Thi vào 10 chuyên Toán - Tin năm 2006-2007 của chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa

Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006
Đề thi chính thức Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên Tin)
Ngày thi: 22 tháng 6 năm 2006
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2 điểm):
Cho phơng trình: 2x
2
-5mx-m
2
+5m=0.
1. Giải phơng trình khi
2
=
m
.
2. Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
Câu 2 (2 điểm):
1. Giải hệ phơng trình:





=+
=+
1154
543
2
2
yxy
xyx

2. Giải phơng trình:
22
2
84
4
xx
x
=+
.
Câu 3 (1 điểm):
Cho x, y, z là ba số dơng thoả mãn xyz=1. Chứng minh rằng nếu

zyx
zyx
111
++>++
thì có một và chỉ một số lớn hơn 1.
Câu 4 ( 2 điểm):
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(2;3) và B(-1;1).
1. Tìm trên trục hoành Ox điểm M sao cho 3 điểm A, B, M thẳng hàng.
2. Tìm trên trục hoành Ox điểm P sao cho PA+PB nhỏ nhất.
Câu 5 (2 điểm):
Cho đờng tròn tâm O. Từ điểm M nằm ngoài đờng tròn kẻ hai tiếp tuyến ME và
MF đến đờng tròn (E, F là các tiếp điểm). Trên cung nhỏ EF lấy điểm P bất kỳ. Tiếp
tuyến với đờng tròn tại P cắt ME, MF lần lợt tại A và B.
1. Chứng minh rằng tam giác MAB có chu vi không đổi.
2. Xác định vị trí điểm P để tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
Câu 6 (1 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia BA lấy điểm K sao cho AK=2AB. Từ B
và K vẽ các tia Bx//CK và Ky//CB, Bx cắt Ky tại điểm P. Chứng minh rằng

cos
2
KBC+sin
2
KAP>
2007
2006
.
------------------Hết-------------------
Họ và tên thí sinh:...........................................Số báo danh:.................................
Chữ ký giám thị 1:............................Chữ ký giám thị 2:.................................
Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006
Đề thi chính thức Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên Tin)
hớng dẫn chấm thi
Bản hớng dẫn này gồm 3 trang
I. Hớng dẫn chung:
- Đáp án dới đây chỉ trình bày một lời giải, nếu học sinh làm bằng cách khác mà đúng, vẫn
cho điểm tối đa.
- Việc chi tiết hoá điểm số (nếu có) phải đúng với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất trong
toàn Hội đồng chấm thi.
- Điểm toàn bài lấy theo thang điểm 10 và làm tròn đến 0,5 (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ
0,5 làm tròn thành 1,0).
II. Đáp án và thang điểm:
Câu
Điểm
Câu 1
1. Với
2
=
m

phơng trình đã cho trở thành
0252.252
2
=+
xx
.
Do tổng các hệ số bằng không nên pt có hai nghiệm là x
1
=1 và
2
225
2

=
x
.
2. Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi a.c<0
suy ra 2(-m
2
+5m)<0
vậy



<
>
0
5
m
m

0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
Câu 2
1. Cộng từng vế hai pt của hệ ta đợc hệ tơng đơng :






=+
=+
1154
169)2(
2
2
yxy
yx




=+
=+
1154
132
2

yxy
yx
.
Thay
yx 213
=
vào phơng trình thứ 2 của hệ, ta đợc:




=
=+
0115132
0115132
2
2
yy
yy
.
Từ đó suy ra hệ đã cho có 4 nghiệm là (3;5),







2
23

;36
, (-5;-3),







36;
2
23
,
0,5đ
0,25đ
0,25đ
2. Điều kiện: 4<x
2
<8
2
4
1
2

x
. Đặt
1
4
2
2

+=
y
x
, do
2
4
2

x
nên
y
2
<1.
Từ đó suy ra x
2
=4y
2
+4. Thay vào phơng trình đã cho ta có:
22222
44214484441 yyyyyy
=++=+++
.
hay 1+|y|=4-4y
2
hay 4y
2
+|y|-3=0. Giải phơng trình này ta đợc
4
3
=

y
.
Suy ra
4
25
2
=
x
,
2
5
=
x
.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 3
Xét biểu thức A=(x-1)(y-1)(z-1)=xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1.
Vì xyz=1 nên A=x+y+z-
xyz
zxyzxy
++
=
0
111
>

++++
zyx
zyx
.
Theo giả thiết,








++>++
zyx
zyx
111
suy ra A>0.
Nếu cả ba nhân tử (x-1), (y-1), (z-1) đều dơng thi x, y, z đồng thời
lớn hơn 1, trái với với giả thiết xyz=1.
Vậy chỉ xảy ra trờng hợp có đúng một nhân tử dơng, tức là có đúng
một số trong ba số x, y, z lớn hơn 1.
0,25đ
0,25đ

0,25đ
0,25đ
Câu 4
1. Phơng trình đờng thẳng AB có dạng: y=ax+b (vì x
A
x
B
). Thay các
toạ độ vào ta có:







=
=




=+
=+
3
5
3
2
1
32

b
a
ba
ba
, vậy đờng thẳng AB có phơng trình:
3
5
3
2
+=
xy
. Giao của đờng thẳng AB với trục hoành là điểm
).0;
2
5
(

M
2. Gọi A
1
là điểm đối xứng với A qua Ox, suy ra A
1
(2;-3). Gọi P là
giao của A
1
B với Ox, thế thì P là điểm cần tìm. Thật vậy:
Với điểm Q bất kỳ trên Ox, khác P thì
QA+QB=QA
1
+QB>A

1
B=PA
1
+PB=PA+PB bé nhất.
đờng thẳng A
1
B có phơng trình
3
1
3
4
=
xy
, P thuộc trục hoành nên
y=0,
4
1
=
x
vậy P có toạ độ
)0;
4
1
(

P
.
0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ
O
M
E
F
A
B
P
Câu 5
1. Vì AE và AP là tiếp tuyến nên
AE=AP.
Tơng tự, BF=BP. Chu vi tam giác ABM
là AB+BM+MA=MA+AE+MB+BF=
2ME không đổi.
2. Trớc hết ta chứng minh ABC có
góc
A không đổi và đờng cao AH=h không
đổi
Thì diện tich nhỏ nhất khi nó là tam giác
cân. Thật vậy: ta có thể giả sử AC>AB
Xét tam giác cân AB
1
C
1
đỉnh A, góc A
không đổi, đờng cao h. Trên AC
lấy AQ=AB, suy ra tam giác ABB
1
bằng tam giác AQC
1

. Suy ra
diện tích AB
1
C
1
bằng diện tích tứ giác
ABC
1
Q<diện tích tam giác ABC.
Trở lại bài toán ta có:
S

MAB
= S
MEOF
S
AEOFB
=S
MEOF
-2S
OAB
. Do diện tích S
MEOF
không đổi
nên S
MAB
lớn nhất khi S
OAB
nhỏ nhất. Do góc AOB không đổi, đờng
cao OP=R không đổi, vậy theo chứng minh trên, diện tích tam giác

MAB lớn nhất khi OAB là tam giác cân, tức là P là điểm chính giữa
cung EF.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
A
B
1
C
B
C
1
Q
B
C
A
K
P
H
C©u 6
Gäi H lµ trung ®iÓm cña AK, ta cã
HK=AB, BP//CK, KP//CB, vËy
BP=CK.
Gãc ABP =gãc HKC suy ra
∆ABP=∆HKC. VËy CH=PA.
L¹i do CH=CB nªn PA=CB.
VËy
PK=PA, hay gãc PAK b»ng gãc
PKA vµ b»ng gãc KBC. Suy ra

cos
2
(∠KBC)=
2
2
BC
AB
.
sin
2
(∠KAB)=
2
2
BC
AC
, suy ra cos
2
(∠KBC)+ sin
2
(∠KAB)=1>
2007
2006
.
0,5®
0,5®