Một số phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình vi phân (LV00958)

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HÀ THỊ THANH

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN
ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2013


1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HÀ THỊ THANH

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN
ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HÙNG

HÀ NỘI, 2013


i
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa
những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân
trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn
đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2013
Tác giả

Hà Thị Thanh


ii

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Hùng. Sự giúp đỡ và hướng dẫn
tận tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả
trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin
được bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà
trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp

đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập.
Cuối cùng, tác giả cũng được bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để
tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2013
Tác giả

Hà Thị Thanh


iii
MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn......................................................................................................... i
Lời cam đoan ................................................................................................... ii
Bảng ký hiệu......................................................................................................v
Mở đầu..............................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài .................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu ...........................................................................1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ..........................................................................1
4. Đối tương và phạm vi nghiên cứu.......................................................1
5. Phương pháp nghiên cứu.....................................................................2
6. Dự kiến kết quả nghiên cứu ................................................................2
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị .......................................................................3
1.1. Lý thuyết về sai số ......................................................................................3
1.1.1. Khái niệm về số gần đúng ................................................................3
1.1.2. Sai số tính toán .................................................................................5
1.2. Sai phân ......................................................................................................7
1.2.1. Định nghĩa ........................................................................................7
1.2.2. Tính chất của sai phân ......................................................................7

1.2.3. Bảng sai phân ...................................................................................8
1.3. Khái niệm về hàm giải tích ........................................................................9
1.4. Không gian định chuẩn ............................................................................ 11
1.4.1. Khái niệm không gian định chuẩn ................................................. 11
1.4.2. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn .......................................... 12
1.4.3. Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn ........................... 13
1.5. Phương trình vi phân thường và bài toán biên của phương trình vi phân
thường.............................................................................................................. 14


iv
1.5.1. Một số khái niệm về phương trình vi phân .................................... 14
1.5.2. Bài toán biên của phương trình vi phân thường............................. 16
Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình
vi phân ............................................................................................................ 20
2.1. Phương pháp Galerkin.............................................................................. 20
2.1.1. Nội dung phương pháp ................................................................... 20
2.1.2. Phương pháp Galerkin giải một số bài toán biên tuyến tính.......... 23
2.2. Phương pháp Collocation (Phương pháp sắp xếp thứ tự) ........................ 28
2.2.1. Nội dung phương pháp ................................................................... 28
2.2.2. Phương pháp Collocation giải một số bài toán biên tuyến tính ...... 31
2.3. Phương pháp khử lặp................................................................................ 33
2.3.1. Nội dung phương pháp ................................................................... 33
2.3.2. Phương pháp khử lặp giải một số bài toán biên tuyến tính............ 38
Chương 3. Một số ứng dụng ......................................................................... 43
3.1. Giải một số bài toán biên tuyến tính bằng nhiều phương pháp ............... 43
3.2. Ứng dụng Maple vào các phương pháp Galerkin, phương pháp
Collocation, phương pháp khử lặp để giải bài toán biên tuyến tính. ........ 54
Kết luận .......................................................................................................... 65
Tài liệu tham khảo......................................................................................... 66

v
BẢNG KÝ HIỆU
¥

Tập hợp số tự nhiên

¥*

Tập số tự nhiên khác không

¢

Tập số nguyên

¡

Tập số thực

£

Tập số phức

K

Tập số thực hoặc phức

¡n

Không gian Euclide n-chiều

C[a,b ]

Không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a;b]

L[2a ,b]

Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a;b]

L(X,Y)

Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y


1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết phương trình vi phân được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa
thế kỷ 18, từ đó đến nay nó là một trong những lĩnh vực quan trọng của toán
học hiện đại. Rất nhiều bài toán trong toán học, vật lý, hóa học…đều dẫn đến
việc giải phương trình vi phân. Vì thế sự ra đời của lý thuyết phương trình vi
phân là rất cần thiết.
Đối với các phương trình đại số, nghiệm cần tìm thường nhận được là
giá trị cụ thể, còn đối với phương trình vi phân nghiệm cần tìm là một hàm
của các biến độc lập thỏa mãn mối quan hệ về vi phân. Cụ thể là đối với một
số bài toán, ngoài việc cho ở dạng phương trình vi phân nó còn kèm theo một
số điều kiện mà ta gọi là điều kiện biên, các bài toán như vậy được gọi là bài
toán biên đối với phương trình vi phân.
Để nghiên cứu sâu hơn về lý thuyết phương trình vi phân, đặc biệt là

việc giải gần đúng một số bài toán biên liên quan đến phương trình vi phân,
cùng với sự định hướng và tận tình chỉ bảo của thầy giáo- TS. Nguyễn Văn
Hùng, tôi đã chọn đề tài:
“MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN”
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu bài toán biên của phương trình vi phân và một số
phương pháp giải bài toán đó.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về các bài toán biên của phương trình vi phân và phương
pháp giải các bài toán đó.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+) Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán biên của phương trình vi phân.


2
+) Phạm vi nghiên cứu: Các phương pháp giải các bài toán biên của
phương trình vi phân: Phương pháp Galerkin, phương pháp Collcation,
phương pháp khử lặp.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp tổng hợp, phân tích tài liệu và kiến thức có liên
quan.
- Sử dụng phương pháp nghiên cứu của phương trình vi phân và giải
tích số.
6. Dự kiến kết quả nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu một cách có hệ thống một số phương pháp giải bài
toán biên đối với phương trình vi phân. Nêu lên một số ứng dụng vào các bài
toán cụ thể.

3

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Lý thuyết về sai số
1.1.1. Khái niệm về số gần đúng
Định nghĩa 1.1. Số a được gọi là số gần đúng của số a * nếu a không sai
khác a * nhiều. Ký hiệu: a » a * .
Định nghĩa 1.2. Đại lượng D = a - a * được gọi là sai số thực sự của a .
Nói chung ta không biết a * nên không biết D. Tuy nhiên ta có thể ước
lượng sai số thực sự của a bằng số dương Da ³ 0 sao cho
a - a * £ Da .

(1.1)

Định nghĩa 1.3. Số Da nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (1.1) gọi là sai số tuyệt
đối của số gần đúng a . Khi đó a * = a ± D a.
Định nghĩa 1.4. Số da =

Da
được gọi là sai số tương đối của a .
a

Nhận xét.
- Sai số tuyệt đối cũng như sai số tương đối của một số gần đúng a của
số đúng a * là không duy nhất.
- Độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương đối.
Định nghĩa 1.5. Sai số thu gọn
Một số thập phân a có dạng tổng quát:

(

)

a = ± ak 10k + ak -110k -1 + L + ak -t 10k -t ,

trong đó ai , t Î ¥, k Î Z, 0 £ ai £ 9, ak > 0, i = k - 1, k - t .


4
Nếu k - t ³ 0 thì a là số nguyên; k - t = -m (m > 0) thì a có phần
lẻ gồm m chữ số.
Nếu t = +¥ thì a là số thập phân vô hạn.
Thu gọn (làm tròn) số a là vứt bỏ một số các chữ số bên phải a để
được một số a ngắn gọn hơn và gần đúng với a nhất.
* Quy tắc thu gọn:
Giả sử
a = ak 10k + ak -110k -1 + ... + a j 10 j + ... + ak -t 10k -t .

Thu gọn a đến số hạng thứ j , ta thu được số
a = ak 10k + ... + a j +110 j +1 + a%j 10 j ,
ìïa + 1,
%
trong đó a j = ïí j
ïïa j ,
î

Nếu a j -1

5 < a j -1 < 10

0 < a j -1 < 5

ìïa ,
= 5 thì a%j = ïí j
ïïa j + 1,
î

khi a j =2n, n Î ¥

khi a j =2n+1, n Î ¥

Sai số của phép thu gọn số a , ký kiệu là Ga = a - a . Ta có
a * - a £ a * - a + a - a £ Da + Ga .

Như vậy sau khi thu gọn thì sai số tuyệt đối tăng thêm Ga .
Định nghĩa 1.6. Chữ số chắc
Xét số thập phân

(

)

a = ± ak 10k + ak -110k -1 + ... + ak -t 10k -t ,

trong đó ai , t Î ¥, k Î Z, 0 £ ai £ 9, ak > 0; i = k - 1, k - t .
Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác “0” và cả “0” nếu nó kẹp giữa hai
chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữ lại.


5

Giả sử a là giá trị xấp xỉ của a * với sai số tuyệt đối Da . Nếu
Da £ 0, 5.10s thì as là chữ số chắc, ngược lại thì nói as là chữ số không

chắc.
Từ định nghĩa ta thấy rằng, nếu as là chữ số chắc thì tất cả các chữ số
có nghĩa đứng bên trái nó cũng là chữ số chắc. Nếu as là chữ số không chắc
thì tất cả những chữ số đứng bên phải nó cũng là chữ số không chắc.
1.1.2. Sai số tính toán
Sai số tính toán là sai số sinh ra do trong quá trình tính toán ta phải thu
gọn số.
Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức
y = f (x 1, x 2,..., x n ) .

Giả sử x i*, y *(i = 1, n ) và x i , y (i = 1, n ) là các giá trị đúng và gần đúng của
các đối số và hàm số. Nếu f khả vi liên tục thì
y - y = f (x 1, x 2,..., x n ) - f
*

trong đó fi¢ là đạo hàm
Do

(

x 1*, x 2*,..., x n*

) = å f¢ x
n

i =1

¶f
tính tại các điểm trung gian.
¶x i

¶f
liên tục và Dx i khá bé nên ta có thể coi
¶x i
n

Dy = å fi ¢(x 1, x 2,..., x n ) Dx i .
i =1

Do đó
n
Dy
¶
dy =
=å
ln f Dx i .
¶
x
y
i =1
i

i

i

- x i* ,

6
Sau đây ta có sai số của các phép tính cơ bản:
a. Sai số các phép tính cộng trừ
Xét với y = x 1 + x 2 + ... + x n ta có

¶y
= 1, i = 1, n , nên
¶x i

n

Dy = å Dx i .
i =1

Giả sử Dx m = max Dx i và chữ số chắc cuối cùng của x m ở hàng thứ
1£i £n

k , nghĩa là Dx m = 10k . Ta có Dy ³ Dx m = 10k , vì vậy khi làm phép toán

cộng đại số khi ta thu gọn x i nên giữ lại 1 hoặc 2 chữ số bên phải hàng thứ k .
Trường hợp tổng đại số rất nhỏ, nghĩa là y = 1 thì
n

dy = å
i =1

Dx i
y

? 1.

Do đó kết quả tính không chính xác. Cho nên trong tính toán nên tránh các
công thức có hiệu của hai số gần nhau. Nếu không tránh được thì nên lấy các
số với nhiều chữ số chắc để hiệu của chúng có thêm chữ số chắc.
b. Sai số của các phép tính nhân
Xét với y =

x 1x 2...x p

x p +1...x n

p

khi đó ln y = å ln x i i =1

n

å

j = p +1

n

dy = å dx i .
i =1

c. Sai số của phép lấy lũy thừa, khai căn, nghịch đảo
Cho y = x a , khi đó

dy =

d
Dx
ln y Dx = a dx = a
.
dx
x

ln x j , nên ta có


7
Nếu a > 1 (phép lấy lũy thừa) thì dy > dx , do đó độ chính xác giảm.
Nếu 0 < a < 1 (phép khai căn) thì dy < dx , do đó độ chính xác tăng.
Nếu a = -1 (phép nghịch đảo) thì dy = dx , do đó độ chính xác không
đổi.
* Sự ổn định của quá trình tính toán: Xét một quá trình vô hạn (tức là
vô số bước) để tính ra một đại lượng nào đó. Ta nói quá trình tính toán là ổn
định nếu sai số tính toán tức là các sai số thu gọn tích lũy lại không tăng vô
hạn. Nếu sai số đó tăng vô hạn thì ta nói quá trình tính toán là không ổn định.
1.2. Sai phân
1.2.1.Định nghĩa
Giả sử y = f (x ) là hàm số xác định trên tập X , h = const > 0.
Ta gọi sai phân cấp 1 của f (x ) tại điểm x là biểu thức
Df (x ) = f (x + h ) - f (x ).

Sai phân cấp 2 của f (x ) tại điểm x là biểu thức
D2 f = D éêëDf (x )ùúû = éêë f (x + 2h ) - f (x + h )ùúû - éêë f (x + h ) - f (x )ùúû
= Df (x + h ) - Df (x ).

Một cách tổng quát ta có sai phân cấp k của f (x ) tại x là
Dk f (x ) := D éêDk -1f ùú , k ³ 1 ,
ë
û

D0 f (x ) := f (x ).

1.2.2. Tính chất của sai phân
a. Sai phân là toán tử tuyến tính, nghĩa là "a, b Î ¡, "f , g ta có
D(a f + bg ) = aDf + bDg.

b. Nếu c là hằng số, thì Dc = 0 .
c. Giả sử p(x ) là đa thức bậc n . Khi đó


8
Dp(x ) là đa thức bậc n - 1 .

Dm p(x ) = c - hằng số nếu m = n .
Dm p(x ) = 0 nếu m > n .
n

d. f (x + nh ) = å C ni Di f (x ) .
i =0

n

e. Dn f (x ) = å (-1)iC ni f
i =0

éx + (n - i )h ù.
êë
úû

1.2.3. Bảng sai phân
Giả sử hàm số y = f (x ) được cho dưới dạng bảng yi = f (x i ) tại các
mốc x i cách đều: x i +1 - x i = h . (i ³ 0) , h là hằng số.
Khi đó, sai phân của dãy yi được xác định như sau
Dyi = yi +1 - yi ,

D2yi = D (Dyi ) = Dyi +1 - Dyi ,

…..
Dnyi = Dn -1 (Dyi ) = Dn -1yi +1 - Dn -1yi .

hay ta có
n

yn +i = å C nj D j yi ,
j =0

n

D yi = å (-1)j C nj yi +n - j .
n

j =0

Ta lập bảng

9
y

Dy

D2y

D3y

D4y

…

…

…

…

...

…

…

yi -2
yi -1
yi

yi +1

Dyi -2

D2yi -2

Dyi -1
2

D yi -1

Dyi
Dyi +1

…

D4yi -2

D3yi -1

D2yi

yi +2

…

D3yi -2

…

…

…

…

Bảng 1
1.3. Khái niệm về hàm giải tích
Định nghĩa 1.7. Cho hàm số f xác định trên miền W Ì £. Xét giới hạn
f (z + Dz ) - f (z )
, z + Dz Î W .
Dz ® 0
Dz
lim

Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của f tại

z , ký hiệu là f ¢(z ) hay

df
(z ). Như vậy
dz
f (z + Dz ) - f (z )
.
Dz ® 0
Dz

f ¢(z ) = lim

Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay £ - khả vi

tại z .


10
Bi vỡ
ộ f (z + Dz ) - f (z )ự = lim f (z + Dz ) - f (z ) Dz = 0 ,
ờ
ỳỷ Dz đ0
Dz đ 0 ở
Dz
lim

nờn nu f l Ê - kh vi ti z thỡ lim ộờở f (z + Dz ) - f (z )ựỳỷ = 0. Núi cỏch khỏc
Dz đ 0
f liờn tc ti z .

Cng nh i vi hm bin thc, theo quy np ta vit

(

f (k ) = f (k -1)

)Â

nu v phi tn ti v gi l o hm phc cp k ca f trờn W .
nh lý 1.1. Nu f (z ) v g(z ) kh vi phc ti z 0 thỡ a f (z ) + bg(z ), f (z )g(z )
v

f (z )
(g(z 0 ) ạ 0) cng kh vi phc ti z 0 vi mi a, b ẻ Ê v

g(z )

(i) (a f + bg )Â (z 0 ) = a f Â(z 0 ) + bg Â(z 0 ) .
(ii) ( fg )Â (z 0 ) = f Â(z 0 )g(z 0 ) + f (z 0 )g Â(z 0 ) .
ổ f ửữÂ
f Â(z 0 )g(z 0 ) - f (z 0 )g Â(z 0 )
(iii) ỗỗ ữữ (z 0 ) =
.
ỗố g ứữ
g 2(z )
0

(iv) Nu w = f (z ) kh vi phc ti z 0 cũn g(w) kh vi phc ti w0 = f (z 0 ) ,
thỡ hm hp g o f kh vi phc ti z 0 v

(

)

(gf ) (z 0 ) = g  f (z 0 ) f  (z 0 ) .

nh ngha 1.8. Hm f xỏc nh trong min W è Ê cú giỏ tr trong Ê gi l
hm chnh hỡnh ti z 0 ẻ W nu tn ti r > 0 sao cho f l Ê - kh vi ti mi
z ẻ D (z 0, r ) è W .


11
Nếu f giải tích tại mọi z Î W , ta nói f giải tích trên W (hay f chỉnh hình
trên W ).
Định lý 1.2. Giả sử miền W Ì £ và H (W) là tập các hàm giải tích trên W .

Khi đó
(i) H (W) là một không gian véc tơ trên £ .
(ii) H (W) là một vành.
(iii) Nếu f Î H (W) và f (z ) ¹ 0 với mọi z Î W , thì

1
Î H (W) .
f

(iv) Nếu f Î H (W) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi.
Định lý 1.3. Nếu f : W ® W* và g : W* ® £ là các hàm giải tích, ở đây W
và W* là các miền trong mặt phẳng (z ) và (w ) , thì g o f : W ® £ giải tích.
Định lý 1.4. Giả sử chuỗi lũy thừa

¥

åC nz n

n =0

có bán kính hội tụ R > 0. Khi

đó tổng f (z ) của nó giải tích tại mọi z với z < R và đạo hàm phức của nó
¥

là

å nC nz n -1.

n =1

1.4. Không gian định chuẩn
1.4.1. Khái niệm không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.9. Giả sử X là một không gian vectơ trên trường K ( K = ¡
hoặc K = £ ). Một ánh xạ, ký hiệu là . ,
. :X ® ¡
x a x

được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau:
1. ("x Î X ) x ³ 0, x = 0 Û x = q ( q là phần tử không của X ).


12
2. ("x Î X )("a Î K ) ax = a . x (tính thuần nhất của chuẩn).
3. ("x , y Î X ) x + y £ x + y (bất đẳng thức tam giác).
Số x gọi là chuẩn của phần tử x
Các tiên đề 1, 2, 3 gọi là hệ tiên đề của chuẩn.
Định nghĩa 1.10. Giả sử X là không gian vectơ trên trường K , . là một

(

)

chuẩn trên X . Khi đó cặp X , . được gọi là không gian định chuẩn.

(X , . ) là không gian định chuẩn thực hoặc phức nếu K

là trường thực

hoặc phức. Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là X .

Ví dụ 1.1. Với mọi x Î ¡ , đặt
x = x .

Dễ thấy công thức trên xác định một chuẩn trên ¡ . Không gian định chuẩn
tương ứng ký hiệu là ¡1 .
1.4.2. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.11. Dãy điểm (x n ) trong không gian định chuẩn X hội tụ đến
x ÎX

điểm
xn ® x

nếu

lim x n - x = 0 ,

n ®¥

ký

hiệu

lim x = x

n ®¥ n

hay

(n ® ¥) .

Định nghĩa 1.12. Dãy điểm (x n ) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy
cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu lim x n - x = 0.
n ®¥

Không gian định chuẩn X là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản
đều hội tụ.


13
1.4.3. Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.13. Giả sử X ,Y là hai không gian định chuẩn trên trường K .
Một ánh xạ A : X ® Y gọi là một toán tử tuyến tính nếu:
1. A (x 1 + x 2 ) = A (x1 ) + A (x 2 ) "x 1, x 2 Î X .
2. A(ax ) = aA(x ) "x Î X , "a Î K .
Ở đây để cho gọn ta viết Ax thay cho A(x ) để chỉ phần tử ứng với x trong
toán tử A. Dễ thấy hai điều kiện 1 và 2 tương đương với

A (a1x1 + a2x 2 + ... + an x n ) = a1Ax 1 + a2Ax 2 + ... + an Ax n

("x1, x 2,..., x n Î X ; "a1, a2,..., an Î K ) .

Nếu X = Y thì ta nói A là một toán tử trong X .
Ví dụ 1.2. Giả sử X = Y = C [a ,b ] . Toán tử tích phân
Ax (t ) =

b

ò K (t, s )x (s )ds ,
a

trong đó K (t, s ) là một hàm số liên tục của t và s trong hình vuông
a £ t, s £ b , là toán tử tuyến tính trong C [a ,b ] .

Định nghĩa 1.14. Một toán tử A : X ® Y

gọi là liên tục nếu

x n ® x 0(n ® ¥) luôn kéo theo Ax n ® Ax 0(n ® ¥) .

Một toán tử tuyến tính từ ¡k vào ¡m bao giờ cùng liên tục.
Thật vậy, ta đã biết một toán tử tuyến tính từ ¡k vào ¡m có dạng tổng quát
A : ¡k ® ¡m ,

A (x1, x2,..., xk ) = (h1, h2,..., hm )
k

với hi = å a ijx j (i = 1,2,..., m ) và a ij là những hằng số.
j =1

(1.2)


14
æa
çç 11 a12
çç a
a22
Ma trận çç 21
çç M
M

çç
çèam 1 am 2

a1k ö÷
÷÷
L a2k ÷÷
÷÷ gọi là ma trận của toán tử A .
M ÷÷
÷÷
K amk ø÷÷

K

(

)

(

)

Khi đó, nếu x n = x1(n ), x2(n ),..., xk(n ) ® x 0 = x1(0), x2(0),..., xk(0) , thì do sự hội
tụ trong ¡k là hội tụ theo tọa độ, ta có
xj(n ) ® x (0)
j

( j = 1,2,..., k ).

Do đó
k

hi(n ) = å a ijxj(n ) ®
j =1

k

= hi(0), tức là Ax n ® Ax 0.
å a ijx(0)
j
j =1

Nhưng trong thực tế với không gian định chuẩn bất kỳ thì toán tử tuyến
tính không nhất thiết liên tục. Ở đây điều kiện liên tục tương đương với tính
bị chặn, định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.15. Một toán tử A : X ® Y gọi là bị chặn (giới nội) nếu tồn tại
hằng số M > 0 sao cho
("x Î X ) Ax £ M x .

(1.3)

Số M nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức (1.3) gọi là chuẩn của toán tử A, ký hiệu
A.

Khi đó

{

}

A = inf M > 0 : Ax £ M x , "x Î X .

Định lý 1.5. Một toán tử A : X ® Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn.
1.5. Phương trình vi phân thường và bài toán biên của phương trình vi
phân thường
1.5.1. Một số khái niệm về phương trình vi phân


15
Phương trình vi phân là phương trình chứa một hàm cần tìm và các đạo
hàm của nó.
Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập ta có phương trình
vi phân thường.
Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hay nhiều biến độc lập ta có
phương trình đạo hàm riêng.
Phương trình vi phân thường cấp n là phương trình trong đó có chứa
hàm số chưa xác định (đóng vai trò như ẩn số) và những đạo hàm của hàm số
đó:

(

)

F x , y(x ), y ¢(x ),..., y (n )(x ) = 0

hay viết gọn là

(

)

F x , y, y ¢,..., y (n ) = 0 ,

(1.4)

trong đó x là biến độc lập, y là hàm cần tìm.
Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong
phương trình.
Hàm y = j(x ) được gọi là nghiệm của phương trình (1.4) nếu thay
y = j(x ), y ¢ = j ¢(x ),..., y (n ) = j(n )(x ) vào (1.4) thì ta được phương trình

đồng nhất thức.
Hàm số y = j(x , c) (c Î ¡) có đạo hàm riêng theo biến x đến cấp n
được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.4) nếu:
(i) "(x , y ) Î D ( D là miền xác định của phương trình) ta có thể giải ra
c = j(x , y ) .

(ii) Hàm y = j(x , c) thỏa mãn (1.4) khi (x , y ) chạy khắp D với mọi
c Î ¡.


16
1.5.2. Bài toán biên của phương trình vi phân thường
a) Một số khái niệm
Giả sử hàm f (x ), fi (x ) liên tục trên

éa, b ù và f ¹ 0.
êë úû
n

Lập phương trình vi phân tuyến tính

n

L(y ) = å fi (x )y (i )(x ) = f (x ) .

(1.5)

i =0

Chọn các hằng số a(jk ); b (j k ) sao cho ma trận
éa(0) L a(n -1) b (0) L b (n -1) ù
ê 1
ú
1
1
1
ê (0)
(n -1)
(0)
(n -1) ú
b2 L b2
êa2 L a2
ú
ê
ú
êL
ú
ê (0)
ú
êa L a(n -1) b (0) L b (n -1) ú
m

m
m
êë m
úû

(1.6)

có hạng là m .
Ta lập tổ hợp tuyến tính như sau
n -1

Vj (y ) = å éêa(jk )y (k )(a ) + b (j k )y (k )(b)ùú , j = 1, m .
ë
û
k =o

(1.7)

Do ma trận (1.6) có hạng m nên các tổ hợp (1.7) độc lập tuyến tính.
Các đẳng thức
Vj (y ) = g j ; j = 1, m ,

(1.8)

trong đó g j là những số được gọi là điều kiện biên của phương trình (1.7).
Nếu g j = 0 là những số được gọi là điều kiện biên thuần nhất.
Phương trình (1.4) cùng các điều kiện (1.8) lập thành bài toán biên.
Bài toán biên được gọi là thuần nhất nếu g j = 0; j = 1, m và f (x ) = 0 .
Trong các trường hợp khác ta gọi là bài toán biên không thuần nhất. Đôi khi
cũng có thể gọi là bán thuần nhất nếu g j = 0 nhưng f (x ) ¹ 0 .

17
Định nghĩa tổng quát về bài toán biên trên đây bao gồm cả bài toán
biên Cauchy thông thường (khi b (j k ) = 0; "k, j ).
Ta thấy j(x ) = 0 thỏa mãn bài toán biên thuần nhất, nghiệm đó gọi là
nghiệm tầm thường.
Nếu j1, j2,..., ji là các nghiệm của bài toán biên thuần nhất thì một tổ
hợp tùy ý của chúng c1j1 + c2j2 + ... + ciji cũng là nghiệm của bài toán đó.
b) Điều kiện giải được của bài toán biên
Giả sử biết một nghiệm riêng j0 của phương trình (1.4) và hệ nghiệm
cơ bản j1,..., jn của phương trình thuần nhất tương ứng, lúc đó bài toán biên
(1.4)-(1.6) và (1.7) giải được khi và chỉ khi chọn được các hệ số ci trong biểu
thức j = j0 + c1j1 + ... + cnjn sao cho điều kiện (1.8) được thỏa mãn. Vì
vậy điều kiện cần và đủ để bài toán biên giải được là ma trận
æV (j ) L V (j ) V (j ) - g ö÷
çç 1 1
1
n
1
0
1 ÷
÷÷
çç
V
j
L
V
j
V

j
g
(
)
(
)
(
)
çç 2 1
2
n
2
0
2 ÷
÷÷
ççL
÷÷
L
L
÷÷
çç
ççV (j ) L V (j ) V (j ) - g ÷÷
è m 1
m
n
m
0
mø

có cùng hạng với ma trận

æV (j )
çç 1 1
çç
ççV2 (j1 )
çç L
çç
ççV (j )
è m 1

V1 (j2 ) L V1 (jn ) ö÷÷
÷
V2 (j2 ) L V2 (jn ) ÷÷÷
÷÷ .
L
L
÷÷
÷
Vm (j2 ) L Vm (jn )ø÷÷

(1.9)

Nếu ma trận (1.8) có hạng r thì bài toán biên thuần nhất giải được và
có (n - r ) bậc tự do, vì vậy nó có nghiệm không tầm thường với m < n .


18
Nếu ma trận (1.9) có hạng r thì bài toán biên thuần nhất giải được và
có (n - r ) bậc tự do, vì vậy nó có nghiệm không tầm thường với m < n .
Trường hợp m = n bài toán biên thuần nhất chỉ có một nghiệm không
tầm thường khi định thức của ma trận (1.9) bằng 0.

Vậy trong trường hợp m = n , hoặc bài toán biên không thuần nhất có duy
nhất một nghiệm hoặc bài toán biên thuần nhất tương ứng có ít nhất một
nghiệm không tầm thường.
c) Bài toán biên hai điểm tuyến tính
Cho phương trình

(

)

F x , y, y ¢, y ¢¢,..., y (n ) = 0; a £ x £ b .

(1.10)

Bài toán biên hai điểm đối với phương trình (1.10) như sau:
Cho hàm số y(x ) thỏa mãn điều kiện (1.9) trên éëêa, b ùúû và thỏa mãn điều kiện ở
hai đầu đoạn thẳng

(

(

)

ji y(a ), y ¢(a ),..., y (n -1)(a ) = 0; i = 1,2,..., L ;

(1.11)

)

(1.12)

yj y(a ), y ¢(a ),..., y (n -1)(a ) = 0; j = L + 1, L + 2,..., n .

Nếu các phương trình (1.10), (1.11), (1.12) là tuyến tính đối với
y(x ), y ¢(x ), y ¢¢(x ),..., y (n )(x ) thì bài toán biên (1.10)-(1.12) là bài toán biên

tuyến tính.
Để đơn giản chúng ta thường xét bài toán biên tuyến tính với n = 2 .
Khi đó phương trình vi phân và điều kiện biên được viết dưới dạng
L (y(x )) = y ¢¢(x ) + p(x )y ¢(x ) - q(x )y(x ) = f (x ) , a £ x £ b ,
l0 (y(a )) = a0y(a ) + b0y ¢(a ) = g 0 ,

l1 (y(b)) = a1y(b) + b1y ¢(b) = g1 ,

(1.13)
(1.14)
(1.15)