Một số vấn đề về thể tích hỗn tạp luận văn thạc sỹ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐĂNG KHOA

Mét sè vÊn ®Ò vÒ
thÓ tÝch hçn t¹p
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

VINH - 2011

1


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐĂNG KHOA

Mét sè vÊn ®Ò vÒ
thÓ tÝch hçn t¹p
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Hình học - Tôpô
Mã số: 60.46.10

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. PHẠM NGỌC BỘI

VINH - 2011
2

MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU................................................................................................
Chương 1. Tập lồi trong không gian Euclid Ed .....................................
1.1. Tập lồi và hàm lồi............................................................................
1.2. Siêu phẳng tựa và hàm tựa..............................................................
1.3. Đa diện lồi.......................................................................................
Chương 2. Thể tích hỗn tạp và Quermassintegrals……………………
2.1. Tổng Minkowski và tính chất…………………………………….
2.2. Mêtric Hausdorff………………………………………………….
2.3. Thể tích hỗn tạp và một số tính chất................................................
2.4. Quermassintegrals và thể tích trong………………………………
KẾT LUẬN………………………………………………………........
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………......

2
5
12
13
14
17
17
19
23
38
46
47

MỞ ĐẦU

“Hình học lồi” là một hướng quan trọng trong hình học, được nhiều nhà toán
học quan tâm, nghiên cứu. Các vấn đề của “Hình học lồi” có mối liên hệ với các
3


lĩnh vực khác của toán học bao gồm: Giải tích, Đại số tuyến tính, Thống kê, Lý
thuyết số và Tổ hợp. Nội dung của “Hình học lồi” chứa một vấn đề có ý nghĩa về
phương diện độ đo, đó là thể tích hỗn tạp của các thể lồi.
Khi nghiên cứu thể tích của các thể lồi, chúng ta xuất phát từ không gian
Euclid (hữu hạn chiều), sau đó trang bị mêtric Hausdorff cho không gian các thể
lồi. Trong không gian Euclid, để tính thể tích của một tổ hợp tuyến tính các thể lồi,
người ta biểu biễn thể tích này dưới dạng một đa thức thuần nhất mà biến là các hệ
số của tổ hợp tuyến tính đó. Các hệ số của đa thức này được gọi là thể tích hỗn tạp
của các thể lồi. Việc xây dựng công thức về thể tích hỗn tạp của một thể lồi bất kỳ
được xuất phát từ việc xấp xỉ thể tích hỗn tạp của các đa diện lồi. Tiếp theo đó xuất
hiện các vấn đề xây dựng công thức diện tích bề mặt, thể tích trong và các
quermassintegrals của các thể lồi.
Mục đích của luận văn trình bày một cách có hệ thống về các vấn đề thể tích
hỗn tạp, thể tích trong, diện tích bề mặt, các quermassintegrals. Trên cơ sở tham
khảo các tài liệu tham khảo có thể có được trong điều kiện hiện nay, chúng tôi tìm
hiểu, hệ thống một số vấn đề về thể tích hỗn tạp.
Với mục đích trên luận văn được chia làm hai chương như sau:
Chương 1. Tập lồi trong không gian Euclid Ed
Chương này được trình bày theo các đề mục sau
1.1. Tập lồi và hàm lồi
Trong mục này chúng tôi trình bày khái niệm về tập lồi, thể lồi, bao lồi của
các tập trong không gian Euclid hữu hạn chiều, trình bày và chứng minh một số
tính chất cơ bản của chúng, trình bày khái niệm về hàm lồi, hàm lõm.
1.2. Siêu phẳng tựa và hàm tựa
Trong mục này chúng tôi trình bày khái niệm về siêu phẳng tựa, hàm tựa,

trình bày và chứng minh một số tính chất cơ bản của siêu phẳng tựa, hàm tựa.
1.3. Đa diện lồi
4


Trong mục này chúng tôi trình bày khái niệm về đa diện lồi, trình bày và
chứng minh một số tính chất cơ bản của chúng.
Chương 2. Thể tích hỗn tạp và Quermassintegrals
Chương này được trình bày theo các đề mục sau
2.1. Tổng Minkowski và tính chất
Trong mục này chúng tôi trình bày khái niệm về tổng Minkowski của các thể
lồi và một số tính chất của chúng.
2.2. Mêtric Hausdorff
Trong mục này chúng tôi trình bày khái niệm về mêtric Hausdorff của hai
thể lồi và một số tính chất của dãy các thể lồi.
2.3. Thể tích hỗn tạp và một số tính chất
Trong mục này chúng tôi trình bày chi tiết khái niệm về thể tích hỗn tạp,
chứng minh đầy đủ các tính chất của thể tích hỗn tạp được nêu trong các định lý.
2.4. Quermassintegrals và thể tích trong
Trong mục này chúng tôi trình bày khái niệm Quermassintegrals của thể lồi,
thể tích trong, và một số tính chất của chúng.
Luận văn được hoàn thành tại Khoa Sau đại học Trường Đại học Vinh, dưới
sự hướng dẫn khoa học, tận tình chu đáo của Thầy giáo PGS.TS.Phạm Ngọc Bội.
Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy giáo trong tổ Hình học đã
giảng dạy và chỉ dẫn tận tình trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả cũng
xin chân thành cảm ơn các thầy cô Khoa Toán, Khoa Sau đại học, các bạn bè và gia
đình đã tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã có cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót.
Chúng tôi mong nhận được những góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn
được hoàn thiện hơn.

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!
Vinh, tháng 12 năm 2011
5


Tác giả

CHƯƠNG 1. TẬP LỒI TRONG KHÔNG GIAN EUCLID Ed
Trong luận văn này chúng tôi xét không gian Euclid Ed có số chiều bằng d
trên trường số thực ¡ .
1.1. Tập lồi và hàm lồi
1.1.1. Định nghĩa
6


d
(i) Giả sử x, y Î E , đoạn thẳng nối x và y được định nghĩa như sau

{

}

éx, yù= z = l x + (1- l )y 0 £ l £ 1 .
ê
ë ú
û
(ii) Giả sử A Ì Ed . Tập A được gọi là tập lồi nếu với mọi x, y Î A kéo theo
éx, yùÌ A .
ê û
ú

ë
1.1.2. Ví dụ
d
x, yù
a, Với x, y Î E thì é
ê
ë ú
ûlà tập lồi.

b, Tập Æ, Ed , hình cầu tâm x, bán kính r, ký hiệu là B (x, r ) trong Ed là
những tập lồi.
c, Hình tròn, hình tam giác trong mặt phẳng là những tập lồi.
1.1.3. Định nghĩa
(i) Tập hợp C Ì Ed được gọi là tập lồi chặt nếu C là tập đóng và
l x + (1- l )y Î intC với mọi x, y Î C và x ¹ y, 0 < l < 1.
(ii) Tập lồi compact C trong Ed được gọi là thể lồi.
(iii) Thể lồi C trong Ed được gọi là thể lồi chân chính nếu intC ¹ Æ.
d
d
d
Ta kí hiệu C = C (E ) là tập tất cả các thể lồi trong E và Cp = Cp (E ) là tập tất cả

các thể lồi chân chính trong Ed .
d
*
1.1.4. Định nghĩa. Tổ hợp lồi của hữu hạn các điểm x1,..., xn Î E , n Î ¥

n

là

å

i =1

l i xi , trong đó l i ³ 0, i = 1,..., n và

n

ål
i =1

i

= 1.

1.1.5. Mệnh đề. Tập A Ì Ed là tập lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi
của các phần tử thuộc A .

7


Chứng minh. Nếu A chứa mọi tổ hợp lồi của các phần tử thuộc A thì ta xét
trường hợp n = 2 , với mọi x1, x2 Î A; l 1, l 2 ³ 0 và

l 1 + l 2 = 1 ta có

x =l 1x1 + l 2x2 Î A , theo Định nghĩa 1.1.1 suy ra A là tập lồi.
n

Ngược lại, nếu A là tập lồi, xét x = å l i xi với mọi xi Î A, l i ³ 0,
i =1

i = 1,..., n ,

n

ål
i =1

i

= 1. Ta chứng minh x Î A , bằng phương pháp quy nạp theo n .

• Với n = 2 thì theo Định nghĩa 1.1.1 suy ra mệnh đề đúng.
k

• Giả sử mệnh đề đúng với n = k ³ 3, tức là x = å l i xi Î A với mọi
i =1

xi Î A, l i ³ 0, i = 1,..., k và

k

ål
i =1

i

= 1. Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với

n = k + 1.
k+1

Thật vậy, giả sử x = å l i xi , với mọi xi Î A, l i ³ 0, i = 1,..., k + 1 và
i =1

k+1

ål
i =1

i

= 1,

k+1

ta phải chứng minh x = å l i xi Î A .
i =1

k+1

Do

ål
i =1

i

= 1 và k + 1 ³ 2 nên tồn tại l j ¹ 1 với j Î

{1,2,...,k + 1} ,

không mất tính tổng quát có thể giả thiết l k+1 ¹ 1.
li
li
= 1;
³ 0.
1
l
1
l
i =1
k+1
k +1
k

Khi đó 0 ¹ 1- l k+1 = l 1 + ... + l k và
k

Theo giả thiết quy nạp thì y = å (
i =1

å

li
)x Î A .
1- l k+1 i
8

k+1

Từ Định nghĩa 1.1.1 suy ra x = å l i xi = (1- l k+1)y + l k+1xk+1 Î A . W.
i =1

1.1.6. Định lý
(i) Giao của một họ tùy ý các tập hợp lồi là một tập hợp lồi.
(ii) Tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các tập hợp lồi là tập hợp lồi.
(iii) Ảnh và nghịch ảnh toàn phần của tập hợp lồi qua ánh xạ tuyến tính là
tập lồi.
Chứng minh
(i) Giả sử { Ai } i Î I là họ tùy ý các tập hợp lồi trong Ed , ta phải chứng minh
A = Ç Ai là tập lồi.
iÎ I
ù và A là tập
Thật vậy , lấy x, y Î A , khi đó x, y Î Ai , " i Î I . Do đó với l Î é
ê
ú
i
ë0;1û
lồi " i Î I nên l x + (1- l )y Î Ai , " i Î I Þ l x + (1- l )y Î A .
Ai là tập lồi.
Vậy A = iÇ
ÎI
d
(ii) Giả sử Ai Ì E , i = 1, n là các tập hợp lồi và l i Î ¡ , i = 1, n , ta sẽ

chứng minh tập hợp A = l 1A1 + ... + l nAn là tập lồi. Thật vậy, lấy x, y Î A và

n

n

i =1

i =1

ù, giả sử x =
l Î é
å l i xi , y = å l iyi trong đó xi ,yi Î Ai , i = 1,n . Khi đó
ê
ë0;1ú
û

l x + (1- l )y = l

n

å

i =1

n

n

i =1

i =1

l i xi + (1- l )å l iyi = å l i (l xi + (1- l )yi ) .

Vì các tập Ai là lồi nên
l xi + (1- l )yi Î Ai , " i = 1, n Þ l x + (1- l )y Î A .
Như vậy A = l 1A1 + ... + l nAn là tập lồi.
9


(iii) Giả sử V là một không gian vectơ trên ¡ và f : Ed ® V là ánh xạ
tuyến tính.
- Giả sử A Ì Ed là tập lồi, ta phải chứng minh f (A) là tập lồi trong V .
ù, khi đó tồn tại a,b Î A : x = f (a), y = f (b) .
Lấy x, y Î f (A) và l Î é
ê
ë0;1ú
û

Mặt khác f là ánh xạ tuyến tính nên l x + (1- l )y = l f (a) + (1- l )f (b) =
= f (l a) + f ((1- l )b) = f (l a + (1- l )b) Î f (A) , (vì A là tập lồi).
Như vậy chúng ta đã chỉ ra được l x + (1- l )y Î f (A) , với mọi x, y Î f (A) và
ù, hay f (A) là tập lồi trong V .
mọi l Î é
ê
ë0;1ú
û
- Giả sử B Ì V là tập lồi, ta phải chứng minh f - 1(B ) là lồi trong Ed .
ù, x, y Î f - 1(B ) thì f (x), f (y) Î B và l f (x) + (1- l )f (y) Î B .
0
;1

Với l Î é
ê
ë ú
û
Do f là ánh xạ tuyến tính nên f (l x + (1- l )y) = l f (x) + (1- l )f (y) .
- 1
Suy ra f (l x + (1- l )y) Î B Þ l x + (1- l )y Î f (B ) .

Vậy f - 1(B ) là tập lồi trong Ed . W.
1.1.7. Định nghĩa. Cho A Ì Ed , tập lồi nhỏ nhất trong Ed chứa A được gọi
là bao lồi của A , kí hiệu là co(A) .
1.1.8. Nhận xét
(i) co(A) là giao của tất cả các tập lồi chứa A trong Ed .
(ii) A Ì Ed là tập lồi khi và chỉ khi co(A) = A .
1.1.9. Định lý. Giả sử A Ì Ed . Khi đó co(A) là tập tất cả các tổ hợp lồi của
các phần tử thuộc A .
Chứng minh. Đặt B là tập tất cả các tổ hợp lồi các phần tử của A , ta cần
chứng minh co(A) = B , tức là phải chứng tỏ được B Ì co(A) và co(A) Ì B .

10


Vì co(A) là tập lồi nên theo Mệnh đề 1.1.5 thì co(A) chứa mọi tổ hợp lồi của
các phần tử của A , suy ra B Ì co(A) .
Dễ thấy A Ì B nên để chứng minh co(A) Ì B , ta cần chứng minh B là tập
ù, ta cần chứng tỏ z = l x + (1- l )y Î B .
lồi. Thật vậy, lấy x, y Î B và l Î é
ê
ë0;1ú
û

m

n

0;1ù
Giả sử x = å l i xi , y = å mj yj , trong đó xi , yj Î A; l i , yj Î é
ê
ú
ë
û, i = 1, m
i =1
j =1
m

;

j = 1, n

và

ål
i =1

n

i

m

= å mj = 1. Suy ra

å ll

j =1

i =1

n

i

+ å (1- l )mj = 1 và
j =1

ù.
l l i ,(1- l )mj Î é
ê0;1û
ú
ë
m

n

i =1

j =1

Suy ra z = l x + (1- l )y = å (l l i )xi + å ((1- l )mj )yj Î B .
Hay B là tập lồi, tức là co(A) Ì B .
Kết luận co(A) = B .W.

Tiếp theo ta dùng các kí hiệu int(A), s (A), A chỉ phần trong, biên, bao
đóng của tập A .
1.1.10. Định lý. Giả sử A Ì Ed là tập lồi. Khi đó các tập A , int(A) là các
tập lồi.
Chứng minh
ù, ta phải chứng minh z = l a + (1- l )b Î A . Vì
(1) Lấy a,b Î A và l Î é
ê
ë0;1ú
û
A là tập đóng nên tồn tại các dãy số {xn },{yn } Ì A sao cho xn ® a và yn ® b

11


khi n ® ¥ . Đặt zn = l xn + (1- l )yn , khi đó {zn } Ì A và zn ® z khi n ® ¥ ,
suy ra z Î A ( vì A là tập đóng ).
Vậy A là tập lồi.
ù, ta phải chứng minh
(2) Giả sử int(A) ¹ Æ. Lấy a,b Î int(A) và l Î é
ê
ú
ë0;1û
z = l a + (1- l )b Î int(A) .
Vì a,b Î int(A) nên tồn tại hình cầu mở B d tâm o trong Ed sao cho a + B d và
b + B d được chứa trong A .
Do đó z + B d = l (a + B d ) + (1- l )(b + B d ) Ì A ( vì A là tập lồi ), tức là
z = l a + (1- l )b Î int(A) .
Vậy int(A) là tập lồi.W.
1.1.11. Định lý (Carathéodory). Giả sử A Ì Ed . Khi đó mỗi điểm thuộc

co(A) là tổ hợp lồi của không quá d + 1 điểm thuộc A .
Chứng minh. Trước hết chú ý rằng hệ n điểm { x1,..., xn } độc lập affine thì
n £ d + 1, (bởi vì dim{ x1,..., xn } = n - 1 nên n - 1 £ d , hay n £ d + 1).
Giả sử x Î co(A) . Theo Định lý 1.1.9 thì x = l 1x1 + ... + l nxn , trong đó
x1,..., xn Î A và l 1,..., l n > 0, l 1 + ... + l n = 1, với n là số nguyên dương.
Ta chứng minh có thể bỏ đi một số một số phần tử xi để x là tổ hợp lồi của các
điểm độc lập affine nằm trong các điểm x1,..., xn và số các điểm còn lại không vượt
quá d + 1. Giả sử hệ điểm { x1,..., xn } phụ thuộc affine. Khi đó tồn tại các số thực
m1,..., mn không đồng thời bằng không sao cho

12


(1)

m1 + ... + mn = 0.

(2)

m1x1 + ... + mnxn = o .
Bởi (1) nên có mk > 0, 0 £ k £ n . Ta chọn k sao cho t =

lk
là giá trị nhỏ
mk

nhất trong các tỉ số đó. Thế thì
l i - tmi ³ 0, i = 1,..., n; l k - tmk = 0, (l 1 - tm1) + ... + (l n - tmn ) = 1.

Bởi (2) ta suy ra

x = l 1x1 + ... + l nxn = l 1x1 + ... + l nxn - t(m1x1 + ... + mnxn )
= (l 1 - tm1)x1 + ... + (l k- 1 - tmk- 1)xk- 1 + (l k+1 - tmk+1)xk+1 +
+ ... + (l n - tmn )xn .
Như vậy x là tổ hợp lồi của n - 1 điểm trong các điểm x1,..., xn thuộc A .
Không mất tính tổng quát có thể giả sử x là tổ hợp lồi của các điểm x1,..., xn- 1 . Ta
xét hai khả năng sau:
• Nếu hệ { x1,..., xn- 1} độc lập affine thì theo nhận xét ở trên thì n - 1 £ d + 1
, hay n £ d + 2. Khi đó khẳng định trong định lý là đúng.
• Nếu hệ { x1,..., xn- 1} phụ thuộc affine, lặp lại quá trình chứng minh ở trên
cho các điểm x1,..., xn- 1 như đã làm cho các điểm x1,..., xn , khi đó cũng xảy ra hai
khả năng tương tự như ở trên. Quá trình cứ tiếp tục như vậy nhưng nó sẽ kết thúc ở
một bước nào đó vì số điểm là hữu hạn. Sau mỗi bước ta bớt đi một điểm và số các
điểm đã cho x1,..., xn là hữu hạn nên không thể xảy ra vô hạn khả năng thứ hai, có
nghĩa là đến bước nào đó ta tìm được hệ điểm độc lập affine trong các điểm
x1,..., xn và x là tổ hợp lồi của chúng.

13


Tóm lại ta đã chứng tỏ được rằng mỗi x Î co(A) thì x là tổ hợp lồi của
không quá d + 1 điểm thuộc A .W.
1.1.12. Hệ quả. Giả sử C Ì Ed là tập compact. Khi đó co(C ) là tập
compact.
Chứng minh. Tập hợp

{

B = (l 1,..., l d+1, x1,..., xd+1) l i ³ 0, l 1 + ... + l d+1 = 1, l 1,..., l d+1, xj Î C

}

là tập

compact trong không gian Ed+1+(d+1)d = E (d+1)2 .
Mặt khác ánh xạ
f:

2

E (d+1)
(l 1,..., l d+1, x1,..., xd+1)

®
Ed
a l 1x1 + ... + l d+1xd+1

liên tục và theo Định lý Carathéodory thì f (B ) = co(C ) . Vì vậy co(C ) cũng là tập
compact .W.
1.1.13. Định nghĩa. Cho C Ì Ed , hàm số f : C ® ¡ được gọi là hàm số lồi
nếu C là tập lồi và
f ((1- l )x + l y) £ (1- l )f (x) + l f (y) , với x, y Î C , 0 £ l £ 1.
Hàm số f : C ® ¡ được gọi là hàm số lồi chặt nếu C là tập lồi và
f ((1- l )x + l y) < (1- l )f (x) + l f (y) , với x, y Î C , x ¹ y, 0 < l < 1.
Hàm số f : C ® ¡ được gọi là hàm số lõm nếu - f là hàm số lồi.
1.2. Siêu phẳng tựa và hàm tựa
1.2.1. Định nghĩa. Siêu phẳng H được gọi là siêu phẳng tựa của tập lồi
C Ì Ed nếu H Ç C ¹ Æ và C Ì H + hoặc C Ì H - . Nếu C Ì H + (tương ứng
C Ì H - ) thì H + (tương ứng H - ) được gọi là không gian tựa của C (xem [5]).
Vectơ pháp tuyến u của H có hướng vào không gian tựa của C được gọi là
vectơ pháp tuyến trong, và khi đó - u được gọi là vectơ pháp tuyến ngoài.

14


1.2.2. Định nghĩa. Cho C là thể lồi trong Ed , khi đó hàm số hC : Ed ® ¡ ,
xác định bởi hC (u) = sup{u.y : y Î C } với u Î Ed được gọi là hàm tựa của thể lồi
C.

Giả sử một siêu phẳng tựa HC (u) của C với vectơ pháp tuyến ngoài u ¹ o
cố định. Rõ ràng:
HC (u) = {x : u.x = hC (u)}, HC- (u) = {x : u.x £ hC (u)}.
1.2.3. Mệnh đề. Giả sử C là thể lồi trong Ed và hC : Ed ® ¡ là hàm tựa
tương ứng của C . Khi đó hC có các tính chất:
d
(i) hC (l u) = l hC (u) , với u Î E , l ³ 0.

(ii) hC (u + v) £ hC (u) + hC (v) , với u, v Î Ed .
d
Chứng minh. Với u, v Î E , l ³ 0 và sử dụng Định nghĩa 1.2.2 ta có:

(i) hC (l u) = sup{l u.x : x Î C } = l sup{u.x : x Î C } = l hC (u) .
(ii) hC (u + v) = sup{(u + v).x : x Î C }
£ sup{u.x : x Î C } + sup{vx
. : x Î C } = hC (u) + hC (v).W.
1.3. Đa diện lồi
1.3.1. Định nghĩa. Bao lồi của hữu hạn điểm được gọi là đa diện lồi. Nếu H
là một siêu phẳng tựa của đa diện lồi K , chúng ta gọi tập F = K Ç H là mặt của
K .

Ta ký hiệu à là tập hợp tất cả các đa diện lồi trong Ed .
1.3.2. Định lý. Mỗi đa diện lồi chứa hữu hạn mặt, mỗi mặt cũng là đa diện

lồi.

15


Chứng minh. Lấy a1,...,ak Î Ed , giả sử đa diện lồi P = co {a1,...,ak } và

{

}

d
. = a là siêu phẳng tựa của P . Ta thấy
F = P Ç H , trong đó H = x Î E xa

H phải đi qua một số điểm nào đó trong số các điểm a1,...,ak . Thật vậy, nếu H
không đi qua điểm nào trong số các điểm a1,...,ak thì các điểm này nằm về một
phía đối của H . Không mất tính tổng quát có thể giả sử P Ì H + , khi đó

{a ,...,a } Ì

int H + . Như vậy thì ta có ai .a = a + bi , trong đó bi > 0, i = 1,..., k .

Lấy x Î F

thì x = å l iai , với l i ³ 0; i = 1,..., k và

1

k

k

k

ål

i =1

k

k

k

k

i =1

i =1

i =1

i =1

i =1

i

= 1. Suy ra

xa
. = å l i (ai .a) = a å l i +å l i bi = a + å l i bi , hơn nữa x Î H nên ta có
k

å

i =1

l i bi = 0, tức là l 1 = ... = l k = 0, điều này mâu thuẫn với

k

ål
i =1

i

= 1.

+
Không mất tính tổng quát, giả sử a1,...,as Î H và as+1,...,ak Î int H . Khi

đó ai .a = a,i = 1,...,s và aj .a = a + bj ; bj > 0, j = s + 1,..., k . Với x Î P thì
k

x = å l iai , với l i ³ 0; i = 1,..., k và
i =1

k

ål
i =1

i

= 1. Do đó

k

s

k

i =1

i =1

j =s+1

xa
. = å l i (ai .a) = a å l i + å l j bj = a +

k

å

l j bj .

j =s+1

16


. =a Û
Do vậy x Î F Û xa

k

å

j =s+1

s

khi và chỉ khi x = å

i =1

l j bj = 0 Û l s+1 = ... = l k = 0, tức là x Î F

l iai , với l i ³ 0; i = 1,...,s và

s

ål
i =1

i

= 1. Điều đó có nghĩa

x là tổ hợp lồi của các điểm a1,...,as . Vậy F là đa diện lồi.
Vì các tập con của tập {a1,...,ak } là hữu hạn nên số mặt của P là hữu hạn.
Vậy Định lý được chứng minh .W.
1.3.3. Định lý (Krein – Milman). Mỗi đa diện lồi là bao lồi của các đỉnh của
nó.
Chứng minh. Ký hiệu vert P là tập hợp các đỉnh của đa diện lồi P . Ta sẽ
chứng minh
P = co(vert P ) .
Giả

sử

P = co {a1,...,ak } .

Do

tính

chất

x Î co {a1,...,ak }

thì

co { x,a1,...,ak } = co {a1,...,ak } nên ta có thể giả sử a1 Ï co {a2,...,ak } . Ta chứng

minh a1 là đỉnh của P . Đặt Q = co {a2,...,ak } và p là ảnh của a1 qua phép chiếu
Ed lên Q . Suy ra siêu phẳng H đi qua p có vectơ pháp tuyến là a1 - p và H là

siêu phẳng tựa của Q .
Gọi Q ' là siêu phẳng qua a1 và song song với H , khi đó Q ' là siêu phẳng tựa của
P (vì a1 Î Q ' và tất cả các điểm của P nằm về một phía của Q ' ). Ta chứng minh
Q ' Ç P = {a1} .

17


Thật vậy, theo Định lý 1.3.2 thì Q ' Ç P là một diện của P . Nếu Q ' Ç P có số
chiều lớn hơn 1 thì nó chứa ít nhất một điểm thuộc {a2,...,ak } khác a1, điều này
mâu thuẫn vì các điểm a2,...,ak nằm ở nửa không gian xác định bởi H đối diện với
a1. Vậy a1 là đỉnh của P . Hoàn toàn tương tự các điểm a2,...,ak cũng là các đỉnh
của P .W.

18


CHƯƠNG 2. THỂ TÍCH HỖN TẠP VÀ QUERMASSINTEGRALS
d
d
d
Ta nhắc lại C = C (E ) là tập tất cả các thể lồi trong E và Cp = Cp (E ) là tập

tất cả các thể lồi chân chính trong Ed .
2.1. Tổng Minkowski và tính chất
2.1.1. Định nghĩa. Cho C , D Î C và l Î ¡ , khi đó ta định nghĩa tổng
Minkowski như sau:

{
l C = {l x x Î C } .

}

C + D = x + y x Î C ,y Î D ,

2.1.2. Mệnh đề. Giả sử C , D Î C và l Î ¡ . Khi đó C + D Î C, l C Î C.
Chứng minh. Từ Định nghĩa 2.1.1 ta dễ thấy l C Î C. Như vậy ta chỉ cần
chứng minh C + D Î C, tức là phải chứng minh C + D là tập lồi và C + D là tập
compact. Thật vậy
ù.
(1) Lấy u + x, v + y Î C + D trong đó u, v Î C , x, y Î D và giả sử l Î é
ê
ë0;1ú
û

Thế thì
(1- l )(u + x) + l (v + y) = ((1- l )u + l v) + ((1- l )x + l y) Î C + D
bởi vì C , D là các tập lồi.

{

}

(2) Vì C , D là các tập compact nên C ´ D = (x,y) x Î C ,y Î D cũng là tập
compact trong Ed ´ Ed .
Xét ánh xạ
f : E d ´ Ed ® E d
.
(x, y) a x + y

19


Dễ thấy f là ánh xạ liên tục và qua ánh xạ f thì C ´ D biến thành C + D . Suy ra
C + D là tập compact. Như vậy C + D Î C .W.
2.1.3. Mệnh đề. Giả sử C , D Î C và l ³ 0. Khi đó ta có các khẳng định:
hC +D = hC + hD , hl C = l hC .
d
Chứng minh. Ta thấy rằng " u Î E và l ³ 0:

hC +D (u) = sup{u.(x + y) : x Î C , y Î D}
= sup{u.x : x Î C } + sup{u.y : y Î D}
= hC (u) + hD (u) = (hC + hD )(u).
Suy ra hC +D = hC + hD .
hl C (u) = sup{u.(l x) : x Î C } = l sup{u.x : x Î C }
= l hC (u) = (l hC )(u).
Do vậy hl C = l hC , mệnh đề được chứng minh .W.
2.1.4. Bổ đề. Giả sử C 1,...,C m Î C, l 1,..., l m ³ 0 và u Î Sd- 1 , ( Sd- 1 là hình
cầu Euclide đơn vị trong Ed ). Khi đó với C = l 1C 1 + ... + l mC m ta có:
C Ç HC (u) = l 1(C 1 Ç HC (u)) + ... + l m(C m Ç HC (u)).
1

m

Chứng minh. Trước hết chúng ta chứng minh bao hàm thức
(1)

C Ç HC (u) Ì l 1(C 1 Ç HC (u)) + ... + l m(C m Ç HC (u)).
1

m

Thật vậy, lấy x Î C Ç HC (u) , khi đó x = l 1x1 + ... + l mxm với xi Î C i . Rõ ràng
u.xi £ hC (u) với mỗi i . Trong trường hợp l i = 0, chúng ta có thể chọn tùy ý
i
xi Î C i Ç HC (u) , đây là trường hợp tầm thường. Trong trường hợp l i > 0, chúng
i

20


ta có xi Î C i Ç HC i (u) với i = 1,..., m . Thật vậy, giả sử ngược lại, khi đó tồn tại
một l i > 0 thỏa mãn u.xi < hC i (u) . Từ Mệnh đề 2.1.3 ta suy ra
hC (u) = u.x = l 1u.x1 + ... + l mu.xm < l 1hC (u) + ... + l mhC (u)
= hl C (u) + ... + hl
1 1

mC m

1

(u) = hl C

1 1 +...+l mC m

(u) = hC (u).

m

Điều này dẫn đến mâu thuẫn.

Vì vậy dẫn đến x Î l 1(C 1 Ç HC 1(u)) + ... + l m(C m Ç HC m (u)) , tức là bao hàm thức
(1) được chứng minh.
Bây giờ ta chứng minh bao hàm thức ngược lại
(2)

l 1(C 1 Ç HC (u)) + ... + l m(C m Ç HC (u)) Ì C Ç HC (u).
1

m

Giả sử xi Î C i Ç HC i (u) với i = 1,..., m . Khi đó
x = l 1x1 + ... + l mxm Î l 1C 1 + ... + l mC m = C ,
u.x = l 1u.x1 + ... + l mu.xm = l 1hC (u) + ... + l mhC (u)
= hl C

1 1

+...+l mC m

(u) = hC (u).

1

m

Suy ra x Î HC (u) . Vì vậy x Î C Ç HC (u) , tức là (2) được chứng minh.
Từ (1) và (2) dẫn đến Bổ đề được chứng minh .W.
2.2. Mêtric Hausdorff
2.2.1. Định nghĩa. Cho C , D Î C, ta định nghĩa
dH (C , D) = max{maxmin x - y , maxmin x - y }.

xÎ C yÎ D
xÎ D yÎ C
dH được gọi là mêtric Hausdorff của C.
x - y và gọi số này là khoảng
Chú ý rằng ta ký hiệu dist ( x, D ) := min
yÎ D
cách từ x tới tập D . Khi đó ta có mệnh đề sau.
2.2.2. Mệnh đề. Giả sử C , D Î C. Khi đó

21


(i) dH (C , D) là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kì lần lượt thuộc C
và D tới tập hợp kia. Tức là
dH (C , D) = max{dist ( x, D ) , dist ( y,C ) : x Î C , y Î D}.
H
d
d
(ii) d (C , D) = inf {d ³ 0:C Ì D + dB , D Ì C + dB }.

Chứng minh
(i) Hiển nhiên do định nghĩa khoảng cách từ một điểm tới một tập hợp
dist ( x, D ) .
d
d
(ii) Ký hiệu D = {d ³ 0:C Ì D + dB , D Ì C + dB }. Từ (i) suy ra rằng

xảy ra một trong 2 trường hợp: hoặc là tồn tại a Î C , sao cho dH (C , D) = d(a, D) ,
, ) . Ta xét trường hợp thứ nhất:
hoặc là tồn tại b Î D sao cho dH (C , D) = d(bC

dH (C , D) = d(a, D) ³ d(bC
, ) , trường hợp thứ hai tương tự. Vì vậy cho nên nếu
z < dH (C , D) thì z < d(a, D ) . Khi đó không thể xảy ra hệ thức: C Ì D + zB d , nói
khác đi z Ï D . Nghĩa là dH (C , D) £ z , với mọi z Î D . Với bất kỳ e > dH (C , D) ,
1
, ) , do đó
gọi r = [e+dH (C , D)]. Rõ ràng e > r > dH (C , D ) = d(a, D) ³ d(bC
2
C Ì D + rB d và D Ì C + rB d . Suy ra r Î D . Từ các lập luận trên suy ra (ii) .W.
2.2.3. Định lý. Giả sử C , D, E Î C. Khi đó ta có
(i) dH (C , D) ³ 0 và dH (C , D) = 0 khi và chỉ khi C = D .
(ii) dH (C , D) = dH (D,C ) .
(iii) dH (C , E ) £ dH (C , D) + dH (D, E ) ( bất đẳng thức tam giác ).
Định lý trên phát biểu cách khác: dH là một mêtric trên C.

22


Chứng minh
(i) Dễ thấy từ Mệnh đề 2.2.2 thì dH (C , D ) ³ 0 với mọi C , D Î C. Bây giờ ta
chứng tỏ dH (C , D ) = 0 khi và chỉ khi C = D . Thật vậy nếu dH (C , D) = 0 thì
C Ì D + 0B d, D Ì C + 0B d hay C Ì D, D Ì C . Tức là C = D .
Ngược lại hiển nhiên dH (C ,C ) = 0.
(ii) dH (C , D) = dH (D,C ) được suy ra từ Mệnh đề 2.2.2.
H
H
H
(iii) Đặt r = d (C , E ), d (C , D) = s, d (D, E ) = t , ta phải chứng minh

r £ s +t .

d
d
Từ phép đặt và Mệnh đề 2.2.2 ta có D Ì C + sB , C Ì D + sB và

E Ì D + tB d, D Ì E + tB d . Suy ra E Ì C + (s + t)B d, C Ì E + (s + t)B d . Tức
là dH (C , E ) £ s + t hay r £ s + t .W.
2.2.4. Định lý. Bất kỳ dãy các thể lồi bị chặn nào trong Ed đều chứa dãy
con hội tụ.
Chứng minh. Ta sử dụng Định lý Arzelá - Ascoli sau đây:
(1)

Giả sử B là hình cầu trong Ed và ff1, 2,... : B ® ¡ là một dãy các

hàm số thỏa mãn các điều kiện sau
fn (x) £ k, k = const với x Î B và n = 1,2,...
fn (x) - fn (y) £ x - y với x, y Î B và n = 1,2,...
Khi đó dãy ff1, 2,... chứa một dãy con hội tụ đều.
Bây giờ ta chứng minh định lý.

23


(2)

Giả B là hình cầu và C 1,C 2,... là dãy các thể lồi trong B . Khi đó dãy

này chứa một dãy con hội tụ.
Xác định dãy hàm dn : B ® ¡ , n = 1,2,... bởi

{

}

dn (x) = dist(x,C n ) = min x - u : u Î C n với x Î B .
Để áp dụng Định lý Arzelá - Ascoli cho dãy hàm (dn ) , trước hết ta phải chứng
minh một số tính chất. Ta có
(3)

dn là hàm lồi:

Lấy x, y Î B

và 0 £ l £ 1. Chọn u, v Î C n sao cho dn (x) = x - u

và

dn (y) = y - v . Vì (1- l )u + l u Î C n bởi tính lồi của C n cho nên

dn ((1- l )x + l y) £ (1- l )x + l y - ((1- l )u + l u)
£ (1- l ) x - u + l y - v = (1- l )dn (x) + l dn(y).
Do đó (3) được chứng minh. Bây giờ ta chứng minh
(4)

dn (x) - dn(y) £ x - y với x, y Î B .

Lấy x, y Î B , chọn u, v Î C n sao cho dn (x) = x - u và dn (y) = y - v . Khi đó
dn (x) £ x - v £ x - y + y - v = x - y + dn (y) ,

hay dn (x) - dn (y) £ x - y . Tương tự ta có dn (y) - dn (x) £ x - y . Như vậy bất
đẳng thức (4) được chứng minh. Chú ý rằng dn (x) = 0 với x Î C n , kết hợp với (4)

ta suy ra
(5)

dn (x) £ diamB với x Î B .

24


Mệnh đề (5), (4), (1) dẫn đến sự tồn tại của dãy con (dnj ) hội tụ đều tới hàm số
dC : B ® ¡ . Vì dC là giới hạn đều của dãy các hàm số liên tục, lồi và không âm
trên B nên dC cũng liên tục, lồi và không âm trên B . Vì vậy
C = { x Î B : dC (x) = 0} Î C hoặc C = Æ.

Nếu C = Æ thì dC (x) > 0 với mọi x Î B . Do đó dnj (x) > 0 với j đủ lớn và với
mọi x Î B . Điều này mâu thuẫn, do đó
(6)

C Î C.

Cuối cùng ta chứng minh
(7)

C n ,C n ,... ® C .
1
2

Giả sử e> 0. Vì dC liên tục trên tập hợp compact B nên dC liên tục đều và vì dC
bằng 0 trên C , nên tồn tại d > 0 sao cho

{x Î

B : dC (x) £ d} Ì C + eB d .

Vì dC (x) £ dnk (x) + d với k đủ lớn nên
(8)

{

} {x Î

C n = x Î B : dn (x) = 0 Ì
k

k

B : dC (x) £ d} Ì C + eB d với k

đủ lớn.

{

}

d
Từ định nghĩa của dnk ta thấy rằng x Î B : dnk (x) £ e Ì C nk + eB .

Do dnk (x) £ dC (x) + e với k đủ lớn nên
(9)

C = { x Î B : dC (x) = 0} Ì

{x Î

}

B : dn (x) £ e Ì C n + eB d với k
k
k

đủ lớn.
Do e> 0 được chọn tùy ý. Vì vậy (8) và (9) cùng với Mệnh đề 2.2.2 (i) kéo theo
(7) . Mệnh đề (6) và (7) kéo theo (2).

25