Một số yếu tố hình học đại số trong hình học xạ ảnh luận văn thạc sĩ toán học

1
MỤC LỤC

Mục lục ...............................................................................................................1
Lời nói đầu ........................................................................................................2
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Phần 1. Vành giáo hoán ….…………………………………...…..…………...4
Phần 2. Tập đại số ............................................................................................. 7
Phần 3. Iđêan ...................................................................................................15
Phần 4. Cấu xạ trong tôpô Zariski …................................................................26
Chương 2. Một số yếu tố hình học đại số trong hình học xạ ảnh
Phần 1. Hình học xạ ảnh trong ngôn ngữ hình học đại số …….…………….. 34
Phần 2. Tập đại số trong không gian xạ ảnh .................................................... 40
Phần 3. Một số ví dụ về tập đại số và iđêan trong toán học phổ thông …….. 43
Phần 4. Phân loại xạ ảnh, đại số, khả vi và tôpô một số hình trong không gian xạ
ảnh …………………...…………………………………………………........ 48
Kết luận ……………………………………………………………………. 51
Tài liệu tham khảo ………………………………………………………… 52


2
LỜI NÓI ĐẦU
Hình học đại số là môn toán học dùng các công cụ đại số để nghiên cứu hình
học. Để làm được điều này người ta đã dùng các phương trình để mô tả các hình
học và quy các vấn đề hình học về việc nghiên cứu tập nghiệm của một hệ
phương trình đa thức. Hình học đại số hiện đang đóng một vai trò trung tâm trong
toán học hiện đại và có những mối liên hệ với rất nhiều chuyên ngành khác, như
Giải tích phức, Số học, Tôpô.
Có thể thấy hầu hết các hình hình học trong hình học phổ thông, Hình học afin,
Hình học Ơclit, Hình học xạ ảnh và nhiều hình thường xét trong các ngành toán
học khác… đều là các tập đại số.

Việc nghiên cứu các yếu tố hình học đại số trong các hình học khác, như Hình
học afin, Hình học Ơclit, Hình học xạ ảnh, ... là rất cần thiết để ta hiểu sâu sắc hơn
về các hình học này. Vì thế với mong muốn hiểu biết tốt hơn về hình học đại số,
ứng dụng của nó trong các hình học khác và dưới sự hướng dẫn của PGS.TS
Nguyễn Huỳnh Phán nên tôi chọn đề tài “MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI
SỐ TRONG HÌNH HỌC XẠ ẢNH”.
Luận văn được chia làm hai chương:
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ sở liên quan đến
nội dung của chương sau. Cụ thể, chúng tôi trình bày các định nghĩa và các tính
chất cơ bản của vành giao hoán, tập đại số, iđêan, cấu xạ trong tôpô Zariski.


3
Chương 2. MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG HÌNH

HỌC XẠ ẢNH
Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm về không gian xạ ảnh trong
ngôn ngữ hình học đại số; tập đại số; nêu được mối quan hệ giữa chúng; phân loại
xạ ảnh, đại số, khả vi, tôpô một số hình và các phẳng trong không gian xạ ảnh.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự
hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán. Nhân dịp này, tác giả xin
chân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán, người đã
đặt bài toán, chỉ dẫn đề cương nghiên cứu cho tác giả và đã tận tình hướng dẫn tác
giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn các
thầy cô giáo trong khoa Sau Đại học đã tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả trong quá
trình công tác và học tập. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô
giáo trong khoa Toán trường Đại học Vinh đã giảng dạy và hướng dẫn giúp đỡ tác
giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Cũng nhân dịp này, tác
giả xin chân thành cảm ơn bạn bè đồng nghiệp và gia đình, đã động viên, giúp đỡ

tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và
hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất
mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn
thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn !
Vinh, tháng 09 năm 2012
Tác giả luận văn


4
CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Phần 1. VÀNH GIAO HOÁN
Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về vành, miền nguyên,
trường và iđêan. Đây là những kiến thức có liên quan tới các phần sau.
1.1. Định nghĩa. Tập hợp V được gọi là vành nếu trên nó có hai phép toán hai
ngôi kí hiệu theo thứ tự bằng các dấu “+” và “.” Và gọi là phép cộng và phép
nhân sao cho các điều kiện sau thõa mãn:
1. V cùng với phép cộng là một nhóm Aben;
2. V cùng với phép nhân là một nữa nhóm;
3. Phép nhân phân phối với phép cộng: Với các phần tử tùy ý x, y, z  V ta có
x(y + z) = xy + xz,
(y + z)x = yx + zx.
Phần tử trung lập của phép cộng kí hiệu là 0 và gọi là phần tử không. Phần tử
đối xứng (đối với phép cộng) của một phần tử x thì kí hiệu là -x và gọi là đối của
x. Nếu phép nhân giao hoán thì V gọi là vành giao hoán. Nếu phép nhân có phần
tử trung lập thì phần tử đó gọi là phần tử đơn vị của V thường kí hiệu là 1, khi đó
ta gọi V là vành có đơn vị.
Phần tử x của vành V giao hoán, có đơn vị là 1, gọi là khả nghịch nếu tồn tại
y  V sao cho xy = 1. Khi đó x còn gọi là ước của đơn vị. Tập tất cả các ước của đơn

vị trong V lập nên một nhóm.
Nếu a = bc trong V thì ta nói b là ước của a; hay b chia hết a; hay a chia hết cho b;
hay a là bội của b.
1.2. Ước của không; Miền nguyên.
1.2.1. Ước của không. Phần tử a  V, a ≠ 0 gọi là ước của 0 nếu có b  V,
b ≠ 0 thõa mãn quan hệ ab = 0.


5
1.2.2. Miền nguyên. Một vành V có nhiều hơn một phần tử, giao hoán, có đơn vị,
không có ước của 0 được gọi là một miền nguyên.
Phần tử không khả nghịch f của miền nguyên V gọi là bất khả quy nếu có phân
tích f  gh thì hoặc g hay h là phần tử khả nghịch.
1.3. Vành con. Giả sử V là một vành, A là một bộ phận của V thõa mãn
x + y  A và xy  A với mọi x, y  A. Khi đó A được gọi là một vành con của
vành V; nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành.
1.4. Iđêan. Vành con A của vành V được gọi là iđêan nếu thõa mãn điều kiện
xa  A và ax  A với mọi x  V, a  A.
1.5. Vành thương. Cho V là vành giao hoán có đơn vị và I là iđêan của vành V.
Qua I, ta có quan hệ tương đương trên V cho bởi:
x, y  V. Khi đó: x ~ y  x - y  I.
Do đó, ta có tập thương V I : {x + I | x  V} là vành và gọi là vành thương
với hai phép toán:
1/  x  I    y  I   x  y  I ,  x, y V ;
2/  x  I  y  I   xy  I ,  x, y V .
1.6. Đồng cấu.
1.6.1 Định nghĩa.
1/ Một đồng cấu vành là ánh xạ từ vành X đến vành Y, f : X → Y sao cho
f(a + b) = f(a) + f(b) và f(ab) = f(a)f(b) với mọi a, b  X.
2/ Nếu X = Y thì đồng cấu f gọi là một tự đồng cấu của X.

3/ Nếu đồng cấu vành f là một đơn ánh thì f được gọi là một đơn cấu vành, một


6
đồng cấu vành f là toàn ánh thì f được gọi là một toàn cấu vành, một đồng cấu
vành f là song ánh thì f được gọi là một đẳng cấu vành.
Khi X đẳng cấu với Y ta kí hiệu X  Y.
1.5.2. Một số định lí.
1/ Giả sử f : X  Y là một đồng cấu từ vành X đến vành Y. Thế thì Imf là vành
con của Y và Kerf là iđêan của X.
2/ Giả sử f : X  Y là đồng cấu từ một vành X đến vành Y, p : X  X/Kerf là toàn
cấu chính tắc từ vành X đến vành thương của X trên Kerf. Thế thì:
(i) Có một đồng cấu duy nhất: f : X/Kerf  Y sao cho tam giác sau:
X

f

Y

p
f
X/Kef
là giao hoán, nghĩa là f = f p.
(ii) Đồng cấu f là một đơn cấu và Im f = f(X).
3/ Với mọi đồng cấu f : X  Y từ vành X đến vành Y, ta có f(X)  X/Kerf.
1.6. Trường. Miền nguyên K trong đó mọi phần tử khác không đều có phần tử
nghịch đảo trong vị nhóm nhân được gọi là trường.
Vậy một vành K giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử là một trường
nếu và chỉ nếu K\{0} là một nhóm đối với phép nhân của K.
1.7. Định nghĩa. Trường K gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức thực sự (nghĩa là

có bậc dương) đều có nghiệm trong K.


7
Phần 2. TẬP ĐẠI SỐ
Trong phần này, chúng tôi nhắc lại các định nghĩa, các tính chất về vành đa
thức, tập đại số, tôpô Zariski và chứng minh chi tiết một số tính chất mà trong các
tài liệu tham khảo đã không chứng minh hoặc bỏ qua.
2.1. VÀNH ĐA THỨC
2.1.1. Định nghĩa. Cho A là một vành giao hoán có đơn vị và n là một số nguyên
không âm. Vành đa thức A[ x1, x2, ..., xn] của n biến x1, x2, ... , xn trên A được
định nghĩa theo quy nạp như sau:
A[ x1, x2, ..., xn] : A[ x1, x2, ..., xn-1][xn]
Tức là A[ x1, x2, ..., xn] là vành đa thức của biến xn trên vành A[ x1, x2, ..., xn-1].
Ký hiệu: A[X] = A[ x1, x2, ..., xn].
Khi đó A[X] là vành giao hoán có đơn vị với phép cộng và phép nhân đa thức
thông thường. Các phần tử của A[X] được gọi là các đa thức, mọi đa thức
f  A[X] có dạng: f =

r

r ,r ,...r x1
r +r +...+r d

1

1

2

n

1 2

n

r2

rn

x2 ...xn . Với d là một số tự nhiên nào

đó và r1,r2,...rn  A, các phần tử r1,r2,...rn≠ 0 được gọi là các hệ tử của đa thức và các
r1

r2

rn

biểu thức x1 x2 ...xn kèm theo gọi là các đơn thức của f.
2.1.2. Bậc của đa thức.
Với f  A[X], đặt degf :  max{r1 + r2 + ... + rn | r1,r2,...rn≠ 0} nếu f ≠ 0 và đặt
degf  - nếu f  0. Khi đó degf được gọi là bậc của f.
Nếu degf = 1, ta nói f là đa thức bậc nhất, nó luôn có dạng
f = a1x1 + a2x2 + ….. + a nx n + an+1,


8
trong đó ít nhất phải có một hệ số gắn biến khác không.
Người ta thường viết một đa thức nhiều biến theo thức tự các biến và theo giá

trị giảm dần của bậc các đơn thức, nghĩa là, coi

x1r1 x2r2 ....xn rn

>

x1s1 x2 s2 ....xn sn

nếu r1 + r2 +…..+ rn > s1 + s2 +…..+ sn
hoặc r1 + r2 +…..+ rn = s1 + s2 +…..+ sn và tọa độ khác không đầu tiên của véctơ
(r1 – s1, r2 – s2 ,….., rn - sn ) là dương.
2.1.3. Ví dụ. Với 2 biến x1, x 2, ta có

x1m > x1m 1x2 > x1m 2 x22 > ....  x2m

 ...... 

x1  x2 .

2.1.5. Mệnh đề. Nếu A là miền nguyên thì degfg = degf + degg với mọi đa thức
f, g  A[X].
Chứng minh. Mọi đơn thức của fg đều có dạng uv với u là đơn thức của f và v là
đơn thức của g. Gọi umax, vmax lần lượt là các đơn thức bậc lớn nhất của f, g theo
thứ tự nêu trên. Với mọi u ≠ umax và v ≠ vmax ta có uv < umaxvmax, do đó
uv ≠ umaxvmax. Gọi c, d  A là các hệ tử tương ứng của umax, vmax. Vì c, d ≠ 0
nên cd ≠ 0. Khi đó cdumaxvmax là hạng tử của fg.
Do đó: deguv  degumaxv max = degumax + degvmax = degf + degg
Vậy degfg = degf + degg.
2.1.6. Mệnh đề. Nếu A là miền nguyên thì A[X] là miền nguyên và các phần tử
khả nghịch của A[X] là các phần tử khả nghịch của A.

Chứng minh. Giả sử f, g là các đa thức khác 0 trong A[X]. Khi đó degf, degg  0
nên degfg  0 và do đó fg ≠ 0. Vì vậy A[X] là miền nguyên.


9
Tiếp theo, nếu fg = 1 thì degfg = degf +degg = 0, suy ra degf = degg = 0; do đó f,
g là những phần tử khác 0 của A. Vì vậy f, g là những phần tử khả nghịch của A.
2.1.7. Nhận xét. Nếu K là một trường thì
1/ Với mọi f, g  K[X] ta luôn có
deg(fg) = degf + degg.
2/ K[X] là miền nguyên vì fg ≠ 0 nếu f, g ≠ 0.
3/ K là tập các phần tử khả nghịch của K[X] vì fg ≠ 1 nếu f  K hoặc g  K.
2.1.8. Nghiệm của một đa thức.
Cho A là vành giáo hoán có đơn vị và
f=

 r ,r ,...r
r +r +...+r d
1

2

giá trị: f(a) =

1 2

n

r1

r2

 r ,r ,...r
r +r +...+r d
1

2

n

rn

x1 x2 ...xn với d  N. Với a = (a1, a2, ... an)  An ta có
n

1 2

r1

n

r2

rn

a1 a2 ...an . Khi đó điểm a được gọi là nghiệm của

f nếu f(a) = 0 và ta cũng nói f triệt tiêu tại a.
Chú ý rằng, mỗi đa thức f xác định một ánh xạ f : K n  K; a  f(a), gọi là ánh
xạ đa thức.

2.1.9. Bổ đề. Giả sử K là một trường có vô hạn phần tử. Nếu f(a) = 0 với

a  Kn thì f = 0.
Chứng minh.
+) Nếu n = 1 thì f là đa thức một biến nên nếu f là đa thức bậc d ≥ 1 thì f chỉ có
hữu hạn nghiệm điều này mẫu thuẫn với f(a) = 0, a  Kn.
+) Nếu n > 1, giả sử f chứa biến xn khi đó ta viết f dưới dạng
f = f0 + f1xn + f2xn + ... + fdxnd; trong đó f0, f1, ..., fd  K[ x1, x2, ..., xn-1] và


10
fd ≠ 0. Suy ra tồn tại bộ số (a1, a2, ..., an-1) sao cho f(a1, a2, ..., an-1) ≠ 0.
Do đó f0(a1, a2, ..., an-1) + f1(a1, a2, ..., an-1 ) xn + ... + fd(a1, a2, ..., an-1)xnd là đa thức
một biến của xn có bậc d nên có hữu hạn nghiệm, mà đa thức này triệt tiêu với
mọi a thuộc K với K vô hạn phần tử (vô lí). Vậy f = 0. Từ đó suy ra điều phải
chứng minh.
2.1.10. Nhận xét. Bổ đề không còn đúng nếu K là một trường hữu hạn. Chẳng
hạn K = {1,2, ...,n } thì đa thức f = (x-1)(x-2) ... (x-n) là một đa thức khác
0 nhưng triệt tiêu trên toàn bộ K.
2.1.11. Hệ quả. Giả sử K là một trường có vô hạn phần tử. Cho f và g là hai đa
thức trong K[X]. Nếu f(a) = g(a) với mọi a  Kn thì f = g.
Trong luận văn này, từ đây trở đi, ta luôn giả thiết trường K là vô hạn.
2.2. TẬP ĐẠI SỐ.
2.2.1. Định nghĩa. Cho K là trường, tập con V  Kn gọi là tập đại số nếu nó là
nghiệm của một họ các đa thức n biến trong K[X].
2.2.2. Ví dụ.
1/ Tập rỗng  là tập đại số vì phương trình 1 = 0 vô nghiệm.
2/ Mọi điểm a = (a1, a2, ... , an) đều là tập đại số vì a là nghiệm duy nhất của hệ
phương trình:
 x1  a1  0


 x2  a2  0

...
 xn  an  0

3/ Không gian Kn là tập đại số vì phương trình 0 = 0 đúng với mọi điểm của Kn.
4/ Các m – phẳng trong không gian afin An là các tập đại số vì đó là nghiệm của
một hệ phương trình tuyến tính có dạng:


11
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1

 a21 x1  a22 x2  ...  a2n xn  b2

...
 a p1 x1  a p 2 x2  ...  a pn xn  b p


Trong đó hạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính trên bằng n - m và
n - m ≤ p ≤ n.
2.2.3. Siêu mặt.
2.2.3.1. Định nghĩa. Cho f  K[X]. Ký hiệu Z(f) = {a  Kn : f(a) = 0}, tức là Z(f)
là tập nghiệm của đa thức f. Khi đó:
1/ Z(f) =  nếu f là đa thức hằng khác 0 (degf = 0).
2/ Z(f) = Kn nếu f = 0 (degf   )
3/ Z(f) được gọi là siêu mặt của không gian Kn nếu degf > 0.
Đăc biệt degf = 1 thì Z(f) gọi là một siêu phẳng.
2.2.3.2. Ví dụ. Trong K[x, y], cho f = x 2 – y, thì Z(f) = { (a, a2) ; a  K }. Nó là

một parabol.
Thật vậy, đặt V = { (a, a2) ; a  K }. Ta có V  Z(f).
Ngược lại, giả sử (a1, a2)  Z(f). Nếu a1 = 0 thì a2 = 0 nên (a1, a2) = (0, 02)  V.
Khi a1  0, ta có

 a1 =



a2 =


a 
a12
a
= 2 =  2  :=a
a1
a1
 a1 
2

a 
a22
a2
= 22 =  2  : = a 2
a2
a1
 a1 

Do đó ta có (a1, a2)  V. Từ đó suy ra Z(f)  V. Vậy ta có V = Z(f).

2.2.3.3. Tổng quát.
Cho S là một tập con của K[X], kí hiệu Z(S) = {a  Kn : f(a) = 0, f  S}; Vậy


12

Z(S) =


Z(f) thế thì Z(f) là một tập đại số và vì vậy mọi tập đại số đều là giao
fS

của các tập dạng Z(f), khi này ta cũng nói Z(S) là tập đại số của tập các đa thức S.
2.2.2.4. Nhận xét.
1/ Khi n  1 thì mọi đa thức bậc dương chỉ có hữu hạn nghiệm nên tập đại số
trong K là tập hữu hạn. Ngược lại mọi tập hữu hạn trong K đều là tập nghiệm của
đa thức một biến. Vì vậy Z(f) =  hoặc Z(f) là tập hữu hạn hoặc Z(f) = K. Từ đó
suy ra khi n  1 các tập đại số trong K là các tập rỗng, tập hữu hạn hay K.
2/ Giả sử S1 và S2 là hai tập đa thức trong K[X]. Nếu S1  S2 thì Z(S1)  Z(S2).
3/ Tập nghiệm của họ các đa thức bậc nhất (n ẩn) được gọi đa tạp tuyến tính.
2.2.3. Bổ đề. Cho S1 và S2 là hai tập các đa thức trong K[X].
Đặt S = {fg │f  S1, g  S2 }. Ta có: Z(S1)  Z(S2) = Z(S).
Chứng minh.
+) Z(S1)  Z(S2)  Z(S)
Thật vậy: Lấy phần tử tùy ý a  Z(S1)  Z(S2) thì a  Z(S1) hoặc a  Z(S2).
- Nếu a  Z(S1) thì f(a) = 0 với f  S1, suy ra (fg)(a) = f(a)g(a) = 0 với
f  S1 và g  S2. Do đó a  Z(S).
- Nếu a  Z(S2) thì g(a) = 0 với g  S2, suy ra (fg)(a) = f(a)g(a) = 0 với
f  S1 và g  S2 . Do đó a  Z(S).
Vậy Z(S1)  Z(S2)  Z(S)

(1) .

+) Z(S1)  Z(S2)  Z(S)
Lấy phần tử tùy ý a  Z(S). Khi đó (fg)(a) = f(a)g(a) = 0 với f  S1 và


13
g  S2 suy ra f(a) = 0 hoặc g(a) = 0, do K là trường vì thế a  Z(S1) hoặc
a  Z(S2) nên a  Z(S1)  Z(S2).
Vậy Z(S1)  Z(S2)  Z(S)

(2).

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
2.2.4. Bổ đề. Cho {Si}iI là một họ các tập đa thức trong K[X]. Khi đó:


Z(Si) = Z(  Si)
iI
iI
Chứng minh.
Lấy phần tử tùy ý a 


Z(Si)
iI

khi đó:

a  Z(Si) với i  I  f(a) = 0 với f  Si, i  I
 f(a) = 0 với f   Si  a  Z(  Si).
iI

Vậy

iI


Z(Si) = Z(  Si).
iI
iI

2.2.5. Bổ đề. Cho S  K[X] và T  K[Y] là hai hệ đa thức tùy ý. Nếu ta coi S T
như một tập đa thức trong K[X, Y] thì: Z(S) x Z(T) = Z(S  T).
Chứng minh.
Giả sử a  Kn và b  Km . Khi đó (a, b) là nghiệm của S  T khi và chi khi a là
nghiệm của S và b là nghiệm của T. Điều này chứng tỏ
Z(S) x Z(T) = Z(S  T).
2.2.6. Nhận xét. Từ các kết quả trên ta tóm tắt lại như sau:


14
1/  là tập đại số.
2/ Kn là tập đại số.
3/ Hợp của hai tập đại số là một tập đại số.
4/ Giao của một họ bất kỳ các tập đại số cũng là một tập đại số.
5/ Tích của hai tập đại số là một tập đại số.
6/ Tương ứng Z: K[X]  Kn, cho bởi S  Z(S) là một ánh xạ từ họ tất cả các tập
con của vành đa thức K[X] đến họ tất cả các tập con của không gian afin Kn.

7/ Nếu S1  S2 thì Z(S1)  Z(S2) ;
8/ Z(0) = Kn;
9/ Z(f) =  với

0  f  K.

Từ nhận xét trên ta có kết quả sau.
2.2.8. Định lí. Họ tất cả các tập đại số trong không gian afin Kn lập nên một tôpô
(theo ngôn ngữ tập đóng).
2.3. Tô pô Zariski.
2.3.1. Định nghĩa. Họ

TZ = {U | U = Kn \V, V là tập đại số} lập thành một tôpô

trên không gian afin Kn và gọi là tôpô Zariski.
2.3.2. Mệnh đề.(về một số tính chất đơn giản của tôpô Zariski).
1/ TZ là tô pô.
2/ Các tập mở dạng D(f) = Kn \ Z(f) gọi là tập mở Zariski và chúng lập thành một
cơ sở cho tô pô Zariski. Thật vậy, mọi tập mở U bất kỳ trong Kn đều là phần bù
của một tập đại số Z(S). Do Z(S) =  Z(f) nên
fS


15
U = Kn \  Z(f) =  (Kn \ Z(f)), suy ra U =
fS

fS



D(f) (đpcm).
fS

3/ Khi K = ,  (trường số thực, trường số phức), các tập đại số trong  n ,  n với
tôpô thông thường trên  n ,  n là các tập đóng vì Z(S) =  f-1(0) trong đó f-1 là
fS

ngược ảnh của {0} của ánh xạ đa thức f (liên tục) và {0} là tập đóng trong K.
4/ Hai tập mở (với tôpô Zariski trong Kn) không rỗng của Kn luôn giao nhau;
Thật vậy, Với mọi f, g ≠ 0 thì ta luôn có Z(f)  Z(g) = Z(fg) ≠ Kn. Do đó
D(f)  D(g) = (Kn \ Z(f))  (Kn \ Z(g)) = Kn \ (Z(f)  Z(g)) ≠ .
5/ Mọi tập mở Zariski không rỗng đều là tập trù mật (đối với tôpo Zariski);
6/ Không gian afin Kn với tôpô Zariski không phải là không gian Hausdorff.
Kết luận 5/ và 6/ suy từ 4/ vì nếu Z(S) là tập mở khác rỗng thì mọi tập mở khác
rỗng khác đều giao với nó, cho nên mọi lân cận của mọi điểm trong Kn đều giao khác
rỗng với Z(S), nghĩa là Z(S) là tập trù mật trong Kn.

Phần 3. IĐÊAN
Trong phần này, chúng tôi trình bày tính chất (có chứng minh chi tiết), các
phép toán về iđêan và các tính chất của tập đại số liên quan đến chúng.
3.1. Mệnh đề.
Cho I, J là các iđêan trong vành V, ta có:
1/ I  J : {a  b | a  I , b  J } là iđêan nhỏ nhất chứa I và J;
2/ I  J : {f  I và f  J} là một iđêan;
3/ Tập IJ : = { h1f1 + h2f2 +……+ hrfr ; h1, h 2,…,hr  I và f1 , f2 ,…., fr  J } là iđêan
và được gọi là iđêan của tích IxJ;
4/ IJ  I  J và nói chung hai iđêan này khác nhau;
5/ M(I + J) = MI + MJ vói mọi iđêan I, J, M.

16
Chứng minh. Áp dụng định nghĩa.
Chú ý rằng, IJ chính là iđêan sinh bới các phần từ fg với f  I và g J.
3.2. Nhận xét.
1/ Phép cộng và phép nhân các iđêan thõa mãn tính chất kết hợp, giao hoán và
phân phối;
2/ Phần tử 0  I vì 0 = 0.x với x  V;
3/ Phần tử đơn vị 1  I khi và chỉ khi I = V;
4/ I ≠ V thì I được gọi là iđêan thực sự của V;
5/ Cho S  V. Kí hiệu: S  {a1 f1  a2 f 2  ...  an f n | ai V , f i  S , i  1, 2,..., n} .
Lúc đó S là iđêan và là iđêan nhỏ nhất chứa S, người ta gọi là iđêan sinh bởi S.
Đặc biệt khi S có hữu hạn phần tử thì S  f1 , f 2 ,..., f n , nếu S có một phần tử thì
S  f  {fh | h  V } được gọi là iđêan chính.

3.3. Ví dụ. Cho I = (x, y2) và J = (y) là hai iđêan trong vành đa thức hai ẩn
K[x, y], ta có
1/ I + J = x, y vì I = {xf + y2g | f, g  K[x, y], J = {yh | h  K[x, y]} nên
I + J = {xf + y2g + yh | f, g, h  K[x, y]} = {xf + ey | f, e  K[x, y]}.
2/ IJ = xy, y 3

do IJ = {(xf + y2g)yh | f, g, h  K[x, y]}
= {xyu + y3v | u, v  K[x, y]} = xy, y 3 .

3/ I  J = xy, y 2 .
3.4. Bổ đề. Mọi tập đại số đều là tập đại số của một iđêan nào đó.


17
Chứng minh.
Giả sử S là một tập các đa thức trong K[X] và I  S là iđêan sinh bởi S.

Ta sẽ chứng minh Z(S) = Z(I), nghĩa là khi đó tập đại số của tập S chính là tập đại
số của iđêan I. Thật vậy:
Ta có: S  I nên Z(S)  Z(I)

(1).

Ta chứng minh Z(S)  Z(I): Lấy phần tử bất kỳ a  Z(S) thì f(a) = 0, f  S.
Suy ra g(a) = 0 với g  I vì g  h1 f1  h2 f 2  ...  hn f n ; hi  K [ X ], fi  S , i  1, 2,..., n và
fi(a) = 0 với mọi i = 1, 2, ... , n. Do đó a  S(I). (2).
Vậy từ (1) và (2) suy ra Z(S) = Z(I) (đpcm).
3.5. Bổ đề. Cho I và J là hai iđêan tùy trong K[X]. Khi đó:
1/ Z(I)  S(J) = Z(I  J) = Z(IJ);
2/ Z(I)  Z(J) = Z(I + J).
Chứng minh.
1/ Đặt S = {fg| f  I, g  J}.
Ta có S  IJ  I  J  I, J  Z(S)  Z(IJ)  Z(I  J)  Z(I), Z(J)


Z(S)  Z(IJ)  Z(I  J)  Z(I)  Z(J).

Mặt khác Z(S) = Z(I)  Z(J).
Vậy Z(I)  S(J) = Z(I  J) = Z(IJ).
2/ Do I, J  I + J nên Z(I), Z(J)  Z(I + J). Suy ra Z(I)  Z(J)  Z(I + J).
Mà Z(I)  Z(J) = Z(I  J), I  J  I  J
Vậy Z(I + J) = Z(I)  Z(J).

 Z(I + J) = Z(I  J).


18

3.6. Định lí. Cho V là tập con của Kn. Khi đó tập
IV : {f  K[X] | f(a) = 0 với mọi a  V} là iđêan của K[X] và là iđêan lớn nhất có
tập nghiệm chứa V; IV gọi là iđêan của tập điểm V trong K[X]; V  Z(IV). Khi
V = {a} thì ta viết IV = Ia.
Chứng minh. Để chứng minh IV là iđêan ta kiểm tra hai điều kiện sau:
i) Với mọi f, g  IV thì f + g  IV:
Thật vậy: Do f, g  IV nên f(a) = 0 và g(a) = 0 với a  V, suy ra
(f + g)(a) = f(a) + g(a) = 0 với a  V. Do đó f + g  IV (đpcm).
ii) Với mọi f  IV và h  K[X] thì fh  IV:
Vì f  IV nên f(a) = 0 với a  V. Do đó (fh)(a) = f(a)h(a) = 0 với a  V.
Vậy fh  IV.
Kết luận: IV là iđêan trong K[X].
Như vậy, cách xác định tập Z(S) và tập IV cảm sinh hai ánh xạ Z và I được cho
trong sơ đồ sau
Z

 K [ X ] 





I

 

 Kn ;

trong đó Z : S  Z(S) và I : V  IV ; P(X) là ký hiệu họ tất cả các tập con của
X.

Về sau ta sẽ thấy, nếu thu hẹp trên các tập con nào đó, Z và I là các song ánh ngược
nhau.

3.7. Ví dụ.
1/ I = K[X];
2/ I

Kn

= {0};

3/ Ia = (x1 – a1, x 2 – a2,….., xn – an) với a = ( a1, a2, ….., an );


19
4/ Nếu V  K2 là tập vô hạn điểm trên parabol y = x 2 thì IV = (x2 – y) ;
5/ Nếu V là d- phẳng trong Kn mà ta có thể giả sử nó là tập hợp có dạng
V = {( x1, x2,…., xd , 0, …0)  Kn }
thì
IV = (xd+1, xd+2,…., xn).
Chứng minh.
1/ Vì tập rỗng thuộc tập nghiệm của mọi đa thức;
2/ Vì chỉ có phương trình 0 = 0 có tập nghiệm là Kn.
3/ Để cho tiện, ta giả sử điểm a là gốc tọa độ, a = (0, 0, …., 0). Mọi đa thức
f  K[X] đều viết được dưới dạng
f = h1x1 + h2x 2 +……+ hnx n + b
với b  K. Nhưng f(0, 0,…,0) = 0 khi và chỉ khi b = 0, tức là khi và chỉ khi f có
dạng
f = h1x1 + h2x2 +……+ hnx n,
nghĩa là khi và chỉ khi f  (x1, x2 ,…., xn ). Vậy I0 = (x 1, x2 ,…., x n ).

4/ Ta chỉ cần chứng minh IV  (x2 – y). Coi mọi đa thức f  K[x, y] là đa thức
của ẩn y với hệ số trong K[x]. Tương tự như thuật toán Euclide ta có thể viết
f = h(x2 – y) + g với g  K[x].
Do V  Z(x2 – y) = { (a, a2) ; a  K } nên với f  IV thì f(a, a2) = g(a) = 0 với
mọi a thuộc tập vô hạn trong K nên g là đa thức 0, nên f = h(x2 – y), nghĩa là
f  (x2 – y).
5/ Ta có thể viết mọi đa thức trong K[X] dưới dạng


20
f = hd+1xd+1 + hd+2x d+2 +……+ hnxn + g
trong đó g  K[x1, x2 ,…., xd]. Thế thì f  IV khi và chỉ khi
f(a1, a2 ,…., ad, 0, 0,….,0) = g(a1, a2 ,…., ad) = 0
với mọi a1, a2 ,…., ad  K. Điều này có nghĩa là g = 0, nên khi đó
f = hd+1xd+1 + hd+2xd+2 +……+ hnx n  (xd+1, xd+2 ,….., xn).(đpcm).
Cho I là iđêan của vành A. Ký hiệu

I : = f  A ; f r  I, r * .
3.8. Bổ đề. Cho I là iđêan, thế thì I cũng là iđêan và I 
thì I gọi là iđêan căn.

I =

I . Nếu I = I

I , nghĩa là fr , gs  I . Khi đó
r  s  r  s  r  si i
r s
=  
g .

 f  g
 f
i
i 1 

Trong cặp số tự nhiên (r + s – i, i) , i = 1, …, r + s luôn có hoặc thành phần đầu lớn
hơn r, hoặc thành phần sau lớn hơn s, do vậy fr + s –i gi luôn thuộc I nên (f + g) r+ s

Chứng minh. Lấy f, g 

luôn thuộc I, nghĩa là f + g  I . Tiếp theo, với mọi f  A thì (fh)r = fr hr  I, nghĩa
là fh  I . Cuối cùng ta thấy fg  I .
3.9. Bổ đề. Cho V  Kn, khi đó IV là iđêan căn.
Chứng minh. Ta cần chứng minh IV = IV .
Thật vậy: Ta có IV  IV , bây giờ ta sẽ chứng minh IV  IV.
Lấy phần tử bấy kỳ f  IV thì fm  IV với m > 0 nào đó. Suy ra:
fm(a) = 0 với a  V, m > 0  f(a) = 0 với a  V
 f  IV  IV  IV.
Vậy IV là iđêan căn. (đpcm).
3.10. Mệnh đề. Giải sử I, J là các iđêan trong K[X]. Khi đó:


21
IJ  I  J  I  J

Chứng minh.
Ta có: IJ  I  J  IJ 

IJ

I  J  I, I  J  J  IJ  I ,

(1)
IJ  J 

IJ  I  J

(2)

Từ (1) và (2) suy ra IJ 

IJ  I  J.

Ta cần chứng minh IJ 

IJ  I  J, bằng cách lấy phần tử tuỳ ý

f  I  J  f  I , f  J. Khi đó tồn tại m, n  * sao cho fm  I, fn  J.
Do đó fmn  IJ, nên f  IJ. Suy ra IJ  I  J.
Vậy IJ = IJ = I  J.
3.11. Mệnh đề. Cho V, W là các không gian con của Kn. Khi đó:
1/ Nếu V  W thì IV  IW;
2/ IV  IW = IVW;
3/ IV + IW  IVW.
Chứng minh.
1/ IW  IV: Lấy phần tử bất kỳ f  IW thì f(a) = 0 với a  W
 f(a) = 0 với a  V vì V  W
 f  IV  IW  IV (đpcm).
2/ Để chứng minh IV  IW = IVW ta sẽ chứng minh IV  IW  IVW và
IV  IW  IVW.

+) IV  IW  IVW Lấy tùy ý f  IV  IW suy ra


22
fIV
f(a)=0,aV


fIW
f(b)=0,bIW

 f(c) = 0, c  V  W  f  IVW
Vậy IV  IW  IVW.
+) IV  IW  IVW:
Ta có: V  V  W và W  V  W. Do đó IV  IVW và IW  IVW.
Vậy IV  IW  IVW.
3/ Chứng minh: IV + IW  IVW.
Lấy phần tử bất kỳ f  IV + IW thì f = g + h với g  IV, h  IW
 g(a) = 0, a  V và h(b) = 0, b  W
 g(c) = 0 và h(c) = 0 với c  V  W
 f(c) = g(c) + h(c) = 0 với c  V  W
 f  IVW.
Vậy IV + IW  IVW (đpcm).
3.12. Định nghĩa. Giao của một họ các tập đại số chứa V là tập đại số nhỏ nhất
chứa V và được gọi là bao đóng của V. Kí hiệu là: V .
3.13. Bổ đề. Cho V là một tập tùy ý trong Kn. Khi đó:
1/ V  Z ( IV ) .
2/ IV  IV .
Chứng minh.
1) Để chứng minh V  Z ( IV ) ta sẽ chứng minh V  Z ( IV ) và V  Z ( IV ) :

23
+) Chứng minh. V  Z ( IV ) :
Ta có V  Z ( IV )  V  Z ( IV )  Z ( IV ).
+) Chứng minh V  Z ( IV ) :
Đặt V  Z ( S ) . Khi đó các đa thức của S triệt tiêu trên V nên S  IV , suy ra
Z(S)  Z(IV). Vậy V  Z ( IV ) .
Kết luận: V  Z ( IV ) .
2) Chứng minh. IV  IV .
Do V  V nên IV  IV . Vì thế để chứng minh IV  IV ta cần chứng minh IV  IV .
Thật vậy: Lấy phần tử bất kỳ f  IV. Khi đó f(a) = 0 với a  V và V  Z ( IV ) nên
f(a) = 0 với a  V . Suy ra f  IV tức là IV  IV .
Kết luận: IV  IV .
3.14. Hệ quả. Nếu V là tập đại số thì V = Z(IV).
Chứng minh.
Do V là tập đại số nên V  V . Theo bổ đề 4 thì V  Z ( IV ) .
Từ đó suy ra V = Z(IV) (đpcm).
3.15. Bổ đề. Cho V và W là hai tập điểm tùy ý trong Kn. Khi đó V  W  V  W .
Chứng minh.
Ta có: V  Z ( IV ), W  Z ( I W ) nên V , W là các tập đại số. Vì thế V  W là tập đại số,
suy ra V  W  Z ( IV W ) .


24
Tương tự ta cũng có: V  W  Z ( IV W ) .
Bây giờ ta sẽ chứng minh: Z ( IV W )  Z ( IV W ) hay IV W  IV W .
Do V  W  V  W nên IV W  IV W . Ta cần chứng minh IV W  IV W .
Thật vậy: Lấy phần tử bất kỳ f  IV W thì f(a, b) = 0 với a  V, b  W
 f(a, Y) = 0 trên W  f(a, Y)  IW

 f(a, b’) với b’ Z ( I W )  W .
Tương tự ta được f(X, b’)  IV  f(a’, b’) = 0 với a’ Z ( IV )  V .
Vậy f(a’, b’) = 0 với a’ V , b’ W suy ra f  IV W , tức là IV W  IV W .
Kết luận: V  W  V  W .
3.16. Nhận xét.
1/ Nếu V là tập đại số thì V = V và ta có V = Z(IV).
Nghĩa là tập đại số V được xác định hoàn toàn bởi idean IV. Vì vậy, IV còn gọi là
iđêan định nghĩa của tập đại số V.
2/ Các ánh xạ I và Z trong sơ đồ
Z

 K[ X ] 





I

 

 Kn

thu hẹp trên họ Z(Kn) tất cả các tập đại số trong Kn là hai ánh xạ ngược nhau:
Z(IV) = V. Nói cách khác, trong sơ đồ sau,
Z




P(K[X])  Im I



I

Z(Kn)

Z, I là các song ánh ngược nhau. Do đó có thể chuyển việc nghiên cứu các tập đại
số sang nghiên cứu các iđêan dạng IV. Hơn nữa, họ tất cả các iđêan IV dạng
{ I ; V  K n là tập đại số}
V
lập nên một tôpô trong K[X] đồng phôi với tôpô Zariski trong Kn. Do đó cần nghiên
cứu kỹ các iđêan dạng IV.


25
3.17. Iđêan nguyên tố.
3.17.1. Định nghĩa. Iđêan thực sự I của vành A gọi là iđêan nguyên tố nếu fg  I
thì hoặc f  I hoặc g  I.
3.17.2. Ví dụ.
1/ iđêan 0 là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi A là miền nguyên ;
2/ iđêan 0 của vành đa thức K[X] trên trường K là nguyên tố ;
3/ Mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan căn. Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh

I  I. Nhưng điều này là hiển nhiên vì I nguyên tố. Dưới đây ta có một tiêu
chuẩn để iđêan căn là nguyên tố.
3.17.3. Bổ đề. iđêan căn I  A là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi I không là giao
của 2 iđêan lớn hơn thực sự.
Chứng minh. Giả sử I nguyên tố và I = J1  J2 thì J1J2  I. Do đó J1 và J2 không

thể chứa những phần tử không thuộc I, cho nên J1  I. Và J2  I. Đảo lại, nếu I
không nguyên tố, thì tồn tại f, g  I mà fg  I. Đặt J1 =
J2 =

I, f 

và

 I , g  , thì rõ ràng I  J1  J2 . Lấy h  J1  J2 thì tồ tại m sao cho

hm  (I, f)  (I, g). Từ đây suy ra h2m  (I, f)(I, g) = I2 + (f)I + (g) I + (fg)  I,
do đó h  I. Vì vậy I = J1  J2 với j1 và J2 thực sự chứa I.
3.18. Định nghĩa (tập bất khả quy). Tập đại số gọi là bất khả quy nếu nó không phân
tích được thành hợp của hai tập đại số nhỏ hơn thực sự.
3.19. Mệnh đề. Cho f là đa thức bất khả quy trong K[X]. Nếu IZ(f) = (f) thì Z(f) là
tập bất khả quy.
Chứng minh. Vì f bất khả quy nên (f) là ifean nguyên tố. Do vậy Z(IZ(f)) = Z((f))
là tập bất khả quy.(đpcm).