Đề và đáp án thi THPT năm học 2000 2001

Năm học 2000 − 2001
Bài 1 (3 điểm): Cho các biểu thức P =

2a a + 2 a − 3a − 3
2 a −3

và Q =

2a 2 − 2a
a3 − a

a) Tìm điều kiện tồn tại và rút gọn các biểu thức P, Q
b) So sánh các biểu thức P và Q
c) Tìm a để P + Q = 3
2a(a − 1)
9
(2 a − 3)(a + 1)
=2 a
= a +1. Q =
và a ≠ 1. Ta có: P =
a (a − 1)
4
2 a −3
b) Ta có: P – Q = a + 1 − 2 a = ( a − 1) 2 ≥ 0. Vậy: P ≥ Q
9
c) Với a > 0, a ≠ và a ≠ 1: P + Q = 3 ⇔ a + 1 = 3 ⇔ a = 2 ⇔ a = 4
4

HD: a) ĐK: a > 0, a ≠

Bài 2 (2 điểm): Một ôtô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 120km trong một

thời gian qui định. Sau khi đi một giờ ôtô bị chắn bởi đường tầu hỏa mất 10 phút, do đó
để đến B đúng hạn ôtô phải tăng vận tốc thêm 6 km/h trên quãng đường còn lại. Tính
vận tốc ôtô lúc đầu
HD: Gọi vận tốc của ôtô lúc đầu là x (x > 0). Ta có phương trình:
Quãng đường đầu là x, quãng đường còn lại là 120 – x
1 120 − x 120
=
⇔ 7x2 + 42x + 720x – 6x2 = 720x +
6
x+6
x

Ta có phương trình: 1 + +
4320

⇔ x2 + 42x – 4320 = 0 ⇔ x2 + 7x – 120 = 0 ⇒ x1 = 48, x2 = –90 (loại)
Trả lời: Vận tốc của ôtô lúc đầu là 48km/h
Bài 3 (4 điểm): Cho ∆ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường
kính AH, đường tròn này cắt các cạnh AB, AC ở D và E
a) Chứng minh rằng tứ giác DAEH là hình chữ nhật và ba điểm D, O, E thẳng
hàng
b) Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại D và E cắt BC lần lượt ở M, N. Chứng
minh M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH và HC
A
c) Chứng minh ∆BAC ∆AHC. Suy ra: AC2 = BC.HC
d) Tính diện tích tứ giác DENM biết AB = 7cm, AC = 10cm D
1

O

E
B

HD: a) Dễ thấy ba góc A, D, E của tứ giác bằng 900⇒ đpcm
b) Ta có: MD = MH (hai tiếp tuyến cắt nhau)
µ1 =B
µ (= 1 sđ AD
» ) ⇒ ΔDMB cân⇒DM = BM⇒ đpcm
D
2

Tương tự với trường hợp N là trung điểm của HC

M

H N C


c) ΔBAC ΔAHC (hai tam giác vuông cùng chung góc nhọn C) ⇒ hệ thức cần
chứng minh
d)Cách 1:
1
1
1
(AB.AC) 2
70 2 70 149
Ta có:
. BC = 149
=
+

⇒ DE = AH =
=
=
149
149
AH 2 AB2 AC 2
AB2 + AC 2
1
1 AC2 1 102
50 149
= .
=
NE = NC = HC = .
.
2
2 BC 2 149
149
1 72
49 149
DM
=
.
=
Tương tự:
2 149
298

Vậy: SDEMH =

1  50 149 49 149  70 149 35

1
+
=
= 17,5 (cm2)
(DM + NE).DE = 
÷.
2  149
298 ÷
149
2
2


Cách 2: Sử dụng t/c diện tích đa giác có: (Hay hơn cách 1)
SABC = SBDH + SCEH + SDAEH ; SDENM = SMHD + SNHE + SDHE
Mà SMHD = SBDH :2 ; SNHE =SCEH :2 ; SDHE = SDENM :2 Từ đó suy ra SDENM
=SABC:2=AB.AC:4
Bài 4 (1 điểm): Cho phương trình x2 + mx + m − 2 = 0. Tìm m để phương trình có hai
nghiệm x1, x2 sao cho x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
HD: PT đã cho có hai nghiệm phân biệt
⇔ m2 – 4(m – 2) = m2 – 4m + 8 = (m – 2)2 + 4 > 0 ∀m
Khi đó: x12 + x 22 = (x1 + x 2 )2 − 2x1 x 2 = m2 – 2m + 4 = (m – 1)2 + 3 ≥ 3
⇒ min = 3 ⇔ m = 1
………………………………………………………………………………………