Một số phép đối xứng của đồ thị hàm số (KL06376)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ KHUYÊN

MỘT SỐ PHÉP ĐỐI XỨNG
CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

HÀ NỘI – 2014


LỜI CẢM ƠN
Trên thực tế không có sự thành công nào mà không gắn liền với sự giúp đỡ
cũng như hỗ trợ từ người khác dù ít hay nhiều, dù trực tiếp hay gián tiếp. Trong
suốt 4 năm học tập trên giảng đường trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, em đã
nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ và chỉ bảo tận tình của các quý thầy cô,
gia đình và bạn bè.
Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, em xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu
Trường đại học Sư phạm Hà Nội 2, ban chủ nhiệm khoa toán đã tạo điều kiện cho
em được làm khóa luận.
Đặc biệt em xin chân thành cám ơn ThS Nguyễn Thị Bình tận tình quan
tâm, hướng dẫn, giảng giải cho em những kiến thức cần thiết để em hoàn thành
bài khóa luận này.
Do hạn chế về điều kiện thời gian, bài khóa luận của em không tránh khỏi
sai sót rất mong được nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo để
bài khóa luận của em được hoàn chỉnh hơn.

LỜI CAM ĐOAN
Bài khóa luận "Một số phép đối xứng của đồ thị hàm số" được hoàn thành
dựa trên sự tổng hợp kiến thức của bản thân trong 4 năm học tập tại trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2. Đồng thời khóa luận cũng khai thác các kiến thức trong
tài liệu tham khảo đã được nêu rõ trong phần tài liệu tham khảo. Tôi xin cam
đoan khóa luận "Một số phép đối xứng của đồ thị hàm số" là kết quả nghiên
cứu của bản thân. Khóa luận hoàn toàn không sao chép từ các tài liệu khác.


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ .................................................. 3
1.1 Hàm số ........................................................................................................... 3
1.1.1 Khái niệm hàm số ........................................................................................ 3
1.1.2 Các tính chất của hàm số ............................................................................. 3
1.2 Đồ thị hàm số ................................................................................................. 7
1.2.1 Khái niệm đồ thị hàm số .............................................................................. 7
1.2.2 Một số ví dụ về đồ thị hàm số ...................................................................... 7
CHƢƠNG 2: MỘT SỐ PHÉP ĐỐI XỨNG ...................................................... 9
2.1 Phép đối xứng qua gốc tọa độ ......................................................................... 9
2.1.1 Khái niệm .................................................................................................... 9
2.1.2 Một số ví dụ và bài toán liên quan ............................................................... 9
2.2 Phép đối xứng qua các trục tọa độ ................................................................ 21
2.2.1 Phép đối xứng qua trục Ox ........................................................................ 21
2.2.2 Phép đối xứng qua trục Oy ........................................................................ 37
2.3 Phép đối xứng qua đường phân giác thứ nhất ............................................... 47
2.3.2 Một số ví dụ và bài toán liên quan ............................................................. 48
CHƢƠNG 3: TÍCH CÁC PHÉP ĐỐI XỨNG ................................................ 52
3.1 Đối xứng tâm và đối xứng trục Ox ............................................................... 52
3.1.1 Dạng 1: ...................................................................................................... 52

3.1.2 Dạng 2: ...................................................................................................... 55
3.2 Đối xứng tâm và đối xứng trục Oy ............................................................... 58
3.2.1 Dạng 1: ...................................................................................................... 58
3.2.2 Dạng 2: ...................................................................................................... 61
KẾT LUẬN ....................................................................................................... 65
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. .67


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong nhà trường phổ thông, môn toán giữ một vị trí hết sức quan trọng.
Nó giúp học sinh học tốt các môn học khác, là công cụ của nhiều ngành khoa
học và cũng là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế. Môn toán có tiềm
năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện
các thao tác và phẩm chất tư duy...
Đại số là một bộ phận lớn trong toán học, trong đó hàm số là một khái
niệm cơ bản và quan trọng, không những là đối tượng nghiên cứu của đại số
mà còn liên quan chặt chẽ tới các chủ đề khác như phương trình, bất phương
trình... Phép đối xứng của đồ thị hàm số là một khía cạnh kiến thức cơ bản
trong chủ đề hàm số. Nó giúp chúng ta nghiên cứu về mối quan hệ giữa một
số hàm số với nhau cũng như giúp giải quyết một số bài toán liên quan về
hàm số một cách dễ dàng và nhanh chóng.
Tuy nhiên, những tài liệu nghiên cứu về các phép đối xứng này chưa có
nhiều. Các dạng bài tập còn chưa được phân loại rõ ràng, hệ thống hóa chưa
đa dạng, đầy đủ. Vì vậy, việc nghiên cứu chúng gặp nhiều khó khăn, gây ảnh
hưởng tới việc nắm bắt kiến thức và giải bài tập.
Với những lí do trên cùng niềm say mê nghiên cứu và sự chỉ bảo tận tình
của ThS Nguyễn Thị Bình, em đã mạnh dạn chọn đề tài "Một số phép đối
xứng của đồ thị hàm số" để làm khóa luận tốt nghiệp nhằm phân loại hệ

thống một số bài toán liên quan đến đề tài này. Từ đó giúp các em học sinh có
thêm tài liêu học tập để có cái nhìn toàn diện nhất về các phép đối xứng của
đồ thị hàm số và các bài toán liên quan đồng thời cũng cho thấy vai trò quan
trọng của hàm số trong môn toán ở trường phổ thông.

1


2. Mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu một số kiến thức cơ bản về hàm số và đồ thị hàm số. Nghiên
cứu chủ yếu về một số phép đối xứng của đồ thị hàm số và ứng dụng của
chúng vào việc giải các bài toán liên quan.
3. Đối tượng nghiên cứu
Một số phép đối xứng của đồ thị hàm số và các bài toán liên quan.
4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu sau đó phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
+ Về mặt lí luận, đề tài "Một số phép đối xứng của đồ thị hàm số" đã
nghiên cứu, đào sâu thêm một khía cạnh kiến thức của chủ đề hàm số.
Đề tài này giúp chúng ta có một cái nhìn bao quát, tổng thể và rõ ràng
về phép đối xứng của đồ thị.
+ Về mặt thực tiễn, đề tài "Một số phép đối xứng của đồ thị hàm số"
giúp các em học sinh phổ thông có thêm tài liệu nghiên cứu về đồ thị
của một số hàm số đặc biệt như hàm giá trị tuyệt đối, hàm mũ, hàm
logarit,... Đồng thời những kiến thức này giúp các em giải quyết một số
các bài toán liên quan về đồ thị hàm số.

2

CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1 Hàm số
1.1.1 Khái niệm hàm số
Cho 𝐷 ⊂ 𝑅, 𝐷 ≠ ∅. Một quy tắc 𝑓 cho tương ứng mỗi 𝑥 ∈ 𝐷 với một và
chỉ một 𝑦 ∈ 𝑅 gọi là một hàm số.
Kí hiệu : 𝑓: 𝐷 → 𝑅
𝑥→𝑦
Tập 𝐷 được gọi là tập xác định của hàm số.Phần tử 𝑥 gọi là đối số (biến số).
Phần tử 𝑦 ∈ 𝑅 tương ứng với 𝑥 gọi là giá trị của hàm số tại 𝑥, kí hiệu
𝑦 = 𝑓(𝑥).
Tập hợp 𝑇𝑓 = 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷 gọi là tập giá trị của hàm số.
1.1.2 Các tính chất của hàm số
1.1.2.1 Hàm số đơn điệu
1.1.2.1.1 Định nghĩa
Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên 𝐷, (𝑎, 𝑏) ⊂ 𝐷. Ta nói 𝑓(𝑥) là hàm
số đồng biến (nghịch biến) trên (𝑎, 𝑏) nếu ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑎, 𝑏 sao cho 𝑥1 < 𝑥2
thì𝑓(𝑥1 )<𝑓(𝑥2 ) (𝑓(𝑥1 )>𝑓(𝑥2 )).
Hàm số đồng biến và nghịch biến gọi chung là hàm số đơn điệu.
1.1.2.1.2 Tính chất
 Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) đồng biến (nghịch biến) trên (𝑎, 𝑏). Khi đó
∀𝑐 ∈ 𝑅, hàm số 𝑓 𝑥 + 𝑐 cũng đồng biến (nghịch biến) trên (𝑎, 𝑏).
 Cho 2 hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑔(𝑥) cùng đồng biến (nghịch biến) trên
(𝑎, 𝑏) thì các hàm số 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) cũng đồng biến (nghịch biến) trên

3


(𝑎, 𝑏). Hơn nữa, nếu (𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 thì hàm số 𝑓(𝑥).𝑔(𝑥) cũng
đồng biến (nghịch biến) trên (𝑎, 𝑏).
 Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) đồng biến (nghịch biến) trên (𝑎, 𝑏). Khi đó hàm

số 𝑘. 𝑓(𝑥) đồng biến (nghịch biến ) trên (𝑎, 𝑏) nếu 𝑘 > 0 và hàm số
𝑘. 𝑓(𝑥) nghịch biến (đồng biến) trên (𝑎, 𝑏) nếu 𝑘 < 0.
 Đồ thị hàm số đồng biến (nghịch biến) là một đường đi lên từ trái qua
phải (đi xuống từ trái qua phải) theo Ox. Từ đây suy ra đồ thị của một
hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến cùng trên (𝑎, 𝑏) sẽ cắt
nhau tại không quá một điểm.
1.1.2.2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ
1.1.2.2.1 Định nghĩa
Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên 𝐷.
 Ta nói 𝑓(𝑥) là hàm số chẵn trên 𝐷 nếu
 Ta nói𝑓(𝑥) là hàm số lẻ trên 𝐷 nếu

∀𝑥 ∈ 𝐷 => −𝑥 ∈ 𝐷
∀𝑥 ∈ 𝐷 => 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥)

∀𝑥 ∈ 𝐷 => −𝑥 ∈ 𝐷
∀𝑥 ∈ 𝐷 => 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥)

1.1.2.2.2 Tính chất
 Đồ thị của hàm số chẵn nhận Oy làm trục đối xứng.
 Đồ thị của hàm số lẻ nhận O làm tâm đối xứng.
1.1.2.3 Hàm số tuần hoàn
1.1.2.3.1 Định nghĩa
Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên 𝐷. Ta nói 𝑓(𝑥) tuần hoàn trên 𝐷 nếu
∃𝑇 > 0 sao cho

∀𝑥 ∈ 𝐷 => 𝑥 ± 𝑇 ∈ 𝐷
∀𝑥 ∈ 𝐷 => 𝑓 𝑥 ± 𝑇 = 𝑓(𝑥)

Số 𝑇 > 0 nhỏ nhất (nếu có) thỏa mãn điều kiện trên gọi là chu kì tuần hoàn

của hàm số 𝑓(𝑥).

4


1.1.2.3.2 Tính chất
 Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) tuần hoàn (chu kì 𝑇) trên 𝐷. Khi đó, các hàm số
𝑓 𝑥 + 𝑐, 𝑘. 𝑓(𝑥)(𝑘 ≠ 0) cũng tuần hoàn (chu kì 𝑇).
 Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) tuần hoàn chu kì 𝑇. Khi đó, hàm số
𝑦 = 𝑓 𝑘. 𝑥 , 𝑘 ≠ 0 cũng tuần hoàn với chu kì

𝑇
𝑘

 Cho 2 hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑔(𝑥) cùng tuần hoàn với chu kì 𝑇 thì các
hàm số 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) cũng tuần hoàn với chu kì 𝑇.
 Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) tuần hoàn với chu kì 𝑇1 , hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) tuần
hoàn với chu kì 𝑇2 .
𝑇1

+ Nếu

𝑇2

=

𝑝
𝑞

∈ 𝑄 thì 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) cũng tuần hoàn với chu kì

𝑞𝑇1 = 𝑝𝑇2 .
+ Nếu

𝑇1
𝑇2

∉ 𝑄 thì các hàm số này không tuần hoàn.

1.1.2.4 Hàm số ngƣợc
1.1.2.4.1 Định nghĩa
Cho hàm số 𝑓: 𝑋 → 𝑌 (𝑋, 𝑌 ⊂ 𝑅).
Nếu tồn tại hàm số 𝑔: 𝑌 → 𝑋 sao cho . 𝑔 = 𝑖𝑑𝑌 , 𝑔. 𝑓 = 𝑖𝑑𝑋 thì 𝑔 được
gọi là hàm số ngược của hàm số 𝑓. Kí hiệu 𝑔 = 𝑓 −1 .
1.1.2.4.2 Định lý
Định lí 1 (điều kiện cần và đủ để hàm số có hàm số ngược)
Điều kiện cần và đủ để 𝑓: 𝑋 → 𝑌 có hàm số ngược là 𝑓 là song ánh.
Định lí 2
Đồ thị của 2 hàm số ngược nhau đối xứng nhau qua đường phân giác của
góc phần tư thứ nhất.

5


Hệ quả
Đồ thị của 2 hàm số ngược nhau nếu cắt nhau thì phải cắt nhau trên
đường thẳng 𝑦 = 𝑥.
1.1.2.5 Hàm số hợp
ĐN: Cho các hàm số 𝑓1 : 𝑋−> 𝑋
𝑓2 : 𝑌−> 𝑍

với 𝑋, 𝑌, 𝑍thuộc𝑅.
Hàm hợp của 𝑓1 và 𝑓2 là hàm số 𝑓: 𝑋−> 𝑍 được định nghĩa bởi
𝑓 𝑥 = 𝑓2 𝑓1 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑅.
VD: Hàm số 𝑓 𝑥 = sin⁡
(𝑥 2 + 2) là hàm hợp của hai hàm số 𝑓1 𝑥 = 𝑥 2 + 2
và 𝑓2 𝑦 = sin 𝑦.
1.1.2.6 Phân loại hàm số
Hàm số chia làm 2 dạng: hàm số sơ cấp và hàm số không sơ cấp
 Hàm số sơ cấp là tổ hợp các hàm số của các hàm số sơ cấp cơ bản bằng
các phép toán hàm số. Hàm số sơ cấp cơ bản là các hàm số: đa thức,
phân thức, số mũ,logarit, lượng giác, lượng giác ngược, lũy thừa. Hàm
số sơ cấp gồm 2 loại:
+ Hàm số đại số: là hàm số khi tính giá trị của y ta chỉ phải thực hiện
một số hữu hạn các phép tính đại số cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa với
các số mũ hữu tỷ của biến số.
Hàm số đại số gồm 2 loại: hàm số hữu tỉ và hàm số vô tỉ. Hàm số hữu tỉ
là hàm số đại số trong đó đối số không có dạng lũy thừa của phân số
(có thể có lũy thừa với số mũ nguyên).
+ Hàm số siêu việt
 Hàm số không sơ cấp

6


1.2 Đồ thị hàm số
1.2.1. Khái niệm đồ thị hàm số
KN: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên 𝐷.
Ta gọi tập hợp các điểm (𝑥, 𝑓 𝑥 ) với ∀𝑥 ∈ 𝐷 là đồ thị của hàm số
𝑦 = 𝑓(𝑥).
Việc biểu diễn các điểm (𝑥, 𝑓 𝑥 ) thuộc đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) lên

mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦 gọi là vẽ đồ thị của hàm số.
CY: Một đường

𝜏(đường cong hoặc đường thẳng) trong mặt phẳng tọa độ

𝑂𝑥𝑦 chỉ có thể là đồ thị của một hàm số.
1.2.2 Một số ví dụ về đồ thị hàm số
VD1: Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 + 2 (𝐶1 )
Đồ thị hàm số (𝐶1 ) gồm tập hợp các điểm có tọa độ (𝑥, 𝑥 + 2) với
∀𝑥 ∈ 𝑅 như 𝐴(0,2), 𝐵(−2,0) ∈ (𝐶1 ).

Đồ thị 1

7


VD2: Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 =

𝑥2+2𝑥−2
𝑥−1

Đồ thị 2

8


CHƢƠNG 2: MỘT SỐ PHÉP ĐỐI XỨNG
2.1 Phép đối xứng qua gốc tọa độ
2.1.1 Khái niệm
KN: Đồ thị 𝐶 : 𝑦 = 𝑓(𝑥) là hình đối xứng của đồ thị 𝐶 ′ : 𝑦 = 𝑔(𝑥) qua gốc

tọa độ O khi 𝑓 −𝑥 = −𝑔(𝑥) với ∀𝑥.
VD: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 (𝐶)
𝑦 = 𝑓 𝑥 = −𝑥 2 (𝐶′)
Khi đó ta nói, đồ thị 𝐶 đối xứng với đồ thị 𝐶 ′ qua gốc tọa O.

Đồ thị 3

9


2.1.2 Một số ví dụ và bài toán liên quan
2.1.2.1 Dạng 𝟏: Từ đồ thị hàm số (𝐶) vẽ đồ thị hàm số (𝐶′) đối xứng với (𝐶)
qua gốc tọa độ O.
Cách giải:
Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 (𝐶).
Đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥)(𝐶′) nhận được từ đồ thị hàm số (𝐶) bằng
cách lấy đối xứng mọi điểm thuộc đồ thị hàm số (𝐶) qua gốc tọa
độ O ta được mọi điểm thuộc đồ thị hàm số (𝐶′).

VD1: Cho hàm số 𝑦 = −𝑥 3 + 3𝑥 2 − 1 (𝐶)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2. Từ đồ thị hàm số (𝐶) vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = −𝑥 3 + 3𝑥 2 + 1
BL:
1. 𝑦 = −𝑥 3 + 3𝑥 2 − 1
+ TXĐ: 𝐷 = 𝑅
+ Ta có: 𝑦 ′ = −3𝑥 2 + 6𝑥
𝑦 ′ = 0 <=> −3𝑥 2 + 6𝑥 = 0 <=>

𝑥=0
𝑥=2

Với 𝑥 = 0 thì 𝑦 0 = −1
Với 𝑥 = 2 thì 𝑦 2 = 3
𝑦 ′′ = −6𝑥 + 6
𝑦 ′′ = 0 <=> −6𝑥 + 6 = 0 <=> 𝑥 = 1
Với 𝑥 = 1 thì 𝑦 1 = 1
=> Đồ thị hàm số nhận 𝐼(1,1) là điểm uốn.

10


+ Mặt khác:
lim (−𝑥 3 + 3𝑥 2 − 1) = −∞

𝑥→+∞

lim (−𝑥 3 + 3𝑥 2 − 1) = +∞

𝑥→−∞

+ Bảng biến thiên
𝑥 −∞
𝑦′
𝑦

-

0
0

2
+

+∞

0

+∞
-

3
-1

-∞

Từ bảng biến thiên ta thấy:
 Đồ thị hàm số đồng biến trên (0,2).
 Đồ thị hàm số nghịch biến trên (−∞, 0) và (2, +∞).
 Đồ thị hàm số đạt cực đại tại 𝑥 = 2, 𝑦𝐶Đ = 3
 Đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại 𝑥 = 0, 𝑦𝐶𝑇 = −1
+ Vẽ đồ thị

11


Đồ thị 4
2. Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = −𝑥 3 − 3𝑥 2 + 1
Đặt 𝑓 𝑥 = −𝑥 3 + 3𝑥 2 − 1
𝑔 𝑥 = −𝑥 3 − 3𝑥 2 + 1
Với ∀𝑥 ∈ 𝑅 ta thấy

𝑓 −𝑥 = −(−𝑥)3 + 3(−𝑥)2 − 1
= 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 1
= −(−𝑥 3 − 3𝑥 2 + 1)
= −𝑔(𝑥)
=> Đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) đối xứng với đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) qua
gốc tọa độ O.
Từ đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔 𝑥 = −𝑥 3 − 3𝑥 2 + 1

12


+ Gọi 𝐴 0, −1 ; 𝐵 2,3 ; 𝐼(1,1).
+ Lấy đối xứng các điểm 𝐴, 𝐵, 𝐼 qua gốc tọa độ O ta lần lượt được các
điểm 𝐴′ 0,1 ; 𝐵 ′ −2, −3 ; 𝐼 ′ (−1, −1).
+ Khi đó đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔 𝑥 = −𝑥 3 − 3𝑥 2 + 1 nhận 𝐴′ là điểm cực
đại, 𝐵′ là điểm cực tiểu và 𝐼′ là điểm uốn.
Từ đó ta vẽ được đồ thị hàm số 𝑦 = −𝑥 3 − 3𝑥 2 + 1
VD2: Cho hàm số sau 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4x − 2 (𝐶1 )
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (𝐶1 ).
2. Từ đồ thị hàm số (𝐶1 ) vẽ đồ thị hàm số (𝐶2 )𝑦 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 4x + 2.
HD:
1. Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4x − 2 .

Đồ thị 5

13


2. 𝑦 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 4x + 2
+ Chứng minh đồ thị hàm số (𝐶2 ) đối xứng với đồ thị hàm số (𝐶1 ) qua

gốc tọa độ O.
+ Lấy đối xứng một số điểm đặc biệt thuộc đồ thị (𝐶1 ) qua gốc tọa độ O.
+ Ta nói các điểm vừa lấy đối xứng thuộc đồ thị (𝐶2 ) từ đó ta vẽ được đồ
thị hàm số (𝐶2 ).
VD3: Cho hàm số sau: 𝑦 = cos 𝑥 (𝐶3 )
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (𝐶3 ).
2. Xác định hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị (𝐶3 ) qua gốc tọa độ O.
Vẽ đồ thị hàm số đã tìm được.
HD:
1. Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = cos 𝑥

Đồ thị 6

14


2. +

Xác định hàm số: Dựa vào định nghĩa phép đối xứng qua gốc tọa độ

𝑓 −𝑥 = −𝑔(𝑥) để tìm hàm số 𝑔(𝑥).
+

Lấy đối xứng một số điểm đặc biệt thuộc đồ thị (𝐶3 ) qua gốc tọa độ

+

Ta nói các điểm vừa lấy đối xứng thuộc đồ thị 𝑦 = cos 𝑥 từ đó ta vẽ

O.

được đồ thị hàm số 𝑦 = −cos 𝑥.

2.1.2.2 Dạng 2: Biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình dựa
vào đồ thị hàm số đã cho.
Cách giải:
Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)(𝐶)
Hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥)(𝐶′) có đồ thị hàm số đối xứng với đồ thị hàm số
(𝐶) qua gốc tọa độ O.
+ Số nghiệm của phương trình 𝑔 𝑥 = 𝑕(𝑚) là số điểm chung
của đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) với đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑕(𝑚).
 Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) đối xứng với đồ thị hàm số
𝑦 = 𝑓(𝑥) qua gốc tọa độ O.
 Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm
số trên.
+ Biện luận tương tự đối với bất phương trình.

15


VD1: Cho hàm số sau 𝑦 =

𝑥2 −3x+3
(𝐶)
𝑥−1

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (𝐶).
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau dựa vào đồ thị hàm
số (𝐶):
𝑥2 + 3 − m x + 3 − m = 0

BL:
1. 𝑦 =

𝑥2−3x+3
𝑥−1

+ TXĐ: D=R\ 1
+ Tacó:
𝑥 2 − 3x + 3
lim
= +∞
𝑥→1+
𝑥−1
𝑥 2 − 3x + 3
lim
= +∞
𝑥→1+
𝑥 −1
=> Đồ thị hàm số nhận 𝑥 = 1 làm tiệm cận đứng.
𝑥 2 − 3x + 3
lim
− (𝑥 − 2) = 0
𝑥→−∞
𝑥−1
𝑥 2 − 3x + 3
lim
− (𝑥 − 2) = 0
𝑥→+∞
𝑥−1
=> Đồ thị hàm số nhận 𝑦 = 𝑥 − 2 làm tiệm cận xiên.

+ Mặt khác,
𝑦′

𝑥2 − 2𝑥
=
𝑥−1 2

𝑦 ′ = 0 <=> 𝑥 2 − 2𝑥 = 0 <=>
Với 𝑥 = 0 thì 𝑦 0 = −3
Với 𝑥 = 2 thì 𝑦 2 = 1

16

𝑥=0
𝑥=2


+ Bảng biến thiên
𝑥

0

-∞

𝑦′

+

𝑦

0

1
-

║

-

-3

-∞

2
0

+

+∞

-∞

+∞

1

Từ bảng biến thiên ta thấy:
 Đồ thị hàm số đồng biến trên (−∞, 0) và (2, +∞).
 Đồ thị hàm số nghịch biến trên (0,2).
 Đồ thị hàm số đạt cực đại tại 𝑥 = 0, 𝑦𝐶Đ = −3

 Đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại 𝑥 = 2, 𝑦𝐶𝑇 = 1
+ Vẽ đồ thị

Đồ thị 7
2. Ta có:

17

+∞


𝑥 2 + 3 − m x + 3 − m = 0 (1)
<=> 𝑥 2 + 3x + 3 − mx − m = 0
<=> 𝑥 2 + 3x + 3 = m(x + 1) (2)
Ta thấy 𝑥 = −1 không là nghiệm của phương trình.
Với 𝑥 ≠ −1 ta có:
𝑥 2 +3𝑥+3

(2)<=>

𝑥+1

= 𝑚 (3)

𝑥2 −3𝑥+3
Đặt 𝑓 𝑥 =
𝑥−1

𝑔 𝑥 =

𝑥2 +3𝑥+3
𝑥+1

Ta thấy 𝑓 −𝑥 =

𝑥 2 +3𝑥+3
−𝑥−1

=−

𝑥 2 +3𝑥+3
𝑥+1

= −𝑔(𝑥)

=> Đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) đối xứng với đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) qua gốc tọa
độ O.
+ Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔 𝑥 =

𝑥2 +3𝑥+3
𝑥+1

 Lấy đối xứng hai tiệm cận của đồ thị 𝑦 = 𝑓(𝑥) qua gốc tọa độ
O ta được tiệm cận đứng 𝑥 = −1 và tiệm cận xiên 𝑦 = 𝑥 + 2
của đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥).
 Lấy đối xứng hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số
𝑦 = 𝑓(𝑥) qua gốc tọa độ O ta được hai điểm cực đại và cực tiểu
của đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥).
Từ đó ta vẽ được đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥).
+ Biện luận

Số nghiệm của phương trình (1) bằng số nghiệm của phương trình (3).
Số nghiệm của phương trình (3) là số điểm chung của đồ thị hàm số
𝑥2+3𝑥+3
𝑦=𝑔 𝑥 =
và đương thẳng 𝑦 = 𝑚.
𝑥+1

Từ đồ thị ta thấy:

18


 Với −1 < 𝑚 < 3: phương trình (3) vô nghiệm.
 Với

𝑚 = −1
: phương trình (3) có nghiệm duy nhất.
𝑚=3

 Với ∈ −∞, −1 ∪ (3, +∞) : phương trình (3) có hai nghiệm
phân biệt.
+ Kết luận: Vậy với
 −1 < 𝑚 < 3: phương trình (1) vô nghiệm.


𝑚 = −1
: phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
𝑚=3

 𝑚 ∈ −∞, −1 ∪ (3, +∞) : phương trình (1) có hai nghiệm

phân biệt.
VD2: Cho hàm số sau 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 + 1(𝐶1 )
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
𝑥 3 − 3𝑥 + 2𝑚 2 − 𝑚 − 2 = 0
HD:
1. Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 + 1

Đồ thị 8
2. Ta có:

19


𝑥 3 − 3𝑥 + 2𝑚 2 − 𝑚 − 2 = 0
<=> 𝑥 3 − 3𝑥 − 1 = −2𝑚 2 + 𝑚 + 1
+ Chứng minh đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔 𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥 − 1 đối xứng với đồ
thị hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥 + 1 qua gốc tọa độ O.
+ Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔 𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥 − 1
+ Biện luận
Số nghiệm của phương trình đã cho là số điểm chung của đồ thị hàm
số 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 − 1 và đường thẳng 𝑦 = −2𝑚 2 + 𝑚 + 1.
=> Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
<=> Đường thẳng 𝑦 = −2𝑚 2 + 𝑚 + 1 cắt đồ thị hàm số
𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 − 1 tại hai điểm phân biệt.
2
<=> −2𝑚2 + 𝑚 + 1 = 1
−2𝑚 + 𝑚 + 1 = −3
𝑚=0
1

𝑚=
2
<=>

𝑚=

1± 33
4

+ Kết luận

VD𝟑: Cho hàm số sau 𝑦 =

𝑥2 +𝑥+1
𝑥+1

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2. Tìm m để bất phương trình sau luôn đúng với ∀𝑥 ∈ 𝑇𝑋Đ:
𝑥2 − 𝑥 + 1
− 𝑚2 − 1 ≥ 0
𝑥−1

HD:

20


1. Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 =

𝑥2 +𝑥+1

𝑥+1

Đồ thị 9
2.

𝑥 2 −𝑥+1
𝑥−1

− 𝑚2 − 1 ≥ 0

+ Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 =

𝑥2−𝑥+1
𝑥−1

+ Biện luận: Tìm m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Kết luận: ∄𝑚 để bất phương trình đã cho luôn đúng với ∀𝑥 ∈ 𝑇𝑋Đ.
2.2 Phép đối xứng qua các trục tọa độ
2.2.1 Phép đối xứng qua trục Ox
2.2.1.1 Khái niệm
KN: Đồ thị 𝐶 : 𝑦 = 𝑓(𝑥) là hình đố xứng của đồ thị 𝐶′ : 𝑦 = 𝑔(𝑥) qua trục
Ox khi 𝑓 𝑥 = −𝑔(𝑥) với ∀𝑥.
VD: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝐶

21