cơ sở lý thuyết mô đun và vành
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (29.13 MB, 270 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI
ITS.. NGUYỄN TIẾN QUANG - TS. NGUYEN DUY THUẬN
Cơ SỞ LÝ THUYẾT
MÔĐUN VÀ VÀNH
NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC - 2001
5 1
„
-82/400-01
GÕ-OI
2
Mã số: DTT03B[
L Ờ I NÔI Đ Ầ U
Trong những năm gần đây nhu cầu học h ỏ i của sinh viên
Khoa Toán, các thầy giáo dạy Toán và nhiều người khác quan tâm
đến Toán học, ngày càng gia tăng, nhằm nâng cao hiểu biết của
mình. Trong khi đ ó , sách và các tài liệu về một số ngành của Toán
học chưa được biên soạn ở trong nưừc, mà nguồn tài liệu nhập từ
nưừc ngoài vào l ạ i hiếm hoi hơn trưừc. Sinh viên k h ô n g có tài liệu
tự đọc mà chỉ học theo bài giảng của thầy ở lừp. Đ i ề u đó gây nhiều
khó khăn cho người học, đặc biệt là đ ố i vừi các sinh viên đ ạ i học
và các học viên hệ sau đại học. N ó cũng hạn c h ế rất nhiều khả
năng tự học và sáng tạo của sinh viên. Vì lẽ đó, chúng tôi mạnh
dạn biên soạn cuốn sách này nhàm đáp ứng phần nào nguyện vọng
học tập của nhiều bạn đọc.
Cuốn sách này được biên soạn vừi mục đích làm một giáo
trình thuộc chuyên ngành Đ ạ i số ở bậc Đ ạ i học và bậc Cao học.
N ộ i dung của nó là những vấn đề cơ bản của lí thuyết vành
và m ô đ u n , một lí thuyết phong phú và phát triển mạnh m ẽ hiện
nay. N ó bao gồm bảy chương.
Chương ì trình bày những khái niệm về m ô đ u n , m ô đ u n con,
mỏđun thương, đồng cấu, tích trực tiếp, tổng trực tiếp, m ô đ u n tự
do, tích tenxơ.
Chương l i dành cho các môđun con cốt yếu, m ô đ u n con đ ố i
cốt y ế u , môđun xạ ảnh và môđun nội xạ, bao nội xạ, phủ xạ ảnh.
Đ ó là những khái niệm quan trọnu của lí thuyết vành và m ô đ u n .
Chúng đã góp phần thúc đẩy sự phát triển mạnh m ẽ của lí thuyết
này.
T ừ chương IU đến chương V I trình bày những vấn đê cơ bản
của những lừp vành và môđun quan trọng.
3
C h ư ơ n g I U d à n h cho vành và m ô đ u n Noether, v à n h và
m ô đ u n Artin.
Chương I V trình bày các khái niệm căn Jacobson và đế, hai
công cụ có nhiều hiệu lực trong việc nghiên cứu vành và môđun.
Chương V dành cho vành nửa đơn, một lớp vành có cấu trúc
đơn giản, gần với không gian véctơ và đóng một vai trò quan trọng
trong sự phân tích của nhiều lớp vành khác. Định lí trù mật và các
định lí về cấu trúc của vành đơn và nửa đơn bước đầu giúp các bạn
hiểu sâu hơn một chút về lí thuyết vành.
C h ư ơ n g V I trình bày vành địa p h ư ơ n g và v à n h nửa địa
phương. Lớp vành này có vai trò quan trọng không nhờng trong
bản thân lí thuyết vành mà còn có ứng dụng trong một số ngành
toán học khác.
C h ư ơ n g V U trình bày sơ lược vê một số vành thường gặp
như v à n h chính quy, vành nguyên thủy, vành nửa nguyên thủy,
vành nguyên tố, vành nửa nguyên tố.
C h ú n g tôi coi trọng việc trình bày đơn giản, dễ hiểu. Sau
một mục hoặc một chương có một số lượng bài tập đủ để bạn đọc
củng cố nhờng điều đã thu lượm được.
Các tác g i ả chân thành cảm em Giáo sư Đ o à n Quỳnh, Giáo
sư tiến sĩ Hà Huy Khoái, Tiến sĩ Bùi Huy Hiền đã đọc kỹ bản thảo,
g ó p nhiều ý kiến quí báu để hoàn thành cuốn sách này.
C h ú n g tôi hy vọng ràng cuốn sách này có thể giúp ích cho
các bạn học viên Cao học, sinh viên ngành Toán, các thầy giáo
dạy Toán ở các trường Phổ thông và nhiều bạn đọc khác. Tuy
nhiên, dù cố gắng đến mấy chắc cũng không tránh khỏi thiếu sót.
Rất mong nhận được sự g ó p ý của bạn đọc, c h ú n g tôi xin chân
thành cảm ơn.
CÁC TÁC GIẢ
4
CHƯƠNG I
MÔĐUN
§0. NHẮC LẠI VỀ VÀNH
Vành R là một tập hợp cùng với hai phép toán, trong đ ó R
là nhóm giao hoán với phép toán cộng và là nửa n h ó m v ớ i phép
toán nhàn; hơn nữa phép nhân phân phối đ ố i với p h é p cộng
x(y + z) = xy + xz
(x + y)z = xz + yz
với mọi X, y, z E R.
Phần tử trung hòa của phép cộng được kí hiệu bởi 0 (thường
gọi là phan tử không). Phần tử đơn vị nếu có của phép nhân được
kí hiệu bởi Ì. Nếu vành R có nhiều hơn một phần tử và có đem vị
thì Ì * 0.
Vành được gọi là giao hoán nếu phép nhân có tính chất giao
hoán.
Vành con của vành R là tập con của R đ ồ n g thời là nửa
nhóm con đối với phép nhân và là nhóm con đ ố i v ớ i phép cộng.
Idêan trái ịiđêan phái) của vành R là vành con A th
a m ã n
điều kiện
ra e A (ar e A ) , a e A , r G R.
Vành con đồng thời là iđêan trái và phải được g ọ i là iđêan
hai phía (đơn giản là iđêaiì).
Ánh xạ f : R —> R' giữa các vành được gọi là đòng cấu vành
nêu
f(x + y) = f(x) + f(y)
f ( x y ) = f(x)f(y)
5
N ế u f : R —» R' là một đồng cấu vành, ta kí hiệu
Kerf = Ịx e RỊ f(x) = 0}
và gọi là hạt nhân của đồng cấu vành f. Hạt nhân của đồng cấu
vành là một iđêan trong R. Ngược l ạ i , m ỗ i iđêan của vành R được
xem như hạt nhân của một đồng cấu vành f : R - » R' n à o đó. Tập
con ì của vành R là iđêan khi và chỉ khi nó thỏa m ã n hai điều
kiện
a- b e ì
ra
với m ọ i a, b
ì và mọi r
G
<=
ì, br
6
ì
R.
Nếu ì là một iđêan của vành R thì n h ó m thương R/I theo
phép toán cộng trở thành một vành với p h é p toán nhân cảm sinh
(a + I) (b + I) = ab + ì,
và được gọi là vành thương của R trên ì.
Định lí đồng cấu vành. Giả sử
cấu vành,
là một
đòng
p : R —» RI Kerf lù toàn cấu chính tắc từ R đến
vành
thương của R trên
f : R —» R'
Kerf. Khi đó có một đòng cấu vành duy nhất
f : RI Kerf —> R' sao cho tam giác
R —í->
R'
RIKerf
là giao hoán. Hơn nữa f
là một đơn
cấu.
Chú ý. Trong cu
n sách này vành R luôn luôn được giả thiết
là có đơn vị
6
1^0.
§1. MÔĐUN - MÔĐUN CON
- MÔĐUN THƯƠNG
1.1. Định nghĩa. Giả sử R là một vành. M ộ t R-môđun
( Ì ) n h ó m cộng aben M cùng với
(2) ánh xạ
M
phải M là
R —» M
X
(m, Ì') h-> mr,
được g ọ i là phép nhân với vô hướng, thỏa mãn các hệ thức
(mr)r' = m(rr')
(m + m')r = mr + mr'
m(r + r') = mr + mr'
m.l = m
với m ọ i m, m' e M và m ọ i r, r' e R.
N ế u O M , OR tương ứng là các phần tử trung hòa của M và R
thì ta có thê dễ dàng suy ra từ định nghĩa rằng
0 r = 0 ; mO =
M
M
R
OM
- ( m r ) = (-m)r = m ( - r ) ,
với m ọ i m G M và m ọ i r e R.
T ừ nay về sau thay cho O M và OR ta sẽ viết đơn giản là 0 mà
không sợ s
l ầ m lẫn nào.
Tương t
, một R-môâun
trái là một nhóm aben M cùng với
phép nhân với vô hướng rm (r e R, m e M ) thỏa mãn
r'(rm) = (r'r)m
r(m + in') = rm + i m '
(r + r')m = rm + r'm
l.m = m
với m ọ i m, m' e M và r, r' e R.
7
Rõ ràng, nếu vành R giao hoán thì các khái n i ệ m m ô đ u n
phải và m ô đ u n trái trùng nhau và được gọi đơn giản là R - m ô đ u n .
Đ ể thuận tiện ta sẽ nói m ô đ u n thay cho m ô đ u n phải. V ê kí
hiệu, nếu M là một R - m ô đ u n phải (trái) ta kí hiệu M
R
( R M ) để
chỉ rõ vành cơ sở R khi cần thiết.
1.2. Ví dụ.
Ì. Phép nhân về bên phải trong vành R xác định p h é p nhân
với vô hướng của R lên nhóm aben của R, thỏa m ã n các tiên đê
của môđun. Bởi vậy R là một R - m ô đ u n phải ( H i ể n nhiên rằng R
là một R - m ô đ u n trái với phép nhân bên trái trong R).
2. T ư ơ n g tự n h ư trên, m ấ i i đ ê a n p h ả i của R là m ộ t
R-
m ô đ u n phải; m ấ i iđêan trái là một R - m ố đ u n trái.
3. G i ả sử R = z là vành các số nguyên. M ấ i n h ó m aben A
có cấu trúc Z - m ô đ u n .
4 . G i ả sử R = K là trường. M ấ i k h ô n g gian véctơ trên K là
một K - m ô đ u n .
Có thế nói rằng khái niệm môãun là mở rộng của khái niệm
nhóm aben và khái niệm không gian
véctơ.
1.3. Nhận xét.
Ta nhắc lại rằng các tự đồng cấu của n h ó m aben A lập thành
vành End(A). Trong trường hợp A là m ộ t R - m ô đ u n trái, p h é p
nhân v ớ i vô hướng hoàn toàn xác định một đồng cấu vành:
r 1-» (p(r), v ớ i (p(r)a = ra.
Hem nữa đồng cấu này biến đem vị ÌR thành đơn vị i d ( i d
A
A
kí hiệu cho đồng cấu đồng nhất của A ) .
Ngược l ạ i , đ ố i với m ấ i n h ó m aben A , m ấ i đồng cấu vành
biến đơn vị thành đơn vị đều xác định một cấu trúc R - m ô đ u n trái
8
trên A với phép nhân với vô hướng cho bởi:
R
X
A -> A
(r, a) ^
(
1.4. Định nghĩa. G i ả sử M là một R - m ô đ u n phải. Tập con A của
M được gọi là môdun con của M nế u A là môđun trên R với phép
cộng và phép nhân với vô hướng của M hạn chế trên A.
1.5. B ổ đề. Giả SÙM là một R-môđun
phải. Nếu A là tập con khác
rỗng của M thì các điêu kiện sau tương
(a) A là môđun
con trong
đương:
M.
(b) A là nhóm cơn cộng của môđun M và đối với mọi a e A,
mọi r e R ta có ar € A.
(c) Với mọi a, b e A và mọi r, s e R ta có ar + bs g A.
Chứng minh. (Xem như bài tập).
[]
1.6. Ví dụ.
Ì. M ỗ i m ô đ u n M đều có các môđun con tầm thường là 0 và
M . M ô đ u n con A của M được gọi là thực 5tvnếu A * 0 và A * M .
2. G i ả sử M là một R - m ô đ u n tuy ý và m
0
e M . K h i đó tập
con
m R = {m r
G
0
I r e RỊ
là một m ô đ u n con của M . N ó được gọi là môđun con xiclic
sinh
bài phàn tử m .
0
3. G i ả sử m là một phần tử của R - m ô đ u n M , ì là một iđêan
0
phải của vành R. Tập hợp các phần tử m a, trong đó a chạy khắp
Q
ì, là một m ô đ u n con của M , kí hiệu bởi m I .
0
4. G i ả sử A , B là hai môđun con của một R - m ô đ u n M . T h ế
thì A n B sẽ là một m ô đ u n con của M và
A + Ẽ = {a + b
I
a G A , b e B}
9
là một môđun con của M .
Theo bổ đề 1.5 ta có thể chứng minh một cách d ễ d à n g
mệnh đề sau.
1.7. Mệnh đề. Giao của
R-môđun
một họ bất kì những môđun
con
cửu
M ỉa một môđun con của M.
Ví d ụ . 1) 2Z n 3Z = 6Z.
2)
n
pZ = 0, với n là tập tất cả các số nguyên tố.
p e 11
1.8. Định nghĩa. G i ả sử X là m ộ t tập con của R - m ô đ u n M .
Môđun con bé nhất A chứa X được gọi là môãun
con sinh bởi X
và X là một tập sinh hay hệ sình của A . Trong trưạng hợp A = M
ta nói X là một hệ sinh của M và M được sinh bởi X . N ế u M có
một hệ sinh hữu hạn ta nói ràng M là R - m ô đ u n hữu hạn
sinh.
M ệ n h đề sau cho thấy m ô đ u n con sinh bởi một phần tứ
chính là môđun con
xiclic.
1.9. Mệnh đề. Giả sử Xỉa tập con của R-môđun
sau là rương
M. Các mệnh đê
đương:
(a) A là môđun von sinh bởi rập X
(b) A = { ^ x r
một số hữu
x
I x e X , r e R Ị , trong đó r = 0 hàu hết trừ
x
x
hạn.
Chứng minh. Hiển nhiên tập tất cả các phần tử của M có
dạng ^ x r , r e R , x e X là m ô đ u n con của M và chứa X , M ặ t
x
x
khác, m ọ i môđun con của M chứa X đều chứa các phần tử dạng
£ xr . V ậ y tập tất cả các phần tử dạng £ xr là m ô đ u n con bé nhất
x
x
chứa X .
1.10. Ví d ụ . Z-mô.đun Q các số hữu tỉ k h ô n g có hệ sinh hữu hạn.
10
•
Thật vậy, giả sử X = { a i , a ,
a„} là một hệ sinh hữu hạn
2
của Q. K h i đ ó - ai có thể biểu diễn dưới dạng tổng hữu hạn:
l a i = X | a i + Y x j a j , ai e z.
Ì
Suy
ra
^
ai = 2 x i a i + 2^2xIaị.
T ừ đó
mai
= ^ 2 x j a j , với m = Ì - 2 X | .
G i ả sử
— a,
m
K h i đó
= y a, + Y y ỉ ai,
ị
Ỵi
f
e z.
ai = myiai + ^Tmyjaj
= ^2x a y +^my a
i
i
j
i*l
i
i*l
i
= 22 Tị à;.
i*l
Điều này chợng tỏ x \ { a i } cũng là hệ sinh của Q. Tiếp tục
quá trình này sau n bước ta được tập rỗng là hệ sinh của Q và do
đó Q = {0} !
1.11. Định nghĩa. G i ả sử (Ai I i € ì) là một họ tùy ý những m ô đ u n
con của R - m ô đ u n M . K h i đó môđun con sinh bởi tập s = u A i
I
được g ọ i là (ổng của các m ô đ u n con Aị và kí hiệu bởi ^ A i .
I
1.12. M ệ n h đ ề . Cho (Ai I i e ì) là một họ tùy ý những môdun
con
của M. Khi đó
2^Aj = { ^ a j I a i
I
€
Ai,
i e J c I , J hữu hạn}
.1
Chứng minh. C ó thể thử lại rằng tập hợp
A = {^a,
I a, 6 A i , i 6 J c I , J hữu hạn}
li
là m ô đ u n con của M chứa s = u A j . M ặ t khác, m ỗ i m ô đ u n con
chứa s cũng chứa A . Bởi vậy, 'A là m ô đ u n con bé nhất chứa s,
hayA = ^ A i .
•
I
Đ ơ n giản hơn, có thể xem mệnh đề 1:12 như một hệ quả của
mệnh đề Ì .9.
1.13. Định nghĩa. M ô đ u n con A của m ô đ u n M được g ọ i là tối dại
nếu A & M và nó không chứa trong một m ô đ u n con thực sự nào
của M .
1.14. Định lí. Trong môđun hữu hạn sinh mỗi môđun
con thực sự
được chứa trong một môđun con tối đại.
Đ ể chứng minh định lí này chúng ta cần tụi bổ đề Zorn. B ổ
đề này còn được sử dụng trong hàng loạt chứng minh về sau.
1.15. B ổ đê Zorn. Cho A là tập sắp thứ tự. Nếu ruổi tập con
sắp
thứ tự hoàn toàn trong A có cận trên trong A thì A có phân tử tối
đại.
Chứng minh định lí 1.14. G i ả sử s = { m i , m } là hệ sinh
s
của M . N ế u A là m ô đ u n con của M và A ^ M thì tập các m ô đ u n
con của M
r =
Ị B | A c B c M , B # M Ị
là khác rỗng. Hơn nữa, r là sắp thứ tự theo quan hệ bao h à m . Đ ể
áp dụng bổ đề Zorn ta cần chỉ ra m ỗ i tập con sắp thứ tự hoàn toàn
L của r có cận trên trong r . Đặt
c =u
B, B
Ễ
L.
Khi đó A cz c. Giả thiết rằng c = M . T h ế thì { m i , m } c c,
s
do đ ó tồn t ạ i m ô đ u n con B Ẽ L sao cho { ư i | , m } e B, nghĩa là
s
B = M , trái vụi giả thiết về r . V ậ y ta phải có c e r .
Theo bổ đề Zorn trong r tồn tại phần tử t ố i đ ạ i D. Ta chứng
12
tỏ D là môđun con t ố i đ ạ i trong M . Thật vậy, nếu N là m ô đ u n con
của M sao cho
D c N c M , N ^ M
thì N e r, và do tính tối đại của D trong r ta có N = D.
•
1.16. H ệ quả. Mỗi môđun hữu hạn sinh M Ít {0} đêu chứa
mỏđun
con (ối đại.
Chứng minh. Trong chứng minh trên ta đặt A = { 0 } .
•
1.17. Mệnh đề (Luật môđula). Nếu B, c, D là những môđun
của R-môđun
M và c e B thì
(D + C) n B = (D n B) +
Chứng minh.
b e B, c
6
con
c, d
c.
G i ả sử d + c = b 6 (D + C) n B, trong đ ó
e D. K h i đó d = b - c e D n B. Do đó d + c = b
thuộc vào (D n B) + c. Bởi Vcậy
(D + C) n B c (D n B) +
Ngược l ạ i , giả sử
đồng thời d + c e B
c.
c E c, d e D. K h i đó d + c € D +
nên d + c e
c
(D n B ) +
c,
(D + C) n B . B ở i vậy,
c ( D + C) n B .
•
M ọ i môđun con A c M là n h ó m con của n h ó m cộng M . Do
đ ó n h ó m thương M / A = { m + A I m e M } được xác định v
i p h é p
cộng
(mi + A ) + ( m + A ) = (rti| + m ) + A.
:
2
Trên n h ó m thương M / A có thể đưa ra p h é p n h â n v
i vô
hư
n g cảm sinh để MỈA trở thành một R - m ô đ u n .
1.18. Mệnh đề và định nghĩa. Cho A là môdun
con của
R-môđun
M. Khi đó tương ứng
(M/A) x R - >
MÍA
13
(m + A , r)
M>
mr + A
lờ một ánh xạ. Hơn nữa, nhóm thương MÍA là R-môđun
với phép
nhân với vô ìiướiiíỊ
(m + A)r = mr + A
vờ được gọi là môđun
thươnạ.
Chứng mình. Giả sử rri| + A = m 4- A. T h ế thì
2
IĨ1|
= m + a,
a € A. Từ đó m r = m r + ar, với ar e A . Bởi vậy
2
(
iH|r
2
+ A = m r + A.
2
Điều đó chứng tỏ tương ứng nói trong mệnh đề là một ánh
xạ. Sau đó ta có thể thử lại các điều kiện của một R - m ô đ u n . Điều
này suy ra từ M là một R - m ô đ u n .
BÀI
TẬP
1. Chứng tỏ rằng nhóm aben A nhận cấu trúc Z - m ô đ u n nế u và
m
chự nế u ìĩiA = 0.
2. Giả sử A là R - m ô đ u n phải và B là nhóm aben. Chứng tỏ ràng
tập các đồng cấu nhóm H o m ( A , B) có cấu trúc R - m ô đ u n phải.
z
3. Môđun M
R
gọi là đơn nế u M * 0 và chí có hai m ô đ u n con là 0
và M . Chứng minh rằng M là đơn khi và chự khi mR = M với m ọ i
0 * m e M.
4. Cho ì và M là hai iđêan thực sự của vành R. Chứng minh rằng:
1) M là iđêan tối đ ạ i nế u R / M là vành đớn.
2) R có iđêan t ố i đại chứa ì.
3) R có ít nhất một iđêan t ố i đ ạ i .
5. Giả sử M R là môđun khác không, N là môđun con thực sự của
M và a £ M \ N . Chứng minh rằng
14
Ì) M có môđun con K tối đại với tính chất N c K và a Ễ K.
2) Nếu M = aR + N thì M có môđun con tối đại K với tính
chất N c K v à
a i K.
6. Chứng minh rằng trong môđun Qz các số hữu tỉ không có
môđun con tối đại.
7. Cho A là iđêan của vành R. Chứng tỏ ràng A là iđêan phái tối
đại khi và chỉ khi nó là iđêan trái tối đại.
15
§2. ĐỒNG CÂU MÔĐUN
2.1. Định nghĩa. Cho hai môđun MR, NR. Một đồng cấu R-môdun
hay một ánh xạ tuyến tính f : M —> N là một ánh xạ f thỏa mãn
các điều kiện
f(x + y) = f(x) + f(y)
f(xr) = f(x)r
đối với mọi X, y 6 M, r e R. Nế u N = M thì f được gọi là một tự
đòng cấu của M.
Một đồng cấu R-môđun còn được gọi đơn giản là một đòng
cấu nế u không cần thiế t phải chí rõ vành cơ sở.
Dễ thấy f : M —> N là đồng cấu môđun khi và chi khi
f(xr + ys) = f(x)r + f(y)s
với mọi X, y € M , mọi r, s G R.
Tập hợp tất cả các đồng cấu tự M đế n N được kí hiệu bởi
HorriR (M, N), hay đơn giản là Hom ( M , N). Tập hợp này là nhóm
aben với phép cộng các đồng cấu
R
R
(f+g)
với f, g € Hom (M, N),
X 6
(X) = f ( x ) +
g(x)
R.
Nếu R là vành giao hoán nhóm cộng này có cấu trúc
R-môđun với phép nhân với vô hướng
(fr)(x) = f(x)r, X e M , r e R.
Ta cũng định nghĩa đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu môđun
tương tự như đối với đồng cấu nhóm. Cụ thể, đồng cấu
f : MR—> N R được gọi là đơn cấu (tương ứng toàn, cấu đẳng cấu)
nếu f là một đem ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh).
Đối với đồng cấu môđun f : M —» N ta kí hiệu
Imf = f(M),
16
Kerf = Ị x e M I
f(x) = 0} =
ĩ'(0)
và gọi I m f là ảnh của f, còn Kerf là hạt nhân của f.
2.2. Mệnh đề. Cho đông cấu môđunỊ:
M —» N và u,v
tương ứng
là môãun con của M , N. Khi đó:
ì) f(Ư) lã môđun con của N.
2)f~'(V)
= {xeM
/ f ( x ) e V} là môđun con của M.
Đặc biệt, ỉm/ và Kerf là những môãun con tương ứng của N, M.
Chứng minh. ỉ ) G i ả sử X, y e u . K h i đó f(x), f(y) e f ( ư ) .
Ta cần chứng minh
f(x)r + f(y)s e f ( U ) , với r, s e R.
Thật vậy, do xr + ys e u nên
f(x)r + f(y)s = f(xr + ys) e f ( U ) .
2) G i ả sử a, b e f " ' ( V ) . Khi đó f(a), f(b) là những phần tử
thuộc V. T ừ đó suy ra
f(a)r + f(b)s e V => f(ar + bs)
G
V.
Bởi vậy, ar + bs e r ' ( V ) .
2.3. Mệnh đề. Gia sử/
•
: X —> Y là một đòng cấu R-môđun.
Hai
tính chất sau đây tương đương:
(ú) Ị ỉa một đơn cấu.
(b) f giản ước được bên trái, nghĩa là mọi đẳng thức
ftp/ =/(p2 đêu kéo theo Ọ/ = ip , trong đó Ọ / , q>2 là những đòng
2
cấu t
R-môđim
tùy V M tới X.
Chứng minh. (a) => (b). Vì f(pi = ftp nên ftpi(x) = fq>2(x) với
2
mọi X <= M . Nhung f là đơn cấu nên Ọi(x) = (P2M với m ọ i X e M ,
tức là (pi = (p2(b) => (a). G i ả sử f(x) = f(x'). K h i đó f(x - x') = 0. Gọi M là
17
môđun xiclic (x - x')R cùng với phép nhúng chính tắc
(Pi : M = (x - x')R - > X,
còn Ọ: là đồng cấu 0 : M —> X, biến m ọ i phần tử của M thành
phần tử 0 trong X . Khi đó dễ thấy ftpi = f(p - Do giả thiết ta có
2
cpi = Ọ2- Điều này chứng tỏ
Ọi(x -
x') =
X -
x' =
0,
nghĩa là f đơn cấu.
•
2.4. Mệnh đề. Giả sử Ị : X —> Y là một đòng cấu R-mỏđun.
Hai
tính chút sau là tươiìí> dương:
(a) f là một toàn
câu.
(b) f gián ước được bên phái, nghĩa là mọi đẳng
thức
\ị)/f - \\i?f liêu kéo theo \ựi - \ự2, trong dó Vị//, \ự2 là những
cấu từ Y tới một R-môãun
Chứng minh. (a)
đều tồn tại
X
dòng
bất kì N.
(b). Vì f toàn cấu nên với m ọ i y G Y
e X sao cho f(x) = y. Do đó
W\(y) = Vifltx) = V 2 f ( x ) = \|/ (y),
2
tức
là
Vị/1
=
VỊ>2-
(b) => (a). Lấy N = Y/Itnf và
VỊ/| ". Y —» N là phép chiếu,
\ự
2
'• Y - > N là đ ồ n ^ cấu 0.
K h i đó VỊ/|f = I ị / f = 0. Theo giả thiết suy ra rằng VỊ/1 = v|/ . Tức là
2
2
N = 0, hay Y = Imf.
2.5. B ổ đề. Giả sử ty : A —> B là một đòng cấu R-môđun
tương ứng là những môâun con của A, B. Khi đ
:
Ị) ọ đơn cấu <^> Kenp = 0.
2) cp"'(íp(U)) = u + Kercp.
3)
18
•
và u, V
Chứng minh.
Ì) Chứng minh dễ dàng.
2) Trước hết ta chứng minh
sao cho (p(u) = (p(a). Từ đó
a - u e Kenp
=>
a e u + Kercp.
Ngược l ạ i , xét phần tử u + k G u + Keixp. Khi đó
ọ ( u + k) =
3) Dành cho độc giả xem như bài tập.
•
T ừ bổ đề này trực tiếp suy ra rằng nếu u là môđun con cểa
A và cp : A —> B là đơn cấu thì u = (p~'((p(U)), nghĩa là m ỗ i môđun
con cểa A biểu diễn được dưới dạng ọ ' ( V ) . M ặ t khác, nếu V là
môđun con cểa B và (Ọ : A —> B là toàn cấu thì V = cp(cp ' ( V ) ) ,
nghĩa là môđun con V cểa B được biểu diễn dưới dạng (p(U).
Bây giờ chúng ta xem xét một sự kiện quan trọng là sự phân
tích một đồng cấu thành tích.
2.6. Định lí. Mỗi dòng cấu R-môdun
—
A
M
ọ : A —>• B có sự phân
\
tích:
B
/V
A/Ker(Ị)
1
trong dó \ự : A —> fi/Kenp là toàn câu tự nhiên, còn (Ọ là một
cấu. Hơn nữa ọ ' lù toàn cấu khi và chỉ khi (p toàn
CỈƠIÌ
cấu.
Chứng minh. Xét tương ứng:
cp' : A/Kercp —> B, a + Kenp !-»(p(a).
19
cp' là ánh xạ. Thật vậy, nếu a + Kercp = à' + Kenp thì
a' = a + u, u e Kenp
Bởi vậy,
(ọ\a' + Kenp) = cp(a') = (p(a + u)
= cp(a) + (p(u) = (p(a) = ọ'(a + Kenp).
Rõ ràng ọ ' là đồng cấu. Hơn nữa có thể thử lại ràng (p' là đơn cấu.
Thật vậy, nếu
(p'(a + Kercp) = (p(a) = 0
thì a ỄE Kercp và vì vậy a + Kercp là phần tử trung hòa của A/Kercp.
Nghĩa là Keixp' = 0.
Bây giờ giả sử a
(p'v|/( )
=
a
Do (p' đơn cấu và do Imcp' = Imcp ta suy ra được ọ ' là toàn cấu khi
và chớ khi (p toàn cấu. Khi đó cp' là đẳng cấu.
2.7. H ệ quả. Nếu (p : A —> B là một đồng cấu R-môđun
•
thì rương
ứng:
ọ : /4/Kenp —> Imiọ
a + Kerọ I—> iọ(a)
là đẳng cấu vờ do đó (p có thể phân tích thành (Ọ = /(pp,
A
pị
B
ĩ'
A / Kercp — ^ > Imcp
trong đó p ỉa phép chiếu chính tắc, ì là phép nhúng chính
tắc.
Chứng minh. Rõ ràng (p chính là ọ ' nói trong định lý 2.6 với
miền giá trị hạn chế trên Imcp. •
2.8. Định lí (định lí thứ nhất về đẳng cấu). Nếu B, c là hai
20
môđun
con cùa A thì:
(B + QIC - BlịB n C).
Chứng minh. Xét phép chiếu tự nhiên
p : B +
c
—> (B + C)/C,
gọi a là hạn chế của p trên B , a = PIB- K h i đó Kerp = c,
K e r a = B n c. Theo hệ quả 2.7
(B + C)/C - Imp = p(B + C) = p(B) + p(C) = p(B)
B/(B
n C)
~ I m a = a(B) = p(B)
Bởi vậy
(B + C)/C ~ B/(B
Nhận
n C)
•
xét. Định lí này có thể chứng minh không sử dụng
mệnh đề 2.7, m à thử trực tiếp ràng ánh xạ
B/(B
n C)
- » ( B + C)/C
b + (BnC)Bb + C
là đẳng cấu.
2.9. Định lí (định lí thứ hai về đẳng cấu). Nếu
C c B c A r t i
A / B ~ (A/C)/(B/C).
Chứng minh. Xét các phép chiếu
Pi : A —> A / C , p : A/C - » (A/C)/(B/C).
2
K h i đ ó P2P1 là toàn cấu, do đó theo hệ quả 2.7
A/Ker(p p,) ~ (A/C)/(B/C).
2
Ta có (theo hệ quả 2.5)
Ker(p
2 P l
)
|
|
=p- (Kerp ) = p- (B/C)
2
= p - ' ( p , ( B ) ) = B + Kerp
= B +
c
1
= B.
ũ
B â y g i ờ ta trình bày kết quả m ở r
n g của định lí 2.6.
21
2.10. Định lí. Già sử (Ọ : A - > B là đòng cấu môđun
và a : A —» c
/ờ toàn cấu, ngoài ra K e m e Kenp. Ả'/;/ í/ớ rò/? tại đò/ĩiỊ cấu
X
: c —> B sao
r/ỉo/
ọ = A..a,
f/'/j
ImẰ, = I i n ọ ,
f//7j À. í/o'/ỉ cấu o
Kera = Ker(p.
Chứng minh. (ì). Đẳng cấu (p = A,.a có nghĩa là biêu đồ sau
giao hoán
A — ^ B
C
Do a toàn cấu nên với mỗi phần tử X e c tồn tại phần tử
a e A sao cho a(a) = X. Bây giờ ta chứng minh rằng tương ứng:
Ả, : c
—> B
X h-> (p(a)
là một ánh xạ, nghĩa là X không phả thuộc vào việc chọn phần tử
a e A, mà a ( a ) = X. Thật v ậ y , g i ả sử:
X = a(a) = a(a'),
a', a 6 A .
K h i đó
a - a' £ Kera c Kenp (theo giả thiết).
Bởi vậy
(p(a - à') = 0 hay (p(a) = (p(a') = A.(x).
D ễ thử l ạ i ràng À. là đồng cấu thỏa mãn (i) và ( i i ) .
Ta chứng minh (iii). Đầu tiên giả sử X là đơn cấu. Do giả
thiết Kercc cz Kenp nên ta chi cần chứng tỏ Kercp d K e m là đủ.
G i ả sửa e Kenp. Khi đó
0 = (p(a) = Ằ..a(a)
22
a(a) = 0, a e K e r a .
Bây g i ờ giả sử Kera = Kenp. Khi đó từ Ằ.(x) = 0 và X = a(a)
suy ra:
0 = X(\) = x.a(ã)
= ọ(a).
Do đó a e Kercp = Kera. Suy ra X = a(a) = 0.
•
2.11. Định nghĩa. G i ả sử (p : A —> B là đồng cấu R - m ô đ u n . Khi
đó ta đặt
Cokenp = B/Irrup (đọc là đối hạt nhân của ọ ) ,
Coimcp = A/Kerọ (đọc là đối ảnh của (p).
N h ư vậy, Coim(p - I m ọ (do hệ quả 2.7).
Tính chất phổ dụng của hạt nhân và đ ố i hạt nhân đư
c trình
bày trong định lí sau.
2.12. Định lí. ỉ ) Trong biếu đò các đòng cấu
Kenp — j - >
môđun:
B
D
nếu cpiị/ = 0 thì tồn tại đòng cấu duy nhất l ị / ' . ' D —> Kercp sao cho
Vị/ =
/.Vị/',
với i là phép nhúng chính
tác.
2) Trong biếu dò các đòng cấu
A —
B
môđun:
—£-> Cokerọ
c
nếu pcp = 0 thì tòn tại đòng cấu duy nhất ọ' : Cokenp —> c
cho ọ = p'.p, với p là phép chiếu chính
sao
tắc.
Chứng minh. ị) Từ (Ọ\ụ = 0 suy ra \m\ịi c Kercp. Bởi vậy ta
đặt
\ụ' : D - » Kenp.
23
u M> V|/(u) = VỊ/(u)
và nếu có xụ" : D —> Kercp sao cho Vị/ = i.\ụ"
Rõ ràng Vịí =
thì đo i đơn ánh nên lị/' = xụ".
2) Dành cho độc giả xem như bài tập.
•
2.13. Định nghĩa (dãy khớp). M ộ t dãy (hữu hạn hoặc v ô hạn)
những đồng cấu R - m ô đ u n
a
(í
. . . - > A - » B - > C - > ...
được gọi là khớp tại B nếu I m a = Kerp. D ã y được g ọ i là khớp nếu
nó khớp tại m ọ i môđun khác v ớ i hai đầu (nếu có) của dãy.
Dãy khớp dạng
a
lì
0->A->B->C^0
(*)
được gọi là dãy khớp ngổn.
Từ định nghĩa của dãy khớp dễ dàng suy ra m
n h đề sau.
2.14. Mệnh đề. Cho đòng cấu R-môđun
a : A —> B. Khi đó
u
ỉ ) Dãy 0 —> A - > B là khớp nếu a đơn
cấu,
a
2) Dãy A —» B —> 0 là khớp nếu a toàn
cấu,
a
khớp nếu a đẳng
3) Dãy 0^>A-+B-^0là
cấu.
M ộ t h
quả trực tiếp của m
n h đề trên là trong dãy
ngắn (*) a là đen cấu còn p toàn
khớp
cấu.
BÀI T Ậ P
1. Cho môđun M R . Chứng minh các điều sau tương đương:
(a) M là môđun đơn.
(a) M ọ i đồng cấu khác k h ô n g M —> N là đơn cấu.
(c) m ọ i đồng cấu khác không N —> M là toàn cấu.
24
2. G i ả sử f : M —> N là một toàn cấu R - m ô đ u n và K là môđun
con của M . Chứng minh rằng:
1) N ế u K n Ker f = 0 thì f ] : K - > N là đơn cấu.
K
2) N ế u K + Ker f = M thì f| : K - > N là toàn cấu.
K
3. Chứng minh rằng:
1) N ế u M là Z - m ô đ u n xiclic hữu hạn thì tồn tại dãy khớp
ngán
.lí
/'
0->Z^Z->M->0
2) Tôn tại dãy khớp các Z - m ô đ u n
0 -> z -> z -> z -> z -> 0
2
4
4
2
4. Cho biểu đồ giao hoán của các đồng cấu R - m ô đ u n
O ^ A ^
4
B —» c —» 0
pị
yị
0 -> Ả' -> ế
c
0
trong đ ó các dòng là khớp. Hôn nữa, giả thiết rằng (3 là đẳng cấu.
Chứng minh rằng:
1) a là đơn cấu và y là toàn cấu.
2) a là toàn cấu và y là đơn cấu.
5. Giả thiết rằng R là vành giao hoán, A và B là hai R-môđun. Đ ố i
với đồng cấu R - m ô đ u n (p : A —> B ta xác định
(ậr)(a) =
R
nữa, kết luận này k h ô n g đ ú n g trong trường hợp R k h ô n g giao
hoán.
25
