Xây dựng chương trình mathematica mô phỏng hấp thụ ánh sáng trong chấm lượng tử với thế giam cầm parabol luận văn ths

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

PTN CÔNG NGHỆ NANÔ

TRẦN VĂN THIỆN

XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH MATHEMATICA
MÔ PHỎNG HẤP THỤ ÁNH SÁNG
TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ VỚI THẾ GIAM CẦM PARABOL

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. Hồ Chí Minh – Năm 2008


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
PTN CÔNG NGHỆ NANÔ

TRẦN VĂN THIỆN

XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH MATHEMATICA
MÔ PHỎNG HẤP THỤ ÁNH SÁNG
TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ VỚI THẾ GIAM CẦM PARABOL

Chuyên ngành: Vật liệu và linh kiện nano
Mã số:
LUẬN VĂN THẠC SĨ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN HỒNG QUANG

TP.Hồ Chí Minh - Năm 2008


1

MỞ ĐẦU

Ngày nay khi khoa học kỹ thuật càng phát triển, những tính chất của vật liệu
liên quan đến từng nguyên tử phân tử được phát hiện và ứng dụng trong nhiều
ngành khoa học kỹ thuật đặc biệt là trong công nghệ điện tử, khái niệm “nano”
ngày càng trở nên phổ biến là dự báo sẽ là một ngành khoa học mũi nhọn và là
cuộc cách mạng trong khoa học kỹ thuật của kỷ nguyên này.
Các hệ thấp chiều được tạo thành do người ta giảm kích thước không gian của
vật liệu, khi chuyển động của điện tử bị giới hạn theo một chiều có bước sóng vào
cỡ cỡ bước sóng De Broglie, ta thu được hệ hai chiều (giếng lượng tử), nếu điện tử
bị giới hạn theo hai chiều không gian, chuyển động điện tử chỉ có thể thực hiện
theo một chiều ta thu được dây dựng lượng tử, trong trường hợp điện tử bị giới hạn
theo cả ba chiều không gian khi đó ta có hệ không chiều hay Quantum Dots (chấm
lượng tử) [1].
Các nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm cũng chỉ ra rằng việc bị giam hãm
trong các cấu trúc thấp chiều đã làm thay đổi tính chất chuyển động của các điện tử
và kéo theo một loạt các hiệu ứng mới như hiệu ứng Hall lượng tử, hiệu ứng khóa
Coulomb, vv…Với những tính chất khác biệt mới như vậy người ta kỳ vọng trong

tương lai các vật liệu mới dựa trên các cấu trúc đó sẽ giúp chúng ta tạo ra các linh
kiện, thiết bị điện tử có kích thước nhỏ, tốc độ tính toán rất nhanh, bộ nhớ rất lớn.
Việc mô phỏng, tính toán chính xác các ảnh hưởng điện tích của hệ điện tử
nhằm tăng thêm sự hiểu biết của chúng ta về tính chất vật lý của nó. Tính toán cấu
trúc năng lượng bên trong các vật liệu bán dẫn, trong đó các hiệu ứng lượng tử trở
nên quan trọng. Một số kỹ thuật tính toán đã được xây dựng bằng việc sử dụng
hoặc mô hình liên kết chặt, hoặc gần đúng khối lượng hiệu dụng. Việc tính toán
phương trình Poisson-Schrodinger tự hợp dựa trên gần đúng Hartree và lý thuyết
hàm mật độ rất thuận lợi cho việc xác định trạng thái cơ bản của hệ nhiều điện tử
trong chấm lượng tử. Các nhà vật lý lý thuyết trong và ngoài nước cũng đang nỗ
lực nghiên cứu tính toán để xây dựng các cơ sở lý thuyết cho các vật liệu mới này.


2

Phương pháp Hartree-Fock đã được áp dụng thành công để tính toán cấu trúc
điện tử trong chấm lượng tử dạng đĩa giả hai chiều với thế giam cầm parabolic (ví
dụ xem [2]) và nghiên cứu các tính chất quang của exciton tích điện (charged
excitons) trong loại chấm lượng tử đó dưới tác dụng của từ trường ngoài [3-7].
Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu cấu trúc năng lượng và
hàm sóng của hệ đơn và nhiều điện tử trong chấm lượng tử parabolic hai chiều
bằng phương pháp Hartree-Fock với việc sử dụng hình thức luận Roothaan, mô
phỏng hiệu ứng hấp thụ ánh sáng của exciton tích điện âm và exciton tích điện
dương trong chấm lượng tử.
Cấu trúc luận văn được trình bày theo bốn chương với những nội dung chính
của từng chương như sau:
Chương 1: Trạng thái đơn điện tử trong chấm lượng tử
Chúng tôi đưa ra khái niệm chung về chấm lượng tử, trình bày phương pháp
nghiên cứu trạng thái đơn điện tử trong chấm điện tử đơn điện tử với thế giam cầm
parabol. Chúng tôi đã giải phương trình schrödinger cho điện tử với thế giam cầm

parabol để xác định năng lượng và hàm sóng của điện tử.
Chương 2: Phương pháp Hartre-Fock cho hệ nhiều điện tử trong chấm
lượng tử
Trong chương này chúng tôi trình bày phương pháp nghiên cứu hệ nhiều điện
tử trong chấm lượng tử: Lý thuyết trường tự hợp Hartree-Fock với việc sử dụng
hình thức luận Roothaan áp dụng cho hệ nhiều điện tử trong chấm lượng tử.
Chương 3: Hấp thụ ánh sáng trong chấm lượng tử nhiều điện tử
Chương này chúng tôi trình bày lý thuyết để tính toán phổ hấp thụ của ánh
sáng trong chấm lượng tử.
Chúng tôi nghiên cứu hệ nhiều điện tử trong chấm lượng tử với mô hình là
chấm lượng tử 2 chiều với thế giam cầm parabol. Chúng tôi xây dựng hàm sóng
của hệ nhiều điện tử và biểu thức tính toán năng lượng của hệ điện tử trong chấm
lượng tử theo phương pháp Hartree-Fock và hình thức luận Hatree-Fock-Roothaan.


3

Chúng tôi xây dựng biểu thức xác định phổ hấp thụ ánh sáng của chấm lượng
tử nhiều điện tử.
Chương 4: Kết quả tính số và thảo luận.
Trên cơ sở những lý thuyết đã trình bày ở trên, chúng tôi đưa ra các kết quả
tính toán số năng lượng của điện tử trong chấm lượng tử InAs với số điện tử từ 1
đến 13, kết quả tính toán phổ hấp thụ ánh sáng của exciton tích điện âm và exciton
tích điện dương trong chấm lượng tử.
Trong phần kết luận chúng tôi tổng kết lại toàn bộ những đóng góp khoa học
của bản luận văn; trong phần phụ lục chúng tôi trình bày tóm lược về quá trình xây
dựng công thức và tính toán bằng Mathematica và Fortran.


4

Chương 1
TRẠNG THÁI ĐƠN ĐIỆN TỬ TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ

Khi chuyển động của điện tử bị giới hạn theo cả ba chiều không gian; hệ vật
liệu như vậy được gọi là chấm lượng tử (Quantum dot). Với sự tiến bộ của công
nghệ chế tạo vật liệu mới, chấm lượng tử ngày càng đóng vai trò quan trọng trong
các nghiên cứu cơ bản. Một chấm lượng tử tiêu chuẩn thường có kích thước nhỏ
hơn bán kính exciton (10 nm), và lớn hơn nhiều so với hằng số mạng tinh thể (~0,5
nm). Chấm lượng tử có nhiều hình dạng khác nhau tuỳ theo phương pháp nuôi cấy
và chế tạo. Một số dạng thường gặp như dạng hình cầu, nửa hình cầu, dạng đĩa,
dạng hình pyramid, chóp cụt, v.v… Bên cạnh những tính chất của vật liệu khối, các
chấm lượng tử còn thể hiện những đặc tính rất mới và mà bán dẫn khối không có
do hiệu ứng giam cầm lượng tử mạnh gây ra, chẳng hạn vùng năng lượng liên tục
sẽ trở thành các mức gián đoạn. Kích thước của chấm lượng tử thay đổi sẽ kéo theo
cấu trúc năng lượng thay đổi và khoảng cách giữa các mức năng lượng cũng thay
đổi theo. Mặc dù cấu trúc tinh thể và thành phần cấu tạo nên chúng vẫn được giữ
nguyên, nhưng mật độ trạng thái điện tử và các mức năng lượng là gián đoạn, giống
như nguyên tử nên người ta coi chấm lượng tử như là nguyên tử nhân tạo hay
nguyên tử siêu hình, và bằng cách điều khiển hình dạng, số chiều, số điện tử bị
giam cầm ta sẽ điều khiển được tính chất vật lý theo yêu cầu.
Trong chương này, chúng tôi khảo sát trạng thái đơn điện tử trong chấm lượng
tử hai chiều đối xứng trụ để xác định hàm sóng và trạng thái năng lượng khả dĩ của
hệ. Sử dụng phần mềm Mathematica, chúng tôi giải phương trình Schrödinger cho
điện tử và đưa ra biểu thức tính năng lượng.
1.1. Chấm lượng tử hai chiều đối xứng trụ
Trong gần đúng khối lượng hiệu dụng, phương trình Schrödinger trong toạ độ
cực phẳng (r ,φ ) như sau:

5

 h 2 ∇ r2

−
ψ ( r ) = εψ ( r )
+
V
(
r
)
 2m *




(1.1)

ở đây, m* là khối lượng hiệu dụng của điện tử.
2

Toán tử Laplace hai chiều ∇ r trong hệ toạ độ cực được cho bởi
1 ∂ ∂f
1 ∂2 f
∇ f =
(r ) + 2 2
r ∂r ∂r
r ∂φ
2
r

(1.2)

Để thuận tiện, chúng ta chọn hệ đơn vị nguyên tử và h = 1 . Phương trình (1.1)
trở thành
 1 ∂

∂
1 ∂2
 −
(r ) + 2 2 + V (r ) ψ (r , φ ) = εψ (r , φ )
 r ∂r ∂r r ∂ φ


(1.3)

Do tính đối xứng trụ, ta tìm hàm sóng ở dạng ψ (r , φ ) = R(r )Φ(φ ) , chúng ta có
một phương trình cho phần góc Φ(φ )
∂ 2 Φ (φ )
= − m 2 Φ (φ )
2
∂ φ

(1.4)

Giải phương trình (1.4), và áp dụng điều kiện biên tuần hoàn Φ(φ + 2π ) = Φ (φ ) ,
chúng ta thu được lời giải chuẩn hoá
Φ (φ ) =

1

2π

e imφ

(1.5)

ở đây m ∈ Ζ là số lượng tử liên quan đến momen quỹ đạo của hệ. Thay 1.5 vào
1.3, chúng ta có phương trình tương ứng với hàm xuyên tâm (hay phương trình
shrodinger bán kính).
 1 ∂

∂
m2
 −
(r ) + 2 + V (r )  R(r ) = εR(r )
2r
 r ∂r ∂r


(1.6)

1.2. Giải phương trình Shrödinger với thế giam cầm parabol
1 2
ω2 2
Thế giam cầm mà chúng ta quan tâm có dạng V (r ) = −V0 + kr = −V0 + r .
2
2

Phương trình shrödinger 1.6 trở thành

6

 1 ∂

∂
m2 k 2 2
 −
(r ) + 2 +
r − V0  R(r ) = εR(r )
2
 r ∂r ∂r 2r


(1.7)

Để xác định hàm sóng và trạng thái năng lượng của điện tử trong chấm lượng
tử, ta phải giải phương trình (1.7). Chúng tôi đã thực hiện việc này bằng phần mềm
máy tính Mathematica (chi tiết được trình bày trong phần phụ lục A) và kết quả
như sau:
R

h
nh mh

(r ) = An , m r e
m

−(

ω 2r 2
2

)

Ln (ω 2 r 2 ), m ∈ Ζ, n = 0,1,2
m

(1.8)
(1.9)

ε n , m = ω 2 (2n + m + 1)
An, m là hệ số chuẩn hóa và Ln (ω 2 r 2 ) là đa thức Laguerre tổng quát.
m


7

Hình 1. Đồ thị mật độ trạng thái điện tử ở các trạng thái
với số lượng tử m và n

Hình 2. Sơ đồ năng lượng của hệ đơn điện tử trong chấm lượng tử parabol hai
chiều


8

Chương 2
PHƯƠNG PHÁP HARTREE – FOCK
CHO HỆ NHIỀU ĐIỆN TỬ TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ

Nội dung cơ bản của bài toán hệ nhiều điện tử trong chấm lượng tử là nghiên
cứu cấu trúc năng lượng điện tử của hệ, tức phải giải được phương trình
Schrödinger cho hệ nhiều điện tử. Cấu trúc năng lượng của hệ điện tử trong chấm
lượng tử phụ thuộc rất nhiều vào dạng thế giam cầm và dạng của chấm lượng tử.
Khi người ta giả định thế giam cầm có dạng xác định nào đó thì ta sẽ dự đoán được
cấu trúc vùng năng lượng và những đặc trưng tương ứng của hệ. Muốn xét cấu trúc
năng lượng của hệ nhiều điện tử thì ta cần biết trước dạng thế giam cầm.
Phương trình Schrödinger không thể giải được chính xác cho hệ nhiều điện tử
và vì vậy ta phải tìm lời giải bằng phương pháp gần đúng. Phương pháp mà chúng
ta khảo sát đầu tiên được phát triển bởi Hartree khi khảo sát hệ nguyên tử có nhiều
hơn 1 điện tử. Chúng ta quan tâm đến mỗi điện tử chuyển động trong thế hiệu dụng
gây ra bởi tương tác của nó với hạt nhân và lực đẩy từ N-1 điện tử còn lại. Thế hiệu
dụng này khi đó được sử dụng để giải hàm sóng cho điện tử. Tuy nhiên, yêu cầu là
hàm sóng của điện tử khác phải được biết trước, trong khi đó hàm sóng là chưa biết
trước. Để khắc phục vấn đề này, chúng ta giả thiết hàm sóng đầu tiên đã biết (hàm
sóng đơn điện tử), khi đó có thể dùng để giải cho hàm sóng điện tử. Lập lại điều
này cho tất cả các điện tử khác, và những hàm sóng mới này có thể được dùng để
tiên đoán trạng thái của hệ (bậc hai) và cứ thế tiếp tục. Chúng ta có thể cài đặt một
vòng lặp để tính cho tới khi chúng tra thu được lời giải tự hợp. Phương trình gốc
của Hartree đã bỏ qua việc xem xét các số hạng liên quan đến spin của điện tử, hàm
sóng tổng cộng không phản xứng dưới phép trao đổi của toạ độ điện tử, điều này
đáng ra phải có theo nguyên lý loại trừ Pauli. Phương pháp Hartree-Fock là
phương pháp tổng quát hoá của phương pháp Hartree, trong đó có xét đến các số
hạng liên quan đến spin của điện tử. Phương pháp này đã phát triển bởi Fock bao
gồm tính chất phản xứng của hàm sóng dưới phép biến đổi của toạ độ điện tử [911].


9

2.1. Hamiltonian
r
Xét hệ lượng tử gồm N điện tử trong chấm lượng tử với thế giam cầm V (r ) .

Hamiltonian của hệ phụ thuộc vào toạ độ của N hạt mà mỗi hạt có ba thành phần
theo ba phương khác nhau nên Hamiltonian của hệ phụ thuộc vào 3N toạ độ và có
r
r
thể viết dưới dạng: Hˆ = Hˆ (r ,..., r ).
1

N

Trong gần đúng khối lượng hiệu dụng, Hamiltonian của hệ có dạng:
2

N
h 2 ∇ ri
e2
H = H1 + H 2 = ∑ (−
+
V
(
r
))
+
∑
i
2m*
i

i < j 4πε 0 rij
N

(2.1)

Ở đây số hạng thứ nhất mô tả năng lượng đơn điện tử và số hạng thứ hai mô tả
năng lượng tương tác Coulomb giữa các điện tử, ε 0 là hằng số điện môi,
r ur
rij = ri − rj là khoảng cách giữa 2 điện tử i và j, m* là khối lượng hiệu dụng của

điện tử.
Phương trình Schrödinger cho hệ N điện tử được cho bởi.
2
2
N
 N
h
∇
e2
r
i
 (−
+ V (ri )) + ∑
∑
2m*
i
i < j 4πε s rij




Ψ (ξ , ξ .....ξ ) = EΨ (ξ , ξ .....ξ )
1
2
N
1
2
N



(2.2)

ξ i là toạ độ không gian ri lẫn toạ độ spin của điện tử thứ i.

Để đưa phương trình Schrodinger của hệ N điện tử về phương trình của một
điện tử ta đưa vào khái niệm trường trung bình và xét một điện tử thứ i nào đó ở
r

trong trường của tất cả các điện tử còn lại. Giả sử tại mỗi điểm ri có điện tử thứ i
nằm trong một trường giống như trường của các điện tử còn lại tạo thành. Kí hiệu
r

r

trường của các điện tử còn lại là U eff (ri ) . U eff (ri ) sẽ phải mô tả gần đúng nhất tác
dụng trung bình tất cả các điện tử lên một điện tử thứ i nào đó. Giả sử ta đã biết
r

được trường thế của điện tử thứ i là U eff (ri ) .
Hamiltonian của hệ N điện tử được viết dưới dạng:

N

H = ∑ H 'i
i

(2.3)


10
r

Với H 'i = H i + U eff (ri ) là Hamiltonian của điện tử thứ i.

2.2. Hàm sóng của hệ và phương trình Hartree-Fock
Các điện tử có spin bán nguyên s = 1/ 2 nên nó tuân theo thống kê Fermi –

Dirac và nó thoả mãn nguyên lý loại trừ Pauli. Trạng thái của điện tử thứ i được

đặc trưng bởi 3 tọa độ xi , yi , zi và thành phần nữatoạạ hình chiếu của spin σ i lên
phương OZ. Đối với điện tử σ z có trị riêng là ms h với ms = ± 1/2. Hàm sóng của

điện tử i là hàm của các biến số tọa độ xi , yi , zi và σ i . Kí hiệu biến số này là
qi (i = 1,2,..., N ) .

Để mô tả trạng thái của điện tử có tính đến spin ta đưa vào hàm σ như sau:
σ α (τ )
σ γ (τ ) = 
σ β (τ )

spin ↑

(2.4)

spin ↓

Và giá trị hàm spin được xác định:
1
2
1
σ −1 / 2 ( ) = 1
2

σ 1/ 2 ( ) = 0

1
2
1
σ −1 / 2 (− ) = 0
2

σ 1 / 2 (− ) = 1

(2.5)

Khi đó ta có:

∑τ σ α * (τ )σ β (τ ) = δαβ

(2.6)

Nếu bỏ qua tương tác giữa momen từ của điện tử với từ trường do điện tử
chuyển động theo quỹ đạo gây nên thì ta có thể biểu diễn hàm sóng của điện tử i
dưới dạng:

(2.7)
chỉ số k ở hàm ψ k (ξi ) kí hiệu trạng thái lượng tử (nk, τ ).

Điều kiện trực giao và chuẩn hóa của hàm ψ k (ξi )


11

r

r

*
∫ψ k * (ξi )ψ k (ξi )dξi = ∫ψ n (ri )ϕn (ri )∑σ α (σ i )σ β (σ i )
k

l

σi

= δ k l ≡ δ n kδ nlδαβ

(2.8)

Phương trình Schrödinger của toàn bộ hệ có dạng:

Hˆψ (ξ1 ,..., ξ N ) = Eψ (ξ1 ,..., ξ N )

(2.9)

Bởi vì điện tử là fermion và chúng phải tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli,
chúng ta yêu cầu hàm sóng toàn phần phải phản đối xứng dưới phép biến đổi toạ độ
(không gian và spin) của điện tử. Một hàm sóng thoả mãn điều kiện đó là định thức
Slater NxN,
Ψ (ξ 1 , ξ 2 .....ξ N ) =

=

1

(−1)ν Pν [ψ
∑
N! ν

k1

(ξ 1 )....ψ kN (ξ N )]

ψ k1 (ξ1 ) ψ k 2 (ξ1 ) L ψ kN (ξ1 )
1 ψ k 1 (ξ 2 ) ψ k 2 (ξ 2 ) L ψ kN (ξ 2 )
N!

M
M
O
M

ψ k1 (ξ N ) ψ k 2 (ξ N ) L ψ kN (ξ N )

(2.10)

ở đây các ký hiệu k1,k2,.. ,kN chỉ trạng thái N hạt và được đặc trưng bằng 3 số
lượng tử (n,m,mS).

1
là thừa số chuẩn hoá, bởi phép hoán vị của toạ độ N điện
N!

tử. Phép đổi chỗ hai điện tử, ta nói ξ i và ξ j , tức là hoán đổi hai dòng i và j và như
thế định thức đổi dấu, đảm bảo hàm sóng phản xứng. Nếu hai cột có cùng số lượng
tử, định thức bị triệt tiêu, đúng theo yêu cầu nguyên lý loại trừ Pauli: không có hai
điện tử có cùng tập hợp các số lượng tử n,m và mS. Nói ngắn gọn, hàm sóng của
điện tử trong hệ phải là hàm phản đối xứng:
r
Thực tế thì thế U eff (ri ) trong Hˆ i' còn chưa biết nên hàm ψ ni (ξi ) là hàm riêng

của Hˆ i' vẫn còn chưa xác định. Bây giờ ta dùng nguyên lý biến phân đểnguyên lý
r
U eff (ri ) .

r
Gọi ψ 0 ( r ) và E0 là hàm sóng và năng lượng của hệ ở trạng thái cơ bản. Toán
r
tử Hamiltonian Hˆ và ψ 0 ( r ) ; E0 thoả mãn phương trình Schrodinger:


12

r
r
Hˆψ 0 ( r ) = E0ψ 0 ( r )

(2.11)

Năng lượng trung bình của hệ lượng tử ở trạng thái ψ là:
r
r r
E = ∫ψ * (r )Hˆ ψ ( r ) dr .

(2.12)

r
Và ψ ( r ) là hàm sóng không phải ở trạng thái cơ bản (ở trạng thái kích
thích). Vì E0 là năng lượng ở trạng thái cơ bản (là nhỏ nhất) nên E ≥ E0 . Nghĩa là:
r

r

r

∫ψ * ( r )Hˆ ψ ( r ) dr ≥ E0 .

(2.13)

r
r
Ta thấy các hàm ψ ( r ) càng gần với hàm riêng ψ 0 ( r ) bao nhiêu thì E càng

r
gần E0 bấy nhiêu. Ta chọn trước một lớp hàm ψ ( r ) nào đó có dạng thích hợp rồi
r
trong lớp hàm này chọn một hàm ψ ( r ) sao cho giá trị E là nhỏ nhất (gần E0
r
nhất), nghĩa là lời giải gần đúng nhất của bài toán. Vì E ứng với hàm ψ ( r ) đã cho
r
là nhỏ nhất nên δ E = E − E0 → 0 . Vậy nghiệm gần đúng ψ 0 ( r ) nhất phải thoả

mãn điều kiện:
r

r

r

δ E = δ ∫ψ * (r )Hˆψ ( r ) dr = 0.

(2.14)

Đó là nội dung của nguyên lý biến phân.
Dùng nguyên lý biến phân ta tính được năng lượng trung bình của hệ N điện
tử:

E = ∫ψ * (ξ1 ,...., ξ N ) Hˆψ (ξ1 ,...., ξ N )dΓ

Với dΓ = dξ1dξ 2 ...dξ N
Thay hàm sóng trong (1.7) vào biểu thức trên ta có năng lượng trung bình của
của hệ N điện tử:
E = ∫ Ψ *k 1....kN (ξ1 ,...., ξ N ) Hˆ Ψk1....kN (ξ1 ,...., ξ N )dξ1dξ 2 ...dξ N

13
N

= ∑ ∫ψ *k (ξ i ) Hˆ 0 (ξ i )ψ k (ξ i )dξ i
k =1

+

1 N
∑ ψ *k (ξ i )ψ *l (ξ j )U (ξi , ξ j )ψ k (ξ i )ψ l (ξ j )dξi dξ j
2 k ,l =1 ∫

−

1 N
∑ ψ *k (ξ i )ψ *l (ξ j )U (ξ i , ξ j )ψ k (ξ j )ψ l (ξi )dξ i dξ j
2 k ,l =1 ∫

(2.15)

r

Thay ψ k (ξ i ) = ϕ nk (ri )σ γ (τ i ) ta có:
N
r
r
r r
E = ∑ ∫ ϕ *nk (ri ) Hˆ 0 (ri )ϕ nk (ri )dri

k =1

+

1 N
r
r
r r
r
r r r
ϕ *nk (ri )ϕ *nl (rj )U (ri , rj )ϕnk (ri )ϕnl (rj )dri drj
∑
∫
2 k ,l =1

−

r
r
r r
r
r r r
1 N
ϕ *nk (ri )ϕ *nl (rj )U (ri , rj )ϕnk (rj )ϕnl (ri )dri dr
∑
∫
2 ↑↑ k ,l =1

(2.16)

Trong đó số hạng cuối chỉ lấy tổng ứng với các cặp điện tử có spin định hướng
song song cùng chiều ( ↑↑ , ↓↓ ).
Ta sẽ tính δ E rồi cho δ E = 0 :
N

r

r

r

r

δE = ∑ ∫ δϕ *n (ri ) Hˆ 0 (ri )ϕ n (ri )dri
k

k =1

+

k

r
r
r r
r
r r r
1
δϕ *nk (ri )ϕ *nl (r j )U (ri , r j )ϕ nk (ri )ϕ nl (r j )dri dr j
∑

∫
2 k ,l =1
N

(2.17)

r
r
r r
r
r r r
1 N
− ∑ ∫ δϕ *nk (ri )ϕ *nl (r j )U (ri , r j )ϕ nk (r j )ϕ nl (ri )dri dr
2 ↑↑k ,l =1

Thừa số 1 / 2 trong hai số hạng cuối của E sẽ mất đi vì khi lấy biến phân theo

δψ * ta gặp hai lần lấy tổng: một lấy tổng theo k, một lấy tổng theo l.
nk

Các biến phân δψ *n trong biểu thức của δ E là không độc lập. Từ điều kiện
k

chuẩn hoá hàm sóng:

∫ψ *

nk

r

r r
(ri )ψ *nl (ri )d ri = δ nk nl
r

r

r

→ ∫ δψ *n (ri )ψ *n (ri )d ri = 0 với mọi nk, nl
k

l

Nhân biểu thức này với − Lk (thừa số Lagrange), ta có:


14
r
r r
− Lk ∫ δψ *nk (ri )ψ *nl (ri )d ri = 0

Và cộng với δ E ta có đẳng thức:
r

∫ dr δϕ *
i

nk

[

r
r
r
r r
(ri ) − Lk ϕ nk (ri ) + Hˆ 0 (ri )ϕ nk (ri )dri

N
r 2 r r
r r
+ ∑ ∫ ϕ *nl (r j ) U (ri , r j )ϕ nk (ri )dr j

(2.18)

l =1

−

N

∑ ∫ϕ *

↑↑l =1

nl

r
r
r r
r r

(r j )ϕ nl (ri )U (ri , r j )ϕ nk (r j )dr j = 0

Vì biến phân δϕ *n là tùy ý nên ta có thể chọn Error! Bookmark not defined.
k

một cách thích hợp sao cho biểu thức trong [. . . ] luôn bằng 0. Muốn vậy ta đặt
i =1, j = 2, Lk = ε k và ta thu được phương trình đối với hàm sóng ϕ n có dạng sau:
k

[H)

0

]

r
r
r
r
(r1 ) + U eff (r1 ) ϕ nk (r1 ) = ε k ϕ nk (r1 )

(2.19)

r

Biểu thức của U eff (r1 ) cần tìm có dạng:
N
r
r 2 r r r
U eff (r1 ) = ∑ ∫ ϕ nl (r2 ) U (r1 , r2 )dr2

l =1

(2.20)

r
ϕ nl (r1 )
r
r
r r r
− ∑
r ∫ ϕ *nl (r2 )ϕ nk (r2 )U (r1 , r2 )dr2
↑↑l =1ϕ nk ( r1 )
N

r r

Với U (r1 , r2 ) =

e2
r r
ε 0 r1 − r2
1

Phương trình (2.19) là phương trình Hartree-Fock cho phép ta xác định hàm
r

sóng tự hợp ở trạng thái nk trong đó U eff (r1 ) là trường hiệu dụng được xác định bởi
(2.20). Để giải (2.19) ta chọn nghiệm ϕ n gần đúng nào đó đã biết (chẳng hạn hàm
k

sóng của một điện tử tự do hay hàm sóng của điện tử trong nguyên tử, hàm sóng
này có thể giải chính xác được) thì ta tính được U eff . Giải phương trình (2.19) để
r

tìm hàm sóng mới gần đúng với thực tế hơn. Tiếp theo ϕ n (r1 ) để tính được U eff rồi
k

lại đặt U eff vào phương trình (2.19) rồi giải... Cứ thế tiếp tục cho đến khi ta tìm

được nghiệm gần đúng tốt nhất (tức là giá trị của hai nghiệm liên tiếp liền nhau


15

không khác nhau là bao nhiêu). Trường U eff được tính như trên được gọi là trường
tự hợp và phương pháp nêu trên được gọi là phương pháp gần đúng Hartree-Fock.
r
N
N ϕ (r )

r
r 2 r r r
r
r
r r r
r
r
nl i
ˆ
 H 0 (ri ) + ∑ ∫ ϕ *nl (rj ) U (ri , rj )drj − ∑

r ∫ ϕ *nl (rj )ϕ nk (rj )U (ri , rj )drj ϕ nk (ri ) = ε kϕ nk (ri )
l =1
↑↑l =1ϕ nk ( ri )



(2.21)

2.3. Áp dụng gần đúng cho hệ nhiều điện tử.
Khi áp dụng cho hệ nhiều điện tử thì biểu thức năng lượng của hệ có dạng:
)
E = ∫ Ψ * (ξ e1 ,..., ξ eN )HΨ * (ξ e1 ,..., ξ eN )

(2.22)

Các hàm ψ (ξ ) thoả mãn điều kiện trực giao, chuẩn hoá:

∫Ψ

i

* (ξ ei )Ψ j (ξ ej )dξ ei dξ e j = δ ei e j = δ ij

(2.23)

Thay Hˆ từ (2.1) và ψ từ (2.7) vào biểu thức của E , tiến hành tính toán ta

được:
N
r

r
r
r
r 2 1
r 2 r
1 N
E = ∑ ϕ * j (r1 ) H (r1 )ϕ i (r1 )d (r1 ) + ∑ ∫ ϕ i (r1 )
ϕ j (r2 ) d (r2 )
2 i , j =1
r12
i =1

r
r 1
r
r
r
1 N
− ∑ ∫ ϕ i (r1 )ϕ j (r1 ) ϕ j (r2 )ϕ i (r2 )d (r2 )
2 i , j =1↑↑
r12

(2.24)

Trong đó kí hiệu Σ là tương ứng cho các giá trị của i ≠ j , k ≠ l.
Bây giờ ta sử dụng kí hiệu Dirac và viết biểu thức trên dưới dạng khai triển
theo Nα, Nβ với Nα, Nβ là số điện tử có spin hướng lên ( ↑ ) và spin hướng xuống

( ↓ ) . Chú ý rằng Nα + Nβ = N ta có:

16
Nα

Nβ

i =1

i =1

E = ∑ ϕ iα (1) h(1) ϕ iα (1) + ∑ ϕ iβ (1) h(1) ϕ iβ (1) +

1 Nα
1
ϕ iα (1)ϕ αj (2) ) ϕ iα (1)ϕ αj (2)
∑
2 i =1
r12

1 β
1
1 Nα β
1
+ ∑ ϕ iβ (1)ϕ βj (2) ) ϕ iβ (1)ϕ βj (2) + ∑∑ ϕ iα (1)ϕ βj (2) ) ϕ iα (1)ϕ βj (2)
2 i =1
2 i =1 j =1
r12
r12
N

N

1 Nβ Nα
1
1 N α Nα
1
+ ∑∑ ϕ iβ (1)ϕ αj (2) ) ϕ iβ (1)ϕ αj (2) − ∑∑ ϕ iα (1)ϕ αj (2) ) ϕ iα (1)ϕ αj (2)
2 i =1 j =1
2 i =1 j =1
r12
r12
−

(2.25)

1 Nβ Nβ
1
ϕ iβ (1)ϕ βj (2) ) ϕ iβ (1)ϕ βj (2)
∑∑
2 i =1 j =1
r12

Từ đó ta có:
Nα

Nβ

i =1

i =1

E = ∑ ϕ iα (1) h(1) ϕ iα (1) + ∑ ϕ iβ (1) h(1) ϕ iβ (1) +

1 Nα β
1
ϕ iα (1)ϕ βj (2) ϕ iα (1)ϕ βj ( 2)
∑∑
2 i =1 j =1
r12
N

1 Nβ Nα β
1
ϕ i (1)ϕ αj (2) ϕ βj ( 2)ϕ iα (1)
∑∑
2 i =1 j =1
r12
)
)
1 − P12 α
1 − P12 β
1 Nα
1 Nβ
α
α
α
β
β
+ ∑ ϕ i (1)ϕ j (2)
ϕ j (2)ϕ i (2) + ∑ ϕ i (1)ϕ j ( 2)

ϕ j (2)ϕ iβ (1)
2 i , j =1
r12
2 i , j =1
r12
+

(2.26)

Trong đó kí hiệu Pˆ12 là toán tử tráo đổi biến: Pˆ12 χ µ (1)ϕ α (2) = χ µ (2)ϕ α (1)

được đưa vào cho tiện tính toán.
Biểu thức năng lượng của hệ có dạng:
Nα

Nα

E = ∑ ϕ iα (1) h(1) ϕ iα (1) + ∑ ϕ iα (1) F α (1) ϕ iα (1)
i =1
Nβ

i =1
Nβ

(2.27)

+ ∑ ϕ i (1) h(1) ϕ i (1) + ∑ ϕ i (1) F (1) ϕ i (1)
β

β

i =1

β

β

β

i =1

Trong biểu thức này ta đã đưa vào toán tử Fock F = h + J − K với:
Nβ

F α = h(1) + ∑
j =1
Nα

F = h(1) + ∑
β

j =1

)
Nα
1
−
P
1
12 α

ϕ βj (2) ϕ βj (2) + ∑ ϕ αj (2)
ϕ j (2)
r12
r12
j =1

)
Nβ
1 − P12 β
1 α
β
ϕ j ( 2) ϕ j ( 2) + ∑ ϕ j ( 2)
ϕ j ( 2)
r12
r12
j =1
α

(2.28)


17

Còn J và K tương ứng là toán tử tương tác Coulomb trực tiếp và tương tác trao
ur
ur
đổi. Kí hiệu 1 thay cho r1 , 2 thay cho r2 :
r

r

ϕiα ,β (1) ≡ ϕiα ,β (r1 ), ϕiα ,β (2) ≡ ϕiα ,β (r2 );

γ ,γ ' = α , β

(2.29)

Lấy biến phân δ E theo ϕiα * (1) với chỉ số α, sau đó cho δ E = 0 , ta được:
Nα

Nβ

δE = ∑ δϕ i (1) h(1) + ∑
α

i =1

j =1

)
Nα
1 − P12 α
1 β
α
ϕ j ( 2) ϕ j ( 2) + ∑ ϕ j ( 2)
ϕ j (2) ϕ iα (1) = 0 (2.30)
r12
r12
j =1
β

Từ điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng ϕiα (1)ϕ αj (1) = δ ij
ta có : δϕ iα (1)ϕ αj (1)

=0

với mọi i, j

Nhân thừa số − Lαij vào rồi lấy tổng theo j :
− ∑ Lαij δϕiα (1)ϕ αj (1) = 0 .

(2.31)

j

Cộng biểu thức trên với đẳng thức δ E = 0 , ta được:
Nβ

δϕ i (1) h(1) + ∑
α

j =1

)
Nα
1 − P12 α
1 β
α
ϕ j (2) ϕ j (2) + ∑ ϕ j (2)
ϕ j (2) ϕ iα (1) − ∑ Lαij δϕ iα (1)ϕ iα (1) = 0

r12
r
j =1
12
β

(2.32)
Vì ta có thể chọn ma trận Lij là chéo, kí hiệu Lαii = ε iα

∑ Lα ϕ α (1) = ∑ ε α δ
ij

i

i

j

ij

ϕ iα (1) = ε iα ϕ iα (1)

nên:

i

Nβ

δϕ i (1) h(1) + ∑
α

j =1

)
Nα
1 − P12 α
1 β
α
ϕ j ( 2) ϕ j ( 2) + ∑ ϕ j ( 2)
ϕ j (2) − ε iα ϕ iα (1) = 0
r12
r
j =1
12
β

(2.33)

Bằng cách tương tự, lấy biến phân δ E theo ϕiβ * (1) với chỉ số β , sau đó cho

δ E = 0 , ta được:
Nα

δϕ i (1) h(1) + ∑
β

j =1

)
Nβ

1 − P12 β
1 α
β
ϕ j ( 2) ϕ j ( 2) + ∑ ϕ j ( 2)
ϕ j (2) − ε iβ ϕ iβ (1) = 0
r12
r
j =1
12
α

(2.34)


18

Cuối cùng ta nhận được phương trình Hartree-Fock là hàm sóng tự hợp của hệ

điện tử cho cả hai trường hợp spin lên và spin xuống:
)
Nβ
Nα

1 − P12 α
1
α
ϕ j (2) + ∑ ϕ βj (2) ϕ βj (2)
h(1) + ∑ ϕ j (2)
r12
r12


j =1
j =1

 α
α α
ϕ i (1) = ε i ϕ i (1)


)
Nβ
Nα

1 − P12 β
1
β
ϕ j (2) + ∑ ϕ αj (2) ϕ αj (2)
h(1) + ∑ ϕ j (2)
r12
r12

j =1
j =1

 β
β β
ϕ i (1) = ε i ϕ i (1)


(2.35)

Hay
Nβ
Nα

 α
α
α
β
α α
h(1) + ∑ ( J j − K j ) + ∑ J j ϕ i (1) = ε i ϕ i (1)
j =1
j =1



(2.36)

Nβ
Nα


β
β
h
(
1
)
+
(

J
−
K
)
+
J αj ϕ iβ (1) = ε iβ ϕ iβ (1)

∑
∑
j
j
j =1
j =1



Trong đó:
r
dr2 α
J j ϕ i (1) = ∫ ϕ j (2)ϕ i (2)
ϕ i (1)
r12
α

α

β

α

J βj ϕ iβ (1) = ∫ ϕ αj (2)ϕ iβ (2)

r
dr2 β
ϕ i (1)
r12

(2.37)

là thừa số biểu diễn tương tác Coulomb trực tiếp
K αj ϕ iα (1) = ∫ ϕ βj (2)

r
r
dr2 ) α
dr
P12ϕ i (2)ϕ iα (1) = ∫ ϕ βj (2)ϕ iα (2) 2 ϕ iα (1)
r12
r12

(2.38)

r
r
dr2 ) β
dr2 β
β
α
β
K j ϕ i (1) = ∫ ϕ j (2)

P12ϕ i (2)ϕ i (1) = ∫ ϕ j (2)ϕ i (2)
ϕ i (1)
r12
r12
β

β

α

là thừa số biểu diễn tương tác Coulomb tráo đổi.
Chúng ta có thể viết lại phương trình dưới dạng phương trình ma trận:
F α ϕ iα (1) = ε iα ϕ iα (1)
β

β

β

β

F ϕ i (1) = ε i ϕ i (1)

Năng lượng của hệ:

i = 1,...., N α
i = 1,...., N β

(2.39)

19
N
r
r
r
r
E = ∑ ∫ ϕi* ( r1 ) h ( r1 ) ϕi ( r1 ) d ( r1 ) +
i =1

r 2 1
r 2 r
r
1 N
ϕ j ( r2 ) d ( r1 ) d ( r2 ) −
+ ∑ ∫ ϕi ( r1 )
2 i , j =1
r12

(2.40)

r
r 1
r
r
r
r
1 N
ϕi* ( r1 )ϕ j ( r1 ) ϕ *j ( r2 )ϕi ( r2 ) d ( r1 ) d ( r2 )
−

∑
2 i , j =1↑↑
r12

2.4. Hình thức luận Roothaan
Trong việc giải phương trình tự hợp nói trên ta sẽ gặp phải vấn đề khó khăn
trong việc tìm ϕi khi áp dụng cho nhiều điện tử vì số phương trình sẽ rất lớn. Để
giải quyết vấn đề này ta dùng hình thức luận Roothaan bằng cách khai triển ϕi dưới
dạng tổ hợp tuyến tính của một hệ hàm cơ sở đã biết trước χ v , với A là số hàm cơ
sở, ta có:
A

ϕ iα (1) = ∑ Cναi χν (1)
ν

A

ϕ iβ (1) = ∑ Cνβi χν (1)

(2.41)

ν

Trong trường hợp tổng quát ta có thể chọn hệ cơ sở không trực giao, khi đó ta
phải đưa vào tích phân phủ: χ µ (1) χν (1) = S µν .
Vì hệ hàm đủ χν đã được chọn trước là một lớp hàm cơ sở nào đó nên ta
muốn tìm ϕi ta chỉ việc tìm hệ số khai triển Cναi .
α
Cνα Fµνα = ε α ∑ Sνα C µν
∑

ν
ν
i

i

i

β
Cνβ Fµνβ = ε β ∑ Sνβ C µν
∑
ν
ν
i

i

i

(2.42)

Hay viết trong dạng phương trình ma trận
F α Cα = ε α S α Cα
F βCβ = ε β S βCβ

(2.43)

Hệ phương trình trên cho phép ta xác định các hệ số khai triển Cναi , Giải hệ
phương trình này bằng phương pháp chéo hóa ma trận F α và F β ta tính được các

20

hệ số Cναi . Khi biết các hệ số này thì có nghĩa là ta đã tìm được hàm sóng của hệ.
Các yếu tố ma trận xác định hàm sóng tự hợp là:
Fµαv = χ µ (1) F α (1) χ v (1) = χ µ (1) h(1) χ v (1)
1
χ v (1) χ λ (2)
r12

+ ∑ PλσT χ µ (1) χσ (2)
λ ,σ

−

Pλσα
∑
λσ

χ µ (1) χσ (2)

,

1
χ λ (1) χ v (2)
r12

Fµβv = χ µ (1) F β (1) χ v (1)
+ ∑ PλσT χ µ (1) χσ (2)
λ ,σ

−

Pλσβ
∑
λσ

(2.44)

χ µ (1) h(1) χ v (1)

=

1
χ v (1) χ λ (2)
r12

χ µ (1) χσ (2)

,

(2.45)

1
χ λ (1) χ v (2)
r12

với các ma trận mật độ:

PλσT = Pλσα + Pλσα ;

Nα

P = P = ∑ CλαiCσαi* ;
α
λσ

α
σλ

i =1
Nβ

(2.46)

Pλσβ = Pσλβ = ∑ CλβiCσβi*.
i =1

2.5. Năng lượng cơ bản của hệ
Thay các biểu thức khai triển hàm sóng (2.41) vào các công thức tính năng
lượng (2.27), sử dụng F α , F β từ (2.28), và các yếu tố ma trận Fνµα , Fνµβ từ (2.44),
(2.45), ta thu được biểu thức của năng lượng E biểu diễn qua các yếu tố ma
trận Fνµα , Fνµβ và ma trận mật độ như sau:


21

E=

1
PµνT hνµ + Pµνα Fνµα + Pµνβ Fνµβ }

{
∑
2 µ ,ν

E=

1
PµµT hµµ + Pµµα Fµµα + Pµµβ Fµµβ } +
{
∑
2 µ

+

(2.47)

1
PµνT hνµ + Pµνα Fνµα + Pµνβ Fνµβ }
{
∑
2 ν >µ

Công thức (2.47) là công thức tổng quát cho phép ta tính năng lượng cơ bản
của hệ với số điện tử tuỳ ý. Các tham số của bài toán như độ lớn của thế giam cầm,
bán kính của chấm lượng tử, các tham số của vật liệu như khối lượng hiệu dụng của
điện tử, hằng số điện môi…, được biểu diễn gián tiếp, không tường minh thông qua
các yếu tố ma trận. Bài toán xác định năng lượng của hệ nhiều điện tử được quy về
bài toán xác định các yếu tố ma trận mật độ PµµT và toán tử Fνµα , Fνµβ .
Chúng tôi dẫn ra đây hai công thức khác cũng cho phép tính năng lượng của
hệ. Chúng có ích cho việc kiểm tra tính đúng đắn của chương trình máy tính.

Chú ý rằng F = h + J − K , J = ∑ k J k , K = ∑ k K k ta có:
1
i h + (J − K ) i
2

N

E=∑
i =1

N

=∑ i
i =1

1
1
h + [h+( J − K )] i
2
2

1 N
1 N
E = ∑ i h + F i = ∑ ( i h i + εi )
2 i =1
2 i =1
Nα + N β

1
E=

2

∑
i =1

N

E=∑
i =1

E=

i =1

(2.48)

N
1
1
i h + (J − K ) i = ∑ i F − (J − K ) i
2
2
i =1

Nα + N β

∑

1 nbf T
ε i + ∑ Pµv hv ,µ

2 v ,µ

1 nbf
εi − ∑ < i J j − K j i >
2 i , j =1

(2.49)

Ta có thể kiểm tra lại sự chuẩn hoá của các hàm sóng tự hợp:


22

ϕiα ,β (1) ϕiα ,β (1) =

nbf

Cνα β Cµα β
∑
ν µ
,

i

,
i

χν (1) χν (1) =

,

nbf

=

(2.50)

Cνα β Cµα β Sνµ = 1
∑
ν µ
,

i

,
i

,

2.6. Năng lượng thêm điện tử
Do tương tác đẩy Coulomb, năng lượng của hệ với (N + 1) điện tử trong
chấm lượng tử là lớn hơn năng lượng của một chấm lượng tử với N điện tử. Do
vậy, việc thêm một điện tử đòi hỏi phải cung cấp thêm năng lượng. Thế hoá được
định nghĩa như là hiệu năng lượng trạng thái cơ bản của hệ với N điện tử và năng
lượng trạng thái cơ bản của hệ (N-1) điện tử. Năng lượng thêm (addition energy)

được xác định bởi công thức:
∆µ ( N ) = µ ( N +1) − µ ( N ) = E ( N + 1) − 2 E ( N ) + E ( N −1)
Trong phần tính toán, sử dụng phương pháp Hartree- Fock chúng tôi sẽ tính
năng lượng thêm vào và đánh giá sự phù hợp của kết quả với lý thuyết về trật tự lấp

đầy của các điện tử trong chấm lượng tử.


23

Chương 3
HẤP THỤ ÁNH SÁNG
TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ NHIỀU ĐIỆN TỬ

Một trong những điểm thu hút các nhà vật lý là nghiên cứu sự ảnh hưởng của
tương tác giữa điện tử và điện tử lên tính chất quang học của chấm lượng tử. R.J.
Warburton và các cộng sự đã thực hiện thí nghiệm xác định phổ hấp thụ ánh sáng
trong chấm lượng tử InAs [3]. Kết quả cho thấy rằng có sự ảnh hưởng của số điện
tử lên sự chuyển vùng trạng thái, và hiệu ứng dịch chuyển đỏ (red shift). Để giải
thích phổ hấp thụ đo được này và cho ta cái nhìn rõ ràng về hiệu ứng dịch chuyển
đỏ quan sát được, người ta phải sử dụng một mô hình thích hợp tương ứng với thực
nghiệm. Lý thuyết nhiễu loạn đã sử dụng cho tương tác điện tử - điện tử và điện tử
- lỗ trống để giải thích thí nghiệm này. Thuận lợi của phương pháp này là đơn giản
dễ áp dụng cho các trường hợp thế giam gầm mạnh, và cho ta kết quả khá tốt so với
thực nghiệm. Tuy nhiên lý thuyết này không đưa vào số hạng trạng thái đơn điện tử
thông qua tương tác Coulomb và bỏ qua cấu trúc điện tử. Bên cạnh đó, lý thuyết
này cũng không thể áp dụng trong trường hợp vùng giam cầm yếu.
Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng lý thuyết Hartree-Fock để nghiên cứu
cấu trúc điện tử và hiệu ứng hấp thụ ánh sáng hệ N điện tử và 1 exciton trong chấm
lượng tử. Ngoài ra, chúng tôi cũng khảo sát cho một trường hợp mới exciton tích
điện dương trong chấm lượng tử.
Chương này chúng tôi trình bày sơ lược về lý thuyết hấp thụ ánh sáng trong
chấm lượng tử và công thức vàng Fermi để xác định phổ hấp thụ ánh sáng của
chấm lượng tử nhiều điện tử.

3.1. Chấm lượng tử N điện tử và 1 exciton
Bây giờ ta sẽ xét bài toán hệ có N điện tử và 1 exciton trong chấm lượng tử hai
chiều parabolic, bài toán này tương đươcng với hệ N+1 điện tử và 1 lỗ trống. Sử
dụng phương pháp gần đúng Hartree-Fock, hàm sóng của hệ N+1 điện tử và 1 lỗ