Hệ thống các bài bài tập điện động lực phần tĩnh điện

Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện

1

Lời mở đầu
Điện động lực nghiên cứu những quy luật tổng quát nhất của điện từ trờng và các hạt tích điện.
Những phơng trình cơ bản của điện động lực học là các phơng trình
Maxwell. Nó cho phép ta giải thích đợc các hiện tợng điện từ và nghiên cứu đợc các hiện tợng điện từ.
Điện động lực cũng nh các môn học khác, việc giải các bài tập là hết
sức quan trọng, nó giúp cho học sinh, sinh viên nắm vững hơn về lý thuyết,
rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo vận dụng kiến thức một cách tốt hơn.
Các bài tập về điện động lực bao gồm nhiều phần, nhng trong phạm vi
của luận văn này tôi chỉ xin đề cập tới phần tĩnh điện. Trong chơng trình đa
vào giảng dạy, số tiết chữa bài tập của phần này không nhiều. Vì vậy nên sinh
viên cha có điều kiện hệ thống lại và khắc sâu bài tập, khả năng giải các bài
tập tĩnh điện của sinh viên còn hạn chế. Vì lí do trên cùng với sự yêu mến môn
Điện động lực nên tôi đã chọn đề tài: Hệ thống các bài tập điện động lực
phần tĩnh điện
Nhìn chung các bài tập của tĩnh điện đa dạng, phong phú và có nhiều
phơng pháp giải khác nhau. Trong phạm vi của luận văn, tôi chỉ trình bày
những loại bài tập chính và trong mỗi loại đó đợc minh hoạ bằng những phơng
pháp giải cơ bản khác nhau.
Bằng những kiến thức về Điện đại cơng, Điện động lực, giải tích, bằng
cách thu thập các tài liệu có liên quan, với sự giúp đỡ của các thầy cô, anh chị
khoá trớc, của bạn bè và đặc biệt là của cô giáo Lê Thị Thai, tôi đã hoàn thành
luận văn này với những nội dung chính nh sau:
- Phần I: Cơ sở lý thuyết
- Phần II: Bài tập
- Phần III: Kết luận
Tôi hy vọng rằng sau khi luận văn đợc hoàn thành có thể giúp các bạn
sinh viên khoá sau có thêm tài liệu bổ ích. Đây là giai đoạn đầu của ngời mới

tập sự làm nghiên cứu khoa học với kiến thức cha nhiều, kinh nghiệm còn ít và
với quỹ thời gian có hạn, chắc chắn luận văn không tránh khỏi những thiếu
sót. Tôi rất mong nhận đợc sự chỉ bảo, góp ý của các thầy cô giáo và các bạn
sinh viên, học sinh để luận văn đợc hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng, với tấm lòng biết ơn sâu sắc tôi xin gửi lời cảm ơn chân
thành tới cô giáo hớng dẫn Lê Thị Thai - Ngời đã giúp đỡ tôi rất nhiều về kiến
thức, phơng pháp nghiên cứu và nguồn tài liệu quý giá, đồng thời tôi cũng xin


Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện

2

gửi đến các thầy cô giáo trong khoa, bạn bè đồng nghiệp lời cảm ơn sâu sắc,
đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành tốt luận văn này.
Vinh, tháng 5/ 2003
Ngời thực hiện : Phan Thị Quý


Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện

3

Phần I: Cơ sở lý thuyết
I. Phân loại :
Trờng tĩnh điện có 3 loại bài toán cơ bản:

I.1- Loại 1: cho biết thế của trờng tức là cho biết = ( r ) là hàm của

toạ độ. Ta phải tìm sự phân bố điện tích tức là tìm = ( r ) ; = ( r ) : tại mọi
điểm của không gian.
I.2- Loại 2: Cho biết sự phân bố điện tích, ta phải tìm ra giá trị của điện

trờng và thế tại mọi điểm của không gian.
I.3- Loại 3: Tìm các lực tác dụng lên điện tích, vật dẫn, đặt trong điện

trờng và tính điện dung, năng lợng.
Cùng với 3 loại bài toán trên, trong bài tập về phần tĩnh điện còn
có một số bài toán tính điện tích cảm ứng.
II. Phơng pháp giải:


II.1- Loại 1: Khi biết thế : = ( r ) ta có thể tìm đợc sự phân bố điện




tích tơng ứng nhờ các phơng trình Maxwell divD = ; D = E , phơng trình
Poat xông 2 =





và mối liên hệ giữa cờng độ điện trờng E và thế


: E = grad , các điều kiện biên: D 2 n D1n =

II.2 -Loại 2: Khi biết = ( r ) ; = ( r ) để tính trờng ta có thể sử dụng
các phơng pháp sau:
II.2.1 -Phơng pháp 1: Tính trờng dựa vào định luật Culông:


q
+ Đối với trờng của 1 điện tích điểm thì: E i = q i ri ; i = i
4ri
4r 3 i


Trong đó: qi là điện tích điểm thứ i gây ra trờng
ri là khoảng cách từ điện tích điểm thứ i tới điểm ta xét
là hằng số điện môi tuyệt đối của môi trờng.
+ Đối với trờng của một hệ điện tích điểm thì:


Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện

4

n
n
q ri
E = Ei = i 3 ;
i =1
i =1 4ri

n

qi
i =1 4 ri
n

= i =
i =1

+ Đối với trờng của hệ điện tích phân bố liên tục trong một thể tích V


1 dV r
1 dV
nào đó:
E=
; =


2
4 V r r
4 V r
+Nếu xét hệ điện tích phân bố liên tục trên một mặt S nào đó với mật độ

điện tích mặt ( r ) ta có:



1 ( r ) dS r
1 dS
E=

; =


2
4 S r
4 S r
r
+Nếu hệ điện tích phân bố liên tục trên một đoạn dây nào đó với với


1 dl r
1 dl
E=
; =
mật độ :


2
4 L r r
4 L r
+Nếu hệ điện tích vừa có điện tích phân bố theo mật độ điện tích khối


( r ) vừa có điện tích phân bố theo mật độ điện mặt ( r ) thì :





1 ( r ) dV r

1 ( r ) r
1 dV
1 dS
E=
dS ; =
+
+




2
2
4 V r
4 V r
4 S r
r 4 S r
r
II.2.2 - Phơng pháp 2: Tính trờng dựa vào định lý Ôxtrôgratxky-Gauxơ
Điện thông đi qua một mặt kín bất kỳ bằng tổng đại số các điện tích
nằm trong mặt kín chia cho hằng số điện môi .
q
qi q
hay

=
E
=
=

S dS =




E
Từ đó ta tính đợc E và theo = grad
II.2.3- Phơng pháp 3 Tính trờng dựa vào việc lấy tích phân các phơng
trình Poatxông, Laplaxơ

2 =

2 = 0

(phơng trình Poatxông)
(phơng trình Laplaxơ)


Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện

5

Từ hai phơng trình này và sử dụng các điều kiện biên cho phép ta tính
đợc thế và trờng tại mọi điểm.
Tuy nhiên để giải đợc phơng pháp này thì ta cần phải sử dụng các phơng trình Laplaxiên, Građiên trong hệ toạ độ trụ và hệ toạ độ cầu.
2 =

1 2
1

1
2
r
+
sin

+




r 2 r r r 2 sin
r 2 sin 2 2

1 1
grad = e r
+ e
+ e
r
r
sin
+ Trong hệ toạ độ trụ ta có:
1 1 2 2
=
+
r +
r r r r 2 2 z 2
2

1
grad = e r
+ e
+ ez
r
r
z
II.2.4 - Phơng pháp 4: Tính trờng bằng phơng pháp ảnh điện.
Phơng pháp này áp dụng cho những bài toán tìm trờng của một hay một
số điện tích điểm khi có các mặt biên .
Nội dung của phơng pháp này là ở chổ chọn các điện tích tởng tợng
phụ sao cho các điện tích này cùng với các điện tích đã cho gây ra điện trờng
mà đối với trờng này mặt vật dẫn điện đã cho trùng với một trong những mặt
đẳng thế của trờng .
II.3- Loại 3: Tìm lực tác dụng lên các điện tích , vật dẫn đặt trong điện

trờng và điện dung, năng lợng .
II.3.1. Lực tác dụng trong tĩnh điện trờng .
- Lực của điện trờng tác dụng lên điện tích điểm :

F = e
- Nếu điện tích đợc phân bố liên tục trong một thể tích V thì:


F = dV
V

- Lực tác dụng lên một lỡng cực bằng tổng các lực tác dụng lên điện
tích âm và điện tích dơng

F = e r + l ( r )

{(

)

}


Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện

6


F = ( p ) (trong trờng hợp lỡng cực là nhỏ)

Trong đó là cờng độ điện trờng tại nơi có lỡng cực .
- Nếu biết biểu thức năng lợng của hệ điện tích thì ta có thể tính lực tác
dụng theo:

W
F = = gradW
r
- Đối với một lỡng cực đặt trong trờng tĩnh điện



F = grad( ).
W = U = do đó

Nh vậy tùy theo từng bài toán cụ thể mà ta áp dụng các công thức trên
cho thích hợp.
II.3.2. Tính năng lợng của trờng tĩnh điện .
- Năng lợng của trờng tĩnh điện đợc tính theo công thức :

Hay:

W=

1
DdV (*)
2V

W=

1
dV (**)
2V

với (*) năng lợng của điện trờng là năng lợng đợc phân bố liên tục trong
không gian có điện trờng, (**) năng lợng của điện trờng là năng lợng tơng tác
giữa các điện tích
Trong đó: dV là điện tích nguyên tố có thể tích dV , và là điện thế
do tất cả các điện tích còn lại gây ra tại nguyên tố dV .
- Năng lợng của hệ điện tích điểm đợc tính :
W=

1
e i i
2 n

- Năng lợng của hệ vật dẫn tích điện :
+ Vì điện tích của vật dẫn chỉ phân bố trên mặt ngoài của nó do đó
công thức tính năng lợng đối hệ vật dẫn là :
W=

1
dS
2


Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện

7

+ Vì điện thế của mỗi vật dẫn là một hằng số nên đối với vật dẫn thứ i
Wi =

1
1
i i dS i = i e i

2
2

Đối với cả hệ :
W = Wi =
n

1

i e i
2 n

+ Nếu hệ vật dẫn là một tụ điện, ta có :
1
1 e2
2
W = C( V1 V2 ) =
.
2
2 C
II.3.3. Tính điện dung của vật dẫn .
Để tính điện dung của các vật dẫn cô lập hoặc tụ điện ta sử dụng các
công thức sau:
- Đối với điện dung của vật dẫn cô lập thì C =
Trong đó:

q
.
V

q là điện tích của vật dẫn.
V là điện thế của vật dẫn.

- Đối với điện dung của tụ điện ta sử dụng công thức C =

q
V1 V2

Trong đó V1 ,V2 là thế trên hai bản tụ

Ngoài 3 loại bài toán trên thì trong bài tập phần tĩnh điện còn có một
số bài toán tính điện tích cảm ứng.
Phơng pháp chủ yếu để giải các bài toán này là dùng thuyết tơng hỗ
Green. Công thức tổng quát của thuyết này là :
n


k =1

'

n

k

q k = k q ' k
k =1

Trong đó: k là thế của các vật dẫn khi chúng tích điện qk
k là thế của các vật dẫn khi chúng tích điện qk.


Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện

8

Trong trờng hợp nếu hệ không phải là các vật dẫn mà có một số hoặc tất
cả là các điện tích điểm . Khi đó ta phải hiểu k là thế của trờng tại điểm đặt qk
(Trờng này do tất cả các điện tích điểm tạo ra trừ điện tích qk).
Ngoài phơng pháp dùng thuyết tơng hỗ Green để giải ta còn có thể giải

bài toán này theo phơng pháp ảnh điện đã nói trên .
Đối với phơng pháp ảnh điện thì ta cần thay hệ điện tích đã cho bằng hệ
hai điện tích q và qc (điện tích cảm ứng ) với giá trị và vị trí của q c cần tìm sao
cho trờng đợc tạo ra giống hệt với trờng tạo bởi hệ điện tích ban đầu .


Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện

9

Phần II: Bài

tập

I. Loại I :
Bài tập tìm sự phân bố điện tích khi cho biết trờng .
Nhìn chung việc giải các bài tập thuộc loại này tơng đối đơn giản bằng
cách áp dụng các phơng trình .



divD = ; D = và điều kiện biên D2n-D1n=
thì ta sẽ tìm dợc sự phân bố tơng ứng khi biết trờng . Khi đã cho thế thì ta tìm
sự phân bố điện tích dựa vào phơng trình Poat xông 2 =




Do việc giải bài tập loại này tơng đối đơn giản cho nên trong đề tài này
tôi chỉ giải một số bài tập điển hình .

Một số công thức vận dụng khi giải bài tập loại này :
1.

Trong toạ độ trụ.

a. gradu =

u u u
er +
e +
ez
r
r
z

1 u 1 2 u
2u
b. 2 u = r +
+
r

r r r r 2
z 2
2. Trong toạ độ cầu .
a. gradu =

u 1 u
1 u
er +
e +

e
r
r d
sin

u
1 2u
1
2 u
b. u = 2
+ sin +
sin r

r sin
sin 2
r r
2

Một số bài toán
Bài 1. Thế của trờng tĩnh điện trong chân không .


Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện

10

ax

=
ax

(x > 0)
(x < 0)

Xác định sự phân bố điện tích tạo ra trờng
Bài giải :
Ta có phơng trình Poatxông trong hệ toạ độ Đề các vuông góc
2
2
2

= 2 + 2 + 2 =
y
z

x
ax

Từ điều kiện của bài toán : =
ax


(x > 0)
(x < 0)

Ta thấy chỉ phụ thuộc bậc nhất vào toạ độ x và = 0 ( x )
Mà =

nên mật độ điện khối = 0


Nh vậy là trờng không phải tạo thành do điện tích phân bố theo thể
tích .
+ Xác định
Ta có điện trờng E đợc tính:
y =


=0
y

z =
a


Ex =
=
x a



=0
z
(x > 0)
(x < 0)


Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện

11

Tại bề mặt x = 0, ta có mật độ điện tích mặt là :
= D 2n D 1n = ( 2n 1n ) = a ( a ) = 2a = 2a
vậy trờng tạo ra do mặt phẳng tích điện mặt với mật độ điện mặt
= 2a
tại mặt phẳng x = 0.
Bài 2: Thế của trờng tĩnh điện trong chân không là
q

4 r ;

0
=
2
3q
qr
+
;
3

8


a
8


a

0
0

( r >a )
( r
Trong đó r là khoảng cách kể từ gốc toạ độ , a và q là những hằng số
Xác định sự phân bố điện tích tơng ứng.
Bài giải :
Ta có phơng trình Poatxông trong hệ toạ độ cầu là:
1 2
1

1 2

r
+
sin

+
=

2

2 2
2
2
r r r r sin
r sin

Từ giả thiết của bài toán ta thấy thế chỉ phụ thuộc vào r nên từ
=
+ Với r >a : 1 = 0


1
= 0 2 r 2

0
r r r
1 2 q
1 q


=0
r
=


0 2
r 2 r r 4 0 r
r r 4 0

1 2
qr 2
3q
3q

=
+Với r < a : 2 = 0 2 r
+
3
r r r 8 0 a 8 0 a 4a 3
- Tính mật độ điện tích mặt:
+ Sử dụng điều kiện biên = D 2 n D1n = 0 ( E 2 n E1n )

1
1 r
+ Mặt khác ta có E = grad = e r +
e +
e
r
sin
r


Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện

12

ở bài này do trờng có tính đối xứng cầu cho nên thế chỉ phụ thuộc


E = grad = e r
r


vào toạ độ r do đó:

+ Về độ lớn có:
E1 =

1
q
q
=
=
r
r 4 0 r 4 0 r 2

(với r >a)

2

qr 2
3q
qr
=
E2 =
=
+
3
r
r 8 0 a
8 0 a 4 0 a 3

(với r
+ Tại r = a (điều kiện biên) ta có :

=

q
4r 2

r =a



q
r
4a 3

r =a

=

q
q

=0=0
2
4a
4a 2

Vậy trờng đợc tạo bởi quả cầu bán kính a, tích điện đều với mật độ
khối:
=

3q

4a 3

Bài 3: Cho thế của trờng tĩnh điện trong chân không:
a
ln a
0
=
a ln r
0

rr>a

Trong đó a, là hằng số, r là khoảng cách đến trục toạ độ 0z cố định.
Hãy xác định sự phân bố điện tích tơng ứng.
Bài giải:
ở bài này ta thấy trờng ở đây có tính chất đối xứng trụ và thế chỉ phụ
thuộc vào toạ độ r. Vì thế trong toạ độ trụ ta có:


Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện

13

1
grad = e r
+ e
+ ez
r
r

z




grad = e r
r


Mà: E = grad nên về độ lớn ta có:
a

ln a
r 0

E=
a ln r

r

0



rr>a

r
0

E = a
r
0

r>a


Hớng của E trùng với hớng của r tính từ trục z
- Xác định :

Ta có: = divD . áp dụng trong toạ độ trụ thì:
1
D

divD = ( rD r ) +
+ ( rD z )
r r
z

Do

tính

chất

0
1
=
( rD r ) = 1 a

r r
r r r r

Vậy:

đối

xứng

trụ

rr>a

=0

- Xác định :
Xét tại mặt giới hạn r = a: Sử dụng điều kiện biên ta có:

nên

có:


Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện

14

= D 2 n D1n = 0 E 2 n

r =a

0 E 1n

r =a = 0

a
0 0 =
0a

Vậy trờng đã cho đợc tạo bởi một dây dẫn hình trụ thẳng dài vô hạn có
bán kính a tích điện đều với mật độ điện tích mặt .
Bài 4: Xác định sự phân bố điện tích tạo ra thế Iukaoa trong chân
không:


r

ea
=q
0 r
Bài giải:
Ta thấy trờng đã cho chỉ phụ thuộc vào r, có tính đối xứng cầu. Vì vậy
sử dụng phơng trình Poatxông trong hệ toạ độ cầu ta có:
2
1 2
1


1

r
+
sin + 2
r 2 r r r 2 sin
r sin 2 2


=

0


Do thế chỉ phụ thuộc vào toạ độ r do đó:
1 2

r
=
2
r r r
0
Suy ra :

= 0

1 2
r

r 2 r r

r
ar
r

e
1
+




a
1 2 e
1 2
a


= 0q 2
r
= 0 q 2 r
r r r 0 r
r r
0 r 2





1 r
r

1 r r
q r
= q 2 e a 1 + = q 2 2 e a = 2 e a
r r
r a
a r
a
*Tính : Ta thấy ở bài toán này không có mặt phân cách do đó không có sự
phân bố điện tích mặt.
Vậy =

q ar
e
a 2r


Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện

15

Một số nhận xét:
Qua việc giải một số bài toán điển hình của loại bài toán tìm sự phân bố
điện tích ta nhận thấy rằng giải bài tập loại này không phức tạp lắm. Nhìn
chung các bớc giải khá rõ ràng:
- Từ giả thiết của bài toán ta xác định đợc các mặt đẳng thế do trờng
gây ra để chọn hệ trục toạ độ cho thích hợp.
- Từ đó tuỳ theo từng bài toán mà ta sử dụng phơng trình Poatxông
=

trong hệ toạ độ Đềcác, hay trong hệ toạ độ cầu hoặc là hệ toạ độ trụ.


- Từ phơng trình Poatxông trên thì ta xác định đợc sự phân bố điện tích
theo .
Còn để xác định sự phân bố điện tích theo mật độ điện mặt thì ta xác
định từ các biểu thức:



E = grad;
D = E và từ điều kiện biên D2n - D1n =
Hoặc ta cũng có thể xác định và theo phơng pháp khác:
- Từ giả thiết của bài toán ta xác định đợc các mặt đẳng thế do trờng
gây ra để chọn hệ trục toạ độ cho thích hợp (bớc này giống với phơng pháp
trên).
- Từ đó bằng việc áp dụng các biểu thức về phép tính giải tích tơng ứng

với hệ toạ độ đã chọn ta tính đợc cờng độ điện trờng qua E = grad
- Biết cờng độ điện trờng ta xác định sự phân bố điện tích dựa vào các


phơng trình Div D = và D2n - D1n =


Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện

16

II. Loại II:

Bài tập xác định trờng khi cho biết sự phân bố điện tích
II. 1. Phơng pháp 1: Tính trờng dựa vào định luật Culông.
Bài 5: Cho một quả cầu bán kính a, tích điện đều với mật độ điện tích
mặt . Hãy xác định thế và cờng độ điện trờng tạo bởi quả cầu. Biết rằng độ
điện thẩm trong và ngoài quả cầu đều bằng .
Bài giải:
Để giải bài toán này ta tách từ vỏ quả cầu ra một đới cầu đủ mỏng để có
thể xem là một vòng thì khi đó đới cầu gây ra tại M một điện thế là
z
dq
dS
d =
=
M
4r 4dr
r
R
ở đây dq là điện tích trên mặt đới cầu có
d
diện tích dS. Trong đó :
dl


dS = 2ddl = 2dad = 2a 2 sin d ;
=

d o

q
4a 2

Do đó:

dq = 2a 2 sin d

y

x

r là khoảng cách từ phần mặt cầu đó tới
điểm tính điện thế r = R 2 + a 2 2aR cos

với R=OM.

a 2
sin d
a
Vậy : = d =
=
2 R 2 + a 2 2aR cos

2
2
2 0 R + a 2aR cos 4R
a
=
(R + a R a )
2R
- Khi M ở ngoài quả cầu (R>a) thì R a = R a nên:
n =

a
(R + a R + a) = q
2R
4R

- Khi M ở trong mặt cầu R < a R a = a R nên


0


Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện

17

t =

a
(R + a a + R) = q
2R
4a

Vậy thế ở bên trong quả cầu là nh nhau tại mọi điểm và bằng thế ở trên
mặt cầu.

- Tính E
Tu

d R
d q R
E = grad ta có : E t = t . =

=0
dR R
dR 4a R



d n R
d q R
q R
En =
=

=
dR R
dR 4R R 4R 2 R

Vậy:

t =

q
4a

;

Et = 0

với R


q
q
R
; En =
với R>a
n =
4R
4R 2 R

Bài 6: Tình E, tạo bởi một quả cầu bán kính a, tích điện đều với mật
độ khối , biết rằng độ điện thẩm trong và ngoài quả cầu
đều bằng .
Bài giải:
- Để giải bài toán này ta chia quả cầu thành những
lớp cầu mỏng có bề dày dr1 , bán kính r1
- Điện trờng tạo bởi lớp cầu đó tại một điểm M
cách tâm một đoạn r bằng: dE =

dq
4r 2

Với: dq = 4r12 dr1
r1 dr r1
= 2 dr1

4r 2
r
2

Nên dE = 4

2

- Với điểm M nằm ở bên ngoài quả cầu r > a ta có:

o

r1

dr1


Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện

18

a 2
r
E n = dE = 2 r1 dr1 = 1 2
r 0
3r
3

r1 =a

a 3
=
3r 2

- Với điểm M nằm bên trong quả cầu (rE t = dE =


Vậy: E =



r 2
r
r
dr
=
1
1

r 2 0
3

a 3
r
3r 3

r
3

Với r >a
Với r< a

* Tính thế :
Ta biết trong toạ độ cầu thì grad =

1
1
er +
e +
e
r
r
sin

ở bài này do trờng có tính chất đối xứng cầu nên thế chỉ phụ thuộc vào

r


er
r

Do đó:

grad =

Từ :

E = grad E = e r
r

Về độ lớn ta có:

E=

Với r

r 2
t = E t dr = rdr =
+ C1
3
6

Với r > a :

a 3 dr a 3
n = E n dr =
+ C2
=
3 r 2 3r


= Er hay d = Edr
r

- Chọn điều kiện định cỡ ( ) = 0 C 2 = 0
Tại r = a :

a 2
a 3
a 2
t = n
+ C1 =
C1 =
6
3a
2


Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện

19

r >a
a 3
3r
=
2
2
r + a
6
2

Vậy:

r
Bài 7: Tính cờng độ điện trờng và thế tại một điểm trên trục của đĩa
tròn bán kính a, tích điện đều với điện tích q. Đĩa đợc đặt trong chân không, ở
khoảng cách nào thì điện trờng bằng


trong đó là mật độ điện mặt của
4 0

đĩa.

z
Bài giải :

Ta chọn hệ trục toạ độ vuông góc có gốc O trùng
với tâm đĩa, mặt phẳng xOy trùng với mặt phẳng đĩa.
Trục Oz vuông góc với đĩa. Khi đó do tính đối xứng của
sự phân bố điện tích nên điện trờng tại điểm M sẽ có phơng trùng với trục cuả đĩa hớng ra khỏi đĩa theo chiều
trục z.
- Trên đĩa ta lấy một yếu tố diện tích mặt dS có


M

Z r

o

r'

d

dr'

điện tích dq = dS , khi đó dq gây ra điện trờng tại M là

dE . Về độ lớn ta có :
dE =

dq
(r là khoảng cách từ yếu tố dS đến điểm M)
4 0 r 2
dS
ZdS
cos =
2
3
S 4 0 r
S 4 0 r

Nên: E = dE cos =
S

Với Z là khoảng cách từ tâm O đến M .
Mặt khác ta coi yếu tố dS nh một hình chữ nhật có một cạnh dr' và cạnh
kia là r'd . Lúc này ta có : dS = r'dr'd


Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện

20

Z 2 a
r ' dr '
Z
1 a d ( Z 2 + r '2 )
E=
=
2
=
3
3
d
4 0 0 0 ( Z 2 + r '2 ) 2 4 0
2 0 ( Z 2 + r '2 ) 2
=

a
Z
( 2) 21 2 = 1 2Z 2
4 0
Z + r ' 0 2 0
Z +a

Vậy cờng độ điện trờng gây ra tại một điểm trên trục của đĩa là :
E=

Z
1
(*)
2
2
2 0
Z +a

- Tính thế :
Từ
phần



E

=-grad, do việc ta chọn hệ trục toạ độ nh trên nên các thành




và
bằng 0, do đó: E =
suy ra d =- EdZ
y
x
Z

Z

ZdZ
1
dZ =
Z
=
2
2
2 0
2 0
Z +a
Z2 + a 2

1 d( Z 2 + a 2 )
= Z
=
Z2 + a 2 Z

2
2
2 0
2 Z + a 2 0

= EdZ =

(

ở khoảng cách nào thì : E =

)

4 0

Để tính xem ở khoảng cách nào tức Z=? thì điện trờng E =


, ta thay
4 0

giá trị này vào kết quả đã tính E ở (*). Lúc này ta có:
1
a


Z
Z
=

=
1


Z
=
1

4 0 2 0
3
Z2 + a 2 2

Z2 + a 2
a
3

thì E =


4 0

Vậy với

Z=

Vậy:




Z
Z
=
E=
;
1

2 0
2 0
Z2 + a 2 Z

(

Z2 + a 2 Z

)


Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện

21

Bài 8: điện tích +q phân bố đều trên một vành tròn bán kính a. Tâm
của vành tròn trùng với gốc toạ độ O, còn mặt vành trùng với mặt OYZ. Tại
gốc toạ độ O có đặt một điện tích -q. Biết rằng độ điện thẩm của môi trờng là
.
a) Hãy tính thế và điện trờng tại điểm P nằm trên trục của vòng tròn
cách tâm một đoạn là x.
b) Điện trờng phụ thuộc vào x nh thế nào nếu x>>a?
Bài giải:
Điện thế tại P bằng tổng điện thế do vành tròn tích điện q và điện tích -q
ở tâm vành tròn gây ra.
X

- Điện thế do điện tích -q đặt tại tâm vành
tròn gây ra tại điểm P là:

//

P

q

1 =
4x

q
2a

Ta coi dq nh là một điện tích điểm gây ra tại
P một thế :
d 2 =


dE

r

- Điện thế +q phân bố đều trên vành tròn nên
ta lấy yếu tố chiều dài dl trên vành tròn có điện tích
là dq = dl với =

x


dE

dl
a

-q
O

Y

dq
dl
q
dl
q.dl
=
=

= 2
2
2
4r 4r 2a 4 a + x
8 a a 2 + x 2

Vậy điện thế do toàn vòng dây tích điện +q gây ra tại P là:
2 = d 2 =

q
1
q
1
q
dl
=


2

a
=

8 2 a a 2 + x 2
8 2 a a 2 + x 2
4 a 2 + x 2

Do tính chất chồng chất của thế vô hớng ta có điện thế tại P là:
= 1 + 2 =

1
1
1

2

4 a + x 2 x

* Tính điện trờng tại P:

Z


Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện

22


Từ hình vẽ ta thấy điện tích dq gây ra điện trờng dE tại P đợc phân

tích ra thành 2 thành phần : thành phần dE và thành phần dE // . Do tính đối

xứng của vành tròn nên dl 2 đối xứng với dl1,vì vậy các thành phần dE vuông
góc với trục triệt tiêu lẫn nhau từng đôi một, các thành phần song song với trục sẽ
cộng với nhau. Vậy điện trờng tại P có phơng trùng với trục 0X có chiều hớng từ
O tới P. Do vậy điện trờng tại những điểm trên trục vành dây chỉ phụ thuộc vào x.
EP =


q
x
1
=

3
x 4 ( a 2 + x 2 ) 2 x 2

2
b) Nếu x >> a, với độ chính xác bậc a

1
=
( a 2 + x 2 ) 3/ 2

1
a2
x 1 + 2
x

3/ 2

3

x2

1 a2
3 1 2
x x

, ta có:
3

1
1
1 )
2
1+

(Ta sử dụng công thức gần đúng
3

1 1 a2
1
3a 2 3a 4
a6
+

1
= 1

x 3 2 x 2 x 3 2 x 2 4 x 4 8x 6

Khai triển :
Với

độ

chính

xác

bậc

a2/x2

thì:

1 3a 2 3a 4
a 6 1 3a 2
+

1
1

x 3 2 x 2 4 x 4 8x 6 x 3 2 x 2
Từ kết quả này ta có:
q
E=
4 0

1 3a 2 1
q 1 3a 2
1
3qa 2
x x 1 2x 2 x 2 = 4 x 2 2x 4 + x 2 = 8x 4 (*)



3


Vậy: p =
Với x>>a:

q
1
1
1
1
1


;

E
=

2

p
3
/
2
4 a + x 2 x
4 ( a 2 + x 2 )
x 2
3qa 2
E=
8x 4


Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện

23

Bài 9: Tính điện thế và cờng độ điện trờng tạo bởi lỡng cực điện ở
những điểm cách xa lỡng cực.
A
Bài giải:
Ta xét lỡng cực nh hình vẽ và xét điểm A
ở xa lỡng cực. Khi đó ta có điện thế ở điểm
quan sát A bằng tổng do hai thế gây ra:


r1

r2

q 1 1
q r1 r2
r
=


= 1 + 2 =
4 r2 r1 4 r1r2

Do A ở xa lỡng cực nên ta có: r1 r2 r ; l << r
-q
+q
Trong đó r là bán kính vectơ kẻ từ một gốc O bất kỳ trong
khoảng từ -q
đến +q. Nên:
l







q r12 r22
q ( r1 r2 )( r1 + r2 )
q 2l r
=
(do l = r1 r 2

=



3
4 r1r2 ( r1 + r2 ) 4 r1 r2 ( r1 + r2 )
4 2r
)


q rl
1 p r (với )
p = ql
=
=
4 r 3 4 r 3

Tính cờng độ điện trờng E



pr
1 3( p r ) r p
E = grad = 3 =
3
r r 4 r 5
r


1 3( p r ) r p

1 pr
Vậy:
;E =
3
=
4 r 5
r
4 r 3


Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện

24

Một số nhận xét về phơng pháp 1
Qua việc giải một số bài tập về xác định trờng khi cho biết sự phân bố
điện tích bằng việc áp dụng định luật Culông, ta nhận thấy ở đây có hai dạng
chính:
- Dạng 1: Đối với trờng do vật tích điện gây ra( Trong đó vật tích điện
thờng là dạng đặc biệt) thì ta lấy yêú tố dS có điện tích là dq và khi đó ta xác
định đợc điện trờng và thế do yếu tố điện tích dq gây ra tại điểm cần xét. Sau
đó lấy tích phân cho toàn bộ hệ tích điện ta sẽ có kết quả cần tìm.
- Dạng 2: Đối với trờng do hệ điện tích điểm gây ra thì bằng việc áp
dụng ngay định luật Culông ta sẽ xác định đợc cờng và thế tại điểm cần xét.
Nói chung phơng pháp 1 giải đợc hầu hết các bài toán loại này.
Tuy nhiên có nhiều bài toán ta vấp phải những phép tính khá phức tạp.
Chú ý :

Đối với dạng1 ta chỉ cần xác định cờng độ điện trờng E
hoặc thế theo

định luật Culông, còn một trong hai đại lợng còn lại sẽ đợc xác địng từ biểu

thức



E

= - grad


Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện

25

II.2.Phơng pháp 2: Tính trờng dựa vào định lý Ôxtrôgratxky-Gauxơ.
Bài 12: Xác định vectơ cờng độ điện trờng và thế bên trong và bên
ngoài của lớp phẳng vô hạn có bề dày d và tích điện đều với mật độ điện tích
khối . Biết rằng độ điện thẩm trong và ngoài lớp phẳng đều bằng .
Bài giải:
Ta nhận thấy cờng độ điện trờng
vuông góc với mặt phẳng.

O'



E luôn luôn

d

xứng. Vì vậy



E OO'.

M

h

Do tính đối xứng nh thế nên ta chọn hệ trục tọa
độ Đềcac Oxy có trục Ox vuông góc với mặt phẳng
tích điện, hớng về điểm quan sát, gốc O đặt ở lớp
chính giữa và trục Oy trùng với trục OO'.

O

EdS

=

S

E dS
1

+

S1

E

2

dS +

S2

x
M

Để áp dụng định lý O - G ta chọn mặt Gauxơ
là mặt trụ có đáy S chứa điểm M, có đờng sinh là h
(chiều cao của mặt trụ), trong đó h = 2x (với x là
khoảng cách từ điểm M tới trục đối xứng).
Ta có:


E

x

Do tấm phẳng dài vô hạn nên OO' là trục đối

h

E

3

dS

Sxq

Do tính chất đối xứng của bản tích điện nên các mặt đáy S 1 , S2 là những
mặt phẳng thế. Còn mặt xung quanh Sxq do vectơ



E nằm song song nên thông lợng vectơ điện trờng qua mặt xung quanh bằng 0. Vậy ta có:

EdS

=

S

E dS
1

S1

+

E

2

dS + 0 = E1S1 + E2S2

S2

mà E1 = E2 = E do đối xứng với trục OO' nên:

EdS

= 2ES1

S

a) Đối với điểm M nằm trong bản phẳng ( x <
Theo định lý O-G ta có:

d
)
2