Báo cáo nghiên cứu khoa học điều KHIỂN TRƯỢT CHO TAY máy ROBOT HAI bậc tự DO

ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT CHO TAY MÁY ROBOT HAI BẬC TỰ DO
A SLIDING CONTROLLER FOR A TWO-LINK ROBOT ARM

LÊ TẤN DUY
Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT
Bài báo này mô tả việc thiết kế bộ điều khiển trượt cho hành trình tay máy robot hai bậc tự do.
Bằng cách thay hàm signum bằng hàm khuếch đại-tích phân (PI) bảo hòa, ta có thể khử
chattering cho các tín hiệu điều khiển mà không gây ra sự sai lệch trong hoạt động của hệ
thống.
ABSTRACT
This paper describes the design of a sliding mode controller for a two-link robot arm. By
replacing the signum function by a satured proportional-integral (PI), control chattering is
eliminated without deterioration of the system.

1. Giới thiệu
Lý thuyết điều khiển trượt và phương pháp lớp biên để giải quyết vấn đề chattering đã
được trình bày trong [1]. Bài báo này trình bày việc tính toán cấu trúc để điều khiển robot hai
bậc tự do áp dụng phương pháp thay hàm signum bằng hàm PI-bão hòa.
Bộ điều khiển này làm cho hệ thống hoạt động một cách ổn định. Tính năng của hệ
thống được kiểm chứng bởi các kết quả mô phỏng với tay máy hai bậc tự do trên quỹ đạo
phẳng.
2. Mô tả toán học
2.1. Hệ phương trình động lực học Lagrange
Sơ đồ cấu trúc động học và các tham số của tay máy hai bậc tự do được vẽ trên hình 1:

Y
mt, Jt
m2, J2
l1



lg1

2


1

m1, J1

lg2

l2
X

Hình 1. Cấu trúc động học của tay máy hai khâu hai bậc tự do
trong đó:
1, 2
l1, l2
lg1, lg2
m1, m2
J1 , J2
mt , Jt

Góc quay của từng khâu
Chiều dài của hai khâu
Chiều dài từ trục quay đến trọng tâm của từng khâu
Khối lượng toàn bộ của mỗi khâu

Mômen quán tính của mỗi khâu
Khối lượng tải và mômen quán tính của tải


Hệ phương trình động lực học Lagrange của tay máy hai khâu có cấu trúc như trên
hình 1 được viết dưới dạng ma trận sau [2]:
 1   h 11
    h
 2   21

h 12   
1  T 22  2T12   g1 
   
 
h 22  
2  
 T 12
 g 2 

(1)

trong đó 1 và 2 lần lượt là các mômen điều khiển tác động lên khâu 1 và khâu 2.
Các thành phần của ma trận được tính theo các biểu thức dưới đây:
h 11  J 1  m1l 2g1  m 2 (l12  l 2g 2  2l1l g 2 C 2 )  J 2  J t  m t (l12  l 22  2l1l 2 C 2 )
h 12  h 21  m 2 (l g2 2  l1l g 2 C 2 )  J 2  J t  m t l 22
h 22  m 2 l g2 2  J 2  J t  m t l 22

T  (m 2 l1l g 2  m t l1l 2 )S 2

(2)

g 1  m1gl g1C1  m 2 g (l1C1  l g 2 C12 )  m t g (l1C1  l 2 C12 )
g 2  m 2 gl g 2 C12  m t gl 2 C12

trong đó hii là quán tính riêng của từng khâu và hij là quán tính liên kết, Ci và Si lần lượt là các
ký hiệu của cosi và sini (i = 1, 2) và C12 là ký hiệu của cos(1+ 2).
2.2. Hệ phương trình trạng thái
Đặt biến trạng thái cho khớp 1 và 2 như sau:

 x 11  1 
X 1       

 x 12  1 

X   x 21    2 
 2  x   
 22   2 

u   
và tín hiệu vào U   1    1 
u 2    2 

(3)

(4)

Hệ phương trình vi phân trạng thái của các khớp 1 và 2 được viết:

Khớp 1:

Khớp 2:

x11  x 12




2
x  a (X )  b u 

1
1j j
 12

j1
x21  x 22




2
x  a (X )  b u 

2
2j j
 22

j1

(5)

(6)

Từ các phương trình (1) đến (6), ta có hệ phương trình trạng thái của khớp 1 và 2 dưới đây:


Khớp 1:
x11  x 12

1
1

2
2
x 12   D h 22 (Tx 22  2Tx 12 x 22 )  h 12 Tx 12  h 22 g1  h 12 g 2  D (h 22 u 1  h 12 u 2 )

H
H

x 11  x 12

 
1
2
2
x12  D  h 22 Tx 22  2h 22 Tx 12 x 22  h 12 Tx 12  h 22 g 1  h 12 g 2  h 22 u 1  h 12 u 2

H







(7)



Khớp 2:
x21  x 22

1
1

2
2
x 22   D  h 12 (Tx 22  2Tx 12 x 22 )  h 12 Tx 12  h 12 g 1  h 11g 2  D ( h 12 u 1  h 11 u 2 )

H
H





x21  x 22

 
1

2
2
x22  D h 22 (Tx 22  2h 12 Tx 12 x 22  h 12 Tx 12  h 12 g1  h 11 g 2  h 12 u 1  h 11 u 2

H



(8)



Như vậy mô hình tay máy robot hai bậc tự do là một hệ một đầu vào một đầu ra, được
mô tả bằng hai hệ nhỏ, mỗi hệ tương ứng với từng khớp 1 và 2, được đặc trưng bởi hai hệ
phương trình vi phân trạng thái (7) và (8). Các hệ phương trình này có thể dùng để mô hình
hóa trên máy tính cũng như để tổng hợp luật điều khiển cho tay máy.
3. Thiết kế điều khiển trượt cho tay máy robot hai bậc tự do
3.1. Thiết kế bộ điều khiển kiểu trượt đơn thuần
Chọn mặt trượt cho từng khớp có dạng sau:
Khớp 1
S1 = C1.e11 + e12 = 0
với e11 = x11d - x11 và e12 = x12d - x12

(9)

Khớp 2
S2 = C2.e21 + e22 = 0
với e21 = x21d - x21 và e22 = x22d - x22

(10)

Tín hiệu điều khiển cho từng khớp có dạng [1]:
ˆ 1 C.e 
uB
qd  aˆ (q, q)  K. sgn(S)

Từ (3) và (4), ta có:

 u 1   h 11 h 12   C1 .e 21   x21   aˆ 1 (X)   K 1 .sgn(S1 )  

 u   h
 
 

 2   12 h 22  C 2 .e 22   x22  aˆ 2 (X ) K 2 .sgn(S 2 ) 
hay viết cho từng khớp:

(11)


Khớp 1

u 1  h 11 C1 .e 21  x21  K 1 . sgn(S1 )  aˆ 1 (X )  h 12 C 2 .e 22  x22  K 2 . sgn(S 2 )  aˆ 2 (X )

(12)

Khớp 2

u 2  h 12 C1 .e 21  x21  K 1 . sgn(S1 )  aˆ 1 (X)  h 22 C 2 .e 22  x22  K 2 .sgn(S 2 )  aˆ 2 (X)

(13)

trong đó
S1 , S2 được xác định theo công thức (9) và (10)
1
2
aˆ 1 (X) 
 h 22 Tx 222  2h 22 Tx 12 x 22  h 12 Tx 12
 h 22 g1  h 12 g 2
DH
1
2
aˆ 2 (X ) 
h 12 Tx 222  2h 12 Tx 12 x 22  h 12 Tx 12
 h 12 g 1  h 11g 2
DH

(14)









(15)

2

với D H  h 11 h 22  h 12

3.2. Dùng phương pháp lớp biên để giải quyết vấn đề chattering
Như đã nói ở phần 3.1, thay hàm signum bằng hàm bão hòa V(S/), tín hiệu điều
khiển được viết lại như sau:
ˆ 1 C.e 
uB
qd  aˆ (q, q)  K.V (S / )

  1 nếu S /   1

V(S / )  S /  nếu  1  S /   1
 1 nếu
S/   1


với:

và K là ma trận (n x n) xác định dương và chọn đủ lớn để đảm bảo điều kiện trượt được thỏa
mãn dù có tồn tại nhiễu và các tham số không xác định.
Tương tự như cách khai triển ở phần 3.1, ta có tín hiệu điều khiển cho từng khớp:
Khớp 1





u 1  h 11 C1 .e 21  x21  K 1 .V S1    aˆ 1 (X)  h 12 C 2 .e 22  x22  K 2 .V S 2    aˆ 2 (X )

1


2




(16)
Khớp 2





u 2  h 12 C1 .e 21  x21  K 1 .V S1    aˆ 1 (X)  h 22 C 2 .e 22  x22  K 1 .V S 2    aˆ 2 (X)

1


2





(17)
trong đó aˆ 1 (X), aˆ 2 (X) được xác định theo (14) và (15).
3.3. Bộ điều khiển trượt dùng hàm bão hòa-PI
Sử dụng hàm bão hòa-PI, tín hiệu điều khiển sẽ có dạng:
ˆ 1 C.e 
uB

qd  aˆ (q, q)  K.(S)


trong đó S  S1 , S 2  và K được chọn như trong mục 3.2 ở trên. (Si) với i = 1,2 là
các hàm bão hòa-PI được định nghĩa như sau:
T

 sgn(Si )
khi
Si   i

t
(Si )   S i
 I i  Si  dt khi   i  S i   i

ti 0
 i

(18)

trong đó Ii là các hệ số tích phân dương [1].
Ta có tín hiệu điều khiển cho từng khớp:
Khớp 1
u 1  h 11 C1 .e 21  x21  K 1 .(S1 )  aˆ 1 (X)  h 12 C 2 .e 22  x22  K 2 .(S 2 )  aˆ 2 (X )

(19)

Khớp 2
u 2  h 12 C1 .e 21  x21  K 1 .(S1 )  aˆ 1 (X )  h 22 C 2 .e 22  x22  K 1 .(S 2 )  aˆ 2 (X )

(20)

trong đó aˆ 1 (X), aˆ 2 (X) được xác định theo (14) và (15).
4. Các kết quả mô phỏng và nhận xét
Ta thực hiện mô phỏng trên một tay máy hai bậc tự do có các tham số như sau:

Khâu 1
Khâu 2

l (m)
0,4
0,25

lg (m)
0,2
0,125

m (kg)
21,8
15

J (kg.m2)
0,728
0,196

Việc mô phỏng được thực hiện với trường hợp có tải (khối lượng tải mt = 10 kg và
mômen quán tính của tải Jt = 0,1 kg.m2) của các hàm signum, bão hòa (sat) và bão hòa-PI
(sat-PI) được sử dụng trong bộ điều khiển.
4.1. Hàm signum
Khâu 1

Khâu 2


4.2. Hàm sat
Khâu 1

Khâu 2

4.3. Hàm sat-PI
Khâu 1

Khâu 2


Nhận xét:
Việc sử dụng các hàm sat và sat-PI bảo đảm loại bỏ được hiện tượng chattering.
Nhưng hàm sat-PI bảo đảm sai số quỹ đạo nhỏ hơn so với hàm sat và đặc biệt hàm sat-PI đạt
được tính ổn định của tín hiệu điều khiển tại điểm không, trong khi hàm sat không có được
điều này (nhận xét này thể hiện rất rõ trên các hình vẽ của mặt trượt của khâu 2).
5. Kết luận
Phương pháp điều khiển kiểu trượt ứng dụng cho tay máy hai bậc tự do đã được trình
bày. Tín hiệu điều khiển được tính chọn để đảm bảo hệ thống kín ổn định và bền vững đối với
nhiễu tải cũng như đối với sự thay đổi các thông số của đối tượng điều khiển, phương pháp
lớp biên được ứng dụng để loại bỏ hiện tượng chattering của tín hiệu điều khiển khi trạng thái
hệ thống ở trên mặt trượt.
Khi sử dụng hàm PI bão hòa (sat-PI) trong bộ điều khiển thay cho hàm signum và hàm
sat, các kết quả mô phỏng cho thấy, khi thay đổi tải trọng và sự nhiễu loạn có giới hạn cho tay
máy thì hệ điều khiển trượt này vẫn giữ được tính ổn định, khử được hiện tượng chattering
của các tín hiệu điều khiển cũng như giảm được các sai số quỹ đạo.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]

[6]
[7]
[8]
[9]

Lê Tấn Duy, Thiết kế bộ điều khiển trượt cho hệ tay máy robot, Tạp chí Khoa học và
Công nghệ Đại học Đà Nẵng, số 4/2003.
K.S. Fu. Robotics, Control, Sensing, vision and intelligence, Graw Hill, Inc. 1987.
Y.Itkis, Control systems of variable structure, New York, Wiley, 1976.
V.A.Utkin, Sliding modes and their application in variable structure systems,
Moscow, Mir 1987.
J.J.E Slotine and S.S Satry, Tracking control of nonlinear systems using sliding
surface with application to robot manipulator, Int. J. Control, vol 38, no. 2 , pp. 465492, 1983.
M.W.Spong.M.Vidyasagar, Robot Dynamics and Control, John Whiley & Sons, Inc.
America 1989.
J.J.E Slotine and W.Li, Applied nonlinear control, Prentiee Hall, Englewood Cliff,
New Jersey, 1991.
J.J.E Slotine and S.Asada, Robot analysis and control, A. Wiley-Interscience
Publication, John Wiley& Sons, Inc. 1986.
S.L.Salas, Einar Hill, Calculus one and several variables, New York, Wiley 1990.