Tài liệu của Quang Hiệu đã được bẻ khóa

Năm học
2009 - 2010

Đã bị bẻ khóa

2008

Ngày soạn : 16/02/10
Ngày dạy : 22/02/10
góc với đờng tròn
góc với đờng tròn

Chủ đề 3
Buổi 1

A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Ôn tập và hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về góc nội tiếp, góc
tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung; góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn, góc có
đỉnh ở bên ngoài đờng tròn
- áp dụng kiến thức trên để giải bài tập có liên quan
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng vẽ hình, nhận dạng các loại góc, chứng minh và trình
bày bài giải
Thái độ
- Học sinh có thái độ nghiêm túc, tự giác học tập, có ý thức củng cố kiến
thức đã học
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV: Thớc, compa, êke
- HS: Thớc, compa, êke

C/Tiến trình bài dạy

chức
II. Kiểm tra bài cũ

HS1
:
HS2
:
HS3
:

I. Tổ

Nêu định nghĩa, định lí và hệ quả của định lí về góc nội tiếp ?
Nêu khái niệm, định lí và hệ quả của định lí về tạo bởi tia tiếp
tuyến và dây cung ?
Nêu các định lí về góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn, góc có đỉnh
ở bên ngoài đờng tròn
III. Bài

mới

I. Lí thuyết:
1. Góc nội tiếp:
a) Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đờng tròn và hai cạnh của góc chứa hai dây cung của đờng tròn đó.
ã
là góc nội tiếp chắn cung BmC
BAC
b) Định lí: Trong một đờng tròn, số đo của góc nội tiếp

Giáo án Dạy thêm Hình học 9

C
A

O

B

m


Trờng THCS Hồng H ng
bằng nửa số đo của cung bị chắn.
ã
ẳ
BAC
= 12 sđ BmC
c) Hệ quả: Trong một đờng tròn
+) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
+) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng
nhau thì bằng nhau.
+) Góc nội tiếp không quá 900 có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm
cùng chắn một cung.
+) Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông.
2. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:
a) Khái niệm: Tia tiếp tuyến Ax và tia AB chứa dây
AB của đờng tròn (O) tạo nên một góc, gọi là góc tạo
bởi tia tiếp tuyến Ax và dây AB.

ã
là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung , góc
xAB
này chắn cung AmB
b) Định lí: Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và
dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
1
ã
ẳ
xAB
= sđ AmB
2
c) Hệ quả: Trong một đờng tròn, góc tạo bởi tia tiếp
tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một
cung thì bằng nhau.
B

O

m

A

x

1
ã
ã
ẳ
= ACB

= sđ AmB
Ta có: BAx
2

3 - Góc có đỉnh ở bên trong, góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn:
m
a) Định lí 1: Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đờng
C
tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn
O

1
ã
ẳ )
ẳ + sđ CmD
AKB
= ( sđ AnB
2

D

K
A

n

B

D
C

A
b) Định lí 2: Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đờng
m
B
tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn
O
n
1
ã
ẳ )
ẳ + sđ BmC
DAE
= ( sđ DnE
E
2
II. Bài tập:
1. Bài tập 1: Chứng minh rằng trong một đờng tròn, hai cung bị chắn giữa
hai dây song song thì bằng nhau.
Giải:
*) Trờng hợp 1: Tâm O nằm ngoài 2 dây song song (AB // CD)
Kẻ đờng kính MN sao cho MN // AB ; MN // CD

Giaự o vieõn: Phaù m Vaờn Hieọu


Năm học
2009 - 2010

Đã bị bẻ khóa
ã

OAB
= ãAOM

Ta có: ã
ã
OBA = BON

2008

(so le trong)

(1)

ã
Mà AOB cân tại O OAB
= ãABO (2)
ã
ằ
sđ ẳ
Từ (1) và (2) ãAOM = BON
(a)
AM = sđ BN
ẳ
ẳ
Lí luận tơng tự ta có: sđ CM = sđ DN (b)
ằ nên từ (a) và (b)
Vì C nằm trên ẳ
AM và D nằm trên BN
ẳ = sđ BN
ằ - sđ DN

ẳ
sđ ẳ
AM - sđ CM
ằ
ằ
ằAC = BD
Hay sđ ằAC = sđ BD
(đpcm)
*) Trờng hợp 2 : Tâm O nằm trong hai dây song song.

Kẻ đờng kính MN sao cho MN // AB ; MN // CD
ã
OAB
= ãAOM
Ta có: ã
(so le trong) (1)
ã
OBA = BON
ã
Mà AOB cân tại O OAB
= ãABO (2)
ã
ằ
sđ ẳ
Từ (1) và (2) ãAOM = BON
(a)
AM = sđ BN
ẳ = sđ DN
ẳ
Lí luận tơng tự ta có: sđ CM

(b)
ằ
ằ
Vì M nằm trên AC và N nằm trên BD nên từ (a) và (b)
ẳ = sđ BN
ằ + sđ DN
ẳ
sđ ẳ
AM + sđ CM
ằ
ằ
ằAC = BD
Hay sđ ằAC = sđ BD
(đpcm)

2. Bài tập 2: Trên đờng tròn (O) lấy ba điểm A, B, C. Gọi M, N, P theo thứ
tự là điểm chính giữa của các cung AB (không chứa C), BC (không chứa A)
và AC (không chứa B). Gọi I là giao điểm của BP và AN, E là giao điểm
của AB với MN. Chứng minh rằng:
a) BNI là tam giác cân.
b) AE.BN = EB.AN.
c) EI//BC
AN AB
=
d)
BN BD
Giải:
1
ã
ẳ = 1 ( sđ ằ

A
ằ )
= sđ PCN
a) Ta có: PBN
PC + sđ CN
P
2
2
1
ã
ằ + sđ BN
ằ )
O
BIN
= (sđ AP
2
M
ằ = AP
ằ , CN
ằ = BN
ằ BPN
ã
ã
I
Mà PC
= BIN
E
C
D
Tức là tam giác BIN cân tại N

B
N
b)Vì M là điểm chính giữa của cung AB nên
NE là đờng phân giác của góc ANB. Do đó:
AE AN
=
AE.BN = EB.AN
EB BN
c) Theo câu a) ta có BN = NI NBE = NIE (c.g.c). Do đó EI = EB và vì

Giáo án Dạy thêm Hình học 9


Trờng THCS Hồng H ng
ã
ã
vậy tam giác EIB cân tại E suy ra EBI
= EIB
ằ = PC
ằ nên EBI
ã
ã . Bởi vậy EIB
ã
ã
Mặt khác, do AP
= IBC
= IBC
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên EI//BC.
d) Hai tam giác BND và ANB có chung góc ANB. Mặt khác
ằ = CN

ằ BAN
ã
ã
do đó hai tam giác này đồng dạng.
BN
= CBN
AN AB
=
Suy ra
BN BD
3. Bài tập 3: Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng d ở ngoài đờng tròn. A là
hình chiếu của O trên d. Kẻ cát tuyến ABC và hai tiếp tuyến Bx và Cy cắt d
lần lợt tại D, E. Chứng minh rằng AE = AD.
Giải:
D
Ta thấy A, D cùng thuộc đờng tròn đờng kính OD
ã
ã
( vì góc OAD vuông) nên: BDO
(cùng chắn
= CAO
O
A
cung OB).
B
Bốn điểm O, A, E, C cùng thuộc đờng tròn đờng
d
ã
ã
C

kính OE nên: CEO
(cùng chắn cung OC).
= CAO
E
OBD = OCE => OE = OD
Tam Giác OED cân nên đờng cao OA chia đôi cạnh
đáy ED. Bởi vậy ta có AE = AD
4. Bài tập 4: Từ một điểm M ở ngoài đờng tròn (O) kẻ cát tuyến MBA và hai
tiếp tuyến MC, MD. Phân giác của góc ACB cắt AB tại E. Chứng minh:
a) MC = ME.
b) DE là phân giác của góc ADB.
Giải:
a) Gọi F là giao điểm của CE với đờng tròn (O)
C
ằ = AF
ằ . Ta có:
khi đó : BF
1
ã
ằ + sđ AF
ằ )
CEB
= ( sđ BC
2
A
E
1
1
B
M

ằ ) = sđ ằ
ằ + sđ BF
ã
F
= ( sđ BC
D
FC = MCE
2
2
Vậy tam giác MEC cân nên MC = ME.
b) Ta thấy MD = MC nên MD = ME suy ra tam giác MED cân tại M nên:
ã
ã
(1)
MED
= MDE
ã
ã
- Mặt khác: EAD
(cùng chắn cung BD) (2)
= BDM
ã
ã
ã
ã
ã
ã
- Từ (1), (2) ta có MED
hay EDA
(tính chất góc

= EDB
EAD
= MDE
BDM
A
ngoài tam giác)
- Suy ra DE là phân giác của góc ADB.
5. Bài tập 5: Bài tập 20 ( SBT - 76 )
GT : Cho đều ABC nội tiếp (O)
O
ằ ; D MA ; MD = MB .
M BC
D
C

B

Giaự o vieõn: Phaù m Vaờn Hieọu
M


Năm học
2009 - 2010

Đã bị bẻ khóa

2008

KL : a) MBD là tam giác gì ?
b) So sánh BDA và BMC

c) MA = MB + MC .
Chứng minh
a) Xét MBD có MB = MD ( gt )
MBD cân tại M .
ã
ã
Lại có : BMA=
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
BCA
ã
ã
mà ABC đều ( gt ) BMA=
BCA
= 600 MBD là tam giác đều .
b) Xét BDA và BMC có :
AB = BC ( gt) ( cạnh của tam giác đều )
ã
ã
( góc nội tiếp cùng chắn cung BM )
BAD
= BCM
ã
ã
( cùng cộng với góc DBC bằng 600 )
MBC
= DBA
BDA = BMC ( g.c.g)
c) Có MA = MD + DM ( vì D nằm giữa A và M )
A
mà MD = MB ( gt ) ; MC = MD ( BDA = BMC )

MA = MB + MC ( đcpcm )
6. Bài tập 6: Bài tập 23 ( SBT - 77 )
F
D
GT : Cho ABC ( AB = AC ) nội tiếp (O)
O
BF ; CD là phân giác của ãABC ; ãACB
E
BF cắt CD tại E
KL : Tứ giác EDAF là hình thoi
B
C
Chứng minh :
à =C
à ABF
ã
ã
ã
ã
- Theo ( gt ) có ABC cân tại A B
= CBF
= ACD
= BCD
( vì BF và CD là hai phân giác )
ằ = AF
ằ = CF
ằ = BD
ằ ( các góc nội tiếp bằng nhau chắn cung bằng nhau )
AD
AD = AF (1) ( cung bằng nhau căng dây bằng nhau )

- Có dây AD và dây BF chắn giữa hai cung bằng nhau BD và AF AD //
BF . Tơng tự CD // AF
Tứ giác EDAF là hình bình hành ( 2)
- Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EDAF là hình thoi .
IV. Hớng dẫn về nhà
- Xem lại các bài đã chữa
- Học lại các định nghĩa, định lí, hệ quả về góc nội tiếp, góc tạo bởi tia
tiếp tuyến và dây cung; góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn, góc có đỉnh ở bên
ngoài đờng tròn
*******************************
*) Hãy giữ phím ctrl và nhấn vào đờng link này - />
Ngày soạn : 10/03/10

Giáo án Dạy thêm Hình học 9


Trờng THCS Hồng H ng

Ngày dạy : 15/03/10
góc với đờng tròn
Tứ giác nội tiếp

Chủ đề 3
Buổi 2

A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh đợc củng cố các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
- Vận dụng các dấu hiệu để chứng minh tứ giác nội tiếp và các bài tập

có liên quan
Kĩ năng
- Rèn luyện kĩ năng vẽ hình, chứng minh, trình bày
Thái độ
- Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV: Thớc, compa, êke
- HS: Thớc, compa, êke
C/Tiến trình bài dạy

I. Tổ

chức
II. Kiểm tra bài cũ

- HS1: Nêu định nghĩa, định lí và các hệ quả của tứ giác nội tiếp ?
- HS2: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có những cách
nào ?
III. Bài

mới

I Lí thuyết
Các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
a) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
b) Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
c) Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định đợc). Điểm
đó là tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác
d) Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới
một góc

Lu ý: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có thể chứng minh
tứ giác đó là một trong các hình : Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang
cân.
II Bài tập
1. Bài tập 1: Cho ABC (AB = AC) nội tiếp trong đờng tròn (O). Các đờng
cao AG, BE, CF cắt nhau tại H.

Giaự o vieõn: Phaù m Vaờn Hieọu


Năm học
2009 - 2010

Đã bị bẻ khóa

2008

a) CMR: Tứ giác AEHF nội tiếp. Xác định tâm I của đờng tròn ngoại tiếp
tứ giác đó.
b) Chứng minh : AF . AC = AH . AG
c) Chứng minh GE là tiếp tuyến của (I) .
Chứng minh:
a) Ta có: AG , BE , CF là 3 đờng cao trong ABC cắt
ã
ã
nhau tại H AFH
= AEH
= 900
ã
ã

AFH
+ AEH
= 900 + 900 = 1800
Tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp .

- Vì E, F nhìn AH dới một góc bằng 900 Theo quỹ tích cung chứa góc thì
E, F nằm trên đờng tròn tâm I đờng kính AH tâm I của đờng tròn ngoại
tiếp tứ giác EHFF là trung điểm của AH .
ã
ã
ã
( chung ) ; AFH
= AGB
= 900 (gt)
b) Xét AFH và AGB có: BAG
AFH S AGB (g.g)


AF AH
=
AG AB

AB . AF = AH . AG

(*)

lại có AB = AC ( gt) Thay vào (*) ta có
AF . AC = AH . AG (Đcpcm)
c) Xét IAE có (IA = IE vì I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF)
ã

ã
IAE cân IAE
= IEA
(1)
Xét CBE có EG là trung tuyến (Do AG là đờng cao của ABC cân)
BG = GC GE = GB = GC
ã
ã
GBE cân tại G GBE
= GEB
(2)
ã
ã
ã
ã
+ BCA
= 900 ; GBE
+ BCA
= 900
Lại có IAE
ã
ã
ã
ã
IAE
( 3)
= IEA
= GBE
= GEB
0

ã
ã
+ IEH
= 90 (gt) (4)
Mà IEA
ã
ã
Từ (1) , (2) , (3) và (4) IEH
+ HEG
= 900
GE IE GE là tiếp tuyến của (I) tại E
2. Bài tập 2:

Giải:

Giáo án Dạy thêm Hình học 9


Trờng THCS Hồng H ng

3. Bài tập 3:

Giải:

Giaự o vieõn: Phaù m Vaờn Hieọu


Đã bị bẻ khóa
4. Bài tập 4:

Giải:

5. Bài tập 5:

Giáo án Dạy thêm Hình học 9

Năm học
2009 - 2010

2008


Trờng THCS Hồng H ng

6. Bài tập 6:

7. Bài tập 7:

8. Bài tập 8:

Giaự o vieõn: Phaù m Vaờn Hieọu


Năm học
2009 - 2010

Đã bị bẻ khóa

2008

Giải:

IV. Hớng
- Xem lại các bài tập đã chữa

dẫn về nhà

*******************************

*) Hãy giữ phím ctrl và nhấn vào đờng link này - />
Ngày soạn : 01/04/10

Giáo án Dạy thêm Hình học 9


Trờng THCS Hồng H ng

Ngày dạy : 05/04/10
Chủ đề 3
Buổi 3

góc với đờng tròn
luyện tập các bài toán về tứ giác nội tiếp

A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh đợc củng cố vững chắc các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội
tiếp
- Vận dụng các dấu hiệu để chứng minh tứ giác nội tiếp và các bài tập

có liên quan
Kĩ năng
- Rèn luyện kĩ năng vẽ hình, chứng minh, trình bày
- Nâng cao kĩ năng chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp.
Thái độ
- Học sinh có thái độ học tập đúng đắn, nghiêm túc
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV: Thớc, compa, êke
- HS: Thớc, compa, êke
C/Tiến trình bài dạy

chức
II. Kiểm tra bài cũ

- HS :

I. Tổ

Nêu các dấu hiệu nhận biết một tứ giác nội tiếp ?

III. Bài mới
Bài tập 1: Cho tam giác ABC, các đờng phân giác trong các góc B, C cắt
nhau tại S. Các đờng phân giác ngoài góc B, C cắt nhau tại P.
a) Chứng minh tứ giác BSCP nội tiếp.
b) Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BSCP.
c) Gọi N là giao điểm của BC và SP.
Chứng minh SN.PN = BN.NC
Hớng dẫn:
a)Vì BS là tia phân giác của góc ABC và BP là tia phân giác của góc CBx.
ã

ã
ã
Mà ABC
+ CBx
= 180 0 BS BP SBP
= 90 0

Giaự o vieõn: Phaù m Vaờn Hieọu


Năm học
2009 - 2010

Đã bị bẻ khóa

2008

ã
- Tơng tự SCP
= 90
ã
ã
SBP
+ SCP
= 180 0 suy ra tứ giác BSCP nội tiếp.
ã
b)Do tứ giác BSCP nội tiếp mà SCP
= 90 0
0

suy ra góc SCP là góc nội tiếp chắn nửa đờng
tròn

A

S
B

x

C

N
O

y
P

- Nên đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BSCP nhận SP làm đờng kính. Suy ra
tâm của đờng tròn này là trung điểm của SP.
c) Xét BNS và PNC có
ã
ã
(đối đỉnh)
BNS
= PNC
ã
ã
(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung SC)
SBC

= SPC
suy ra hai tam giác BNS, PNC đồng dạng:
SN BN

=
SN.PN = BN .CN
CN PN
Bài tập 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O). S là một điểm chính
giữa của cung AB; SC và SD cắt AB tại E và F.
a) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp.
b) Chứng minh SO là phân giác của góc ASB.
c) DE và CF kéo dài cắt (O) lần lợt tại N, M. chứng minh SO vuông góc
với MN.
Hớng dẫn:
a) ta có :
1
ã
ẳ + sđ AS
ằ )
DFB
= ( sđ DCB
2
E
1
) = 1 sđ ẳ
ẳ + sđ SB
= ( sđ DCB
DCS
2
2

1
ã
ẳ
DCS
= sđ DAS
2
ã
ã
DFB
+ DSC
= 180 0
Suy ra tứ giác DFEC nội tiếp
= SB
SA = SB hay tam giác SAB cân tại S.
b)Do SA
Mặt khác SO AB
Nên SO là đờng phân giác của góc ASB ( đờng cao hạ từ đỉnh của tam giác
cân đồng thời là đờng phân giác).
c)Vì tứ giác DCEF nội tiếp nên :
ã
ã
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung FE)
FDE
= FCE
ằ = SN
ằ do đó SO MN
SM
Bài tập 3: Cho ba đờng tròn cùng đi qua điểm P. Gọi các giao điểm khác P
của hai trong ba đờng tròn đó là A, B, C. Từ một điểm D (khác điểm P)

Giáo án Dạy thêm Hình học 9


Trờng THCS Hồng H ng
trên đờng tròn (PBC) kẻ tia DB, DC cắt đờng tròn (PAB), (PAC) lần lợt tại
M, N. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Hớng dẫn:
A
Vì tứ giác APBM nội tiếp
M
N
0
ã
ã
MAP
+ MBP
= 180
ã
ã
Lại có PBD
+ PBM
= 180 0 (Kề bù)
P
B
ãMAP = PBD
ã
C
(1)
Tứ giác ANCP nội tiếp
ã

ã
PAN
+ NCP
= 180 0
ã
ã
D
DCP
+ NCP
= 180 0 (Kề bù)
ã
ã
(2)
PAN
= PCD
ã
ã
Mà PBD
+ PCD
= 180 0 (3)
ã
ã
Từ (1), (2), (3) MAP
+ PAN
= 180 0

Suy ra ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Bài tập 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O). Gọi điểm chính giữa
của cung AB, BC, CD, DA lần lợt là M, N, P, Q.
a) Chứng minh rằng MP vuông góc với NQ.

b) Gọi giao điểm của DC với PA, PB theo thứ tự là E, F. Chứng minh tứ
giác ABFE nội tiếp.
Hớng dẫn:
a) Gọi I là giao điểm của PM và QN ta có:
C
1
P
ã
ằ )
ẳ + sđ PQ
MIN
= (sđ MN
F
2
N
E
0
1 1
D
360
ẳ + sđ ẳ
= . ( sđ ABC
ADC) =
= 900
I
2 2
O
4
MP NQ
B

Q
ằ = PC
ằ nên ta có:
b) Vì DP
A
M
ãFBA = 1 sđ AP
ằ = 1 ( sđ ằ
ằ
ã
AD + sđ PC) = PEC
2
2
ã
ã
ã
ã
Từ đó PEC + FEA = 180 0 FBA
+ FEA
= 180 0
Do đó tứ giác ABFE nội tiếp.
à = 20 0 . Trên nửa mặt
Bài tập 5 : Cho tam giác cân ABC với đáy BC có A
ã
phẳng bờ AB không chứa điểm C lấy D sao cho DA = DB và DAB
= 40 0 . Gọi
E là giao điểm của AB va DC.
a) Chứng minh tứ giác ADBC nội tiếp.
ã
b) Tính AED

.
Hớng dẫn:

Giaự o vieõn: Phaù m Vaờn Hieọu


Năm học
2009 - 2010

Đã bị bẻ khóa

2008

à = 20
a) Vì tam giác ABC cân tại A và A
A
0 (1)
ã
ACB = 80
Xét tam giác ADB có DA=DB suy ra tam giác ADB
cân tại D.
D
ã
ã
Nên ta có DBA
= DAB
= 40 0
ã
ADB
= 100 0 (2)

E
ã
ã
Từ (1), (2) ACB
+ ADB
= 180 0
Do đó tứ giác ADBC nội tiếp.
C
1
B
ã
ằ
b) BAC = sđ BC (góc nội tiếp chắn cung BC)
2
ằ =400
sđ BC
1
ã
ằ (góc nội tiếp chắn cung DA)
= sđ AD
Tơng tự: ADB
2
ằ = 800
sđ DA
1
ã
ằ ) = 600 (góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn chắn
ẳ + sđ DA
= ( sđ BC
Mà AED

2
cung BC và cung AD)
0

Bài tập 6: Cho đờng tròn (O), đờng kính AB. C là một điểm nằm giữa hai
điểm O và A. Đờng thẳng kẻ qua C vuông góc với AB cắt đờng tròn (O) ở P
và Q. Tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại điểm D trên cung nhỏ BP cắt đờng
thẳng PQ ở E. AD cắt PQ tại F. Chứng minh:
a) Tứ giác BCFD nội tiếp.
b) ED = EF.
c) Tam giác EDP và tam giác EQD đồng dạng. Suy ra ED2=EP.EQ.
Hớng dẫn:
ã
a) Vì AB PD BCF
= 90 0
ã
Mà BDA
= 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)
ã
ã
BCF
+ BDF
= 180 0 . Do vậy tứ giác BDFC nội tiếp
1
ã
ã
ẳ )
b) Ta thấy: ABD
(= sđ ADP
= ADE

D
B
2
ã
ã
Lại có ABD
(Cùng bù với góc CFD)
= DFE
ã
ã
O
Suy ra EDF
= DFE
FED cân
Q
Nên ED=EF.
C
F
P
A
E

1
ã
ã
ằ )
c) Ta có PQD
(= sđ PD
= PDE
2

à chung
E

Giáo án Dạy thêm Hình học 9


Trờng THCS Hồng H ng
Suy ra hai tam giác EDP và EQD đồng dạng
ED EP

=
ED2 = EP.QE
EQ ED
Bài tập 7 : Hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại hai điểm A và B. Gọi EF
là một tiếp tuyến chung của chúng và AB cắt EF tại I.
a) Chứng minh hai tam giác IEA và IBE đồng dạng.
b) Chứng minh I là trung điểm của EF.
c) Gọi C là điểm đối xứng của B qua I. Chứng minh tứ giác AECF nội
tiếp.
Hớng dẫn:
a) Xét IEA và IBE có:
A
ãAIE chung
1
O'
ã
ã
ằ )
(= sđ EB
O

EAB
= BEI
2
B
Suy hai tam giác IEA và IBE đồng dạng.
E
I
b) Theo a) ta có:
F
C
IE IB
2
=
IE = IA.IB
(1)
IA IE
Tơng tự hai tam giác IFA và IBF đồng dạng
Suy ra IF2 = IA.IB (2)
Từ (1), (2) suy ra IE = IF hay I là trung điểm của EF.
c) Vì IE = IF và IB = IC nên tứ giác EBFC là hình bình hành
ã
ã
ã
ã
Suy ra CFE
(so le trong). Mà EAB
= FEB
= BEI
ã
ã

Suy ra CFE
= CAE
Do đó F, A cùng nhìn EC dới một góc nên bốn điểm A, E, C, F cùng thuộc
một đờng tròn.
Bài tập 8: Cho đờng tròn (O) và một điểm C ở ngoài đờng tròn. Từ C kẻ hai
tiếp tuyến CE, CF và cát tuyến CMN tới đờng tròn. Đờng thẳng nối C với O
cắt đờng tròn tại hai điểm A và B. Gọi I là giao điểm của AB với EF.
Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm O, I, M, N cùng thuộc một đờng tròn.
ã
ã
b) AIM
= BIN
Hớng dẫn:
1
N
E
ã
ã
ẳ )
= CNE
( = sđ EM
a) Ta thấy: CEM
2
M
ã
Lại có: ECN
chung
Nên hai tam giác CEM và CNE đồng C
B

I
O
A
dạng
M'
CE CN
2

=
CM.CN = CE (1)
F
CM CE
Vì CE, CF là tiếp tuyến của đờng tròn

Giaự o vieõn: Phaù m Vaờn Hieọu


Đã bị bẻ khóa

Năm học
2009 - 2010

2008

(O) nên AB EF
Trong tam giác vuông CEO có EI là đờng cao:
CE2 = CI.CO (2)
CM CO
=
Từ (1), (2) CM.CN = CI .CO

CI CN
ã
Mà MCI
chung
Suy ra hai tam giác CMI và CON đồng dạng
ã
ã
ã
ã
. Vì vậy MIO
CIM
= CNO
+ MNO
= 180 0
Vậy bốn điểm O, I, M, N cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Kéo dài NI cắt đờng tròn (O) tại M. Do tứ giác IONM nội tiếp nên:
1
ã
ã
ẳ = 1 sđ ẳ
ẳ ' => sđ AM
ẳ = AM
ẳ '
IOM
= INM
= sđ MM
MM ' AM
2
2
ã

ã
ã
Vậy AIM
= AIM
' = BIN
Bài tập 9: Cho đờng tròn (O) và hai tiếp tuyến SA, SB. Kẻ dây cung BC. Đờng kính vuông góc với dây AC cắt BC tại I. Chứng minh:
a) Bốn điểm S, A, I, B cùng thuộc một đờng tròn.
b) Tứ giác SAOI nội tiếp.
c) SI//AC.
Hớng dẫn:
a)
*) Trờng hợp I nằm trong đoạn BC
(hình a)
B
ã
ã
Ta có SAB
(cùng
chắn
cung
AB)
= ACB
I
Vì SA = SB (theo tính chất hai tiếp
O
tuyến cắt nhau)
C
Nên tam giác SAB cân tại S
S
Tam giác AIC có IO vừa là đờng cao

A
vừa là đờng trung tuyến nên tam giác
AIC cân tại I
ã
ã
Suy ra ASB
= AIC
ã
ã
ã
ã
Do đó ASB
+ AIB
= AIC
+ AIB
= 180 0
Vậy bốn điểm S, A, I, B cùng nằm trên
một đờng tròn.
*) Trờng hợp I nằm ngoài đoạn BC
(hình b).
Tơng tự nh trên ta có:
I
B
C
ãBSA = AIC
ã
ã
ã
hay BSA = AIB
O

Suy ra S và I cùng thuộc cung chứa góc
dựng trên đoạn AB, nghĩa là bốn điểm
S, A, I, B cùng thuộc một đờng tròn.
A
S
b)

Giáo án Dạy thêm Hình học 9


Trờng THCS Hồng H ng
*) Trờng hợp I nằm trong đoạn BC:
ằ = SB
ằ ). SI là phân giác góc
ả = SIA
ả (vì SA
Do tứ giác SAIB nội tiếp nên SIB
BIA.
Mặt khác, OI là phân giác góc AIC
OI SI hay A và I cùng thuộc đờng tròn đờng kính SO.
*) Trờng hợp I nằm ngoài đoạn BC
ã = ABS
ã
Do tứ giác SABI nội tiếp AIS
(cùng chắn cung SA)
Trong đờng tròn (O) ta có:
ã
ã
(cùng chắn cung AB)
ABS

= ACB
ã
ã
Vì tam giác AIC cân nên ta có: ACB
= IAC
ã
ã
ã = OIA
ã
ã
Do đó OIA
+ AIS
+ IAC
= 90 0 => OIS
= 900
Nh vậy A và I thuộc đờng tròn đờng kính SO.
c) Theo câu b) ta có SI OI theo giả thiết ta có AC OI
Suy ra AC//SI.
Bài tập 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O). Tia phân giác của
góc BAC cắt BC tại I, cắt đờng tròn (O) tại P. Kẻ đờng kính PQ. Các tia
phân giác của các góc ABC và ACB cắt AQ theo thứ tự tại E, F. Chứng
minh:
a) PC2=PI.PA.
b) Bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đờng tròn.
Hớng dẫn:
a)Xét PCI và PAC
E
Q
ã
chung (1)

APC
A
ằ = PC
ằ
AP là phân giác của góc BAC BP
ã
ã
F
(hai góc nội tiếp chắn hai
PAC
= ICP
K
cung bằng nhau) (2)
B
C
Từ (1), (2) suy ra hai tam giác PIC và
I
PAC đồng dạng
PC PA
P

=
PC2 = PA.PI
PI PC
c)Do PQ là đờng kính nên góc PAQ vuông. Gọi K là giao điểm của ba đờng
ã
ã
ã
phân giác ta có: FEB
= AEK

= 90 0 AKE
à B
à
A
ã
ã
ã
Xét tam giác ABK ta có: AKE
= ABK
+ BAK
= +
2 2
Do đó:
à à
à
ãFEB = 90 0 A + B ữ = C = FCB
ã
2 2ữ 2


Bởi vậy E và C cùng nhìn FB dới một góc, nên bốn điểm B, C, E, F cùng
thuộc một đờng tròn.

Giaự o vieõn: Phaù m Vaờn Hieọu


Đã bị bẻ khóa

Năm học
2009 - 2010

2008

Bài tập 11: Qua điểm A ở bên ngoài đờng tròn, kẻ cát tuyến ABC với đờng
tròn. Các tiếp tuyến của đờng tròn tại B và C cắt nhau ở K. Qua K kẻ đờng
thẳng vuông góc với OA, cắt OA ở H và cắt đờng tròn tâm O tại E và F (E
nằm giữa K và F). Gọi M là giao điểm của OK và BC. Chứng minh rằng:
a) EMOF nội tiếp.
b) AE, AF là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
Hớng dẫn:
a) Vì CM OK nên tam giác OCK
F
vuông có : KC2 = KM.KO
KC là tiếp tuyến, KF là cát tuyến
H
O
nên: KC2 = KE.KF
A
Suy ra KM.KO = KE.KF nên
B
M
KM KF
C
E
=
KE KO
K
ã
Mà EKM
chung

Suy ra hai tam giác KEM và KOF
đồng dạng
ã
ã
do đó tứ giác EMOF
EMK
= KFO
nội tiếp. (1)
ã
ã
ã
ã
b) Đặt EMK
= 900 , AME
= 900
= KFO
= . Ta có ãAOE = FOA
Do đó tứ giác AOME nội tiếp
(2)
Từ (1), (2) suy ra năm điểm A, E, M, O, F cùng thuộc một đờng tròn, đờng
kính của đờng tròn là OA.
ã
ã
AFO
= AEO
= 90 0 , tức là AF và AE là tiếp tuyến của đờng tròn (O).

IV. Hớng dẫn về nhà
- Xem lại các bài đã chữa
- Giải bài tập sau: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB > AC, đờng

cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đờng tròn đờng
kính BH cắt AB tại E, vẽ nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC tại F.
a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật
b) Chứng minh AE.AB = AF.AC
c) Chứng minh tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp
à = 300 , BH = 4 cm. Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi
d) Biết B
dây BE và cung BE
*) Hớng dẫn:

Giáo án Dạy thêm Hình học 9


Trờng THCS Hồng H ng
a) ãBEH = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đờng
A
tròn đờng kính BH) => ãAEH = 900
E
ã
HFC
= 900 (góc nội tiếp chắn nửa đờng
m
F
K
tròn đờng kính HC) => ãAFH = 900
- Tứ giác AEHF có àA = ãAEH = ãAFH = 900
300
C
B
H

O
nên tứ giác này là hình chữ nhật
b) AHB vuông tại H có HE vuông góc với AB (cmt)
=> AE.AB = AH2 (hệ thức lợng trong tam giác vuông)
- Tơng tự AF.AC = AH2
=> AE.AB = AF.AC
c) Theo câu a tứ giác AEHF là hình chữ nhật => nội tiếp đợc
nên ãAFE = ãAHE (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AE)
à = ãAHE (cùng phụ BHE
ã
- Ta lại có: B
)
à . Vậy tứ giác BEFC nội tiếp
=> ãAFE = B
d) Gọi O là tâm của đờng tròn đờng kính BH
- Nối OE. Kẻ OK BE
- Vì BH = 4cm => R(O) = 2cm
à = 300 => EOH
ã
- Theo giả thiết B
= 600 (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn
ã
cung EH) => BOE
= 1200
3
= 2 3 cm và OK = OB.sin300 = 1cm
2
2
- Diện tích hình quạt tròn OBmE là : SquạtOBmE = R .120 = 4 cm2
360

3
1 OK . BE = 3 cm2
- Diện tích tam giác OBE là : S OBE =
2
- Ta có: BE = BH.cos300 = 4.

- Diện tích hình viên phân BmE là : 4
3

3 =

4 3 3
2,45 cm2
3

*******************************

*) Hãy giữ phím ctrl và nhấn vào đờng link này - />
Ngày soạn : 09/04/10
Ngày dạy : 15/04/10
Chủ đề 3

góc với đờng tròn
Giaự o vieõn: Phaù m Vaờn Hieọu


Năm học
2009 - 2010

Đã bị bẻ khóa

Buổi 4

2008
Chứng minh một đờng thẳng là tiếp tuyến của một đờng tròn

A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh đợc củng cố vững chắc các dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của
đờng tròn
- Vận dụng các dấu hiệu để chứng minh một đờng thẳng là tiếp tuyến
của một đờng tròn
Kĩ năng
- Rèn luyện kĩ năng vẽ hình, chứng minh, trình bày
- Nâng cao kĩ năng chứng minh một đờng thẳng là tiếp tuyến của một
đờng tròn

Thái độ
- Học sinh có thái độ học tập đúng đắn, nghiêm túc
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV: Thớc, compa, êke
- HS: Thớc, compa, êke
C/Tiến trình bài dạy

I. Tổ

chức
II. Kiểm tra bài cũ
- HS1:

Nêu các dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đờng tròn ?
Học sinh nêu hai dấu hiệu:
Đờng thẳng và đờng tròn chỉ có một điểm chung (định
nghĩa tiếp tuyến)
Đờng thẳng đi qua một điểm của đờng tròn và vuông góc
với bán kính đi qua điểm đó
- GV: Bổ sung các cách khác để chứng minh một đờng thẳng là tiếp
tuyến của đờng tròn
III. Bài

mới

1. Lí thuyết:
Có ba cách thờng dùng để chứng minh một đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn.

Cách 1: Chứng minh đờng thẳng đi qua một điểm của đờng tròn
và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.

Giáo án Dạy thêm Hình học 9


Trờng THCS Hồng H ng

H ( O)


=> a là tiếp tuyến của (O)
a OH tại H

Cách 2:
Để chứng minh đờng thẳng d tiếp xúc
với đờng tròn (O) tại điểm A ta chứng
minh góc tạo bởi đờng thẳng d với dây
AB nào đó bằng góc nội tiếp chắn cung
AB.
Cho hình vẽ:
ã
ã
Nếu BAx
thì d là tiếp tuyến của đ= ACB
ờng tròn
Cách 3: Sử dụng định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp
tuyến và dây cung
Cho hình vẽ:
1
ã
ẳ
Nếu BAx = 2 sđ AmB thì Ax là một tia

tiếp tuyến của đờng tròn
2. Bài tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, các đờng cao AD, BE cắt nhau tại H. Vẽ
đờng tròn (O) có đờng kính AH. Chứng minh rằng:
a) Điểm E nằm trên đờng tròn (O).
b) DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
Hớng dẫn:

0
ã
a) Vì AEH
= 90 , nên E nằm trên đờng tròn đờng
A
kính AH hay E nằm trên (O).
(*)
b) Tam giác BEC vuông tại E có ED là trung
tuyến.
Suy ra ED = DB do đó tam giác BDE cân tại D
O
ã
ã
(1)
DBH
= HED
Mặt khác tam giác EOH cân tại O
H
E
ã
ã
nên OHE
(2)
= HEO
ã
ã
B
Lại có BHD = OHE
(đối đỉnh) (3)
C

D
ã
ã
Từ (2), (3) HEO = BHD (4)
ã
ã
Mà HBD
+ BHD
= 90 0 (5)

Giaự o vieõn: Phaù m Vaờn Hieọu


Đã bị bẻ khóa

Năm học
2009 - 2010

2008

ã
ã
Từ (1), (4), (5) HEO
+ HED
= 90 hay 0E DE (**)
Từ (*), (**) suy ra DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
Bài 2: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB và hai tiếp tuyến Ax và By. Một đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn tại C (C khác A, B) cắt Ax, By lần lợt tại
E, F. Chứng minh rằng:
a) OE vuông góc với OF.
b) Tam giác EOF đồng dạng với tam giác ACB.

c) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác EOF tiếp xúc với AB.
Hớng dẫn:
a) AE, BF, EF là các tiếp tuyến của đờng
y
x
tròn (O) nên:
OE là phân giác của góc AOC
F
I
C
Tơng tự OF là phan giác của BOC
E
ã
ã
d
Mà AOC
+ BOC
= 180 0 (kề bù)
OE OF
B
A
O
0
ã
b) Ta có ACB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)
Suy ra tam giác ACB vuông tại C.
ã
ã
Ta thấy tứ giác FCOB nội tiếp ( FCO
= OBF

= 900 )
ã
ã
( hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)
CFO
= CBO
Do đó hai tam giác vuông EOF và ACB đồng dạng.
c) Ta thấy AE AB, BF BA AE / / BF => Tứ giác ABFE là hình thang
Gọi I là trung điểm của EF mà O là trung điểm của AB
=> OI là đờng trung bình của hình thang ABFE
=> IO//EA//FB. Suy ra OI AB
Điều này chứng tỏ AB tiếp xúc với đờng tròn ngoại tiếp tam giác FEO.
Bài 3: Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC
với đờng tròn. Đờng thẳng vuông góc với OC tại O cắt tia AB tại M. Đờng
thẳng vuông góc với OB tại O cắt tia AC tại N.
a) Chứng minh tứ giác AMON là hình thoi.
b) Điểm A phải cách O một khoảng bao nhiêu để cho MN là tiếp tuyến
của (O).
Hớng dẫn:
a) Xét tứ giác AMON, ta có:
B
M
AM//ON (cùng vuông góc với OB)
AN//OM (cùng vuông góc với OC)
A
I
0
Do đó tứ giác AMON là hình bình hành. (1)
Mặt khác, xét tam giác vuông OBM và OCN,
N

ta có: OB=OC=R
C
ãBOM = CON
ã
(cùng phụ với góc MON)
OBM = OCN OM = ON (hai cạnh tơng ứng) (2).
Từ (1), (2) suy ra tứ giác AMON là hình thoi.

Giáo án Dạy thêm Hình học 9


Trờng THCS Hồng H ng
b) Để MN tiếp xúc với (O, R) cần điều kiện là:
d(O,MN) = R OI = R AO = 2R (I là giao điểm hai đờng chéo của hình
thoi AMON)
Vậy với AO = 2R thì MN là tiếp tuyến của (O; R)
Bài 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ
AB lấy hai điểm C, D thuộc đờng tròn. AC và AD cắt tiếp tuyến Bx của đờng
tròn lần lợt tại E, F.
ã
ã
ã
ã
a) Chứng minh ABD
.
= BFA
, ABC
= AEB
b) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp.
c) Gọi I là trung điểm của FB, chứng minh DI là tiếp tuyến của đờng

tròn (O).
d) Giả sử CD cắt Bx tại G, phân giác của góc CGE cắt AE, AF lần lợt
tại M, N. Chứng minh tam giác AMN cân.
Hớng dẫn:
ã
ã
x
a) Vì BA FB, BD FA ABD
= BFA
E
ã
(cùng phụ với DBF
)
ã
ã
Tơng tự ta có ABC
= AEB
N
b) Ta thấy tứ giác CDBA nội tiếp nên
M F
C
ã
ã
D
(cùng bù với góc ACD)
ECD
= ABD
G
ã
ã

Theo câu a) ta suy ra ECD
= DFB
I
0
ã
ã
ã
ã
Do vậy ECD + DFE = DFB + DFE = 180
B
A
O
Điều này chứng tỏ tứ giác CDFE nội tiếp.
c) Xét tam giác ABF có OI là đờng trung bình,
do đó
OI//AF. Mà AD DB => OI DB
Bởi vậy D và B đối xứng nhau qua OI
ã
ã
OIB = ODI ODI
= OBI
= 90 0
Điều này chứng tỏ DI là tiếp tuyến của đờng tròn.
ã
ã
ã
d) Xét NEG có: CNG
(tính chất góc ngoài tam giác)
= NEG
+ EGN

ã
ã
ã
Xét DMG có: DMN
= MDG
+ MGD
ã
ã
Mặt khác: MGD
( NG là phân giác của góc CGE)
= EGN
ã
ã
ã
ã
(theo câu a))
MDG
= CDA
= CBA
= AEB
ã
ã
Do đó CNG
= DMN
Vậy tam giác AMN cân tại A.
Bài 5: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) và E là điểm chính giữa cung
AB nhỏ. Hai dây CE, ED cắt AB theo thứ tự tại P, Q. Các dây AD và EC kéo
dài cắt nhau tại I. Các dây BC và ED kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minh
rằng:
a) Tứ giác CDIK nội tiếp.

b) Tứ giác CDQP nội tiếp.

Giaự o vieõn: Phaù m Vaờn Hieọu


Năm học
2009 - 2010

Đã bị bẻ khóa

c) IK//AB.
d) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AQD tiếp xúc với EA tại A.
Hớng dẫn:
I
a) Ta có:
1
ã
ằ ) (góc có đỉnh ở bên
ằ sđ EB
CKD
= ( sđ DC
2
ngoài đờng tròn chắn cung DC và cung EB)
E
ãCID = 1 ( sđ ằ
ẳ
A
DC sđ AE ) (góc có đỉnh ở bên
2
Q

P
ngoài đờng tròn chắn cung DC và cung EA)
ằ = EB
ằ (giả thiết)
Mà AE
O
ã
ã
CKD
= CID
Do đó tứ giác CDQP nội tiếp.
b) Ta có:

D

2008

K

y
B

C

1
ã
ằ ) = 1 ( sđ ẳ sđ AE
ằ ) = 1 sđ ằ
ằ + sđ BE
ã

EQB
= ( sđ AD
AD +
DE = DCE
2
2
2
ã
ã
ã
ã
Mà EQB
+ DQP
= 180 0 (kề bù) DQP
+ DCE
= 180 0
Vậy tứ giác CDQP nội tiếp.
ã
ã
c) Theo câu a) ta có: IKD
(cùng chắn cung ID)
= ICD
ã
ã
Theo câu b) ta có: ICD
(cùng bù với góc DQB)
= KQB
ã
ã
Do vậy IKD

, mà hai góc này ở vị trí so le trong
= KQB
Suy ra IK//AB.
ã
ã
d) Ta có IDK
(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
= EAB
ã
ã
Kẻ tia tiếp tuyến Ay của đờng tròn (AQD), ta có BAy
(góc tạo bởi tia
= IDK
tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AQ)
ã
ã
Từ đó BAy
. Bởi vậy Ay trùng với AE, hay AE là tiếp tuyến của đờng
= EAB
tròn ngoại tiếp tam giác AQD.
IV. Hớng
- Xem lại các bài tập đã chữa

dẫn về nhà

*******************************

*) Hãy giữ phím ctrl và nhấn vào đờng link này - />
Ngày soạn : 26/05/10
Ngày dạy : 03/05/10

Giáo án Dạy thêm Hình học 9