Thuật toán lượng tử viễn chuyển các trạng thái rối kết hợp đa mode (LV00850)

1

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc đến
TS.Trần Thái Hoa, người đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và cung cấp cho em
những kiến thức nền tảng để em hoàn thành bài luận văn này. Thầy cũng là
người đã giúp em ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt
thời gian được làm việc cùng thầy.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, cô công tác tại phòng sau Đại
Học, Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ
đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho em những kiến thức quý báu về chuyên
môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua.
Cuối cùng, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân
trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho em
trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.

Hà Nội, ngày 25 tháng 12 năm 2012
Học viên

Nguyễn Thị Thu Quyên


2

LỜI CAM ĐOAN
Tên tôi là: Nguyễn Thị Thu Quyên, học viên cao học khóa 2010 –
2012 chuyên nghành Vật lý lý thuyết và vật lý toán – Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2.
Tôi xin cam đoan đề tài: “Thuật toán lượng tử viễn chuyển các trạng
thái rối kết hợp đa mode ” là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng tôi. Các
luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác

giả khác. Nếu có gì không trung thực trong luận văn tôi xin hoàn toàn chịu
trách nhiệm trước hội đồng khoa học.
Hà Nội, ngày 25 tháng 12 năm 2012
Học viên

Nguyễn Thị Thu Quyên


3

MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU...................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ...................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................ 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................ 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................ 2
5. Phương pháp nghiên cứu........................................................................... 2
6. Cấu trúc luận văn....................................................................................... 2
B. NỘI DUNG .................................................................................................. 3
Chương 1: Giới thiệu .................................................................................. 3
Chương 2: Các khái niệm cơ bản ............................................................ 10
2.1 Bit lượng tử ............................................................................ 10
2.2 Rối lượng tử ........................................................................... 15
2.3 Độ rối của một trạng thái ....................................................... 17
2.4 Trạng thái kết hợp .................................................................. 21
2.5 Qubit dưới dạng chồng chập của hai trạng thái kết hợp ........ 26
2.6 Các thiết bị quang học tuyến tính………………………….29
2.6.1 Bộ tách chùm ................................................................. 30
2.5.2 Bộ dịch pha .................................................................... 34
2.7 Các trạng thái rối kết hợp..................................................... 36

Chương 3: Xây dựng một số sơ đồ đơn giản tạo rối lượng tử sử dụng
các thiết bị quang học tuyến tính ………………………41
3.1 Sơ đồ sử dụng 1 bộ tách chùm và 2 bộ dịch pha ................... 41
3.1.1 Sơ đồ các thiết bị quang học (hình 3.1)...... ...................... 41
3.1.2 Sơ đồ các thiết bị quang học (hình 3.1b) ......................... 43
3.2 Sơ đồ sử dụng 1 bộ tách chùm và 3 bộ dịch pha. ............... …45
3.2.1 Sơ đồ thực hiện ……………………….…………. ……..45


4

3.2.2 Sơ đồ thực hiện……………...……………………… …..47
3.3 Sơ đồ sử dụng 1 bộ tách chùm và 4 bộ dịch pha…………….48
C. KẾT LUẬN………………………………...……………………………51
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………...52


5

A. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Ngày 9-10-1900, Max Planck khám phá "định luật phát xạ nhiệt", cắt
nghĩa được hiện tượng phát xạ của "vật thể đen". Ông khám phá ra rằng sự
hấp thụ hay phát xạ năng lượng của một vật thể đen (kim loại được đun nóng
lên đến một nhiệt độ nào đó) không diễn ra liên tục như người ta nghĩ, mà chỉ
diễn ra ở dạng các gói rời rạc, và các "chùm" năng lượng này được gọi là
lượng tử.
Ngày 14-11-1900 Planck trình bày kết quả của ông tại buổi họp của
Hội Vật lý Berlin, dưới cái tên "Định luật phân bố nhiệt trong quang phổ
chuẩn" (Gesetz der Energieverteilung im Normalsprektrum). Nó đánh dấu

chính thức sinh nhật lịch sử của thuyết lượng tử.
Sự xuất hiện của vật lý lượng tử và thuyết tương đối là cuộc cách mạng
của ngành vật lý học vào cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20 và là cơ sở khoa học
của nhiều ngành công nghệ cao như: công nghệ điện tử và vi điện tử, công
nghệ viễn thông, công nghệ tự động hóa, công nghệ thông tin… Có thể nói
rằng, cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết thành công nhất của thế kỷ
20.
Những nghiên cứu mới về cơ học lượng tử trong thời gian gần đây đã
và đang hướng đến một lĩnh vực mới - khoa học thông tin lượng tử.
Mục đích quan trọng trong lý thuyết thông tin lượng tử là làm thế nào
để tạo ra, định hướng và sử dụng rối lượng tử, đó không chỉ là bản chất của cơ
học lượng tử mà còn là một nguồn tài nguyên không thể thay thế được cho
việc xử lý thông tin lượng tử.
Trong luận văn này, tôi sẽ nghiên cứu nội dung “Thuật toán lượng tử
viễn chuyển các trạng thái rối kết hợp đa mode”.


6

2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu một số trạng thái rối kết hợp.
- Xây dựng một số sơ đồ đơn giản tạo rối lượng tử.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Từ các khái niệm cơ bản: bit lượng tử, rối lượng tử, trạng thái kết hợp,
các thiết bị quang học tuyến tính,…nghiên cứu cách tạo rối lượng tử.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Một số thiết bị quang học tuyến tính thường được sử dụng trong các
sơ đồ xử lý thông tin lượng tử.
- Bộ tách chùm, bộ dịch pha,…
5. Phương pháp nghiên cứu

- Xây dựng sơ đồ để tạo rối lượng tử sử dụng các thiết bị quang học
tuyến tính.
- Tính độ rối của các trạng thái rối được tạo ra từ các sơ đồ.
6. Cấu trúc luận văn
Chương 1: Giới thiệu
Chương 2: Các khái niệm cơ bản
Chương 3: Một số sơ đồ đơn giản tạo rối lượng tử sử dụng các thiết bị
quang học tuyến tính.


7

B. NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU
Thế kỷ 20 đã chứng kiến sự bùng phát của vật lý học, trong đó cơ học
lượng tử có thể coi là một thành tựu trí tuệ tột đỉnh của thời kì này. Từ khi
khởi đầu cách đây hơn 100 năm về trước, cơ học lượng tử đã trở thành một
phần căn bản và cốt yếu trong hành trang của các nhà vật lý.
Và hơn hai thập kỉ qua, khoa học thông tin lượng tử đã trở thành một
trong những lĩnh vực thu hút được nhiều sự quan tâm nhất của các nhà khoa
học. Nó được xem là một lĩnh vực mới có khả năng tạo ra sự đột phá mạnh
mẽ trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật có liên quan đến sự tính toán, thông
tin liên lạc, phép đo chính xác và khoa học lượng tử cơ bản. Lĩnh vực này
xuất hiện kể từ lúc một số nhà khoa học tiên phong như Charles Bennett, Paul
Benioff, Richard Feynman và những người khác bắt đầu nghĩ đến việc áp
dụng trực tiếp cơ học lượng tử trong các tính toán và xử lý thông tin.
Lý thuyết thông tin cổ điển do Claude Shanon phát minh ra cách đây
hơn 50 năm đã phát triển và trở thành một trong những nhánh sai quả và đẹp
nhất của ngành toán học. Hiện nay, nó thật sự là một lý thuyết không thể thiếu
trong lĩnh vực công nghệ thông tin, bất cứ ở đâu mà thông tin được lưu trữ và

xử lý. Mặc dù đã có những thành công không thể nào phủ nhận được song
thông tin cổ điển vẫn còn tồn tại rất nhiều hạn chế do nó chỉ bám rễ trong
phạm vi của vật lý cổ điển. Chính vì vậy, việc nghiên cứu và áp dụng lý
thuyết lượng tử vào việc xử lý thông tin luôn thôi thúc các nhà khoa học, và
gần đây, nó đã mang lại nhiều thành công đáng kinh ngạc. Kể từ năm 1990,
Khi Max Planck đề xuất giả thuyết về tính gián đoạn của bức xạ điện từ phát
ra từ các vật - giả thuyết lượng tử - để giải thích những kết quả thực nghiệm
về bức xạ nhiệt của vật đen thì vật lý học lượng tử đã ra đời. Sự xuất hiện của
vật lý lượng tử và thuyết tương đối là cuộc cách mạng của ngành vật lý học


8

vào cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20 và là cơ sở khoa học của nhiều ngành
công nghệ cao như công nghệ điện tử và vi điện tử, công nghệ viễn thông,
công nghệ quang tử, công nghệ tự động hoá, công nghệ thông tin…. Có thể
nói rằng, cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết thành công nhất của
thế kỷ 20. Theo cơ học lượng tử, những hệ vi mô có các tính chất khác hẳn so
với các hệ vĩ mô. Ví dụ, các đối tượng lượng tử có thể ở nhiều trạng thái cùng
một lúc. Hai đối tượng tách biệt nhau hoàn toàn vẫn có thể bị rối với nhau, có
nghĩa là chúng phản ứng đồng thời với các thí nghiệm riêng biệt dù chúng có
ở xa nhau thế nào đi nữa. Ngoài ra, cơ học lượng tử cũng đã được xác minh
bằng thực nghiệm: những tiên đoán của nó chưa bao giờ sai dù nó có kỳ lạ
như thế nào đi chăng nữa. Thật ra, trong thời kỳ đầu đã có rất nhiều nhà tiên
phong của cơ học lượng tử cho rằng nó là một lý thuyết không đầy đủ. Đại
diện cho số đó chính là Albert Einstein, người đã không đồng ý về tính xác
suất trong cơ học lượng với câu nói: “Chúa không chơi xúc xắc”. Đặc biệt,
năm 1935 Einstein, Podolsky và Rosen đã nêu ra nghịch lý EPR [22], cho
rằng cơ học lượng tử là không đầy đủ. Phải đợi tới 30 năm sau, năm 1964,
Bell mới đưa ra được một bất đẳng thức (sau này gọi là bất đẳng thức Bell)

cho phép kiểm tra bằng thực nghiệm nghịch lý này [13].
Những nghiên cứu mới về cơ học lượng tử trong thời gian gần đây đã
và đang hướng đến một lĩnh vực mới - khoa học thông tin lượng tử. Việc áp
dụng vật lý lượng tử và công nghệ thông tin có thể làm thay đổi hẳn cách
chúng ta giao tiếp và xử lý thông tin. Điều mấu chốt khi tìm hiểu lĩnh vực này
là sự tách biệt rõ ràng giữa dấu hiệu hàng ngày của thông tin cổ điển và bản
đối ứng lượng tử kém trực giác của nó. Thông tin cổ điển có thể bị đọc và sao
chép lại y nguyên mà không hề để lại một dấu vết nào về sự đọc trộm và sao
chép đó. Trong khi đó, thông tin lượng tử không thể nào sao chép được
nguyên vẹn và bất cứ một sự đọc trộm nào đều có thể bị phát hiện. Đây là một


9

đặc điểm rất quan trọng của cơ học lượng tử mà có thể được tận dụng để trao
đổi thông tin một cách hoàn toàn tuyệt mật. Các trạng thái rối lượng tử còn có
thể tạo ra một mức độ song song trong tính toán cao hơn hẳn một máy tính có
kích thước bằng cả vũ trụ. Đó là các tính toán được thực hiện một cách hoàn
toàn mới, gọi là tính toán lượng tử.
Trong lý thuyết thông tin cổ điển, đại lượng cơ bản của thông tin là bit,
còn trong thông tin lượng tử thì đại lượng cơ bản của nó là bit lượng tử, còn
được gọi qubit, thuật ngữ này đã được Ben Schuhmacher đưa ra năm 1995.
Nói chung, thông tin lượng tử được xem như là sự tổng quát hoá hay sự mở
rộng của thông tin cổ điển. Bất kỳ một hệ lượng tử nào cũng có thể được xem
như là một qubit nếu nó được xác định bởi hai trạng thái độc lập tuyến tính
với nhau. Các photon phân cực, các hạt có spin 1/2, các nguyên tử hai mức,
các cấu trúc chấm lượng tử kép,…đều có thể sử dụng như các qubit. Ngoài ra
còn có thể sử dụng cả các đặc trưng ngoại như hai hướng truyền khác nhau
của một hạt như là các qubit.
Năm 1985 David Deutsch đã giới thiệu về máy tính lượng tử và cho

thấy rằng lý thuyết lượng tử có thể giúp các máy tính thực hiện công việc
nhanh hơn rất nhiều. Trong khi các máy tính số ngày nay xử lý thông tin cổ
điển được mã hoá theo các bit thì máy tính lượng tử lại xử lý thông tin lượng
tử theo các qubit. Máy tính lượng tử có thể được sử dụng để thực thi những
nhiệm vụ rất khó thực hiện đối với máy tính số thông thường. Ví dụ, các siêu
máy tính số ngày nay phải mất một thời gian dài hơn cả tuổi thọ của vũ trụ để
có thể tìm ra được các thừa số nguyên tố của một số nguyên lớn có khoảng
vài trăm chữ số, trong khi đó các máy tính lượng tử có thể thực hiện nhiệm vụ
này trong khoảng chưa đầy một giây.
Những phát triển gần đây của lý thuyết thông tin lượng tử đã đem lại
rất nhiều sự tiến bộ trong sự hiểu biết cơ học lượng tử và khả năng ứng dụng


10

rộng rãi vào công nghệ tương lai. Những hứa hẹn về các ngành công nghệ
mới như: Tính toán lượng tử [27,41,31], Viễn chuyển lượng tử [13], Mật mã
lượng tử [40], Hội thoại lượng tử [37], Kiểm tra lượng tử [38], Viễn tách các
toán tử [39],….đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học.
Những nhà phát minh ra cơ học lượng tử chắc không thể ngờ rằng các trạng
thái rối lượng tử lại có thể có những công dụng to lớn đến như thế. Vậy mục
đích quan trọng trong lý thuyết thông tin lượng tử là làm thế nào để tạo ra,
định lượng và sử dụng rối lượng tử, đó không chỉ là bản chất của cơ học
lượng tử mà còn là nguồn tài nguyên không thể thay thế được cho việc xử lý
thông tin lượng tử.
Những công nghệ thông tin lượng tử được mong đợi là có thể khắc
phục được những hạn chế còn tồn tại của công nghệ thông tin cổ điển. Những
ý tưởng tính toán lượng tử xuất phát từ việc cho rằng các máy tính thực chất
là các hệ vật lý và các quá trình tính toán là các quá trình vật lý. Việc tăng gấp
đôi lượng tranzito trên một mạch tích hợp cứ sau mỗi 18 tháng trong suốt 30

năm qua đã khẳng định dự đoán của Moore. Đến một thời điểm nào đó thì
việc áp dụng các quy luật cơ học lượng tử để xử lý thông tin trong tính toán là
không thể tránh khỏi. Năm 1980, lần đầu tiên Feynman nhận thấy rằng các
hiệu ứng cơ học lượng tử bất kỳ không thể nào mô phỏng được một cách hiệu
quả bởi một máy tính cổ điển [27]. Năm 1990, người ta thấy rằng sự song
song lượng tử dựa trên đặc trưng của quá trình tiến hoá Unita (quá trình U) có
thể làm tăng tốc độ tính toán một cách đáng kể trong các bài toán như phân
tích một số nguyên lớn ra thừa số nguyên tố hay dò tìm dữ liệu… Các công
nghệ thông tin liên lạc và mật mã cũng đã được khám phá dựa trên cơ học
lượng tử. Sự phân bố khoá lượng tử cho phép sự liên lạc tuyệt mật mà điều
này không bao giờ có thể thực hiện được theo các giao thức cổ điển như hiện
nay. Tính chất không định xứ của cơ học lượng tử dẫn đến một hiện tượng vô


11

cùng kỳ lạ đó là “Viễn thông lượng tử”. Bằng viễn chuyển lượng tử, một
trạng thái lượng tử chưa biết bất kỳ bị phá hủy ở một nơi và một bản sao hoàn
hảo của nó lại xuất hiện một nơi rất xa khác.
Dù đã có rất nhiều thành công đáng kinh ngạc về lĩnh vực này trong
thời gian qua nhưng vẫn còn quá xa trước khi hiện thực hoá việc xử lý thông
tin lượng tử trong các ứng dụng thực tiễn. Đối với tính toán lượng tử, các nhà
nghiên cứu phải tìm một hệ qubit vật lý có thể đo được, một tập hợp các hoạt
động cổng và các phương pháp xuất/ nhập qubit. Hơn thế nữa, các lỗi không
thể tránh khỏi xảy ra sự phá vỡ kết hợp đòi hỏi các phương pháp sửa lỗi [12]
là rất cần thiết. Đến nay, cũng đã có nhiều nghiên cứu khác nhau về sự thực
thi của một máy tính lượng tử dựa vào cộng hưởng từ nhật nhân (NMR), bẫy
ion, hệ các trạng thái rắn và quang. Những minh hoạ gần đây nhất về tính toán
lượng tử chỉ mới giới hạn 7 qubit, có nghĩa là chúng vẫn đang ở một mức độ
cơ bản. Năm 1998, Chuang đã báo cáo về sự hiện thực hoá 2 qubit của một

thuật toán lượng tử cơ bản (thuật toán Deustch - Jozsa), ông đã thu được bằng
cách sử dụng công nghệ khối NMR. Trong cùng năm đó và năm tiếp theo,
cũng đã có một số minh hoạ thực nghiệm tương tự, ví dụ như Jones và Mosca
đã tạo được một thiết bị 2 qubit dựa trên chất lỏng, trong đó 2 qubit được tích
trữ trong các spin hạt nhân của các nguyên tử Hydro; Vandersypen cùng các
cộng sự đã phát triển một số thiết bị 7 qubit bằng cách sử dụng NMR để minh
họa thuật toán thừa số hoá Shor trong năm 2000. Năm 2003, đã có một số nhà
nghiên cứu lạc quan như Stonechm tin rằng ông có thể tạo ra một chiếc máy
tính lượng tử dựa trên nghiên cứu vật liệu silic đến năm 2010. Trong hơn 20
năm qua, nhiều thí nghiệm quang học cũng đã chứng tỏ các hiệu ứng không
định xứ trong phòng thí nghiệm và gần đây là trong sợi quang dài 10km. Gần
đây nhất, Aspelmayer cùng các cộng sự đã chứng minh rằng rối của sự phân
cực photon có thể thu được trong không gian tự do trên khoảng 600m. Mật


12

mã lượng tử được xem như là một trong những ứng dụng thông tin lượng tử
đầy hứa hẹn cho sự thương mại hoá thành công trong tương lai không xa. Tuy
vẫn còn nhiều hạn chế của các thiết bị vật lý và bao gồm cả các nguồn nhiễu
nữa nhưng các tiến bộ về mặt thực nghiệm đáng chú ý đã được tạo ra kể từ
khi mật mã lượng tử ban đầu dài hơn 32cm được thực hiện. Trong năm 2003,
Shields và các cộng sự đã có thể minh họa mật mã lượng tử trên các sợi quang
học dài hơn 100km đủ để có thể bao phủ cả một vùng dân cư. Theo các
phương tiện thông tin đại chúng thì chúng ta có thể tìm thấy được các sản
phẩm mật mã lượng tử thương mại trên thị trường trong thời gian không xa
nữa.
Thông tin lượng tử là một lĩnh vực mới, rộng lớn và có tính bao quát.
Trong luận văn này chúng tôi sẽ nghiên cứu một khía cạnh của nó là “Thuật
toán lượng tử viễn chuyển các trạng thái rối kết hợp đa mode ”. Như chúng ta

đã biết, thông tin lượng tử được mã hoá trong các photon đơn có thể truyền đi
rất nhanh do các photon chuyển động với tốc độ rất cao và có khả năng chống
lại sự phá vỡ kết hợp. Tuy nhiên, các cổng hai photon hầu như rất khó thực thi
được do sự tương tác vô cùng yếu giữa các photon riêng biệt. Thêm vào đó,
các nguồn photon đơn hiện nay vẫn chưa có thể tạo ra được. Cách đơn giản
nhất để khắc phục hạn chế này là mã hoá thông tin lượng tử theo các trạng
thái của trường đa photon bởi vì các trường như thế này tương tác với nhau
mạnh hơn rất nhiều. Do đầu ra của các laser ổn định được mô tả rất tốt bởi các
trạng thái kết hợp nên việc mã hoá thông tin theo sự chồng chập của các trạng
thái kết hợp là rất thuận tiện. Thay vì các qubit người ta đưa vào khái niệm
qubit logic được định nghĩa như sau
F = x a + y -a

(1.1)


13

±añ = e

Trong đó

-

a

2

/2

å ( ±a ) nñ /
¥

n =0

n! là hai trạng thái kết hợp

cùng biên độ phức a nhưng có pha ngược nhau và x, y là các hệ số chuẩn
hoá. Khi thông tin lượng tử được mã hoá theo các trạng thái biến liên tục
được mô tả bởi một không gian Hilbert có số chiều xác định thì một qubit
logic (1.1) là một vector trong không gian Hilbert hai chiều nhận vector trạng
thái độc lập tuyến tính

{ a , -a } làm hệ vector cơ sở. Chú ý rằng, mặc dù

a và -a không trực giao nhau nhưng tích phân xen phủ của chúng là
exp(-2 a ) lại bị triệt tiêu nhanh khi tăng a .
2

Đã có rất nhiều giao thức dựa trên trạng thái kết hợp về chiết rối lượng
tử, tạo rối đối xứng từ xa, tính toán lượng tử, sửa lỗi lượng tử, kiểm tra tính
lượng xứ lượng tử,…Enk và Hirota là những người đầu tiên đề xuất ra sơ đồ
để viễn chuyển một qubit logic có dạng (1.1) với các hệ số x, y bất kỳ chưa
biết bằng cách sử dụng các thiết bị quang học tuyến tính như các bộ tách
chùm, các bộ dịch pha, các máy đếm photon chính xác. Gần đây cũng đã có
các sơ đồ khác được thiết kế có sử dụng các thiết bị quang phi tuyến [39,40].
Những sơ đồ này không cần các máy đếm photon chính xác nhưng lại cần
một yếu tố khác như bộ điều chế pha chéo, là một môi trường phi tuyến Kerr
[41]. Khi hai mode truyền qua môi trường này sẽ có một sự dịch pha giữa
chúng, tuy nhiên số photon của chúng thì lại không thay đổi.

Các trạng thái kết hợp hai mode có dạng tổng quát là
F

12

= N ( a1 a, a + a 2 a, -a + a 3 -a, a + a 4 -a, -a

)

12

trong đó
4

N = å a1 + 2e
-2

i =1

2

-2 a

2

RE ( a1*a 3 + a *2a 4 + a1*a 2 + a *3a 4 ) + 2e

-4 a

2

RE ( a1*a 4 + a *2a 3 ) .


14

CHƯƠNG 2: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
2.1. Bit lượng tử
Đơn vị cơ bản của thông tin cổ điển là bit. Một bit có thể nhận hai giá
trị hoặc là 0 hoặc 1 và chứa lượng thông tin nhỏ nhất. Một bit có thể được
hiện thực hóa trong một hệ vật lý đơn giản ví dụ như một tín hiệu điện “tắt’
hoặc “mở”. Quá trình xử lý thông tin cổ điển liên quan đến việc làm thế nào
để lập mã, giải mã, lưu trữ, truyền và bảo mật thông tin cổ điển mà trong đó
nó được mô tả bởi các bit theo những cách có hiệu quả. Shannon, trong công
trình đầu tiên của mình, đã giải quyết vấn đề làm sao để giải nén và truyền
một cách đáng tin cậy thông tin cổ điển [46]. Về nguyên tắc, thông tin mã hoá
bởi các bit có thể đọc trộm mà không ai biết hoặc sao chép ra bao nhiêu bản
cũng được mà không hề để lại dấu vết gì trên nguyên bản.
Cơ học lượng tử sử dụng hai công cụ chủ yếu để mô tả tự nhiên: các đại
lượng vật lý quan sát được và các véctơ trạng thái. Mỗi đại lượng vật lý ứng
với một toán tử Hermitic. Giá trị đo được của đại lượng vật lý tuỳ thuộc vào
việc nó được đo trong véctơ trạng thái nào. Khác với vật lý cổ điển, vật lý
lượng tử cho phép một sự chồng chập tuyến tính (hay tổ hợp tuyến tính) của
nhiều trạng thái khả dĩ khác nhau. Chúng ta hãy xét một hạt lượng tử A và giả
sử rằng x1 biểu diễn trạng thái của hạt ở xung quanh vị trí x1, x 2 biểu diễn
trạng thái của hạt ở xung quanh vị trí x2. Ví dụ, chúng ta có thể giả sử hai
giếng thế hệ riêng biệt như hình được vẽ ở hình 2.1. Trong đó, các trạng thái
x1 và x 2 có thể được xem là các bó sóng Gauss.

Trong khi một hạt cổ điển chỉ có thể ở trong giếng thế này hoặc giếng thế

kia thì một hạt lượng tử có thể ở trong trạng thái chồng chập của hai trạng thái
cho đến lúc một phép đo được thực hiện để tìm ra vị trí của nó. Một trong các
trạng thái chồng chập tuyến tính nơi mà hạt A có thể ở đó là


15

1
( x 1 > + e iF x 2 > )
2

(2.1)

trong đó 1 / 2 là thừa số chuẩn hoá và f là thừa số pha. Mỗi lần chúng ta đo
tọa độ của hạt A để xem thật sự nó ở đâu thì trạng thái (2.1) sẽ xẹp xuống và
hạt A sẽ được tìm thấy xung quanh x1 hoặc x2 với xác suất bằng nhau và bằng
1/2.

Hình 2.1: Sơ đồ về sự chồng chập tuyến tính của hai bó sóng Gauss
trong một giếng thế kép. Một hạt cổ điển phải ở một trong hai giếng thế vào
một thời điểm nào đó nhưng một hạt lượng tử thì có thể ở trong một sự chồng
chập của hai trạng thái khác nhau giống như (c).
Một trong những điểm đáng chú ý của trạng thái chồng chập (2.1) là sự
giao thoa giữa các trạng thái x1 và x 2 có thể ảnh hưởng đến sự phân bố
xác suất của phép đo tọa độ lên trạng thái (2.1). Mức độ giao thoa thay đổi tuỳ


16

theo giá trị của f . Biểu thức (2.1) không có nghĩa rằng hạt A hoặc là ở xung

quanh x1 hoặc là ở xung quanh x2 và xác suất của chúng là bằng nhau như
một trường hợp của hỗn hợp thống kê: Một trạng thái tương ứng với một
trạng thái trộn của x1 và x 2 với các xác suất bằng nhau được mô tả bởi
một toán tử mật độ 1/2 ( x1 x1 + x 2 x 2 ) , hạt A cũng không ở một nơi nào
đó giữa x1 và x2. Cũng thật nguy hiểm khi nói rằng hạt A đồng thời ở cả xung
quanh x1 và x2 tại cùng một thời điểm. Nó thật rộng bởi vì chẳng ai có thể xác
minh được nó nếu không tiến hành một phép đo trực tiếp. Đã có một số ví dụ
nghịch lý để minh họa tính chất kỳ lạ này. Nghịch lý con mèo của
Schrödinger cho thấy sự mô tả của cơ học lượng tử về tự nhiên kỳ lạ như thế
nào khi nó được áp dụng vào các hệ vât lý vĩ mô. Thí nghiệm hai khe hẹp giải
thích hiệu ứng giao thoa của một hạt lượng tử đơn trong một trạng thái chồng
chập. Nghịch lý của Hardy minh họa cách mà một sự chồng chập lượng tử tạo
ra một kết quả vô nghĩa khi kể đến sự tương tác giữa vật chất và phản vật
chất. Những ví dụ này đều cho thấy làm thế nào mà một sự chồng chập lượng
tử của hai trạng thái A và B có thể dẫn đến một kết quả thực nghiệm thứ
ba do sự giao thoa lượng tử mà không bao giờ thu được từ A , B giống như
từ hỗn hợp cổ điển của A và B . Những hiệu ứng này (ví dụ như vân giao
thoa trong thí nghiệm hai khe hẹp) biến mất khi bất kỳ một phép đo nào được
thực hiện để theo dõi tiến trình của một hiện tượng lượng tử. Vẫn còn rất
nhiều tranh luận về nguồn gốc của sự kỳ lạ này bao gồm cả những nỗ lực thực
nghiệm để chấm dứt những tranh luận này.
Nguyên tắc chủ yếu của vật lý lượng tử gợi mở việc đưa ra một khái
niệm mới về đơn vị của thông tin lượng tử, gọi là bit lượng tử (tức “quantum
bit” hay viết tắt là qubit). Một qubit được định nghĩa như là một chồng chập
của hai trạng thái giá trị, một cho giá trị 0 và một cho giá trị 1. Nó không phải


17

là một trường hợp của một hỗn hợp thống kê của 0 và 1, cũng không phải là

một giá trị trung gian của cả hai trạng thái này. Qubit được định nghĩa trong
một không gian Hilbert hai chiều H có véctơ cơ sở trực chuẩn:

{ 0 , 1 }; i j

= dij

(2.2)

Một trạng thái qubit được biểu diễn như sau
Y =a 0 +b1

(2.3)

là sự chồng chập tuyến tính của hai trạng thái cơ bản với các số phức a và b
bất kỳ.

Hình 2.2: Sơ đồ về các bit và bit lượng tử. Trong khi một bit chỉ chiếm
một trong hai cực tương ứng với 0 hoặc 1 thì một bit lượng tử lại có thể ở bất
kỳ điểm nào trên bề mặt quả cầu Bloch vì nó có thể ở trong trạng thái chồng
chập khác nhau. Nói chung, một bit lượng tử có thể được đặt bất cứ một điểm
nào ở bên trong quả cầu nếu như nó ở trong một trạng thái hỗn hợp.
Thoả mãn điều kiện chuẩn hoá, a + b = 1 trong đó a , b tương ứng
2

2

2

2

với xác suất mà qubit đo được có giá trị “0” và “1”. Chú ý rằng các trạng thái cơ
sở tính toán có thể được chọn một cách tùy ý. Ví dụ như

(0

+ 1 ) / 2 và ( 0 - 1 ) / 2 cũng có thể là một hệ cơ sở trực chuẩn khác.

Dạng tổng quát của một ma trận mật độ của một qubit là


18

r ur
1
rqubit = (I + r.s)
2

(2.4)

r
ur
trong đó r là vectơ thực, s = (s x , s y , s z ) là các toán tử Pauli và I là ma trận

đơn vị. Điều kiện dương của toán tử mật độ rqubit ³ 0 dẫn đến bất đẳng thức
r
r
r £ 1 . Một qubit có thể được biểu diễn bởi r trong một quả cầu tưởng tượng
với bán kính đơn vị (hình 2.2), gọi là quả cầu Bloch. Nếu một qubit ở trong
một trạng thái sạch thì điểm tương ứng của nó luôn luôn nằm trên mặt cầu.

Người ta có thể nghĩ rằng người này hay người kia nhận được nhiều
thông tin từ một bit lượng tử hơn là một bit bởi vì một qubit có thể tồn tại như
là một số vô hạn trong các trạng thái chồng chập khác nhau. Nhưng thật ra,
không có nhiều thông tin hơn có thể thu được từ một qubit bởi vì kết quả đọc
ra của một qubit là một quá trình đo cơ học lượng tử. Nói chung, cơ học
lượng tử không cho phép người ta đo một trạng thái lượng tử mà không phá
huỷ nó. Vì vậy, nói chung, một qubit không thể bị đọc mà không biến mất
trong khi một bit thì lại có thể. Một quá trình đọc ra của một qubit y sẽ làm
cho trạng thái qubit xẹp xuống là 0 hoặc 1 tuỳ thuộc vào kết quả đo. Cùng
lý do đó mà một qubit bất kỳ không thể được nhân bản một cách hoàn hảo, đó
là nội dung của định lý “không nhân bản” được tìm ra năm 1982 và là một
định lý đóng vai trò quan trọng trong xử lý thông tin lượng tử.
Đã có một số đề xuất hiện thực hoá các qubit đối với quá trình xử lý
thông tin lượng tử trong các hệ vật lý như nguyên tử, các hệ vật chất ngưng tụ
và quang học. Theo nguyên tắc, bất kỳ một hệ lượng tử hai chiều nào đều có
thể được xem như là một hệ qubit. Một hạt Spin -1/2, một nguyên tử hai mức,
một trạng thái photon phân cực… là những ví dụ quen thuộc. Tuy nhiên, để
tìm ra một hệ qubit thích hợp cho quá trình xử lý thông tin lượng tử lại là một
chuyện khác, hệ qubit đó phải có thể nhập vào, kiểm soát, đo đạc và có thể
đọc được trước khi nó bị phá vỡ bởi tương tác với môi trường xung quanh. Có


19

hai loại qubit đó là: qubit quang học (không có khối lượng) rất tốt cho truyền
tin và qubit vật chất (có khối lượng) rất tốt cho tính toán lượng tử. Việc
chuyển hóa thông tin lượng tử từ các qubit quang học sang các qubit vật chất
và ngược lại là cần thiết và đã được nghiên cứu khá kỹ càng trong [43] và
xem các tài liệu tham khảo trong đó.
2.2. Rối lượng tử

Rối lượng tử là một trong những điều thú vị nhất của cơ học lượng tử.
Cái tên rối lần đầu tiên được đưa ra bởi Shrödinger [E. Schrodinger,
Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 31 (1935): 555-563; 32
(1936): 446-451]
bằng tiếng Đức là “verschrankung” (tiếng Anh là “entanglement”).
Khi hai hệ tương tác với nhau và sau khoảng thời gian ảnh hưởng lẫn
nhau các hệ tách riêng ra trở lại thì lúc đó chúng không còn được mô tả theo
cách như trước đây nữa. Đây là nét đặc trưng của cơ học lượng tử. Do đã tương
tác với nhau mà hai hệ trở nên rối với nhau, dù sau đó chúng có ở cách xa nhau
bao nhiêu chăng nữa.
Gần đây, các nghịch lý đã được thảo luận trước đây lại xuất hiện và
đóng góp vào rối của các hệ vật lý [P. L. Knight, Nature 395, (1998) 12 and
reference there in,...] hơn là giải thích cũ dựa trên nguyên lý bất định
Heisenberg. Như đã được giải thích bởi Shrödinger, các trạng thái rối có thể
sinh ra do tương tác giữa các hệ lượng tử, ví dụ như khi hai hạt được tạo ra
một cách đồng thời với một số yêu cầu là spin hay xung lượng phải được bảo
toàn. Tuy nhiên, một trạng thái rối có thể mất rối do tương tác với môi trường.
Rối đóng vai trò không thể thay thế như là nguồn tài nguyên trong các
quá trình xử lý thông tin lượng tử bao gồm viễn chuyển lượng tử, mật mã
lượng tử và tính toán lượng tử. Giả sử một trạng thái hai hệ 1 và 2 được định
nghĩa trong một không gian Hilbert H1 Ä H2 như sau:


20

| yñ12 = (m | 0ñ1 |1ñ 2 + n |1ñ1 | 0ñ 2 );| m |2 + | n |2 = 1

(2.5)

Và giả sử hai trạng thái lần lượt trong hệ 1 và hệ 2 là

|y ñ1 = a | 0ñ1 + b |1ñ1

(2.6)

|y ¢ñ 2 = c | 0ñ 2 + d |1ñ 2

(2.7)

Khi đó tích trực tiếp của hai trạng thái trên là
|y ñ1 Ä |y ¢ñ 2

=
(a | 0ñ1 + b |1ñ1 )(c | 0ñ 2 + d |1ñ 2 )
= ac | 0ñ1 | 0ñ 2 + ad | 0ñ1 |1ñ 2 + bc |1ñ1 | 0ñ 2 + bd |1ñ1 |1ñ 2

(2.8)

Có thể thấy rằng trạng thái này không thể được biểu diễn như là một
tích trực tiếp của hai trạng thái bất kỳ y 1 Ä y '

2

được. Khi đó (2.5) được

gọi là một trạng thái rối. Khi | m |¹|n | ta có trạng thái rối một phần. Trạng thái
rối cực đại ứng với trường hợp | m |=|n |=

1
. Có tất cả bốn trạng thái rối cực
2

đại trong không gian H1 Ä H2 tạo thành một hệ đủ trực chuẩn là
f± =

1
( 0 0 ± 1 1 ),
2

(2.9)

y± =

1
(0 1 ± 1 0 )
2

(2.10)

Hay tổng quát
|jñ =

1
(| 0ñ | iñ± |1ñ | j ñ ); với i, j = (0 hoặc 1), và i ¹ j
2

(2.11)

(2.8), (2.9) hay (2.10) được gọi là các trạng thái Bell hay các cặp EPR.
Một cách tổng quát, chúng ta nói rằng trạng thái y

12

là rối trong H1

Ä H2 khi nó không thể được biểu diễn như là một tích trực tiếp của hai trạng

thái bất kỳ
y

12

¹ y 1 Ä y'

2

(2.12)

với |y ñ1 là vecto trạng thái của hệ 1 trong H1 còn |y ¢ñ 2 là vecto trạng thái
của hệ 2 trong H 2 .


21

Sự rối không phải chỉ xảy ra giữa hai hệ lượng tử mà cũng có thể xảy ra
giữa nhiều hệ lượng tử khác nhau. Khi đó ta có rối đa hệ [39, 40, 41, 42]. Rối
đa hệ rất quan trọng đối với các giao thức lượng tử đa nhân trong một mạng
lưới lượng tử.
Các trạng thái rối cực đại là những kênh lượng tử rất tốt trong xử lý
thông tin lượng tử. Ví dụ, trong viễn chuyển nếu một kênh lượng tử sử dụng
không phải là rối cực đại thì xác suất thành công sẽ luôn bé hơn xác suất

thành công của việc sử dụng rối cực đại. Để tạo được một trạng thái lượng tử
rối cực đại là một việc làm không dễ. Tuy nhiên, các giao thức cũng đã phát
triển để chắt lọc ra một số ít các trạng thái rối cực đại từ một số lớn các trạng
thái rối không cực đại bằng cách sử dụng các tác dụng định xứ và các giao
tiếp cổ điển [13]. Những sơ đồ này được gọi là chiết hay sự chắt lọc rối.

2.3. Độ rối của một trạng thái
Có nhiều độ đo để đo độ rối của hai hệ vật lý tương tác nhau. Một trong
số đó là sử dụng "độ đồng quy". Độ đồng quy (concurrence) C được định
nghĩa như sau:
Xét hai qubit a và b trong các không gian Hilbert hai chiều H a và H b .
Gọi {| 0ñ a ,|1ñ a } ({| 0ñ b ,|1ñ b }) là hai vecto cơ sở trực chuẩn trong H a ( H b ) .
Trạng thái tổng quát của hai qubit a và b trong H a Ä H b là
|y ñ ab = c00 | 00ñ ab + c01 | 01ñ ab + c10 |10ñ ab + c11 |11ñ ab

Với điều kiện chuẩn hóa

1

å |c

i , j =0

ij

(2.13)

|2 = 1. Độ đồng quy C của trạng thái (2.13)

C = 2 | c00c11 - c01c10 |

Nếu c00c11 - c01c10 = 0 thì C = 0 .

(2.14)


22

Khi đó, c00 =

c01c10
và ta có thể biến đổi
c11
|y ñ ab =

c01c10
| 00ñ + c10 |10ñ + c01 | 01ñ + c11 |11ñ
c11

=(
=

c01c10
| 0ñ + c10 |1ñ ) | 0ñ + (c01 | 0ñ + c11 |1ñ ) |1ñ
c11

c10
(c01 | 0ñ + c11 |1ñ ) | 0ñ + (c01 | 0ñ + c11 |1ñ ) |1ñ
c11

= (c01 | 0ñ a + c11 |1ñ a )(

c10
| 0ñ b + |1ñ b )
c11

về dạng tích trực tiếp. Và như vậy trạng thái (2.13) không phải là trạng thái
rối, nó có độ rối C = 0 .
Trong trường hợp |y ñ ab không thể viết được thành tích trực tiếp của
|y ñ a và |y ¢ñ b thì nó là trạng thái rối, và độ rối của nó bằng C > 0 . Khi C = 1,
|y ñ ab được gọi là rối cực đại.

Thành thử, một trạng thái rối còn có thể được định nghĩa như là trạng
thái tích trực tiếp
|y ñ ab = x | 0ñ a | 0ñ b + y | 0ñ a |1ñ b + z |1ñ a | 0ñ b + t |1ñ a |1ñ b

thỏa mãn điều kiện xt ¹ yz .
Xét trạng thái rối kết hợp có dạng tổng quát như sau:
| ecsñ = N ( m | a ñ a | b ñ b + n | g ñ a | d ñ b ) º N ( m | ab ñ + n | gd ñ ) với a ¹ g , b ¹ d

(2.15)
N rút ra từ điều kiện chuẩn hóa hàm | ecsñ :
N -2 á ecs | ecsñ = (ágd |n * + áab | m * )( m | ab ñ + n | gd ñ )
= n *m ág | a ñád | b ñ+ | m |2 + |n |2 + m *n áa | g ñá b | d ñ
=| m |2 + |n |2 +2 Re( m *n áa | g ñá b | d ñ )
= N -2


23

áa | g ñ = ág | a ñ *
á b | d ñ = ád | b ñ *

Vì

m *n áa | g ñá b | d ñ = (n *m ág | a ñád | b ñ )*
Và z + z * = 2Rez . Rút ra
N=

1
| m |2 + |n |2 +2 Re( m *n áa | g ñá b | d ñ )

(2.16)

Chúng ta xét thêm các trường hợp riêng khi b = d , á b | d ñ = á b | b ñ = 1 .
Lúc này có thể đặt | ecsñ ab =| csqñ a | b ñ b , ở đây:
| csqñ = N ( m | a ñ + n | g ñ )

(2.17)

với hệ số chuẩn hóa bằng
N=

1
| m |2 + |n |2 +2 Re( m *n áa | g ñ )

(2.18)

Giả sử trong trường hợp này a và g là hai trạng thái kết hợp và giả sử

g = -a , thì áa | -a ñ = e-2|a | . Chúng ta xét trạng thái:
2

| csqñ = N ( m | a ñ + n | -a ñ ); m 2 + n 2 = 1

(2.19)

Trong trạng thái này hệ số chuẩn hóa
N=

1
1 + 2e-2|a | Re( m *n )
2

(2.20)

Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng phương pháp trực giao hóa Gram Schmidt để đưa hệ độc lập tuyến tính định chuẩn
{| a ñ a ,| g ñ a }({| b ñ b ,| d ñ b }) º {| a ñ ,| g ñ}({| b ñ ,| d ñ}

về hệ trực chuẩn {| 0ñ a |1ñ a }({| 0ñ b ,| 0ñ b })
Phương pháp trực giao hóa Gramm - Schmidt là phương pháp xây
dựng hệ n vecto trực chuẩn {en } dựa vào hệ n vecto độc lập tuyến tính {xn }
theo cách làm sau đây:


24

y1 = x1

;

y2 = x2 - ( x2 , e1 )e1
¼
yn = xn - ( xn , en-1 )en-1 - L - ( xn , e1 )e1

y1 ü
| y1 | ï
ï
y2 ï
e2 =
ï
| y2 | ý
ï
ï
yn ï
en =
| yn | ïþ
e1 =

(2.21)

Ta chứng minh (2.21) bằng phương pháp qui nạp. Thật vậy, dễ dàng
chứng minh được ( y 2 , y1 ) = 0 . Giả sử ta có hệ các vectơ { y1 , y2 ,..., ym-1} là hệ
trực giao. Ta đi tính tích vô hướng ( ym , yk ) với chú ý
(el , yk ) =| yk | d lk , yk =| yk | ek ; k , l = 1,2,...,(m - 1);
( ym , yk ) = ( xm , yk ) - ... - ( xm , ek )(ek , yk ) - ... = 0

(đpcm!).

Kết quả thu được

| 0ñ a =| a ñ , |1ñ a =
| 0ñ b =| d ñ , |1ñ b =

1
(| g ñ - áa | g ñ | a ñ )
Za

1
(| b ñ - ád | b ñ | d ñ )
Zb

(2.22)
(2.23)

Với
Z a = 1- | áa | g ñ |2 , Z b = 1- | ád | b ñ |2

(2.24)

Rút | g ñ |;| b ñ | theo | 0ñ a ,|1ñ a ,| 0ñ b ta được:
| g ñ = áa | g ñ | 0ñ a + Z a |1ñ a , | b ñ = á b | d ñ | 0ñ b + Z b |1ñ b

(2.25)

Thay (2.25) vào (2.15) chúng ta sẽ biểu diễn (2.15) qua cơ sở mới (2.22),
(2.23)
| ecsñ = c00 | 0ñ a | 0ñ b + c01 | 0ñ a |1ñ b + c10 |1ñ a | 0ñ b + c11 |1ñ a |1ñ b

(2.26)

c00 = N m ád | b ñ + n áa | g ñ , c01 = N m Z b , c10 = Nn Z a , c11 º 0

(2.27)

với


25

Vậy độ rối của trạng thái (2.15) là:
C (| ecsñ ) = 2 | c00c11 - c01c10 |= 2 N 2 | mn Z a Z b |
2 | mn | (1- | áa | g ñ |2 )(1- | ád | b ñ |2 )
=
| m |2 + |n |2 +2 Re( m *n áa | g ñá b | d ñ )

(2.28)

Từ (2.28) ta thấy rằng C = 0 nếu như a = g hoặc và b = d , còn C = 1 nếu như

m = -n và áa | g ñ = ád | b ñ hoặc m = n và áa | g ñ = -ád | b ñ .
2.4 Trạng thái kết hợp
Trạng thái kết hợp được định nghĩa như là một trạng thái của trường
bức xạ được tạo ra bởi một phân bố dòng dao động cổ điển hay nói cách khác
nó là trạng thái ánh sáng được phát ra từ một nguồn laser, ký hiệu là a với
a là một số phức. Trong biểu diễn Fock n của trường điện từ thì trạng thái

kết hợp có dạng tường minh như sau:
1 2 ¥ an
a = exp(- a )å
n

2
n!
n =0

(2.29)

Trạng thái kết hợp có một tính chất rất đặc biệt. Tính chất đó thể hiện ở
chỗ nó là một trạng thái riêng của toán tử huỷ photon a, tức là
a a =a a

(2.30)

Khác hẳn với trạng thái Fock là trạng thái chứa một số photon xác định,
trạng thái kết hợp chứa một số photon không xác định và toán tử huỷ không
thể làm thay đổi trạng thái này. Xét cho trường hợp tổng quát, hai toán tử
µ và B
µ theo thứ tự biểu diễn cho hai đại lượng vật lý A và B. Nếu
Hermitc A

hai đại lượng vật lý này không đo được đồng thời thì theo cơ học lượng tử
µ và B
µ không giao hoán với nhau, nghĩa là
A

¶, B
µ ] = iC
µ
[A

(2.31)