bản tóm tắt khóa luận tốt nghiệp môn Hình học vi phan

Trường Đại học Hồng Đức
Khoa Khoa học tự nhiên
Lưu Văn Tiến
đa tạp Riemann hai chiều
Khóa luận tốt nghiệp đại học sư phạm toán
chuyên nghành: hình học vi phân
GVHD: TH.s gvc đồng khắc soạn
đơn vị công tác: khoa khoa học tự nhiên
Thanh hóa, tháng 5 năm 2009

Khóa luận được trình bày theo hệ thống từ khái niệm, mô tả,
cách biểu thị về đa tạp Riemann hai chiều đến định tính của nó
và được phân thành 2 phần:
Phần I. Cơ sở lý thuyết

Chương I. Đa tạp Riemann hai chiều

Đ1. Đa tạp Riemann hai chiều

Đ2. Dạng liên kết và độ cong Gauss của đa tạp Riemann hai
chiều
Đ3. Đạo hàm của trường véctơ dọc một cung tham số
Chương II. Cung trắc địa trên đa tạp Riemann hai chiều
Đ1. Độ cong trắc địa của một cung và cung trắc địa trên đa
tạp Riemann hai chiều
Đ2. Tính chất ngắn nhất của cung trắc địa
Đ3. Định lí Gauss-Bonet
Phần II. Một số bài tập minh họa

PHầN I: CƠ Sở Lý THUYếT

CHƯƠNG I
Đa tạp Riemann hai chiều
Đ1. Đa tạp Riemann hai chiều
1. Đa tạp hai chiều trong không gian Ơclít .
1.1 Định nghĩa.
Cho S là một tập con khác rỗng của . Nếu với mỗi điểm

đều tồn tại hình cầu mở sao cho

là mảnh hình học thì S được gọi là đa tạp
hai chiều. Khi đó, mỗi được gọi là một tham số hóa địa
phương và được gọi là một bản đồ địa phương.
Như vậy, đa tạp hai chiều S là hợp của các bản đồ địa phương
(hay còn gọi đa tạp hai chiều S là hợp của ảnh các khoảng
mở hai chiều mà mỗi tập ảnh là một bản đồ địa phương ).
p
r
n
E
( )
pp
U,Ur,pBS =
Sp
( )
0r,r,pB >
( )
pp
r,U
n
E

Đ1. Đa tạp Riemann hai chiều
1. Đa tạp hai chiều trong không gian Ơclít .
1.1 Định nghĩa.
Cho S là một tập con khác rỗng của . Nếu với mỗi điểm

đều tồn tại hình cầu mở sao cho

là mảnh hình học thì S được gọi là đa tạp hai
chiều. Khi đó, mỗi được gọi là một tham số hóa địa phương và
được gọi là một bản đồ địa phương.
Như vậy, đa tạp hai chiều S là hợp của các bản đồ địa phương (hay
còn gọi đa tạp hai chiều S là hợp của ảnh các khoảng mở hai
chiều mà mỗi tập ảnh là một bản đồ địa phương ).
p
r
n
E
( )
pp
U,Ur,pBS =
Sp
( )
pp
r,U
n
E
Đ1. Đa tạp Riemann hai chiều
1. Đa tạp hai chiều trong không gian Ơclít .
1.1 Định nghĩa.
Cho S là một tập con khác rỗng của . Nếu với mỗi điểm

đều tồn tại hình cầu mở sao cho

là mảnh hình học thì S được gọi là đa tạp hai
chiều. Khi đó, mỗi được gọi là một tham số hóa địa phương và
được gọi là một bản đồ địa phương.
Như vậy, đa tạp hai chiều S là hợp của các bản đồ địa phương (hay
còn gọi đa tạp hai chiều S là hợp của ảnh các khoảng mở hai
chiều mà mỗi tập ảnh là một bản đồ địa phương ).
n
E
Sp
n
E

1.2 Tiêu chuẩn nhận biết đa tạp hai chiều trong .
* Tiêu chuẩn 1.
S là đa tạp hai chiều khi và chỉ khi với mỗi điểm có một lân
cận mở U của p trong S là một mảnh hình học với tham số
hóa kiểu đồ thị :
U là tập mở trong , là hàm khả vi trên U.
* Tiêu chuẩn 2.
Xét ánh xạ:
Đặt . Nếu thì S là đa
tạp hai chiều.

2
R
( ) ( ) ( )
)y,x(,y,xy,xry,x

EU:r
3
=


( )
3
EVRV:F
( ) ( )
z,y,xFz,y,x
( )
=

pFS
1
( )
1F,F,Frank
zyx
=

n
E

2. Đa tạp Riemann hai chiều.
2.1. Các định nghĩa.
a. Định nghĩa 1. Cho M là một đa tạp hai chiều và tích vô
hướng < , >_cấu trúc Riemann thõa mãn hai điều kiện:
i) là tích vô hướng trên
ii) < , > là ánh xạ khả vi đối với mọi p.
Khi đó (M,< , >) gọi là đa tạp Riemann hai chiều.

Ví dụ. Khi xét < , > là tích vô hướng trên cảm sinh từ
tích vô hướng trong , ta được đa tạp Riemann hai chiều
với Metric chính tắc.
p
,p:, ><><
Mp,MT
p

MT
p
n
E
p
,p:, ><><
Mp,MT
p

MT
p
n
E

b. Định nghĩa 2.
ánh xạ khả vi giữa các đa tạp
Riemann hai chiều gọi là ánh xạ đẳng cự nếu với

ta có:
( )
[ ]
( )

,,M,,M:f
Mp
( ) ( )
MT,,,]fT,fT[
ppp
>=<

c. Định nghĩa3.
ánh xạ (khả vi) gọi là bảo giác (bảo
tồn góc giữa các đường) nếu với mọi là một ánh
xạ tuyến tính đồng dạng từ đến
Ví dụ. Phép biến đổi đồng nhất từ đến
trong đó, và là một hàm số dương (khả vi)
trên M, là một ánh xạ bảo giác.
d.Định nghĩa 4: Đa tạp với cấu trúc
Riemann . Trong đó:
( can là cấu trúc Riemann chính tắc xác định bởi tích vô hướng
thông thường trên ). (H, < , > ) gọi là nửa phẳng Poincare
( )
[ ]
( )
,,M
~
,,M:f
( )
fT,Mp
p

( )
pp

,,MT ><
( ) ( )
( )
pfpf
],[,M
~
T
( )
,,M
[ ]
( )
,,M
[ ]
><= ,,

( )
{ }
0yRy,xH
2
>=
can, >=<
RH:
( )
2
y
1
y,x
2
R

( ) ( ) ( )( )
ty,xt,xtfRt ==∈ 
( )
tty =
( )
21
]t,t[
tt
21
<ρ
1
2
t
t
t
t
ln
t
dt
2
1
=
∫
2.2 VÝ dô vÒ ®a t¹p Riemann hai chiÒu.
* ®é dµi cung ®o¹n.
XÐt cung trong H x¸c ®Þnh bëi tham sè hãa
víi
§é dµi cña cung lµ :

Đ2.Dạng liên kết và độ cong Gauss của đa tạp Riemann hai
chiều
1. Trường mục tiêu và trường đối mục tiêu.
a. Định nghĩa 1. Trường véctơ

được gọi là trường véctơ song song.
b. Định nghĩa 2. Giả sử là n trường véctơ khả
vi trên , khi đó bộ { }được gọi là trường
mục tiêu khả vi trên nếu :
là mục tiêu trong .

nn
TEE:X
constaEp
p
n
==


n21
X,...,X,X
n21
X,...,X,X
n
E
n
E
n
E

( ) ( ) ( ){ }
pX,...,pX,pX
n21

c. Định nghĩa 3. Nếu mọi trường vectơ
của trường mục tiêu trên là song
song thì ta nói trường mục tiêu song song.
Mỗi cơ sở trực chuẩn của xác định một trường
mục tiêu trực chuẩn song song .
d. Định nghĩa 4. Giả sử là trường mục tiêu
tự nhiên trên và . Khi đó :

Các 1- dạng trên xác định bởi

với i, j = 1,2,...,n
thì họ gọi là trường đối mục tiêu đối ngẫu của trường
mục tiêu { } và khai triển 1- dạng vi phân là duy nhất.
( )
n,...,2,1iX
i
=
{ }
n21
X,...,X,X
n
E
n
E
{ }
n,...,2,1i,E

i
=
{ }
i
e

{ }
n21
E,...,E,E
n
E
( ) ( )

==
=






=
n
1i
i
i
n
1i
i
i

EEX
( )
n,....,2,1i
i
=
n
E
( )





=

==
jiue

n0
jiue

n1
E
i
ji
i
{ }
i

n

E

2. Định lý 1. Cho (M, <, > ) là một đa tạp Riemann hai
chiều. Với mọi trường mục tiêu trực chuẩn trên
tập mở V của M, gọi là trường đối mục tiêu của
nó, tức các dạng vi phận bậc một trên V mà
Ta có một và chỉ một dạng vi phân bậc một trên V thỏa
mãn:
trong đó
Dạng đó gọi là dạng liên kết của (M, < , > trong trư
ờng mục tiêu đã cho.
{ }
21
U,U
{ }
21
,
( )
i
jj
i
U =
12
1
221
2
1
d,d ==
1
2

2
1
=
1
2


3. Độ cong Gauss của đa tạp Riemann hai chiều:
* Định lý: (M,<, >) là một đa tạp Riemann hai chiều thì có
một và chỉ một hàm số K trên M sao cho với trường đối mục
tiêu của trường mục tiêu trực chuẩn tùy ý
trên tập mở V của M.
Ta có:
Trong đó: là dạng liên kết của trong trường mục tiêu đó.
K gọi là độ cong Gauss của (M , < , >).
4. Ví dụ. M = S là đa tạp hai chiều trong với cấu trúc
Riemann hai chiều cảm sinh từ tích vô hướng trong
thì độ cong Gauss ở đây của ( M , can ) trùng với độ cong
Gauss trong đa tạp hai chiều thông thường của S.
{ }
21
~
,
~

{ }
21
U,U
211
2

Kd =
1
2

3
E
3
E

Đ3. Đạo hàm của trường vectơ dọc một cung tham số
1- Đạo hàm của trường vectơ dọc cung tham số ( trên đa tạp
Riemann hai chiều).
1.1. Một số khái niệm.
Xét ánh xạ: với I là khoảng mở trong R

Trường vectơ X dọc là việc đặt tương ứng với mỗi
ta có vectơ tiếp xúc .
X được gọi là khả tại nếu có khoảng mở J chứa

sao cho mọi hàm số khả vi trên 1 tập mở chứa , hàm số:

khả vi tại .
X được gọi khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm .
Nếu là một trường mục tiêu khả vi trên một tập mở
chứa của M thì:
khả vi khi và chỉ khi khả vi.
MI:
( )
tt

It
( )
( )
MTtX
t

It
0

IJ,t
0

( )
J
( )
[ ]
tXt
0
t
It
0

{ }
21
U,U
( )
I

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
)t(Ut)t(UttX

2
2
1
1
+=
21
,

Đ3. Đạo hàm của trường véctơ dọc một cung tham số
1- Đạo hàm của trường vectơ dọc cung tham số ( trên đa tạp
Riemann hai chiều).
1.1. Định nghĩa. Cho cung tham số: trên đa
tạp Riemann hai chiều (M,<,>) thì với mọi trường véctơ X dọc
, quy tắc sau đây xác định một trường véctơ dọc , ký
hiệu
là: được gọi là đạo hàm của X dọc .
Với mỗi lấy trường mục tiêu trực chuẩn
rong lân cận đó của và


Trong đó là dạng liên kết của (M,<,>).
MI:
( )
tt

dt
X
hayX
dt

It
0

{ }
21
U,U
0
t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
)t(U)t(tt
dt
d
)t(U)t(tt
dt
d
t
dt
x
020
2
10

1
0
2
010
1
20
2
0
1
0









+

+

+

=

2
1
1
2
=

1.3. Tính chất.
1.3.1 X, Y là các trường véctơ dọc thì:

1.3.2 X là trường véctơ dọc và là hàm số trên I thì:

1.3.3 X là trường véctơ dọc thì:
1.3.4 Z là một trường véctơ trên một tập mở I trong M chứa
điểm p. Xét ; , là cung có ảnh trong I
thì là trường véctơ dọc và

không phụ thuộc đã chọn gọi là đạo hàm của Z theo véctơ
MI:
( )
tt
( )
Y
dt
X
dt
YX

dt

+

=+




>

<+>

<=
dt
Y
,XY,
dt
X
Y,X
dt
d
MT
pp

( )
t
p

=

Z

( )
( )
t
dt
Z
Z
p

=


p

( )
X
dt
X
dt
d
X
dt

+

=

1.3.5 X là trường véctơ dọc cung
là phép biến đổi tham số
thì là trường vécctơ dọc và
1.3.6 Cho là tập mở và cung
Một trường vectơ X dọc r là việc đặt tương ứng mỗi
với véctơ . Đạo hàm của X dọc các cung

, cho các trường véctơ dọc r lần
lượt là và
MI:
( )
tt

XJ:
( )
ss
X

( )








=

dt
X
ds
d
ds
X
2
RU
MU:r
( ) ( )
v,urv,u
( )
Uv,u
( )
MTv,uX
)v,u(r

( )
v,uru
( )
v,urv
u
X


v
X