Đồng dư trên nửa nhóm chính quy (KL06269)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
********

NGUYỄN THỊ DUNG

ĐỒNG DƢ
TRÊN NỬA NHÓM CHÍNH QUY

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. NGUYỄN HUY HƢNG

Hà Nội - 2014


Khóa luận tốt nghiệp đại học

LỜI CẢM ƠN
Để có thể hoàn thành được bài khóa luận tốt nghiệp này, em xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Huy Hưng – Người thầy đã
trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập
tại trường cũng như trong quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Đồng thời, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Đại số, các
thầy cô trong khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và Ban
chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành khóa
luận tốt nghiệp của mình.
Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận do điều kiện về
mặt thời gian, do trình độ có hạn và đây cũng là lần đầu tiên nghiên cứu

khoa học nên bài khóa luận của em không tránh khỏi những hạn chế,
thiếu sót nhất định. Vì vậy, em rất mong nhận được những góp ý của quý
thầy cô và bạn đọc.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Nguyễn Thị Dung

Nguyễn Thị Dung

K36B – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

LỜI CAM ĐOAN
Dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy Nguyễn Huy Hưng
thì khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và
nghiên cứu. Để hoàn thành được bản khóa luận tốt nghiệp này em đã có
sử dụng một số tài liệu tham khảo của các nhà khoa học.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Đồng dƣ trên nửa nhóm
chính quy” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Dung

Nguyễn Thị Dung

K36B – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài............................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu....................................................................... 1
3. Đối tượng nghiên cứu ..................................................................... 1
4. Phương pháp nghiên cứu ................................................................. 1
5. Cấu trúc khóa luận .......................................................................... 2
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ..................................................... 3
1.1. Nửa nhóm .................................................................................... 3
1.2. Dàn .............................................................................................. 4
1.3. Đồng dư ....................................................................................... 5
1.4. Phần tử lũy đẳng, tập lồi............................................................... 8
1.5. Cấu trúc nửa nhóm ....................................................................... 9
1.6. Nửa nhóm chính quy .................................................................. 12
1.7. Nửa nhóm ngược ........................................................................ 14
Chương 2. ĐỒNG DƯ TRÊN NỬA NHÓM CHÍNH QUY ................. 19
2.1. Nửa nhóm con chính quy cực đại ............................................... 19
2.2. Dàn của các đồng dư trên nửa nhóm chính quy .......................... 23
2.3. Đồng dư trên nửa nhóm ngược ................................................... 28
2.4. Dàn của các đồng dư trên nửa nhóm ngược ................................ 34
2.5. Hệ hạt nhân chuẩn tắc ................................................................ 36
KẾT LUẬN .......................................................................................... 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 42

Nguyễn Thị Dung

K36B – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một môn học cơ bản làm nền tảng cho các ngành khoa
học khác, là thành phần không thể thiếu của văn hóa phổ thông. Môn
Toán có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí
tuệ chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy con người.
Từ khi ra đời đến nay, lý thuyết nửa nhóm đã đạt được nhiều thành
tựu quan trọng và có mối liên hệ chặt chẽ với nhiều lĩnh vực như khoa
học máy tính và nhiều lĩnh vực khác của Toán học. Lý thuyết nửa nhóm
được đưa vào chương trình đại học như một chuyên đề tự chọn của sinh
viên ngành Toán, tuy nhiên với lượng thời gian có hạn chúng em khó có
thể nghiên cứu sâu vào một vấn đề nào đó. Đối với em, lý thuyết nửa
nhóm là một môn rất hay và tạo cho em nhiều hứng thú khi học, điều này
gợi cho em muốn học hỏi, biết nhiều hơn về lý thuyết nửa nhóm. Được
sự gợi ý của thầy giáo hướng dẫn, em đã mạnh dạn chọn đề tài “Đồng
dư trên nửa nhóm chính quy” làm khóa luận tốt nghiệp đại học của
mình. Em mong rằng khóa luận này sẽ có ích cho những ai quan tâm đến
đồng dư, đặc biệt là đồng dư trên nửa nhóm chính quy.
2. Mục đích nghiên cứu
Quá trình thực hiện đề tài đã giúp em bước đầu làm quen với việc
nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết nửa nhóm, đặc biệt
là tìm hiểu sâu hơn về đồng dư trên nửa nhóm chính quy.
3. Đối tƣợng nghiên cứu

Tập trung nghiên cứu về đồng dư trên nửa nhóm chính quy.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Đề tài được hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp:

Nguyễn Thị Dung

1

K36B – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

- Nghiên cứu lý luận
- Phân tích
- Tổng hợp
- Đánh giá
5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa
luận gồm 2 chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Nội dung chủ yếu của chương này trình bày một số khái niệm cơ
bản về lý thuyết nửa nhóm, cấu trúc nửa nhóm và một số nửa nhóm đặc
biệt cùng với tính chất đặc trưng của nó.
Chương 2. Đồng dƣ trên nửa nhóm chính quy.
Chương này dùng để trình bày về dàn của các đồng dư trên nửa
nhóm chính quy, nửa nhóm ngược và hệ hạt nhân chuẩn tắc trên nửa
nhóm ngược.

Nguyễn Thị Dung

2

K36B – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Nửa nhóm
Định nghĩa 1.1. Cho S   và
Ta nói  S ,



là một phép toán hai ngôi trên S.

là một nửa nhóm nếu phép toán

có tính chất kết hợp, tức

là x, y, z  S ta có

x

y z  x

 y z .

Ví dụ 1.1.

a)



,  là một nửa nhóm.

b)



, là một nửa nhóm.
ta định nghĩa phép toán hai ngôi

c) Trên

:





(m, n)
Khi đó



min m, n

, là một nửa nhóm. Thật vậy, m, n, p 

ta có

 m  n   p  min m, n  p  min m, n, p  m  min n, p  m   n  p  .
 1 n 

d) Cho S : 
: n 

 0 1 

là phép nhân hai ma trận thông thường.

Trên S ta xét phép toán
Khi đó  S ,



là một nửa nhóm. Thật vậy

1 n 1 m

 ,  0 1   S ta có
0
1

 


 1 n  1 m   1 n  m 
 0 1  0 1    0

S
1


 


Mặt khác, phép nhân ma trận có tính chất kết hợp.

  S,

 là một nửa nhóm.

Định nghĩa 1.2. Cho  S ,



là một nửa nhóm,   A  S . Ta nói A

là một nửa nhóm con của S nếu A đóng kín với phép toán , tức là

x, y  A , ta có x y  A .

Nguyễn Thị Dung

3

K36B – Sp Toán

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Ví dụ 1.2.
a)



,  là nửa nhóm con của



,  .

b)



,. không là nửa nhóm con của



,  .

1.2. Dàn
1.2.1. Nửa dàn, nửa dàn đầy đủ
Định nghĩa 1.3. Cho  S ,   là một tập được sắp thứ tự và A  S .
Một chặn dưới (chặn trên) của A là một phần tử z  S sao cho

x  A, z  x  x  z  . Phần tử lớn nhất trong các chặn dưới của A được
gọi là cận dưới đúng của A. Phần tử nhỏ nhất trong các chặn trên của A

được gọi là cận trên đúng của A.
Kí hiệu

A : cận dưới đúng của A

A : cận trên đúng của A
xy : cận dưới đúng của x và y
xy : cận trên đúng của x và y.
Ví dụ 1.3.
Cho S  1,2,3 . Trên S ta xét quan hệ  . Khi đó, ta có

1,2 1,3  1 , 1,2 3   , 1,23  1,2,3 .
Định nghĩa 1.4. Một tập sắp thứ tự  S ,   được gọi là một nửa dàn
dưới (trên) đầy đủ nếu A  S đều có cận dưới (trên) đúng.
1.2.2. Dàn, dàn đầy đủ
Định nghĩa 1.5. Một tập sắp thứ tự  S ,   được gọi là một dàn đầy
đủ nếu nó vừa là nửa dàn dưới đầy đủ vừa là nửa dàn trên đầy đủ.
Định nghĩa 1.6. Một tập sắp thứ tự  S ,   được gọi là một dàn nếu
nó vừa là nửa dàn dưới vừa là nửa dàn trên, tức là x, y  S , xy và

xy .

Nguyễn Thị Dung

4

K36B – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

1.3. Đồng dƣ
Định nghĩa 1.7. Một quan hệ nhị phân  từ tập X đến tập Y là tập
con của X  Y . Nếu x  X , y Y sao cho  x, y    thì ta viết x  y .
Quan hệ đồng nhất trên X là quan hệ

id X   x, x  : x  X 
Quan hệ ngược của  là quan hệ

 1   y, x  :  x, y   
Cho  là một quan hệ từ X đến Y,  là một quan hệ từ Y đến Z. Ta
gọi hợp thành của  và  là quan hệ   từ X đến Z xác định như sau

    x, z   X  Z y Y , x y, y z
Nhận xét 1.1.  id X   , idY    .
Định nghĩa 1.8. Với x  X ta đặt x :  y Y x  y . Ta gọi  là
ánh xạ bộ phận từ X đến Y nếu x  1, x  X . Hơn nữa,  là ánh xạ
từ X đến Y nếu x  1, x  X .
Cho  là một ánh xạ bộ phận từ X đến Y. Khi đó, miền xác định
của  là tập



dom  x  X y Y ,  x, y   



Ta thấy dom  X và nếu  là ánh xạ thì dom  X . Ảnh của 
là tập



im  y Y x  X ,  x, y   



Cho T  Y . Khi đó, tạo ảnh của T qua  là tập

T  1  x  X t T , xt
Kí hiệu BX :   X  X  là tập tất cả các quan hệ nhị phân trên X

Nguyễn Thị Dung

5

K36B – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Khi X=Y thì một ánh xạ bộ phận từ X đến X gọi là một biến đổi bộ
phận của X; còn một ánh xạ từ X đến X được gọi là biến đổi đầy đủ của
X.
Đặt PX :  : X  X  là biến đổi bộ phận của X 

TX :  : X  X  là biến đổi đầy đủ của X 
S X :  : X  X  là song ánh trên X 
Nhận xét 1.2. 1 S X  TX  PX  BX

2  PX là vị nhóm con của BX , TX là vị nhóm con của PX , S X là

nhóm con của TX .
Định nghĩa 1.9. Cho   BS . Ta nói

1 
 2 

có tính chất phản xạ nếu x  S , x x (hay id S   )
có tính chất đối xứng nếu x, y  S , x y  y  x (hay

   1 )

 3 

có tính chất phản đối xứng nếu x, y  X , x y và y  z thì

x  y (hay    1  id S )

 4 

có tính chất bắc cầu nếu x, y, z  S sao cho x y, y z ta có

x z (hay  2   ).
Định nghĩa 1.10. Quan hệ  trên tập S được gọi là quan hệ tương
đương trên S nếu nó có ba tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu. Quan hệ

 trên tập S được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận trên S nếu nó có ba tính
chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu.
Định nghĩa 1.11. Cho BS là tập các quan hệ nhị phân trên S và

  BS . Khi đó, ta nói quan hệ  là

 Tương thích trái nếu x, y  S , x  y  zx  zy ;

Nguyễn Thị Dung

6

K36B – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

 Tương thích phải nếu x, y  S , x  y  xz  yz ;
 Tương thích nếu x, y, z, t  S , x  y và z  t  xz  yt .
Ta nói  là đồng dư trái (phải) nếu nó là quan hệ tương đương
tương thích trái (phải).
Ta nói  là đồng dư nếu nó là quan hệ tương đương tương thích.
Định lý 1.1. Quan hệ  trên S là đồng dư khi và chỉ khi  là đồng
dư trái và đồng dư phải.
Chứng minh:
Điều kiện cần: Giả sử quan hệ  là đồng dư. Cho x, y, z  S và x  y .
Do  có tính chất phản xạ  z  z . Hơn nữa, do  là đồng dư

 zx  zy và xz  yz   là đồng dư trái và đồng dư phải
Điều kiện đủ: Giả sử quan hệ  là đồng dư trái và phải. Cho x, y, z, t  S
sao cho x  y và z  t . Do  là đồng dư phải  xz  yz . Hơn nữa, do

 là đồng dư trái  yz  yt . Mặt khác, do  có tính chất bắc cầu
 xz  yt . Vậy  là đồng dư.
 Cho   BS . Đặt

R 

  B :    ,

phản xạ}

S 

  B :    ,

đối xứng}

T 

  B :    ,

bắc cầu}

E 

  B :    ,

là quan hệ tương đương}

C 

  B :    ,

là tương thích trái, phải}

# 

  B :    ,

là đồng dư}

S

S

S

S

S

S

Định nghĩa 1.12. Ta gọi quan hệ  R là bao đóng phản xạ của  ,

 S là bao đóng đối xứng của  ,  T là bao đóng bắc cầu của  ,  E là
quan hệ tương đương sinh bởi  và  # là đồng dư sinh bởi  .

Nguyễn Thị Dung

7

K36B – Sp Toán

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Cho  S là tập tất cả các quan hệ tương đương trên S và cS là tập tất
cả các quan hệ đồng dư trên S. Trên hai tập hợp này, ta xét quan hệ thứ
tự là quan hệ bao hàm

    
Khi đó  S , cS là các dàn. Hơn nữa
  ,   S ta có      ,       

E

  ,  cS ta có      ,        .
#

1.4. Phần tử lũy đẳng, tập lồi
Định nghĩa 1.13. Cho  S ,



là một nửa nhóm. Một phần tử a  S

được gọi là phần tử lũy đẳng nếu a 2  a .
Kí hiệu E  S  là tập các phần tử lũy đẳng của S. Ta có

E  S   e  S e2  e
Trên E  S  ta xác định quan hệ  như sau

e  f  ef  fe  e
Khi đó, quan hệ  là quan hệ thứ tự trên E  S  . Thật vậy

i) Ta có e  S , e2  e  e  e   có tính chất phản xạ.
ii) Nếu e  f và f  e thì ta có ef  fe  e và fe  ef  f  e  f

  có tính chất phản đối xứng.
iii) Nếu e  f và f  g thì ta có ef  fe  e và fg  gf  f

 eg   ef  g  e  fg   ef  e và ge  g  fe    gf  e  fe  e
 eg  ge  e  e  g   có tính chất bắc cầu
Vậy  là quan hệ thứ tự trên E  S  .

Nguyễn Thị Dung

8

K36B – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Ví

dụ

1.3.

Cho



,

là

một

m, n  : m  n  min m, n . Khi đó E 
m  m  min m, m  m  m  E 

nửa

nhóm,

. Thật vậy m 

 E . Mà E 



a

a

c

a

a

b

c

b

b

a

c

c

c

b

c

đó

ta có

.Vậy E 

Ví dụ 1.4. Cho S  a, b, c . Trên S, ta xác định phép tốn

Khi đó  S ,

trong

.

như sau

là một nửa nhóm. Ta có ES  a, c . Thật vậy, dễ thấy

a a  a, c c  c, b b  a  ES  a, c .
Định nghĩa 1.14. Một tập con A của một tập thứ tự bộ phận B được
gọi là lồi nếu x  y  z, x, z  A thì y  A .
1.5. Cấu trúc nửa nhóm
1.5.1. Quan hệ Green
Cho S là một nửa nhóm và S1 là một vị nhóm liên kết với S, tức là


S

S1  

, nếu S có phần tử đơn vò


S  1S  , nếu ngược lại.

Trên S, ta xác định quan hệ như sau:

xLy  S 1 x  S 1 y

xRy  xS 1  yS 1
xJy  S 1 xS 1  S 1 yS 1
Khi đó L, R, J là các quan hệ tương đương trên S.

Nhận xét 1.1.
i) xLy  p, q  S 1 : px  y, qy  x
ii) xRy  p, q  S 1 : xp  y, yq  x

Nguyễn Thị Dung

9

K36B – Sp Tốn


Khóa luận tốt nghiệp đại học

iii) xJy  p, q, r , s  S 1 : pxr  y, qys  x
Mệnh đề 1.1. L R  R L
Chứng minh:
Cho

 x, y   R

L . Khi đó t  S sao cho xLt và tRy . Do đó,

p, q, u, v  S 1 sao cho px  t , qt  x, tu  y, yv  t . Đặt  : qtu    S .
Khi đó, ta có

xu  qtu  

 v   qtu  v  q  tu  v  qyv  qt  x
 xR
Tương tự, ta có

qy  qtu  
p  p  qtu   p  qt  u  pxu  tu  y
  Ly
Do đó  x, y   L R  R L  L R
Chứng minh tương tự, ta có L R  R L . Vậy L R  R L .
 Khi đó ta có LR  L R
Đặt H : LR

D : LR
Nhận xét 1.2. i) L  J , R  J . Thật vậy, giả sử xLy  S 1 x  S 1 y .
Ta có

S 1 xS 1   S 1 x  S 1   s1 x  s2 s1 , s2  S 1
  s3 y  s2 s2 , s3  S 1   S 1 y  S 1
 S 1 yS 1
 xJy  L  J
Tương tự, ta cũng chứng minh được R  J .
ii) D  J

Nguyễn Thị Dung

10

K36B – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

iii) H  R, H  L

iv) H  L  R, D  L R .
Mệnh đề 1.2. Cho e  S là phần tử lũy đẳng. Khi đó, e là phần tử
đơn vị trái của Re và là đơn vị phải của Le .
Chứng minh:
Giả sử

x  Re . Khi đó p  S 1 sao cho

ep  x . Do đó

ex  eep  ep  x
 e là đơn vị trái của Re .
Chứng minh tương tự, ta được e là đơn vị phải của Le .
1.5.2. Phần tử khả nghịch và D-lớp
Định nghĩa 1.15. Cho S là một nửa nhóm. Phần tử x  S được gọi
là phần tử chính quy nếu y  S sao cho xyx  x . Phần tử x  S được
gọi là phần tử khả nghịch nếu y  S sao cho xyx  x và yxy  y .
Mệnh đề 1.3. Nếu x  S là phần tử chính quy thì mọi phần tử của

Dx đều là phần tử chính quy.
Chứng minh:
Do x là chính quy nên y  S : xyx  x . Giả sử:

 Lx  p, q  S 1 : p  x, qx   .
Ta có   qx  q  xyx    qx  yx   yx    yp    là phần tử
chính quy. Do đó mọi phần tử của Lx đều chính quy
Lập luận tương tự, ta có nếu t  S là chính quy thì mọi phần tử của

Rt là chính quy. Vì vậy nếu x là chính quy thì mọi phần tử của Dx là
chính quy.

Định nghĩa 1.16. Một D-lớp được gọi là chính quy nếu mọi phần tử
của nó là chính quy. Trái lại, ta nói D-lớp đó là không chính quy.

Nguyễn Thị Dung

11

K36B – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Nhận xét 1.3. Theo mệnh đề 1.3, để chỉ ra một D-lớp là chính quy
ta chỉ cần chỉ ra một phần tử của D-lớp chính quy là đủ.
Mệnh đề 1.4. Trong D-lớp chính quy, mỗi L-lớp và R-lớp chứa một
phần tử lũy đẳng.
Chứng minh:
Cho

xS

sao cho

Dx

là chính quy

x

chính quy

 y  S : xyx  x  yxLx và xyRx . Ta có

 yx 
 xy 

2

2

 yxyx  y  xyx   yx
 xyxy   xyx  y  xy

 yx là phần tử lũy đẳng trong Lx và xy là phần tử lũy đẳng trong Rx .
Vậy mỗi L-lớp và R-lớp chứa một phần tử lũy đẳng.
Ta có mối liên hệ giữa D-lớp chính quy và các phần tử khả nghịch
thể hiện qua mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.5. Nếu x  D-lớp chính quy và x V  x  , trong đó

V  x  là tập các phần tử khả nghịch thì ta có
a) xRxxLx và xLxxRx . Do đó xDx ;
b) Nếu z  Dx sao cho Lz  Rx chứa một phần tử lũy đẳng e và

Rz  Lx chứa một phần tử lũy đẳng f thì H z chứa một phần tử t V  x 
sao cho xt  e, tx  f ;
c) Mỗi một H-lớp chứa nhiều nhất một phần tử của V  x  .
1.6. Nửa nhóm chính quy
1.6.1. Phần tử chính quy
Định nghĩa 1.17. Cho S là một nửa nhóm. Phần tử x  S được gọi
là phần tử chính quy nếu y  S sao cho xyx  x .

Nguyễn Thị Dung

12

K36B – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Ví dụ 1.5. Cho



, là một nửa nhóm với phép toán  được xác

định như ở ví dụ 1.1c). Khi đó phần tử 3
quy. Thật vậy, do 4 

được gọi là phần tử chính

sao cho

3  4  3   3  4   3  min 3,4  3  3  3  3

 3 là phần tử chính quy.
1.6.2. Nửa nhóm chính quy
Định nghĩa 1.18. Một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm chính quy
nếu mọi phần tử thuộc S đều chính quy, tức là x  S , y  S sao cho

xyx  x .
Ví dụ 1.6.



,  là nửa nhóm chính quy. Thật vậy, dễ thấy

là một nửa nhóm. Hơn nữa ta có x  ,   x  



, 

mà

x    x   x   x    x   x  0  x  x

  ,   là nửa nhóm chính quy.
1.6.3. Cặp chính quy
Định nghĩa 1.19. Nếu a  S , b  S : aba  a, bab  b thì b là một
phần tử ngược của a và  a, b  là cặp chính quy.
Nhận xét:
+ Trong nửa nhóm chính quy, mọi phần tử đều có phần tử ngược.
+ Nếu  a, a  là cặp chính quy thì aa và aa là các phần tử lũy
đẳng nhưng chúng không bằng nhau.
1.6.4. Nửa nhóm con chính quy
Định nghĩa 1.20. Cho S là nửa nhóm chính quy và   A  S . Khi
đó A là nửa nhóm con chính quy của S nếu A là nửa nhóm con của S và
nó đóng kín với phép lấy phần tử ngược.

Nguyễn Thị Dung

13

K36B – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học



Ví dụ 1.7.
ta có
ra





,  là nửa nhóm con chính quy của

,  . Thật vậy,

,  là nửa nhóm chính quy (Theo ví dụ 1.6). Hơn nữa, ta dễ chỉ

,  là nửa nhóm con của

x 



. Vậy





,  . Mặt khác,

,  là nửa nhóm con chính quy của



x 

ta có

,  .

1.7. Nửa nhóm ngƣợc
1.7.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.21. Một nửa nhóm S được trang bị phép toán

1

là

nửa nhóm ngược nếu thoả mãn các điều kiện

x 

 x, x  S

(1)

 xy 

 y 1 x 1 , x, y  S

(2)

1 1

1

xx1 x  x, x  S

(3)

xx1 yy 1  yy 1 xx1 , x, y  S

(4)

Nhận xét 1.4. Một nửa nhóm S là nửa nhóm ngược nếu nó là nửa
nhóm chính quy và các phần tử lũy đẳng giao hoán.
Nhận xét 1.5. Trong nửa nhóm chính quy, mọi phần tử đều có phần
tử ngược. Nửa nhóm ngược là nửa nhóm mà mỗi phần tử có phần tử
ngược duy nhất.
1.7.2. Định lý đặc trƣng của nửa nhóm ngƣợc
Định lý 1.2. Các mệnh đề sau đây là tương đương:

a)

S là nửa nhóm ngược;

b) Mọi phần tử của S có phần tử ngược duy nhất;
c)

S là chính quy và các phần tử lũy đẳng của nó giao hoán;

d) Mọi L-lớp và R-lớp của S chứa duy nhất phần tử lũy đẳng.
Chứng minh:

 a )  c) 

Giả sử S là nửa nhóm ngược. Lấy x  S . Khi đó

xx 1 x  x (theo (1))  S chính quy.

Nguyễn Thị Dung

14

K36B – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Lấy e  ES . Khi đó, ta có

e1  e1ee1 (Theo (3))

 e1eee1 (Do e là phần tử lũy đẳng)
 e1  e1  ee1 (Theo (1))
1

 ee1e1  e1  (Theo (4))
1

 ee1e1e (Theo (1))
 e  ee  e (Theo (2))
1

 ee1e (Do e là phần tử lũy đẳng)

 e (Theo (3))
Do đó ee1  e1e  e, e  ES .
Với bất kỳ e, f  ES , ta có ef  ee1 ff 1  ff 1ee1  fe (theo (4))

 Các phần tử lũy đẳng của S giao hoán.

b)  c) Giả sử mọi phần tử của S có phần tử ngược duy nhất. Khi
đó x  S , y  x 1  S : xyx  xx 1x  x  S chính quy.
Lấy bất kỳ e, f  ES . Khi đó, ta có

 ef   f  ef 

1



e  ef   ef 2  ef  e2 f (Do S là nửa nhóm)

1

 ef  ef  ef (Do e, f là các phần tử lũy đẳng)
1

 ef (Theo định nghĩa của nửa nhóm ngược)

 f  ef  e  ef   f ef  e   f ef 
1

1

1

e2 f 2  ef  e (Do S là nửa nhóm)
1

 f  ef  ef  ef  e (Do e, f là các phần tử lũy đẳng)
1

1

 f  ef  e (Theo định nghĩa của nửa nhóm ngược)
1

 f  ef  e là phần tử ngược của ef .
1

Nguyễn Thị Dung

15

K36B – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Do mọi phần tử của S có phần tử ngược duy nhất nên

 ef 

1

 f  ef  e
1

Vì vậy, ta có

 ef 



1 2

 f  ef  ef  ef  e (Do  ef   f  ef  e )
1

1

1

1

 f  ef  e (theo định nghĩa của phần tử ngược)
1

  ef  (Do  ef   f  ef  e )
1

  ef 

1

1

1

là phần tử lũy đẳng. Do đó  ef 

1

 ef   ef 
1

1

  ef  .
1

Do mọi phần tử của S có phần tử ngược duy nhất nên ta có



ef   ef 



1 1

  ef   ef là phần tử lũy đẳng
1

Tương tự, ta có fe là phần tử lũy đẳng. Do đó, ta có

 ef  fe  ef   ef

2 2

 fe  ef  fe   fe

2

e f  efef  ef
f 2e  fefe  fe

Từ đó, ta có fe   ef   ef .
1

 Các phần tử lũy đẳng của S giao hoán.

c)  d ) Giả sử S chính quy và các phần tử lũy đẳng của nó giao
hoán
Do S là chính quy nên theo mệnh đề 1.4, ta có mọi L-lớp chứa ít
nhất một phần tử lũy đẳng. Giả sử một L-lớp chứa phần tử lũy đẳng e và

f . Khi đó cả e và f đều là đơn vị phải của L-lớp (theo mệnh đề 1.2)
 ef  e, fe  f . Do các phần tử lũy đẳng của S giao hoán
 ef  fe  e  f  Mỗi L-lớp chứa duy nhất một phần tử lũy đẳng
Chứng minh tương tự, ta có mỗi R-lớp chứa duy nhất một phần tử
lũy đẳng.

Nguyễn Thị Dung

16

K36B – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

 d   b  . Giả sử mỗi L-lớp và R-lớp của S chứa duy nhất một
phần tử lũy đẳng. Lấy x  S . Theo mệnh đề 1.5 thì phần tử ngược của x
tương ứng một - một với cặp các phần tử lũy đẳng  e, f   Rx  Lx . Do

Lx và Rx chứa duy nhất một phần tử lũy đẳng  x có phần tử ngược
duy nhất. Vậy mọi phần tử của S có phần tử ngược duy nhất.

b   a  . Giả sử mọi phần tử của S có phần tử ngược duy nhất
Khi đó x  S ta có

xx 1 x  x 1
Do mọi phần tử của S có phần tử ngược là duy nhất nên

x 

1 1

 x  2

Lấy x, y  S . Khi đó xx 1 , yy 1 là các phần tử lũy đẳng. Ta đã chứng
minh được b   c  , tức là các phần tử lũy đẳng giao hoán nên ta có

xx 1 yy 1  yy 1 xx1  3
Ta có

xy  y 1 x 1  xy  x  yy 1  x 1 x  y
 xx 1 xyy 1 y (theo  3 )

 xy (theo định nghĩa của phần tử ngược)

y

1

x 1  xy  y 1 x 1   y 1  x 1 x  yy 1  x 1
 y 1 yy 1 x 1 xx 1 (theo  3 )
 y 1 x 1 (theo định nghĩa của phần tử ngược)

 y 1 x 1 là phần tử ngược của xy
Do mọi phần tử của S có phần tử ngược duy nhất nên

 xy 

1

 y 1 x 1  4 

Kết hợp 1 ,  2  ,  3 và  4   S là nửa nhóm ngược.

Nguyễn Thị Dung

17

K36B – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Mệnh đề 1.6. Cho S là một nửa nhóm ngược. Khi đó, ES là nửa
nhóm con của S và có dạng một nửa dàn, với ef  ef , gọi là nửa dàn
của các phần tử lũy đẳng của S.
1.7.3. Nửa nhóm con ngƣợc
Định nghĩa 1.22. Cho S là nửa nhóm ngược và T là nửa nhóm con
của S. Khi đó, T là nửa nhóm con ngược của S nếu T cũng là nửa nhóm
ngược hoặc nó đóng kín với phép lấy phần tử ngược trong S.

Nguyễn Thị Dung

18

K36B – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Chƣơng 2. ĐỒNG DƢ TRÊN NỬA NHÓM CHÍNH QUY
2.1. Nửa nhóm con chính quy cực đại
Bổ đề 2.1. Cho  a, a  và  b, b  là các cặp chính quy trong nửa
nhóm S. Khi đó aabb và bbaa là các phần tử lũy đẳng của S khi và
chỉ khi  ab, ba  là cặp chính quy.
Chứng minh:
Điều kiện cần: Cho aabb và bbaa là các phần tử lũy đẳng. Khi
đó, ta có

 ab ba ab   aaabbaabbb  Do aaa  a, bbb  b 
 aaabbb (Do aabb lũy đẳng)

 ab (Do aaa  a, bbb  b )
Tương tự, ta có

ba ab ba  bbbaabbaaa  bbbaaa  ba
Vậy  ab, ba  là cặp chính quy.
Điều kiện đủ: Cho  ab, ba  là cặp chính quy. Ta có

 aabb aabb  a  ab ba ab b

(Do S là nửa nhóm)

 aabb (Do  ab, ba  là cặp chính quy)

 aabb lũy đẳng.
Tương tự, ta có

bbaa bbaa   b ba ab ba a  bbaa
 bbaa lũy đẳng.
Vậy aabb và bbaa là các phần tử lũy đẳng.
Bổ đề 2.2. Cho e và f là các phần tử lũy đẳng trong nửa nhóm
chính quy S. Khi đó, tồn tại phần tử lũy đẳng g của S sao cho  g , ef  là
cặp chính quy.
Nguyễn Thị Dung

19

K36B – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Chứng minh:
Giả sử x là phần tử nghịch đảo của ef . Do S là nửa nhóm chính
quy nên ta có

efxef  ef , xefx  x

 fxe 

Khi đó, ta có

2

 f  xefx  e  fxe  fxe là phần tử lũy đẳng. Mặt

khác, ta có

 ef  fxe  ef   ef xe f  efxef  ef
 fxe  ef  fxe   fxe f xe  f  xefx  e  fxe
2

2

2

2

Đặt g  fxe . Khi đó, ta có g là phần tử lũy đẳng của S và  g , ef  là cặp
chính quy.
Bổ đề 2.3. Cho S là nửa nhóm chính quy. Khi đó, các mệnh đề sau
tương đương:
a) ES ES  ES ;
b) Nếu e  ES và  e, x  là cặp chính quy thì x  ES ;
c) Nếu  a, a  và  b, b  là các cặp chính quy thì  ab, ba  cũng là
cặp chính quy.
Chứng minh:

 a   b  . Cho e  ES và  e, x  là cặp chính quy. Khi đó
x  xex (Do  e, x  là cặp chính quy)
 xeex (Do e  ES )
Mà  xe  xe    xex  e  xe  xe  ES

 ex  ex    exe  x  ex  ex  E

S

(1)
(2)
(3)

Từ (1), (2) và (3)  x  ES ES  ES .

Nguyễn Thị Dung

20

K36B – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

b   a  . Lấy bất kì e, f  ES . Khi đó, theo bổ đề 2.2, tồn tại
g  ES sao cho  g , ef  là cặp chính quy. Do đó ef  ES (theo giả thiết).
Do e, f bất kì  ES ES  ES .

 a   c  . Cho  a, a  và  b, b  là các cặp chính quy. Ta có

 aa  aa    aaa a  aa
 bb bb   bbb  b  bb
 aa, bb  ES  aabb, bbaa  ES ( Do ES ES  ES ) . Theo bổ đề
2.1, ta có  ab, ba  là cặp chính quy.

c   a  . Lấy bất kì e, f  ES . Ta có

eee   ee  e  ee  e và fff   ff  f  ff  f
  e, e  ,  f , f  là các cặp chính quy   ef , fe  cũng là cặp chính
quy (theo giả thiết). Khi đó, ta có

 ef    ef  fe  ef   e  ff  ee  f   ef  ef  Do e, f  E 
S

 ef  ES
Do e, f bất kì  ES ES  ES .
Bổ đề 2.4. Cho S là nửa nhóm chính quy sao cho ES là nửa nhóm
con. Khi đó, với bất kì cặp chính quy  a, a  ta luôn có

aES a  ES .
Chứng minh:
Cho  a, a  là cặp chính quy và e  ES . Ta có aa  ES (theo chứng
minh ở bổ đề 2.3)  aae  ES (Do ES là nửa nhóm con của S). Ta có

 aea

2

 aeaaea   aaa  eaaea (Do  a, a  là cặp chính quy)
 a  aae  aae  a  a  aae  a (Do aae  ES )
  aaa  ea  aea (Do  a, a  là cặp chính quy)

Nguyễn Thị Dung

21

K36B – Sp Toán