Các phương pháp gần đúng tính cấu trúc vùng năng lượng

Trờng đại học vinh
Khoa vật lý

khóa luận tốt nghiệp
TI
CC PHNG PHP GN NG TNH CU TRC VNG
NNG LNG
Ngành cử nhân khoa học vật lý
Chuyên ngành: vật lý chất rắn

Giáo viên hớng dẫn:
Sinh viên thực hiện:
Lớp:

Vinh - 2007

Ths. Nguyễn Viết Lan
Đinh Thị Chuyên

43E - Vật lý


Lời cảm ơn
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo hớng dẫn Ths.
Nguyễn Viết Lan, ngời đã giao đề tài, tận tình hớng dẫn và tạo
mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong thời gian nghiên cứu và
hoàn thành khoá luận.
Tôi xin chân thành cảm các thầy giáo, cô giáo khoa Vật Lý
trờng Đại Học Vinh đã tận tình giảng dạy, chỉ dẫn và đóng góp
nhiều ý kiến quý báu cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trờng.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn các bạn bè và gia đình đã giúp

đỡ, động viên và góp nhiều ý kiến cho tôi trong quá trình học
tập và hoàn thành khoá luận này.
Vinh, tháng 5 năm 2007.

Đinh Thị Chuyên


Mục lục
Trang
Mở đầu.............................................................................................................1
Chơng 1: Các trạng thái của điện tử trong vật rắn.....................................3
1.1. Gần đúng một điện tử...............................................................................3
1.1.1. Gần đúng Hartree - Fox....................................................................4
1.1.2. Nhận xét............................................................................................9
1.2. Hàm Bloch và định lý Bloch.....................................................................8
1.3. Phép gần đúng điện tử liên kết yếu........................................................10
1.3.1. Cấu trúc vùng năng lợng trong gần đúng liên kết yếu..................10
1.3.2. Nhận xét sơ đồ vùng năng lợng......................................................17
1.4. Phép gần đúng điện tử liên kết mạnh.....................................................19
1.4.1. Cấu trúc vùng năng lợng trong gần đúng điện tử liên kết mạnh...19
1.4.2. Một số nhận xét..............................................................................23
1.4.3. Một số ví dụ minh họa....................................................................25
Chơng 2: Các phơng pháp gần đúng tính vùng năng lợng.....................28
2.1. Phơng pháp sóng phẳng đã trực giao hoá...............................................28
2.2. Phơng pháp ô Wiger - Seitz....................................................................29
2.3. Phơng pháp sóng phẳng biến dạng (sóng nửa phẳng nửa cầu)..............30
Chơng 3: Tính chất của điện tử theo lý thuyết vùng................................32
3.1. Phơng pháp k . p và phơng pháp khối lợng hiệu dụng........................32
Kết luận.........................................................................................................39
Tài liệu tham khảo.......................................................................................40

Mở Đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong công cuộc cách mạng KHCN hiện nay, ngành Vật Lý Chất Rắn
đóng vai trò quan trọng. Vật lý chất rắn tạo ra những vật liệu cho các ngành
kỹ thuật mũi nhọn nh điện tử, CMT, du hành vũ trụ,năng lợng nguyên tử...Vật
lý chất rắn là môn học đã có từ lâu, nhng từ khi có lý thuyết lợng tử và các tiến
bộ của khoa học kỹ thuật mới có đợc cơ sở vững chắc và đã thu đợc những kết
quả quan trọng về mặt lý thuyết cũng nh thực nghiệm.
Việc nghiên cứu tính chất điện tử trong tinh thể là một trong những
nhiệm vụ quan trọng nhất của VLCR. Đó là vì điện tử có khối lợng bé, mang
điện tích nguyên tố âm là hạt rất linh động tham gia vào nhiều hiện tợng, quy
định nhiều tính chất của vật chất, đây cũng là một vấn đề khó vì rằng để mô tả
chính xác tính chất của điện tử trong tinh thể cần phải xét một hệ rất nhiều hạt
tơng tác với nhau (electron, nguyên tử) số lợng các hạt này rất lớn cùng bậc
với số Avôgađrô.(tức là cỡ 6.1023) khi tính toán ta phải lập và giải một hệ phơng trình rất lớn đến mức ngay cả máy tính mạnh nhất hiện nay cũng không
giải đợc. Vì vậy cần tìm cách đơn giản hoá phép tính toán bằng cách sử dụng
các phép gần đúng. Do tính chất quan trọng của các phơng pháp gần đúng khi
nghiên cứu tính chất vùng năng lợng nên tôi chọn đề tài Các phơng pháp gần
đúng - Tính cấu trúc vùng năng lợng.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu sâu hơn các phơng pháp gần đúng để đơn giản hoá các phép
tính toán. Khi nghiên cứu về cấu trúc vùng năng lợng của chất rắn: Sử dụng
các phơng pháp gần đúng tìm hiểu tính chất của điện tử trong tinh thể và từ
đó ta có thể tính đợc các vùng năng lợng cụ thể nhờ các phép gần đúng này
với mục đích cuối cùng là tìm hiểu các phơng pháp tính cấu trúc vùng năng
lợng của vật rắn.

3. Đối tợng nghiên cứu

ở đề tài này nghiên cứu các phơng pháp gần đúng: Phơng pháp gần
đúng một điện tử, phép gần đúng Hartree-Fox, phép gần đúng liên kết yếu,
phép gần đúng liên kết mạnh và sử dụng các phơng pháp sóng phẳng trực
giao, phơng pháp Ôwiger-Setz, phơng pháp sóng biến dạng để tính vùng năng

4




lợng. Nghiên cứu phơng pháp k . p và phơng pháp khối lợng hiệu dụng, sử
dụng nó để nghiên cứu các tính chất của điện tử theo lý thuyết vùng.
4. Giả thiết khoa học
Nếu đề tài nghiên cứu thành công thì việc nghiên cứu cấu trúc vùng
năng lợng của chất rắn sẽ đơn giản đi rất nhiều. Khi dùng đến các phơng pháp
gần đúng, với các phơng pháp đa ra ta có thể sử dụng một trong các phơng
pháp cụ thể để nghiên cứu đối với các chất rắn khác nhau nh kim loại, điện
môi hay bán dẫn. Quan trọng hơn nhờ các phơng pháp gần đúng này mà kết
quả của lý thuyết vùng năng lợng không dừng lại ở các dự đoán giả thiết mà
có thể tính toán đợc cụ thể các số liệu đối với các điện tử trong tinh thể vật
rắn, ta biết đợc các tính chất cụ thể của vật rắn áp dụng nó vào trong đời sống
kỹ thuật.
5. Phơng pháp nghiên cứu
Dùng các kiến thức về toán học, vật lý đại cơng, cơ học lợng tử, vật lý
chất rắn để nghiên cứu các phơng pháp gần đúng. Từ kết quả của các phép gần
đúng này ta quay trở lại tìm hiểu cấu trúc vùng năng lợng của chất rắn.
6. Cấu trúc luận văn
Cấu trúc luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận nội dung chính thức đợc trình bầy trong 3 chơng:
Chơng I:
Các trạng thái của điện tử trong vật rắn.

Chơng II:
Các phơng pháp gần đúng tính vùng năng lợng.
Chơng III:
Tính chất của điện tử theo lý thuyết vùng.
chơng 1:

các trạng thái của điện tử trong vật rắn
1.1. Gần đúng một điện tử
Trong tinh thể vật rắn, các nguyên tử cấu tạo nên tinh thể tơng tác với
nhau. Electron trong từng nguyên tử chịu tác động tơng tác giữa các nguyên tử
này những electron ở lớp ngoài chịu ảnh hởng nhiều hơn những electron ở lớp
trong. Những electron ở lớp ngoài của nguyên tử (tức là các điện tử hoá trị)
liên kết với nguyên tử yếu hơn cả nên trong tinh thể các tính chất của chúng bị
biến đổi rõ rệt so với khi chúng ở trong các nguyên tử cô lập. Vì vậy trong
nghiên cứu VLCR thờng giới hạn việc khảo sát chuyển động điện tử hoá trị
5


theo cách: coi mạng tinh thể đợc cấu tạo từ các lõi nguyên tử (gồm hạt nhân
nguyên tử và các electron của các lớp bên trong, mang điện dơng đặt ở các
nút). Đầu tiên ta giả thiết rằng các lõi nguyên tử đứng yên, với giả thiết này ta
xét chuyển động các electron trong trờng lực của các lõi nguyên tử đứng yên,
xếp đặt tuần hoàn trong mạng tinh thể, sau đó mới tiếp tục xét đến ảnh hởng
của dao động mạng lên tính chất của electron. Tuy nhiên ngay cả đối với giả
thiết trên đây bài toán vẫn còn phức tạp vì ta phải xét 10 +23e- tơng tác với
nhau. Vậy bớc đơn giản hoá tiếp theo là sử dụng phép gần đúng một electron:
theo cách này ta giả thiết rằng có thể xét chuyển động của từng electron hoá


trị riêng rẽ trong một trờng thế V( r ) nào đó, không phụ thuộc vào bản thân

electron mà ta đang xét. Trờng này đợc gây bởi tất cả các electron còn lại cùng
với tất cả các nguyên tử trong tinh thể đặc điểm quan trọng nhất của trờng này
là tính tuần hoàn của nó trong không gian: Nội dung của phép gần đúng này
là:
Gần đúng một điện tử là một phơng pháp trong đó tác động tất cả các
hạt nhân và các điện tử khác ở trong tinh thể lên điện tử đang xét đợc đặc trng
bằng tác động trung bình. Vì vậy ta chỉ cần xét trạng thái của một điện tử là
đủ để đại diện cho cho tất cả các điện tử ở trong tinh thể. Nói cách khác gần
đúng một điện tử đó là chia tinh thể thành các thành phần để xét nh sau: Tinh
thể = 1 điện tử + phần còn lại.
Sau khi đã phân chia tinh thể nh trên thì dựa vào tính chất tuần hoàn
tịnh tiến của tinh thể ta thấy thế năng mô tả tác động trung bình của tất cả các
hạt nhân và các điện tử khác lên điện tử đang xét phải thoả mãn điều kiện tuần
hoàn tịnh tiến:






(1)

V ( r + R) = V ( r )

Theo cơ học lợng tử thì bài toán tìm trạng thái của các điện tử ở trong
tinh thể lý tởng là một bài toán đợc giải một cách đơn giản bằng phơng trình
Schorđinger tức là tìm các giá trị riêng của năng lợng và các hàm sóng riêng
( r ) của các điện tử thoả mãn phơng trình:

H (r)


Trong đó:

= (K + U ) (r ) = E 0 (r )

[ 2 + V ( r ) ] ( r ) = E V ( r )
2m
2













(2)

V ( r + R ) = V ( r ) : thế năng của e trong trờng tuần hoàn.

6

( r ) : là hàm sóng của e

E: là năng lợng
Để giải phơng trình (2) tìm giá trị riêng của năng lợng và các hàm sóng





riêng ( r ) thì ta cần tìm đợc dạng biểu thức thế năng V( r ). ở đây V( r ) có




tính chất tuần hoàn với chu kỳ R . Mà để tìm V( r ) ta dùng tới phơng pháp gần
đúng Hartree - Fox.
1.1.1. Gần đúng Hartree - Fox:
Phơng trình Schodinger đối với một điện tử:
Muốn viết phơng trình Schodinger đối với một điện tử ta phải thực hiện
chuyển hệ các điện tử tơng tác với nhau thành hệ các điện tử không tơng tác.
Chúng ta hãy xét một điện tử thứ i nằm trong trờng của tất cả các điện tử khác.
Giả sử nhờ một nguồn bên ngoài nào đó chúng ta tạo đợc ở mọi thời điểm, tại
vị trí của diện tử thứ i một trờng giống nh trờng của tất cả các điện tử khác còn
lại tạo nên. Chúng ta ký hiệu thế năng của điện tử thứ i ở trong trờng đó là i

. Rõ ràng i chỉ phụ thuộc vào toạ độ nguyên tử thứ i; i = i (ri ) . Trờng thế
đợc tạo nên nh vậy đợc gọi là trờng tự hợp, cho phép ta có thể biểu diễn năng


lợng tơng tác từng cặp của tất cả các điện tử dới dạng một tổng của các i (ri ) :


(r )
i

i

i

Giả sử ta có thể tìm đợc trờng tự hợp nh trên thì ta có thể viết:


He = (
i



2
i ) + i (ri ) + ( U i ) = H
2m
i
i

i

Trong đó:
2


H i = - 2m i + i (ri ) + U i (ri )







i (r ) : là thế năng của điện tử thứ i trong trờng của các điện tử còn lại.
i

U i (r ) : là thế năng của điện tử thứ i
i


Với Hamiltonian có dạng một tổng ta có thể tìm hàm sóng của hệ điện
tử dới dạng một tích:

7

e ( r 1 , r 2 ,...) = ( i ( r i ))
i

Với Ee = Ei
i

Trong đó:


(2.1)

H i i = E i i


Để tìm dạng của i (ri ) chúng ta viết phơng trình Schodinger của hệ
điện tử dới hai dạng:
(1)


2
1
(


)

+
U

+
U
(
r
=
[
i 2m i e 2
i i i ) e ] = Ee e
ij e
He e
i j

(2)

H e e = [ (





i

(2.2)



2
i ) e + i (ri ) e + U i (ri ) e ] = E e e (2.3)
2m
i

i


Từ hai phơng trình này ta có thể xác định đợc i (ri ) nhng chúng ta
không thể viết:
1

i (r ) = U ij
i
2 i j


Bởi vì i (ri ) chỉ phụ thuộc vào toạ độ của điện tử thứ i trong khi đó
1
U ij
2 i j



phụ thuộc vào toạ độ của tất cả các điện tử. Để tìm i (ri ) chúng ta

nhân 2 phơng trình (2.2) và (2.3) với e * từ bên trái và tích phân theo toạ độ
của tất cả các điện tử rồi trừ 2 phơng trình cho nhau ta có:

1
e * [ U ij ] e d e - e * [ j (ri )] e d e = 0

2
i j
i

e * [ j (ri )] e d e = e * [

hay

i

i

1
U ij ] e d e
2 i j

ở đây: d kí hiệu phần tử có thể tích dxdydz = d




thay e (r1 , r2 ,...) = i (ri ) : d = d 1 , d 1 , ta có:
i

1 (r1 )...[ i (ri )] 1 (r1 )...d 1d 2 ... = i (ri )[ i (ri )] i (ri )d i
*

*

i

i

=

1
2









1* (ri )...[U ij (ri r j )] 1 (r1 )...d 1d 2 ...
i j

8

i

*
1





j (ri ) i (ri )d i = i [
*

i





1
*

(
r
)
U
(
r

r
)

(
r

j
j
ij i
j
j
j ) d j ] j d j
2 i j

So sánh 2 vế rút ra:
1
i (r ) =
i
2




j (r j )

2

i j

e2




4 0 ri r j

d j

(2.4)

Thay (2.4) và (2.1) ở trên ta đợc phơng trình mang tên Hartree:


2
2 e d

1


j
2


(
r
)
(r ) + U (r , R , R , ...) (r ) = E

i (ri ) + i j

i i
i
i
1
2
i
i
i i
2 i j
2m
4 0 rij


(2.5)




Nh vậy muốn tìm i (ri ) ta phải biết tất cả các hàm sóng j (r j ) . Nhng




để tìm đợc j (r j ) ta lại phải biết tất cả i (ri ) . Để giải bài toán này ta phải
tính gần đúng bằng phơng pháp lặp. Đầu tiên ta lấy gần đúng các hàm bậc




(0)

(0 ) j (r j ) rồi tính i (ri ) .




Theo (2.4) thay kết quả ( 0) i (ri ) vào (2.5) ta tính (1) j (r j ) rồi nhờ kết


quả này ta tính (1) i (ri ) .Quá trình đó đợc lặp lại cho đến khi gần đúng thứ
(n+1) trùng với gần đúng thứ n trong giới hạn sai số cho trớc.
1.1.2. Nhận xét:
Phơng trình Hartree có một nhợc điểm lớn là không tính đến nguyên lý
Pauli, nguyên lí Pauli đòi hỏi hàm sóng của điện tử là phản đối xứng đối với
quá trình hoán vị khi tính đến các toạ độ và hình chiếu Spin của điện tử. Tính
dến nguyên lý Pauli hàm sóng điện tử phải biểu diễn dới dạng định thức
Slater:




e ( q1 , q 2 ,..) =

1

1 (q1 ) 1 (q 2 ) ...

2 (q1 ) 2 (q 2 ) ...
N!
...
...
...

Trong đó:
N: là số điện tử


qi : ký hiệu bộ bốn biến số xi, yi, zi, sz (sz là biến số Spin)

9






Hàm sóng e (q1 , q 2 ,..) đáp ứng điều kiện phản đối xứng:
e (...qi ...q k ) = e (...q k ...qi )

và

e d qe = 1

*
e

Phơng trình Hartree-Fox nhận đợc là phức tạp hơn. Dùng phơng trình
hàm sóng dới dạng định thức Staler ta có thể tìm đợc biểu thức năng lợng E i:






2
i + U i (ri , R1 , R2 ,...) ] e ( q1 , q 2 ,..) d qe +
2m



E i = *e (q1 , q2 ,..) [
+

1
8 0





* e (q1 , q 2 ,..)

i j


e2
e (q1 , q 2 ,..)d
qe
rij

(2.6)

Trong đó:
d : Phần tử thể tích cơ bản, trong đó có một biến số là Spin của điện tử.
qe

Theo (2.6) có thêm thành phần năng lợng trao đổi không có trong phơng trình Hartree.
Phơng trình Hartree-Fox trên thực tế cũng không thể giải đợc, nó cũng
chỉ có thể giải gần đúng theo phơng pháp lặp đã nói ở trên. Căn cứ vào cách
chọn các hàm sóng bậc 0 mà ta có các phơng pháp gần đúng khác nhau. Nếu
hàm sóng bậc 0 là trạng thái tự do của điện tử thì đó là gần đúng liên kết yếu,
nó thích hợp với các bài toán kim loại. Nếu trạng thái bậc 0 là hàm sóng của
điện tử trong các nguyên tử cô lập thì ta có phơng pháp gần đúng liên kết
mạnh: Phơng pháp này giải thích đợc nhiều tính chất của bán dẫn.
1.2. Hàm Bloch và định lý Bloch


Trong phép gần đúng một điện tử thì thế năng V( r ) có tính chất tuần


hoàn tịnh tiến với chu kỳ mạng R .

V ( r + R) = V ( r )

Và ta có thể chứng minh đợc ( r ) có tính chất sau đây

( r + R
)=



ik r

e

( r )

Từ đây ta có thể suy ra rằng:






( r ) = Uk (r ) e
10

ik r

(3)










U k ( r ) = C ( K + G )e i k G

Đặt

G



Vì uk( r ) là một chuỗi Furiê theo véctơ mạng đảo vì vậy nó bất biến


đối với phép tịnh tiến véctơ mạng R .Thật vậy ta có thể biểu diễn:

U k ( r + R) = C ( K + G )e i G ( r + R ) = C ( K + G )e i G r e i G R
G

G


vì G
là véctơ mạng đảo nên

Do đó

ik r

e




= 1.




U k ( r + R ) = C ( K + G )e i G r = U k ( r )

(4)

G

Hàm sóng (3) thoã mãn điều kiện (4) gọi là hàm Bloch
Định lý Bloch: Các hàm riêng của phơng trình sóng với thế năng tuần
hoàn là hàm Bloch có dạng tích của hàm sóng phẳng



ik r

e

với hàm U k ( r ) là

một hàm tuần hoàn trong mạng tinh thể.
ý nghĩa của hàm Bloch: Hàm Bloch là dạng chung của hàm sóng của
điện tử trong tinh thể gần đúng một điện tử là hệ quả trực tiếp của tính tuần
hoàn của tinh thể. Do đó dù phơng pháp nào để giải bài toán một điện tử thì
lời giải bao giờ cũng phải có dạng hàm Bloch.
Xác suất tìm thấy điện tử tại một vị trí nào đó trong tinh thể (theo cơ
học lợng tử) đợc xác định:
= ( x)

2



= ( x ) = U k ( r ) 2



U k ( r ) là hàm tuần hoàn với chu kỳ tuần hoàn của mạng tinh thể.Điện tử

có cùng xác suất nằm tại vị trí tơng đơng nhau trong tinh thể nghĩa là các điện
tử không định xứ tại một nút trong mạng cụ thể nào mà thuộc về toàn bộ tinh
thể.

Khái niệm véctơ sóng của điện tử ( k ) sao cho ( r + R
)=

ik r

e

( r )


cho thấy rằng k quyết định hai hàm sóng ( r ) và ( r + R
) lệch pha nhau

bao nhiêu, tức là nó biểu diễn trạng thái của điện tử trong tinh thể, véc tơ sóng ( k

11


) gọi là véctơ sóng của điện tử, về mặt vật lý nó có đầy đủ tính chất nh véctơ sóng


của phonon q , là tính đảo, tính thực, tính tuần hoàn và tính gián đoạn.
1.3. Phép gần đúng điện tử liên kết yếu
1.3.1. Vùng năng lợng trong gần đúng điện tử liên kết yếu:
Ta khảo sát chuyển động của điện tử trong trờng tuần hoàn yếu. Tức là,


coi V ( r ) là một nhiễu loạn và áp dụng bài toán nhiễu loạn trong cơ học lợng tử
để gải bài toán này và tìm biểu thức năng lợng E .
Do thế năng của điện tử trong tinh thể là nhỏ nên trạng thái của điện tử
trong tinh thể gần giống với trạng thái của điện tử tự do. Ta có thể coi trạng

thái của điện tử tự do không bị nhiễu loạn, thì trạng thái của điện tử trong tinh
thể sẽ bị nhiễu loạn.
- Trạng thái của điện tử tự do, nghĩa là khi này cha bị nhiễu loạn đợc
xác định bởi phơng trình Schroedinger:






H o 0 ( r ) = E 0 0 ( r )

(2.2)

2 2
=

H
2m
Nghiệm của (2.2) có dạng:
0

Trong đó



(2.3)

0 ( r ) = A ei k r
E 0k =

2
2k 2
= p
2m
2m

- Đối với điện tử không tự do chuyển động trong trờng tuần hoàn yếu
tuân theo phơng trình Schroedinger:





H (r) = E (r)

(




2 2
+ V ( r ) ) ( r ) = E ( r )
2m


(2.4)

Trong đó H = H 0 + V ( r ) với V ( r ) là một nhiễu loạn.




Hàm V ( r ) chỉ phụ thuộc r . Vì vậy toán tử p = -i sẽ không giao


hoán với toán tử Haminton, nghĩa là [ p , H ] 0. Nh vậy xung lợng của điện
12


tử không đợc bảo toàn. Trạng thái của điện tử không thể biểu diễn dới dạng


hàm sóng phẳng k ( r ) = A e i k r . Mà hàm sóng của điện tử trong tinh thể là
chồng chất của nhiều sóng phẳng ứng với vectơ sóng k khác nhau.
Do vectơ k biến thiên liên tục nên ta có thể biểu diễn:






ik r
k ( r ) = C ( k )e d k

(2.5)

k

Trong đó C (k ) là hệ số phân tích của hàm sóng k ( r ) và tích phân đợc
thực hiện trong không gian k .

Điều kiện tuần hoàn V ( r + R
) = V( r ) của thế năng V( r ) quyết định các

tính chất của hàm sóng và phổ năng lợng của điện tử. Thế năng V( r ) tuần hoàn
trong không gian mạng thuận nên ta có thể phân tích nó thành chuỗi Fourier:


V( r ) = VG e i G r
G


(2.6)

Với VG là hệ số phân tích. Và do tính chất tuần hoàn của thế năng nên


ta có thể viết:

V

G

G

ei G r =

V
G





G

ei G( r + R)


Đẳng thức này thoả mãn nếu với mọi R
, ta có:


ei G R = 1

Hay

(2.7)

G R = 2n

(n Z)

(2.8)



G : Là véctơ mạng đảo.

Ta thay biểu thức của k ( r ) ở (2.5) và V( r ) vào phơng trình
Schroedinger (2.4) ta đợc:







2 2
ik r
ik r
eiG r
+ V e
C
(
k
)
d

k
C
(
k
)
d
=
E


e
e k
G
G
2m
k
k

với





ik r
2 2
h2
C
(
k

)
d
k
=


e

2m
2m
k

Thế (2.10) vào (2.9) ta đợc:
13



2
k C(k ) e


k



ik r



dk

(2.9)

(2.10)


→

2
2m

2
∫ k C (k ) e

→→

ik r

→

dk+

→→

∑V→eeiG r
G

G

→

k

∫k

2

→

C(k )

→

k

k

→ →

→→

e

→ →

→

→

→→

ik r

→

(2.11)

dk

råi lÊy tÝch ph©n theo →r ta ®îc:

→

→

dk dr

→

i ( k − k 1) r

∫e

→

k

→

+

∑V→ ∫C ( k )
G

r

→

→

d k = E ∫ C (k ) e
→

→

E ∫→ C ( k )

=

→

ik r

i ( k − k 1) r

∫e

→→

ik r

k

Nh©n biÓu thøc (2.11) víi
2
2m

→

∫ C(k ) e

G

→

k

→ → →

→

i ( k + G − k 1) r

∫e

→

→

dk dr

=

→

r

→

(2.12)

dk dr

→

r

Theo tÝnh chÊt cña hµm δ §irs¾c th×:
→

→

→ →

i ( k −k ) r
∫ e 1 d r = 8πδ( →k - →k 1)

(2.13)

k

→

→

→

Víi δ( k - k 1) lµ hµm Denta §ir¾c øng víi ®èi sè vect¬ k 1. Hµm δ cã
tÝnh chÊt sau:
→

→

→

→

∫ f ( k )δ ( k − k )d k
1

k

= f( →k )

(2.14)

Ta sö dông (2.13) vµ (2.14) khi ®ã:


2

2m

→

→

→
 2 8π3 2
k 1C ( k1 )
2m

=

→



→ →

→ →

2
2
i( k − k )
2
∫→ k C ( k ) ∫→ e 1 d kd r =  8π3 ∫→ k C ( k ) δ (→k − k→1 )d →k =
2m
k
r
k

∑V→ ∫C ( k )
G

G

(2.15)

→ → →

→

i ( k + G − k 1) r

∫e

→

k

→

V→ ∫C ( k ) → → → → =
δ ( k − ( k1 − G )d k
G →
d k d r = 8π ∑
G
→

→

3

k

→

r

V C(
8π3 ∑
k1 − G )
G
G

=

→

→

 E ∫→C ( k )

→

→ → →

→

→

i ( k + G − k 1) r

∫e

k

(2.16)

→

→

→

3
d k d r = E8π C( k 1 )

(2.17)

→

r

KÕt hîp (2.15); (2.16) vµ (2.17) khi ®ã (2.12) ®îc viÕt l¹i lµ:
→

2
(  k − E )C( →k ) +

2m

∑V
G

→

G

→

→

C( k − G ) = 0
1

14

(2.18)










k 1 là một giá trị nào đó của k . Để tổng quát ta thay k 1 = k , khi đó

(2.18) đợc viết:


2
( k E )C( k ) +
2m

V
G



G





(2.19)

C( k G ) = 0

Biểu thức (2.19) là một hệ phơng trình gồm N phơng trình (vì k có thể
có N giá trị độc lập) cố dạng giống hệt nhau, mỗi phơng trình liên kết một hệ

số khai triển Fourier C( k ) với một số vô tận các hệ số Fourier C( k - G
) khác.

Biểu thức (2.19) cho ta xác định hệ số C( k ), hàm sóng (r ) đợc biểu

diễn trong hệ toạ độ Đềcác thông thờng. Nếu biết đợc tất cả các hệ số C( k ) ta
có thể xác định đợc hàm sóng (r ) . Nghĩa là biết đợc trạng thái của điện tử
trong tinh thể.
Để tìm C( k ) trong trờng hợp chung của bài toán là việc khó khăn. Do


đó ta tìm lời giải ở gần đúng bậc 0 cho ( r ) .




V C ( k G)


Ta viết lại (2.19) dới dạng: C( k ) =

G

G



2 k
E
2m

(2.19)

Nh vậy k phải bằng bao nhiêu? Để C( k ) là lớn, dễ dàng hiểu rằng khi
mẫu số gần bằng 0. Điều đó sẽ có khi:

- Điện tử chuyển động với véctơ sóng k 1 nào đó đảm bảo cho năng lợng của nó gần bằng năng lợng của điện tử chuyển động tự do cũng với véctơ
sóng k 1 :
E(k1)

2 k 21
2m

(E0(k1))


- Với k = k 1 nếu nh điện tử bị phản xạ Bragg bởi một véctơ G
nào
1

2
đó của mạng đảo (2 k G
-G
= 0) khi đó:
1
1






2 2
2 (k1 G ) 2 = 2 (k 21 2 k1 G + G12 ) = k 1
2m
2m

2m

15


Điều nói trên đây có nghĩa là trong trờng hợp k 1 bị phản xạ Bragg thì





ngoài C( k1 ) là lớn thì C( k1 - G
) cũng lớn.
1

Nh vậy ta có thể nói rằng trong gần đúng một điện tử, nếu tìm lời giải


về hàm sóng ( r ) của điện tử chuyển động trong mạng tinh thể dới dạng khai
triển Fourier theo tất cả giá trị có thể có của k thì ở gần đúng bậc 0:
- Trong tất cả các giá trị có thể có của véctơ k chỉ cần xét một véctơ



k 1 , mà ở đó điện tử chuyển động gần tự do nếu k 1 không bị phản xạ Bragg bởi

mạng tinh thể. Tức là chỉ cần chọn:

( r ) = C( k1 )

(2.20)

ik r

e

Trong đó điều kiện để xác định k 1 là:
2 2
E( k 1 ) = k 1

(2.21)

2m

- Chỉ cần xét véctơ sóng k 1 mà ở đó điện tử chuyển động gần tự do và



véctơ sóng phản xạ k ' 1 = k 1 - G
, nếu k 1 bị mạng phản xạ Bragg thông qua
1

véctơ mạng đảo G
. Tức là chỉ cần chọn:
1

( r ) = C( k1 )

ik r

e










C( k1 - G
) i ( k G ) r
1 e
1

(2.22)

2 2
Trong đó điều kịên để xác định k 1 là: E( k 1 ) = k 1
2m

Còn điều kiện để xác định G
là: k 1 - k ' 1 = G
hay 2 k 1 G
- 2=0
1
1
1 G1

Để thấy rõ sẽ xuất hiện của vùng cấm, ta đi xác định cụ thể hơn k 1 bị
phản xạ Bragg bởi mạng tinh thể. Khi này hệ phơng trình (2.19) chỉ còn lại hai




phơng trình tơng ứng với C( k1 ) và C( k ' 1 ) với k ' 1 là sóng phản xạ của k 1 :










[ E (k1 ) E 0 (k1 )]C ( k1 ) V C (k1 G1 ) = 0
G1

[ E (k '1 ) E 0 (k '1 )]C (k '1 ) V C (k '1 G '1 )
G '1

16

(2.23)
(2.24)




Trong đó G
đáp ứng điều kiện phản xạ Bragg đối với k 1 và G
đáp ứng
1
1

điều kiện này với k 1 . Vói nhận xét:

k 1 - G 1 = k ' 1 C( k 1 - G 1 ) = C( k ' 1 )



E( k 1 ) = E( k ' 1 )



G ' 1 = - G1



V

G1

= V * (Do V là một đại lợng thực)
G1
r

Hệ phơng trình (2.23) và (2.24) trở thành:








(2.25)

[ E 0 (k1 ) E (k1 )]C (k1 ) V C (k '1 ) = 0
G1





*

(2.26)

V C ( k1 )+ [ E 0 (k '1 ) E (k '1 )]C (k '1 ) = 0
G '1

Hệ phơng trình (2.25) và (2.26) chỉ có lời giải khác không nếu định
thức của nó bằng không, nghĩa là:




E 0 ( k1 ) E ( k1 )
V

V

'
1

*

*

G1

=0

E 0 ( k ) E (k '1 )

G1






'
1

2


'
1

[ E ( k ) E (k ) ][ E (k ) E (k ) ] - V
1
1
0

0

=0

G1

Hay là:

2



E (k1 ) - [ E (k1 ) + E (k1 G1 ) ] E ( k1 ) + E (k1 ) E ( k1 G1 ) - V
2

0

0

0

0

(2.27)

=0

G1

Giải phơng trình (2.27), ta tìm đợc nghiệm:
1
1



E ( k1 ) = 2 [ E 0 (k1 ) + E 0 (k1 G1 ) ] 2








2



(2.28)

E 0 (k1 ) + E 0 (k1 G1 ) + 4 V

G1

1



Để đơn giản ta xét hệ một chiều tại biên vùng Brillouin k 1 = G cả hai
2
1



1



hàm sóng không nhiễu loạn ứng với một năng lợng: E 0 ( G ) = E 0 (- G )
2
2

Dễ dàng thấy rằng: E 0 ( k 1 ) = E 0 ( k 1 - G
) khi đó (2.28) trở thành:
1

17




0
E ( k1 ) = E ( k 1 ) VG1

(2.29)


Nh vậy khi điện tử bị G
phản xạ Bragg thì có hai giá trị năng lợng E +(
1






k 1 ) và E ( k 1 ) tơng ứng với một giá trị của k 1 , hai giá trị này cách nhau một

khoảng là:








E + (k1 ) E (k1 ) = E (k1 ) = 2 V (G1 )

(2.30)

Từ đây ta suy ra rằng khi giá trị k 1 đáp ứng điều kiện phản xạ Bragg thì

lúc đó xuất hiện vùng năng lợng cấm với độ rộng E (k1 ) = 2 V (G1 )


Bây giờ ta thay giá trị (2.30) vào hệ (2.25) và (2.26) ta sẽ tìm đợc: C( k1 )


= C( k ' 1 ) và theo (2.22) tìm đợc hàm sóng trong trờng hợp điện tử bị phản









i ( k G ) r
]
( r ) = C( k1 ) [ ei k r e

xạ Bragg có dạng nh sau:



1

(2.31)

1.3.2. Nhận xét sơ đồ vùng năng lợng
1.3.2.1. Tính tuần hoàn của vùng năng lợng
Ta xét năng lợng E là một hàm của k , E = E( k ). Khi đó nếu xét k theo


các hớng khác nhau thì k



tăng từ 0 . Ta thấy mỗi lần k đạt đến biên

vùng Brillouin thì hàm E( k ) lại một lần bị gián đoạn nh vậy ta thấy vùng năng
lợng có cấu trúc tuần hoàn trong không gian k :
- Các giá trị k nằm trong vùng Brillouin ứng với giá trị của hàm số E
nằm trong vùng đợc phép.
- Các giá trị k nằm ở biên vùng Brillouin tơng ứng với các giá trị của
hàm số E nằm trong một vùng năng lợng cấm.
1.3.2.2. Các cách biểu diễn vùng năng lợng
18


a. Sơ đồ vùng năng lợng mở rộng
Đây là trờng hợp khi xét hàm số E = E( k ) với k nằm trong toàn bộ


không gian đảo, xét k thay đổi từ - + .
b. Sơ đồ vùng năng lợng rút gọn
Nh ta đã biết, tập hợp tất cả các vectơ sóng k nằm trong vùng Brillouin
thứ nhất (với các điểm đầu k nằm ở tâm vùng Brillouin) là đủ đại diện cho
toàn thể k có giá trị độc lập. Do đó xét bức tranh E=E( k ) với k nằm trong

vùng Brillouin thứ nhất ta đợc sơ đồ rút gọn.
c. Sơ đồ vùng năng lợng tuần hoàn:
Một vùng năng lợng nào đó lặp lại tuần hoàn trong tất cả các vùng
Brillouin thứ nhất, thứ hai, , nghĩa là trong toàn bộ không gian đảo:

Hình 8: Sơ đồ cấu trúc vùng năng lợng
1.3.2.3. Sự phụ thuộc vào hớng của bức tranh vùng năng lợng
Nếu xét điện tử chuyển động theo các hớng khác nhau trong tinh thể thì
ta thấy bức tranh vùng năng lợng là một bức tranh phụ thuộc mạnh vào hớng.

19




Nếu xét một hớng k nhất định nào đó, khi k đạt giá trị đủ lớn để sao

cho G
của mạng đảo thỏa mãn định luật Bragg thì năng lợng ngắt quãng một


đoạn 2 V ,với các hớng k khác nhau các véctơ G
thoả mãn điều kiện phản
G


1

xạ Bragg đối với chúng sẽ khác nhau và nh vậy VG sẽ khác nhau dẫn đến độ

rộng vùng cấm ở các hớng khác nhau là khác nhau. Nh vậy độ rộng vùng cấm
phụ thuộc mạnh vào hớng. Theo các hớng khác nhau sẽ có sự chồng lấn lên
nhau (sự phủ) của các vùng năng lợng.
Chẳng hạn: Xét trong sơ đồ vùng năng lợng khai triển thì ở mỗi điểm
trên vùng biên vùng Brillouin năng lợng ở vùng ngoài thì luôn lớn hơn năng lợng ở vùng trong. Tuy nhiên nếu xét trong trờng hợp hai chiều, ba chiều, có
thể xảy ra trên (h.9): năng lợng thấp nhất ở vùng ngoài theo hớng k 1 thấp hơn
mức năng lợng cao nhất ở vùng trong theo hớng k 2 . Nh vậy xét chung cho
tinh thể thì giữa vùng đợc phép ở dới và vùng đợc phép ở trên thì không có
vùng cấm ngăn cách. Bởi vì các vùng đợc phép theo các hớng khác nhau k là
phủ lên nhau.

1.4. Phép gần đúng điện tử liên kết mạnh
1.4.1. Cấu trúc vùng năng lợng trong gần đúng điện tử liên kết mạnh
Trong phép gần đúng điện tử gần tự do, hàm sóng đợc chọn là hàm sóng
của điện tử tự do, sau đó ta bổ chính cho nó bằng cách coi trờng tinh thể tuần
20




hoàn V ( r ) mà điện tử chuyển động là một nhiễu loạn nhỏ tác động lên chuyển
động tự do của điện tử. Ngoài ra ta dùng thủ thuật dể giải bài toán tại biên
vùng Brillouin. Khi mà nhiễu loạn trên đây không thể coi là nhỏ đợc nữa.
Nh vậy gần đúng điện tử gần tự do chỉ áp dụng đợc khi động năng của


điện tử lớn hơn nhiều so với sự biến thiên trong không gian của thế năng V ( r ) .
Nhng bình thờng thì điện tử trong tinh thể chỉ có động năng cùng bậc sự biến

thiên trong không gian của thế năng V ( r ) do đó ta không thể áp dụng gần
đúng điện tử gần tự do.
Vì vậy bây giờ ta phải tiếp cận vấn đề từ một hớng khác. Chọn hàm
sóng ban đầu là các hàm sóng riêng của điện tử nằm trong các năng lợng riêng
biệt, nếu ta đa các nguyên tử này tiến lại gần nhau để tạo thành tinh thể thì các
nguyên tử cũng chỉ tơng tác yếu với nhau và do đó các điện tử cũng liên kết
chặt với các nguyên tử mẹ của chúng làm cho các hàm sóng nguyên tử chỉ
thay đổi chút ít (tức là chỉ bị nhiễm loạn nhỏ).
Sự xích lại gần nhau của các nguyên tử để tạo thành tinh thể thì sẽ xảy
ra hiện tợng chồng lấn của các hàm sóng tức là làm cho chúng không còn trực
giao đợc nữa. Do đó điều kiện tơng tác yếu giữa các nguyên tử có nghĩa là các
hàm sóng của các điện tử trong phép gần đúng điện tử liên kết mạnh gần nh
trực giao nhau. Với cách đặt vấn đề nh trên hiển nhiên ta thấy là gần đúng liên
kết chặt sẽ càng đúng nếu nh điện tử nằm sâu trong nguyên tử và nói chung sẽ
không áp dụng đợc với điện tử hoá trị.
+ Nhợc điểm của phơng pháp này là cách chọn các hàm sóng ban đầu là
các hàm sóng nguyên tử là mỗi một nút mạng bao giờ cũng phải gắn liền với
một số điện tử nhất định nào đó làm cho ở đây rất khó xét các trạng thái phân
cực tức là một nút mạng nào đó xuất hiện điện tử d thừa và tơng ứng với nó
ở một nút mạng khác lại thiếu hụt điện tử do đó rất khó xét dòng điện chạy
qua tinh thể, để khắc phục tình trạng này ta phải xét cả nút mạng bình thờng
và cần xét thêm cả các nút mạng không bình thờng tuy nhiên cách làm này
rất phức tạp.
Bây giờ ta sử dụng phép gần đúng điện tử liên kết mạnh để minh hoạ
các trạng thái năng lợng của các điện tử trong tinh thể.
Giả sử một trạng thái nào đó của điện tử trong nguyên tử riêng biệt đợc


mô tả hàm sóng 0 ( r ) hàm sóng này thoả mãn phơng trình Schodinger:

21


2

[ 2 + V0 ( r ) ] 0 ( r ) = E 0 0 ( r )






2m

Trong đó: V0( r ) là trờng thế năng trong nguyên tử, E 0 là năng lợng
riêng của điện tử nằm trong trạng thái 0 (r ) đã đợc chuẩn hoá * 0 d = 1
Nếu tinh thể đợc cấu tạo từ các nguyên tử hoàn toàn không tơng tác
với nhau thì ở gần nút mạng thứ n điện tử trong nguyên tử riêng biệt đợc mô





tả bằng hàm sóng 0 (r Rn ) trong đó r là toạ độ của điện tử đang xét và R
là
n
toạ độ nguyên tử mẹ của nguyên tử này.
Trong tinh thể lí tởng tất cả N nút mạng của tinh thể là hoàn toàn tơng
đơng nhau, do đó trạng thái của điện tử với năng lợng E 0 là suy biến N lần
(nếu không tính đến thời Spin). Nếu ta xét đến sự tơng tác giữa các nguyên tử

với nhau thì các hàm sóng của các điện tử phủ lên nhau khi này mức năng lợng E 0 sẽ tách thành vùng năng lợng và sự suy biến sẽ biến mất.
Hàm sóng của điện tử trong gần đúng đầu tiên có thể coi là tổ hợp tuyến
tính của các hàm sóng nguyên tử.


(r) =

c
n

n



0



( r Rn ) 0

(3.2)

Trong đó tổng theo n là lấy theo toàn bộ N nguyên tử của tinh thể. Nếu
đòi hỏi ( r ) nh là hàm sóng của điện tử chuyển động trong tinh thể tuần
hoàn, phải có dạng của hàm Bloch, thì có thể dễ dàng tính toán Cn có dạng:




Cn = ei k R tức là ( r ) =

n

e



i k Rn

n





0 ( r Rn )

(3.3)

Thật vậy, với Cn có dạng nh trên ta có:








i k Rn
( r + R j ) = e 0 ( r + R j Rn )

(3.4)

n



Nhân thêm ở vế phải (3.4) với e i k ( R




(r + R j ) =
=
=



e

ik Rj

e

ik Rj

e

j

R j )





, khi đó:





e i k R n 0 ( r + R j R n ) e





n



i k ( R n R j )

0 ( r + R j Rn )

n










i k Rm

e 0 ( r Rm ) = e i k R j ( r )

m

22



i k ( R j Rj )

Đây chính là điều kiện để ( r ) có dạng của hàm Bloch. Coi ( r ) với
dạng trên chính là hàm sóng của điện tử chuyển động trong tinh thể. Nghĩa là


( r ) đáp ứng phơng trình Schodinger viết cho gần đúng một điện tử.

2 2




+
V
(
r ) ( r ) = E ( r )

2m


(3.5)



Nhân 2 vế (3.5) với * ( r ) ta có:

2 2

+
V
(
r ) ( r ) * ( r ) = E ( r ) * ( r )

2m


Lấy tích phân theo toàn bộ thể tích tinh thể ta có:







2 2
( r )
+ V ( r ) ( r )d =E * ( r ) ( r )d

2m

*



2 2

(
r
)


+
V
(
r
)

(

r )d

2m


E=


*
( r ) ( r )d
*

Nếu đặt

V ( r R n ) = V0 ( r R n ) + V ' ( r R n )

Trong đó:

V0 ( r Rn ) là thế năng của nguyên tử

V ' ( r Rn ) là phần hiệu đỉnh

Khi đó:
E = E0 +

e
m

i k ( Rn Rm )

n

e
m

'
0 ( r Rm )V ( r Rn ) 0 ( r Rn )d
*





i k ( Rn Rm )

n



*
0









( r Rm ) 0 ( r Rn )d

(3.6)

Do sự tơng đơng của tất cả các nút mạng cả tử số và mẫu số trong công
thức trên không phụ thuộc vào m và n, mà chỉ phụ thuộc vào vị trí tơng đối
của các nút mạng. Do đó ta có thể đặt Rm = 0 khi đó:
E = E0 +

e
m



i k Rn

n

e
m

n

'
0 ( r )V ( r Rn ) 0 ( r Rn )d
*



i k Rn



*
0







( r ) 0 ( r Rn )d

(3.7)

Để đơn giản bài toán, khi tính mẫu số của công thức trên đây ta có thể
giả thiết rằng hoàn toàn không có sự chồng lấn của các hàm sóng nguyên tử,
tức là chúng trực giao nhau hay là:
23

*
0 ( r ) 0 ( r Rn )d = on

Do đó:








ei k Rn 0 ( r ) 0 ( r Rn )d = 1
m

*

n

Chính điều này làm cho bài toán đơn giản hơn nhiều.
Để dễ dàng cho việc tính toán ta có thể tách tích phân ở tử số thành hai
thành phần tơng ứng với Rn = 0 và Rn 0.
+ Với Rn = 0 ta có:

(3.8)

*
'
0 ( r )V ( r ) 0 ( r )d = -C< 0

+ Với Rn 0 ta có:










*
'
0 ( r )V ( r Rn ) 0 ( r Rn )d = n

(3.9)

Theo công thức này tích phân chỉ khác 0 khi có sự chồng lấn nào đó

0 ( r ) và 0 ( r Rn ) , do đó:


E = E 0 C n e i k R n

(3.10)

n

Trong đó:










C = 0 * ( r )V ' ( r ) 0 ( r )d

n = 0 * ( r )V ' ( r Rn ) 0 ( r Rn )d
đây là công thức quan trọng nhất của lý thuyết vùng năng lợng trong
phép gần đúng liên kết mạnh
với n gọi là tích phân chồng lấn.
1.4.2. Một số nhận xét
Từ công thức (3.9) ta có một số nhận xét:
1) Một mức năng lợng biến thành một vùng năng lợng
Từ công thức (3.9) cho thấy rõ rằng khi xét vấn đề từ quan điểm tinh thể
đợc tạo nên từ các nguyên tử riêng biệt, một mức năng lợng E 0 của điện tử
trong nguyên tử riêng biệt do kết quả của sự tơng tác giữa các nguyên tử lân
cận trở nên:
- Bị dịch chuyển đi một đại lợng là C.
- Và tách ra thành cả một vùng năng lợng (do thành phần chứa n ).

24


Do đó có thể nói, ví dụ về các vùng 4s,4p, đợc sinh ra từ các mức
năng lợng tơng ứng của nguyên tử.
- Sự phân loại các vùng năng lợng của tinh thể theo các mức năng lợng
tơng ứng của nguyên tử đặc biệt phù hợp cho trờng hợp các kim loại chuyển
tiếp vì ở đây các hàm sóng nguyên tử ở trạng thái d (các d điện tử) nằm khá
gọn trong nguyên tử (sự chồng lấn hàm sóng là nhỏ) và do đó tạo thành một
vùng năng lơng d tơng đối hẹp và có các biên vùng xác định tơng đối rõ ràng.
Tuy vậy cần phải nói rằng trong phần lớn trờng hợp khó có thể phân loại các
vùng năng lợng theo cách nh trên vì thờng có sự chồng lấn vùng, sự tách vùng.
Từ công thức (3.9) ta thấy rằng độ rộng của vùng năng lơng (đợc phép)
tỉ lệ thuận với giá trị của đại lợng n, tức là chủ yếu đợc quyết định bởi độ
chồng lấn hàm sóng giữa các nguyên tử nằm cạnh nhau, do đó:

- Đối với các điện tử hoá trị (mà thờng là ta quan tâm đến), sự chồng lấn
của các hàm sóng là quá lớn làm cho độ rộng vùng năng lợng lên đến vài eV.
Có nghĩa là cùng bậc hoặc thậm trí là lớn hơn cả khoảng cách giữa hai mức
năng lợng nguyên tử, vì vậy không thể áp dụng gần đúng liên kết mạnh cho trờng hợp này.
- Đối với các điện tử nằm trên các lớp điện tử bên trong thì độ rộng của
vùng năng lợng là khá nhỏ (thí dụ nó bằng khoảng 2.10 -19 eV đối với các điện
tử nằm trên lớp k(n=1)của nguyên tố Na). Khi đó gần đúng này có thể áp dụng
đợc.
Giữa các vùng năng lợng đợc phép là các vùng cấm. Nh vậy nói chung
ta có bức tranh xen kẽ giữa các vùng đợc phép và vùng cấm, năng lợng càng
cao (tức là đối với các điện tử càng nằm ở phía ngoài trong nguyên tử) thì
vùng đợc phép càng rộng, còn năng lợng càng thấp ( tức là đối với các điện tử
càng nằm ở sâu bên trong nguyên tử) thì vùng đợc phép càng hẹp. Về độ rộng
của vùng cấm chúng ta có bức tranh ngợc lại nghĩa là năng lợng càng cao thì
vùng cấm càng hẹp, còn năng lợng càng thấp thì vùng cấm càng rộng.
2) Tính tuần hoàn trong không gian mạng đảo của năng lợng:
Với công thức (3.9), dễ dàng ta thấy rằng:






E( k + G) = E( k )

Trong đó: G
là một véctơ bất kì của mạng đảo. Nh vậy năng lợng mỗi
một vùng đợc phép là một hàm tuần hoàn trong không gian mạng đảo.
Nếu quy định gốc tọa độ để tính năng lợng E sao cho E 0- C = 0 thì
ta có:

25