On thi vao 10 chuyen TOAN

ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT TOÁN
ĐẠI SỐ

I. BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT : (ĐẲNG THỨC – TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC)
Bài 1 : Cho ab = 1. Chứng minh rằng : a5 + b5 = (a3 + b3)(a2 + b2) – (a + b)
Bài 2 : Cho a > b > 0 thỏa mãn : 3a2 + 3b2 = 10ab.
Gợi ý : Bình phương 2 vế của P + nhân tử
a−b
Tính giá trị của biểu thức : P =
và mẫu cho 3 + giả thiết.
a+b
x+y
Bài 3 : Cho x > y > 0 và 2x2 + 2y2 = 5xy. Tính giá trị biểu thức : E =
x−y
1 1 1
ab c ca
Bài 4 : Cho + + = 0 . Tính giá trị biểu thức : P = 2 + 2 + 2 .
a b c
c a
b
3
3
Gợi ý : + Trước hết chứng minh : nếu x + y + z = 0 thì x + y + z3 = 3xyz. Bằng cách biến
đổi x + y + z = 0 ⇒ z = – (x + y), lập phương 2 vế.
1
1
1
+ Sử dụng kết quả x3 + y3 + z3 = 3xyz bằng cách thay x = , y = ,z = .
a
b
c

 a  b  c 
Bài 5 : Cho a3 + b3 + c3 = 3abc. Tính giá trị của biểu thức : A = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷
 b  c  a 
3
3
Gợi ý: Sử dụng HĐT : a + b = (a + b) – 3ab(a + b) thay vào giả thiết và biến đổi để được:
(a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) = 0
• Xét a + b = c = 0 ⇒ A = - 1
• Xét a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca = 0 ⇒ A = 8
Bài 6 : Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức : B = a4 + b4 + c4.
Gợi ý : Bình phương 2 vế của a2 + b2 + c2 = 14.
Để tính a2b2 + b2c2 + c2a2 sử dụng giả thiết a + b + c = 0 bình phương 2 vế.
1
1
Bài 7 : Cho x > 0 thỏa mãn : x 2 + 2 = 7 . Chứng minh rằng : x 5 + 5 là một số nguyên.
x
x
Tìm số nguyên đó.
2
1
1

Gợi ý : + Sử dụng HĐT  x + ÷ để được x + , dễ thấy :
x
x

1 
1 
1 
1

x 3 + 3 =  x 2 + 2 ÷ x + ÷−  x + ÷
x 
x 
x 
x
1  4 1 
1  3 1 
1  2 1 
5
4
+ x + 5 =  x + 4 ÷ x + ÷ −  x + 3 ÷ . Đặt biệt: x + 4 =  x + 2 ÷− 2 (SD : HĐT)
x 
x 
x 
x 
x 
x 
1 1 1
Bài 8 : Cho a + b + c = 1 và + + = 0 . Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 = 1.
a b c
Gợi ý : Sử dụng giả thiết : (a + b + c)2 = 1
1 1 1
bc + ac + ab
+ + =0 ⇔
=0
a b c
abc
Bài 9 : Cho các số x = by + cz ; y = ax + cz ; z = ax + by và x + y + z ≠ 0. Tính giá trị biểu
1
1

1
+
+
thức : Q =
.
1+ a 1+ b 1+ c
1
2z
1
1
=
;
Gợi ý : Cộng x + y + z lại và thay z = ax + by ⇒
tương tự cho
1+ c x + y + z
1+ b 1+ b
⇒
Cộng vế theo vế
đpcm.


x 4 y4
1
Bài 10 : Cho
+ =
thay 1 = x 2 + y 2 . Chứng minh rằng :
a
b a+b
a) bx2 = ay2
x 2000 y 2000

2
b) 1000 + 1000 =
1000
a
b
( a + b)
2
x4 y 4
1
+
=
⇒ ( ay 2 − bx 2 ) = 0 ⇒ đpcm.
a b a+b
2
2
b) Từ kết quả bx = ay biến đổi để sử dụng được tỉ lệ thức.

Gợi ý : a) Biến đổi giả thiết :

Bài 11 : Cho a + b + c = 0 . Chứng minh rằng : a 4 + b 4 + c 4 =

1 2
a + b2 + c 2
2

(

)

2

Gợi ý : Từ a + b + c = 0 ⇒ b + c = – a bình phương 2 vế.
Lại tiếp tục bình phương 2 vế a 2 − b 2 − c 2 = 2bc ⇒ đpcm .
5
5
5
2
2
2
Bài 12 : Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì : 2 ( x + y + z ) = 5 xyz ( x + y + z )
Gợi ý : Tam giác pascal : + Từ x + y + z = 0 ⇒ y + z = - x
5
⇒ ( y + z ) = − x 5 triển khai và thu gọn.
1
1 1
2
(a + b) :
1 2 1
3
(a + b) :
1 3 3 1
4
( a + b) : 1 4 6 4 1

( a + b) :
5

1 5 10 10 5 1
Bài 13 : Cho a , b , c là ba số khác nhau. Chứng minh rằng :

b−c
c−a
a −b
2
2
2
+
+
=
+
+
( a − b) ( a − c) ( b − c) ( b − a ) ( c − a ) ( c − b) a − b b − c c − a

( a − c) − ( a − b) = 1 − 1 = 1 + 1
b−c
=
( a − b) ( a − c) ( a − b) ( a − c ) a − b a − c a − b c − a
Tương tự cho các phân thức còn lại + cộng vế theo vế ⇒ đpcm .
1
1
1
Bài 14 : Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì : 1 + x + xy + 1 + y + yz + 1 + z + zx = 1
1
Gợi ý : Biến đổi từ xyz = 1 ⇒ x = yz thay vào ( * ) ⇒ đpcm .
2
2
2
Bài 15 : Phân tích ra thừa số : a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a − b ) (1)
Gợi ý : Tách

Gợi ý : Thay b − c = − ( c − a ) − ( a − b ) vào (1)
Bài 16 : Phân tích ra thừa số :
a) a 3 + 4a 2 − 29a + 24
kq : ( a − 1) ( a − 3) ( a + 8 )
b) x3 + 6 x 2 + 11x + 6
kq : ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3)
c) x 4 + 6 x3 + 7 x 2 − 6 x + 1

kq : ( x 2 + 3x − 1)

2

Bài 17 : Phân tích đa thức ra thừa số : ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5 ) ( x + 7 ) + 15
Gợi ý : Tính tích từng cặp ( x + 1) ( x + 7 ) …..rồi đặt ẩn phụ .
Bài 18 : Phân tích ra thừa số : (x – y)3 + (y – z)3 + (z – y)3
Gợi ý : Đặt x – y = a , y – z = b , z – x = c . Tính tổng a + b + c = ?
a−b
b−c
c−a
; y=
; z=
thì :
a+b
b+c
c+a
( 1+ x) ( 1+ y) ( 1+ z ) = ( 1− x) ( 1− y ) ( 1− z )

Bài 19 : Chứng minh rằng nếu x =

(*)

1 + x = ?

1 + y = ?
1 + z = ?


Gợi ý : Tính

1 − x = ?

và 1 − y = ? nhân từng nhóm rồi so sánh .
1 − z = ?


Bài 20 : Cho a , b , c là ba số thực khác nhau . Chứng minh rằng :
a+b b+c a+c b+c a+c b+a
.
+
.
+
.
= −1
a −b b −c c −a b −c c −a a −b
a+b
x=
⇒ x + 1 = ? và x − 1 = ?
a−b
b+c

⇒ y + 1 = ? và y − 1 = ?
Gợi ý : Đặt y =
b−c
c+a
z=
⇒ z + 1 = ? và z − 1 = ?
c−a

triển khai và rút gọn kq bài 19 .

Bài 21 : Cho a , b , c đôi một khác nhau . Tính giá trị biểu thức :
ab
bc
ca
+
+
( b − c) ( c − a) ( c − a) ( a − b) ( a − b) ( b − c)

Gợi ý :
+ Đặt
+ Tính :

a
b
c
,y=
,z=
b−c
c−a
a −b

x +1 = ?
x −1 = ?


và  y − 1 = ? nhân từng nhóm rồi so sánh .
 y +1 = ?
z +1 = ?
z −1 = ?



x=

II. BẤT ĐẲNG THỨC :
1 . Bất đẳng thức Cô si ( cau chy ) :
+ Với hai số a , b không âm thì :

a+b
≥ ab
2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
+ Với ba số a , b , c không âm thì :

a+b+c 3
≥ abc
3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c .
2 . Bất đẳng thức Bu nhia kovski :

Cho 2n số thực a1 ,a2 ,.....,an ; b1 ,b2 ,.....,bn
2
Khi đó : ( a1b1 + ..... + anbn ) ≤ ( a12 + ..... + an2 ) ( b12 + ..... + bn2 )
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔

a1 a2
= = ...
b1 b2

Bài 1 : Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 =
Chứng minh rằng

5
3

1 1 1
1
+ − <
a b c abc

Hướng dẫn :
2
+ Từ : ( a + b − c ) ≥ 0 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( ab − bc − ca ) ≥ 0
+ kết hợp giả thiết : a 2 + b 2 + c 2 =

5
5
( lưu ý : < 1 )
3
6

+ Chia 2 vế cho abc ta được đpcm .


Bài 2 : Chứng minh rằng với 4 số a , b , c , d tùy ý ta có :
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ ab + ac + ad

Hướng dẫn :
2
2
2
+ Từ BĐT : ( a − 2b ) ≥ 0 , ( a − 2c ) ≥ 0 , ( a − 2d ) ≥ 0 và a 2 ≥ 0
+ Cộng các BĐT suy ra đpcm .
Bài 3 : Cho abc = 1 , a 3 > 36 . Chứng minh rằng :
a2
+ b 2 + c 2 > ab + bc + ca
3
a2
+ b 2 + c 2 − ab − bc − ca > 0
Hướng dẫn : + Cm :
3
a2 a2
+ + b 2 + 2bc + c 2 − ab − ac − 3bc
+ bằng cách viết :
4 12
2
a
 a2
a2
2

2
+
b
+
2
bc
+
c
−
a
b
+
c
+
−
3
bc
(
)
− 3bc > 0 ( kết hợp gt ) )
( 
(
)
và cm :
 12
12
4


Bài 4 : Cho x > y , xy = 1 . Chứng minh rằng :

(x

2

+ y2 )

( x − y)

2

≥8

2

Hướng dẫn :
+ Đặt x 2 = a , y 2 = b ⇒ ab = 1 , a ≥ 0 , b ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 2 ab = 2 ⇒ a + b − 2 ≥ 0
Nhưng do x > y nên a + b -2 > 0
+ Thay các giá trị vào b.thức và cm :

(x

2

+ y2 )

( x − y)

2

2

( a + b)
−8 =

(x

2

+ y2 )

( x − y)

2

2

−8 ≥ 0

2

− 8a − 8b + 16 a 2 + b 2 + 42 + 2ab − 8a − 8b
=
suy ra đpcm .
a+b−2
a+b−2

Bài 5 :
a ) Cho a ≥ 1 , b ≥ 1 . Chứng minh : a b − 1 + b a − 1 ≤ ab
b ) Cho ba số a , b , c đôi một khác nhau . Chứng minh :

( a + b) + ( b + c) + ( c + a)
2
2
2
( a − b) ( b − c) ( c − a)
2

2

2

≥2

Hướng dẫn :
b −1
a −1
+
≤ 1 ( vì a ≥ 1 , b ≥ 1 )
b
a
a −1 1
b −1 1
≤
,
≤ bằng phép biến đổi tđ hoặc BĐT cô si
bằng cách cm :
a
2
b

2
a −1 1
≤
cho hai số không âm : a = ( a − 1) + 1 ≥ 2 a − 1 ⇒
a
2
a+b
b+c
c+a
,y=
,z =
b ) + Đặt : x =
dễ dàng cm được :
a −b
b−c
c−a

a ) BĐT cần cm tương đương với :

( x + 1 )( y + 1 )( z + 1 ) = ( x – 1 )( y – 1 )( z – 1 )
+ Khai triển và rút gọn lại : xy + yz + zx = -1
2
+ Từ : ( x + y + z ) ≥ 0 biến đổi suy ra đpcm .
Bài 6 :


a ) Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện :
x 1 − y2 + y 1 − x2 = 1
(1)
Chứng minh rằng : x 2 + y 2 = 1

(2)
b ) Từ đẳng thức (2) có thể suy ra đẳng thức (1) được hay không ? giải thích .
Hướng dẫn :
2
a ) BĐT BuNhia : ( a1b1 + a2b2 ) ≤ ( a12 + a22 ) ( b12 + b22 ) dấu đẳng thức xảy ra ⇔

Từ (1) ⇒

(x

1 − y2 + 1 − x2 y

dấu đẳng thức xảy ra ⇔

)

2

a1 a2
=
b1 b2

≤ ( x2 + 1 − x2 ) ( 1 − y2 + y2 ) = 1

1 − x2
=
biến đổi suy ra đpcm .
y
1 − y2
x

b ) từ (2) suy ra (1) không được chẳng hạn : chọn ( x ; y ) = ( 0 ; -1 ) hoặc ( -1 ; 0 )
Bài 7 :
a + b + c > 0

Cho các số thực a , b , c thỏa mãn cả 3 điều kiện : ab + bc + ca > 0
abc > 0


Chứng minh rằng cả ba số a , b , c đều là số dương .
Hướng dẫn :
Vì abc > 0 nên trong ba số a , b , c phải có ít nhất là một số dương ( giả sử ngược lại cả
ba số đều âm ⇒ abc < 0 vô lý )
Không mất tính tổng quát , ta giả sử a > 0
Mà : abc > 0 ⇒ bc > 0
⇒ b+c<0
Nếu : b < 0 , c < 0
2
⇒ b+c>-a ⇒
Từ : a + b + c > 0
( b + c ) < −a ( b + c )
⇒
⇒

b 2 + 2bc + c 2 < − ab − ac
ab + bc + ca < −b 2 − bc − c 2

⇒ ab + bc + ca < 0 , vô lý ; trái với giả thiết : ab + bc + ca > 0
Vậy : b > 0 , c > 0 ⇒ đpcm .

Bài 8 :
1 ) Cho x , y dương . Chứng minh rằng :

1 1
4
+ ≥
x y x+ y

Dấu đẳng thức xảy ra lúc nào ?
2 ) Trong tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c ( a , b , c là độ dài ba cạnh ) .
Chứng minh rằng :

1
1
1
1 1 1
+
+
≥ 2 + + ÷ .
p −a p −b p −c
a b c

Dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra lúc tam giác ABC có đặc điểm gì ?
Hướng dẫn :
1 ) Dùng BĐT cô si cho x , y

(1) ,

1 1
+

x y

(2) nhân vế theo vế (1) và (2) .

2 ) Trước hết Cm các mẫu thức đều dương .

a+b+c
b+c−a
−a =
> 0 ( tổng độ dài 2 cạnh > cạnh thứ 3 )
2
2
1
1
1
1
1
1
+
;
+
;
+
+ Áp dụng câu 1 cho :
p −a p −b
p −b p −c
p−c p−a

+ p−a =

Bài 9 : Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a , b , c , chu vi là 2p .


Chứng minh :
Hướng dẫn :
Cô si : ( p − a ) + ( p − b ) ≥ 2

abc
≥ ( p − a ) ( p − b) ( p − c)
8

( p − a) ( p − b)

⇒ c≥2

( p − a ) ( p − b ) ( 1 )……

Bài 10 :
x + y + z = 5

Cho x , y , z là các số thực thỏa mãn điều kiện : 

2
2
2
x + y + z = 9

Chứng minh rằng : 1 ≤ x, y,z ≤

7

.
3

Hướng dẫn :
+ Tạo giả thiết : Từ : x + y + z = 5 ⇒ y + z = 5 − x ⇒
+ Từ BĐT sẵn có : 2 ( y 2 + z 2 ) ≥ ( y + z )
+ giải bpt ta được : 1 ≤ x ≤

2

(2)

( y + z)

2

= ( 5 − x)

2

(1)

, thế (1) vào (2)

7
chứng minh tương tự ta được y , z .
3

Bài 11 :
1 ) Chứng minh rằng : với x > 1 ta có :

x
≥2
x −1

2 ) Cho a > 1 , b > 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E =
Hướng dẫn :
1 ) Cách 1 : + Biến đổi từ x > 1 ⇒
+ Bằng cách

x
≥2 ⇔
x −1

x − 1 > 0 và cm :

a2
b2
+
b −1 a −1

x
−2≥0
x −1

x ≥ 2 x − 1 bình phương 2 vế .

Cách 2 : sử dụng BĐT cô si cho 2 số ( x – 1 ) và 1 : x = ( x − 1) + 1
2 ) Áp dụng câu 1 và ( cô si ) :
a2

b2
a2 b2
a
b
E=
+
≥2
.
= 2.
.
b −1 a −1
b −1 a −1
b −1 a −1

Bài 12 :
Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với x , y là các số thực bất kỳ
x y
x2 y 2
Khác không : 2 + 2 + 4 ≥ 3  + ÷
y
x
y x

(1)

Hướng dẫn :

 x y
x2 y 2
+ 2 + 4 − 3 + ÷≥ 0 .

2
y
x
 y x
x y
x y
x
y
⇒ a = + = + ≥ 2 ( cô si ) ⇒ a ≥ 2 hoặc a ≤ −2
Đặt : a = +
y x
y x
y
x

(1) ⇔

x2 y 2
2
Và 2 + 2 = a − 2 , (1) ⇔ a 2 − 3a + 2 ≥ 0 ( lập luận thêm )
y
x

Bài 13 :
Cho a , b , c là các số thuộc đoạn [ −1; 2] thỏa mãn : a + b + c = 0 .
Chứng minh : a 2 + b 2 + c 2 ≤ 6


Hướng dẫn :
Ta có : −1 ≤ a,b,c ≤ 2 ⇒ a + 1 ≥ 0 và a − 2 ≤ 0 . Tính : ( a + 1 )( a – 2 ) ……

Bài 14 :
Chứng minh các bất đẳng thức :
a ) a 4 + b 4 ≥ a 3b + ab3 với mọi a , b .
1
với a + b ≥ 1
2
c ) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
d ) a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b với mọi số thực a , b .

b ) a2 + b2 ≥

Hướng dẫn :
4
3
4
3
a ) Cm : ( a − a b ) + ( b − ab ) ≥ 0
b ) Từ a + b ≥ 1 ⇒

( a + b)

2

≥1

⇒ a 2 + 2ab + b 2 ≥ 1 (1)

mà : ( a − b ) ≥ 0 ⇒ a 2 − 2ab + b 2 ≥ 0 (2) , cộng vế theo vế (1) và (2)
c ) nhân 2 vế BĐT cần Cm cho 2 và biến đổi ⇒ đpcm .
d ) cách làm tương tự câu c )

Bài 15 :
Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác . Chứng minh :
2

a 2 + b 2 + c 2 < 2 ( ab + bc + ca )

Hướng dẫn :
2
Sử dụng BĐT về cạnh : a < b + c ⇒ a < a ( b + c ) = ab + ac (1) …..
Bài 16 :
Với a > 0 , b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức :
Hướng dẫn :
Dùng phép biến đổi tương đương :
a
b
− a≥ b−
b
a

⇔

(a

a
b
− a≥ b−
b
a

)

a + b b − ab

(

)

a+ b ≥0

Bài 17 :
Cho ba số thực bất kỳ x , y , z .
2
2
2
a ) Chứng minh : ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x ) ≤ 3 ( x 2 + y 2 + z 2 )
Hướng dẫn :
a ) với mọi x , y , z ta có :

( x + y + z)

2

≥0 ⇒

x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 yz + 2 zx ≥ 0

⇒

x 2 + y 2 + z 2 ≥ −2 xy − 2 yz − 2 zx

⇒

3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 − 2 xy − 2 yz − 2 zx

( x − y)

≥

2

+ ( y − z) + ( z − x)
2

2

Bài 19 :
Cho a , b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng : a 3 + b3 ≥
Gợi ý :
Biến đổi vế trái + BĐT a + b
2

2

( a + b)
≥

2

2

Bài 20 :
Cho a , b là các số thực thỏa mãn điều kiện : a 2 + b 2 = 4 + ab .

1
4


8
≤ a 2 + b 2 ≤ 8 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
3

Chứng minh rằng :

Gợi ý :
+ Từ giả thiết : a 2 + b 2 = 4 + ab ⇒ nhân 2 vế cho 2 để sử dụng được hằng đẳng thức ( 1
dạng của cực trị ) ⇒ a 2 + b 2 ≤ 8 .
+ từ 2a 2 + 2b 2 = 8 + 2ab bổ sung vào 2 vế cho a 2 + b 2 để được a 2 + b 2 ≥

8
.
3

Bài 21 :
Cho a , b , c là ba số dương thỏa mãn : a + b + c = 4 . Chứng minh rằng :

( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ a 3b 3 c 3

Gợi ý :
2
2

2
Sử dũng các BĐT có sẵn : ( a + b ) ≥ 4ab ⇒ ( a + b + c ) = ( a + b ) + c  ≥ 4 ( a + b ) c
⇒ a + b ≥ abc tương tự cho b + c , c + a .
Bài 22 :
Cho a , b , c > 0 . Chứng minh rằng :
1 ) ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 8abc
2)

bc ca ab
+ +
≥ a+b+c
a b
c

Gợi ý :
1 ) Sử dụng BĐT cô si cho 2 số dương a , b ; b , c ; c , a .
2 ) Sử dụng BĐT cô si cho :
b 2 c 2 + c 2 a 2 ; c 2 a 2 + a 2b 2 ; a 2b 2 + b 2c 2 tiến hành cộng từng vế .
Bài 23 :
a 3 b3 c 3
+ + ≥ ab + bc + ca
Cho a , b , c > 0 . Chứng minh rằng :
b c a

Gợi ý :
3
3
+ Từ BĐT a + b ≥ ab ( a + b )
+ Chia 2 vế cho b :

với a , b > 0 .

a3
b3
+ b 2 ≥ a ( a + b ) làm tương tự cho
+ c 2 ………..
b
c

III. PHƯƠNG TRÌNH :
Bài 1 :
2
Cho phương trình có ẩn số x : x − 2( m − 1) x − 3 − m = 0
1 ) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m .
2 ) Tìm m sao cho nghiệm số x1 , x2 của phương trình thỏa mãn điều kiện :
x12 + x22 ≥ 10 .

Gợi ý :
1 ) Chứng minh : ∆ ' > 0 với mọi m .

2 ) Sử dụng hằng đẳng thức : ( a + b) − 2ab = a2 + b2
2

Bài 2 :
Cho phương trình bậc hai có ẩn x : x2 − 2mx + 2m − 1 = 0
1 ) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1 , x2 với mọi m .

2 ) Đặt A = 2( x1 + x2 ) − 5x1x2
a ) Chứng minh A = 8m2 − 18m + 9
b ) Tìm m sao cho A = 27 .

3 ) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia .
2

2


Gợi ý :

2 ) Biến đổi A = ( x1 + x2 ) − 9x1x2
2

3 ) Giả sử : x1 = 2x2 , lần lượt thay vào tổng và tích 2 nghiệm .
Bài 3 :
2
Cho phương trình : ( m − 1) x + 2( m − 1) x − m = 0 ( ẩn số là x ) .
a) Định m để phương trình có nghiệm kép . Tính nghiệm kép này .
b) Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm .
Gợi ý :
a ≠ 0
⇔
a) Phương trình có nghiệm kép
.

∆ ' = 0

b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm
a ≠ 0

∆ ' > 0
⇔ 

x1.x2 > 0
x1 + x2 < 0


Bài 4 :
2
Cho phương trình : ( m + 2 ) x − ( 2m − 1) x − 3 + m = 0
1 ) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m .
2 ) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
và khi đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia .
Bài 5 :
Cho phương trình : x 2 − 4 x + m + 1 = 0 .
a ) Định m để phương trình có nghiệm .
b ) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12 + x22 = 10 .
Bài 6 :
Cho phương trình : x 2 − 2mx + m + 2 = 0 .
a ) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm không âm .
b ) Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức : E = x1 + x2
gợi ý :
+ Cần xác định m để cho :

∆ ' ≥ 0

 x1 x2 ≥ 0
x + x ≥ 0
 1 2

+ E ≥ 0 ⇒ E = E2
Bài 7 :
Cho phương trình : 3x 2 − mx + 2 = 0 . Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa

mãn : 3x1 x2 = 2 x2 − 2 .
gợi ý :

Cần tìm m để :

∆ ≥ 0
3 x x = 2 x − 2
2
 1 2

m
 x1 + x2 =
3


2
 x1.x2 =
3


đáp số : m = 7 .


IV. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ : ( PT có chứa dấu căn ) .
Bài 1 :
Cho phương trình :

x +1+ x +

3

+ x = a ( x là ẩn số ) .
4

1 ) Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa .
2 ) Với giá trị nào của a thì phương trình trên có nghiệm số ? Tính x theo a .
Bài 2 :
Giải các phương trình sau :
a ) x +1 = x −1
b ) 1− x − 2 + x = 1
c ) 1− x + 4 + x = 3
Bài 3 :
x2 + 2 x − 3
= 3+ x
x −1

Giải phương trình :
Bài 4 :
Giải phương trình :
a)
c)

x − 14
=3
3+ x −5
x+ y + z +4 = 2 x−2 +4 y −3 +6 z −5
x−5 −

b)

1 − 2x2 = x − 1

Bài 5 :
Giải phương trình :

3x 2 − 12 x + 16 + y 2 − 4 y + 13 = 5 .

Bài 6 :
a ) Cho A =

2x + 5
x −1

x −1
. Với những trị số nào của x thì A có nghĩa
4 x + 10

, B=

còn B không có nghĩa .
b ) Giải phương trình A = B .
Bài 7 :
Giải phương trình : 3x 2 + 2 x = 2 x 2 + x + 1 − x
Gợi ý :
Chuyển hết về vế trái thu gọn và đặt ẩn phụ .
Bài 8 :
Giải phương trình : x 2 + 4 x + 5 = 2 2 x + 3
Gợi ý :
Chuyển về vế trái , đưa về bình phương 1 tổng hoặc 1 hiệu .
Bài 9 :

(5−2 6)

Giải phương trình :

x

+

( 5+ 2 6)

Gợi ý :

( 5− 2 6) ( 5+ 2 6) =1
Đặt : ( 5 − 2 6 ) = u > 0
x

Bài 10 :
1
2

Giải phương trình : x + x + + x +

1
=2
4

x

= 10

Gợi ý :
+ đk .
+ đặt :

x+

1
=t ≥0
4

Bài 11 :
Giải phương trình : 6 − x + x + 2 = x 2 − 6 x + 13
Gợi ý :
+ Vế phải tìm min .
+ vế trái sử dụng BĐT Bu Nhia Côp ski .
Bài 12 :
Cho phương trình : 25 − x 2 − 15 − x 2 = 2 .
a ) Tính : 25 − x 2 + 15 − x 2
b ) Tìm giá trị thực của x thỏa mãn 25 − x 2 − 15 − x 2 = 2 .
Bài 13 :
Giải phương trình : 3 x3 + 8 = 2 x 2 − 6 x + 4
Gợi ý :
Đặt : u = x + 2 , t = x 2 − 2 x + 4 ; xét : t 2 − u 2 = ?
Bài 14 :
Giải các phương trình :
a ) 3 ( x 2 − x − 1) = ( x + x − 1 )

2

b ) x 2 − 4 x − 6 = 2 x 2 − 8 x + 12

gợi ý :
a ) Biến đổi về pt tích tìm nghiệm .
b ) Đặt ẩn phụ : t = x 2 − 4 x + 6 ; đk của bài ?
V. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI :
Bài 1 : Giải phương trình : x + 1 = x ( x + 1)
Gợi ý : |A.B| = |A|.|B|
Bài 2 : Giải các phương trình :
a ) x2 − 2x + 1 + x2 + 4x + 4 = 3
b ) x + 3 + 4 x −1 + x + 8 − 6 x −1 = 5
c ) 3 + x + 2 x −1 = 2 x − 2 x −1
Bài 3 : Giải các phương trình :
a ) x − 2 x −1 + x + 3 − 4 x −1 = 1
b ) x + 3 − 4 x −1 + x + 8 + 6 x −1 = 1
c)

x + 2 x −1 = x − 2x −1

Bài 4 : Giải phương trình : x − 1 + x − 4 = 3
Gợi ý : Lập bảng xét dấu , bỏ giá trị tuyệt đối , ta có nghiệm :
2

1 ≤ x2 ≤ 4

⇔

 −2 ≤ x ≤ 2

 x ≥ 1

  x ≤ −1


Bài 5 : Giải các phương trình :
a) |x2 + 3x – 4| – 2|x + 3| + 2 = 0

2

1 ≤ x ≤ 2
⇔ 
 −2 ≤ x ≤ −1


x−2
=1
x −1 −1
Gợi ý :
2
a) Biến đổi x + 3x − 4 = ( x − 1) ( x + 4 ) , sau đó lập bảng xét dấu bỏ GTTĐ.
b) + ĐK : |x – 1| ≠ 1
+ PT đưa về dạng : |x – 1| – |x – 2| = 1, lập bảng xét dấu bỏ GTTĐ.
⇒ pt có nghiệm : x > 2
b)