Chuyên đề Bất dẳng thức cơ bản dành cho THCS

A. Tính chất luỹ thừa bậc hai:
Ngay từ lớp 7 học sinh đã biết nhận xét về dấu của một số có luỹ thừa chẵn nắm đ-
ợc tính chất của luỹ thừa bậc hai
Bình phơng hay luỹ thừa bậc hai của mọi số đều không âm
(*)
Dấu = xảy ra khi a = 0.
Lớp 8 học sinh đã đợc làm quen với hằng đẳng thức:
(A - B)
2
= A
2
2AB + B
2

Nếu sử dụng tính chất (*) thì
Việc khai thác và sử dụng sáng tạo bất đẳng thức (I) giúp học sinh rèn luyện t duy
và hình thành phơng pháp chứng minh cũng nh cách thức để hình thành bất đẳng thức
mới từ bất đẳng thức đã biết.
Từ bất đẳng thức (I):
(a b)
2
0 a
2
+ b
2
2ab
ở cả 3 BĐT (I), (II), (III) dấu = xảy ra khi a = b.
B. Khai thác tính chất luỹ thừa bậc hai.
I/.Khai thác bất đẳng thức (I): (a b)
2

0
Từ bất đẳng thức (I) ta có thể đổi biến đặt A = ay; B = bx khi đó (I) trở thành:
(ay bx )
2
0 a, b, x, y
Dấu = xảy ra khi ay = bx
y
x
b
a
=
Khai triển và biến đổi: a
2
y
2
2axby + b
2
x
2
0
a
2
y
2
+ b
2
x
2

2axby
a
2
y
2
+ b
2
x
2
+a
2
x
2
+ b
2
y
2
a
2
x
2
+ 2axby + b
2
y
2
(a
2
+ b
2
)(x

2
+ y
2
) (ax + by)
2
Nh vậy ta có bài toán:
1.Bài toán 1:
Chứng minh rằng : (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) (ax + by)
2
(Bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 2 bộ số a, b, và x, y)
1
A
2
0

a
a
b
b
a
+
2 (II)

(a + b)
2
4ab
(III)
(A - B)
2
0 A,B (I)

Để khắc sâu các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ta sẽ chứng minh bài toán
bằng nhiều cách
- Phơng pháp 1: Dùng định nghĩa : A > B A B > 0.
+ Lập hiệu A B.
+ Chứng tỏ A B > 0.
+ Kết luận A > B.
+ Cách 1 : Xét hiệu : (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) (ax + by)
2
= a
2
x
2
+ a
2

y
2
+ b
2
x
2
+ b
2
y
2
- a
2
x
2
- b
2
y
2
2axby
= a
2
y
2
- 2axby + b
2
x
2
= (ay - bx)
2
0 luôn đúng a, b, x, y.

Vậy (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) (ax + by)
2
Dấu = xảy ra khi
y
x
b
a
=
- Phơng pháp 2 : Phép biến đổi tơng đơng.
+ Biến đổi A > B A
1
> B
1
A
2
> B
2
(*)
+ Vậy A > B.
+ Cách 2 : Ta có (a
2
+ b

2
)(x
2
+ y
2
) (ax + by)
2

a
2
x
2
+ a
2
y
2
+ b
2
x
2
+ b
2
y
2
a
2
x
2
+ 2ãby + b
2

y
2
a
2
y
2
- 2axby + b
2
x
2
0
(ay bx)
2
0 luôn đúng a, b, x, y.
Dấu = xảy ra khi
y
x
b
a
=
Bất đẳng thức cuối cùng là đúng.
Vậy (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) (ax + by)

2
- Phơng pháp 3 : Sử dụng bất đẳng thức đã biết
+ Cách 3 : Ta có (ay - bx)
2
0
a
2
y
2
2aybx + b
2
x
2
0
a
2
x
2
+ a
2
y
2
+ b
2
x
2
+ b
2
y
2

a
2
x
2
+ 2ãby + b
2
y
2
(cộng 2 vế a
2
x
2
, b
2
y
2
).
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) (ax + by)
2
- Phơng pháp 4 : Phơng pháp phản chứng.
+ Giả sử có điều trái với kết luận.
+ Suy ra điều mâu thuẫn với giả thiết hoặc điều đã biết.

+ Giả sử sai kết luận đúng.
2

+ Cách 4: Giả sử (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) < (ax + by)
2
a
2
x
2
+ a
2
y
2
+ b
2
x
2
+ b
2
y
2
< a

2
x
2
+ 2ãby + b
2
y
2

a
2
y
2
2aybx + b
2
x
2
< 0
(ay - bx)
2
< 0. Vô lý
Vậy (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) (ax + by)
2

Bốn phơng pháp trên thể hiện trong 4 cách giải bài toán 1 là 4 phơng pháp thông
thờng để chứng minh bất đẳng thức.
Khai thác tiếp tục bất đẳng thức (I) ta có:
(ay - bx)
2

0
(az - cx)
2
0 (ay - bx)
2
+ (az - cx)
2
+ (cy - bz)
2
0
(cy - bz)
2
0
Khai triển, chuyển vế cộng vào 2 vế BĐT : a
2
x
2
+ b
2
y
2
+ c
2
z

2
ta đợc:
a
2
x
2
+a
2
y
2
+a
2
z
2
+b
2
x
2
+b
2
y
2
+b
2
z
2
+c
2
x
2

+c
2
y
2
+c
2
z
2
a
2
x
2
+b
2
y
2
+c
2
z
2
+2axby+2axcz+2bycz
(a
2
+ b
2
+ c
2
)(x
2
+ y

2
+ z
2
) (ax + by +cz)
2
2.Bài toán 2 :
CMR : (a
2
+ b
2
+ c
2
)(x
2
+ y
2
+ z
2
) (ax + by +cz)
2
( BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ 3 số a, b, c và x, y, z).
Giải
Xét hiệu : (a
2
+ b
2
+ c
2
)(x
2

+ y
2
+ z
2
) - (ax + by +cz)
2
=a
2
x
2
+a
2
y
2
+a
2
z
2
+b
2
x
2
+b
2
y
2
+b
2
z
2

+c
2
x
2
+c
2
y
2
+c
2
z
2
- a
2
x
2
- b
2
y
2
- c
2
z
2
-2abxy-2acxz-2bcyz
=(a
2
y
2
-2abxy+b

2
x
2
)+(a
2
z
2
2acxz+c
2
x
2
)+(b
2
z
2
-2bcyz+ c
2
y
2
)
=(ay - bx)
2
+ (az - cx)
2
+ (cy - bz)
2
0
Dấu = xảy ra khi
z
c

y
b
x
a
==
Bằng cách làm tơng tự ta có thể phát triển bài toán BĐT Bunhiacôpxki tổng quát:
(a
2
1
+ a
2
2
++ a
2
n
)(x
2
1
+ x
2
2
++ x
2
n
) (a
1
x
1
+ a
2

x
2
++ a
n
x
n
)
2
Dấu = xảy ra khi
n
n
x
a
x
a
x
a
=== ...
2
2
1
1
Để ý rằng nếu a và x là 2 số nghịch đảo của nhau thì ax = 1 (x =
a
1
)
Từ bài toán 2 ta có thể đặt ra bài toán:
3.Bài toán 3:
Cho ba số a, b, c là 3 số dơng
3

Chứng minh rằng: (a + b + c)(
a
1
+
b
1
+
c
1
) 9
Giải
Theo bài toán 2 (BĐT Bunhiacôpxki):
(a + b + c)(
a
1
+
b
1
+
c
1
)
)
111
(
c
c
b
b

a
a
++
2
(a + b + c)(
a
1
+
b
1
+
c
1
) 3
2
= 9
Dấu = xảy ra khi a = b = c.
Từ bất đẳng thức (x+ y+ z)(
x
1
+
y
1
+
z
1
) 9
Đặt a + b = X; b + c = Y; c + a = Z ta đợc BĐT:
2(a + b + c)(
ba

+
1
+
cb
+
1
+
ac
+
1
) 9
(
cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+
+3) 9

cb
a
+
+
ca

b
+
+
ab
c
+

2
3
Bài toán tìm đợc:
4.Bài toán 4:
Cho a, b, c là 3 số dơng CMR:
cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+

2
3
Giải
áp dụng bài toán 2 tacó:
(a+b+c+b+c+a)(
ba

+
1
+
cb
+
1
+
ac
+
1
)
)
111
(
ac
ac
cb
cb
ba
ba
+
++
+
++
+
+
2
2(a + b + c)(
ba
+

1
+
cb
+
1
+
ac
+
1
) 9
(
cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+
+3) 9

cb
a
+
+
ca
b

+
+
ab
c
+

2
3
(1)
Ta tiếp tục khai thác bài toán 4 theo 2 bớc sau:
- Bớc 1 : Nhân 2 vế của (1) với a+b+c > 0.
(a + b + c)(
ba
+
1
+
cb
+
1
+
ac
+
1
)
2
3
(a + b + c)
- Bớc 2 : Khai triển rút gọn vế trái sau đó chuyển vế ta đợc:
cb
a

+
2
+
ca
b
+
2
+
ab
c
+
2

2
cba
++
Đây là nội dung của bài toán 5
4

5.Bài toán 5 :
Cho a, b, c là 3 số dơng
CMR:
cb
a
+
2
+
ca
b
+

2
+
ab
c
+
2

2
cba
++
Chứng minh bài toán 5 ta có thể dẫn từ bài toán 1 theo hớng khai thác để đi đến
kết quả. Nhng ta có thể giải độc lập nh sau:
- Phơng pháp 1: áp dụng bất đẳng thức bài toán 2
[(
2
)
cb
a
+
+ (
2
)
ab
b
+
+(
2
)
ab
c

+
][(
cb
+
)
2
+ (
ca
+
)
2
+ (
ba
+
)
2
]
2
)( ba
ba
c
ca
ca
b
cb
cb
a
+
+
++

+
++
+
2(a + b + c)(
cb
a
+
2
+
ca
b
+
2
+
ab
c
+
2
) (a + b + c)
2

cb
a
+
2
+
ac
b
+
2

+
ab
c
+
2

2
cba
++
(đpcm)
- Phơng pháp 2: áp dụng bất đẳng thức Cô si
cb
a
+
2
+
4
cb
+
2
4
.
2
cb
cb
a
+
+
= a
ac

b
+
2
+
4
ac
+
b
ab
c
+
2
+
4
ab
+
c
Vậy
cb
a
+
2
+
ac
b
+
2
+
ab
c

+
2

2
cba
++
(cộng theo vế 3 BĐT trên )
Ta tiến hành khai thác bài toán 5 bằng cách:
+Trang bị thêm cho bài toán 5 điều kiện : abc = 1.
+ áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dơng :
a + b + c 3
3
abc
= 3x1 = 3
6.Bài toán 6:
Cho a, b, c là 3 số dơng thoả mãn : abc = 1.
CMR
cb
a
+
2
+
ac
b
+
2
+
ab
c
+

2

2
3
(2)
Giải
Theo bài toán 5
cb
a
+
2
+
ac
b
+
2
+
ab
c
+
2

2
cba
++

2
3
2
13

2
3
3
==
xabc
5