Hàm tử độ đo xác suất fedorchuk bảo toàn một số tính chất tôpô

MỤC LỤC

Trang
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
§1. Các khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
§2. Các hàm tử độ đo xác suất bảo toàn
một số tính chất tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
§3. Hàm tử độ đo xác suất tác động trên
không gian khả mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§4. Các lưới bất biến qua tác động của hàm tử Pk . . . . . . . . . . . . . . . 26
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1


LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết tôpô là một ngành toán học rất quan trọng trong chuyên ngành
Giải tích nói riêng và Toán học nói chung. Nó đã được bắt đầu xây dựng cách
đây khá lâu và hiện nay đã trở tnành tiền đề không thể thiếu để phát triển
và nghiên cứu các ngành toán học hiện đại.
Sự bảo toàn các tính chất tôpô qua các ánh xạ từ lâu đã thu hút được khá
nhiều người quan tâm. Vấn đề đặt ra là liệu nó có bảo toàn qua tác động của
hàm tử độ đo xác suất hay không?
Năm 1986, trong bài báo Probability measure and absolute neighborhood
Retract ([4]). V. V. Fedorchuk đã xây dựng khái niệm hàm tử độ đo xác suất
với giá hữu hạn và chứng minh được rằng các hàm tử đó bảo toàn tính chất
AN R của không gian mêtric compact.
Đến năm 1989, trong bài báo Probability measure preserving the AN Rproperty of metric spaces ([5]), Nguyễn Tố Như và Tạ Khắc Cư đã chứng

minh được rằng các hàm tử độ đo xác suất bảo toàn tính chất AN R của
không gian mêtric tùy ý.
Quan tâm đến vấn đề các hàm tử độ đo xác suất bảo toàn một số tính chất
tôpô và dựa trên cơ sở bài báo của Tạ Khắc Cư (2003) Probability measures
with finite supports on topological spaces ([6]), tác giả đã chọn đề tài "Hàm
tử độ đo xác suất Fedorchuk bảo toàn một số tính chất tôpô" .
Luận văn được trình bày theo các mục sau:
§1. Các khái niệm và tính chất cơ bản
Trong mục này, chúng tôi trình bày các định nghĩa, khái niệm và tính chất
cơ bản dùng cho nội dung các mục sau.
§2. Các hàm tử độ đo xác suất bảo toàn một số tính chất tôpô
Trình bày khái niệm độ đo xác suất với giá hữu hạn trên các không gian
Hausdorff X và xây dựng tôpô Fedorchuk trong Pk (X), trong đó Pk (X) là
tập hợp tất cả các độ đo xác suất trên X với giá không vượt quá k điểm.
2


Trình bày một số kết quả về sự bảo toàn một số tính chất tôpô qua tác
động của hàm tử độ đo xác suất trên các không gian Hausdorff X như: hoàn
toàn chính quy, liên thông đường, corút, corút địa phương, tiên đề đếm được
thứ nhất.
§3. Hàm tử Pk tác động trên các không gian khả mêtric
Chứng minh chi tiết sự bảo toàn tính mêtric hóa được và tính AN R của
không gian Hausdorff X qua tác động của hàm tử Pk .
§4. Các lưới bất biến qua tác động của hàm tử Pk
Đưa ra và chứng minh tính bất biến của các loại lưới qua tác động của
hàm tử Pk như: sn-lưới, wcs∗ -lưới.
Luận văn đã được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình và chu đáo của thầy giáo PGS. TS. Tạ Khắc Cư. Nhân dịp này, tác
giả bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy. Đồng thời, tác giả xin chân

thành cảm ơn các thầy giáo trong tổ Giải tích - Khoa Toán, Khoa Sau đại
học đã tận tình giảng dạy. Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn tất cả các bạn bè
trong lớp Cao học 13 - Giải tích đã quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác
giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Trong quá trình hoàn thành luận văn, mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng
vì năng lực bản thân còn nhiều hạn chế nên sự trình bày nội dung luận văn
còn có nhiều thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong sự đóng góp ý kiến của các
thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện tốt hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Vinh, tháng 12 năm 2007
Tác giả

3


§1. CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN

1.1. Định nghĩa ([2]). Cho một tập hợp X tuỳ ý. Họ τ các tập con của
X được gọi là một tôpô trên X nếu thỏa mãn
(i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ ;
U2 ∈ τ ;

(ii) Nếu U1 ∈ τ và U2 ∈ τ thì U1

(iii) Nếu {Ui }i∈I là một họ những tập con của X và Ui ∈ τ , với mọi i ∈ I
Ui ∈ τ .

thì
i∈I

Tập hợp X cùng với một tôpô τ được xác định trên nó được gọi là không
gian tôpô và ký hiệu là (X, τ ) hay X.
1.2. Định nghĩa ([2]). Không gian tôpô X được gọi là T1 -không gian
nếu với hai phần tử khác nhau bất kỳ x1 và x2 của X, tồn tại một tập mở
U chứa x1 nhưng không chứa x2 .
1.3. Định nghĩa ([2]). Không gian tôpô X được gọi là một T2 -không gian
(hay là không gian Hausdorff ) nếu với mỗi cặp điểm khác nhau x1 , x2 ∈ X,
tồn tại một lân cận U của x1 và một lân cận V của x2 sao cho U

V = ∅.

1.4. Định nghĩa ([2]). Không gian tôpô X được gọi là không gian hoàn
toàn chính quy nếu với mỗi điểm x ∈ X và mỗi tập đóng F không chứa x,
tồn tại một hàm liên tục f : X−→[0, 1] sao cho f (x) = 0 và f (y) = 1, với
mọi y ∈ F .
1.5. Định nghĩa ([2]). Giả sử X là không gian tôpô, x ∈ X và U(x) là
họ tất cả các lân cận của x. Họ B(x) ⊂ U(x) được gọi là một cơ sở lân cận
tại điểm x, nếu với mọi U ∈ U(x), tồn tại V ∈ B(x) sao cho x ∈ V ⊂ U .
Không gian tôpô X được gọi là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ
nhất, nếu tại mỗi điểm x ∈ X, tồn tại một cơ sở lân cận có lực lượng đếm
4


được.
1.6. Định nghĩa ([2]). Giả sử X là không gian tôpô, a, b ∈ X. Ánh xạ
liên tục s : [0, 1]−→X sao cho s(0) = a, s(1) = b được gọi là một đường cong
nối a và b.
Không gian tôpô X được gọi là liên thông đường (hay liên thông tuyến
tính) nếu với hai điểm bất kỳ a, b ∈ X, tồn tại đường cong s : [0, 1]−→X nối
a và b.

1.7. Định nghĩa ([1]). Giả sử X, Y là các T2 -không gian. Khi đó, ta ký
hiệu Y X là tập gồm mọi ánh xạ từ X vào Y . Trong không gian hàm Y X có
thể trang bị tôpô bằng cách cho tiền cơ sở β trong đó, như sau:
Đối với mỗi tập compact X0 ⊂ X và tập mở V ⊂ Y , ta ký hiệu G(X0 , V )
là tập tất cả các ánh xạ f ∈ Y X sao cho f (X0 ) ⊂ V . Họ β tất cả các tập
G(X0 , V ) như thế tạo nên tiền cơ sở của không gian Y X . Tôpô này gọi là
tôpô compact mở.
Ký hiệu cặp không gian (X, X0 ) gồm không gian X và tập con X0 của nó.
Cặp (X, φ) ta xem như X.
1.8. Định nghĩa ([1]). Ánh xạ cặp ϕ : (X, X0 )−→(Y, Y0 ) được hiểu là
ánh xạ ϕ : X−→Y , thỏa mãn điều kiện ϕ(X0 ) ⊂ Y0 . Ánh xạ ϕ được gọi là
r-ánh xạ nếu tồn tại ánh xạ ψ : (Y, Y0 )−→(X, X0 ) sao cho ϕψ là ánh xạ đồng
nhất trên (Y, Y0 ).
Trong trường hợp riêng khi Y ⊂ X, Y0 ⊂ X0 , thì ánh xạ ϕ : (X, X0 )−→(Y, Y0 )
được gọi là ánh xạ co rút nếu ánh xạ lồng i : (Y, Y0 )−→(X, X0 ) là nghịch
phải của ϕ. Trong trường hợp này ta nói cặp (Y, Y0 ) là cái co rút của (X, X0 ).
1.9. Định nghĩa ([1]). Không gian hàm Y X gồm tất cả các ánh xạ
ϕ ∈ Y X thỏa mãn ϕ(X0 ) ⊂ Y0 , được ký hiệu là (Y, Y0 )(X,X0 ) .
1.10. Định nghĩa ([1]). Các ánh xạ f0 , f1 ∈ (Y, Y0 )(X,X0 ) được gọi là
5


đồng luân nếu với mỗi t ∈ [0, 1], tồn tại ánh xạ ft ∈ (Y, Y0 )(X,X0 ) liên tục phụ
thuộc t và thỏa mãn ft=0 = f0 , ft=1 = f1 . Khi đó, ta cũng nói họ {ft } là họ
đồng luân nối f0 với f1 .
1.11. Định nghĩa ([1]). Tập con A của T2 -không gian X được gọi là co
rút theo không gian X vào tập B ⊂ X, nếu ánh xạ lồng i : A−→X đồng
luân với ánh xạ f : A−→X sao cho f (A) ⊂ B.
Nếu B chỉ gồm một điểm thì ta nói tập A co rút theo X vào một điểm.
Nếu ánh xạ đồng nhất i : X−→X đồng luân với ánh xạ f : X−→X, thỏa

mãn f (x) = a, với mọi x ∈ X, a là một điểm nào đó của X thì ta nói là X
co rút điểm.
1.12. Mệnh đề ([1]). Mọi tập con lồi A của không gian tuyến tính X là
co rút điểm.
1.13. Định nghĩa ([1]). Giả sử X là T2 -không gian. Khi đó X được gọi
là co rút điểm địa phương tại điểm x0 ∈ X, nếu mỗi lân cận U của x0 chứa
lân cận U0 co rút theo U về một điểm.
Không gian X được gọi là co rút điểm địa phương nếu nó co rút điểm địa
phương tại mọi điểm của nó.
1.14. Định lý ([1]). Mỗi thành phần liên thông của không gian co rút
điểm địa phương là tập liên thông tuyến tính.
1.15. Mệnh đề ([1]). Mỗi tập con lồi M của không gian tuyến tính X
là co rút điểm địa phương.
1.16. Định nghĩa ([1]). Không gian X được gọi là một đa diện nếu tồn
tại một họ J các đơn hình hình học σ sao cho
(1) X =

σ;
σ∈J

(2) Mỗi mặt của đơn hình σ ∈ J cũng thuộc J;
6


(3) Nếu các đơn hình σ1 , σ2 thuộc J thì σ1

σ2 cũng là mặt của mỗi đơn

hình đó;
(4) Tập con G ⊂ X mở khi và chỉ khi G

σ mở trong mỗi σ ∈ J.

Họ J được gọi là tam giác phân của không gian X, còn các đỉnh của đơn
hình σ ∈ J là đỉnh của J. Mỗi đa diện X gọi là một phức đơn hình.
1.17. Định nghĩa ([1]). Giả sử G = {Gµ }, µ ∈ M là phủ của không gian
X. Ta xem Gµ = Gµ , với µ = µ . Ta giả thiết rằng các phần tử của họ G
lập nên cơ sở của không gian vectơ F . Nói cách khác F là môđun tự do thực
với cơ sở G. Khi đó, mỗi điểm p ∈ F được biểu diễn một cách duy nhất dưới
dạng p =

tµ Gµ , với các hệ số tµ thực và chỉ có hữu hạn hạng tử khác
µ∈M

không. Nếu như các chỉ số µ0 , µ1 , . . . , µn khác nhau, thì ta ký hiệu đơn hình
σ trong F với các đỉnh Gµ0 , Gµ1 , . . . , Gµn là σ(Gµ0 , Gµ1 , . . . , Gµn ) là tập dạng
n

σ(Gµ0 , , Gµ1 , . . . , Gµn ) =

n

tµi Gµi , tµi ≥ 0 và

p=
i=0

tµi = 1 .
i=0

Số tµi được gọi là toạ độ trọng tâm của điểm p, tương ứng với đỉnh Gµi .
Ta xem tất cả các đơn hình trừu tượng này là đơn hình hình học bình
thường. Mỗi đơn hình như thế có các đỉnh là các phần tử của phủ G có
giao khác rỗng. Còn hợp của chúng với tôpô yếu tạo nên đa diện W với tam
giác phân J. Nói cách khác, đơn hình σ thuộc J khi và chỉ khi các đỉnh
n

Gµi = ∅.

Gµ0 , , Gµ1 , . . . , Gµn thỏa mãn
i=0

Đa diện W được gọi là thần kinh của phủ G = {Gµ } và ký hiệu W = N (G).
1.18. Định nghĩa ([1]). Giả sử M là lớp tất cả các không gian khả
mêtric. Khi đó, không gian X được gọi là co rút lân cận tuyệt đối đối với
mọi không gian mêtric Y nếu X ∈ M và đối với mỗi đồng phôi h, ánh xạ X
lên tập con đóng h(X) của không gian Y ∈ M , thì h(X) là cái co rút lân cận
của Y . Khi đó ta ký hiệu X ∈ AN R(M ).
7


1.19. Định lý Kuratowski - Woidyslawski ([1]). Đối với không gian
mêtric X, tồn tại không gian định chuẩn Z và đồng phôi h : X−→h(X) ⊂ Z
và h(X) đóng trong bao lồi C(h(X)).
1.20. Định nghĩa ([2]). Giả sử X là không gian tôpô. Một họ A các tập
con của X gọi là hữu hạn địa phương nếu với mọi điểm x ∈ X, tồn tại lân
cận V của x chỉ giao với một số hữu hạn các tập A ∈ A.
Họ A được gọi là σ-hữu hạn địa phương nếu A là hợp đếm được của các
họ hữu hạn địa phương.
1.21. Định nghĩa ([2]). Không gian tôpô X được gọi là khả mêtric nếu

tồn tại một mêtric d trên X sao cho tôpô sinh bởi d trùng với tôpô đã cho
trên X.
1.22. Định nghĩa ([3]). Giả sử P là họ gồm các tập con của X. Khi đó
(1) P được gọi là lưới, nếu với mọi x ∈ X và U là lân cận bất kỳ của x,
tồn tại P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U .
(2) P được gọi là wcs∗ -lưới, nếu với mọi dãy {xn } hội tụ đến x ∈ X và U
là lân cận bất kỳ của x, tồn tại dãy con {xni : i ∈ N} của {xn } và P ∈ P sao
cho {xni : i ∈ N} ⊂ P ⊂ U .
1.23. Định nghĩa ([3]). Giả sử X là một không gian, x ∈ P ⊂ X. Ta
nói P là lân cận dãy của x nếu với mọi dãy {xn } hội tụ đến x, tồn tại m ∈ N
sao cho xn ∈ P với mọi n ≥ m.
1.24. Định nghĩa ([3]). Giả sử P =

Px là một phủ của không gian
x∈X

X và với mọi x ∈ X, P thỏa mãn hai điều kiện sau đây
(1) Px là lưới của x;
(2) Nếu P1 , P2 ∈ Px thì tồn tại P ∈ Px sao cho P ⊂ P1

P2 .

Khi đó P được gọi là sn-lưới của X, nếu với mỗi x ∈ X thì mỗi phần tử

8


của Px là lân cận dãy của x.
1.25. Định nghĩa ([2]). Giả sử F là một σ-đại số những tập hợp con
của một tập hợp X. Hàm số µ : F−→[0, ∞] gọi là một độ đo nếu

(1) µ(∅) = 0;
(2) µ là σ-cộng tính, tức là nếu A1 , A2 , . . . là một họ đếm được những tập
hợp đôi một rời nhau thuộc F thì
∞

∞

An

µ

µ(An ).

=
n=1

n=1

Bộ ba (X, F, µ) trong đó F là một σ-đại số những tập hợp con của tập
hợp X, µ : F−→[0, 1] là một độ đo, gọi là một không gian độ đo.
1.26. Định nghĩa. Giá của một độ đo µ là tập đóng nhỏ nhất X ⊂ Rn
sao cho µ(Rn \ X) = 0. Ký hiệu là supp µ.
Độ đo µ được gọi là độ đo xác suất, nếu µ(supp µ) = 1.

9


§2. CÁC HÀM TỬ ĐỘ ĐO XÁC SUẤT BẢO TOÀN
MỘT SỐ TÍNH CHẤT TÔPÔ
2.1. Định nghĩa ([6]). Giả sử X là không gian tôpô Hausdorff. Một độ

đo xác suất với giá hữu hạn trên X là một hàm µ : X −→ [0, 1] thỏa mãn
các điều kiện sau
(i) supp µ = {x ∈ X : µ(x) > 0} hữu hạn;
µ(x) = 1.

(ii)
x∈supp µ

Với mỗi k ∈ N, ký hiệu Pk (X) là tập hợp tất cả các độ đo xác suất trên
X, với giá không vượt quá k điểm. Khi đó mỗi µ ∈ Pk (X) có thể biểu diễn
dưới dạng

q

mi δxi ,

µ=

q ≤ k,

i=1

trong đó δx là hàm cho bởi
δx (y) =

0 nếu y = x
1 nếu y = x;

q

và mi = µ(xi ) > 0,

mi = 1. Khi đó ta nói mi là khối lượng của µ tại xi .
i=1

Trong [4], Fedorchuk đã trang bị tôpô trên Pk (X) như sau: Với mỗi điểm
q

m0i δx0i ∈ Pk (X) ta xây dựng tập O(µ0 , U1 , U2 , . . . , Uq , ε), trong đó

µ0 =
i=1

ε > 0, U1 , U2 , . . . , Uq là các lân cận rời nhau của các điểm x01 , x02 , . . . , x0q tương
ứng (ở đây Ui có thể chọn từ cơ sở tôpô của X),

µi =

µ(xi ).
xi ∈supp µi ∩Ui

q+1

O(µ0 , U1 , U2 , . . . , Uq , ε) = µ ∈ Pk (X) : µ =

µi ; supp µi ∈ Ui ;
i=1

|

m0i −

µi

|< ε, i = 1, 2, ..., q + 1;
q

Ui ; m0q+1 = 0 .

Uq+1 = X \
i=1

10


Dễ thấy họ
O(µ0 , U1 , U2 , . . . , Uq , ε)
lập thành cơ sở lân cận tại µ0 theo tôpô trong Pk (X). Tôpô này gọi là tôpô
Fedorchuk.
Trong các Định lý sau ta luôn giả sử X là không gian tôpô Hausdorff và
Pk (X) là không gian tất cả các độ đo xác suất trên X với giá không vượt
quá k điểm.
2.2. Định lý ([6]). Nếu X là không gian hoàn toàn chính quy thì Pk (X)
là không gian hoàn toàn chính quy.
Chứng minh. Giả sử X là không gian hoàn toàn chính quy, và
q

m0i δx0i ∈ Pk (X), và O(µ0 , U1 , U2 , . . . , Uq , ε) là một lân cận của

µ0 =

i=1

µ0 , với ε > 0. Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại một ánh xạ liên tục F : Pk (X) −→ [0, 1]
sao cho
F (µ0 ) = 1 và F (Pk (X) \ O) = 0.
Ta có thể giả thiết rằng ε <

1
4

(1)

min {m01 , m02 , . . . , m0q }. Vì X là không

gian hoàn toàn chính quy, nên với mỗi i = 1, 2, . . . , q, tồn tại một ánh xạ
fi : X −→ [0, 1] sao cho
fi (x0i ) = 1 và fi (X \ Ui ) = 0, i = 1, 2 . . . , q.

(2)

Ta xây dựng hàm fi : Pk (X) −→ [0, 1], i = 1, 2, . . . , q cho bởi công thức
q

q

fi (µ) =

mj δxj ∈ Pk (X);

mj fi (xj ) với µ =

j=1

j=1

fq+1 (µ) = 1 với µ ∈ Pk (X).
Khi đó fi với i = 1, 2, . . . , q + 1 là hàm liên tục.

11

(3)


Đặt Vi = (m0i − ε, m0i + ε), i = 1, 2, . . . , q và ta giả sử ϕi : [0, 1] −→ [0, 1] là
hàm Urysohn thỏa mãn các điều kiện ϕi (m0i ) = 1 và ϕi ([0, 1]\Vi ) = 0 với mỗi
i = 1, 2, . . . , q và ϕq+1 (O) = 1, ϕq+1 ([ε, 1]) = 0.

(4)

Khi đó ϕi là hàm liên tục.
Vì µ ∈ Pk (X) nên ta có
q

q+1

µi , với µi = µ | Ui , i = 1, 2, . . . , q + 1, Uq+1 = X \

µ=

Ui .
i=1

i=1

Ta xác định hàm F : Pk (X) −→ [0, 1] cho bởi công thức
1
F (µ) =
m

q+1

ϕi ( µi )fi (µ), với m = m01 , m02 , . . . , m0q .

(5)

i=1

Do ϕi , fi , i = 1, 2, . . . , q + 1 là các hàm liên tục nên ta suy ra F cũng là
hàm liên tục.
Dễ thấy rằng
F (µ) ∈ [0, 1] với mỗi µ ∈ Pk (X).
Khi đó ta có
1
F (µ0 ) =
m
=

q+1

ϕi (m0i )fi (µ0 )

i=1
0
m1 . . . m0q
m01 . . . m0q

1
=
m

q

m0i
i=1

= 1.

q+1

Mặt khác nếu µ =
i ≤ q+1 sao cho |

µi ∈
/ O(µ0 , U1 , U2 , . . . , Uq , ε) thì tồn tại một chỉ số

i=1
0
m i − µi

|≥ ε. Nếu i ≤ q thì nhờ (4) ta có ϕi ( µi ) = 0.

Do đó từ (5) ta có F (µ) = 0.
Nếu i = q + 1 thì

µq+1 ≥ ε. Do đó nhờ (4) ta có ϕq+1 ( µq+1 ) = 0.

Từ đó nhờ (5) ta suy ra F (µ) = 0.
Vậy Pk (X) là không gian hoàn toàn chính quy.
2.3. Định lý ([6]). Nếu X co rút điểm thì Pk (X) cũng co rút điểm.
12


Chứng minh. Giả sử X là co rút điểm. Khi đó sẽ tồn tại một ánh xạ
ϕ : X × [0, 1] −→ X sao cho
(i) ϕ(x, 0) = x, với mỗi x ∈ X;
(ii)ϕ(x, 1) = a, với mỗi x ∈ X và a ∈ X là một điểm cố định.
Ta xác định hàm Φ : Pk (X) × [0, 1] −→ Pk (X) cho bởi công thức
q

q

mi δxi , t

Φ(µ, t) = Φ

mi δϕ(xi ,t)

=
i=1

i=1

q

mi δxi ∈ Pk (X).

với mỗi µ =
i=1

Khi đó ta có
Φ(µ, t) ∈ Pk (X), với mỗi µ ∈ Pk (X),
q

Φ(µ, 0) =

q

mi δϕ(xi ,0) =
i=1

và

i=1

q

Φ(µ, 1) =

q

mi δa = 1.δa ∈ Pk (X).

mi δϕ(xi ,1) =
i=1

mi δxi = µ

i=1

Dễ thấy rằng Φ là hàm liên tục. Do đó Pk (X) corút điểm.
2.4. Định lý ([6]). Nếu X co rút điểm địa phương thì Pk (X) co rút điểm
địa phương.
Chứng minh. Giả sử X co rút điểm địa phương.
q

m0i δx0i ∈ Pk (X) và giả sử O(µ0 , U1 , U2 , . . . , Uq , ε) là một lân

Lấy µ0 =
i=1

cận của µ0 . Do tính co rút điểm địa phương của X nên với mỗi i = 1, 2, . . . , q
tồn tại một lân cận Ui0 ⊂ Ui và ánh xạ ϕi : Ui0 × [0, 1] −→ Ui sao cho
ϕi (x, 0) = x với mỗi x ∈ Ui0 ,
ϕi (x, 1) = x∗i với mỗi x ∈ Ui0 và x∗i ∈ Ui0 .
Ký hiệu ϕq+1 (x, t) = x với mỗi x ∈ X và t ∈ [0, 1].

13


Đặt
q

m0i δx0i và O0 = O µ0 , U10 , U20 , . . . , Uq0 ,

µ0 =
i=1

ε
.
2(k + 1)

Khi đó hiển nhiên ta có O0 ⊂ O.
Ta xác định hàm F : O0 × [0, 1] −→ O cho bởi công thức
q+1

F (µ, t) =

mi δϕi (xj ,t)
i=1

xj ∈Ui0
q

q
0

Ui0 .

0
=X\
mj δxj ∈ O và Uq+1

với mỗi µ =

i=1

j=1

Dễ thấy rằng
F (µ, t) ∈ O(µ0 , U1 , U2 , . . . , Uq , ε).
Khi đó ta có
q+1

q+1

F (µ, 0) =

q

mj δϕi (xj ,0) =
i=1 xj ∈Ui0

mj δxj =
i=1 xj ∈Ui0

q+1

q+1

mj δϕi (xj ,1) =

F (µ, 1) =

i=1 xj ∈Ui0

µi = µ
i=1







mj  δxj

i=1

xj ∈Ui0

Từ đó đặt
q+1

m∗i

m∗i δx∗i

∗

=

mj và µ =
i=1

xj ∈Ui0

ta có
F (µ, 1) = µ∗ ∈ O0 .
Do đó Pk (X) co rút điểm địa phương.
2.5. Định lý ([6]). Nếu X liên thông đường thì Pk (X) cũng liên thông
đường.

14


Chứng minh. Giả sử X liên thông đường. Không mất tính tổng quát ta có
thể giả thiết µ1 , µ2 có q điểm giá. Khi đó ta có
q

mi δxi ∈ Pk (X),

µ1 =
i=1
q

ni δyi ∈ Pk (X).

µ2 =
i=1

Bởi vì X liên thông đường cho nên với mỗi i = 1, 2, . . . , q, tồn tại một ánh
xạ gi (0) = xi , gi (1) = yi .
Với mỗi i = 1, 2, . . . , q, xét ánh xạ fi : [0, 1] −→ [0, 1] thỏa mãn

fi (0) = mi ; fi (1) = ni .
Ta đặt
fi (t)

mi (t) =

q

fi (t)
i=1

với mỗi i = 1, 2, . . . , q.
Ta xác định hàm F : [0, 1] −→ Pk (X) cho bởi công thức
q

F (t) =

mi (t).δgi (t) .
i=1
q

mi (t) = 1, với mọi t ∈ [0, 1]. Do đó ta

Dễ thấy rằng F là hàm liên tục và
i=1

có F (t) ∈ Pk (X).
Mặt khác ta có
q

F (0) =

q

mi (0).δgi (0) =
i=1
q

F (1) =

mi δxi = µ1 ;
i=1
q

mi (1).δgi (1) =
i=1

ni δyi = µ2 .
i=1

Từ đó suy ra Pk (X) là liên thông đường.
15


2.6. Định lý ([6]). Nếu X thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất thì Pk (X)
cũng thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
q

m0i δx0i ∈ Pk (X). Ta cần chỉ ra rằng µ0 có

Chứng minh. Giả sử µ0 =
i=1

một cơ sở lân cận đếm được. Do giả thiết X thoả mãn tiên đề đếm được thứ
nhất, nên với mỗi x0i ∈ X, tồn tại một cơ sở lân cận đếm được của x0i , ký
hiệu là {Uin }, i = 1, 2, . . . , q.
Ta đặt
On = O µ0 , U1n , U2n , . . . , Uqn ,

1
,
n

với n ∈ N, Uin ∈ {Uin }, Uin ∩ Ujn = ∅(i = j).
Dễ thấy rằng {On } là cơ sở lân cận đếm được của µ0 . Do đó Pk (X) thỏa
mãn tiên đề đếm được thứ nhất.

16


§3. HÀM TỬ ĐỘ ĐO XÁC SUẤT
TÁC ĐỘNG TRÊN KHÔNG GIAN KHẢ MÊTRIC

Trong mục này, nếu không nói gì thì ta hiểu X là T2 -không gian và Pk (X)
là không gian tất cả các độ đo xác suất trên X với giá không vượt quá k
điểm.
3.1. Định lý Frink ([1]). T1 -không gian X mêtric hóa được khi và chỉ
khi điều kiện sau được thỏa mãn: Với mỗi x ∈ X, tồn tại cơ sở lân cận
{Un (x)}∞
n=1 thỏa mãn điều kiện nếu Un (x) là lân cận cho trước, tồn tại chỉ

số m = m(x, n) sao cho Um (y)

Um (x) = ∅ thì kéo theo Um (y) ⊂ Un (x).

3.2. Hệ quả ([1]). Nếu X mêtric hóa được thì Pk (X) mêtric hóa được.
Chứng minh. Do X là T1 -không gian nên Pk (X) cũng là T1 -không gian.
Do đó để chứng minh Pk (X) mêtric hóa được ta chỉ cần kiểm tra yêu cầu
Định lý Frink đối với Pk (X).
q

mi δxi ∈ Pk (X), q ≤ k, ta xác định cơ sở lân cận

Với mỗi µ =
{On (µ)}∞
n=1

i=1

thỏa mãn điều kiện Frink như sau

Với mỗi i = 1, 2, . . . , q, ta chọn {U n (xi )}∞
n=1 sao cho
1
diamU n (xi ) < min{2−n , dist(U n (xi ), U n (xj )), i = j}.
4
Rõ ràng {U n (xi )}∞
n=1 thoả mãn điều kiện Frink.

(1)
(2)

Đặt
On µ, U1n , U2n , . . . , Uqn , εn (µ)
ở đây Uin = U n (xi ), i = 1, 2, . . . , q và εm (µ) < min{2−n , mi , i = 1, 2, . . . , q}.
Ta sẽ chứng minh {O(µ)∞
n=1 thoả mãn điều kiện Frink:

17


Cho trước On (µ). Từ điều kiện εn (γ) < 2−n với mỗi γ ∈ Pk (X) nên tồn
tại m ∈ N sao cho
εm (γ) <

1
min{εn (γ), mi , i = 1, 2, . . . , q}
4k

(3)

với mỗi γ ∈ Pk (X). Bây giờ ta sẽ chứng minh
m(µ, n) = max{m, m(xi , n), i = 1, 2, . . . , q}
thỏa mãn các đòi hỏi của điều kiện Frink.
Giả sử Om (γ) = Om (γ, V1m , V2m , . . . , Vqm , εm (γ)) với Om (γ) ∩ Om (µ) = ∅.
Chọn θ ∈ Om (γ) ∩ Om (µ) và ký hiệu θi = θ|Uim , i = 1, 2, . . . , q và giả sử
θq+1 = θ

, Ai = supp θi , i = 1, 2, . . . , q + 1.

q

Uim

X\
i=1

Từ

θi ≥ mi − εm (µ) > mi − 14 mi = 34 mi > εm (γi ), i = 1, 2, . . . , q ta

suy ra rằng với mỗi i ≤ q tồn tại ít nhất một chỉ số j ∈ {1, 2, . . . , r} sao cho
Ai ∩ Aj = ∅.
Giả sử

Gi = ∪{Vj : Ai ∩ Vj = ∅}, i = 1, 2, . . . , q;
q

Gq+1 = ∪ Vj : Vj ⊂ X \

Ai
i=1

Bởi vì Ai ⊂ Uim và từ (2) ta suy ra
Gi ⊂ Uim với mỗi i = 1, 2, . . . , q.

(4)

Bây giờ ta sẽ chứng minh Om (γ) ⊂ On (µ).
Với mỗi ω ∈ Om (γ), ký hiệu ωi = ω|Gi với i = 1, 2, . . . , q + 1, ωij = ωi |Vj
với mỗi Vj ⊂ Gi ; θij = θi |Vj với Vj ⊂ Gi .

Do ω, θ ∈ Om (γ) ta suy ra
|

ωij

−

θij

18

|< 2εm (γ)


Mà k ≥ r ≥ card{j : Vj ⊂ Gi } nên từ (3) ta có
|

ωij

−

|≤

θij

|

−

ωij

θij

Vj ⊂Gi

1
|< 2kεm (γ) < εn (µ).
2

với i = 1, 2, . . . , q + 1.

(5)

Do đó
|

ωi

−mi |≤|

ωi

−

1
θi − mi < εn (µ) + εm (µ) < εn (µ)
2

|+

θi

với mỗi i = 1, 2 . . . , q và nhờ (5) ta có
ωq+1 ≤ θq+1

1
1
+ εn (µ) ≤ εm (µ) + εn (µ) < εn (µ)
2
2

Từ (4) suy ra
ω ∈ On (µ).
Vậy Om (γ) ⊂ On (µ).
Nhờ Định lý Frink ta suy ra Pk (X) mêtric hóa được.
3.3. Định lý ([1]). Nếu không gian tôpô X là T1 -không gian và là không
gian chính quy, và tôpô có cơ sở σ-hữu hạn địa phương thì Pk (X) cũng có
các tính chất đó.
Chứng minh. Do X là T1 -không gian và là không gian chính quy, và tôpô
có cơ sở σ-hữu hạn địa phương nên X mêtric hóa được. Khi đó nhờ Hệ quả
3.2 ta có Pk (X) mêtric hóa được. Do đó Pk (X) là T1 -không gian và là không
gian chính quy, và tôpô có cơ sở σ-hữu hạn địa phương.
Vậy định lý được chứng minh.
• Giả sử {Un } là dãy các phủ mở của không gian mêtric X và giả sử
Un . Ký hiệu N (U ) là thần kinh của phủ U . Ta viết K ≺ {Un } nếu

U =
n∈N

và chỉ nếu K là phức đơn hình con của N (U ) và với mỗi đơn hình σ ∈ K thì

σ ⊂ Un

Un+1 với n ∈ N nào đó. Ta viết
N (σ) = max n ∈ N : σ ⊂ Un
19

Un+1 .


3.4. Định lý Nguyễn Tố Như ([1]). Không gian mêtric X ∈ AN R
khi và chỉ khi tồn tại một dãy các phủ mở {Un } của X sao cho với bất kỳ
K ≺ {Un } và với mỗi phép chọn bất kỳ f : K 0 −→ X (nghĩa là f (U ) ⊂ U )
tồn tại ánh xạ g : K −→ X sao cho nếu {σn } là dãy các đơn hình của K
thoả mãn f (σn0 ) −→ x0 ∈ X khi N (σn ) −→ ∞ thì ta có g(σn ) −→ x0 .
3.5. Định lý ([1]). Nếu X ∈ AN R(M ) thì Pk (X) ∈ AN R(M ) với mỗi
k ∈ N.
Chứng minh. Giả sử X ∈ AN R. Theo Định lý Kuratowski - Woidyslainski
ta có thể xem X như tập con mở của không gian định chuẩn Z nào đó.
Với mỗi n ∈ N, ta chọn một phủ mở Wn của X sao cho Wn+1 ≺ Wn
∞

và diam W <

2−n

với mỗi W ∈ Wn . Đặt W =

Wn . Ta giả thiết tôpô
n=1

Fedorchuk trong Pk (X) được cảm sinh từ W .
Với mỗi n ∈ N ta chọn phủ Vn của X gồm các tập con lồi sao cho
(i) Con V ≺ Wn với mỗi V ∈ stVn ;
(ii) Vn+1 ≺ Vn với mỗi n ∈ N.
Đặt
Un = {O µ, U1 , . . . , Uq , 2−n | Ui ∈ Vn ; dist(Ui , Uj ) ≥ 3.2−n với Ui = Uj
và min{mi , i = 1, 2, . . . , q} ≥ (k + 1)k 2−n }

(1)
∞

Un =

Ui và U =

Un .
n=1

i≥n

Ta có Un là phủ mở của Pk (X) với mỗi n ∈ N. Với mỗi đơn hình σ ∈ N(U )
ta có

σ(V1 , . . . , Vp ) với Vi = O µi , U1i , U2i , . . . , Uqi(i) , ε ∈ U ;
q(i)

mij δxij , xij ∈ Uji , j = 1, 2, . . . , q(i), i = 1, 2, . . . , p

µi =
j=1

20


và

p

Vi = ∅.
i=1

Ta có thể giả thiết Vi ∈ Un(i) với n(1) ≤ n(2) ≤ · · · ≤ n(p).
Giả sử ta đặt
i
} với i = 1, 2, . . . , p.
Fi = {U1i , . . . , Uq(i)

Bây giờ ta đặt
A(σ) =

L = {U i } U i ∈ Fi ,

U i = ∅,

U i ∩ U = ∅ với U ∈
/ L . (2)

U i ∈L

U i ∈L

Khi đó ta có Bổ đề sau.
3.6. Bổ đề ([1]). CardA(σ) ≤ k.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh CardA(σ) = q(p) ≤ k. Từ (1) suy ra rằng
với mỗi U ∈ F thuộc về nhiều nhất là một L ∈ A(σ). Do đó ta chỉ cần chứng
tỏ rằng với mỗi L ∈ A(σ), tồn tại một phần tử U ∈ Fp sao cho U ∈ L.
Điều đó được suy ra từ kết quả sau:
Nếu mij(i) ≥ (k + 1)k ε, với ε = max{εi | i = 1, . . . , p} thì với mỗi i = j,
p

tồn tại

i , j(i)
Uj(i)

i
Uj(i)
= ∅.

≤ q(i) sao cho
p

i=1

r

mi δxi với r ≤ k. Để đơn giản

Vi với µ =

Thật vậy, giả sử µ =
i=1

i=1
q(1)+1

µ1i , với

ta giả thiết i = 1. Vì µ ∈ V1 nên có thể viết dưới dạng µ =
i=1

µ1i = µ |Ui1 , i = 1, 2, . . . , q(1), và µ1q(1)+1 = µ

.

q(1)

Ui1

X\
i=1

Ta có
q(1)+1

µ1q(1)+1

−n(1)

<2

≤ ε và

µ =
i=1

21

r

µ1i

=

mi = 1.
i=1


Ta viết
m1i δxi , x1i ∈ Ui1 , i = 1, 2, . . . , q(1).

µi =
Từ µ ∈ V1 ta suy ra

µ1j(1)

|

−m1j(1) |< 2−n(1) ≤ ε.

Từ (1) ta có
µ1j(1) ≥ m1j(1) −2−n(1) ≥ (k+1)k ε−ε = (k + 1)k − 1 ε.
Ta viết

(3)

s

µ1j(1)

1
m1i δx1i ; x1i ∈ Uj(1)
với i = 1, 2, . . . , s.

=
i=1
s

Do đó ta có

m1i .

µ1j(1) =
i=1

2 , ε ) thì tồn tại j(2) ≤ q(2) sao cho
Giả sử V2 = O(µ2 , U12 , . . . , Uq(2)
2

A1

2
Uj(2)
= ∅.

Thật vậy, ta viết
q(2)+1

µ2i , với µ2j = µ|Ui2 , i = 1, 2, . . . , q(2);

µ=
i=1

2
qq(2)+1
=µ

.

q(2)

Ui2

X\
i=1

Giả sử ngược lại Ai ∩ Ui2 = ∅ với mỗi i = 1, 2, . . . , q(2).
Khi đó A1 ⊂ supp µ2q(2)+1 . Vì µ ∈ V2 nên
µ1j(1) = µ |A1 ≤ µ

supp µ2q(2)+1

< ε2 ≤ ε.

Điều đó mâu thuẫn với (3). Do đó khẳng định trên được chứng minh.
Ký hiệu I(2) = {i ∈ {1, 2, . . . , q(2)} Ui2

Ui2 và

A1 = ∅}, B(2) =
i∈I(2)

A2 = A1

B(2).
22


q(2)

Ui2 suy ra

Do A1 \ A2 ⊂ X \

µ |A

1 \A2

≤ ε2 < ε.

i=1

Từ (3) ta có
µ |A ≥ µ |A1 −

µ |A

1 \A2

2

≥ (k + 1)k − 1 ε − ε ≥ k(k + 1)k−1 ε.

Do cardI(2) ≤ k nên tồn tại J(2) ∈ I(2) sao cho
µ

2
A∩Uj(2)

≥ (k + 1)k−1 ε.

2 . Tiếp tục quá trình này ta tìm được dãy
Giả sử A2 = A2 ∩ Uj(2)

A1 ⊃ A 2 ⊃ · · · ⊃ Ap .
Vì cardA1 ≤ k ta suy ra rằng với p ∈ N thì họ {A1 , A2 , . . . , Ap } chứa không
quá k các tập khác nhau.
Từ đó ta có
µ

Ap

≥ (k + 1)k−(k−1) ε = (k + 1)ε > 0.

p
i
Uj(1)
⊃ Ap = ∅.

Nói riêng ta có
i=1

Bây giờ ta chứng minh Định lý 3.5.
Giả sử K ≺ {Un }, f : K 0 −→ Pk (X) là phép chọn.
Đối với mỗi V = O(µ, U1 , . . . , Uq , ε) ∈ K 0 ta đặt g0 (V ) = µ.
i ,ε ) ∈ U
Giả sử rằng σ = (V1 , . . . , Vp ) ∈ K với Vi = O(Ui , U1i , . . . , Uq(1)
i
n(i)
p

và n(1) ≤ n(2) ≤ · · · ≤ n(p). Khi đó

Vi = ∅.
i=1

Chú ý rằng µi có thể viết dưới dạng
i
m(U )δx(U ) , với Fi = U1i , . . . , Uq(i)

µi =
U ∈Fi

p
i=1

.

Với mỗi U p ∈ Fp , tồn tại L = L(U p ) ∈ A(σ) sao cho U p ∈ L. Với mỗi
U ∈ Fi ta đặt J(U ) =

j (Ujp , U ) ⊂ L(Ujp ) . Với mỗi i = 1, 2, . . . , p ta xác
23


định một dãy mij , xij
xij

q(p)

như sau:

j=1

xpj ,
nếu L(Ujp ) ∩ Fi = ∅
x(U ), nếu U ∈ L(Ujp ) ∩ Fi .

=

Như vậy xij hoàn toàn được xác định.
Dễ thấy rằng L(U p ) ∩ Fi chứa không quá một phần tử với mỗi U p ∈ Fp
với i = 1, 2, . . . , p. Bây giờ ta đặt mij = 0 nếu L(Ujp ) ∩ Fi = ∅ và nếu
L(Ujp ) ∩ Fi = ∅ ta đặt mij bởi các phương trình:
mij

= m(U );

j∈J(U )

mij
mpj

=

mj
, với i, j ∈ J(U ).
mpj

Khi đó µi có thể viết dưới dạng:
q(p)

mij δxij với i = 1, 2, . . . , p.

µi =
j=1

Ta xác định gσ : σ −→ Pk (X) như sau:
p

Với mỗi x ∈ σ ta có x =

p

λi Vi , λi ≥ 0 và

λi = 1. Đặt

i=1

i=1

q(p)

λi xij

mj δxj , với xj =

gσ (x) =

p

p

j=1

λi mij

và mj =

j=1

j=1

với mỗi i = 1, 2, . . . , q(p).
Ta có
q(p) p

q(p)

mj =
j=1

q(p)

p

λi mij
j=1 i=1

=

λi
i=1

p

mij
j=1

p

=

λi
i=1

m(U ) =
U ∈Fi

Do đó gσ (x) ∈ Pk (X).
Dễ thấy rằng với mỗi cặp σ, σ ∈ K ta có
gσ

σ∩σ

= gσ

σ∩σ

24

và gσ

σ0

= gσ .

λi = 1.
i=1

Do đó họ {gσ }σ∈K cảm sinh một ánh xạ g : K −→ Pk (X) sao cho g

K0

= g0 .

Bây giờ ta chứng minh rằng họ {σn } thỏa mãn Định lý 3.4. Giả sử {σn }
là họ các đơn hình của K sao cho f (σn0 ) −→ µ0 ∈ Pk (X) khi N (σn ) −→ ∞.
q

Giả sử V = O(µ0 , W1 , . . . , Wp , ε) là lân cận của µ0 =

m0i δx0i , với Wi ∈

i=1
0
U, i = 1, . . . , q là các lân cận rời nhau của xi , i = 1, 2, . . . , q tương ứng. Do
f (σn0 ) −→ µ0 và N (σn ) −→ ∞ ta suy ra g(σn0 ) −→ µ0 . Nhờ (1), (2) và cách

xác định g, tồn tại n0 ∈ N sao cho nếu N (σn ) ≥ n0 và x ∈ σn thì ta có
q+1

g(x) =

µi (x) với µi (x) = g(x)

Wi

, i = 1, 2 . . . , q

i=1

và µq+1 = g(x)

; |m0i −

q

µi (x)

|< ε, với mỗi i = 1, 2, . . . , q và

Wi

X\
i=1

µq+1 (x) < ε. Từ đó ta có g(σn ) −→ µ0 khi N (σn ) −→ ∞. Khi đó nhờ
Định lý 3.4 ta suy ra Pk (X) ∈ AN R.
Vậy Định lý được chứng minh.

25