Một số vấn đề về hàm lồi và ứng dụng trong giải tích lồi

Lời nói đầu
Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết toán học
nói chung, các bài toán cực trị và các ngành toán học ứng dụng nói riêng. Hàm
lồi là kiến thức cơ bản nhất của giải tích lồi. Việc nghiên cứu, tìm hiểu về hàm
lồi và ứng dụng của nó trong giải tích lồi là rất cần thiết. Vì vậy chúng tôi đã
chọn đề tài Một số vấn đề về hàm lồi và ứng dụng trong giải tích lồi.
Mục đích của đề tài là nêu lên một số nội dung chính của hàm lồi và 5 định
lý quan trọng của giải tích lồi.
Khoá luận đợc chia làm hai chơng:
Chơng 1 trình bày những kiến thức cơ bản và các vấn đề liên quan đến hàm
lồi.
Chơng 2 trình bày một số định lý quan trọng của giải tích lồi.
Khoá luận đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh với sự giúp
đỡ, hớng dẫn nhiệt tình và chu đáo của thầy giáo TS. Trần Xuân Sinh và những
ý kiến đóng góp của các thầy giáo thuộc tổ Điều khiển khoa Toán.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy hớng dẫn và các thầy
giáo trong tổ Điều khiển và các thầy giáo trong khoa Toán đã tạo điều kiện giúp
đỡ trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận.
Vinh, 4- 2004
Tác giả

Chơng 1

Hàm lồi

Đ1. Định nghĩa và ví dụ
1.1. Tập lồi
1.1.1. Định nghĩa
Giả sử X là không gian tuyến tính, R là tập các số thực.
1.1.1.1. Tổ hợp lồi

3


Cho các điểm x , x , ..., x R . Điểm x =
1

k

2

n

k

i x
i =1

i

, i 0,

k

i = 1 thì X
i =1

gọi là tổ hợp lồi của hệ điểm đã cho.
1.1.1.2. Đoạn thẳng
Cho 2 điểm x1, x2 Rn. Tập hợp các điểm là tổ hợp lồi của hai điểm đã cho
gọi là đoạn thẳng nối x1, x2, ký hiệu [x1, x2]. Nghĩa là

[x1, x2] = {x Rn : x = x1 + (1 - )x2, 0 1}
1.1.1.3. Tập hợp lồi
Tập hợp M Rn đợc gọi là tập lồi nếu tổ hợp lồi của hai điểm bất kỳ thuộc
M cũng thuộc M. Nghĩa là
Với x1, x2 M, R, 0 1 thì x1 + (1 - )x2 M.
Chú ý: Tập cũng đợc xem là tập lồi.
Từ khái niệm đoạn thẳng cho thấy: Tập M lồi khi và chỉ khi đoạn thẳng nối 2
điểm thuộc M thì nằm trọn trong M
A
(Mlồi x1, x2 M [x1, x2] M)
A
M không lồi
B
B
M lồi
Ví dụ: Các nửa không gian là các tập lồi.
Các tam giác và hình tròn là các tập lồi.
Hình cầu đơn vị trong không gian Banach là tập lồi.
1.1.1.4. Hớng chấp nhận đợc
Cho tập hợp M lồi và điểm x0 M. Hớng z Rn đợc gọi là chấp nhận đợc từ
x0 nếu tồn tại 0 0 sao cho
x0 + z M , với [0, 1].
1.1.1.5. Phơng vô tận
Hớng z Rn đợc gọi là phơng vô tận của tập lồi M xuất phát từ x0 M nếu
x0 + z M, 0.
1.1.1.6. Điểm cực biên
Cho tập lồi M, điểm x M đợc gọi là điểm cực biên của M nếu x không thể
biểu diễn thành tổ hợp lồi thực sự của hai điểm nào đó thuộc M. Nghĩa là không
tồn tại x1, x2 M mà
X = x1 + (1 - )x2, 0 < < 1.

1.1.1.7. Nón lồi
a) Định nghĩa nón
4


Tập K X đợc gọi là nón có đỉnh tại O nếu O K và với mọi x K, mọi
> 0 thì x K.
K đợc gọi là nón có đỉnh tại x0, nếu K - x0 là nón có đỉnh tại O.
b) Định nghĩa nón lồi.
Nón K có đỉnh tại O đợc gọi là nón lồi, nếu K là một tập lồi, có nghĩa là
x, y K, , à > 0 thì x + ày K.
Ví dụ: Các tập sau đây trong Rn
{(1, ..., n) Rn : i 0, i = 1, ..., n} (orthant không âm)
{(1, ..., n) Rn : i > 0, i = 1, ..., n} (orthant dơng)
là các nón lồi có đỉnh tại O. Đó là các nón lồi quan trọng trong Rn.
1.1.1.8. Siêu phẳng
Cho vectơ c Rn và số thực .
Tập hợp {xRn:c,x = } đợc gọi là siêu phẳng xác định bởi c và .
1.1.1.9. Nửa không gian
Tập hợp {x Rn : x, c } đợc gọi là nửa không gian giới hạn bởi siêu
phẳng.
{x Rn : x, c = }.
1.1.1.10. Tập lồi đa diện
Cho các nửa không gian Mi = {x Rn: x, ci i}
Dễ dàng thấy rằng các tập Mi là tập lồi.
Tập M = Mi gọi là tập lồi đa diện (I hữu hạn)
iI

Nếu tập lồi đa diện không có phơng vô tận thì gọi là đa diện lồi.
1.1.2. Tính chất

1.1.2.1. Mệnh đề. Giả sử A Rn ( I) là các tập lồi, với I là tập chỉ số
bất kỳ. Khi đó, tập A =
A cũng lồi.
I
Chứng minh. Lấy x1, x2 A. Khi đó x1, x2 A ( I). Với I, do A
lồi cho nên

x1 + (1 - )x2 A , ( [0, 1])
Ta suy ra x1 + (1 - )x2 A
Từ định nghĩa 1.1.1.3 ta nhận đợc các mệnh đề sau:
1.1.2.2. Mệnh đề. Cho các tập lồi Ai Rn, i R (i = 1, m ). Khi đó

1A1 + 2A2 + ... + mAm
là tập lồi.
5


1.1.2.3. Mệnh đề. Giả sử Yi là không gian tuyến tính, tập lồi Ai Yi

(i =

1, m ). Khi đó tích Đề cac A1ìA2ì...ìAm là tập lồi trong Y1ìY2ì...ìYm.
1.1.2.4. Mệnh đề. Cho ánh xạ tuyến tính T: R n R n. Khi đó
a) A lồi thuộc R n thì T(A) lồi.
b) B lồi thuộc R n thì nghịch ảnh T-1(B) của B là tập lồi.
Từ định nghĩa 1.1.1 ta có đính lý sau:
1.1.2.5. Định lý. Giả sử tập A lồi thuộc Rn, với x1, ..., xm A, theo đó, A chứa
tất cả các tổ hợp lồi của x1, ..., xm.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp
Với m = 2, với mọi 1, 2 0, 1 + 2 = 1, x1, x2 A, theo định nghĩa 1.1.3 ta

có 1x1 + 2 x2 A.
Giả sử kết luận đúng với m = k. Ta sẽ chứng minh rằng với mọi x1, ..., xm A,
i 0 (i = 1, ..., k+1),

k +1

i
i =1

= 1, x = 1x1 + ... + kxk + k+1xk+1 A.

Có thể xem nh k +1 < 1, bởi vì nếu k +1 = 1 thì 1 = ... = k = 0 và ta có ngay
x A. Khi đó
1 - k +1 = 1 + ... + k > 0

i
0 (i = 1, 2, ..., k).
1 k +1
Bởi vì

k



1 i
i =1

= 1, cho nên theo giả thiết quy nạp ta có
k +1

y=

i
k
x1 + ... +
xk A
1 k +1
1 k +1

với các điểm y A và xk +1 A ta có
1 - k +1 > 0 , (1 - k +1) + k +1 = 1
Do đó
(1 - k +1)y + k +1xk +1 A.
1.2. Hàm lồi
1.2.1. Định nghĩa
1.2.1.1. Cho tập hợp M Rn, hàm f : M R. Tập hợp
epif = {x M, r R ; (x, r) R n +1 : f(x) r}
gọi là trên đồ thị (epigraph) của hàm f.
6


Hàm f đợc gọi là lồi trên M nếu tập epif lồi trong R nìR.
1.2.1.2. Miền hữu hiệu (effective danain) của hàm f, kí hiệu là domf, đợc
định nghĩa nh sau
domf = {x M : f(x) < + }.
1.2.1.3. Nếu tập domf và f(x) > - (x M) thì hàm f đợc gọi là chính
thờng (proper).
1.2.1.4. Hàm f đợc gọi là lõm trên tập lồi M (concave on M) nếu - f là lồi trên
M.
Nhận Xét:

(1). Từ định nghĩa 1.2.1.2 ta có
Hàm f lồi thì domf lồi.
Thật vậy, tập domf là hình chiếu của epif trên M
domf = {x M : f(x) < +} = {x : r R, (x, r) epif}.
Nh vậy, qua một ánh xạ tuyến tính thì tập lồi epif có ảnh là tập domf. Do đó
domf lồi.
(2). Từ định nghĩa 1.2.1.4 suy ra
Hàm f lồi trên M khi và chỉ khi - f là lõm trên M.
1.2.2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Hàm affine trên Rn có dạng
f(x) = a, x + (a Rn, R)
là hàm lồi trên tập lồi M.
Thật vậy, ta có
epif = {x M, a Rn, r R, (x, r) R n ì R : f(x) r}
= {x M, a Rn, , r R; (x, r) Rn ì R : a, x + r}
Ta thấy, trên đồ thị của nó là một nửa không gian trong Rn ì R không chứa đờng thẳng đứng, do đó epif là tập lồi thì f(x) là hàm lồi, hay
f(x) = a, x +
là hàm lồi.
Ví dụ 2: Chuẩn Euclide là một hàm lồi trên Rn.
||x|| = x, x

1

2

(

= x12 + ... + xn2

)

1

2

trong đó x = (x1, x2, ..., xn) Rn.
Chứng minh.
Lấy (x(*), r) epi(||.||) nghĩa là ||x(*)|| r, x(*) M lồi
(y(*), s) epi(||.||) nghĩa là ||y(*)|| s, y(*) M lồi.
Xét

(x, r) + (1- )(y, s)
7


(x, r) + (1- )(y, s) = (x, r) + (1- )y, (1- )s)

Ta có

= (x + (1- )y; r + (1- )s.
Mặt khác, do ||.|| là hàm tuyến tính nên
||x + (1- )y|| = ||x|| + ||(1- )y||
(*)

= ||x|| + (1- )||y|| = r + (1- )s.
Suy ra
Hay

||x + (1- )y|| r + (1- )s.

x + (1- )y epi(||.||).

Do đó epi(||.||) là tập lồi, nên || .|| là hàm lồi.
Vậy ||X|| = x, x

1

2

(

= x12 + x22 + ... + xn2

)

1

2

là hàm lồi trên Rn .

Ví dụ 3: Hàm một biến bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a > 0) là hàm lồi.
Chứng minh. Lấy (x, r) epif nên f(x) r hay ax2 + bx + c r,
(y, s) epif nên f(y) s hay ay2 + by + c s.
Xét (x, r) + (1- )y.
Ta có

(x, r) + (1- )y = (x, r) + (1- )(y, s)
= (x + (1- )y; r + (1- )s).
Mặt khác

f[x + (1- )y] = f(x) + (1- )f(y) r + (1- )s,
suy ra
f(x + (1- )y) r + (1- )s.
Nghĩa là
(X + (1- )y ; r + (1- )s) epif
((X, r) + (1- )(y, s)) epif.
Vậy epif là tập lồi, suy ra f là hàm lồi.
Hay f(x) = ax2 + bx + c (a > 0) là hàm lồi.
Ví dụ 4: Giả sử f là hàm giá trị thực khả vi liên tục hai lần trên tập lồi M
R . Nếu ma trận Hessian:
n

2 f
Qx =
x x
i j






(với x M, Qx là ma trận các đạo hàm riêng cấp hai) là bán xác định dơng (x
M), tức là
8


z, Qxz 0, (z Rn, x M)
thì hàm f là hàm lồi.
Ví dụ 5: Giả sử M Rn, M . Khi đó hàm chỉ (indicatos function) (.\ M)

là hàm lồi

0, nếu x M
(x\ M) =
+, nếu x M.
Ví dụ 6: Hàm tựa (sup-port function) của tập lồi M Rn (M ) đợc xác
định
S(X\ M) = sup y, x
y M

là hàm lồi.
Ví dụ 7: Hàm khoảng cách của tập lồi M Rn (M )
inf ||x - y||
dM(x) = y
M
là hàm lồi.
Đ2. Các tính chất cơ bản
1.2.1. Tính chất. Cho X là tập lồi. Hàm f là lồi trên X khi và chỉ khi
f(x + (1- )y) f(x) + (1- )f(y), 0 1, x, y X.
Chứng minh.

(2.1)

a) Giả sử f là hàm lồi. Không mất tính tổng quát xem nh (0, 1) với (x,
r) epif , (y, s) epif , (0, 1).
Do epif là tập lồi nên ta có

(x, r) + (1- )(y, s) = [x + (1- )y, r + (1- )s] epif.
Do đó
f[x + (1- )y] r + (1- )s.

Lấy r = f(x), s = f(y) ta đợc
f(x + (1- )y) f(x) + (1- )f(y).
b) Ngợc lại, giả sử (2.1) đúng. Lấy (x, r) epif, (y, s) epif, [0,1], ta
chứng minh

(x, r) + (1- )(y, s) epif.
Thật vậy,

(x, r) epif nên f(x) r
(y, s) epif , suy ra f(y) s.

Từ đó
f[x + (1- )y] f(x) + (1- )f(y) r + (1- )s
Tức là
9


[x + (1- )y , r + (1- )s] epif
Hay là (x, r) + (1- )(y, s) epif.
1.2.2.Tính chất (Bất đẳng thức Jensen).
Cho X là tập lồi. Khi đó f là hàm lồi khi và chỉ khi i 0 (i = 1, k ),

k

i =
i =1

1, x1, ..., xk X ta có
f(1x1 + ... + kxk) 1f (x1) + ... + kf(xk).
Chứng minh. Trớc hết ta thấy với x X, i 0,

i

(2.2)

k

i
i =1

= 1 thì

k

i xi X
i =1

Rõ ràng nếu f có tính chất nh bất đẳng thức đã nêu thì theo tính chất 1.2.1 ta
có f là hàm lồi.
Ta cần chứng minh điều ngợc lại, nghĩa là cho f lồi thì
k

f i x i
i =1


k

i f ( x i ) .
i =1

Ta quy nạp theo k.
Rõ ràng k = 2 thì định lý đúng. Giả sử định lý đúng với k, ta chứng minh
định lý đúng với (k +1).
Ta có
k +1 i
f i x =
i =1


k

f i x i + k +1 x k +1 i 0,
i =1


k

i = 1
i =1

k


i
k +1
= f k +1 x + (1 k +1 )
xk .
i =1 1 k +1

k
i
Kí hiệu i =
, rõ ràng i 0 và i = 1,
1 k +1
i =1
k

i
i =1

k

=

i
= 1.
i
1
1 = 1 i=1 = 1 k +1
i =1
k +1
k +1
k +1
k

Theo giả thiết quy nạp thì

k

k

i =1

i =1

i xi X và f( i xi)

Do vậy
10

k

i f(xi).
i =1


k +1

f i x i k +1f(xk +1) + (1 -k +1)
i =1

k +1f(x

k +1

k +1f(x

k +1

k

f i x i
i =1


k

) + (1 -k +1) i f(xi)
i =1

i
f(xi)
1


i =1
k +1
k

) + (1 -k +1)

k +1

i f(xi).
i =1

1.2.3. Hệ quả. Cho X là tập lồi. Hàm f : X [-, +] là lồi khi và chỉ khi

f(x + (1 -)y) r + (1 -)s,
trong đó [0, 1] và x, y X thoả mãn f(x) r, f(y) s.
Chứng minh.
Điều kiện cần: Cho f lồi chứng minh f(x + (1 -)y) r + (1 -)s
Theo tính chất 1.2.1 ta có
f(x + (1 -)y) f(x) + (1 -)f(y)
r + (1 -)s (vì f(x) r, f(y) s).
Điều kiện đủ: Cho f(x + (1 -)y) r + (1 -)s chứng minh f lồi.
Lấy (x, r) epif, (y, s) epif. Khi đó
f(x) r, f(y) s.
Để chứng minh f lồi ta cần chứng minh
f(x + (1- )y) f(x) + (1- )f(y).
Theo (2.3) ta có
f(x + (1- )y) x + (1- )s.
Từ đó suy ra
(x + (1- )y) , r + (1- )s) epif.
Chọn f(x) = r; f(y) = s, ta đợc
f(x + (1- )y) f(x) + (1- )f(y).
1.2.4. Tính chất.
Giả sử f là hàm lồi trên X, à [-, +]. Khi đó các tập mức
{x : f(x) < à} và {x : f(x) à}
là lồi.
Chứng minh. a) Lấy x1, x2 {x : f(x) < à}, ta có f(x1) < à; f(x2) < à.
11

(2.3)


Từ hệ quả 1.2.3 suy ra
f(x1 + (1- )x2) < à + (1- )à = à, ( (0, 1)).

Ta suy ra

x1 + (1- )x2 {x : f(x) < à}.
Vậy {x : f(x) < à} là tập lồi.

tập

b) Tơng tự nh a), ta có {x : f(x) à} là tập lồi.
1.2.5. Hệ quả.
Giả sử f là hàm lồi trên X, R ( I), I là tập chỉ số bất kỳ. Khi đó,
A = {x X : f(x) , I}

là lồi.
đó

Chứng minh. Đặt A = {x X : f(x) }. Theo tính chất 1.2.4, A lồi và do
A =
A lồi.
I
Định nghĩa. Hàm f xác định trên tập lồi X đợc gọi là thuần nhất dơng

(poritively homogencous), nếu với mọi x X, (0, +), ta có
f(x) = f(x).
1.2.6. Tính chất.
Hàm thuần nhất dơng f : X (-, +) là lồi khi và chỉ khi
f(x + y) f(x) + f(y), (x,y X).
Chứng minh. Điều kiện cần: Cho f là hàm lồi, ta cần chứng minh
f(x + y) f(x) + f(y) (x, y X).
Thật vậy, do X lồi nên x, y X thì

x+ y
X
2

Mặt khác f lồi nên
x+ y
f

2
Do f thuần nhất dơng nên

1
[f(x) + f(y)]
2

f ( x) + f ( y )
x+ y
x+ y
= f(x) + f(y)
f 2
=2f
2
2
2

2
Từ đó suy ra

f(x + y) f(x) + f(y).

Điều kiện đủ: Giả sử f(x + y) f(x) + f(y), (x, y X), ta cần chứng minh f
là hàm lồi.
12


Xét epif. Với (x, r) và (y, s) epif ta có
f(x) r và f(y) s.
Từ f(x + y) f(x) + f(y) r + s suy ra (x + y, r + s) epif, tức là epif khép
kín với phép cộng.
Mặt khác, f thuần nhất dơng nên
f(x) = f(x) r, suy ra (x, r) epif.
Ta đợc epif khép kín với phép nhân vô hơng .
Từ đó cho thấy epif là nón lồi, vậy f lồi.
1.2.7. Hệ quả. Giả sử f là hàm lồi chính thờng, thuần nhất dơng. Khi đó
f(x) + f(-x) 0, (x Rn),
Chứng minh. Theo tính chất 1.2.6, đặt y = - x ta có
f(x) + f(-x) f(x - x) = f(0) = 0.
Vậy
f(x) + f(-x) 0.
1.2.8. Tính chất.
Cho fi (i = 1, ..., m) là các hàm lồi xác định trên tập lồi X. Kí hiệu
f(x) = f1(x) + f2(x) + ... + fm(x)
f = f1 + f2 + ... + fm.
Khi đó f là hàm lồi
(Hay tổng của các hàm lồi là hàm lồi).
Chứng minh. Theo tính chất 1.2.3 ta cần chứng minh
f(x + (1- )y) f(x) + (1- )f(y), ( [0, 1].
Theo giả thiết vì fi là hàm lồi nên
fi(x + (1- )y) fi(x) + (1- )fi(y).
Do đó

f(x + (1- )y) = f1(x + (1- )y) + ... + fm(x + (1- )y)
f1(x) + (1- )f1(y) + ... + fm(x) + (1- )fm(y)
(f1(x) + ... + fm(x)) + (1- )(f1(y) + ... + fm(y))
f(x) + (1- )f(y).
1.2.9. Tính chất.
Cho f là hàm liên tục, khả vi xác định trên tập lồi X Rn. Khi đó, f là hàm
lồi khi và chỉ khi
f(y), x - y f(x) - f(y), (x,y X),
trong đó f(y) = f y1 ,..., f yn .

(

)

13


Chứng minh. Giả sử có f(y), x - y f(x) - f(y), (x,y X), ta chứng
minh f là lồi.
Với bất kỳ x, y X và [0, 1], đặt z = y + (1- )x
Do X lồi nên z X.
Với x và z ta có f(x) - f(z) f(z), x - z

(a)

Với y và z ta có f(y) - f(z) f(z), y - z

(b)

Nhân (a) với (1- ) và (b) nhân với ta có

f(y) - f(z) f(z), y - z
(1- )f(x) - (1- )f(z) (1- )f(z), x - z
Cộng vế với vế của (a) với (b) ta có

(a)
(b)

f(y) - f(z) + (1- )f(x) + (1- )f(z) f(z), y - z + (1- )f(z), x - z
f(y) + (1- )f(x) f(z) + f(z), y + (1- )x - f(z), z = f(z).
Vì z = y + (1- )x nên bất đẳng thức trên trở thành
f(y) + (1- )f(x) f[y + (1- )x].
Do đó f là lồi.
Điều kiện cần: Cho f lồi, ta chứng minh f(y) - f(x) (1- )f(y), x - y với
mọi x, y X và (0, 1), do f là hàm lồi nên ta có
f(y) - (1- )f(y) f[x + (1- )y].
Suy ra
f(y) - f(y) f[x + (1 - )y] - f(y),
hay với mọi (0, 1) ta có
f [ x + (1 ) y ] f ( y)
f(x) - f(y)
=

f ( y + ( x y ) ) f ( y)
= f(x) - f(y)
.

Cho qua giới hạn của vế phải khi 0+, ta đợc
f(x) - f(y) f(y), x - y.
Nhận xét. Tính chất 1.2.9 có ứng dụng trong lý thuyết quy hoạch lồi. Bài

min f(x), trong đó f là lồi.
toán quy hoạch lồi có dạng: x
Xlồi
Sử dụng tính chất 1.2.9 thì ta có f lồi khi và chỉ khi
f(y), x - y f(x) - f(y), (x, y X).
Nếu y* X mà ta có
f(y*), x - y* f(x) - f(y*), (x, X).
14


Vậy y* X là phơng án tối u của f lồi khi và chỉ khi
f(y*), x - y* 0, (x, X).
Thật vậy, ta có
f(x) - f(y*) f(y*), x - y* 0, (x, X)



f(x) f(y*); (x X)
f(y*) = min f(x).
xXlồi

Định nghĩa. Cho hàm lồi f(x) xác định trên tập lồi X. Điểm x0 X đợc gọi là
cực tiểu địa phơng của f(x) nếu tồn tại lân cận x 0 sao cho
f(x0) f(x), x X x 0 .
Nếu f(x0) f(x), x X thì ta nói x0 cực tiểu tuyệt đối (cực tiểu toàn cục).
1.2.10. Tính chất.
Cực tiểu địa phơng của hàm lồi f(x) cũng là cực tiểu tuyệt đối trên tập lồi X.
Chứng minh. Giả sử x0 X là điểm cực tiểu địa phơng của f có nghĩa là tồn
tại lân cận x 0 sao cho
f(x0) f(X), x x 0 X.

Ta xét x bất kỳ thuộc X.
Đặt
y = x + (1 - )x0, [0, 1].
Với > 0 và đủ bé thì
y x0 X.
Do đó ta có f(x0) f(Y), (vì y x 0 M)
Điều đó chứng tỏ
f(x0) f(y) = f[x + (1 - ) x0] f(x) + (1 - )f(x0), (vì f lồi).
Suy ra f(x0) f(x),x X
Với mọi > 0, đủ bé thì
f(x0) f(x), x X.
Bất đẳng thức trên nói lên rằng x0 là cực tiểu tuyệt đối (toàn cục).
1.2.11. Tính chất.
Cho f(x) là hàm một biến hai lần khả vi, x [a, b]. Khi đó f(x) là hàm lồi
khi f (x) 0, x [a, b].
15


Chứng minh. Lấy x1, x2 [ a, b] (giả sử x1 < x2).
Giả sử 1 > 0, 2 > 0 và 1 + 2 = 1
Ta phải chứng minh:
f(1x1 + 2x2) 1 f(x1) + 2f(x2).
[

(

a

x1

1

1x1 + 2x2

2

)

]

x2

b

Xét đoạn thẳng [x1, 1x1 + 2x2]. Theo định lý Lagrăng thì tồn tại 1 mà
x1 < 1 < 1x1 + 2x2 sao cho
f(1x1 + 2x2) - f(x1) = (1x1 + 2x2 - x1)f(1).
f(1) =

f (1 x1 + 2 x2 ) f ( x1 )
1 x1 + 2 x2 x1

=

f (1 x1 + 2 x2 ) f ( x1 )
1 x1 + (1 1 ) x2 x1

=

f (1 x1 + 2 x2 ) f ( x1 )

(1 1 )( x2 x1 )

(1)

Xét đoạn [1x1 + 2x2; x2].
Cũng theo định lý Lagrăng tồn tại 2, 1x1 + 2x2 < 2 < x2 sao cho
f ( x2 ) f ( 1 x1 + 2 x2 )
= f(2).
x2 1 x1 2 x2

có

f(2) =

f ( x2 ) f ( 1 x1 + 2 x2 )
x2 1 x1 (1 1 ) x2

=

f ( x2 ) f ( 1 x1 + 2 x2 )
1 ( x1 x2 )

(2)

Vì f (x) 0, x [a, b] nên f(x) là hàm đồng biến trên [a, b] do 1 < 2, ta
f(1) < f(2).
Từ (1), (2) và (3) suy ra
f (1 x1 + 2 x2 ) f ( x1 )
f ( x2 ) f ( 1 x1 + 2 x2 )
<

(1 1 )( x2 x1 )
1 ( x1 x2 )

(3)
(4)

Do x2 - x1 > 0, 0 < 1 < 1, nên từ (4) suy ra

1[f(1x1 + 2x2) - f(x2)] < (1 - 2)[f(x2) - f(f(x2) - f(1x1 + 2x2)]
16




f(1x1 + 2x2) < 1f(x1) + (1 - 1)f(x2)



f(1x1 + 2x2) < 1f(x1) + 2f(x2).

Vậy f(x) là hàm lồi trên [a, b].
1.2.12. Hệ quả.
Các hàm sau đây là hàm lồi
1. y = ax
(a > 0).
2. y = xb
3. y = - logax

(x > 0, b Z+)
(x > 0, a > 1).

Định nghĩa. Hàm f đợc gọi là đóng, nếu epif đóng trong X ì R.
1.2.14. Tính chất.
Hàm f đóng khi và chỉ khi tất cả các tập mức có dạng {x : f(x) } của f là
đóng.
Chứng minh. Ký hiệu các tập mức (tập Lebesgue) của f là L f. Ta có

L f = {x X : f(x) }
= {x X : (x, ) epif}.
Vì vậy, epif đóng theo tất cả các tập L f đóng.
Ngợc lại, giả sử tất cả các tập L f đóng, ta chứng minh epif đóng.
Thật vậy,

L f

=

L f.

>

(*)

Giả sử (x0, 0) epif. Để chứng minh epif đóng, ta chứng minh tồn tại lân
cận V của (xo, o) sao cho
(epif) V = .
Bởi vì (x0,0) epif cho nên x

L 0 f. Từ công thức (*) suy ra > 0 sao

cho x0 L f. Do đó, tồn tại lân cận V của xo sao cho
(L f) V = .
Đặt V = {(x, ) X ì R : x V, < }
Khi đó, V là lận cận điểm (xo, o) trong X ì R
Nếu (x, ) V thì x L f. Do < , x L f
Vì vậy, f(x) > , nghĩa là (epif) V = . Vậy epif đóng.
17


Nhận xét:
Tính chất lồi của hàm không giống tính chất đóng. Cụ thể nếu hàm f lồi thì
tất cả các tập mức dới của nó là lồi. Nhng điều ngợc lại không đúng.
Chẳng hạn: Hàm f(x) = x3 (x R) có tất cả các tập mức lồi, nhng f không lồi
trên R.
Hàm f(x) = x

1

2

, (x R) có tất cả các tập mức lồi nhng f không lồi.

1.2.15. Tính chất.
Cho (X ì R) là tập lồi trong Rn+1, và f(x) = inf{à R : (x, à) (X ì R)}.
Khi đó f là hàm lồi trên Rn.
Chứng minh. áp dụng tính chất 1.2.3 ta suy trực tiếp kết quả.

Chơng 2
Một số định lý quan trọng về hàm lồi
Trong giải tích lồi có 5 mệnh đề quan trọng, bao gồm

1. Bổ đề Hoàng Tụy.
2. Định lý Tách.
3. Định lý Hahn - Banach.
4. Bổ đề Farkas- Mincôpski.
5. Định lý Lagrăng.
Đ1. Bổ đề Hoàng Tụy
Cho không gian Rn (n hữu hạn) và các vectơ
p = (p1, p2, ..., pn), q = (q1, q2, ..., qn),
trong đó
pi : các số thực lấy giá trị hữu hạn hoặc pi = -
qi : các số thực hữu hạn hoặc qi = +
Với mỗi vectơ y = (y1, y2, ..., yn), ta ký hiệu
p, q, y = pi yi + qi yi
yi 0

yi > 0

Xét tập lồi M X ìY với X là không gian tuyến tính, Y = Rn. Giả sử p q và
với mỗi điểm u = (x, y) x X, y Y có ít nhất một điểm (x', y') M sao cho
y' = - y với mọi > 0.
18


2.1.1. Bổ đề Hoàng Tụy
Với những giả thiết đã nêu, để một hàm lồi f(u) trên M thoả mãn hệ thức
p, q, y + f(u) 0, (u = (x, y) M)

(2.1)

thì điều kiện cần và đủ là có một vectơ a = (ai) Rn sao cho p a q và

n



aiyi + f(u) 0

(2.2)

i =1

Chứng minh. Điều kiện cần:
Với n = 1 ta kiểm tra thấy mệnh đề đúng.
Xét với n > 1, với mỗi u = (x, y) ta thấy:
Khi y = 0 thì hiển nhiên.
Khi y 0, ta đặt
z(u) = -

1
f(u).
y

Từ (2.1) ta có z(u) q nếu y > 0, z(u) q, q 0.
Do đó
sup z(u) q ; sup z(u) q.
y >0

y <0

(*)

Mặt khác, với mọi u = (x, y), y > 0 và u' = (x', y'), y' < 0, vì tập M lồi nên ta
có
u0 =

1
1
u - u' M,
y
y'

yy '
> 0, (y0 = 0).
y y'
Do đó, vì f lồi nên

trong đó = -

f(u0)

1
1
f(u) - f(u').
y
y'

Nhng f(u0) = (x0, y0) với y0 = 0, theo (2.1) ta có f(u0) 0.
Do vậy, với mọi u = (x, y), y > 0 và u' = (x', y'), y' < 0 ta có
1
1
- f(u) - f(u')

y
y'
hay
1
1
z(u) = - f(u) - f(u') = z(u').
y
y'
Suy ra
19


z < +, v > -, z v.

(**)

Từ (*) và (**) ta đợc
max{z, p} min{v, q} và a R sao cho p a q, z t v.
Từ z t v, suy ra với mọi u = (x, y), y 0 ta có
ay + f(u) z(u).y + f(u) = 0.
Giả sử bổ đề đúng với n = k -1, ta chứng minh bổ đề đúng với n = k.
Ký hiệu

M+ = {(x, y) M, yk > 0}
M- = {(x, y) M, yk < 0}

M0 = {(x, y) M, yk = 0}.
Nếu M0 = M thì theo giả thiết quy nạp bổ đề đúng.
Nếu M0 M thì có ít nhất một u = (x,y), yk 0, theo giả thiết ban đầu ta có
M+ và M_ đều khác rỗng. Khi đó ta đặt

p = (p1, p2, ..., pk -1), q = (q1, q2, ..., qk -1)
y = (y1, y2, ..., yk -1) , g(u) = p , q , y + f(u).
Ta có
pk, qk, yk + g(u) 0 u = (x, y) M.
Xét trong trờng hợp n = 1, phải có ak sao cho
pk ak qk và u = (x, y) M
thì
ak yk + g(u) 0.
Đặt (u) = ak yk + g(u), ta có thể viết
p , q , y + (u) 0, u = (x, y) M.
Do đó theo giả thiết quy nạp phải có ak sao cho pi ak qi (i = 1, ..., k-1) và
k

ai yi + (u) 0

u = (x, y) M.

i =1

Điều kiện đủ: Từ (2.2) ta có
p, q, y + f(u) a, a, y + f(u) =

n

ai yi + f(u) 0.
i =1

Do đó
p, q, y + f(u) 0.
Vậy bổ đề đợc chứng minh.

2.1.2. Các trờng hợp riêng của bổ đề Hoàng Tụy
Trờng hợp 1: Khi p, q, y là các số thực, từ bổ đề Hoàng Tụy ta có hệ quả
20


2.1.2.1. Hệ quả. Với giả thiết đã nêu, nếu một hàm lồi f xác định trên M
thoả mãn hệ thức
p, q, y + f(u) 0 (u = (x,y) M)
thì điều kiện cần và đủ là có một số thực a sao cho p a q và u = (x,y) M
thì ay + f(u) 0.
Trờng hợp 2: Giả sử tập lồi M nhận điểm O là điểm trong tơng đối, tức là
ứng với mỗi y M, có một số > 0, sao cho -y M khi đó điều kiện ban đầu
của bổ đề Hoàng Tuỵ đợc thoả mãn. Mặt khác nếu f là hàm lồi đồng nhất O thì
điều kiện

n



aiyi 0 thì cũng có

i =1

n



aiyi 0.

i =1

Do vậy ta có
a, y =

n


i =1

aiyi = 0, y = M.

Từ đó ta có hệ quả sau:
2.1.2.2. Hệ quả. Nếu M là tập lồi, nhận O làm điểm trong tơng đối thì điều
kiện cần và đủ để tồn tại vectơ a R2 sao cho p a q và a,y = 0, y M
thì
p, q, y 0, y M.
Trờng hợp 3: Nếu M là tập hợp các nghiệm của hệ phơng trình Ax 0, trong
đó A là ma trận cấp m ì n và p = q, ta có hệ quả (gọi là bổ đề Farkas):
2.1.2.3. Hệ quả. (Bổ đề Farkas)
Muốn cho p, x 0 với mọi x nghiệm đúng Ax 0, điều kiện cần và đủ là
tồn tại một vectơ z Rk, sao cho z 0 và p = A*z.
(trong đó A* là ma trận chuyển vị của A)
Đ 2. Định lý Hahn - Banach
2.2.1. Một số kiến thức cơ sở
2.2.1.1. Không gian tuyến tính. Một tập hợp X đợc gọi là một không gian
tuyến tính nếu ứng với mỗi cặp phần tử x, y X, theo một quy tắc nào đó, ta đợc
một phần tử thuộc X, ta gọi tổng của x và y (ký hiệu là x + y). Khi đó ứng với
mỗi phần tử x X và mỗi số thực , theo một quy tắc nào đó, ta đợc một phần
tử thuộc X, gọi là tích của x với (Ký hiệu là x).
Đồng thời các quy tắc vừa nêu phải thõa mãn 8 điều kiện sau:

i) Tính giao hoán: x + y = y + x
21


ii) Tính kết hợp: (x + y) + z = x + (y + z)
iii) Tồn tại phần tử không (ký hiệu là 0) sao cho
x + 0 = 0 + x = x, với x X
iv) ứng với mỗi x X, tồn tại trong X phần tử đối của x (ký hiệu là - x) sao
cho x + (-x) = 0.
v) Phần tử đơn vị: 1.x = x.1 = x.
vi) (x) = ()x. (, là những số bất kỳ)
vii) ( + )x = x + x.
viii) (x + y) = x + y.
2.2.1.2. Không gian định chuẩn. Một không gian tuyến tính X nếu ứng với
mỗi x X, ta có một số ||x||, gọi là chuẩn của nó, sao cho với x, y X và một
số thực thoả mãn các điều kiện
i) ||x|| > 0 nếu x 0 và ||x|| = 0 nếu x = 0
ii) ||ax|| = . ||x||
iii) ||x + y|| ||x|| + ||y||.
Khi đó không gian tuyến tính X đợc gọi là không gian định chuẩn.
2.2.1.3. Dãy cơ bản. Cho không gian định chuẩn X, dãy {xn} gọi là dãy cơ
bản nếu
lim xn xm = 0.
n , m
2.2.1.4. Không gian Banach. Không gian Banach X (còn gọi là không gian
đủ) là không gian định chuẩn X có mọi dãy cơ bản đều hội tụ.
2.2.1.5. Phiếm hàm, phiếm hàm tuyến tính.
Cho không gian tuyến tính X. Một số hàm f(x) xác định trên X mà lấy giá trị
thực (hoặc phức) đợc gọi là một phiến hàm trên X.
Nếu với x, x1, x2 X và R thoã mãn

+ f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)
+ f(x) = f(x)
Khi đó X gọi là phiếm hàm tuyến tính.
2.2.1.6. Không gian liên hợp. Cho phiếm hàm tuyến tính f liên tục, xác định
trên không gian định chuẩn X. Khi đó chuẩn của f đợc xác định là
f = sup f ( x )
x =1

Tập hợp các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian tuyến tính định
chuẩn X lập thành một không gian tuyến tính định chuẩn X* và X* đợc gọi là
không gian liên hợp của X
22


2.2.1.7. Dới tuyến tính, sơ chuẩn.
Cho không gian tuyến tính X, hàm f : X R đợc gọi là dới tuyến tính nếu
f(x1+x2) f(x1) + f(x2), với x1, x2 X
f(x) = f(x), x X và 0.
Một phiếm hàm dới tuyến tính f đợc gọi là một sơ chuẩn nếu với mọi số

( thực hoặc phức tuỳ vào không gian ta đang xét) ta có
f(x) = || f(x).
2.2.1.8. Cho tập M X, điểm a M đợc gọi là điểm bọc của M nếu với mỗi
vectơ t X, tồn tại một số > 0 sao cho toàn đoạn thẳng nối (a - t) với (a + t)
nằm trọn trong M.
Cho tập lồi M, điểm x0 M đợc gọi là điểm trong của M nếu với mỗi x M
thì tồn tại y M mà x0 = x + (1 - )y, (0 < < 1)
Chú ý: Nếu tập M có điểm trong thì mọi điểm bọc của M cũng là điểm trong.
2.2.1.9. Hình chiếu. Cho tập lồi M Rn, v Rn, ta gọi p là hình chiếu của v
trên M ký hiệu là p = p(v), nếu p M và

xv .
= ||v - p|| = xinf
M

Khi đó đợc gọi là khoảng cách từ v tới M.
Ta cũng có tính chất sau:
+ Cho M là tập lồi đóng thuộc Rn, khi đó với mọi v M, tồn tại duy nhất
hình chiếu p = p(v) trên M.
+ Muốn cho điểm p = (pi) M là hình chiếu của v trên M, điều kiện cần và
đủ là với mọi x = (xi) M ta có
x - p, v - p 0 hay là x, v - p v - p.
+ x - v, x - p ||x - p||2 và ||x - p|| ||v - p||.
Việc chứng minh có thể xem [1].
2.2.1.10. Tiên đề Zorn. Nếu tập S đợc sắp một phần và mọi tập con đợc sắp
tuyến tính của S đều có cận trên thì S phải có một phần tử tối đại.
2.2.2. Định lý Hahn- Banach
2.2.2.1. Định lý. Cho một phiếm hàm tuyến tính f, xác định trong không
gian con M của không gian tuyến tính thực X. Nếu có một hàm dới tuyến tính
xác định trong X, sao cho
f(x) (x) (x M)
23


thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính F(x) xác định trên X sao cho
1) F là khuếch của f, nghĩa là F(x) = f(x) (x M)
2) F(x) (x) (x X).
Chứng minh. Cho f1, f2 là 2 phiếm hàm tuyến tính xác định tơng ứng trên hai
không gian con M1, M2 của X. Nếu M1 M2, f1(x) = f2(x), x M1,

f2(x)

(x), x M2, ta kí hiệu f1 < f2. Ta cần chỉ ra tồn tại hàm F xác định trên X và
có f < F (theo nghĩa < nh đã nêu).
Gọi C = {Phiếm hàm tuyến tính g: f < g}. Khi đó C vì f C và đợc sắp
một phần bởi liên hệ <.
Nếu P là một tập hợp con đợc sắp tuyến tính của S thì cận trên của nó là
phiếm hàm có miền xác định bằng hợp của tất cả các miền xác định của các
phiếm hàm g P và trùng với giá trị của từng phiếm hàm g ấy trên miền xác
định của g. Vậy theo tiên đề Zorn, C phải có một phần tử tối đại F. Ta hãy
chứng minh rằng miền xác định của F là toàn không gian X. Khi ấy F sẽ thoả
mãn yêu cầu của định lý.
Giả sử ngợc lại, có một phần tử x0 X không thuộc miền xác định M của F.
Ta xét tập hợp Q = M ì R, và đặt p = -, q = + với mọi z = (x,y) Q
(x M, y R) ta có (z) F(x), cho nên
z = (x, y) Q : p, q, y - F(x) + (z) 0.
(Ta đồng nhất mỗi z = (x, y) M ì R với điểm x + yx0 X, thành thử

(z) = (x + yx0)).
Mà h(z) = - F(x) + (z) hiển nhiên là hàm lồi, theo bổ đề Hoàng Tụy phải có
một số thực t nghiệm đúng.
z = (x, y) = Q, ty - F(x) + (z) 0.
Đặt F1(z) = F(x) - ty với mọi z = x + yx0 (y R) ta sẽ đợc một phiếm hàm
tuyến tính F1 xác định trên không gian M1 sinh bởi hợp của M và x0, và nghiệm
đúng (z M) F1(z) (z). Nh thế F1 F và F1 < F, trái với tính chất tối đại
của F.
2.2.2.2. Hệ quả. Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên một
không gian con M của không gian định chuẩn X bao giờ cũng có thể khuếch
thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục F, xác định trên toàn bộ X, mà có
||F|| = ||f||.
24

Chứng minh. Với mọi x M, ta có |f(x| ||f||.||x||. Vì (x) = ||f||.||x|| là một sơ
chuẩn, thoả mãn yêu cầu của định lý Hahn - Banach, cho nên f có thể khuếch
thành F sao cho
|F(x)| ||f||.||x||, (x X).
Do đó ||F|| ||f||. Mặt khác, vì F(x) = f(x), x M, nên ||F|| ||f||.
Vậy ||F|| = ||f||.
2.2.2.3. Hệ quả. Với mọi phần tử x0 0 của một không gian định chuẩn X,
tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f sao cho f(x0) = || x0|| và ||f|| = 1.
Chứng minh. Ta có f(x0) = || x0|| là phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định
trên không gian con tạo nên bởi tất cả các vectơ có dạng x0, và ||f|| = 1. Do đó,
áp dụng hệ quả 2.2.2.1 ta suy ra hệ quả 2.2.2.3.
Đ3. Định lý tách
Giả sử X là không gian lồi địa phơng, X* là không gian liên hợp của X, tức là
không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X.
2.3.1. Định nghĩa. Tập hợp M X thoả mãn bất cứ đờng thẳng nào đi qua
hai điểm của M cũng nằm trong M đợc gọi là một đa tạp tuyến tính trong M.
Chú ý: Khái niệm đa tạp tuyến tính chính là khái niệm tập affine trong
không gian hữu hạn chiều.
Lấy x* X*, x* 0, R và kí hiệu:
H(x*, ) = {x X : x*, x = }
H+(x*, ) = {x X : x*, x }
H-(x*, ) = {x X : x*, x }.
2.3.2. Định nghĩa. Với 0 x* X*, R, tập H(x*, ) đợc gọi là một siêu
phẳng trong X. Các tập H+(x*, ) và H-(x*, ) đợc gọi là các nửa không gian sinh
bởi siêu phẳng H(x*, ).
Nhận xét: H(x*, ) là một đa tạp tuyến tính đóng có đối chiều bằng 1, khái
niệm siêu phẳng ở đây trùng với khái niệm siêu phẳng trong không gian hữu
hạn chiều ở chơng 1.

2.3.3. Định nghĩa. Cho các tập hợp A, B X. Ta nói phiếm hàm tuyến tính
liên tục x* 0 tách A và B nếu tồn tại số thực sao cho
x*, y x*, x, (x A, y B).
Nếu (*) có dạng
x*, y < < x*, x, (x A, y B)
25

(*)


thì ta nói x* tách ngặt A và B.
Siêu phẳng đóng H(x*, ) = {x X : x*, x = } đợc gọi là siêu phẳng tách
A và B. Các tập A và B nêu nh trên đợc gọi là tách đợc.
Chú ý: (*) tơng đơng với
x*, y x*, x, (x A, y B).
2.3.4. Định lý tách thứ nhất. Giả sử A, B là hai tập lồi trong không gian lồi
địa phơng X, A B = , intA . Khi đó tồn tại x* X*, x* 0, tách A và B.
Chứng minh. Ta có intA là tập lồi (theo Giải tích lồi - Phan Huy Khải, Đỗ
Văn Lu, tr.7 mệnh đề 1.5).
Vì (intA) B = nên (intA) - B lồi mở và 0 (intA) - B. Khi đó tồn tại siêu
phẳng đóng H = {x : x*, x = 0} (theo định lý 3.1 tr. 68 Giải tích lồi - Phan
Huy Khải, Đỗ Văn Lu) chứa không gian con tuyến tính {0} và không cắt (intA)
- B.
Ta có x* liên tục, bởi vì H đóng. Hơn nữa, x* 0 bởi vì nếu x* = 0 thì H = X,
và do đó H không phải là siêu phẳng của X nữa.
Ta lại có (intA) - B nằm trong một nửa không gian sinh bởi H, chẳng hạn nửa
không gian trên. Khi đó
x*, x - y > 0, (x intA, y B)
Do đó x*, x x*, y (x int A = A , y B), hay là
x*, x x*, y (x A, y B).

2.3.5. Hệ quả. Giả sử A, B là các tập lồi trong X, intA . Khi đó, A và B
tách đợc khi và chỉ khi (intA) B = .
Chứng minh. a) Giả sử (intA) B = . Khi đó, theo định lý tách thứ nhất
tồn tại 0 x* X* sao cho
x*, x x*, y , (x intA, y B)
Do x* liên tục, A int A , ta có
x*, x x*, y (x A, y B),
tức là x* tách A và B.
b) Giả sử 0 x* X* tách A và B, tức là
x*, x x*, y, (x A, y B).
Nếu nh tồn tại x intA, y B thoả mãn
x*, x = x*, y
thì do x* 0, ta tìm đợc x1 trong lân cận U của x (U intA), sao cho
26


x*, x1 > x*, y.
Bất đẳng thức này mâu thuẫn với giả thiết. Vì vậy
x*, x < x*, y, (x intA, y B).
Suy ra (intA) B = .
2.3.6. Định lý tách thứ hai. Giả sử tập A là không gian con lồi, đóng trong
không gian lồi địa phơng X và x0 A. Khi đó, tồn tại x* 0 thuộc X* tách ngặt A
và x0.
Chứng minh. Bởi vì X \ A mở và x0 X \ A cho nên tồn tại lân cận lồi U của 0
sao cho x0 + U X \ A, tức là (x0 + U) A = .
Theo định lý tách thứ nhất, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục x* 0 tách
x0 + U và A, tức là
x*, y x*, x0 + x*, z, (y A, z U).
Do x* 0, ta có
*

- = inf
z U x , z < 0

Vậy
x*, y x*, x0 - , (y A).
Suy ra x* tách ngặt A và x0.
2.3.7. Hệ quả. Giả sử X là không gian lồi địa phơng Houssdoff , A X. Khi
đó, coA trùng với giao của tất cả các nửa không gian chứa A.
Gọi tơng giao của tất cả các nửa không gian chứa A là M. Do các nửa không
gian là lồi đóng, cho nên một nửa không gian chứa A khi và chỉ khi nó chứa
coA.
Do đó coA M.
Mặt khác, nếu x coA thì theo định lý tách thứ hai, tồn tại nửa không gian
chứa coA và không chứa x. Vậy x M. Do đó coA = M.
2.3.8. Hệ quả. Giả sử X là không gian lồi địa phơng Houssdorff, A X là lồi.
Khi đó bao đóng của A theo tôpô xuất phát A là đóng theo tôpô yếu của X.
Chứng minh. Theo định nghĩa tôpô yếu, tập hợp các phiếm hàm tuyến tính
liên tục theo tôpô xuất phát là trùng nhau. Do đó, tất cả các nửa không gian là
đóng yếu. áp dụng hệ quả trên suy ra điều phải chứng minh.
2.3.9. Hệ quả (Định lý Mazur).
Giả sử X là không gian Banach, A X, x0 thuộc bao đóng yếu của A. Khi đó,
tồn tại dãy các tổ hợp lồi các phần tử của A hội tụ đến x0 theo chuẩn.
27