tai lieu cua mt

Tài li u luy n Thi i H c ệ ệ Đạ ọ GV: Nguy n Minh Tri t ễ ế
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Y = F(X)
Dạng 1: Tìm cực trò của hàm số y = f(x)
+ MXĐ D
+ Tìm y’ ,Cho y’ = 0 ⇒ cực trò (x,y)
+ Bảng biến thiên
X -∞ +∞
Y’
Y
Từ bảng biến thiên ta có thể kết luận cực trò của hàm số.
 Chú y ù :Để tính giá trò cưïc trò y
0
+ Đối với các hàm đa thức y=f(x): bậc 3 , bậc 4
f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d
f (x) = ax
4
+ bx
2
+ c
Lấy y chia cho y’
y
0
= f(x
0
) = R(x
0
)

+ Đối với các hàm hữu tỷ:
v
u
y
=
•
dcx
bax
y
+
+
=
(hàm nhất biến)
2
)(
'
dcx
dc
ba
y
+
=⇒
•
)(
2
nmx
r
qpx
nmx
cbxax

y
+
++=
+
++
=
( )
2
2
'
nmx
nm
cb
anxamx
y
+
++
=⇒
Tính giá trò cực trò y
0
=
'
'
v
u
v
u
=
 Chú ý : Cho hàm số y = f(x)
V n đ 3 : C c trấ ề ự ị

y y’
pxR(x)
R(x) là phần dư của y chia y’
Tài li u luy n Thi i H c ệ ệ Đạ ọ GV: Nguy n Minh Tri t ễ ế
1. x
0
là cực tiểu ⇔



>
=
0)("
0)('
0
0
xf
xf

2. x
0
là cực tiểu ⇔



>
=
0)("
0)('
0

0
xf
xf

Ví dụ: Tìm cực trò các hàm số sau:
a) y = x
3
– 3x
2
+ 3x – 4 b)
2
)1(
2
−
−
=
x
x
y
c)
3
4
2
4
+−=
x
x
y
d)
12

2
++=
xxy
e)
532
2
−−=
xxy
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = (m+2)x
3
+ 3x
2
+ mx – 5 có cực đại và cực tiểu.
Dạng 2: Tính tăng (giảm) của hàm số y = f(x) ∀ x ∈ℜ
 Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) ∀x∈ℜ ⇔ y’ ≥ 0 ∀x∈ℜ
 Hàm số y = f(x) nghòch biến (giảm) ∀ x∈ℜ ⇔ y’ ≤ 0 ∀x∈ℜ
Ví dụ: Tìm các khoảng tăng, giảm của các hàm số sau:
a) y = x
3
– 3x + 9x – 2 b)
x
x
x
x
y 3
24
2
3
4
−−+=

c)
2ln
−−=
xxy
d) y = x – e
x

Ví dụ: Đònh m để hàm số:
a)
22
3
2
3
−+−=
mxx
x
y
tăng trên miền xác đònh
b)
1
)2(
2
−
+−+
=
x
mxmx
y
giảm trên từng khoảng xác đònh của nó
c)

1
32)1(
−
+−−
=
mx
mxm
y
tăng trên từng khoảng xác đònh của nó.
Dạng 3: Tính tăng (giảm) của hàm số y = f(x) ∀ x ∈ D
D = (-∞ ; α)
D = (α ; β )
D = (β ; +∞).
 Tính tăng (giảm) của hàm số y = f(x) ∀x∈(-∞ ; α )
 TH
1
: Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) ∀x∈ℜ ⇔ y’ ≥ 0 ∀x∈ℜ
 TH
2
: y = f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt (x
1
≠ x
2
)
X
-∞ (-∞ ; α ) x
1
x
2
+∞

f(x) +a 0 -a 0 +a
V n đ 3 : C c trấ ề ự ị
x
0
x
0
Tài li u luy n Thi i H c ệ ệ Đạ ọ GV: Nguy n Minh Tri t ễ ế
⇒ a<x
1
<x
2
Các trường hợp (α ; β ); (β ; +∞).giải tương tự.
Ví dụ: Đònh m để hàm số:
1
)2(
2
−
+−+
=
x
mxmx
y
tăng trong khoảng ( - ∞ ; -2 )
Ví dụ: Cho hàm số y =
ax
axax
−
++−+
1)1(2
2

. Tìm a để hàm số đồng biến trên
khoảng ( 1; +∞)
Dạng 4: Sử dụng tính tăng (giảm) của hàm số chứng minh bất đẳng thức:
+ Muốn chứng minh: f(x) > g(x) với x ∈ D, ta coi hàm số:
h(x) = f(x) – g(x)
- Tính h’(x) = f ’(x) – g ‘(x)
- Chứng minh h ‘(x) > 0 , x ∈ D. Vậy h(x) là hàm số tăng.
- Ta dùng tính chất ∀ x
1
,x
2
∈ D : x
1
< x
2
⇔ h(x
1
) < h(x
2
)
Ví dụ: Chứng minh các bất đẳng thức:
a) e
x
> 1 + x , ∀ x > 0 c) (x+1)lnx > 2x – 2 , ∀ x > 1
b) x > ln(1+x) , ∀ x > 0 d) Cho x > 0, x ≠ 1 . Chứng minh:
x
x
x 1
1
ln

<
−

BÀI TẬP
1) Tìm tham s m đ hàm s :ố ể ố
a) y = x
3
-3mx
2
+4mx-1 ln đ ng bi nồ ế
b) y = -x
3
+2x
2
-mx+m
2
+4 ln ngh ch bi nị ế
c)
2
1
1
x mx
y
x
− −
=
−
gi m trên t ng kho ng xác đ nhả ừ ả ị
d)
2 2

2 3
2
x mx m
y
x m
− +
=
−
t ng trên t ng kho ng xác đ nhă ừ ả ị
e)
4mx
y
x m
−
=
−
gi m trên t ng kho ng xác đ nhả ừ ả ị
f)
2 1x m
y
x m
− +
=
−
t ng trên t ng kho ng xác đ nh.ă ừ ả ị
2) Tìm m đ hàm s :ể ố
a) y = x
3
-(m+1)x
2

-(2m
2
-3m+2)x +2m(2m-1) t ng ă
[
)
2,+∞
b) y =-x
3
+mx
2
-m t ng trên (1,2) ă
c)
3
1
( 1) ( 3) 4
3
y x m m x= − + − + + + −
t ng trên (0,3)ă
d)
2 2
2 3
2
x mx m
y
m x
− +
=
−
gi m trên ả
( )

1,+∞
3) Ch ng minh các b t đ ng th c:ứ ấ ẳ ứ
V n đ 3 : C c trấ ề ự ị
Tài li u luy n Thi i H c ệ ệ Đạ ọ GV: Nguy n Minh Tri t ễ ế
a) ln(1+x)< x
0x∀ >
b)
2
x
osx > 1- , 0
2
c x∀ >
c)
3
x
sinx>2x- , 0
6
x∀ >
d)
sin 2 2 , 0x x x< ∀ >
e)
sinx+tgx>2x(0<x< )
2
π
4) Tìm các điểm tới hạn của hàm số :y = f(x) = 3x+
5
x
3
+
.

5) Xét tính đơn điệu của hàm số
a) y = f(x) = x
3
-3x
2
+1. b) y = f(x) = 2x
2
-x
4
.
c) y = f(x) =
2x
3x
+
−
. d) y = f(x) =
x1
4x4x
2
−
+−
.
e) y = f(x) = x+2sinx trên (-π ; π). f) y = f(x) = xlnx.
g) y = f(x) =
)5x(x
3
2
−
. h) y= f(x) = x
3

−3x
2
.
i)
1x
3x3x
f(x) y
2
−
+−
==
. j) y= f(x) = x
4
−2x
2
.
k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2π].
6) Cho hàm số y = f(x) = x
3
-3(m+1)x
2
+3(m+1)x+1. Đònh m để hàm số :
a) Luôn đồng biến trên khoảng xác đònh của nó. Kq:1 ≤ m ≤ 0
b) Nghòch biến trên khoảng (-1;0). Kq: m ≤
3
4
−
c) Đồng biến trên khoảng (2;+∞ ). Kq: m ≤
3
1

7) Đònh m∈Z để hàm số y = f(x) =
mx
1mx
−
−
đồng biến trên các khoảng xác đònh của
nó. Kq: m = 0
8) Đònh m để hàm số y = f(x) =
2x
2x6mx
2
+
−+
nghòch biến trên nửa khoảng [1;+∞).
Kq: m ≤
5
14
−
9) Chứng minh rằng :
x1e
x
+>
, ∀x > 0.
10) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác đònh (trên từng
khoảng xác đònh) của nó :
a) y = x
3
−3x
2
+3x+2. b)

1x
1xx
y
2
−
−−
=
. c)
1x2
1x
y
+
−
=
.
11) Tìm m để hàm số
( ) ( )
x7mx1m
3
x
y
2
3
−−−−=
:
a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác đònh của nó.
b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (2;+∞)
V n đ 3 : C c trấ ề ự ị
Tài li u luy n Thi i H c ệ ệ Đạ ọ GV: Nguy n Minh Tri t ễ ế
12) Tìm m để hàm số :

mx
2mmx2x
y
2
−
++−
=
luôn đồng biến trên từng khoảng xác đònh
của nó.
13) Tìm m để hàm số :
mx
1mx)m1(x2
y
2
−
++−+
=
luôn đồng biến trên khoảng (1;+∞).
Kq:
223m
−≤
14) Tìm m để hàm số y = x
2
.(m-x)-m đồng biến trên khoảng (1;2). Kq: m≥3
15) Chứng minh rằng :
a) ln(x+1) < x , ∀ x > 0. b) cosx >1-
2
x
2
, với x > 0 .

V n đ 3 : C c trấ ề ự ị