Phát triển năng lực giải toán cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học giải phương trình lượng giác – chương trình nâng cao luận văn ths lý luận và phương pháp dạy học (bộ môn toán)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÊ QUANG CHUNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRUNG
HỌC PHỔ THƠNG THƠNG QUA DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC LỚP 11 – CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MƠN TỐN)
Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.Nguyễn Nhụy

HÀ NỘI – 2013

1


LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu và thực hiện, tác giả đã hoàn thành đề tài nghiên
cứu của mình. Để có được kết quả này, ngồi sự nỗ lực, tìm tịi, học hỏi, nghiên cứu
của bản thân, tác giả luôn nhận được sự ủng hộ, giúp đỡ nhiệt tình từ các thầy cơ, bạn
bè và đồng nghiệp.
Tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia
Hà Nội đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi được học tập nghiên cứu trong suốt khóa
học. Tơi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong nhà trường đã truyền thụ cho tôi
vốn kiến thức vô cùng quý báu để tôi có thể hồn thành tốt đề tài và làm giàu thêm

hành trang kiến thức trên con đường sự nghiệp của mình.
Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Nhụy người đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn tơi trong suốt q trình thực hiện đề tài này.
Tác cũng chân thành cảm ơn Ban giám hiệu cùng tập thể giáo viên và học
sinh trường THPT Văn Giang – Hưng Yên đã tạo điều kiện giúp đỡ tơi trong q
trình thực nghiệm sư phạm.
Mặc dù có nhiều cố gắng, song Luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tác
giả mong được sự lượng thứ và rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý
báu của thầy cô và các bạn.
Hà Nội, ngày 09 tháng 12 năm 2013
Tác giả

Lê Quang Chung

2


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
ĐKXĐ:
Đpcm:
Nxb:
Pt:
SGK:
THPT:
tr:

Điều kiện xác định
Điều phải chứng minh
Nhà xuất bản
Phương trình
Sách giáo khoa

Trung học Phổ thông
Trang

3


MỤC LỤC
Lời cảm ơn ......................................................................................................
Danh mục các ký hiệu, chữ cái viết tắt ...........................................................
Mục lục ...........................................................................................................
Danh mục các bảng .........................................................................................
MỞ ĐẦU

Trang
i
ii
iii
vii
1

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.........................................

5

1.1. Xung quanh khái niệm năng lực giải toán ...............................................

5

1.1.1. Nguồn gốc của năng lực ........................................................................

5

1.1.2. Năng lực ................................................................................................

5

1.1.2.1. Khái niệm về năng lực .......................................................................

5

1.1.2.2. Năng lực toán học ..............................................................................

6

1.1.2.3. Năng lực giải tốn ..............................................................................

7

1.2. Ý nghĩa, vai trị và chức năng của hệ thống bài tập .................................

9

1.2.1. Vị trí vai trị của bài tập toán .................................................................

9

1.2.2. Ý nghĩa ..................................................................................................

10

1.2.3. Chức năng .............................................................................................

10

1.3. Nội dung dạy học chủ đề Phương trình lượng giác trong mơn Tốn –
(Chương trình nâng cao) ở trường THPT .......................................................
1.3.1. Nội dung cụ thể của chủ đề Phương trình lượng giác trong chương

11

trình tốn 11 – Chương trình nâng cao ...........................................................
1.3.2. Mục tiêu của dạy học chủ đề Phương trình lượng giác – Chương trình

11

nâng cao lớp 11................................................................................................
1.3.3. Những chú ý khi dạy học giải Phương trình lượng giác ở trường

11

THPT ...............................................................................................................
1.4. Dạy học giải Phương trình lượng giác theo tư tưởng G.Polya .................

12

1.5. Tìm nhiều cách giải cho một bài Tốn .....................................................

15

12

1.6. Những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải Phương trình lượng
giác ..................................................................................................................
Kết luận Chương 1 ..........................................................................................

17
24

Chương 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC VÀ NHỮNG KẾT LUẬN SƯ PHẠM NHẰM PHÁT
TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH ................................
2.1. Định hướng phân lớp và soạn thảo bài tập toán học chủ đề “Phương

4

25
25


tình lượng giác” ...............................................................................................
2.1.1. Cơ sở phân lớp ......................................................................................

25

2.1.2. Soạn thảo hệ thống bài tập nội chủ đề “Phương trình lượng giác”
Toán 11 ..........................................................................................................
2.1.2.1. Nguyên tắc lựa chọn bài tập ...............................................................

25

2.1.2.2. Nguyên tắc sử dụng hệ thống bài tập .................................................

25

2.2. Hệ thống bài tập chủ đề “Phương trình lượng giác” Tốn 11 ................

26
26

2.2.1. Phương trình lượng giác cơ bản ............................................................
sin x = a ( a ∈ ¡ )
2.2.1.1. Phương trình
..........................................................
cos x = a ( a ∈¡ )
2.2.1.2. Phương trình
.........................................................
tan x = a ( a ∈ ¡ )
2.2.1.3. Phương trình
.......................................................
cot x = a ( a ∈ ¡ )
2.2.1.4. Phương trình
........................................................
2.2.2. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản ....................................
2.2.2.1. Phương trình chứa một hàm số lượng giác của cùng một cung .........
2.2.2.2. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x .....................................
2.2.2.3. Phương trình đẳng cấp theo sin và cosin của cùng một cung .....
2.2.2.4. Phương trình đối xứng và gần đối xứng ...........................................
2.2.3. Sử dụng phương pháp biến đổi lượng giác giải phương trình lượng

25

26
28
30
31
32
32
37
44
50

giác ..................................................................................................................
2.2.3.1. Sử dụng phương pháp biến đổi lượng giác đưa phương trình ban

59

đầu về phương trình lượng giác đơn giản .......................................................
2.2.3.2. Sử dụng phương pháp biến đổi lượng giác đưa phương trình ban

65

đầu về phương trình dạng tích .........................................................................
2.2.4. Sử dụng phép biến đổi đại số để giải phương trình lượng giác ............
2.2.4.1. Biến đổi phương trình về phương trình tích nhờ hằng đẳng thức

69
72

u 2 − v2 = ( u − v ) ( u + v )

.....................................................................................
2.2.4.2. Biến đổi phương trình về phương trình tích nhờ hằng đẳng thức

72

au + bv = ab + uv ⇔ (u − b)(v − a) = 0 .............................................................
2.2.4.3. Biến đổi phương trình về phương trình tích nhờ định lý Viet ..........
2.2.5. Sử dụng phương pháp so sánh giải Phương trình lượng giác .............
2.2.5.1. Phương pháp tổng hai số không âm ..................................................
2.2.5.2. Phương pháp phản chứng ...................................................................
2.2.5.3. Phương pháp đối lập .........................................................................
2.2.6. Phương pháp xét biến thiên hàm số ......................................................
2.2.7. Ứng dụng phương trình lượng giác vào giải phương trình và hệ

75
77
79
79
80
80
82

phương trình đại số ........................................................................................
2.3. Những kết luận sư phạm về phát triển năng lực giải toán cho học sinh

83
85

5

thơng qua giải bài tập về phương trình lượng giác ........................................
2.3.1. Cách lựa chọn sử dụng các bài tập của các hệ thống trong q trình
dạy học ...........................................................................................................
2.3.2. Vai trị của giáo viên ............................................................................
2.3.2.1. Vai trò hướng dẫn, đạo diễn của thầy, cơ giáo ...................................
2.3.2.2. Vai trị khởi xướng, thiết kế và tổ chức của thầy, cô giáo .................
2.3.2.3. Vai trị cố vấn, trọng tài khoa học của thầy, cơ giáo ..........................
2.3.2.4. Vai trò người kiểm tra, đánh giá của thầy cơ giáo .............................
2.4.3. Vai trị của người học ............................................................................
2.3.3.1. Người học với vai trò là chủ thể của hoạt động học, tự mình tìm ra

85
86
86
87
89
89
89

kiến thức cùng với cách tìm ra kiến thức bằng hoạt động của chính mình .....
2.3.3.2. Người học tự thể hiện mình trong mối giao lưu, hợp tác với bạn và

89

học bạn ...........................................................................................................
2.3.3.3. Vai trò của người học trong mối quan hệ với thầy, cô ......................
2.3.3.4. Vai trò tự kiểm tra đánh giá và điều chỉnh .........................................
Kết luận Chương 2 ..........................................................................................
Chương 3 : TỔNG KẾT KINH NGHIỆM VÀ THỰC NGHIỆM SƯ

90
91
91
93

PHẠM ............................................................................................................
3.1. Tổng kết kinh nghiệm ............................................................................
3.1.1. Q trình tích lũy để xây dựng hệ thống bài tập ...................................
3.1.2. Q trình xây dựng và hồn thiện hệ thống bài tập ..............................
3.1.3. Hiệu quả thực tế của việc phát triển năng lực giải toán cho học sinh

94
94
94
96

thơng qua hệ thơng bài tập Phương trình lượng giác .....................................
3.2. Thực nghiệm sư phạm ..............................................................................
3.2.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm .......................................
3.2.2. Đối tượng và địa bàn thực nghiệm ......................................................
3.2.3. Kế hoạch thực nghiệm ..........................................................................
3.2.3.1. Thời gian thực nghiệm .......................................................................
3.2.3.2. Nội dung và tổ chức thực nghiệm ......................................................
3.2.4. Kết quả dạy thực nghiệm .....................................................................
Kết luận Chương 3 .........................................................................................
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ...............................................................
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...........................................................................

97

98
98
98
98
98
99
99
103
104
106

6


DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1. Kết quả kiểm tra đề số 1 .............................................................
Bảng 3.2. Kết quả kiểm tra đề số 2 .............................................................

MỞ ĐẦU

7

Trang
101
101


1. Lý do chọn đề tài
Đất nước ta đang trên con đường cơng nghiệp hóa hiện đại hóa , để đạt được

thành cơng thì yếu tố con người là quyết định. Do đó đất nước đang rất cần những
người lao động tự chủ sáng tạo có năng lực giải quyết các vấn đề thường gặp qua đó
góp phần thực hiện thắng lợi các mục tiêu đề ra.
Luật Giáo dục của nước Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã ghi
“Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của
người học, bồi dưỡng năng lực tự học, khả năng thực hành, lịng say mê học tập và
ý chí vươn lên”. (Chương I- điều 5)
Với mục tiêu đó, trong những năm gần đây ngành giáo dục đã và đang tích cực
tiến hành đổi mới nhằm nâng cao chất lượng dạy và học. Một trong những khâu
then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học.
Trong việc đổi mới phương pháp dạy học mơn Tốn ở trường Trung học Phổ
thông, việc phát triển năng lực giải tốn cho học học sinh có vai trị quan trọng vì đó
là một trong các mục tiêu dạy học ở phổ thơng. Việc giải tốn là hình thức chủ yếu
của hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo. Hoạt động
giải tốn là điều kiện để thực hiện các mục đích dạy học tốn ở trường phổ thơng.
Phát triển năng lực giải tốn cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sáng
tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú học tập cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ
năng vận dụng kiến thức đã học vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải
quyết vấn đề, có năng lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn
phương pháp tự học tối ưu.
Về nội dung mơn Tốn, trong hệ thống kiến thức đưa vào giảng dạy cho học
sinh Trung học Phổ thông, kiến thức về lượng giác nói chung và phương trình lượng
giác nói riêng là một nhóm kiến thức cơ bản và quan trọng, điều đó đã và đang
được thể hiện qua các kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng,... . Hệ thống bài tập về
phương trình lượng giác rất phong phú và đa dạng, trong các kỳ thi chúng ta
thường bắt gặp các phương trình lượng giác và những bài phương trình lượng giác
này đã gây khơng ít khó khăn đối với nhiều học sinh vì có nhiều cơng thức biến đổi
lượng giác nên học sinh không biết sử dụng cơng thức nào để biến đổi phương trình
đã cho. Tuy nhiên, nếu học sinh hệ thống được các dạng bài tập phương trình lượng

8


giác và đề ra phương pháp giải cho từng lớp phương trình thì việc tìm ra lời giải
của bài tốn sẽ trở nên đơn giản, khi đó học sinh có hứng thú học tập, u thích say
mê tìm tịi khám phá mơn học.
Năng lực giải tốn chỉ có thể được hình thành và phát triển trong q trình giải
tốn của học sinh. Giải bài tập toán là nội dung quan trọng trong học tập, do đó việc
tăng cường cho học sinh vận dụng kiến thức vào nhiều tình huống khác nhau thơng
qua hệ thống bài tập có tác dụng khắc sâu kiến thức, rèn luyện kỹ năng, vừa có tác
dụng rèn luyện cho học sinh năng lực tư duy, năng lực phân tích tổng hợp, năng lực
khái qt hóa, năng lực suy luận, năng lực tư duy lôgic, năng lực rút gọn quá trình
suy luận, năng lực tư duy linh hoạt, năng lực tìm ra lời giải hay, năng lực tư duy
thuận nghịch, trí nhớ tốn học, hình thành và giải quyết các vấn đề tốn học trong
các tình huống hồn cảnh khác nhau,... Thơng qua việc giải các bài tập tốn giúp
học sinh hình thành thế giới quan duy vật biện chứng góp phần chuẩn bị có hiệu quả
cho việc vận dụng kiến thức vào thực tiễn cuộc sống của các em sau này.
Sự say mê khoa học luôn bắt nguồn từ sự hiểu biết, phát triển năng lực giải toán
và giúp học sinh hiểu biết hơn về Phương trình lượng giác là góp phần làm cho các
em có sự say mê với mơn Tốn nói riêng và khoa học nói chung.
Góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới phương pháp
dạy học mơn Tốn trong nhà trường phổ thơng chúng tơi chọn đề tài: “Phát triển
năng lực giải Toán cho học sinh Trung học Phổ thơng thơng qua dạy học giải
Phương trình lượng giác lớp 11- Chương trình nâng cao ”.
2. Lịch sử nghiên cứu
Qua tìm hiểu tơi thấy có một số đề tài nghiên cứu về rèn luyện năng lực giải
toán cho học sinh, và một số đề tài nghiên cứu về xây dựng hệ thống bài tập chủ đề
phương trình lượng giác nhưng chưa có cơng trình nào nghiên cứu về xây dựng hệ
thống bài tập và đề xướng các hướng giải cho từng loại bài tập, đồng thời đề xuất
các biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh.

3. Mục tiêu nghiên cứu
Phát triển năng lực giải toán cho học sinh Trung học Phổ thơng thơng qua dạy
học giải Phương trình lượng giác.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu

9


Nghiên cứu một số vấn đề về giải toán, năng lực và năng lực giải toán.
Xây dựng hệ thống bài tập về phương trình lượng giác nhằm phát triển năng lực
giải toán cho học sinh.
Thực nghiệm sư phạm.
5. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các dạng bài tốn giải Phương trình lượng giác - lớp 11 Trung học
Phổ thơng (Chương trình nâng cao).
6. Mẫu khảo sát
Học sinh lớp 11D và 11E (học chương trình Tốn nâng cao) của trường Trung
học Phổ thông Văn Giang – Hưng Yên, năm học 2013 – 2014.
7. Vấn đề nghiên cứu
Làm thế nào để phát triển năng lực giải tốn cho học sinh thơng qua dạy học chủ
đề Phương trình lượng giác.
8. Giả thuyết nghiên cứu
Trong dạy học Phương trình lượng giác, nếu ta xây dựng được hệ thống bài tập
và đề xướng các hướng giải cho từng loại bài tập, đồng thời đề xuất các biện pháp
sư phạm phù hợp sẽ phát triển được năng lực giải toán cho học sinh, giúp học sinh
khắc sâu kiến thức đã học, linh hoạt và nhạy bén hơn trong việc giải phương trình
lượng giác, phát huy tính tích cực trong tiếp thu kiến thức mới, góp phần nâng cao
chất lượng dạy và học trong trường Trung học Phổ thông.
9. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu sách giáo khoa, các giáo trình phương pháp giảng dạy tốn, các sách
tham khảo, các đề thi Đại học – Cao đẳng trong những năm gần đây, luận văn, luận
án có liên quan đến chủ đề Phương trình lượng giác.
Nghiên cứu thực tiễn
Tổng kết thực tiễn dạy học, thực nghiệm sư phạm.
10. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo nội dung chính
của luận văn được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

10


Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập Phương trình lượng giác và những kết luận
sư phạm nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh
Chương 3: Tổng kết kinh nghiệm và Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

11


CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Xung quanh khái niệm năng lực giải toán
1.1.1. Nguồn gốc của năng lực
Cuộc tranh luận gay gắt và kéo dài từ cuối thế kỷ 19 đến nay về bản chất và
nguồn gốc của năng lực, tài năng vẫn chưa kết thúc. Hiện nay đã có xu hướng thống
nhất trên một số quan điểm cơ bản về lý luận cũng như thực tiễn:
Thứ nhất: Những yếu tố bẩm sinh di truyền là điều kiện cần thiết ban đầu
cho sự phát triển năng lực. Đó là điều kiện cần nhưng chưa đủ (động vật bậc cao

sống với người hàng ngàn năm vẫn khơng có năng lực như con người vì chúng
khơng có các tư chất bẩm sinh di truyền là tiền đề cho sự phát triển năng lực).
Thứ hai: Năng lực của con người có nguồn gốc xã hội, lịch sử. Muốn một
người của thế hệ sau được phát triển trong thế giới tự nhiên, xã hội đã được các thế hệ
trước cải tạo, xây dựng và để lại các dấu ấn đó trong mơi trường văn hóa xã hội. Con
người khi lọt lịng mẹ đã có sẵn các tố chất nhất định cho sự phát triển các năng lực
tương ứng, nhưng nếu khơng có mơi trường xã hội thì cũng khơng phát triển được...
Thứ ba: Năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và sản phẩm của hoạt động.
Sống trong môi trường xã hội do các thế hệ trước tọa ra và chịu sự tác động của nó,
trẻ em và người lớn thế hệ sau khơng chỉ đơn giản sử dụng hay thích ứng với các
thàn tựu của các thế hệ trước để lại, mà còn chiếm lĩnh chúng và quan trọng hơn là
cải tạo chúng để không chỉ đạt được các kết quả “ vật chât ” mà còn tạo ra tiền đề cho
hoạt động tiếp theo.
Tóm lại, ngày nay khoa học cho rằng năng lực, tài năng là hiện tượng có bản
chất phức tạp, xã hội, các tố chất và hoạt động của con người tương tác qua lại với
nhau để tạo ra các năng lực, tài năng. Vậy đào tạo có hiệu quả nhất là đưa học sinh
vào các dạng hoạt động thích hợp.
1.1.2. Năng lực
1.1.2.1. Khái niệm về năng lực
Theo nhà tâm lí học Nga nổi tiếng V.A.Cruchetxki thì “ Năng lực được hiểu
như là : Một phức hợp các đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đáp ứng những
yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành cơng hoạt động
đó”.[1, tr. 15]

12


Thơng thường, một người được coi là có năng lực nếu người đó nắm vững tri
thức, kỹ năng, kỹ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết quả tốt hơn,
cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cùng tiến hành hoạt động

đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tương đương .
Người ta thường phân biệt ba trình độ của năng lực:
- Năng lực là tổng hòa các kỹ năng kỹ xảo.
- Tài năng là một tổ hợp các năng lực tạo nên tiền đề thuận lợi cho hoạt động
có kết quả cao, những thành tích đạt được này vẫn nằm trong khuôn khổ của các
thành tựu đạt được của xã hội loài người.
- Thiên tài là một tổ hợp đặc biệt các năng lực, nó cho phép đạt được những
thành tựu sáng tạo mà có ý nghĩa lịch sử .
Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong hoạt động nhất định của
con người. Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết
những yêu cầu đặt ra.
1.1.2.2. Năng lực tốn học
Theo V.A.Cruchetxki thì khái niệm năng lực tốn học sẽ được giải thích trên
hai khía cạnh :
- Các năng lực sáng tạo (khoa học) – các năng lực hoạt động toán học tạo ra
được các kết quả, thành tựu mới khách quan và quí giá.
- Các năng lực học tập giáo trình tốn phổ thơng, lĩnh hội nhanh chóng và có
kết quả cao các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng.
Như vậy, năng lực tốn học là các đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là các
hoạt động trí tuệ) đáp ứng được các yêu cầu của hoạt động học toán và tạo điều kiện
lĩnh hội các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ
dàng và sâu sắc trong những điều kiện như nhau.
Cũng theo V.A.Cruchetxki thì cấu trúc năng lực tốn học của học sinh có thể
tóm tắt thành 9 yếu tố chủ yếu sau :
- Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu toán học, năng lực nắm cấu trúc
của bài toán.
- Năng lực tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và không gian,
hệ thống ký kiệu số và dấu, năng lực tư duy bằng các ký hiệu toán học.

13

- Năng lực khái quát hóa nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng quan hệ toán
học và các phép tốn.
- Năng lực rút gọn quy trình suy luận tốn học và hệ thống các phép toán
tương ứng, năng lực tư duy bằng các cấu trúc được rút gọn.
- Tính linh hoạt của các quá trình tư duy trong hoạt động tốn học.
- Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm, hợp lí của lời
giải bài tốn.
- Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quy trình tư
duy, năng lực chuyển từ tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy đảo – trong
suy luận tốn học.
- Trí nhớ tốn học, tức là trí nhớ khái qt về các quan hệ tốn học, đặc điểm
về loại, các sơ đồ suy luận và chứng minh, các phương pháp giải toán và các nguyên
tắc đường lối giải tốn.
- Khuynh hướng tốn học của trí tuệ.
1.1.2.3. Năng lực giải toán
Năng lực giải bài tập toán học là một thể hiện của năng lực toán học. Đó là
đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giải
toán và là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt hoạt động giải tốn đó. Năng lực giải
bài tập tốn học là khả năng vận dụng những kiến thức toán học đã được lựa chọn
vào hoạt động giải bài tập toán học.
Tri thức tốn học khơng phải được cho sẵn mà phải được kiến tạo, xây dựng
bắt đầu từ hoạt động giải tốn. Học sinh tự mình xây dựng các kiến thức tốn học
thơng qua hoạt động giải các bài tập tốn học. Q trình học sinh xây dựng và
chiếm lĩnh kiến thức tốn học, hình thành nên năng lực giải bài tập tốn học của
mình.
Theo Nguyễn Bá Kim : “Bài tập toán học là giá mang hoạt động học tập của
học sinh ”. Giải bài tập tốn là mục đích của việc dạy học tốn. Bài tập cịn là
phương tiện để giáo viên cài đặt các nội dung cần dạy hoặc cần bổ sung cho phần lý

thuyết. Nếu khai thác tốt hệ thống bài tập sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc phát
triển năng lực giải toán của học sinh. Điều quan trọng trong dạy học giải bài tập
toán cho học sinh là hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài tập, thể hiện qua cách suy

14


nghĩ, các hoạt động trí tuệ: tìm tịi, dự đốn, quy lạ về quen, khái quát hóa, tương tự
hóa,...Mặt khác, giáo viên cần xây dựng một số tình huống buộc học sinh phải sử
dụng một số quy tắc, phương pháp giải toán đã học. Các thành phần của năng lực
giải tốn gồm: năng lực phân tích tổng hợp, năng lực khái quát hóa, năng lực suy
luận logic, năng lực rút gọn quá trình suy luận, năng lực tư duy linh hoạt, năng lực
tìm ra lời giải hay, trí nhớ tốn học,...Năng lực giải toán của học sinh sẽ phát triển
dưới tác động của các biện pháp “hoạt động hóa” người học.
Năng lực giải bài tập toán học của học sinh được thể hiện qua các dấu hiệu
sau:
Thứ nhất, biết nhìn nhận, hiểu bài toán.
Thứ hai, biết định hướng giải bài tốn một cách rõ ràng.
Thứ ba, biết trình bày lời giải bài tốn một cách chính xác.
Thứ tư, biết phân tích lời giải bài tốn.
Để có được năng lực giải bài tập toán học, học sinh cần được rèn luyện về các
khả năng tư duy sau: tư duy phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, tổng quát hóa, tư
duy thuật giải, tư duy lo gic, tư duy phê phán, tư duy hội thoại có phê phán, tư duy
hàm, tư duy sáng tạo,...Trong giải bài tập tốn học, các loại hình tư duy đó được rèn
luyện qua bốn bước giải tốn của G.Polya: “Tìm hiểu bài tốn, tìm hướng giải bài
tốn, trình bày lời giải bài tốn, nghiên cứu sâu lời giải”.
Bàn về năng lực, cũng có ý kiến cho rằng: Năng lực là do thượng đế ban cho.
Song nhiều ý kiến cho rằng đó chỉ là phần nhỏ, cịn phần nhiều là do sự tích lũy, sự
bồi đắp, sự học hỏi, sự rèn luyện mà có. Q trình học tập học sinh sẽ được bổ sung
kiến thức, được trang bị các phương pháp từ đó năng lực giải tốn được tăng lên. Một

phần do học sinh có ý thức tự tăng thêm năng lực cho mình, một phần do các thầy cơ
giáo hướng dẫn và bồi dưỡng. Chính vì vậy chúng tôi rất đề cao các bài ôn tập, bởi
chúng đã góp phần khơng nhỏ trong việc phát triển năng lực giải tốn cho học sinh.
Tóm lại, để phát triển năng lực giải toán cho học sinh, phương pháp tốt nhất
là đưa ra một hệ thống bài tập nhằm giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư
duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn.
Trong phạm vi Luận văn chúng tôi xây dựng hệ thống bài tập về Phương
trình lượng giác theo các dạng và theo các phương pháp giải khác nhau nhằm phát

15


triển năng lực giải toán cho học sinh.
1.2. Ý nghĩa, vai trò và chức năng của hệ thống bài tập
G.Polya cho rằng: “ Trong tốn học, nắm vững bộ mơn toán quan trọng hơn
rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách
tra cứu thích hợp. Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các trường
chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nhất định, mà
quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến mức độ nào đó nắm vững mơn học.
Vậy thế nào là nắm vững mơn tốn? Đó là biết giải tốn!” [13, tr. 82] Trên cơ sở đó
ta có thể thấy rõ hơn vị trí, vai trị và ý nghĩa của bài tập tốn trong trường THPT .
1.2.1. Vị trí và vai trị của bài tập tốn
Trong dạy học tốn ở trường THPT, bài tập tốn có vai trị vơ cùng quan
trọng, theo Nguyễn Bá Kim: “ Ở trường phổ thơng, dạy tốn là dạy hoạt động tốn
học. Đối với học sinh có thể xem giải tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động học
toán. Các bài tập toán ở trường phổ thơng là một phương tiện rất có hiệu quả và
không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững những tri thức, phát
triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng tốn học vào thực tiễn. Hoạt
động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học tốn ở
trường phổ thơng. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải bài tập tốn có vai

trị quyết định đối với chất lượng dạy học toán”. [6, tr. 201]
Cũng theo Nguyễn Bá Kim: “ Bài tập toán có vai trị quan trọng trong mơn
tốn. Điều căn bản là bài tập có vai trị mang hoạt động của học sinh. Thông qua
giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận
dạng và thể hiện định nghĩa, đinh lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động
toán học học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong tốn học, những
hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngơn ngữ”. [6, tr. 388]
Như vậy bài tập toán ở trường phổ thơng có vị trí, vai trị quan trọng trong
hoạt động dạy, học tốn ở trường THPT. Vì thế, cần lựa chọn các bài tập sao cho
phù hợp với đối tượng và năng lực của học sinh, như thế mới phát huy được năng
lực giải toán của học sinh.

16


1.2.2. Ý nghĩa
Ở trường phổ thơng, dạy tốn là dạy hoạt động tốn học. Đối với học sinh có
thể xem việc giải tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động tốn học. Việc giải tốn
có nhiều ý nghĩa:
Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức và rèn
luyện kỹ năng. Trong nhiều trường hợp, giải tốn là một hình thức tốt để dẫn dắt
học sinh tự mình tìm kiến thức mới.
Đó là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào những vấn đề cụ
thể, vào thực tiễn, vào vấn đề mới.
Đó là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm
tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học.
Việc giải tốn có tác dụng lớn gây hứng thú học tập của học sinh, phát triển
trí tuệ và giáo dục, rèn luyện người học sinh về nhiều mặt.
Việc giải bài tốn cụ thể khơng chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào mà
thường bao hàm những ý nghĩa đã nêu.

1.2.3. Chức năng
Chức năng dạy học: Giúp học sinh củng cố những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở
những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học, làm sáng tỏ và khắc sâu những
vấn đề lý thuyết. Thu gọn, mở rộng bổ sung cho lý thuyết trên cơ sở thường xuyên
hệ thống hóa kiến thức mà nhấn mạnh phần trọng tâm của lý thuyết. Đặc biệt hệ
thống bài tập còn mang tác dụng giáo dục kỹ thuật tổng hợp thể hiện qua việc giúp
học sinh: Thói quen đặt vấn đề một cách hợp lí, ngắn gọn, tiết kiệm thời gian và
phương pháp tư duy; Rèn luyện kỹ năng tính tốn, sử dụng đồ thị, bảng biến thiên
và cuối cùng là rèn luyện kỹ năng thực hành tốn học.
Chức năng giáo dục: Giúp học sinh hình thành thế giới quan duy vật biện
chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới, rèn luyện cho học
sinh đức tính kiên nhẫn, chính xác, chu đáo trong học tập, từng bước nâng cao hứng
thú học tập mơn tốn, phát triển trí thơng minh sáng tạo.
Chức năng phát triển: Giúp học sinh ngày càng nâng cao khả năng độc lập
suy nghĩ, rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, suy diễn, quy nạp,

17


tương tự... Thông thạo một số phương pháp suy luận toán học, biết phát hiện và giải
quyết vấn đề một cách thông minh sáng tạo.
Chức năng kiểm tra: Thông qua hệ thống bài tập, giáo viên có thể kiểm tra,
đánh giá kết quả học tập của học sinh trong quá trình dạy học. Kiểm tra, đánh giá
nhằm cung cấp cho giáo viên và học sinh những thông tin về kết quả dạy và học: Về
kiến thức, kỹ năng, năng lực giải toán... và hiệu quả dạy học của giáo viên.
1.3. Nội dung dạy học chủ đề Phương trình lượng giác trong mơn Tốn –
(Chương trình nâng cao) ở trường THPT
1.3.1. Nội dung cụ thể của chủ đề Phương trình lượng giác trong chương trình
Tốn 11 – Chương trình nâng cao
Chủ đề Phương trình lượng giác được giảng dạy trong 15 tiết của chương 1Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác. Có thể nói rằng chủ đề có yêu cầu

nhẹ nhàng hơn so với trước đây, nhưng nội dung cơ bản khơng khác mấy. Điều đó
được thể hiện cụ thể như sau:
SGK khơng xét các phương trình lượng giác có chứa tham số. Điều này làm
cho yêu cầu kiến thức và kỹ năng giải bài tập giảm nhẹ rất nhiều. Vì đa số các bài
tốn loại này thường dẫn đến phần biện luận khá phức tạp.
SGK cũng không xét các phương trình cần đặt điều kiện liên quan đến bất
phương trình lương giác, chẳng hạn như phương trình lượng giác có hàm số lượng
giác trong dấu căn bậc hai.
SGK chỉ yêu cầu học sinh hiểu, nhớ các phương pháp để vận dụng giải được
các phương trình nêu trong bài học và những phương trình quy về các dạng đó.
Khơng xét các phương trình yêu cầu giải quá phức tạp.
1.3.2. Mục tiêu của dạy học chủ đề Phương trình lượng giác – Chương trình
nâng cao lớp 11
Về kiến thức: Học sinh cần
Hiểu cách tìm nghiệm và nắm vững cơng thức nghiệm của các phương trình
lượng giác cơ bản.
Hiểu rõ và nắm vững dạng và phương pháp giải một số phương trình lượng
giác đơn giản.
Nắm vững cách giải một số phương trình lượng giác quy về các dạng đơn
giản (có thể đòi hỏi vài điều kiện đơn giản).

18


Về kỹ năng: Giúp học sinh
Giải thành thạo các phương trình lượng giác cơ bản, biết biểu diễn nghiệm
của phương trình lượng giác cơ bản trên đường trịn lượng giác.
Nhận biết và giải thành thạo các phương trình lượng giác đơn giản.
Biết sử dụng các phương pháp biến đổi để giải phương trình lượng giác quy
về dạng đơn giản.

1.3.3. Những chú ý khi dạy học giải Phương trình lượng giác ở trường THPT
Đây là lần đầu tiên học sinh làm quen với phương trình trình lượng giác. Khi
dạy học sinh giáo viên cần lưu ý một số điểm sau:
Cách viết nghiệm của phương trình và biểu diễn nó trên đường trịn lượng giác.
Muốn có kỹ năng giải phương trình lượng giác học sinh phải có kỹ năng biến
đổi lượng giác.
Phần lớn các sai lầm mà học sinh mắc phải trong nội dung này là do đặt
ĐKXĐ sai hoặc thiếu và khi so với ĐKXĐ lại so một cách khơng chính xác.
1.4. Dạy học giải Phương trình lượng giác theo tư tưởng G.Polya
Trong mơn tốn ở trường THPT có nhiều bài tập tốn giải bằng thuật tốn,
cũng có nhiều bài tốn chưa có hoặc khơng có thuật giải và cũng khơng có một
thuật giải tổng quát nào để giải tất cả các bài tốn, chúng ta chỉ có thể thơng qua
việc dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách
thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tịi lời giải cho mỗi bài tốn.
Dạy học giải bài tập tốn khơng có nghĩa là người thầy cung cấp cho học
sinh lời giải của bài tốn. Biết lời giải bài tốn khơng quan trọng bằng việc làm thế
nào để giải được bài tốn, vì vậy cần trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các
suy nghĩ tìm tịi và phát hiện cách giải của bài toán.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát và gợi ý chi tiết của G.Polya về cách thức
giải toán, phương pháp tìm tịi lời giải cho một bài tốn được tiến hành theo bốn
bước sau:
* Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Để giải bài toán trước hết phải hiểu đề bài và ham thích giải bài tốn đó. Vì

19


vậy chú ý gợi động cơ, khêu gợi chí tị mò hứng thú của học sinh và giúp các em
hiểu bài tốn, phải tìm hiểu bài tốn một cách tổng thể để bước đầu hiểu tồn bộ bài
tốn tránh vội vàng đi ngay vào chi tiết.

Phân tích cho học sinh bài toán với các yếu tố cơ bản:
- Bài toán chứng minh hay tốn tìm kiếm. Phân tích cái đã cho và cái cần
chứng minh hoặc cái đã cho với cái tìm kiếm.
- Có thể dùng cơng thức, ký hiệu, hình vẽ để diễn tả đề bài.
- Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các điều
kiện đó thành cơng thức hay khơng?
* Bước 2: Xây dựng chương trình giải tốn
Ở bước này phải chú ý phân tích bài tốn đã cho thành nhiều bài tốn đơn
giản, phải huy động kiến thức có liên quan đến những khái niệm, những quan hệ
trong đề toán.
Lựa chọn những kiến thức đã học ( định nghĩa, định lí, quy tắc, cơng thức...)
gần gũi hơn cả với dữ kiện của bài tốn rồi mị mẫm dự đốn kết quả.
Sử dụng phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh ( phản
chứng, quy nạp toán học,...), toán dựng hình, tốn quỹ tích...
* Bước 3: Trình bày lời giải
Trình bày lời giải sau khi tổng hợp hai bước trên và đã điều chỉnh những chỗ
cần thiết.
* Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải.
Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải bài tốn
cùng dạng đó.
Tìm thêm cách giải khác (nếu có thể).
Đề xuất bài tốn tương tự, bài tốn đặc biệt hoặc khái qt hóa bài tốn...
Ví dụ . Giải phương trình sin 3x + cos 2 x − sin x = 0.
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài tốn
(?) Giả thiết của bài tốn là gì? u cầu ra sao? Có cần điều kiện gì khơng?
[!] Cho x là ẩn. Tìm giá trị của x để được mệnh đề sin 3x + cos 2 x − sin x = 0 đúng.
Bước 2: Xây dưng chương trình giải toán

20

(?) Cho biết các hàm số lượng giác có trong phương trình?
[!] Trong phương trình có hàm số sin và cos .
(?) Cho biết trong phương trình có những cung nào? Các cung đó có quan hệ gì với
nhau?
[!] Trong phương trình có ba cung x; 2 x; 3x , các cung có mối quan hệ

3x + x
= 2x
2
.

(?) Cần sử dụng công thức nào?
[!] Sử dụng công thức biến tổng (hiệu) thành tích:

sin a − sin b = 2cos

a +b
a −b
sin
2
2

ta có được : sin 3x − sin x = 2cos 2 x sin x , từ đó đưa phương trình về dạng tích.
Bước 3: Trình bày lời giải
Ta có
sin 3x + cos 2 x − sin x = 0
⇔ 2cos 2 x sin x + cos 2 x = 0
⇔ cos 2 x ( 2sin x + 1) = 0

cos 2 x = 0
π kπ
π
7π
⇔
⇔x= +
; x = − + k 2π ; x =
+ k 2π
1
sin x = −
4
2
6
6

2

( k ∈¢ ) .

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
(?) Có thể giải bài tốn này theo cách khác được khơng?
[!] Trong phương trình có hai hàm số lượng giác sin và cos , ba cung x; 2 x; 3x nên
3
ta có thể sử dụng cơng thức cung nhân ba sin 3x = 3sin x − 4sin x; công thức cung
2
nhân hai cos 2 x = 1 − 2sin x để đưa về phương trình đối với một hàm số lượng giác:

Cụ thể
sin 3x + cos 2 x − sin x = 0
⇔ 3sin x − 4sin 3 x + 1 − 2sin 2 x − sin x = 0

⇔ 4sin 3 x + 2sin 2 x − 2sin x − 1 = 0
1
 2
cos 2 x = 0,
sin x = 2
⇔
⇔
sin x = − 1 .
sin x = − 1

2

2

21


Nghiên cứu sâu lời giải:
+) Biến đổi phương trình lượng giác về dạng tích nhờ cơng thức biến đổi tổng thành
tích, biến đổi tích thành tổng hoặc biến đổi hỗn hợp. Nhưng để biến đổi lượng giác
phải dựa vào những nhận xét đặc điểm của phương trình đã cho.
+) Nhờ đặc điểm các cung nhân đôi ( 2 x = 2.x ), nhân ba ( 3x = 3.x ) có trong phương
trình mà liên hệ đến cơng thức lượng giác đã có để đưa phương trình về một hàm
số lượng giác.
1.5. Tìm nhiều cách giải cho một bài Tốn
Do đặc thù của bộ mơn Tốn nên hoạt động giải tốn là hoạt động khơng thể
thiếu được của người học tốn, dạy toán, nghiêm cứu về toán. Trong cuốn “Sáng tạo
toán học” G.Plolya đã viết “...q trình giải tốn là đi tìm kiếm một lối thốt ra
khỏi khó khăn hoặc một con đường vượt qua trở ngại, đó chính là q trình đạt tới

một mục đích mà thoạt nhìn giường như khơng thể đạt được ngay. Giải tốn là khả
năng riêng biệt của trí tuệ, cịn trí tuệ chỉ có ở con người. Vì vậy giải tốn có thể
xem như một trong những đặc trưng nhất của con người...”. [2, tr. 5]
Trong khi say mê giải tốn, trí tuệ con người được huy động tới mức tối đa,
khả năng phân tích và tổng hợp được rèn luyện, tư duy trở nên nhanh nhẹn. Bài tốn
mà chúng ta có thể bình thường ta khơng giải được nhưng nó có khêu gợi tính tò mò
và buộc ta phải sáng tạo và nếu tự mình giải bài tốn đó thì ta có thể biết được cái
quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi.
Một điểm chú ý nữa là: “Trong quá trình giải bài tập tốn cần khuyến khích
học sinh tìm hiểu nhiều cách giải cho một bài toán. Mọi cách giải đều dựa vào một
số đặc điểm nào đó của dữ kiện, cho nên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho
học sinh biết cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó
rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư duy. Mặt khác tìm nhiều cách giải thì sẽ
tìm được cách giải hay nhất, đẹp nhất...”. [5, tr. 214]
2
2
2
Ví dụ . Giải phương trình sin 3x − sin 2 x − sin x = 0.

(*)

Hướng dẫn giải
Cách 1: Ta chuyển hai cung 3x và 2x về cùng một cung x nhờ công thức nhân ba,
nhân đơi ta có:

22


(3) ⇔ ( 3sin x − 4sin 3 x ) − 4sin 2 x cos 2 x − sin 2 x = 0
2

⇔ 16sin 6 x − 24sin 4 x + 9sin 2 x − 4sin 2 x ( 1 − sin 2 x ) − sin 2 x = 0
⇔ sin 2 x ( 4sin 4 x − 5sin 2 x + 1) = 0
1
sin 2 x = .
⇔ sin x = 0 hoặc sin x = 1
4
2

Từ đó ta có nghiệm của phương trình là

x=k

π
π
, x = ± + kπ ( k ∈ ¢ ) .
2
6

Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức đại số và công thức biến đổi tổng thành tích, ta có:
(3) ⇔ ( sin 3 x − sin x ) ( sin 3x + sin x ) − sin 2 2 x = 0
⇔ (2cos 2 x sin x)(2sin 2 x cos x) − sin 2 2 x = 0
⇔ 2sin 2 2 x cos 2 x − sin 2 2 x = 0 ⇔ sin 2 2 x = 0 hoặc 2cos 2 x = 1.
Từ đó ta có nghiệm của phương trình là
x=k

π
π
, x = ± + kπ ( k ∈¢ ) .
2

6

Cách 3: Sử dụng công thức hạ bậc và công thức bậc ba ta đưa về phương trình bậc
cao đối với cos 2x , ta có
(3) ⇔ 1 − cos 6 x − 1 + cos 4 x − 1 + cos 2 x = 0
⇔ 4cos3 2 x − 2cos 2 2 x − 4cos 2 x + 2 = 0

⇔ cos 2 x = 1 hoặc cos 2 x = −1 hoặc 2cos 2 x = 1.
Từ đó ta có nghiệm của phương trình là
x=k

π
π
, x = ± + kπ ( k ∈¢ ) .
2
6

Cách 4: Sử dụng cơng thức hạ bậc, cơng thức biến tổng thành tích đưa Pt về dạng
tích:

(3) ⇔ 1 − cos 6 x − 1 + cos 2 x − 2sin 2 2 x = 0
⇔ 2sin 4 x sin 2 x − 2sin 2 2 x = 0

⇔ sin 2 x ( 2cos 2 x −1) = 0.
Từ đó ta có nghiệm của phương trình là
x=k

π
π
, x = ± + kπ ( k ∈¢ ) .

2
6

23


Cách 5: Sử dụng công thức hạ bậc và một phép nhóm hợp lý đưa phương trình về
dạng tích, ta có
(3) ⇔ 1 − cos 6 x − 1 + cos 4 x − 1 + cos 2 x = 0
⇔ ( cos 4 x + cos 2 x ) − ( 1 + cos 6 x ) = 0
⇔ 2cos3 x cos x − 2cos 2 3 x = 0 ⇔ cos3x = 0 hoặc cos3x = cos x.
Từ đó ta có nghiệm của phương trình là
x=k

π
π
, x = ± + kπ ( k ∈¢ ) .
2
6

Nhận xét. Từ các cách giải như trên học sinh sẽ nhận ra cách giải 4 là tối ưu hơn.
1.6. Những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải Phương trình lượng giác
Chỉ ra những sai lầm trong lời giải của học sinh là cần thiết, song điều quan
trọng hơn là phân tích được nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm đó, bởi vì “ con
người phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình”.[5, tr. 204]
Việc thấy được những sai lầm đặc biệt có giá trị về mặt phương pháp, vì
chúng giúp học sinh quán triệt xúc tích hơn, chống lối hiểu hình thức mà đặc trưng
cho lối hiểu hình thức này là trong khi thu nhận và ghi nhớ một sự kiện toán học,
học sinh thường phạm sai lầm là biểu hiện quen thuộc bên ngoài của sự kiện (lời
văn, ký hiệu hay hình ảnh) lấn át hẳn nội dung, bản chất của sự kiện đó.[G.Polya]

Những sai lầm làm hạn chế năng lực học toán của học sinh. Qua việc phân
tích sai lầm, người giáo viên cần làm cho học sinh nhận diện được các sai lầm, thấy
được nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm. Từ đó học sinh sẽ tránh được những sai
lầm, thu nhận kiến thức một cách chắc chắn hơn.
Trong phạm vi Luận văn chúng tơi chỉ phân tích những sai lầm có tính điển
hình, nhiều học sinh thường mắc phải. Sau đây là những ví dụ minh họa.
3
3
Ví dụ 1. Giải phương trình 4sin x cos3x + 4cos x sin 3x + 3 3 cos 4 x = 3.

Sai lầm thương gặp:
(1) ⇔ (3sin x − sin 3x) cos3 x + (cos 3x + 3cos x)sin 3 x + 3 3 cos 4 x = 3
⇔ sin x cos3x + sin 3x cos x + 3 cos 4 x = 1
⇔ sin 4 x + 3 cos 4 x = 1

24

(1)


1
3
sin 4 x +
cos 4 x = 1
2
Chia cả hai vế cuả phương trình cho 2, ta được 2
⇔ sin 4 x cos

π
π

π
π
π

+ cos 4 x sin = 1 ⇔ sin  x + ÷ = 1 ⇔ x = + k ( k ∈¢ ) .
3
3
3
24
2


Nguyên nhân sai lầm: Khi chia hai vế của phương trình cho 2, ta đã quên chia vế
phải cho 2. Đây là một sai lầm thường gặp của học sinh khi giải phương trình bậc
nhất đối với sin và cos của cùng một cung.
Lời giải đúng:
(1) ⇔ (3sin x − sin 3x) cos3x + (cos3 x + 3cos x)sin 3x + 3 3 cos 4 x = 3
⇔ sin x cos3 x + sin 3 x cos x + 3 cos 4 x = 1
⇔ sin 4 x + 3 cos 4 x = 1
Chia cả hai vế của phương trình cho 2, ta được
1
3
1
π
π 1
sin 4 x +
cos 4 x = ⇔ sin 4 x cos + cos 4 x sin =
3
3 2
2

2
2



⇔ sin  x +

π 1
π
π
π
π
+ k ; x = +k ( k  ) .
ữ= x =
3 2
24
2
8
2

Vớ dụ 2. Giải phương trình tan 3x − tan 2 x = 1 + tan 3 x tan 2 x.

(2)

Một số học sinh giải như sau:
(2)

⇔

tan 3x − tan 2 x

π
= 1 ⇔ tan(3x − 2 x) = 1 ⇔ x = + kπ (k ∈ ¢ ).
1 + tan 3x tan 2 x
4

Sai lầm là:
Với

x=

π
π
+ kπ
x = + kπ
4
4
thì cos 2 x = 0 ⇒ tan 2 x không xác định, nên
là nghiệm

ngoại lai.
Lời giải đúng:
cos 2 x ≠ 0
π
π
π
π
⇔ x≠ +m

x
≠

+
n
4
2 và
6
3
ĐKXĐ: cos 3x ≠ 0
 tan 3 x − tan 2 x
= 1  tan(3 x − 2 x) = 1

⇔ 1 + tan 3x tan 2 x
⇔
cos x ≠ 0
1 + tan 3x tan 2 x ≠ 0
(2)

25

( m, n ∈¢ ) .

Khi đó