Hình học vi phân của các mặt chính quy (KL06368)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

———————o0o——————–

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

HÌNH HỌC VI PHÂN CỦA CÁC MẶT CHÍNH QUI
Chuyên ngành: Hình học

Giảng viên hướng dẫn: ThS. Trần Văn Nghị
Sinh viên: Vũ Thị Thu Hiền
Lớp: K36B

HÀ NỘI, 5/2014


Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới Thạc sỹ Trần Văn Nghị người đã tận tình hướng dẫn để em có
thể hoàn thành tốt khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo
trong khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình
trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn
bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập
và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Hà Nội, ngày

tháng năm 2014.
Sinh viên

Vũ Thị Thu Hiền

1


Lời cam đoan
Khóa luận được hoàn thành sau quá trình tự tìm hiểu, nghiên cứu của bản
thân và sự hướng dẫn của Th.S Trần Văn Nghị.
Trong khóa luận em có tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà khoa
học trong và ngoài nước. Em xin cam đoan kết quả của khóa luận này là không
sao chép từ bất kì khoá luận nào. Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam
đoan của mình.
Hà Nội, ngày

tháng năm 2014
Sinh viên

Vũ Thị Thu Hiền

2


Mục lục
Lời nói đầu

3

1 Kiến thức chuẩn bị
6

1.1 Các đường cong tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Các đường cong chính quy và độ dài cung . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Tính chất địa phương của các đường cong tham số theo độ dài cung 7
2 Mặt chính quy
2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Các mặt chính quy và tạo ảnh của các giá trị chính quy .
2.3 Đổi tham số và hàm khả vi trên mặt . . . . . . . . . . . .
2.4 Mặt phẳng tiếp xúc của mặt cong và vi phân của ánh xạ
2.5 Dạng cơ bản thứ nhất và diện tích . . . . . . . . . . . . .
2.6 Định hướng của các mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Đặc trưng hoá của các mặt định hướng compact . . . . .
2.8 Định nghĩa hình học của diện tích . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

9
9

9
25
37
45
55
61
65

Kết luận

69

Tài liệu tham khảo

70

3


Lời nói đầu
1. Lý do chọn đề tài
Hình học là môn khoa học đi nghiên cứu về tính chất định tính và định
lượng của các hình. Tùy vào các phương pháp nghiên cứu khác nhau mà có
những ngành hình học khác nhau như Hình học Afin, Hình học Xạ ảnh, Hình
học Vi phân, Hình học Giải tích, Hình học Đại số, Tôpô. . .
Ở phổ thông hình học được dạy và học theo quan điểm hình học Euclid. Các
vật thể được cấu thành từ các mảnh phẳng và mảnh cầu. Quan hệ so sánh giữa
các vật thể hình học được thực hiện bởi các phép dời hình, hai vật thể hình học
được xem là bằng nhau nếu chúng có thể được chồng khít lên nhau qua những
phép dời hình.

Đại số tuyến tính và hình học giải tích xét các vật thể hình học được cấu
thành từ các mảnh phẳng và các mảnh bậc 2 nói chung. Các quan hệ so sánh
được xét như các phép biến đổi tuyến tính hoặc afin. Các đường bậc 2 được đưa
về 9 dạng chính tắc, các mặt bậc 2 trong không gian 3 chiều được đưa về 17
dạng chính tắc.
Trong hình học đại số bằng phương pháp phân loại có thể nghiên cứu các
đường và mặt hoặc siêu mặt bậc 3 hay bậc bất kì. Quan điểm nói trên được
phát triển trong hình học vi phân mà các vật thể được cấu tạo từ các mảnh
tham số hóa bằng các tọa độ địa phương, nói chung các hàm tọa độ địa phương
là các hàm trơn bất kì. Các phép biến đổi là các phép vi phôi. Hình học Vi
phân là ngành hình học ứng dựng phép tính vi phân vào giải quyết các bài toán
hình học. Ở đó các khái niệm về mặt chính quy là những khái niệm ban đầu để
tiếp cận lý thuyết mặt trong E 3 và nhiều bất biến hình học, nhiều tính chất địa
phương và toàn cục của mặt sẽ được khảo sát.
Khoá luận này đề cập đến lý thuyết về các mặt chính qui trong E 3 và một số
tính chất liên quan.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các đối tượng nói trên và được sự định
hướng của thầy hướng dẫn, tôi đã quyết định chọn đề tài này để trình bày trong
khóa luận tốt nghiệp đại học ngành Sư phạm Toán.
4


2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của khóa luận này là hệ thống và phân dạng các dạng bài tập
một cách chi tiết nhất về mặt chính quy.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
a) Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là mặt chính quy.
b) Phạm vi nghiêm cứu.
Phạm vi nghiên cứu là lý thuyết và bài tập về mặt chính quy.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhiệm vụ nghiên cứu là phân loại, hệ thống các dạng bài tập về mặt chính quy.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phân tích và tổng hợp kiến thức.
6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm 2 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Mặt chính qui.

5


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Các đường cong tham số

Kí hiệu R3 là tập hợp các bộ (x, y, z) các số thực. Các tập con được định
nghĩa một cách tự nhiên thông qua các hàm số khả vi. Ta nói rằng một hàm
số của một biến số thực là khả vi (hoặc trơn) nếu có đạo hàm mọi cấp tại mọi
điểm.
Định nghĩa. Một đường cong tham số khả vi là một ánh xạ khả vi α : I → R3
trên một khoảng mở I=(a,b) của đường thẳng thực R vào R3 .
Từ khả vi trong định nghĩa này được hiểu rằng α là ánh xạ tương ứng với mỗi
t ∈ I là một điểm α(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3 , trong đó các hàm số x(t),y(t),z(t)
là khả vi. Biến số t được gọi là tham số của đường cong. Từ khoảng được lấy
trong trường hợp tổng quát để ta không loại đi trường hợp a = −∞; b = +∞.
Nếu ta biểu thị x (t) là đạo hàm bậc nhất của x tại điểm t và đạo hàm của

các hàm số y và z cũng được biểu thị giống như vậy, thì vectơ (x (t), y (t), z (t) =
α (t) ∈ R3 được gọi là vectơ tiếp tuyến (hoặc vectơ vận tốc) của đường cong α
tại t. Tập ảnh α(I) ⊂ R3 được gọi là vết của α. Ta nên phân biệt một đường
cong tham số, nó là một ánh xạ, nó có vết và là một tập con của R3 .

1.2

Các đường cong chính quy và độ dài cung

Cho α : I → R3 là một đường cong tham số khả vi. Với mỗi t ∈ I , nếu
α (t) = 0, thì có một đường thẳng chứa điểm α(t) và vectơ α (t). Đường này được
gọi là tiếp tuyến với α tại t. Nghiên cứu hình học vi phân của một đường cong
điều quan trọng là sự tồn tại tiếp tuyến với α tại mọi điểm. Do đó, ta gọi t bất
kì thỏa mãn α (t) = 0 là một điểm kì dị của α và hạn chế nghiên cứu các đường
cong không có điểm kì dị.
6


Định nghĩa. Một đường cong khả vi tham số α : I → R3 được gọi là chính quy
nếu α (t) = 0 với mọi t ∈ I .
Từ bây giờ, ta chỉ xem xét các đường cong tham số khả vi, chính quy (và để
thuận tiện ta bỏ đi từ khả vi).
Cho t ∈ I , độ dài cung của một đường cong chính quy α : I → R3 từ điểm t0 ,
được định nghĩa bởi
t

|α (t)|dt,

s(t) =
t0

ở đây
|α (t)| =

x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t).

là độ dài của vectơ α (t). Vì α (t) = 0, nên độ dài cung s là một hàm số khả vi
của t và

1.3

ds
= |α (t)|.
dt

Tính chất địa phương của các đường cong tham số theo
độ dài cung

Định nghĩa 1. Cho α : I → R3 là một đường cong tham số theo độ dài cung
s ∈ I . Số |α (s)| = k(s) được gọi là độ cong của α tại s.
Nếu α là một đường thẳng, α(s) = u.s + v , với u; v là các vectơ hằng (|u| = 1),
thì k ≡ 0. Ngược lại, nếu k = α (s) = 0, thì độ cong của nó bằng 0 và đường
cong lúc này là một đường thẳng.
Ta đi biểu thị t(s) = α (s) là vectơ tiếp tuyến đơn vị của α tại s. Do đó,
t (s) = k(s)n(s).
Vectơ đơn vị b(s) = t(s) ∧ n(s) là pháp tuyến của mặt phẳng mật tiếp và nó
được gọi là vectơ trùng pháp tuyến tại s. Vì b(s) là một vectơ đơn vị nên độ dài
|b (s)| đo tốc độ thay đổi của mặt phẳng mật tiếp trong lân cận của s. Do đó,
b (s) được đo sao cho kéo đường cong ra khỏi mặt phẳng mật tiếp tại s, trong
một lân cận của s.

Ta có b (s) vuông góc với b(s) và
b (s) = t (s) ∧ n(s) + t(s) ∧ n (s) = t(s) ∧ n (s).

Vậy b (s) vuông góc với t(s). Do đó, b (s) song song với n(s) và ta có thể viết
b (s) = τ (s)n(s),

7


với một số hàm τ (s) (Chú ý rất nhiều tác giả viết −τ (s) thay cho τ (s)).
Định nghĩa 2. Cho α : I → R3 là một đường cong tham số theo độ dài cung
với α (s) = 0, s ∈ I . Số τ (s) được định nghĩa bởi b (s) = τ (s)n(s) được gọi là độ
xoắn của α tại s.
Trường mục tiêu Frénet
Với mỗi giá trị của tham số s, ba vectơ đơn vị t(s), n(s), b(s) trực giao. Ta có
các đạo hàm t (s) = kn, b (s) = τ n của các vectơ t(s), b(s). Khi đó hình thành một
trường mục tiêu được gọi là trường mục tiêu Frénet tại s.
Từ n = b ∧ t, ta có
n (s) = b (s) ∧ t(s) + b(s) ∧ t (s) = −τ b − kt.

Ta có hệ phương trình


t =

kn;


b =

τ n.

n = −kt − τ b;

Hệ phương trình trên được gọi là Công thức Frénet (bỏ s đi để thuận tiện).

8


Chương 2

Mặt chính quy
2.1

Giới thiệu

Phần 2.2 trình bày một số khái niệm cơ bản của mặt chính quy trong R3 .
Khác với sự nghiên cứu các đường cong trong Chương 1 các mặt chính quy được
định nghĩa là tập hợp chứ không phải là các ánh xạ. Mục tiêu của phần 2.2 mô
tả một số tiêu chí hữu ích để đưa ra một tập con nhất định của R3 là một mặt
chính quy.
Phần 2.3 chỉ ra rằng có thể định nghĩa được cho một hàm trên mặt chính
quy là hàm khả vi và trong phần 2.4, ta sẽ thấy rằng khái niệm vi phân trong
R2 có thể được mở rộng đến các hàm như vậy. Do đó mặt chính quy trong R3
cho ta một sự thiết lập tự nhiên từ các phép tính hai chiều.
Tất nhiên, các đường cong có thể được hiểu cho cùng quan điểm đó, tức là
như các tập con của R3 mà cho ta một sự thiết lập tự nhiên từ các phép tính
một chiều. Chúng sẽ được đề cập ngay trong phần 2.3.
Phần 2.5 ta sẽ giới thiệu dạng cơ bản thứ nhất như một công dụng tự nhiên
để xử lý các câu hỏi định lượng (độ dài của đường cong, diện tích của thiết

diện. . . ) trên một mặt chính quy.
Phần 2.6 ta sẽ trình bày ý tưởng của sự định hướng trên mặt chính quy.

2.2

Các mặt chính quy và tạo ảnh của các giá trị chính quy

Nói một cách khái quát, một mặt chính quy trong R3 là lấy một số mặt
phẳng, biến dạng chúng và dán lại sao cho hình nhận được không có các điểm
nhọn, không có các cạnh hoặc không có tính tự cắt để tại mỗi điểm có thể nói
đến mặt phẳng tiếp xúc của mặt. Các mặt cũng sẽ được giả thiết đủ trơn để có
thể mở rộng các khái niệm cũng như các kết quả của giải tích lên chúng. Định
9


nghĩa sau đây thỏa mãn các yêu cầu trên.
Định nghĩa 1. Một tập con S ⊂ R3 là một mặt chính quy nếu với mọi p ∈ X
tồn tại một lân cận V ⊂ R3 và ánh xạ X : U → V ∩ S từ một tập mở U ⊂ R2 đến
V ∩ S ⊂ R3 sao cho:
i)X là ánh xạ khả vi. Điều đó có nghĩa là
X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),

(u, v) ∈ U ;

với các hàm x(u, v), y(u, v), z(u, v) có đạo hàm riêng liên tục mọi cấp trong U.
ii)X là một đồng phôi. Vì X là liên tục theo điều kiện i) nên điều này có
nghĩa là X có ánh xạ ngược X −1 : V ∩ S → U liên tục. Nói cách khác, X −1 là
hạn chế của một ánh xạ liên tục F : W ⊂ R3 → R3 xác định trên một tập mở W
chứa V ∩ S .
iii) (Điều kiện chính quy) Với mỗi q ∈ U , vi phân dXq : R2 → R2 là đơn ánh.

Định nghĩa 1 được minh hoạ bởi Hình 2.1 dưới đây.

Hình 2.1:

Ánh xạ X được gọi là một tham số hóa hay một hệ tọa độ (địa phương) trong
(một lân cận) của p. Lân cận V ∩ S của p trong S được gọi là một lân cận tọa
độ.
Có thể phân tích rõ hơn về điều kiện iii) bằng cách xét ma trận của ánh xạ
tuyến tính dXq trong cơ sở chính tắc { e1 = (1, 0); e2 = (0, 1)} của R2 với tọa độ
(u, v) và f1 = (1, 0, 0); f2 = (0, 1, 0); f3 = (0, 0, 1) của R3 với tọa độ (x, y, z).
Cho q = (u0 , v0 ). Vectơ e1 là vectơ tiếp xúc của đường tham số u → (u, v0 ) mà
ảnh của nó qua X là đường cong u → (x(u, v0 ), y(u, v0 ), z(u, v0 )).
Ảnh của đường cong mà (gọi là đường cong tọa độ v = v0 ) trên S và X(q) là

10


vectơ tiếp xúc (Hình 2.2).
∂x ∂y ∂z
, ,
∂u ∂u ∂u

=

∂X
.
∂u

Ở đó đạo hàm được tính tại (u0 , v0 ) và một vectơ mà các thành phần của nó
biểu thị qua cơ sở {f1 , f2 , f3 }. Bằng định nghĩa của vi phân ta có

dXq (e1 ) =

∂x ∂y ∂z
, ,
∂u ∂u ∂u

=

∂X
.
∂u

Tương tự, sử dụng đường cong toạ độ u = u0 (ảnh qua X của đường cong
v → (u0 , v)), ta có được
dXq (e2 ) =

∂x ∂y ∂z
, ,
∂v ∂v ∂v

=

∂X
.
∂v

Do đó, ma trận ánh xạ tuyến tính dXq trong các cơ sở đã cho là:

Hình 2.2:

 ∂x
 ∂u
 ∂y
dXq = 
 ∂u
∂z
∂u

∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v




.


Điều kiện iii) của Định nghĩa 1 có thể được biểu diễn bằng cách lấy 2 vectơ cột
của ma trận này độc lập tuyến tính hoặc tương đương là tích vectơ
11

∂x ∂x
∧
=0
∂u ∂v

hoặc còn một cách khác là một trong các định thức con của ma trận cấp 2 của dXq
∂(x, y)
=
∂(u, v)

∂x
∂u
∂y
∂u

∂x
∂v
∂y
∂v

,

∂(y, z) ∂(x, z)
,
∂(u, v) ∂(u, v)

không đồng thời bằng 0 tại q.
Nhận xét 1:
1. Như vậy có thể xem mặt chính qui được phủ bởi một họ các lân cận toạ
độ tức là ảnh của một họ ánh xạ X (tham số hoá) thoả mãn các điều kiện
i), ii), iii).
2. Điều kiện i) cho phép ta có thể sử dụng công cụ của giải tích (phép tính vi
tích phân) để nghiên cứu các mặt chính qui.
3. Điều kiện ii) nhằm ngăn cản tính tự cắt của mặt và do đó có thể nói đến

mặt phẳng tiếp xúc của mặt tại mọi điểm.
4. Điều kiện iii) đảm bảo mọi điểm đều có mặt phẳng tiếp xúc (Hình 2.3b).

Hình 2.3:

Ví dụ 1. Mặt cầu
S 2 = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1

là mặt chính quy.
Thật vậy, đầu tiên ta sẽ chứng minh rằng ánh xạ X1 : U ⊂ R2 → R3 cho bởi
X1 (x, y) = (x, y,

1 − (x2 + y 2 )), (x, y) ∈ U ;

12


với R2 = (x, y, z) ∈ R3 : z = 0 và U = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1 là một tham
số hóa của S 2 . Nhận thấy rằng X1 (U ) là nửa mặt cầu trên của S 2 trong mặt
phẳng xy .
Do x2 + y 2 < 1 nên hàm 1 − (x2 + y 2 ) có các đạo hàm riêng liên tục mọi cấp.
Do đó, điều kiện i) được thỏa mãn.
Điều kiện iii) dễ dàng thỏa mãn vì
∂(x, y)
≡ 1.
∂(x, y)

Để kiểm tra điều kiện ii), ta nhận thấy rằng X1 là đơn ánh và X1−1 là hạn chế
của phép chiếu π(x, y, z) = xy trên tập X1 (U ). Do đó X1−1 là liên tục trên X1 (U ).
Bây giờ ta sẽ phủ hình cầu với các tham số hóa tương tự. Ta đặt X2 : U ⊂

R2 → R3 bởi X2 (x, y) = (x, y, − 1 − (x2 + y 2 )).
Kiểm tra được X2 là một tham số hóa và thấy rằng X1 (U ) ∪ X2 (U ) phủ S 2 trừ
đường tròn lớn (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1, z = 0 .
Khi đó, sử dụng các mặt xz, zy ta xác định được các tham số hóa :
1 − (x2 + y 2 , z);

X3 (x, z) = (x,

1 − (x2 + y 2 , z);

X4 (x, z) = (x, −

1 − (x2 + y 2 , y, z);

X5 (y, z) = (
X6 (y, z) = (−

1 − (x2 + y 2 , y, z);

cùng với X1 và X2 phủ hoàn toàn S 2 (Hình 2.4) và do đó S 2 là một mặt chính
quy.

Hình 2.4:

Để dễ khảo sát, ta thường sử dụng hệ tọa độ cầu để tham số hóa cho S 2 . Lấy
13


V = {(0, ϕ) : 0 < ϕ < 2π, 0 < θ < π} và lấy X : V → R3 xác đinh bởi X(θ, ϕ) =
(sinθcosϕ, sinθsinϕ, cosθ).

Dễ thấy X(U ) ⊂ S 2 . Ta chứng minh rằng X là một tham số hóa của S 2 . Khi

Hình 2.5:

đó θ được gọi là vĩ độ và ϕ được gọi là kinh độ (Hình 2.5).
Rõ ràng là các hàm sinθcosϕ, sinθsinϕ và cosθ có các đạo hàm riêng liên tục
đến mọi cấp. Do đó X là khả vi.
Hơn nữa để định thức Jacobian:
∂(x, y)
= cosθ.sinθ;
∂(θ, ϕ)
∂(y, z)
= sin2 θ.cosϕ;
∂(θ, ϕ)
∂(x, z)
= sin2 θ.sinϕ;
∂(θ, ϕ)

không đồng thời bằng 0, điều kiện cần là cos2 θsin2 θ + sin4 θcos2 ϕ + sin4 θsin2 ϕ =
sin2 θ = 0, điều này không xảy ra trong V và khi đó điều kiện i) và iii) của Định
nghĩa 1 thỏa mãn.
Tiếp theo chúng ta thấy rằng mỗi (x, y, z) ∈ S 2 \C , ở đó C là nửa đường tròn
C = (x, y, z) ∈ S 2 , y = 0, x ≥ 0 , θ là duy nhất bởi θ = cos−1 z, vì 0 < θ < π . Biết
θ xác định được sinϕ và cosϕ. Từ x = sinθcosϕ, y = sinθsinϕ ta xác định được
duy nhất ϕ(0 < ϕ < 2π). Vậy X có ánh xạ ngược X −1 . Để kiểm tra đầy đủ điều
kiện ii), ta phải kiểm tra X −1 là liên tục. Tuy nhiên, vì ta sẽ sớm chứng minh
Mệnh đề 4 nên điều thử lại không cần thiết để ta biết rằng tập S là một mặt
chính quy, không cần điều đó ở đây. Ta chú ý rằng X(V ) chỉ bỏ đi một nửa
đường tròn S 2 (bao gồm 2 cực) và cũng có thể phủ S 2 bởi lân cận tọa độ của 2

tham số hóa kiểu như trên.
Trong Bài tập 16 ta sẽ chỉ ra làm thế nào để phủ S 2 với tập các lân cận toạ
độ.
Ví dụ vừa rồi cho thấy việc kiểm tra một tập nào đó của R3 là một mặt chính
14


quy bằng định nghĩa là một công việc dễ nhàm chán. Trước khi đi vào các ví
dụ, ta sẽ trình bày 2 mệnh đề để đơn giản hóa việc này. Mệnh đề 1 cho thấy
mối quan hệ giữa định nghĩa của một mặt chính quy và đồ thị của một hàm
z = f (x, y). Mệnh đề 2 dùng Định lý Hàm ngược và định nghĩa liên quan của
một mặt chính quy với các tập con f (x, y, z) = const.
Mệnh đề 1. Nếu f : U → R là một hàm khả vi trong một tập mở U ⊂ R2 thì đồ
thị của f , tức là tập con của R3 cho bởi (x, y, f (x, y)) với (x, y ∈ U ), là một mặt
chính quy.
Chứng minh. Dễ thấy rằng ánh xạ X : U → R3 cho bởi X(u, v) = (u, v, f (u, v)) là
một tham số hóa của đồ thị có lân cận toạ độ bao gồm tất cả các điểm của đồ
thị. Điều kiện i) được chứng minh và điều kiện iii) cũng không quá khó khăn vì
∂(x, y)
= 1.
∂(u, v)

Cuối cùng, mỗi điểm (x, y, z) của đồ thị là một ảnh qua X là điểm duy nhất
(u, v) = (x, y) ∈ U .
Do đó, X là đơn ánh và X −1 là hạn chế lên đồ thị f của phép chiếu liên tục
của R3 lên mặt phẳng xy , X −1 là liên tục.
Trước khi vào Mệnh đề 2, ta cần xét định nghĩa sau.
Định nghĩa 2. Cho ánh xạ khả vi F : U ⊂ Rn → Rm xác định một tập mở U
của Rn ta thấy rằng p ∈ U là một điểm tới hạn của F nếu vi phân dFp : Rn → Rm
không là toàn ánh. Ảnh F (p) ∈ Rm của một điểm tới hạn được gọi là giá trị tới

hạn của F . Một điểm của Rm mà không phải giá trị tới hạn được gọi là giá trị
chính quy của F .
Nếu f : U ⊂ R → R là một hàm lấy giá trị thực của một biến thực thì một
điểm x0 ∈ U là tới hạn nếu f (x0 ) = 0, nghĩa là vi phân dfx0 là vectơ không (Hình
2.6). Chú ý rằng bất kì điểm a ∈ f (U ) là một giá trị chính quy tầm thường của
f.
Nếu f : U ⊂ R3 → R là một hàm khả vi thì dfp tác động lên vectơ (1, 0, 0) thu
được bằng việc tính vectơ tiếp xúc tại f (p) của đường cong
x → f (x, y0 , z0 ).
∂f
Điều đó suy ra rằng dfp (1, 0, 0) =
(x0 , y0 , z0 ) = fx và tương tự có
∂x
dfp (0, 1, 0) = fy , dfp (0, 0, 1) = fz .

Ta có thể kết luận rằng ma trận của dfp trong các cơ sở {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
được cho bởi dfp = (fx , fy , fz ).
15


Hình 2.6:

Chú ý, trong trường hợp này, dfp không phải là toàn ánh mà là cơ sở tương
đương fx = fy = fz = 0 tại p. Do đó, a ∈ f (U ) là một giá trị chính quy của
f : U ⊂ R3 → R khi và chỉ khi fx , fy , fz không đồng thời bằng 0 tại bất kì điểm
nào trong nghịch ảnh
f −1 (a) = {(x, y, z) ∈ U : f (x, y, z) = a} .

Mệnh đề 2. Nếu f : U ⊂ R3 → R là một hàm khả vi và a ∈ f (U ) là một giá trị
chính quy của f thì f −1 (a) là một mặt chính quy trong R3 .

Chứng minh. Lấy p = (x0 , y0 , z0 ) là một điểm của f −1 (a).
Vì a là một giá trị chính quy của f , không giảm tính tổng quát (có thể đổi
tên trục nếu cần thiết) giả sử fz = 0 tại p. Ta xác định một ánh xạ
F : U ⊂ R3 → R3 cho bởi F (x, y, z) = (x, y, f (x, y, z)).

Ta có


1

0

0



dFp =  0 1 0  .
fx fy fz





Khi đó det(dFp ) = fz = 0.
Từ đó, ta có thể áp dụng Định lý Hàm ngược mà bảo đảm sự tồn tại các lân
cận V của p và W của F (p). Như vậy F : V → W là khả nghịch và nghịch đảo
F −1 : W → V là khả vi (Hình 2.7). Điều này kéo theo rằng các hàm tọa độ của
F −1 các hàm x = u, y = v, z = g(u, v, t), (u, v, t) ∈ W là khả vi. Trường hợp đặc
biệt z = g(u, v, a) = h(x, y) là một hàm khả vi xác định trên hình chiếu của V
16

Hình 2.7:

trên mặt phẳng xy .
Vì F (f −1 (a) ∩ V ) = W ∩ {(u, v, t), t = a} ta kết luận rằng đồ thị của h là
f −1 (a) ∩ V .
Theo Mệnh đề 1, f −1 (a)∩V là một lân cận toạ độ chứa p. Do đó, mỗi p ∈ f −1 (a)
có thể phủ bởi một lân cận toạ độ và f −1 (a) là một mặt chính quy.
Nhận xét 2. Việc chứng minh cơ bản sử dụng Định lý Hàm ngược "để tìm
nghiệm z " trong phương trình fz (p) = 0. Thực chất đây là một trường hợp đặc
biệt của Định lý tổng quát Hàm ẩn.
x2
y2
z2
+
+
= 1 là một mặt chính quy, thực tế nó là tập
a2
b2
c2
2
x2 y 2 z 2
−1
hợp f (0), với f (x, y, z) = 2 + 2 +
− 1.
a
b
c
2x

Điều này suy ra từ thực tế các đạo hàm riêng fx = 2 , fy = 2yb2 , fz = 2zc2
a
đồng thời triệt tiêu chỉ tại điểm (0, 0, 0) mà điểm này không thuộc f −1 (0). Ví dụ

Ví dụ 2. Ellipsoid

này chỉ ra mặt cầu là một trường hợp riêng (a = b = c = 1).
Các ví dụ của mặt chính quy đã giới thiệu là tập liên thông của R3 . Một mặt
S ⊂ R3 được gọi là liên thông nếu bất kì hai điểm nào của S đều có thể nối bởi
một đường cong liên tục trong S . Trong định nghĩa của một mặt chính quy ta
không hạn chế trên tính chất liên thông mặt và ví dụ sau đây chỉ ra rằng các
mặt chính quy cho bởi Mệnh đề 2 có thể không liên thông.

17


Ví dụ 3. Hyperboloid 2 tầng: −x2 − y 2 + x2 = 1 là một mặt chính quy vì
S = f −1 (0) với 0 là một giá trị chính quy của hàm f (x, y, z) = −x2 − y 2 + z 2 − 1
(Hình 2.8). Chú ý rằng mặt S không liên thông vì hai điểm nằm ở hai tầng khác
nhau (z > 0 và z < 0 ) không thể nối với nhau bằng một đường cong liên tục.
α(t) = (x(t), y(t), z(t)) trong mặt, mặt khác, z đổi dấu và đối với một số t0 ta
có z(t0 ) = 0 mà có nghĩa là α(t0 ) ∈ S.

Hình 2.8:

Ta có tính chất sau đây của một mặt liên thông: "Nếu f : S ⊂ R3 → R là hàm
liên tục xác định trên một mặt liên thông S . Nếu f (p) = 0, ∀p ∈ S thì f không
đổi dấu trên S ".
Thật vậy, giả sử ta có f (p) > 0 và f (q) > 0 với p, q ∈ S . Do S là liên thông,
tồn tại đường cong liên tục α : [a, b] → S với α(a) = p, α(b) = q.

Xét f ◦ α : [a, b] → R. Theo Định lý Giá trị trung bình tồn tại c ∈ [a, b] với f ◦
α(c) = 0. Điều này chứng tỏ f = 0 tại điểm α(c).
Ví dụ 4. Mặt xuyến (torus) T là một mặt sinh ra bằng cách quay một đường
tròn có bán kính r quanh một đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa đường tròn
và cách tâm đường tròn một khoảng a > r (Hình 2.9).
Lấy S 1 là đường tròn trong mặt phẳng yz với tâm đường tròn là điểm
(0, a, 0). Khi đó S 1 được cho bởi (y − a)2 + z 2 = r2 và các điểm của hình T có
được bằng cách quay đường tròn này quanh trục z thỏa mãn phương trình:
z 2 = r2 − ( x2 + y 2 − a)2 .
18


Hình 2.9:

Vì vậy, T là ảnh ngược của r2 cho bởi hàm
f (x, y, z) = z 2 + (

x2 + y 2 − a)2 .

Hàm này là khả vi với (x, y) = (0, 0) và vì
2y(
∂f
∂f
= 2z,
=
∂z
∂y
2x(
∂f
=

∂x

x2 + y 2 − a)
x2 + y 2

x2 + y 2 − a)
x2 + y 2

;

;

là một giá trị chính quy của f . Từ đó suy ra rằng mặt xuyến T là mặt chính
quy.
Mệnh đề 1 nói rằng đồ thị của một hàm khả vi là một mặt chính quy. Mệnh
đề sau đây cho ta một khẳng định ngược lại, nghĩa là, bất kì mặt chính quy có
địa phương hoá là đồ thị của một hàm khả vi.
Mệnh đề 3. Cho S ⊂ R3 là một mặt chính quy và p ∈ S . Khi đó tồn tại một
lân cận V của p trong S sao cho V là đồ thị của một hàm khả vi có một trong
ba dạng sau: z = f (x, y), y = g(x, z), x = h(y, z).
Chứng minh. Cho X : U → S là một tham số hóa của S tại p và viết X(u, v) =
(x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ U . Theo điều kiện iii) của Định nghĩa 1, một trong
các định thức sau phải khác không tại X −1 (p) = −q .
∂(x, y)
;
∂(u, v)

∂(y, z)
;
∂(u, v)

19

∂(z, x)
.
∂(u, v)


∂(x, y)
(q) = 0.
∂(u, v)
Xét ánh xạ π ◦ X : U → R2 ở đó π là phép chiếu π(x, y, z) = (x, y). Khi đó
∂(x, y)
π ◦ X(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) và vì
(q) = 0. Áp dụng Định lý Hàm ngược
∂(u, v)
đảm bảo sự tồn tại của các lân cận V1 của q và V2 của (π ◦ X)(q) sao cho π ◦ X là

Giả sử :

vi phôi từ V1 lên V2 (Hình 2.10). Từ đây suy ra rằng hạn chế của π lên V = X(V1 )
là đơn ánh và tồn tại hàm ngược (π ◦ X)−1 : V2 → V1 . Nhận thấy rằng khi X là
đồng cấu, V là một lân cận của p trong S . Bây giờ, nếu ta xét hợp của ánh xạ
(π ◦ X)−1 (x, y) = (u(x, y), v(x, y)) với hàm (u, v) → x(u, v) ta nhận thấy V là đồ
thị hàm khả vi z = z(u(x, y), v(x, y)) = f (x, y).
Các trường hợp còn lại có thể chứng minh tương tự, với x = h(x, y) và y =
g(x, y).
Mệnh đề tiếp theo nói rằng nếu ta đã biết S là một mặt chính quy và ta có

Hình 2.10:

X là một tham số hóa, ta không cần kiểm tra rằng X −1 là liên tục và các điều

kiện khác giữ nguyên. Nhận xét này được sử dụng trong Ví dụ 1.
Mệnh đề 4. Cho S mặt chính quy và ánh xạ X : U ⊂ R2 → R3 , X(u) ⊂ S .
Nếu X là đơn ánh thoả mãn Điều kiện i) và iii) trong Định nghĩa 1 thì X −1 là
liên tục, có nghĩa là X thoả mãn điều kiện ii) và do đó X là một tham số hoá.
Chứng minh. Lấy p ∈ X(U ). Vì S là mặt chính quy, khi đó tồn tại một lân cận
W ⊂ S của p nghĩa là W là đồ thị của một hàm khả vi trên tập mở V của mặt
phẳng xy .
Lấy N = X −1 (W ) ⊂ U và tập h = π ◦ X : N → V với π(x, y, z) = (x, y). Khi đó
dh = π ◦ dX là không suy biến tại X −1 (q) = r. Theo Định lý Hàm ngược tồn tại
lân cận Ω ⊂ N sao cho h : Ω → h(Ω) là vi phôi. Chú ý rằng X(Ω) là một tập mở
trong S và X −1 = h−1 ◦ π là hợp của ánh xạ liên tục. Do đó X −1 là liên tục tại
20


q . Vì q là tùy tùy ý, X −1 là liên tục trong X(U ).

Ví dụ 5. Nón một tầng C cho bởi z = x2 + y 2 , (x, y) ∈ R2 không phải là mặt
chính quy. Dễ thấy ánh xạ (x, y) → (x, y, x2 + y 2 ) là không khả vi tại (0,0). Ta
chưa thể khẳng định rằng C không phải là mặt chính qui vì đây mới là một ánh
xạ từ R2 vào C . Trên C có thể có các tham số hóa khác. Ta sẽ chứng tỏ C không
chính qui tại đỉnh của nó. Nếu C là mặt chính qui thì có một lân cận của điểm
(0, 0, 0) ∈ C là đồ thị của một hàm khả vi có một trong ba dạng sau
y = h(x, z), x = g(y, z), z = f (x, y).

Hai dạng sau cùng không thoả mãn vì phép chiếu của C lên các mặt phẳng
xz, yz không là đơn ánh. Xét hàm có dạng thứ nhất z = x2 + y 2 . Dễ thấy hàm
này không khả vi tại (0,0) nên cũng không phù hợp. Do đó C không phải là mặt
chính qui. Nếu bỏ đi điểm đỉnh (0, 0, 0) thì tập còn lại C\ {(0, 0, 0)} là mặt chính

qui.

Ví dụ 6. Một tham số hóa của mặt xuyến T được cho bởi
X(u, v) = ((rcosu + a)cosv; (rcosu + a)sinv; rsinu);

với 0 < u < 2π, 0 < v < 2π .
Thật vậy, các điều kiện i) và iii) dễ kiểm tra. Vì chúng ta biết rằng T là một
mặt chính quy nên chỉ cần chứng minh X là một đơn ánh là đủ.
z
Để chứng minh X là đơn ánh, đầu tiên ta thấy rằng sinu = . Nếu x2 + y 2 ≤

r
π
3π
π
π
3π
2
2
a thì ≤ u ≤
. Nếu x + y
a thì hoặc 0 < u
hoặc ≤ u ≤ .
2
2
2
2
2
Như vậy mỗi (x, y, z) sẽ xác định được duy nhất v với (0 < v < 2π). Dễ thấy

rằng mặt xuyến có thể được phủ bởi 3 tọa độ lân cận như vậy.
BÀI TẬP
1. Cho mặt trụ (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1 là một mặt chính quy. Tìm tham số
hóa mà các tọa độ lân cận phủ nó.
2. Hỏi tập (x, y, z) ∈ R3 , z = 0 và x2 + y 2 ≤ 1 có là mặt chính quy không?
3. Chứng minh rằng nón 2 tầng với đỉnh của nó tại gốc nghĩa là tập
(x, y, z) ∈ R3 , z = 0 và x2 + y 2 < 1 là một mặt chính quy.
4. Cho f (x, y, z) = z 2 . Chứng minh rằng 0 không là một giá trị chính quy của f
nhưng mà f −1 (0) là mặt chính quy.
21


5. Cho p = (x, y, z) ∈ R3 , x = y và X : U ⊂ R2 → R3 cho bởi X(u, v) = (v +
u, u + v, uv) trong đó u = (u, v) ∈ R3 : u > v . Hiển nhiên X(U ) ⊂ P . Hỏi X có
là một tham số hóa của P không?
6. Bằng cách áp dụng Mệnh đề 2: h(x, y, z) = f (x, y) − z . Hãy chứng minh Mệnh
đề 1 theo cách khác.
7. Cho f (x, y, z) = (x + y + z − 1)2 .
a) Tìm điểm tới hạn và giá trị tới hạn của f .
b) Với giá trị nào của C thì tập f (x, y, z) = c là một mặt chính quy?
c) Trả lời các câu hỏi của phần a và b với hàm f (x, y, z) = xyz 2 .
8. Cho X(u, v) giống như trong Định nghĩa 1. Kiểm tra rằng dXq : R2 → R3 là
đơn ánh khi và chỉ khi

∂x ∂y
∧
= 0.
∂u ∂v

9. Cho V là một tập mở trên mặt phẳng xy . Chứng minh rằng tập hợp

(x, y, z) ∈ R3 , z = 0 và (x, y) ∈ V là một mặt chính quy.
10. Cho C là hình số 8 trên mặt phẳng xy và cho S là mặt trụ trên C (Hình
2.11) nghĩa là S = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ C . Hỏi S có là một mặt chính quy

Hình 2.11:

hay không?
11. Chứng minh rằng tập hợp S = (x, y, z) ∈ R3 , z = x2 − y 2 là một mặt chính
quy và kiểm tra các ánh xạ sau là tham số hóa của S .
a) X(u, v) = (u + v, u − v, 4uv), (u, v) ∈ R2
b) X(u, v) = (ucoshv, usinhv, u2 ), (u, v) ∈ R2 , u = 0
Phần nào của S được phủ bởi các tham số hoá này?
12. Chứng minh rằng X : U ⊂ R2 → R3 cho bởi
X(u, v) = (asinucosv, bsinusinv, ccosu), a, b, c = 0.
x2 y 2 z 2
trong đó 0 < u < π, 0 < v < 2π, là một tham số hóa bởi ellipsoid: 2 + 2 + 2 = 1.
a
b
c
Mô tả các đường cong toạ độ u = const trong ellipsoid.
22


13. Tìm một tham số hóa cho bởi hypebol 2 tầng
(x, y, z) ∈ R3 : −x2 − y 2 + z 2 = 1 .

14. Một nửa đoạn [0, ∞) vuông góc tới một đường E và quay quanh E từ vị trí
ban đầu trong khi gốc O di chuyển dọc theo E . Sự chuyển động là như vậy khi
[0, ∞) đã xoay bằng một góc θ, gốc là ở khoảng cách d = sin2

θ
từ đó là vị trí
2

ban đầu trên E . Thử lại rằng bằng cách loại bỏ các đường E từ ảnh đường xoay
θ
2

quanh. Ta có được một mặt chính quy. Nếu chuyển động sao cho d = sin . Ta
cần loại bỏ những gì để có một mặt chính quy?
15. Cho hai điểm p(t) và q(t) chuyển động với tốc độ như nhau, p bắt đầu từ
(0, 0, 0) và chuyển động dọc theo trục z và q bắt đầu tại (a, 0, 0), a = 0 và chuyển
động song song với trục y . Hãy chỉ ra rằng đường qua hệ p(t) và q(t) miêu tả
một tập trong R3 cho bởi y(x − a) + zx = 0. Nó có là một mặt chính quy không?
16. Một cách khác để xác định các tham số hoá và các lân cận toạ độ của mặt
cầu S 2 , được cho bởi x2 + y 2 + (z − 1)2 = 1, là xét phép chiếu nổi π : S 2 {N } → R2
biến điểm p = (x, y, z) của mặt cầu S 2 trừ đi cực bắc N = (0, 0, 2) thành giao của
mặt phẳng xy với đường thẳng nối N với p (Hình 2.12). Đặt (u, v) = π(x, y, z)
với (x, y, z) ∈ S 2 \ {N } và (u, v) thuộc mặt phẳng xy .

Hình 2.12:

a) Chứng minh rằng π −1 : R2 → S 2 xác định bởi

4u


x= 2
;



u + v2 + 4

4v
π −1

y=

;

u2 + v 2 + 4


2
2


 z = 2(u + v ) .
2
2
u +v +4

23


b) Chứng minh rằng có thể dùng phép chiếu nổi để phủ mặt cầu với chỉ hai lân
cận toạ độ.
17. Xác định đường cong chính quy tương tự như mặt chính quy. Chứng minh
rằng
a) Nghịch ảnh của một giá trị chính quy của một hàm khả vi f : U ⊂ R2 → R là

một mặt cong chính quy. Cho ví dụ về một đường cong mà không liên thông.
b) Nghịch ảnh của một giá trị chính quy của một ánh xạ khả vi F : U ⊂ R3 → R2
là một đường cong chính quy trong R3 . Hãy xác định một đường cong trong
R3 như sự giao nhau của hai mặt.
c) Tập C = (x, y) ∈ R3 , x2 = y có là một đường cong chính quy không?
18. Giả sử rằng f (x, y, z) = u = const, g(x, y, z) = v = const, h(x, y, z) = w = const
mô tả ba họ của mặt chính quy và giả thiết rằng tại (x0 , y0 , z0 ) các Jacobian
∂(f, g, h)
= 0.
∂(x, y, z)

Chứng minh rằng trong một lân cận của (x0 , y0 , z0 ), ba họ sẽ được mô tả bằng
một ánh xạ F (u, r, w) = (x, y, z) là tập mở của R3 vào trong R3 trong đó một
tham số hóa địa phương cho mặt của họ f (x, y, z) = u, cho ví dụ, đạt được bằng
cách đặt u = const trong ánh xạ đó.
Xác định F trong các trường hợp sau mà họ của các mặt là
f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 = u = const (mặt cầu với tâm (0, 0, 0));
y
g(x, y, z) = = v = const (mặt phẳng đi qua trục z );
x
x2 + y 2
h(x, y, z) =
= w = const (nón với đỉnh tại (0, 0, 0)).
z2
19. Cho α : (−3, 0) → R2 xác định bởi (Hình 2.13).

Hình 2.13:

24