Các định lý điểm bất động trong không gian banach

MỤC LỤC

Trang
MỤC LỤC

.................................................................1

LỜI NÓI ĐẦU

............................................................. 2

Chương 1. Những kết quả cơ bản của lý thuyết điểm bất động 4
1.1 Điểm bất động của ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.2 Nguyên lý điểm bất động Brouwer và nguyên lý KKM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Các định lý điểm bất động của ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Chương 2. Cấu trúc chuẩn tắc. Sự tồn tại của điểm bất động
của lớp ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1 Một số khái niệm và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Sự tồn tại của điểm bất động của ánh xạ không giãn với cấu trúc
chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Sự tồn tại của điểm bất động trong trường hợp không có cấu trúc
chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
KẾT LUẬN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1

LỜI NÓI ĐẦU
Các định lý điểm bất động là các câu trả lời cho một bài toán tổng quát sau
đây:
Cho C là một tập con của một không gian X, T là một ánh xạ từ C vào X .
Phải đặt những điều kiện nào trên C, X và T để có thể khẳng định sự tồn tại
của một điểm x0 trong C sao cho T x0 = x0 ? Điểm x0 như vậy gọi là điểm bất
động của ánh xạ T .
Những định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ XX, trong
đó phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lý ánh xạ
co Banach (1922). Các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra với các lớp
ánh xạ và không gian khác nhau. Trên cơ sở bài báo Geometric Properties
of Banach Spaces and Metric Fixed Point Theory của Tomas Dominguez
Benavides chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: "Các định lý điểm bất
động trong không gian Banach". Với nội dung nghiên cứu này luận văn
được viết thành hai chương:
Chương 1. Trình bày một số kết quả cơ bản của lý thuyết điểm bất động
trong không gian Banach với lớp ánh xạ co, ánh xạ liên tục.
Chương 2. Đây là phần trọng tâm của luận văn, chúng tôi trình bày các kết
quả về cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach. Từ đó, nghiên cứu điểm bất
động của lớp ánh xạ không giãn trên không gian này.
Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận
tình và nghiêm khắc của thầy giáo, PGS.TS. Tạ Khắc Cư. Tác giả xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành
cảm ơn Ban Chủ nhiệm khoa Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Toán.
2


Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những hạn chế,

thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy
cô giáo và bạn bè để luận văn hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 12 năm 2010
Tác giả

3


CHƯƠNG 1

NHỮNG KẾT QUẢ CƠ BẢN
CỦA LÝ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG
1.1. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CO

1.1.1 Định nghĩa. Cho T là một ánh xạ từ tập X vào chính nó. Ánh xạ
T được gọi là có điểm bất động nếu tồn tại x0 ∈ X sao cho T x0 = x0 .

1.1.2 Định nghĩa. Ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào chính nó
được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho
d(T x, T y) ≤ kd(x, y), với mọi x, y ∈ X.

1.1.3 Định lý (nguyên lý ánh xạ co Banach). Cho (X, d) là một không
gian metric đầy đủ và T là một ánh xạ co trong X . Khi đó, tồn tại duy
nhất xω ∈ X mà T xω = xω . Ngoài ra, với mọi x0 ∈ X ta có T n x0 →xω khi
n→∞.

Chứng minh. Lấy x0 tùy ý trong X và đặt xn+1 = T xn với n = 0, 1, 2, . . .
Dễ dàng kiểm tra rằng: d(xn , xn+1 ) ≤ k n d(x0 , x1 ). Lấy m > n, ta có
d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 + · · · + d(xm−n , xm )
≤ (k n + k n+1 + · · · + k m−1 )d(x0 , x1 )

≤ k n (1 + k + · · · + k m−n−1 )d(x0 , x1 )
≤

kn
1−k d(x0 , x1 )

Do đó {xn } là dãy Cauchy và xn →xω ∈ X.
Với mỗi n ta có
0 ≤ d(xω , T xω ) ≤ d(xω , xn ) + d(xn , T xω )
≤ d(xω , xn ) + kd(xn−1 , xω ).
4

(1)


Cho n→∞ ta được d(xω , T xω ) = 0, tức là T xω = xω . Nếu còn có yω ∈ X
mà T yω = yω thì ta có
d(xω , yω ) = d(T xω , T yω ) ≤ kd(xω , yω ).

Vì k < 1 nên d(xω , y0 ) = 0 và xω = yω .
Vậy điểm bất động của T là duy nhất và nguyên lý đã được chứng minh.
1.1.4 Định nghĩa. Ánh xạ T trong không gian metric (X, d) được gọi là
(ε, δ)-co nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho:

nếu ε ≤ d(x, y) < ε + δ thì d(T x, T y) < ε.

(2)

1.1.5 Chú ý. Mọi ánh xạ (ε, δ)-co đều thỏa mãn điều kiện:
nếu x = y thì d(T x, T y) < d(x, y).

(3)

Thật vậy, nếu x = y thì đặt ε = d(x, y) > 0 và ta sẽ có ε = d(x, y) < ε + δ nên
theo (2) ta phải có d(T x, T y) < ε = d(x, y).
Lớp ánh xạ thỏa mãn điều kiện (3) thường được gọi là co yếu.
1.1.7 Định lý (Meir - Keeler). Cho (X, d) là một không gian metric đầy
đủ và T là một ánh xạ (ε, δ)-co trong X . Khi đó, T có điểm bất động duy
nhất xω và với mọi x0 ∈ X , ta có T n x0 →xω khi n→∞.
Chứng minh. Lấy x0 ∈ X tùy ý, đặt xn+1 = T xn và cn = d(xn , xn+1 ), n =
0, 1, 2, . . . Có thể giả thiết cn > 0. Vì T là co yếu nên {cn } là dãy dương và

giảm, do đó cn →ε ≥ 0. Nếu ε > 0 thì tồn tại δ > 0 để có (2). Chọn k ∈ N sao
cho nếu n ≥ k thì cn < ε + δ . Theo (2) ta có cn+1 < ε là điều vô lý. Vậy ε = 0,
tức là cn →0.
Ta sẽ chứng minh {xn } là dãy Cauchy bằng phản chứng. Giả sử có ε > 0 sao
cho với mọi k ∈ N, tồn tại n, m ≥ k mà d(xn , xm ) ≤ 2ε. Chọn k sao cho nếu
5


i ≥ k thì ci < α4 . Với α = min{ε, δ}. Chọn m > n ≥ k để cho d(xn , xm ) ≥ 2ε

và xét các số d(xn , xn+1 ), d(xn , xn+2 ), . . . , d(xn , xm ). Khoảng cách giữa hai số
liên tiếp là
|d(xn , xi ) − d(xn , xi+1 )| ≤ d(xi , xi+1 ) = ci <

Vì d(xn , xn+1 = cn <
1, . . . , m} sao cho ε +

α

4
α
2

≤

ε
4,

α
.
4

còn d(xn , xm ) ≥ 2ε nên tồn tại j ∈ {n, n +

≤ d(xn , xj ) < ε +

3α
4 .

Vì ε ≤ d(xn , xj ) < ε + δ nên

theo (2) ta có
d(T xn , T xj ) = d(xn+1 , xj+1 ) < ε.

Từ đây ta có
d(xm , xj ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xj+1 ) + d(xj+1 , xj )
≤

α

α
α
+ε+ =ε+ .
4
4
2

Điều này mâu thuẫn với d(xn , xj ) ≥ ε + α2 . Vậy {xn } là dãy Cauchy và
xn →xω ∈ X.

Để ý rằng T là ánh xạ co yếu, với mọi n = 0, 1, 2, . . . ta có
d(xω , T xω ) ≤ d(xω , xn+1 ) + d(xn+1 , T xω )
= d(xω , xn+1 ) + d(T xn , T xω )
= d(xω , xn+1 ) + d(xn , xω ).

Cho n→∞ ta được d(xω , T xω ) = 0, tức là xω = T xω .
1.1.8 Chú ý. Đối với lớp ánh xạ co yếu nguyên lý ánh xạ co không còn
đúng nữa.
Một phản ví dụ đơn giản là X = [1, ∞), T x = x + x1 ; ánh xạ này co yếu và
không có điểm bất động. Thật vậy, nếu x = y thì
d(T x, T y) = x +

1
1
1 1
−y−
= |y − x| −
−
< |y − x|.
x

y
x y
6


Điều kiện bổ sung đơn giản nhất là tính compact của X .
1.1.9 Định lý. Cho (X, d) là một không gian metric compact và T là
ánh xạ co yếu trong X . Khi đó T có điểm bất động duy nhất trong X .
Chứng minh. Với mỗi x ∈ X , đặt f (x) = d(x, T x). Vì T là ánh xạ co yếu nên
cũng liên tục, do đó f là hàm số liên tục trên không gian compact X . Vậy tồn
tại x0 ∈ X sao cho f (x0 ) =min{f (x) : x ∈ X}. Nếu f (x0 ) > 0 thì x0 = T x0
nên f (T x0 ) = d(T x0 , T 2 x0 ) < d(x0 , T x0 ) = f (x0 ), ta gặp mâu thuẫn. Vậy
f (x0 ) = 0 và x0 là điểm bất động của T . Tính duy nhất của điểm bất động là

hiển nhiên vì T là co yếu.
1.1.10 Định lý (Caristi). Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ
và hàm số ϕ : X→(−∞; +∞] nửa liên tục dưới và bị chặn dưới. Cho ánh
xạ T trong X thỏa mãn điều kiện
d(x, T x) ≤ ϕ(x) − ϕ(T x), ∀x ∈ X.

(4)

Khi đó, T có điểm bất động trong X .
Trước khi chứng minh định lý này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng ánh xạ co T thỏa
mãn điều kiện (4). Thật vậy, với mọi x ta có
d(x, T x) =

d(x, T x) kd(x, T x)
−
.

1−k
1−k

Mặt khác, ta lại có
d(T x, T (T x)) ≤ kd(x, T x)

nên d(x, T x) ≤ ϕ(x) − ϕ(T x) với
ϕ(x) =

d(x, T x)
1−k

là hàm liên tục.
7


Chứng minh. Trước hết ta đưa vào quan hệ thứ tự trên X như sau:
x ≤ y khi và chỉ khi d(x, y) ≤ ϕ(x) − ϕ(y).

Dễ kiểm tra đó chính là mối quan hệ thứ tự và ϕ là một hàm tăng theo quan
hệ thứ tự này, tức là nếu x ≤ y thì ϕ(y) ≤ ϕ(x).
Ta sẽ chứng minh rằng trong (X, ≤) tồn tại phần tử cực đại υ . Lấy x1 ∈ X
tùy ý và đặt
S(x1 ) = {y ∈ X : x1 ≤ y}
= {y ∈ X : d(x1 , y) ≤ ϕ(x1 ) − ϕ(y)}
= {y ∈ X : d(x1 , y) + ϕ(y) ≤ ϕ(x1 )}.

Vì d(x1 ) liên tục và ϕ nửa liên tục dưới nên S(x1 ) đóng.
Đặt a1 =inf{ϕ(y) : y ∈ S(x1 )}. Khi đó tồn tại x2 ∈ S(x1 ) mà
ϕ(x2 ) ≤ a1 + 1.

Lại đặt S(x2 ) = {y ∈ S(x1 ) : x2 ≤ y}. Khi đó,
S(x2 ) đóng và S(x2 ) ⊂ S(x1 ).

Đặt a2 =inf{ϕ(y) : y ∈ S(x2 )}. Khi đó tồn tại x3 ∈ S(x2 ) mà
1
ϕ(x3 ) ≤ a2 + .
2

Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được dãy {xn } với ba tính chất sau
xn+1 ∈ S(xn ),
ϕ(xn+1 ) ≤ an + n1 , với an =inf{ϕ(y) : y ∈ S(xn )},
S(xn ) đóng và S(xn+1 ) ⊂ S(xn ), n = 1, 2, 3, . . .

Ta sẽ chứng minh đường kính dn của tập S(xn ) tiến tới 0 khi n→∞. Theo
định nghĩa,
S(xn ) = {y ∈ S(xn−1 : xn ≤ y}.
8


Lấy x, y tùy ý trong S(xn ). Vì xn ≤ x, xn ≤ y nên ta có
d(xn , x) ≤ ϕ(xn ) − ϕ(x), d(xn , y) ≤ ϕ(xn ) − ϕ(y).

Vậy d(x, y) ≤ 2ϕ(xn ) − [ϕ(x) + ϕ(y)].
Mặt khác, theo định nghĩa của các an và xn ta có
ϕ(xn ) ≤ an−1 +

1
, ϕ(x) ≥ an , ϕ(y) ≥ an , an ≥ an−1 .
n−1

Do đó
d(x, y) ≤ 2 aqn +

1
n−1

− 2an =

2
,
n−1

với mọi x, y ∈ S(xn ). Vậy dn →0 khi n = →∞.
Vì không gian X đầy đủ nên theo nguyên lý Cantor
∞

S(xn ) = {v}.
n=1

Ta sẽ chứng minh rằng υ là phần tử cực đại trong (X, ≤), tức là nếu υ ≤ w thì
v = w.

Thật vậy, vì v = w nên x1 ≤ w, vậy w ∈ S(x1 ). Vì v ≤ w nên x2 ≤ w, mà
∞

∈ S(x1 ) nên w ∈ S(x2 ). Cứ tiếp tục như vậy ta sẽ được w ∈

S(xn ) = {υ},
n=1

tức là w = v và υ là một phần tử cực đại.
Cuối cùng ta chỉ ra rằng υ là điểm bất động của T . Theo giả thiết, ta có
d(v, T v) ≤ ϕ(x) − ϕ(T x). Khi đó, theo định nghĩa của thứ tự ta có v ≤ T v .

Nhưng vì v là cực đại nên υ = T υ .
1.2 NGUYÊN LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BROUWER VÀ NGUYÊN
LÝ KKM

1.2.1 Định nghĩa. Cho X là một không gian tuyến tính, tập hợp S trong
X được gọi là một n-đơn hình nếu S =co{u0 , u1 , . . . , un } với u0 , u1 , . . . , un ∈ X
9


và các véc tơ u1 − u0 , . . . , un − u0 độc lập tuyến tính. Các điểm ui được gọi là
đỉnh, bao lồi của k + 1 đỉnh được gọi là k -diện của S .
Phép tam giác phân một đơn hình S là một phép phân chia S thành các
n-đơn hình con S i , i = 1, 1, . . . , m, sao cho hợp của chúng bằng S và hai đơn

hình con nếu giao nhau thì giao phải là một diện chung của hai đơn hình đó.
Đối với một phép tam giác phân của S , Sperner (1928) đưa ra một phép gán
cho mỗi đỉnh của các đơn hình con một trong các số 0, 1, . . . , n theo quy tắc
sau đây: nếu co{ui0 , . . . , uik } là diện nhỏ nhất của S chứa v thì v được gán một
trong các số i0 , . . . , ik (như vậy đỉnh ui phải được gán số i). Ta gọi đó là phép
gán số Sperner.
1.2.2 Ví dụ. Trong tam giác u0 u1 u2 , ba đỉnh được gán số lần lượt 0, 1, 2;
các đỉnh của đơn hình con nằm trên cạnh ui uj được gán số i hoặc j ; các đỉnh
thuộc phần trong của tam giác được gán số 0 hoặc 1 hoặc 2.
Sau khi gán số, đơn hình con nào có các đỉnh được gán đủ các số 0, 1, . . . , n
thì được gọi là đơn hình "tốt".

1.2.3. Bổ đề (Sperner). Với phép gán số Sperner, trong một phép tam
giác phân một đơn hình bất kỳ luôn có một số lẻ các đơn hình tốt.
Chứng minh. (bằng quy nạp theo số chiều)
a) Với n = 1, đơn hình chính là đoạn u0 u1 , đỉnh u0 được gán số 0, đỉnh u1
gán số 1, các đỉnh còn lại của các đơn hình con nhận các số 0 hoặc 1.
Gọi k là số đỉnh (của các đơn hình con) nhận giá trị 0 (nếu là đỉnh chung
thì được tính hai lần). Ta có k là số lẻ vì chỉ có một đỉnh nhận số 0 thuộc phần
trong thì được tính hai lần.
Gọi h là số đỉnh nhận số 0 mà đỉnh còn lại (của đơn hình con chứa đỉnh đó)
cũng nhận số 0. Vậy h là số chẵn vì "đỉnh còn lại" cũng có tính chất đó.
10


Số đơn hình tốt bằng k − h phải là số lẻ. Vậy bổ đề đúng với N = 1.
b) Giả sử Bổ đề đúng với n = m, ta sẽ chứng minh nó đúng với n = m + 1.
Gọi k là số các m-diện (diện m chiều) mà các đỉnh được gán các số 0, 1, . . . , m
(gọi là diện tốt) của các m + 1-đơn hình con. Khi đó k = k1 + k2 , với k1 là số
diện tốt nằm trên biên của đơn hình gốc S và k2 là số các diện tốt thuộc phần
trong của S . Vì biên của S chứa các diện tốt chính là m-diện co{u0 , u1 , . . . , um }
của S , cũng là một m-đơn hình, nên theo giả thiết quy nạp k1 là số lẻ. Số k2 là
chẵn vì mỗi diện tốt thuộc phần trong là chung cho hai đơn hình con nên được
tính hai lần. Vậy k là số lẻ.
Gọi h là số các diện tốt mà đỉnh còn lại không được gán số m + 1. Vậy đỉnh
đó sẽ được gán một trong các số 0, 1, . . . , m, vì vậy m + 1-đơn hình con chứa
diện đó phải chứa hai diện tốt. Do đó h là số chẵn. Vì số các (m + 1)-đơn hình
tốt bằng k − h nên phải là số lẻ. Bổ đề đã được chứng minh.
1.2.4 Bổ đề (Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz). Cho đơn hình S =
co{u0 , u1 , . . . , un } trong Rn và các tập hợp đóng F0 , F1 , . . . , Fn trong S thỏa
mãn điều kiện sau: với mọi tập hợp con I ⊂ {0, 1, . . . , n} ta có
co{ui : i ∈ I} ⊂

Fi .

(KKM )

i∈I
n

Khi đó

Fi = 0.
i=0

Chứng minh. Ta thực hiện một phép tam giác phân bất kỳ cho đơn hình S
và thực hiện một phép gán số như sau: Lấy một đỉnh v bất kỳ (của một đơn
hình con) trong phép tam giác phân đó, gọi co{ui : i ∈ I} là diện nhỏ nhất của
S chứa v . Khi đó, theo điều kiện (KKM ), v ∈

. Vậy tồn tại m ∈ I để cho
i∈I

v ∈ Fm . Ta sẽ gán cho v số m đó và ký hiệu là vm . Vậy với mỗi h ∈ {0, 1, . . . , n}

ta đều có vh ∈ Fh . Đặc biệt, các đỉnh ui của S phải thuộc Fi (i = 0, 1, . . . , n).
11


Cách gán số này cũng thỏa mãn điều kiện của Sperner. Vì vậy, theo Bổ đề
Sperner, phải có ít nhất một đơn hình con là tốt (được gán các số từ 0 đến n),
ta ký hiệu nó là ∆1 =co{v01 , v11 , . . . , vn1 }. Theo nhận xét ở trên ta có vi1 ∈ Fi với

i = 0, 1, . . . , n.

Ta thực hiện trong S phép tam giác phân bước hai, tức là tiếp tục chia nhỏ
các đơn hình con đã có ở bước một sao cho các điều kiện của tam giác phân
(trên S ) vẫn được bảo đảm. Các đỉnh mới xuất hiện vẫn được gán số theo cách
đã nêu trong bước một, kết quả ta tìm được một đơn hình tốt mới, ký hiệu là
∆2 = co{v02 , v12 , . . . , vn2 } với vi2 ∈ Fi , i = 0, 1, . . . , n.

Tiếp tục quá trình trên ta được một dãy đơn hình tốt {∆m : m = 1, 2, . . . } với
∆m = co{v0m , v1m , . . . , vnm } và vim ∈ Fi , i = 0, 1, . . . , n. Dãy {v0m } nằm trong

tập hợp compact S nên tồn tại dãy con {v0mi } hội tụ đến v0 ∈ F0 do F0 đóng.
Dãy {v1mi } (tương ứng với dãy con {v0mi } ở trên) cũng nằm trong S nên chứa
mi

dãy con {v0 j } hội tụ đến v1 ∈ F1 do F1 đóng.
Sau n + 1 lần trích dãy con, ta được dãy con {vnmk } của dãy {vnm } hội tụ đến
vn ∈ Fn . Vậy ta được dãy con các đơn hình tốt {∆mk } của dãy {∆m } mà mỗi

dãy các đỉnh {vimk } hội tụ đến vi ∈ Fi , i = 0, 1, 2, . . . , n.
Có thể giả thiết lim diam∆mk = 0 (chỉ cần chọn phép tam giác phân thích
k→∞

hợp). Khi đó các dãy đỉnh {vimk } hội tụ về cùng một điểm, tức là v0 = v1 =
· · · = vn . Ký hiệu điểm giới hạn chung đó là v , ta có
n

v∈

Fi .

i=0

Bổ đề đã được chứng minh.
Trước khi sử dụng bổ đề trên (sau này gọi là bổ đề KKM) để chứng minh
nguyên lý điểm bất động Brouwer, chúng ta cần một mệnh đề đơn giản sau đây.
12


1.2.5 Mệnh đề. Giả sử M là một tập hợp trong một không gian tôpô có
tính chất sau: mọi ánh xạ liên tục T : M →M đều có điểm bất động. Nếu
M’ đồng phôi với M thì M’ cũng có tính chất đó.
Chứng minh. Cho ϕ là phép đồng phôi từ M lên M và T : M →M là ánh
xạ liên tục. Ta cần chứng minh T có điểm bất động.
Thật vậy, đặt T = ϕ−1 T ϕ ta được T : M →M là ánh xạ liên tục, nên theo
giả thiết, tồn tại x0 ∈ M với T x0 = x0 . Khi đó ϕ(x0 ) là điểm bất động của T
và mệnh đề đã được chứng minh.
Tính chất của M trên đây thường được gọi là "tính chất điểm bất động (đối
với ánh xạ liên tục)". Khi đó mệnh đề trên thường được phát biểu dưới dạng
sau: "Tính chất điểm bất động là một bất biến tôpô".
Chúng ta sẽ dùng đến một khái niệm nữa. Cho một đơn hình S = co
{u0 , u1 , . . . , un }. Khi đó với mỗi điểm x ∈ S được biểu diễn duy nhất dưới dạng
n

n

xi , ui với xi ≥ 0,

x=
i=0

xi = 1. Sau đây ta sẽ viết x = (x0 , x1 , . . . , xn ) và
i=0

mỗi xi được gọi là tọa độ trọng tâm của x, nó cũng biến đổi liên tục theo x.
1.2.6 Nguyên lý điểm bất động (Brouwer). Mọi ánh xạ liên tục từ
hình cầu đơn vị đóng trong Rn vào chính nó đều có điểm bất động.
Chứng minh. Vì hình cầu đơn vị đóng trong Rn đồng phôi với một n-đơn
hình S nên ta chỉ cần chứng minh rằng ánh xạ liên tục T : S→S sẽ có điểm
bất động trong S .
Với mỗi x ∈ S ta có x = (x0 , x1 , . . . , xn ) và y = T x = (y0 , y1 , . . . , yn ). Với
mỗi i = 0, 1, . . . , n ta đặt Fi = {x ∈ S : xi ≥ yi }. Do T liên tục nên các Fi đều
đóng. Ta sẽ chứng minh các Fi thỏa mãn điều kiện (KKM ).
Lấy I ⊂ {0, 1, . . . } và x ∈co{ui : i ∈ I}, và

13


n

y = (y0 , y1 , . . . , yn ) với yi ≥ 0,

yi = 1.
i=0

Để chứng minh x ∈

Fi ta cần chứng minh tồn tại i0 ∈ I để cho x ∈ Fi0 , tức
i∈I

là xi0 ≥ yi0 . Giả sử ngược lại rằng xi < yi với mọi i ∈ I . Khi đó ta gặp mâu

thuẫn

n

1=

n

xi =
i=0

yi ≤

xi <
i∈I

i∈I

yi = 1.
i=0

Vậy điều kiện (KKM ) được thỏa mãn. Theo Bổ đề KKM, tồn tại

x∗

n

∈

Fi .

i=0

Khi đó ta có x∗i ≥ yi∗ với i = 0, 1, . . . , n, trong đó các yi∗ là tọa độ trọng tâm
của y ∗ = T x∗ .
n

Vì
x∗i

=

n

x∗i

i=0
yi∗ với

=
i=0

yi∗ = 1, các bất đẳng thức trên phải là đẳng thức, tức là

mọi i = 0, 1, . . . , n. Vậy ta có x∗ = y ∗ = T x∗ và nguyên lý đã được

chứng minh.
1.2.7 Mệnh đề. Nguyên lý điểm bất động Brouwer tương đương với Bổ
đề KKM.
Chứng minh. Chỉ cần chứng minh Bổ đề KKM từ nguyên lý điểm bất động
Brouwer. Ta sẽ dùng phản chứng.

Cho S = {u0 , u1 , . . . , un } là một đơn hình và F0 , F1 , . . . , Fn là các tập hợp
n

Fi = ∅. Khi đó với mỗi

đóng trong S thỏa mãn điều kiện (KKM ), nhưng
i=0

x ∈ S và mỗi i = 0, 1, . . . , n ta đặt αi (x) = d(x, Fi ) là khoảng cách từ x đến
n

Fi = ∅ nên với mỗi x ∈ S tồn tại i sao cho x ∈
/ Fi , tức là αi (x) > 0

Fi . Vì
i=0

do Fi đóng. Vậy ta có thể định nghĩa hàm
µi (x) =

αi (x)
n

, x ∈ S, i = 0, 1, . . . , n.

αj (x)
j=0

14

n

Các hàm µi có tính chất liên tục, 0 ≤ µi (x) ≤ 1,

µi (x) = 1 với mọi x ∈ S .
i=0

n

Với mỗi x ∈ S ta đặt T x =

µi (x)ui . Do S lồi ta có T x ∈ S , ngoài ra T liên
i=1

tục vì µi liên tục. Theo nguyên lý Brouwer, tồn tại x∗ ∈ S mà x∗ = T x∗ .
Đặt I = {i : µi (x∗ ) > 0}. Khi đó ta có
n
∗

µi (x∗ )ui =

Tx =
i=0

µi (x∗ )ui .
i∈I

Nhưng vì µi (x∗ ) > 0 khi và chỉ khi x∗ ∈
/ Fi với mọi i ∈ I nên x∗ ∈

/

Fi . Điều
i∈I

này mâu thuẫn với
x ∗ = T x∗ =

µi (x∗ )ui ∈ co{ui : i ∈ I} ⊂
i∈I

Fi
i∈I

do điều kiện (KKM ). Vậy mệnh đề đã được chứng minh.
1.2.8 Định nghĩa. Cho C là một tập hợp trong không gian véc tơ tôpô X .
Ánh xạ (đa trị) F từ C vào 2X được gọi là ánh xạ KKM nếu với mọi tập hợp
hữu hạn A trong C ta có
co(A) ⊂ F (A),
ở đây F (A) =

(KKM )

F x.
x∈A

1.2.9 Nguyên lý ánh xạ KKM (Ky Fan). Cho C là một tập hợp trong
không gian véc tơ tôpô tách X, F : C→2X là một ánh xạ KKM với giá trị
đóng. Khi đó với mọi tập hợp hữu hạn A ⊂ C ta có

F (x) = ∅.
x∈A

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại một tập
n

hợp hữu hạn {x1 , . . . , xn } trong C mà

F (xi ) = ∅. Đặt L là không gian con
i=1

tuyến tính của X sinh bởi {x1 , . . . , xn } và d là một khoảng cách trên L tương
thích với tôpô cảm sinh từ X . Ký hiệu ∆ =co{x1 , . . . , xn }.

15


Đặt G(xi ) = F (xi ) ∩ L, i = 1, 2, . . . , n. Với mỗi x ∈ ∆, đặt
αi (x) = d(x, G(xi )).
n

n

F (xi ) = ∅ nên

Vì
i=1

G(xi ) = ∅. Do đó với mỗi x ∈ ∆, tồn tại một i sao
i=1

cho x ∈
/ G(xi ), suy ra αi (x) > 0 do G(xi ) đóng. Vậy ta có thể đặt
µi (x) =

αi (x)
n

, x ∈ ∆.

αj (x)
j=1
n

Các hàm µi đều liên tục và 0 ≤ µi (x) ≤ 1,

µi (x) = 1 với mọi x ∈ ∆. Đặt
j=1

n

µi (x)ui , do ∆ lồi ta được một ánh xạ liên tục T : ∆→∆ ⊂ L với L

Tx =
j=1

hữu hạn chiều.
Theo định lý Brouwer, tồn tại x∗ ∈ ∆ mà x∗ = T x∗ . Đặt
I = {i : µi (x∗ ) > 0},

ta được
x ∗ = T x∗ =

µi (x∗ )ui ∈ co{ui : i ∈ I} ⊂
j∈I

Fj
j∈I

vì F là ánh xạ KKM.
Mặt khác, vì với mọi i ∈ I ta có αi (x∗ ) > 0 nên x∗ ∈
/

F (xj ), ta gặp mâu
j∈I

thuẫn. Vậy nguyên lý đã được chứng minh.
F (x) = ∅ với mọi A

Để ý rằng trong nguyên lý trên ta chỉ khẳng định
x∈A

hữu hạn trong C . Tính chất này thường được phát biểu là "họ {F (x) : x ∈ C}
F (x) = ∅ ta phải

có tính chất giao hữu hạn". Muốn có kết quả mạnh hơn:
x∈C

thêm một trong hai giả thiết sau:
a) C là tập hợp hữu hạn, hoặc

b) tồn tại x0 ∈ C sao cho F (x0 ) compact.
16


Khi đó chỉ việc thay mỗi F (x) bởi F (x) ∩ F (x0 ) ta được một họ tập hợp
F (x) = ∅ chỉ cần đòi hỏi tính

đóng trong một tập hợp compact. Lúc này để
x∈C

chất giao hữu hạn của họ {F (x) : x ∈ C}.
1.2.10 Mệnh đề. Nguyên lý ánh xạ KKM tương đương với nguyên lý
Brouwer.
Chứng minh. Chúng ta đã chứng minh nguyên lý ánh xạ KKM từ nguyên
lý Brouwer. Mặt khác từ nguyên lý ánh xạ KKM suy ra ngay Bổ đề KKM (với
X = Rn , C = {u0 , u4 1, . . . , un }, F (ui ) = Fi , i = 0, 1, . . . , n) còn Bổ đề KKM

thì suy ra nguyên lý Brouwer. Mệnh đề đã được chứng minh.
1.2.11 Bất đẳng thức KyFan

Một hệ quả quan trọng của nguyên lý ánh xạ KKM, được sử dụng rộng rãi
trong giải tích phi tuyến là một bất đẳng thức do Ky Fan chứng minh năm
1961.
1.2.12 Định lý (KyFan). Cho X là một không gian véc tơ tôpô tách, C
là một tập hợp lồi, compact trong X, f : C × C→R là một hàm số thỏa mãn
các điều kiện sau:
(i) f (x, y) tựa lõm theo x với mỗi y cố định;
(ii) f (x, y) nửa liên tục dưới theo y với mỗi x cố định;
(iii) f (x, x) ≤ 0 với mọi x ∈ C .
Khi đó, tồn tại y ∗ ∈ C sao cho f (x, y ∗ ) ≤ 0 với mọi x ∈ C .

Chứng minh. Kết luận của định lý (gọi là bất đẳng thức Ky Fan) được suy
ra từ nguyên lý ánh xạ KKM như sau.
Với mỗi x ∈ C đặt F (x) = {y ∈ C : f (x, y) ≤ 0}. Vì hàm f nửa liên tục
dưới theo y nên F (x) là tập hợp đóng.
17


Ta sẽ kiểm tra điều kiện (KKM ) bằng phản chứng. Giả sử tồn tại x1 , . . . , xn ∈
n

C và x ∈co{x1 , . . . , xn } mà x ∈
/

F (xi ). Khi đó
i=1

n

n

αi xi , αi ≥ 0,

x=
i=1

αi = 1.
i=1

n

Vì x ∈
/

F (xi ), i = 1, 2, . . . , n, nên theo định nghĩa của tập hợp F (xi ), ta có
i=1
n

f (xi , x) = f

xi ,

αi xi

> 0, i = 1, 2, . . . , n.

i=1

Vì f (x, y) tựa lõm theo biến thứ nhất nên tập hợp {z ∈ C : f (z, x) > 0} là lồi.
n

Tập hợp này chứa mọi xi nên cũng chứa x =

αi xi . Vậy ta có
i=1

n

n

f

αi x i ,
i=1

αi xi

= f (x, x) > 0,

i=1

trái với điều kiện (iii). Vậy F là ánh xạ KKM.
F (x) = ∅. Lấy y ∗ ∈

Vì C compact nên ta có
x∈C

F (x) ta được f (x, y ∗ ) ≤
x∈C

0 với mọi x ∈ C . Định lý đã được chứng minh.

1.2.13 Mệnh đề. Bất đẳng thức KyFan tương đương với nguyên lý
Brouwer.
Như đã thấy, bất đẳng thức Ky Fan suy từ nguyên lý ánh xạ KKM, mà
nguyên lý này lại tương đương với nguyên lý Brouwer, nên chỉ cần phải chứng
minh định lý Brouwer từ bất đẳng thức Ky Fan. Chúng ta sẽ chứng minh một
kết quả tổng quát hơn: Mọi ánh xạ liên tục từ một tập hợp lồi, compact trong
một không gian Hilbert vào chính nó đều có điểm bất động.
Vậy cho C là một tập hợp lồi, compact trong không gian Hilbert với tích vô
hướng x, y , T : C→C là một ánh xạ liên tục. Với mỗi cặp x, y ∈ C ta đặt

f (x, y) = T y − y, x − y .
18


Với mỗi y cố định, f là hàm affin theo biến y (vì T liên tục), vậy cũng nửa liên
tục dưới. Hiển nhiên f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C .
Vậy theo bất đẳng thức Ky Fan, tồn tại y ∗ ∈ C sao cho
f (x, y ∗ ) ≤ 0 với mọi x ∈ C

tức là T y ∗ − y ∗ , x − y ∗ ≤ 0 với mọi x ∈ C . Đặc biệt, nếu x = T y ∗ ta được
T y∗ − y∗

2

≤ 0, từ đây y ∗ = T y ∗ và mệnh đề đã được chứng minh.

1.3 CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ LIÊN
TỤC

Một trong những hiệu lực của bất đẳng thức Ky Fan là từ đây suy ra một
loạt định lý điểm bất động quan trọng, kể cả nguyên lý Brouwer vừa thấy ở
mục trên.
1.3.1 Định lý (KyFan). Cho C là một tập lồi, compact trong không gian
định chuẩn X, T : C→X là một ánh xạ liên tục. Khi đó tồn tại x0 ∈ C sao
cho
T x0 − x0 = min{ T x0 − x : x ∈ C}.

(1)

Chứng minh. Với x, y ∈ C , đặt

f (x, y) = T y − y − T y − x .

Vì chuẩn là hàm lồi nên với mỗi y, f (x, y) liên tục theo y . Hiển nhiên, f (x, x) = 0
với mọi x ∈ C . Theo bất đẳng thức Ky Fan, tồn tại x0 ∈ C sao cho
f (x, x0 ) ≤ 0 với mọi x ∈ C.

Từ đây ta được T x0 − x0 = min{ T x0 − x : x ∈ C}.
Định lý đã được chứng minh.
19


1.3.2 Hệ quả (Schauder) ([4]). Mọi ánh xạ liên tục từ một tập hợp lồi,
compact của một không gian định chuẩn vào chính nó đều có điểm bất động.
1.3.3. Định lý (Tikhonov). Cho C là một tập hợp lồi, compact trong
không gian lồi địa phương tách (X, P ), T : C→C là ánh xạ liên tục. Khi đó
T có điểm bất động.
Chứng minh. Vì T x = x khi và chỉ khi p(x − T x) = 0 với mọi p ∈ P nên ta
chỉ cần chứng minh tập hợp
{x ∈ C : p(x − T x) = 0} = ∅.
p∈P

Do p và T liên tục, đó là giao của một họ tập hợp đóng trong tập hợp compact
C , nên chúng ta chỉ cần chứng minh họ đó có tính chất giao hữu hạn. Vậy lấy
{p1 , p2 , . . . , pn } ⊂ P , ta cần chứng minh
n

{x ∈ C : pi (x − Tx ) = 0} = ∅,
i=1

điều này tương đương với

n

M=

x∈C:

pi (x − T x) = 0

= ∅.

i=1

Với x, y ∈ C , đặt
n

n

pi (y − T y) −

f (x, y) =
i=1

pi (x − T y).
i=1

Với mỗi y cố định, vì các pi và T đều liên tục nên f (x, y) liên tục theo y . Hiển
nhiên f (x, x) = 0 với mỗi x ∈ C .
Vậy theo bất đẳng thức Ky Fan, tồn tại y ∗ ∈ C sao cho
f (x, y ∗ ) ≤ 0, với mọi x ∈ C.

20


Điều đó chứng tỏ rằng
n

n
∗

∗

pi (x − T y ∗ ), với mọi x ∈ C.

pi (y − T y ) ≤
i=1

Đặc biệt, chọn x = T y ∗ , ta được

i=1
n

pi (y ∗ − T y ∗ ) = 0, chứng tỏ y ∗ ∈ M , tức là

i=1

M = ∅. Định lý đã được chứng minh.

21

CHƯƠNG 2

CẤU TRÚC CHUẨN TẮC. SỰ TỒN TẠI CỦA ĐIỂM
BẤT ĐỘNG CỦA LỚP ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN
2.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT

2.1.1 Định nghĩa. A là tập con của không gian Banach X , bao lồi của
n

tập A, ký hiệu co(A), là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn
n

trong đó αi ≥ 0,

αi xi ,
i=1

αi = 1, xi ∈ A, n = 0, 1, 2, . . .
i=1

2.1.2 Định nghĩa. Cho X là không gian Banach, A là tập con bị chặn,
còn B là một tập con tùy ý của X . Bán kính Chebyshev của A đối với B được
cho bởi
r(A, B) = inf{sup{ x − y : x ∈ A} : y ∈ B}.

Ở đây ta viết r(A) thay cho r(A, co(A)). Tâm Chebyshev của A đối với B được
cho bởi
Z(A, B) = {y ∈ B : sup{ x − y : x ∈ A} = r(A, B)}.

Ở đây ta viết Z(A) thay cho Z(co(A).

2.1.3 Chú ý. Chúng ta có thể nói rằng, bán kính Chebyshev r(A, B) là bán
kính của hình cầu nhỏ nhất có tâm tại một điểm thuộc B và phủ tập A, tâm
Chebyshev Z(A, B) là tập hợp tất cả các tâm của các hình cầu nhỏ nhất đó.
Tuy nhiên, giá trị nhỏ nhất trong định nghĩa không nhất thiết phải đạt được,
tập Z(A, B) có thể thể bằng rỗng. Mặt khác, nếu với mọi ε > 0 ta xét tập
Zε (A, B) = {y ∈ B : r(A, y) ≤ r(A, B) + ε}

thì Zε (A, B) là tập khác rỗng, lồi, bị chặn và đóng nếu B thỏa mãn các tính
chất tương tự. Do đó Zε (A, B) là tập lồi, khác rỗng và compact yếu nếu B cũng
22


như vậy. Từ
Zε (A, B) = Z(A, B)
ε>0

và từ giao hữu hạn suy ra rằng Z(A, B) là tập khác rỗng khi B là tập lồi và
compact yếu.
2.1.4 Định nghĩa. Tập bị chặn, lồi, đóng A của không gian Banach X
được gọi là có đường kính nếu diam(A) = r(A).
2.1.5 Định nghĩa. Tập con bị chặn, lồi, đóng A của không gian Banach X
được gọi là có đường kính nếu diam(A) = r(A). Tương đương, nếu Z(A = A.
Ta nói không gian Banach X có cấu trúc chuẩn tắc (tương ứng cấu trúc chuẩn
tắc yếu) nếu mọi tập con khác rỗng, lồi, đóng (tương ứng compact yếu) có đường
kính của X là một đơn hình.
2.1.6 Định nghĩa. Đường kính tiệm cận, bán kính và tâm của dãy {xn }
trong không gian Banach X được cho bởi
diama ({xn }) = lim sup{ xn − xm : n, m ≥ k},
k→∞

ra ({xn }, B) = inf

lim sup xn − y : y ∈ B ,

n→∞

Za ({xn }, B) = y ∈ B : lim sup xn − y = rn ({xn }), B
n→∞

ở đây B là một tập con tùy ý của X . Khi B = co({xn }) ta viết ra ({xn }) và
Za ({xn }) thay cho ra ({xn }, co({xn })) và Za ({xn }, co({xn })).

2.1.7 Định nghĩa. Giả sử X là không gian Banach có tính chất Schur,
nghĩa là, tồn tại dãy hội tụ yếu mà không là hội tụ theo chuẩn. Hệ số của dãy
hội tụ yếu của X được cho bởi

23


W CS(X) = inf

diama ({xn })
:
ra ({xn })

{xn } là dãy hội tụ yếu mà không hội tụ theo chuẩn .

2.1.8 Định lý. Giả sử X là không gian Banach với W CS(X) > 1. Khi
đó X có cấu trúc chuẩn tắc yếu.
Chứng minh. Giả sử X không có cấu trúc chuẩn tắc yếu. Do đó, nó chứa

một tập lồi, compact yếu, có đường kính A mà không là một đơn hình. Đặt
d = diam(A) > 0 và lấy ε < d là một số dương tùy ý. Chọn x1 tùy ý thuộc A.

Một cách đệ quy ta có thể xây dựng một dãy {xn } sao cho
yn − xn+1 > d −

ở đây

ε
n2

n

xi
yn =

i=1

n

.
n

Giả sử x là một điểm tùy ý trong bao lồi của {x1 , . . . , xn }, nghĩa là, x =

αj xj
j=1

n

ở đây αj ≥ 0 và

αj = 1. Nếu α = max{α1 , . . . , αn } thì
j=1

x
+
yn =
nα

n
j=1

αj
1
−
n nα

=1:

αj
1
−
≥ 0.
n nα

Ta có
ε
1
d − 2 < yn − xn+1 ≤

x − xn+1 +
n
nα
≤

n
j=1

1 αj
−
n nα

xj − xn+1

1
1
x − xn+1 + 1 −
d.
nα
nα

Do đó
x − xn+1 ≥

d
ε
− 2
nα n
24

nα = d −

εα
ε
≥d− .
n
n


Vì vậy, lim d(xn+1 , co({x1 , . . . , xn }) = d. Từ A là tập compact yếu và mọi dãy
n→∞

con của {xn } thỏa mãn điều kiện ở trên, chúng ta giả sử {xn } là hội tụ yếu.
Đặt biệt, diama ({xn }) ≤ d. Nếu X thỏa mãn tính chất Chur, {xn } là hội tụ và
ta thu được sự mâu thuẫn d = 0. Mặt khác, nếu y thuộc bao lồi của {xn } thì
y sẽ thuộc co({x1 , . . . , xk }) với k nào đấy. Nếu n > k ta có y − xn ≥ d − nε .

Do đó ra ({xn }) ≥ d. Từ diama ({xn }) ≤ d ta thu được W CS(X) ≤ 1.
2.1.9 Định nghĩa. Ta nói không gian Banach X là lồi đều, nếu với mọi
ε ∈ (0, 2] tồn tại δ > 0 sao cho với x, y ∈ X và nếu
x − y ≥ ε, x, y ∈ B(0, 1)

thì
1−

x+y
> δ.
2

2.1.10 Định nghĩa. Giả sử X là không gian Banach. Môđun của bao lồi

của X , ký hiệu là δX (ε) được cho bởi
δX (ε) = inf 1 −

x+y
: x, y ∈ B(0, 1), x − y ≥ ε .
2

2.1.11 Định nghĩa. Không gian Banach X được gọi là trơn nếu tồn tại
duy nhất f ∈ X ∗ sao cho f = 1 và f (x) = 1 với x = 1.
2.1.12 Định nghĩa. Không gian Banach X được gọi là trơn đều nếu
lim+

t→0

ρX (t)
= 0.
t

Ở đây ρX (t) là môđun trơn được cho bởi
ρX (t) = sup

1
( x + ty + x − ty ) − 1 : x ≤ 1, y ≤ t .
2

25