33
yz
zx
x y

Bài 35) Cho các số thực dương a,b,c thỏa a3  b3  c(c  1)

a)

Chứng minh a  b  c

a 2  b2  c2
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 
(a  b  c) 2
1 1 1
Bài 36) Cho các số thực dương x, y, z thỏa  
x y z
x y
4
a) Chứng minh
z
x2  y 2

z
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 

2
z
x y
a  b  c  4
Bài 37) Cho các số thực dương a,b,c thỏa 
abc  2
a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của t  ab  bc  ca
b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của M  a 4  b 4  c 4
Bài 38) Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa a  b  c  3
a) Tìm giá trị lớn nhất của A  4(ab  bc  ca )  3abc
b)

Tìm giá trị nhỏ nhất của P  (abc)2  9abc  6 27  8(ab  bc  ca)

Bài 39) Cho các số thực dương a,b,c thỏa (a  b) 2  4a 2b 2  1  (2c 2  1) 2

Chứng minh a  b  2c ; ab  c 2
a
b
ab
c

) 2 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất M  2(
bc ac c
ab
a


b

c

2
abc
 ab  bc  ca  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Bài 40) Cho các số thực a, b, c  (0,1) thỏa
a)

M  a 2  b2  c 2
Bài 41) Cho các số thực a, b, c [0, 2] thỏa a  b  c Tìm giá trị nhỏ nhất của: M 

1
a

Bài 42) Cho các số thực dương a, b, c thỏa (a  b  c)( 

a)

Chứng minh a  2(b  c)

1
1

ac
2
(a  b) (b  c) 2

1 1 27
 )
b c
2

b2  c2  2
(b  c)2
 2
2(a  2b  2c) a  2b 2  2c 2
Bài 43) Cho a, b, c là các số thực khác nhau, không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 1
1
1 
P  (a  b) 2  (b  c) 2  (c  a) 2  


2
2
2
 (a  b) (b  c) (c  a) 
Bài 44) Cho các số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  3
a) Chứng minh a 2b  b 2c  c 2 a  abc  4
3
4

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  2
2
2
a b  b c  c a abc
b)

Tìm giá trị nhỏ nhất của P 

----------------------------------------------