Các câu HHKG trong đề Đại học 2011

Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc

Mt s cõu HHKG trong thi i hc

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2),B(-1;2;4)
x 1 y + 2 z
=
= .Tìm toạ độ điểm M trên sao cho: MA2 + MB 2 = 28
và đờng thẳng :
1
1
2
x = 1 t

ptts : y = 2 + t M (1 t ; 2 + t ; 2t )
z = 2t

Ta có: MA2 + MB 2 = 28 12t 2 48t + 48 = 0 t = 2 Từ đó suy ra : M (-1 ;0 ;4)
2) Vit phng trỡnh ng vuụng gúc chung ca hai ng thng sau:

x = 1 + 2t

d 2 : y = 1 + t
z = 3

Gi M d1 M ( 2t;1 t; 2 + t ) , N d 2 N ( 1 + 2t ';1 + t ';3 )
uuuur
MN ( 2t + 2t ' 1; t + t '; t + 5 )
uuuur uur
MN.u1 = 0
2 ( 2t + 2t ' 1) ( t + t ' ) + ( t + 5 ) = 0

uuuur uur
2 ( 2t + 2t ' 1) + ( t + t ' ) = 0
MN.u1 = 0
x y 1 z + 2
d1 : =
=
;
2
1
1

6t + 3t '+ 3 = 0

t = t' =1
3t + 5t ' 2 = 0
uuuur
M ( 2;0; 1) , N ( 1;2;3 ) , MN ( 1;2;4 )
PT MN :

x 2 y z +1
= =
1
2
4

2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng:
d1 :

x 4 y 1 z + 5

x2 y+3 z
=
=
d2 :
=
=
3
1
2
1
3
1

Vit phng trỡnh mt cu cú bỏn kớnh nh nht tip xỳc vi c hai ng thng d1 v d2
Gi s mt mt cu S(I, R) tip xỳc vi hai ng thng d1, d2 ti hai im A v B khi ú ta luụn cú IA +
IB AB v AB d ( d1 , d 2 ) du bng xy ra khi I l trung im AB v AB l on vuụng gúc chung ca
hai ng thng d1, d2
Ta tỡm A, B :
uuur r
AB u
uuur ur Ad1, Bd2 nờn: A(3 + 4t; 1- t; -5-2t), B(2 + t; -3 + 3t; t)
AB u '
uuur
AB (.)
A(1; 2; -3) v B(3; 0; 1) I(2; 1; -1)
Mt cu (S) cú tõm I(2; 1; -1) v bỏn kớnh R= 6
Nờn cú phng trỡnh l: ( x 2 ) + ( y 1) 2 + ( z + 1) 2 = 6
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d và d lần lợt có phơng trình : d :
y2
x2

z+5
x=
= z và d :
= y 3=
.
1
2
1
Chứng minh rằng hai đờng thẳng đó vuông góc với nhau. Viết phơng trình mặt phẳng ( ) đi qua d và
vuông góc với d
Đờng thẳng d đi qua điểm M (0;2;0) và có vectơ chỉ phơng u (1;1;1)
Đờng thẳng d đi qua điểm M ' (2;3;5) và có vectơ chỉ phơng u '(2;1;1)
2

[ ]

[ ]

Ta có MM = (2;1;5) , u ; u ' = (0; 3; 3) , do đó u; u ' .MM ' = 12 0 vậy d và d chéo nhau.
Trang - 1 -


Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

Một số câu HHKG trong đề thi Đại học

MÆt ph¼ng (α ) ®i qua ®iÓm M (0;2;0) vµ cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ u '(2;1;−1) nªn cã ph¬ng tr×nh:
2 x + ( y − 2) − z = 0 hay 2 x +y −z −2 =0

 x = −1 − 2t


x y z
2) Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng d1 : = = ; d2  y = t
1 1 2
z = 1+ t

và điểm M(1;2;3).
a.Viết phương trình mặt phẳng chứa M và d1 ; Tìm M’ đối xứng với M qua d2.
b.Tìm A ∈ d1 ; B ∈ d 2 sao cho AB ngắn nhất .

 x = −1 − 2t

x y z
Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng d1 : = = ; d2  y = t
1 1 2
z = 1+ t

và điểm M(1;2;3).
a. Viết phương trình mặt phẳng chứa M và d1 ; Tìm M’ đối xứng với M qua d2.
+ Phương trình mặt phẳng chứa M và d1 …. Là (P) x + y – z = 0
+ Mp(Q) qua M và vuông góc với d2 có pt 2x – y - z + 3 = 0
+ Tìm được giao của d2 với mp(Q) là H(-1 ;0 ;1)
… ⇒ Điểm đối xứng M’ của M qua d2 là M’(-3 ;-2 ;-1)
b. Tìm A ∈ d1 ; B ∈ d 2 sao cho AB ngắn nhất .
Gọi A(t;t;2t) và B(-1-2t1 ;-t1 ;1+t1) AB ngắn nhất khi nó là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và
d2 .
uuur ur
 AB.v1 = 0
……. ⇒ tọa độ của A  3 ; 3 ; 6  và B  −1 ; −17 ; 18 
⇒  uuur uur


÷

÷
 35 35 35 
 35 35 35 
 AB.v2 = 0
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1). Viết phương trình
mặtuuu
phẳng
(ABC) vàuuu
tìm
r
r điểm M thuộc mặt
r phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.
Ta có AB = (2; −3; −1), AC = (−2; −1; −1) ⇒ n = (2; 4; −8) là 1 vtpt của (ABC)
Suy ra pt (ABC) là (x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = 0 hay x + 2y – 4z + 6 = 0
M(x; y; z) MA = MB = MC ⇔ ….
M thuộc mp: 2x + 2y + z – 3 = 0 nên ta có hệ, giải hệ được x = 2, y = 3, z = -7
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1 ) :

x y z
x +1 y z −1
= =
= =
và (d 2 ) :
.
1 1 2
−2
1

1

Tìm tọa độ các điểm M thuộc (d1 ) và N thuộc (d 2 ) sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng
( P ) : x – y + z + 2010 = 0 độ dài đoạn MN bằng 2 .
uuuur
+ M , N ∈ ( d1 ), (d 2 ) nên ta giả sử M (t1 ; t1 ; 2t1 ), N ( −1 − 2t2 ; t2 ;1 + t2 ) ⇒ NM = (t1 + 2t2 + 1; t1 − t2 ; 2t1 − t2 − 1) .
uur uuuur
+ MN song song mp(P) nên: nP .NM = 0 ⇔ 1.(t1 + 2t2 + 1) − 1.(t1 − t2 ) + 1(2t1 − t2 − 1) = 0
uuuur
⇔ t2 = −t1 ⇒ NM = (−t1 + 1; 2t1 ;3t1 − 1) .
 t1 = 0
+ Ta có: MN = 2 ⇔ (−t1 + 1) + (2t1 ) + (3t1 − 1) = 2 ⇔ 7t − 4t1 = 0 ⇔ 
.
t1 = 4
7

4 4 8
1 4 3
+ Suy ra: M (0; 0; 0), N (−1; 0;1) hoặc M ( ; ; ), N ( ; − ; ) .
7 7 7
7 7 7
+ Kiểm tra lại thấy cả hai trường hợp trên không có trường hợp nào M ∈ ( P ).
KL: Vậy có hai cặp M, N như trên thoả mãn.
2

2

2

Trang - 2 -

2
1


Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

Một số câu HHKG trong đề thi Đại học

x −1 y − 3 z
x−5 y z +5
=
= , d2 :
= =
.
2
−3
2
6
4
−5
Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho MN song song với (P) và đường thẳng MN cách (P) một khoảng
bằng 2.
2) Cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 1 = 0 và các đường thẳng d1 :

Gọi M ( 1 + 2t ;3 − 3t; 2t ) , N ( 5 + 6t '; 4t '; −5 − 5t ' )
d ( M ; ( P ) ) = 2 ⇔ 2t − 1 = 1 ⇔ t = 0; t = 1.
uuuur
Trường hợp 1: t = 0 ⇒ M ( 1;3;0 ) , MN = ( 6t '+ 4; 4t '− 3; −5t '− 5 )
uuuur uur uuuur uur

MN ⊥ nP ⇔ MN .nP = 0 ⇒ t ' = 0 ⇒ N ( 5;0; −5 )

Trường hợp 2: t = 1 ⇒ M ( 3;0; 2 ) , N ( −1; −4;0 )
2) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y – 5z + 1 = 0 và hai đường thẳng
x +1 y −1 z − 2
x−2 y+2 z
=
=
=
=
d1:
, d2:
2
3
1
1
5
−2
Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với (P) đồng thời cắt hai đường thẳng d1 và d2.
 x = −1 + 2t
x = 2 + m


Phương trình tham số của d1 và d2 là: d1 :  y = 1 + 3t ; d 2 :  y = −2 + 5m
z = 2 + t
 z = −2 m


Giảuuuu
sửrd cắt d1 tại M(-1 + 2t ; 1 + 3t ; 2 + t) và cắt d2 tại N(2 + m ; - 2 + 5m ; - 2m)

⇒ MN (3 + m - 2t ; - 3 + 5m - 3t ; - 2 - 2m - t).
3 + m − 2t = 2k
uuuur uur
uur

Do d ⊥ (P) có VTPT nP (2; −1; −5) nên ∃k : MN = k n p ⇔  −3 + 5m − 3t = −k có nghiệm
 −2 − 2m − t = −5k

m = 1
Giải hệ tìm được 
t = 1
 x = 1 + 2t

Khi đó điểm M(1; 4; 3) ⇒ Phương trình d:  y = 4 − t thoả mãn bài toán
 z = 3 − 5t

2) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường
thẳng :
 x = 1 + 2t
x +1 3 − y z + 2

=
=
(d)
và (d’)  y = 2 + t
1
−1
2
z = 1 + t


Viết phương trình tham số của đường thẳng ( ∆ ) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và
(d’) . CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng .
Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5)
Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình :
x = 9 − t

 y = 6 − 8t
 z = 5 − 15t

v
+ Đường thẳng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP u ( 1;1; 2 )
uur
+ Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP u ' ( 2;1;1)
Ta có : uuuuur
• MM ' = ( 2; −1;3 )
Trang - 3 -


Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc



uuuuur r uur
MM ' u, u ' = ( 2; 1;3)

Mt s cõu HHKG trong thi i hc

(

1 2
1 1

; 12

1
2

;

1 1
2 1

) = 8 0

Do ú (d) v (d) chộo nhau .(pcm)
uuuuur r uur
MM ' u, u '
8
=
Khi ú : d ( ( d ) , ( d ' ) ) =
r uur
11
u, u '


2)
Cho hai ng thng cú phng trỡnh:
x = 3 + t

d 2 : y = 7 2t
z = 1 t


x2
z +3
d1 :
= y +1 =
3
2

Vit phng trỡnh ng thng ct d 1 v d2 ng thi i qua im M(3;10;1). Gi ng thng cn tỡm l d
v ng thng d ct hai ng thng d1uuu
vr d2 ln
uuurlt ti im A(2+3a;-1+a;-3+2a) v B(3+b;7-2b;1-b).
Do ng thng d i qua M(3;10;1)=> MA = k MB
uuur
uuur
MA = ( 3a 1; a 11; 4 + 2a ) , MB = ( b; 2b 3; b )
3a 1 = kb
3a kb = 1
a = 1



a 11 = 2kb 3k a + 3k + 2kb = 11 k = 2
4 + 2a = kb
2a + kb = 4
b = 1

uuur
=> MA = ( 2; 10; 2 )
x = 3 + 2t

Phng trỡnh ng thng AB l: y = 10 10t
z = 1 2t

2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho cỏc ng thng:

x = 1
( d1 ) : y = 4 + 2t
z = 3 + t


v

x = 3u
( d 2 ) : y = 3 + 2u
z = 2


a. Chng minh rng (d1) v (d2) chộo nhau.
b. Vit phng trỡnh mt cu (S) cú ng kớnh l on vuụng gúc chung ca (d1) v (d2).
uur
uur uur uuuuuur
Đờng thẳng (d1) đi qua M1( 1; -4; 3) và có VTCP u1 = ( 0; 2;1)
Suy ra u1 , u 2 .M1M 2 = 49 0 . Vậy
uur

Đờng thẳng (d2) đi qua M2( 0; 3;-2) và có VTCP u 2 = ( 3; 2;0 ) (d1) và (d2) chéo nhau
uur uur
uuuuuur
Do đó : M1M 2 = ( 1;7; 5 ) và u1 , u 2 = ( 2; 3;6 )
Lấy A( 1; -4 + 2t; 3 + t) thuộc (d1) và B(-3u; 3 + 2u; -2) thuộc (d2) .Ta có :
uuur
AB = ( 3u 1;7 + 2u 2t; 5 t )
A,B là giao điểm của đờng vuông góc chung của (d1) và (d2) với hai đờng đó
uuur uur
AB.u1 = 0
14 + 4u 4t 5 t = 0
u = 1
uuur uur


9u + 3 + 14 + 4u 4u = 0
t = 1
AB.u 2 = 0
uuur
Suy ra : A( 1; -2; 4) và B(3; 1; -2) AB = ( 2;3; 6 ) AB = 7
1
Trung điểm I của AB có tọa độ là : ( 2; - ; 1)
2
Mặt cầu (S) cần tìm có tâm I và bán kính là AB/2 và có PT :
2

1
49
2
( x 2 ) + y + ữ + ( z 1) =

2
4

2

2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz. Cho mt cu (S) : ( x 1) 2 + y 2 + ( z + 2) 2 = 9 .
Trang - 4 -


Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

Một số câu HHKG trong đề thi Đại học

Lập phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a :
đường tròn có bán kính bằng 2 .

x y −1
z
=
=
và cắt mặt cầu (S) theo
1
2
−2

(S) có tâm J (1,0 ,−2) bán kính R = 3

KL : Có 2 mặt phẳng : (P1) :
→
+ đt a có vtcp u (1, 2 , − 2 ) , (P) vuông góc với đt a nên (P) nhận u làm vtpt x + 2 y − 2 z − 5 + 3 5 = 0 và

(P2) : x + 2 y − 2 z − 5 − 3 5 = 0
Pt mp (P) có dạng : x + 2 y − 2 z + D = 0
→

+ (P) cắt (S) theo đường tròn có bk r = 2 nên d( J , (P) ) =
nên ta có :

1 + 2.0 − 2.(−2) + D
= 5
3

R2 − r2 = 5

 D = −5 + 3 5
↔
 D = −5 − 3 5

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng:
(P): 2x – y + z + 1 = 0,
(Q): x – y + 2z + 3 = 0, (R): x + 2y – 3z + 1 = 0
x−2
y +1
z
và đường thẳng ∆ 1 :
=
= . Gọi ∆ 2 là giao tuyến của (P) và (Q).
−2
1
3
Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng ∆ 1 , ∆ 2 .

x = 2 − 2t

* ∆1 có phương trình tham số y = −1 + t
z = 3t

x = 2 + s

* ∆ 2 có phương trình tham số y = 5 + 3s
z = s

*Giả sử d ∩ ∆1 = A ;d ∩ ∆ 2 = B
⇒ A (2 − 2t ; −1 + t ;3t ) B(2+s;5+3s;s)
uuuur
ur
* A B = (s + 2t ;3s − t + 6;s − 3t ) , mf(R) có vtpt n = (1; 2; −3)
uuuur ur
* d ⊥ (R ) ⇔ A B & n cùng phương
s + 2t 3s − t + 6 s − 3t
⇔
=
=
1
2
−3
23
⇒t =
24
ur
1 1 23
*d đi qua A ( ; ; ) và có vtcp n = (1; 2; −3)

12 12 8
23
1
1
z−
x−
y−
=> d có phương trình
8
12 =
12 =
1
2
−3
2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho ( P ) : x + 2 y − z + 5 = 0 và đường thẳng
x+3
(d ) :
= y + 1 = z − 3 , điểm A( -2; 3; 4). Gọi ∆ là đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao điểm của ( d) và
2
(P) đồng thời vuông góc với d. Tìm trên ∆ điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất
 x = 2t − 3

Chuyển phương trình d về dạng tham số ta được:  y = t − 1
z = t + 3

Gọi I là giao điểm của (d) và (P) ⇒ I ( 2t − 3; t − 1; t + 3)
Do I ∈ ( P ) ⇒ 2t − 3 + 2(t − 1) − (t − 3) + 5 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ I ( − 1;0;4 )

* (d) có vectơ chỉ phương là a (2;1;1) , mp( P) có vectơ pháp tuyến là n(1;2;−1)
Trang - 5 -

Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc

Mt s cõu HHKG trong thi i hc

[ ]

a, n = ( 3;3;3) . Gi u l vect ch phng ca u( 1;1;1)
x = 1 u

: y = u
. Vỡ M M ( 1 u; u;4 + u ) , AM(1 u; u 3; u )
z = 4 + u

AM ngn nht AM AM u AM.u = 0 1(1 u) + 1(u 3) + 1.u = 0
4
7 4 16
; ;
u = . Vy M
3
3 3 3
2) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai im A(1;2; -1), B(7; -2; 3) v ng thng d cú phng
trỡnh

x = 2 + 3t

y = 2t (t R) .
z = 4 + 2t

Tỡm trờn d nhng im M sao cho tng khong cỏch t M n A v B l nh nht

M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t) d , AB//d.
Gi A i xng vi A qua d => MA= MA => MA+ MB = MA + MB AB
(MA+ MB)min = AB, khi A, M, B thng hng => MA = MA = MB
MA=MB <=> M(2 ; 0 ; 4)
x +1 y 1 z 1
=
=
2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng d1:
;
2
1
1
x 1 y 2 z +1
=
=
d2:
v mt phng (P): x - y - 2z + 3 = 0. Vit phng trỡnh chớnh tc ca ng
1
1
2

thng , bit nm trờn mt phng (P) v ct hai ng thng d1 , d2

Gi A = d1(P) suy ra A(1; 0 ; 2) ; B = d2 (P) suy ra B(2; 3; 1)
ng thng tha món bi toỏn i qua A vr B.
Mt vect ch phng ca ng thng l u = (1; 3; 1)
x 1 y z 2

= =
Phng trỡnh chớnh tc ca ng thng l:
1
3
1
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đờng thẳng d có phơng trình (d)

x = 1 + 2t

. Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn
y = t
z = 1 + 3t

nhất.
Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là
khoảng cách từ H đến (P).
Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH HI => HI lớn nhất khi A I
Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến.
H d H (1 + 2t ; t ;1 + 3t ) vì H là hình chiếu của A trên d nên AH d AH .u = 0 (u = (2;1;3) là véc tơ
chỉ phơng của d) H (3;1;4) AH (7;1;5) Vậy (P): 7(x 10) + (y 2) 5(z + 1) = 0
7x + y -5z -77 = 0
2) Trong khụng gian vi h trc to Oxyz cho im A(1 ;0 ; 1), B(2 ; 1 ; 2) v mt phng (Q):
x + 2y + 3z + 3 = 0. Lp phng trỡnh mt phng (P) i qua A, B v vuụng gúc vi (Q).
uuur
uur
uuur uur
Ta cú AB(1;1;1), nQ (1; 2;3), AB; nQ = (1; 2;1)
uuur uur r
uuur uur
Vỡ AB; nQ 0 nờn mt phng (P) nhn AB; nQ lm vộc t phỏp tuyn

Vy (P) cú phng trỡnh x - 2y + z - 2 = 0
2) Trong khụng gian vi h to Oxyz cho mt cu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 2 x + 6 y 4 z 2 = 0 .
r
Vit phng trỡnh mt phng (P) song song vi giỏ ca vộc t v(1;6; 2) , vuụng gúc vi mt
phng ( ) : x + 4 y + z 11 = 0 v tip xỳc vi (S).
Trang - 6 -


Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc

Một số câu HHKG trong đề thi Đại học

2) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho đường thẳng d

x − 2 y z +1
=
=
4
−6
−8

và hai điểm A(1;-

1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tìm điểm I trên đường thẳng d sao ur
cho IA +IB đạtugiá
ur trị nhỏ nhất ur
uur
Véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt là: u1 (4; - 6; - 8) u2 ( - 6; 9; 12) u1 và u2 cùng phương
M( 2; 0; - 1) ∈ d1; M( 2; 0; - 1) ∉ d2
r

Vậy d1 // d2 Véc tơ pháp tuyến của mp (P) là n = ( 5; - 22; 19) => (P): 5x – 22y + 19z + 9 = 0
uuur
AB = ( 2; - 3; - 4); AB // d1
Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua d1 .Ta có: IA + IB = IA1 + IB ≥ A1B
IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A1B
A
Khi A1, I, B thẳng hàng ⇒ I là giao điểm của A1B và d
B
Do AB // d1 nên I là trung điểm của A1B.
 36 33 15 
H
*) Gọi H là hình chiếu của A lên d1. Tìm được H  ; ; ÷
d
29
29
29


1
I
 43 95 28 
A’ đối xứng với A qua H nên A’  ; ; − ÷
 29 29 29 
A1
 65 −21 −43 
;
I là trung điểm của A’B suy ra I  ;
÷
 29 58 29 

Trang - 7 -