Một số tính chất hình học của phép chiếu y nhị phân

MỤC LỤC

Mục lục

3

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1 Các tính chất hình học của phép chiếu nhị phân

7

1.1. Các định nghĩa và tính chất hình học của phép nhị phân . . . . .

7

1.2. Các tính chất cơ bản của nhị phân hệ vi phân tuyến tính thuần nhất 11
1.3. Sự tồn tại nghiệm của hệ không thuần nhất và nhị phân của hệ
thuần nhất tương ứng

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Các tính chất hình học của phép chiếu Ψ-nhị phân

19

2.1. Định nghĩa và các tính chất hình học . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Phép chiếu Ψ−nhị phân mũ của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

21

2.3. Phép chiếu Ψ-nhị phân thường của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất 32
Kết luận

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Tài liệu tham khảo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3


MỞ ĐẦU

Lý thuyết phương trình vi phân là bộ phận quan trọng trong toán học hiện
đại đang được phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng trong các ngành
khoa học khác nhau.
Nhị phân trong lý thuyết ổn định là một sự mở rộng của khái niệm ổn định
của hệ vi phân. Các kết quả nghiên cứu đã được công bố và tổng hợp khá hệ
thống trong nhiều tài liệu khác nhau, tiêu biểu như W.A.Coppel [6],...
Với mục đích mở rộng lớp phương trình vi phân tuyến tính ổn định, gần
đây Akinnyele đã đưa ra khái niệm Ψ−ổn định cấp k khi Ψ thuộc C(R+ , R+),
R+ = [0, +∞). Constantin đề xuất khái niệm Ψ−ổn định và Ψ−bị chặn cấp
k khi Ψ ∈ C(R+ , R+ ). Mochalo đề xuất khái niệm Ψ−ổn định, Ψ−ổn định
đều, Ψ−ổn định tiệm cận. Gần đây khi nghiên cứu về tính chất của Ψ−ổn
định các tác giả đã đề xuất khái niệm Ψ−nhị phân của phương trình vi phân
tuyến tính thuần nhất và đã có nhiều kết quả được công bố về vấn đề này
như Diamandescu, Phạm Ngọc Bội,...

Vấn đề được đặt ra cụ thể như sau:
Trong không gian Rn với chuẩn
x = max{|x1 |, |x2 |, ..., |xn |} với x = (x1 , x2 , ..., xn ).
Xét hệ vi phân thuần nhất
x = A(t)x

(1)

trong đó A(t) là ma trận cấp n × n liên tục trên J (thường thì ta xét J là
R+ , R− hoặc toàn bộ đường thẳng R).
Giả sử Ψi : J → R, i = 1, 2, ..., n. Đặt Ψ = diag{Ψ1 , Ψ2 , ..., Ψn }.
Khi đó, hệ (1) được gọi là có Ψ−nhị phân mũ nếu không gian nghiệm của
nó phân tích được thành tổng trực tiếp của hai không gian con sao cho một
không gian con chứa tất cả các nghiệm x(t) sao cho Ψ(t)x(t) → 0 với tốc độ
hàm mũ và không gian kia chứa tất cả các nghiệm x(t) sao cho Ψ(t)x(t) → ∞
cũng với tốc độ hàm mũ. Tương tự ta có khái niệm Ψ−nhị phân thường khi
không yêu cầu về tốc độ tiến tới 0 và ∞ của các nghiệm.
4


5

Bài toán thường được quan tâm giải quyết đầu tiên là các điều kiện cần và
các điều kiện đủ để hệ có Ψ−nhị phân trên J. Trong trường hợp A(t) = A0 là
ma trận hằng, Ψ(t) là hàm hằng thì điều kiện để hệ (1) tồn tại Ψ−nhị phân
là khá đơn giản.Một trong những con đường tiếp cận và tìm tòi của các nhà
Toán học là trong trường hợp A(t) và Ψ(T ) thỏa mãn thêm các tính chất nào
đó.
Đồng thời khi xét hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất tương ứng
x = A(t)x + f (t)

(**)

với f (t) là hàm vectơ J → R thì một vấn đề được đặt ra khá tự nhiên là: Ma
trận A(t) phải thỏa mãn tính chất nào, hàm f phải thỏa mãn điều kiện nào
thì phương trình (**) có nghiệm Ψ−bị chặn trên J. Thông thường người ta
thường yêu cầu f thỏa mãn một trong các điều kiện: liên tục trên J, Ψ−khả
tích trên J, Ψ−khả tích bị chặn trên J. Về điều kiện của A(t), ngoài tính liên
tục người ta còn yêu cầu các điều kiện khác nữa, một trong các điều kiện đặt
ra là A(t) làm hệ phương trình thuần nhất (1) tương ứng có nhị phân trên J.
Với mục đích trên, luận văn được trình bày thành hai chương.
Chương I. Các tính chất hình học của phép chiếu nhị phân. Với quan
điểm là chương cơ sở, trong chương này chúng tôi trình bày hệ thống kiến
thức của nhị phân và các kết quả chính giúp chúng tôi làm cơ sở nghiên cứu
Ψ−nhị phân. Điểm đặc biệt được chúng tôi nhấn mạnh là hiểu phép chiếu
nhị phân thông qua các chứng minh minh họa tính chất hình học.
Chương II. Các tính chất hình học của phép chiếu Ψ-nhị phân. Đây
là chương chính của luận văn. Trong chương này đầu tiên chúng tôi vạch rõ
biểu diễn hình học của nhị phân được mở rộng như thế nào để hình thành
khái niệm Ψ−nhị phân và tìm ra biểu diễn hình học của nó. Đồng thời chúng
tôi trình bày những kết quả khi tiếp cận các bài toán đang được các nhà toán
học trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Các Định lý 2.2.5, Định lý 2.3.4, Định
lý 2.3.5 là các kết quả chúng tôi đề xuất và chứng minh.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của T.S Phạm Ngọc Bội.
Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc vì những giúp đỡ tận tình của thầy trong
các bài giảng cũng như trong quá trình thực hiện đề tài.
Tác giả cũng gửi lời cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán và khoa Đào
tạo sau đại học, đặc biệt là các giảng viên trực tiếp giảng dạy chuyên ngành
vì những ý kiến đóng góp quý báu trong học tập và làm luận văn. Cảm ơn

6

các anh, chị và các bạn học viên Cao học 13 - Toán vì những giúp đỡ, động
viên trong suốt khóa học.
Tôi cảm ơn gia đình, bạn bè đã dành sự quan tâm, ủng hộ cho bản thân
khi tôi học tập và cả trong quá trình hoàn thành luận văn.
Vinh, tháng 12 năm 2007.
Tác giả.


CHƯƠNG 1
CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA PHÉP CHIẾU NHỊ PHÂN

Sự phát triển theo hướng tự nhiên của lý thuyết ổn định cổ điển được phát
sinh khi ta nhận thấy rằng điều kiện ổn định chỉ có trong một số hệ với các
điều kiện chặt chẽ. Lý thuyết nhị phân trong ổn định ra đời chính là sự thỏa
mãn cho một số câu hỏi trên.
Trong chương này chúng tôi trình bày về lý thuyết nhị phân như là những
kiến thức cơ bản để làm cơ sở tìm kiếm những kết quả khi nghiên cứu về lý
thuyết Ψ−nhị phân. Nội dung chính của chương là trình bày các định nghĩa
của nhị phân, tìm ra các biểu diễn hình học đặc trưng của phép chiếu nhị
phân cũng như các dấu hiệu chứng minh hệ có nhị phân và mối quan hệ về
tính có nghiệm của hệ không thuần nhất với tính có nhị phân của hệ thuần
nhất tương ứng.
1.1. Các định nghĩa và tính chất hình học của phép nhị phân
Trong Rn xét hệ vi phân tuyến tính
x = A(t)x

(1.1)

trong đó n × n ma trận A(t) liên tục trên khoảng J mở trong R. Các trường
hợp được nghiên cứu chủ yếu là khi J là các nửa đường thẳng R+ , R− và toàn
bộ đường thẳng R. Gọi X(t) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ trên.
1.1.1 Định nghĩa. Một n × n ma trận P (t) được gọi là phép chiếu nếu thỏa
mãn P 2 (= P (t)
1.1.2 Định nghĩa.
• Hệ phương trình (1.1) được gọi là có nhị phân mũ trên J nếu tồn tại
một phép chiếu P và các hằng số dương K, l, α, β sao cho:
|X(t)P X −1 (s)|

Ke−α(t−s)

|X(t)(I − P )X −1 (s)|

Le−β(s−t)
7

với t

s;

với s

t, s ∈ J
t;

t, s ∈ J.

(1.2)

8

• Hệ phương trình (1.1) được gọi là có một nhị phân thường trên J nếu các
bất đẳng thức trên đúng với α = β = 0 hay tồn tại các hằng số dương
K, L sao cho:
|X(t)P X −1 (s)|

với ∀t

K

|X(t)(I − P )−1 X −1 (s)|

L

s

với ∀s

t

Để tìm hiểu bản chất của khái niệm phép chiếu nhị phân chúng ta sẽ
biểu diễn lại các bất đẳng thức (1.2) dưới dạng tương đương sau:
|X(t)P ξ|
|X(t)(I − P )ξ|

K e−α(t−s) |X(s)P ξ|

với t

L e−β(s−t) |X(s)(I − P )ξ|

|X(t)P X −1 (t)|

s
với t

s

(1.3)

với ∀t

M

trong đó K , L , M là các hằng số dương và ξ là một vectơ hằng tùy ý.
1.1.3 Nhận xét. Trường hợp đặc biệt khi hệ (1.1) có nhị phân mũ với phép
chiếu P = I thì mọi nghiệm x(t) của nó có tính chất:
x(t)

Ke−α(t−t0 ) x(t0 ) ,

t0

t;

t, t0 ∈ J

(*)

Chứng minh. Từ Định nghĩa 1.2 ta có
X(t)X −1 (t0 )ξ

Ke−α(t−t0 ) ξ ;

∀ξ ∈ Rn

Trong công thức trên đặt ξ = x(t0 ) ta có x(t) = X(t)X −1 (t0 )x(t0 )
Ke−α(t−t0 ) x(t0 ) . Điều phải chứng minh.
Từ hệ thức (*) ta có hệ là ổn định mũ.
1.1.4 Định nghĩa. Giả sử không gian X được phân tích thành tổng trực
tiếp của hai không gian con X1 , X2 , góc giữa hai không gian con X1 , X2 ký
hiệu là Sn được xác định bởi Sn (X1 , X2 ) :=
inf
x1 + x2 trong đó
x1 = x2 =1

x1 ∈ X1 ; x2 ∈ X2 và giá trị inf của mọi cặp véc tơ đơn vị của X1 và X2
Giả sử phép chiếu P có hạng k và hơn nữa traceP = k và cho trước
α, β > 0 thì ta có:
1.1.5 Nhận xét. Hệ (1.1) có một nhị phân mũ trên R+ thì:


9

• Có một không gian k−chiều của không gian nghiệm bao gồm các nghiệm
dần tới 0 theo tốc độ hàm mũ khi t → ∞.
• Có một không gian (n − k)−chiều của các nghiệm dần tới ∞ khi t → ∞

cũng với tốc độ hàm mũ.
• Góc giữa hai không gian con dương đủ lớn để không gần bằng 0.
Chứng minh.
*) Ta chứng minh nhận xét đầu tiên. Từ đó, do không gian cơ sở n-chiều nên
không gian nghiệm của hệ (2.1) cũng có chiều là n suy ra nhận xét thứ hai
cũng được chứng minh. Thật vậy:
Giả sử ξ1 , ξ2 , ..., ξk là n vectơ độc lập tuyến tính trong không gian Rk (0) =
P (0)Rn trong đó ξi = (c1i , c2i , ..., cni ), ∀i = 1, 2, .... Khi đó ma trận


c11 c12 . . . c1k
c c . . . c 
2k 
 21 22
(*)
 ..
..
..
.. 
 .
.
.
. 
cn1 cn2 . . . cnk
có hạng là k.
Gọi y1 (t), y2 (t), ..., yk (t) là k nghiệm của hệ (1.1) sao cho y1 (0) = ξ1 , y2 (0) =
ξ2 , ..., yk (0) = ξk . Ta chứng minh {y1 (t), y2 (t), ..., yk (t)} là cơ sở của không gian
các nghiệm thỏa mãn bất đẳng thức đầu tiên.
Hệ đầy đủ. Giả sử ngược lại hệ phụ thuộc tuyến tính, khi đó tồn tại
j ; 1 j k. Sao cho

k

k

αi yi (t) ⇒ yj (0) =

yj (t) =
i=i,i=j

αi yi (0)
i=i,i=j

chứng tỏ rằng ma trận (*) là phụ thuộc tuyến tính (mâu thuẫn). Vậy hệ là
độc lập tuyến tính.
Hệ là hệ sinh. Giả sử x(t) là nghiệm của hệ với x(0) = ξ ∈ Rk (0). Khi đó
tồn tại bộ số {α1 , α2 , ..., αk } sao cho ξ = α1 ξ1 + α2 ξ2 + ... + αk ξk . Dễ thấy rằng
nghiệm x (t) = α1 y1 (t) + α2 y2 (t) + ... + αk yk (t) thỏa mãn x (0) = x(0) nên
theo điều kiện duy nhất nghiệm ta có x(t) = x (t). Suy ra x(t) = α1 y1 (t) +
α2 y2 (t) + ... + αk yk (t) nên hệ là hệ sinh.


10

Dễ thấy các nghiệm thuộc không gian nghiệm thỏa mãn bất đẳng thức thứ
nhất dần tới 0 với tốc độ hàm mũ có chiều là k. Khẳng định đầu tiên được
chứng minh.
*) Để chứng minh nhận xét thứ ba ta chứng minh bổ đề sau:
1.1.6 Bổ đề. Giả sử không gian X được phân tích thành tổng trực tiếp hai
không gian con đóng X1 X2 với các phép chiếu tương ứng là P1 , P2 thì
1

Pk

2
Pk

Sn (X1 , X2 )

(k = 1, 2)

Chứng minh. Ta chọn một hằng số δ > Sn (X1 , X2 ), khi đó tồn tại cặp vectơ
đơn vị x1 , x2 của X1 , X2 sao cho x1 + x2 < δ.
Đặt x1 + x2 = x, khi đó x1 = P1 x, x2 = P2 x.
1 = xk
mà 1/ Pk < δ ⇒ 1/ Pk
Sn

Pk

x < Pk δ

Sn (X1 , X2 ). Mặt khác với mọi vectơ x ∈ Rn :

1
P1 x
P1 x
=
P1 x +
P2 x
P1 x
P1 x

P2 x
P1 x − P2 x
1
x+
P2 x
=
P1 x
P2 x
1
P1 x + P2 x
x
x +
P2 x
2
P1 x
P2 x
P1 x

Từ đó
Sn (X1 , X2 )

2 inf

x∈X

x
2
=
.
P1 x

P1

Bổ đề được chứng minh.
Trở lại với chứng minh nhận xét, ta gọi
X1 = {u|u = x(0); x(t) là nghiệm của hệ (1.1)}
đồng thời gọi P1 , P2 là các phép chiếu không gian cơ sở lên X1 và không gian
phụ với nó. Suy ra tại thời điểm t bất kỳ thì Pk (t) = X(t)Pk (0)X −1 (t). Kết
hợp với bổ đề ta có
Sn (t)

1
1
=
Pk (t)
X(t)Pk (0)X −1 (t)

Do M là hằng số, Nhận xét được chứng minh.

1
>0
M


11

Như vậy, ta thấy ý nghĩa hình học của nhị phân chính là sự phân tích
không gian nghiệm thành tổng trực tiếp của hai không gian trong đó khi
chiếu các nghiệm lên một không gian thì nghiệm sẽ tiến tới 0 với tốc độ hàm
mũ và lên không gian còn lại thì nghiệm sẽ tiến tới ∞ cũng với tốc độ hàm
mũ.

1.1.7 Ví dụ. Hệ vi phân x = A0 x, với A0 là ma trận hằng, có một nhị phân
mũ trên R+ nếu không có giá trị riêng nào của A0 có phần thực bằng 0 và có
một nhị phân thường nếu mọi nghiệm có phần thực bằng 0 đều không có ước
sơ cấp đơn.
Chứng minh.
*) Nếu mọi nghiệm của A0 đều có phần thực khác 0.
Gọi λ1 , λ2 , ..., λn là các nghiệm của đa thức đặc trưng A0 − λI sao cho
Reλi < 0 (i = 1, 2, ..., k) và Reλi > 0 (i = k + 1, k + 2, ..., n). Khi đó ta
gọi X1 là không gian con của Rn sinh bởi các giá trị ban đầu của các nghiệm
λ1 , λ2 , ..., λk và X2 là không gian con của Rn phụ với X1 và P là phép chiếu
Rn lên X1 . Khi đó với mọi t s > 0 và α = sup |λi | ta có:
1 i k

|X(t)P X −1 (s)| = |(eλ1 (t−s) , eλ2 (t−s) , ..., eλk (t−s) , 0, 0, ..., 0)|
e−α(t−s)
Tương tự ta cũng có với s

t>0

|X(s)(I − P )X −1 (t)|

e−β(s−t)

Vậy hệ có một nhị phân mũ.
*) Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được ảnh của nghiệm cơ bản của hệ là
bị chặn trên R+ qua các phép chiếu lên không gian con sinh bởi giá trị ban
đầu của các nghiệm có phần thực không dương và phép chiếu phụ với nó nên
hệ có nhị phân thường trên R+ .
1.2. Các tính chất cơ bản của nhị phân hệ vi phân tuyến tính thuần
nhất

1.2.1 Mệnh đề. Phương trình (1.1) có một nhị phân mũ trên R+ nếu tồn
tại các hằng số dương T > 0, S > 0 và 0 < β < 1 sao cho mọi nghiệm x(t)


12

của phương trình (1.1) thỏa mãn
|x(t)|

C|x(s)| với 0

|x(t)|

θ sup |x(u)| với mọi t

s

t

s+T

và
T

(1.4)

|u−t| T

Chứng minh. Trước hết giả sử x(t) là nghiệm không tầm thường bị chặn của
(1.1) và với s 0 đặt

µ(s) = sup |x(u)|
u s

Thì với t

s+T
|x(t)|

θ. sup |x(u)|

θµ(s)

|u−t| T

và từ đó
µ(s) =

sup

|x(u)|

s u s+T

nên
|x(t)|
Nếu s + nT

C|x(s)| với 0

t<∞

s

t < s + (n + 1)T thì
|x(t)|

θn sup |x(u)|
|u−t| nT
n

θ C|x(s)|
θ−1 Cθ(t−s)/T |x(s)|
vì vậy
|x(t)|

Ke−α(t−s) |x(s)| với 0

s

t<∞

ở đây K = θ−1 C > 1 và α = −T −1 ln θ > 0.
Tiếp theo giả sử x(t) là nghiệm không bị chặn với |x(0)| = 1 chúng ta cần
xác định tn > 0 bởi
|x(tn )| = θ−n C, |x(t)| < θ−n C với 0
Thì T < t1 < t2 < ... và tn → ∞ Hơn nữa tn+1
|x(tn )|

θ

sup
0 u tn +T

t < tn .

tn + T , từ

|x(u)|


13

và |x(u)| < θ−1 |x(tn )| với 0
u
tn s < tn+1 (1 m n). Thì

tn+1 , giả sử t

s và tm

t < tm+1 ,

|X(t)| < θ−m−1 C = θn−m |x(tn+1 )|
Cθ−1 θn−m+1 |x(s)|
Cθ−1 θ(s−t)/T |x(s)|.
Vì vậy
Ke−α(s−t) |x(s)| với t1

|x(t)|

s<∞

t

Đặt V là không gian vectơ cơ sở (Rn hoặc Cn ) , V1 là không gian vectơ
con bao gồm tất cả các giá trị ban đầu của mọi nghiệm của (1.1), và cho V2
là không gian con phụ với với V1 . Với vectơ đơn vị ξ ∈ V2 , đặt x(t) = x(t, ξ)
là nghiệm có giá trị bằng ξ tại t = 0 thì x(t, ξ) là không bị chặn và từ đó tồn
tại giá trị bé nhất t1 = t1 (ξ) sao cho |x(t1 , ξ)| = θ−1 C. Chúng ta sẽ chứng tỏ
rằng giá trị t1 (ξ) là bị chặn. Thật vậy, ngược lại giả sử tồn tại dãy các vectơ
(ν)
đơn vị ξν ∈ V2 sao cho t1 = t1 (ξν ) → ∞. Theo tính chất compact của hình
cầu đơn vị trong V2 chúng ta có thể giả sử rằng ξν → ξ, ở đây |ξ| = 1. Thì
x(t, ξν ) → x(t, ξ)
Từ

|x(t, ξν )| < θ−1 c

với0

|x(t, ξ)|

t

với mọi

0,

(ν)

t < t1 kéo theo
θ−1 c

với 0

t < ∞,

Đây là điều mâu thuẫn bởi vì ξ ∈ V2 .
Vì vậy tồn tại T1 > 0 sao cho t1 (ξ)
T1 với mọi ξ,và mọi nghiệm x(t) với
x(0) ∈ V2 thì thoả mãn
|x(t)| Ke−α(s−t) |x(s)|
với T1 t s < ∞.
Chúng ta tiếp tục xét khả năng biến đổi phép chiếu trong một phép chiếu
nhị phân với hàm ma trận cơ bản đã cho. Giả sử phương trình (1.1) có một
nhị phân mũ hoặc nhị phân thường (1.2) với phép chiếu P, tương ứng với ma
trận cơ bản X(t) với X(0) = I. Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng nếu P là phép
chiếu có miền ảnh trùng với miền ảnh của P thì phương trình (1.1) có một
nhị phân mũ hoặc nhị phân thường với phép chiếu P .
Thật vậy
P P = P, P P = P ,


14

suy ra
P − P = P (P − P ) = (P − P )(I − P ).
Vì vậy, với véctơ ξ với mọi s, t
|X(t)(P − P )ξ|

0
Ke−αt |(P − P )ξ|
Ke−αt |P − P ||(I − P )ξ|
KLe−αt e−βt |P − P ||X(s)ξ|.

Điều đó kéo theo với 0

t

|X(t)(I − P )ξ|

s thì
|X(t)(I − P )ξ| + |X(t)(P − P )ξ|
[1 + K|P − P |]Le−β(s−t) |X(s)ξ|

Tương tự,với 0

t

s

|X(t)P ξ|

[1 + L|P − P |]Ke−α(t−s) |X(s)ξ|

nên (1.1) có một nhị phân với phép chiếu P’, hằng số α, β không đổi và hằng
số K, L tương ứng là nhân của 1 + L|P − P |, 1 + K|P − P |.
Trong trường hợp nhị phân mũ thì phép chiếu P là xác định duy nhất nếu
X(0) = I, ảnh của P không đổi là không gian con chứa các giá trị ban đầu
của mọi nghiệm bị chặn.

Tuy vậy, trong trường hợp là nhị phân thường chúng ta có thể chọn phép
chiếu P khác. Đặt V là không gian véctơ cơ sở , V1 là không gian con của V
chứa các giá trị ban đầu mọi nghiệm bị chặn của phương trình (1.1), và V0 là
không gian con của V1 chứa các giá trị ban đầu của các nghiệm của phương
trình (1.1) dần tới 0 khi t → ∞. Thì
1.2.2 Mệnh đề. Cho X(t) là ma trận nghiệm cơ bản của phương trình (1)
với X(0) = I. Nếu phương trình (1.1) có nhị phân (1.2) với phép chiếu P thì
nó cũng có một nhị phân với phép chiếu Q nếu và chỉ nếu:
V0 ⊆ QV ⊆ V1

(1.5)

Chứng minh. Chúng ta có thể giả thiết (1.2) là đúng với α = β = 0 và K = L.
Cho x(t) là một nghiệm không tầm thường sao cho |x(tn )| → 0 với dãy số
tn 0 nào đó. Từ x(t) là không tầm thường ta có tn → ∞. Đặt
x1 (t) = X(t)P x(0);

x2 (t) = X(t)(I − P )x(0)


15

thì x(t) = x1 (t) + x2 (t) và
|x1 (t)|
|x2 (t)|

K|x(tn )|
K|x(tn )|

với t

với 0

tn
t

tn

Hệ thức đầu tiên chứng tỏ rằng |x1 (t)| → 0 khi t → ∞ và hệ thức thứ hai
chứng tỏ x2 (t) = 0 với moị t 0. Từ đó x(0) ∈ P V và |x(t)| → 0 nếu t → ∞.
Suy ra V0 ⊆ P V . Từ |X(t)P | K với t 0 suy ra P V ⊆ V1 .
Ta chứng minh điều kiện thứ hai của (1.5).
Đặt P0 là phép chiếu với ảnh là không gian V0 và có không gian không
chứa không gian không của P . Thì V0 = (P − P0 )V là một không gian con
của P V phụ với V0 . Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng tồn tại một hằng số N > 0
thoả mãn
|X(t)ξ| N |ξ| với ξ ∈ V0 và t 0
Mặt khác tồn tại một dãy các vectơ ξv ∈ V0 với |ξv | = 1 và một dãy các số
tv 0 sao cho |x(tv )ξv | → 0. Theo tính chất thu hẹp dãy con ta có thể giả sử
ξv → ξ, trong đó ξ ∈ V0 và |ξ| = 1. Từ
|X(tv )ξ|

|X(tw )ξv | + |X(tv )(ξ − ξv )|
|X(tw )ξv | + K|ξ − ξv |

điều này chứng tỏ rằng |X(tv )ξ| → 0, suy ra ξ ∈ V0 , (mâu thuẫn).
Suy ra với mọi vectơ ξ ∈ V ta có với 0 s t
N |(P − P0 )ξ|

|X(t)(P − P0 )ξ|
|X(t)P ξ| + |X(t)P0 ξ|

K|X(s)ξ| + |X(t)P0 ξ|

Cho t → ∞ ta có
N |(P − P0 ) = ξ|

K|X(s)ξ|

Vì thế, với vectơ ξ ∈ V và moị s, t

với mọi s

0

0

|X(t)(P − P0 )ξ|

K|(P − P0 )ξ|
N −1 K 2 |X(s)ξ|

Suy ra
|X(t)P0 ξ|

|X(t)P ξ| + |X(t)(P − P0 )ξ|
(1 + N −1 K)K|X(s)ξ|

với mọi 0

s

t


16

Và
|X(t)(I − P0 )ξ|

|X(t)(I − P )ξ| + |X(t)(P − P0 )ξ|
(1 + N −1 K)K|X(s)ξ|

với mọi 0

t

s.

Suy ra (1) có một nhị phân với phép chiếu P0 .
Bây giờ chúng ta giả sử Q là một phép chiếu thoả mãn điều kiện (5). Từ các
chứng minh trên ta có thể giả sử rằng P V ⊆ QV, thậm chí QP = P . Tồn tại
một hằng số N > 0 thoả mãn
|X(t)ξ|

N |ξ|

với ξ ∈ V1 và t

Vì vậy, với mọi vectơ ξ ∈ V và mọi s, t
|X(t)(Q − P )ξ|

Suy ra với 0

và với 0

t

s

0

0
N |(Q − P )ξ|
N |Q||(I − P )ξ|
KN |Q||X(s)ξ|.

t:
|X(t)(I − Q)ξ|

(1 + N |Q|)K|X(s)ξ|

|X(t)(I − Q)ξ|

(1 + N |Q|)K|X(s)ξ|

s:

Nên (1.1) có một nhị phân với phép chiếu Q. Điều phải chứng minh.
1.3. Sự tồn tại nghiệm của hệ không thuần nhất và nhị phân của hệ
thuần nhất tương ứng
Tiếp theo giả sử X(t) là một nghiệm cơ bản của hệ phương trình (1.1) sao

cho X(0) = I.
Một hàm f (t) được gọi là khả tích địa phương trên R+ nếu nó đo được và
|f (t)|dt < ∞ với mọi khoảng compact J ∈ R.
J

Nếu f (t) là khả tích địa phương thì với một nghiệm của hệ phương trình vi
phân không thuần nhất
y = A(t)y + f (t)
(1.6)


17

chúng ta sẽ xác định một hàm hoàn toàn liên tục y(t) thỏa mãn (1.6) với hầu
hết mọi t.
Đầu tiên giả sử rằng (1.1) có một nhị phân mũ trên R+ . Suy ra tồn tại một
phép chiếu P và các hằng số K, α sao cho:
|X(t)P X −1 (s)|

Ke−α(t−s)

với 0

t

s

|X(t)(I − P )X −1 (s)|

Ke−α(s−t)

với 0

s

t

(1.7)

Khi đó với mọi hàm liên tục bị chặn f (t) phương trình không thuần nhất
tương ứng (1.6) có một nghiệm bị chặn. Dễ thấy
∞

t

X(t)P X −1 (s)f (s)ds −

y(t) =

X(t)(I − P )X −1 (s)f (s)ds

(1.8)

t

0

là một nghiệm của (1.6) và
sup |y(t)|

2α−1 K sup |f (t)|

t 0

t 0

Thực ra công thức (1.8) xác định một nghiệm bị chặn của (1.6) không chỉ cho
hàm liên tục bị chặn f (t) nào đó mà còn cho mọi hàm khả tích địa phương
t+1

|f (s)|ds là bị chặn. Kết quả có được nhờ:

f (t) sao cho
t

1.3.1 Bổ đề. Cho γ là hàm không âm khả tích địa phương thoả mãn
t+1

γ(s)ds

C

với mọi t

0

t

Nếu α > 0 thì, với mọi t

0,

t

e−α(t−s) γ(s)ds

(1 − e−α )−1 C

e−α(s−t) γ(s)ds

(1 − e−α )−1 C

0
∞

t


18

1.3.2 Mệnh đề. Phương trình không thuần nhất (1.6) có ít nhất một nghiệm
bị chặn với mọi hàm f ∈ M nếu và chỉ nếu phương trình thuần nhất tương
ứng (1.1) có một nhị phân mũ.
1.3.3 Mệnh đề. Giả sử (1.1) có tính tăng bị chặn thì phương trình không
thuần nhất tương ứng (1.6) có ít nhất một nghiệm bị chặn với mọi hàm f ∈ C
nếu và chỉ nếu phương trình thuần nhất (1.1) có một nhị phân mũ.


CHƯƠNG 2
CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA PHÉP CHIẾU Ψ-NHỊ

PHÂN

Trên cơ sở nghiên cứu về phép chiếu nhị phân và các tính chất hình học
của chúng, trong chương này chúng tôi mở rộng nghiên cứu tính chất hình
học của Ψ-nhị phân, đặc biệt là nghiên cứu về mối quan hệ giữa Ψ−nhị phân
của hệ thuần nhất và tính khả nghiệm của hệ không thuần nhất tương ứng
với điều kiện của hàm nhiễu f .
2.1. Định nghĩa và các tính chất hình học
Ký hiệu Rn là không gian Euclide n−chiều. Phần tử của Rn có dạng x =
(x1 , x2 , ..., xn )T với chuẩn x = max{|x1 |, |x2 |, ..., |xn |}. Với A là ma trận
d × d thực chúng ta xác định chuẩn |A| = sup x =1 Ax . Đặt R+ = [0; +∞)
và Ψi : R+ → (0; +∞), i = 1, 2, ..., n là các hàm liên tục. Đặt ma trận chéo:
Ψ = diag[Ψ1 , Ψ2 , ..., Ψn ]
2.1.1 Định nghĩa. Một hàm số f : R+ → Rd được gọi là:
• Ψ-bị chặn trên J nếu Ψ(t)f (t) là bị chặn trên J.
• Ψ-khả tích trên J nếu f (t) đo được và Ψ(t)f (t) là khả tích Lebesgue trên
J.
• Ψ-khả tích bị chặn nếu nó là đo được và tích phân Lebesgue
t+1
Ψ(u)f (u) du là bị chặn đều với t ∈ R+ bất kỳ.
t
Chúng ta vẫn sẽ xem xét các phương trình sau:
x = A(t)x

(2.1)

x = A(t)x + f (t)

(2.2)

19


20

trong đó A(t) là ma trận liên tục trên R+ , f : R → bRn là hàm liên tục.
Gọi hàm liên tục tuyệt đối thỏa mãn hệ với mọi t ∈ R+ . Đặt Y (t) là ma
trận nghiệm cơ bản của (2.1) với Y (0) = Id ,là ma trận đơn vị d × d. Ký hiệu
Y1 là không gian con của Rn bao gồm các giá trị ban đầu của mọi nghiệm
Ψ-bị chặn của (2.1) và đặt Y2 là không gian con đóng của Rn phụ với Y1 .
Đồng thời đặt P1 , P2 là các phép chiếu Rn lên Y1 , Y2 .
2.1.2 Định nghĩa.
• Hệ phương trình (2.1) được gọi là có Ψ-nhị phân mũ trên J nếu tồn tại
các hằng số K, L, α, β và cặp phép chiếu phụ nhau (P1 , P2 ) sao cho
|Ψ(t)Y (t)P1 Y −1 (s)Ψ−1 (s)|

Ke−α(t−s)

|Ψ(t)Y (t)P2 Y −1 (s)Ψ−1 (s)|

Leβ(t−s)

với s

t; s, t ∈ J,
s; s, t ∈ J.

với t

(2.3)

(2.4)

• Hệ (2.1) được gọi là có Ψ-nhị phân thường trên J nếu các công thức
(2.3), (2.4) đúng với α = β = 0.
• Ta nói hệ có Ψ-nhị phân trên J nếu nó có một nhị phân mũ hoặc Ψ-nhị
phân thường trên J.
2.1.3 Định nghĩa. Chúng ta nói (2.1) được gọi là có tính Ψ-tăng bị chặn
nếu với mọi số h > 0 thì tồn tại một hằng số C 1 sao cho mọi nghiệm x(t)
của (2.1) thỏa mãn
Ψ(t)x(t)

C Ψ(s)x(s)

với 0

s

t

s+h

(2.5)

2.1.4 Chú ý. Với Ψi = 1, i = 1, 2, ..., n ta có khái niệm nhị phân mũ và nhị
phân thường tương ứng với các khái niệm Ψ−nhị phân mũ và Ψ−nhị phân
thường.
Nhưng tính có nhị phân của hệ và tính có Ψ−nhị phân của hệ không chỉ
tương đương trong trường hợp trên mà chỉ cần điều kiện bị chặn của hàm Ψ
và Ψ−1 . Thật vậy
2.1.5 Mệnh đề. Nếu Ψ và Ψ−1 là hàm bị chặn thì tính có Ψ−nhị phân và

tính có nhị phân của hệ (2.1) là tương đương.
Chứng minh. Chúng ta chỉ chứng minh cho trường hợp nhị phân mũ.
Do Ψ và Ψ−1 là bị chặn nên tồn tại N>0 sao cho |Ψ(t)| N và |Ψ−1 (t)|

N


21

với mọi t ∈ J.
Điều kiện cần. Giả sử hệ có nhị phân mũ với cặp phép chiếu (P1 , P2 ), ta sẽ
chứng minh hệ có Ψ−nhị phân mũ với cùng cặp phép chiếu. Thật vậy
Do hệ có nhị phân mũ nên |Y (t)P1 Y −1 (s)| Ke−α(t−s) với t s, s, t ∈ J,
nên
|Ψ(t)Y (t)P1 Y −1 (s)Ψ−1 (t)|

|Ψ(t)||Y (t)P1 Y −1 (s)||Ψ−1 |
N 2 |Y (t)P1 Y −1 (s)|

N 2 Ke−α(t−s)

Tương tự ta có |Ψ(t)Y (t)P2 Y −1 (s)Ψ−1 (s)| Leβ(t−s) với 0
Như vậy hệ có Ψ−nhị phân mũ.
Điều kiện đủ. Chứng minh hoàn toàn tương tự.

t

s.

Nhưng điểm đặc biệt ta nhận thấy trong tính chất hình học của phép chiếu

Ψ−nhị phân mũ là hệ có một Ψ−nhị phân mũ thì các nghiệm khi chiếu lên
không gian ảnh thì có thể không tiến tới 0 hoặc tới vô cùng với tốc độ hàm
mũ mà thay vào đó chúng được vị tự về các hàm tiến tới không với tốc độ
hàm mũ. Tuy nhiên tỷ số và tâm vị tự lại thay đổi phụ thuộc vào giá trị của
t. Chúng ta có thể hiểu điều này dễ dàng khi cố định giá trị t = t0 thì mọi
nghiệm của hệ đều được vị tự với cùng tỷ số là Ψ(t0 ).
Như vậy bản chất hình học của phép chiếu Ψ−nhị phân mũ là một phép
vị tự (với tỷ số và tâm vị tự phụ thuộc vào ẩn t) các nghiệm của một hệ vi
phân thuần nhất để phân tích không gian nghiệm thành hai không gian con,
một không gian các nghiệm có ảnh vị tự tiến tới 0 với tốc độ hàm mũ và một
không gian các nghiệm có ảnh vị tự dần tới ∞ cũng với tốc độ hàm mũ.
2.1.6 Chú ý. Dễ thấy nếu (2.1) có một Ψ-nhị phân thường trên R+ và trên
R− với cùng cặp phép chiếu (P1 , P2 ) thì (2.1) có Ψ-nhị phân thường trên R
với cùng cặp phép chiếu P1 , P2 .
Tiếp theo chúng tôi trình bày các kết quả khi nghiên cứu về nhị phân mũ
và nhị phân thường của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất.
2.2. Phép chiếu Ψ−nhị phân mũ của hệ vi phân tuyến tính thuần
nhất
Đầu tiên chúng tôi trình bày một số bổ đề cần thiết để hiểu về khái niệm
và các tiêu chuẩn để một hệ vi phân tuyến tính thuần nhất có Ψ−nhị phân
mũ, bao gồm các điều kiện cần để hệ có nhị phân mũ và tính có Ψ−nhị phân


22

của hệ thuần nhất với tính có nghiệm của hệ không thuần nhất, với các hàm
nhiễu f xác định.
2.2.1 Bổ đề. Hệ (2.1) có một Ψ−nhị phân mũ trên J nếu tồn tại các hằng
số dương K, L sao cho:
Ψ(t)Y (t)P1 ξ

K Ψ(s)Y (s)ξ với t

s; s, t ∈ J

(2.6)

Ψ(t)Y (t)P2 ξ

L Ψ(s)Y (s)ξ với s

t; s, t ∈ J

(2.7)

Chứng minh. Nếu hệ (2.1) có một Ψ-nhị phân mũ trên J thì
Ψ(t)Y (t)P1 Y −1 (s)Ψ−1 (s)y

K y

Ψ(t)Y (t)P2 Y −1 (s)Ψ−1 (s)y

với t

L y

với s

s; s, t ∈ J
t; s, t ∈ J

(2.8)
(2.9)

với véctơ y ∈ Rn . Chọn y = Ψ(s)Y (s)ξ, chúng ta được các bất đẳng thức
(2.6), (2.7).
Ngược lại nếu (2.6), (2.7) đúng, với mọi véctơ y ∈ Rd , đặt ξ = Y −1 (s)ξ −1 (s)y
ta có (2.8), (2.9).
Điều này chứng tỏ rằng (2.1) có một Ψ−nhị phân thường trên J. Bổ đề được
chứng minh.
2.2.2 Bổ đề. Hệ (2.1) có một Ψ-nhị phân mũ nếu tồn tại các hằng số K ,
L , T , α, β sao cho:
|Ψ(t)Y (t)P1 Y −1 (s)Ψ−1 (s)|
|Ψ(t)Y (t)P2 Y −1 (s)Ψ−1 (s)|

K e−α(t−s) ,
L eβ(t−s) ,

với T
với T

s
s

t
t

(2.10)
(2.11)

Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng (2.3) đúng. Theo một bổ đề của
Coppel [6] ta có
|Y (s)|d−1
−1
d
|Y (s)| (2 − 1)
|detY (s)|
Mặt khác Y (s) là liên tục, chúng ta suy ra |Y −1 (s)| N1 < ∞ với 0 s T .
Từ tính liên tục của Ψ(t), Ψ−1 (t), Y (t) ta có |Ψ(t)|, |Ψ−1 (t)|,|Y (t)| là bị chặn
trên [0, T ].
Suy ra |Ψ(t)Y (t)P1 Y −1 (s)Ψ−1 (s)| N < +∞ với 0 s T , 0 t T .


23

Nếu 0

s

T

t thì

|Ψ(t)Y (t)P1 Y −1 (s)Ψ−1 (s)|
|Ψ(t)Y (t)P1 Y −1 (T )Ψ−1 (T )|.|Ψ(T )Y (T )Y −1 (s)Ψ−1 (s)|
N |Ψ(t)Y (t)P1 Y −1 (T )Ψ−1 (T )|
N K e−α(t−T )
N K eαT .e−α(t−s)
Nếu 0

s

t

T thì

|Ψ(t)Y (t)P1 Y −1 (s)Ψ−1 (s)|
|Ψ(t)Y (t)Y −1 (T )Ψ−1 (T )|.|Ψ(T )Y (T )P1 Y −1 (T )Ψ−1 (T )|.
|Ψ(T )Y (T )Y −1 (s)Ψ−1 (s)|
N |Ψ(t)Y (t)P1 Y −1 (T )Ψ−1 (T )|
N 2K

N 2 K eαt e−α(t−s)

Suy ra bất đẳng thức (2.3) đúng với K = max{K , N K eαT , N 2 K eαT }. Tương
tự bất đẳng thức (2.4) đúng với L = max{L , N L eαT , N 2 L eαT }.
2.2.3 Bổ đề. [3].
Hệ (1.1) có một Ψ−nhị phân mũ nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa
mãn:
K e−α(t−s) Ψ(s)Y (s)P1 ξ , với mọi ξ ∈ Rn và t

Ψ(t)Y (t)P1 ξ
Ψ(t)Y (t)P2 ξ

L eβ(t−s) Ψ(s)Y (s)P2 ξ , với mọi ξ ∈ Rn và s

|Ψ(t)Y (t)P1 Y −1 (t)Ψ−1 (t)|

M với mọi t

0

s

0
(2.12)

t

0
(2.13)
(2.14)

trong đó K , L , M là các hằng số dương.
2.2.4 Định lý. Nếu hệ (2.1) có một nhị phân mũ thì với mỗi 0 < θ < 1, tồn
tại hằng số T > 0 sao cho mọi nghiệm x(t) của (2.1) thỏa mãn
Ψ(t)x(t)

θ sup
s−t

Ψ(s)x(s) , qquad với mọi t

T

(2.15)

T

2.2.5 Định lý. Giả sử rằng (2.1) có tính Ψ-tăng bị chặn. Khi đó (2.1) có

một nhị phân mũ nếu tồn tại các hằng số T > 0, 0 < θ < 1 sao cho mọi
nghiệm của (2.1) thỏa mãn (2.15).


24

Một câu hỏi rất tự nhiên đặt ra là các cặp phép chiếu phụ nhau trong định
nghĩa của Ψ-nhị phân có tồn tại duy nhất hay không và nếu không duy nhất
thì mối quan hệ giữa các cặp phép chiếu khác nhau như thế nào?
Với các tập con của Rn được xác định sau:
X1 = {u ∈ Rn |u = x(0), x(t) là nghiệm Ψ − bị chặn của (2.1)}
X0 = {u ∈ Rn |u = x(0), x(t) là nghiệm của (2.1) sao cho x(t) → 0 khi t → ∞}
2.2.6 Định lý. Nếu hệ (2.1) có một Ψ-nhị phân mũ trên R+ và (Q1 , Q2 ) là
cặp phép chiếu phụ nhau thì (2.1) có một Ψ-nhị phân mũ trên R+ với cặp
phép chiếu (Q1 , Q2 ) nếu và chỉ nếu
X0 ⊂ Q1 Rn ⊂ X1

(2.16)

Chứng minh. a)Điều kiện cần: Giả sử (2.1) có một nhị phân với cặp phép
chiếu (Q1 , Q2 ) ta chứng tỏ rằng (2.16) là đúng.
+) Q1 Rn ⊂ X1
Với vectơ u ∈ Q1 Rn , tồn tại v ∈ Rn sao cho u = Q1 v. Chúng ta gọi y(t) là
nghiệm của (2.1), y(0)=u. Theo Bổ đề 2.2.1 thì
Ψ(t)y(t) = Ψ(t)Y (t)u = Ψ(t)Y (t)Q1 u

K1 v với mọi t

0

trong đó K1 là một hằng số dương. Suy ra u ∈ X1 ⇒ Q1 Rn ⊂ X1
+)X0 ⊂ Q1 Rn .
Với mỗi vectơ u ∈ X0 . Gọi x(t) là nghiệm của (2.2) sao cho x(0) = x, theo
định nghĩa X0 ta có
Ψ(t)x(t) → 0

khi t → ∞

(2.17)

Nhận xét 2.3.3 chứng tỏ
Ψ(t)x(t) = Ψ(t)Y (t)u

L1 Q2 u

(2.18)

với mọi t, trong đó L1 là hằng số dương.
Từ (2.17) và (2.18) suy ra Q2 u = 0 ⇒ u ∈ Q1 Rn .
b)Điều kiện đủ.
Giả sử (2.1) có một Ψ-nhị phân thường trên R+ với cặp phép chiếu (P1 , P2 )
và (2.43) là đúng, chúng ta chứng tỏ rằng (2.1) có một nhị phân thường trên
R+ với cặp phép chiếu (Q1 , Q2 ).


25

Gọi (Q1 , Q2 ) là cặp phép chiếu sao cho Q1 Rn = X0 . Ta sẽ chứng tỏ rằng (2.1)
có một Ψ-nhị phân mũ trên R+ với cặp phép chiếu (Q1 , Q2 ).
Thật vậy, áp dụng (1.2) cho (P1 , P2 ) ta có Q1 Rn = X0 ⊂ P1 Rn ⊂ X1 . Tập

hợp X0 = (P1 − Q1 )Rn là tập hợp con của P1 Rn phụ với X0 . Chúng ta chỉ ra
số N > 0 sao cho
Ψ(t)Y (t)u

N u

với mọi u ∈ X0 ; t

0

(2.19)

Mặt khác, tồn tại dãy vectơ đơn vị {vn } ⊂ X0 ; n = 1, 2, ... thỏa mãn Ψ(tn )Y (tn )vn →
0. Do mặt cầu đơn vị trong X0 là compact nên ta giả sử vn → v ∈ X0 khi
n → ∞, v là vectơ đơn vị. Theo Nhận xét 2.3.1 và v − vn ∈ X0 ⊂ P1 Rn , ta
có:
Ψ(tn )Y (tn )(v − vn ) = Ψ(tn )Y (tn )P1 (v − vn )

K1 v − v n

Cho n → ∞ ta có Ψ(tn )Y (tn )(v − vn ) → 0
Từ Ψ(tn )Y (tn )v
Ψ(tn )Y (tn )vn + Ψ(tn )Y (tn )(v−vn ) ta có Ψ(tn )Y (tn )v →
0 khi tn → ∞. Suy ra v ∈ X0 .
Mà v ∈ X0 ta có v = 0 (mâu thuẫn vì v là vectơ đơn vị).Từ đó ta có (2.19).
Từ (2.19) và (2.43) ta có
N (P1 − Q1 )u

Ψ(t)Y (t)(P1 − Q1 )u
(2.20)

Ψ(t)Y (t)P1 u + Ψ(t)Y (t)Q1 u
K Ψ(s)Y (s)u + Ψ(t)Y (t)Q1 u
với u ∈ Rn và 0
thì

s

t. cho t → ∞ ta có Ψ(t)Y (t)Q1 u → 0. Theo (2.20)

N (P1 − Q1 )u

Ψ(s)Y (s)u với s

0

(2.21)

Theo Nhận xét 2.3.1 và (2.21) ta suy ra
Ψ(t)Y (t)(P1 − Q1 )u
∀t, s

K1 (P1 − Q1 )u

K1 N −1 Ψ(s)Y (s)u

0 nên
Ψ(t)Y (t)Q1 u

Ψ(t)Y (t)P1 u + Ψ(t)Y (t)(P1 − Q1 )u

(K + K1 N −1 ) Ψ(s)Y (s)u với 0

s

t

(2.22)


26

Từ Q2 = P2 + P1 − Q1 ta có
Ψ(t)Y (t)Q2 u

Ψ(t)Y (t)P2 u + Ψ(t)Y (t)(P1 − Q1 )u
(L + K1 N −1 ) Ψ(s)Y (s)u với 0

t

(2.23)

s

Bây giờ ta giả sử (Q1 , Q2 ) là cặp phép chiếu phụ nhau sao cho (2.19) thỏa
mãn. Ta sẽ chứng tỏ rằng (2.1) có một Ψ-nhị phân thường trên R+ với cặp
(Q1 , Q2 ).
Thật vậy từ Q1 Rn = X0 ⊂ Q1 Rd ⊂ X1 ,
ta có Q2 Q1 Rd ⊂ Q2 Q1 Rd = 0 thì Q1 Q1 = (Id − Q2 )Q1 = Q1 .
Suy ra
Q1 Q2 = Q1 (Id − Q1 ) = Q1 − Q1

(2.24)

Theo định nghĩa của X1 , với mỗi v ∈ X1 tồn tại N > 0 sao cho
Ψ(t)Y (t)u

N u

(2.25)

Từ (2.24) và (2.25) suy ra
Ψ(t)Y (t)(Q1 − Q1 )u

N (Q1 − Q1 )u
N Q1 Q2 u

(2.26)

N |Q1 | Q2 u

K2 Ψ(s)y(s)u , với mọi s

0

trong đó K2 là hằng số. Từ (2.11), (2.15), ta có
Ψ(t)Y (t)Q1 u

Ψ(t)Y (t)Q1 u + Ψ(t)Y (t)(Q1 − Q1 )u
(K + K1 N −1 + K2 ) Ψ(s)Y (s)u , với 0

s

t

t

s

(2.27)

Từ Q2 = Q2 + Q1 − Q1 , (2.23) và (2.26), ta có
Ψ(t)Y (t)Q2 u

Ψ(t)Y (t)Q2 u + Ψ(t)Y (t)(Q1 − Q1 )u
(L + K1 N −1 + K2 ) Ψ(s)Y (s)u , với 0

(2.28)

Bổ đề 2.1.5 và (2.27), (2.28) kéo theo (2.1) có một Ψ-nhị phân thường trên
R+ với cặp (Q1 , Q2 ). Định lý được chứng minh.
Hoàn toàn tương tự như chứng minh trên chúng ta có kết quả khi xét phép
chiếu trên R− như sau:


27

2.2.7 Định lý. [7] Cho
|Ψ(t)A(t)Ψ−1 (t)|
|Ψ(t)Ψ−1 (t)|

M

với mọi t

L

với 0

s

0
t

thì hệ (2.2) có ít nhất một nghiệm Ψ-bị chặn trên R+ với mọi hàm f là Ψ-bị
chặn trên R+ nếu và chỉ nếu (2.1) có một nhị phân mũ.
2.2.8 Định lý. [3]Giả sử g là ánh xạ từ tập hợp các nghiệm của hệ (2.2) vào
tập hợp các hàm Ψ−khả tích bị chặn đặt mỗi nghiệm tương ứng với hàm f
tương ứng. Khi đó g là toàn ánh khi và chỉ khi hệ (2.1) tương ứng có một
Ψ-nhị phân mũ.
Chứng minh. *)Điều kiện cần: Giả sử (2.1) có một Ψ-nhị phân mũ. Xét hàm
số
∞

t

Ψ(t)Y (t)P1 Y −1 (s)f (s)ds −

x(t) =

Ψ(t)Y (t)P2 Y −1 (s)f (s)ds

t

0
t

Ψ(t)Y (t)P1 Y −1 (s)Ψ−1 (s)Ψ(s)f (s)ds

=
0

∞

Ψ(t)Y (t)P2 Y −1 (s)Ψ−1 (s)Ψ(s)f (s)ds

−
t

với t

0. Hàm x(t) là bị chặn. Giả sử
t+1

Ψ(s)f (s) ds

C

với t

0

t

thì

t

e−α(t−s) Ψ(s)f (s) ds

C(1 − e−α )−1

0
∞

eβ(t−s) Ψ(s)f (s) ds
0

C(1 − e−β )−1