Báo cáo nghiên cứu khoa học TÍNH TOÁN độ TIN cậy của kết cấu KHUNG PHẲNG THEO lý THUYẾT tập mờ

TNH TON TIN CY CA
KT CU KHUNG PHNG THEO Lí THUYT TP M
ASSESSING THE RELIABILITY OF THE PLANE FRAME
USING THE FUZZY SET THEORY
NGUYN èNH XN
i hc Nng

TểM TT
Ngy nay, s phỏt trin mnh m ca khoa hc k thut ó mang li nhng thnh tu to ln
trong nhiu lnh vc chuyờn mụn khỏc nhau, trong ú b mụn khoa hc v ỏnh giỏ tin cy
ca cỏc sn phm núi chung v ca kt cu cụng trỡnh xõy dng núi riờng cng cú nhng
bc tin ỏng k. Trờn c s m rng mụ hỡnh tớnh toỏn tin cy ca kt cu t cỏc
phng phỏp kinh in, chỳng ta cú th nõng cao hiu qu tớnh toỏn ca lnh vc ny hon
chnh v thuyt phc hn theo mụ hỡnh toỏn hc hin i: Lý thuyt tp m.
Trong bi vit ny, tỏc gi trỡnh by cỏc khỏi nim, nhng kin thc c s v mụ hỡnh toỏn
hc trờn trong chuyờn ngnh xõy dng; ỏp dng thc t vo bi toỏn ỏnh giỏ tin cy cho
mt kt cu khung phng.
ABSTRACT
This study proposes an engineering approach to estimate the distribution of the structure
fuzzy stress by fuzzy linear regression analysis, which is applied to a typical plane frame. The
approach can also be used in the fuzzy reliability analysis of the structure. The proposed
approach can assess not only the randomness of the structure parameters but also the
fuzziness of the structure parameters. It also solves the problem where the structure stress is
difficult to be expressed in a mathematical formular. The analysis results show that the
proposed approach has wide-ranging potential values.

1. mở ĐầU
Hầu hết các bài toán liên quan đến hoạt động nhận thức, trí tuệ con người đều hàm
chứa những đại lượng, những thông tin mà bản chất là không chắc chắn, không chính xác,
không đầy đủ. Chẳng hạn, trong lĩnh vực dự báo về thời tiết, việc xây dựng các mô hình toán
học dựa vào sự thu thập thông tin, dữ liệu là hoàn toàn không khả thi và con người hầu như

không thể có thông tin đầy đủ và chính xác cho các hoạt động chọn quyết định của mình.
Để giải quyết vấn đề trên, năm 1965, giáo sư Lofti A. Zadeh ở trường Đại học
California đã đưa ra khái niệm về logic mờ (Fuzzy Logic) và lý thuyết tập mờ (Fuzzy Set
Theory) và đặt nền móng cho việc xây dựng hàng loạt các lý thuyết quan trọng khác dựa trên
cơ sở lý thuyết tập mờ và logic mờ.
Khác hẳn với phép toán học kinh điển là hoàn toàn dựa vào sự chính xác tuyệt đối của
thông tin, lý thuyết tập mờ ứng dụng các phép toán mờ để xử lý những thông tin không chính
xác hay không đầy đủ, lý thuyết tập mờ cho chúng ta một công cụ toán học chính xác để mô
tả và xử lý các thông tin không chính xác, mang tính nhập nhằng, mờ.
2. cơ sở lý thuyết
2.1. Tập mờ và Hàm lệ thuộc
Tập mờ, như tên gọi hàm ý, về cơ bản là một tập hợp của các khái niệm về mức độ,
một tập hợp mà trong đó mọi sự việc là một khoảng ước lượng (matter of degree) và mang tính
uyển chuyển (elasticity).
Tập mờ được mở rộng từ tập hợp kinh điển. Tập hợp kinh điển có một ranh giới rõ
ràng, được biểu thị bằng hàm chỉ thị:


1
IA(x) =
0

nếu x A

(2.1)

nếu x A

Ví dụ, A là tập hợp những người có chiều cao trên 1,75 mét là một tập hợp kinh điển.
Mỗi người (phần tử) chỉ có hai khả năng rõ ràng: thuộc hoặc không thuộc tập hợp A. Tuy

nhiên nếu ta xét tập A gồm những người cao, trường hợp này sẽ không có ranh giới rõ ràng để
khẳng định một người có là phần tử của A hay không. Ranh giới của nó là mờ và ta chỉ có thể
nói một người sẽ thuộc tập hợp A ở một mức độ nào đó, sự diễn đạt này được thể hiện bởi một
hàm thuộc có giá trị trong khoảng từ 0 đến 1. Ta có thể định nghĩa tập mờ như sau:
~
Tập mờ A xác định trên tập kinh điển X là một tập mà mỗi phần tử của nó là một cặp
các giá trị (x, à A~ (x)), trong đó x X và à A~ là ánh xạ [1, 2, 3]:
à A~ : X [0,1].
(2.2)
~
ánh xạ à A~ được gọi là hàm lệ thuộc với à A~ (x) h[0,1] của tập mờ A và x là một phần
tử của miền xác định (tập nền hay vũ trụ) X. Người ta biểu diễn tập mờ A định nghĩa trên tập
nền X (hay trong vũ trụ U ) bởi tập hợp tất cả các cặp phần tử và mức độ thuộc của nó như sau:
~
A = {(x, àA(x))| x X }
(2.3)

2.2. tổng quát phương pháp tính toán
Đặc điểm cơ bản của việc giải bài toán mờ (trong trường hợp này là tính toán độ tin
cậy mờ) là xác định được hàm lệ thuộc của nó xác định trên một tập nền X nào đó và nhận
các giá trị trong khoảng [0, 1]. Vấn đề là làm thế nào để xác định được hàm lệ thuộc? để từ đó
làm căn bản cho bài toán phân tích độ tin cậy mờ của kết cấu.
Đối với bài toán đánh giá độ tin cậy của kết cấu, ta có thể sử dụng Phương pháp hồi
qui tuyến tính mờ (Fuzzy linear regression), trong phần lớn các trường hợp, có thể phối hợp
với Phương pháp phần tử hữu hạn để xác định giá trị trung bình, và sai số của hệ số hồi qui mờ
(bằng thuật toán hồi qui tuyến tính tổng bình phương bé nhất mờ (Fuzzy Least-Square Linear
Regression)). ở đây, Phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng như một công cụ thực
nghiệm số học để thu được hàng loạt các giá trị ứng suất của kết cấu khi ta lần lượt thay đổi
giá trị của các tham số tính toán trong một biên độ sai số quanh giá trị trung bình. Khi đó bằng
phương pháp hồi qui tuyến tính mờ, ta thu được hàm hồi qui mờ của ứng suất kết cấu. Các hệ

số hồi qui của hàm hồi qui thu được đối với ứng suất kết cấu là những phần tử mờ tam giác, vì
vậy ứng suất kết cấu sẽ là một phần tử mờ tam giác khi các phần tử liên quan được cho tại các
giá trị trung bình (giá trị trung tâm).
Tương tự như mô hình giao thoa giữa ứng suất và cường độ theo lý thuyết tính toán độ
tin cậy kinh điển, trong trường hợp này, ta xét mô hình giao thoa giữa ứng suất mờ và cường
độ ngẫu nhiên [6]. Sử dụng phân phối chuẩn để tính gần đúng phân phối xác suất của cường
độ vật liệu, và ứng suất kết cấu theo phân phối tam giác, từ đó ta có thể tính được độ tin cậy
ngẫu nhiên mờ của kết cấu.
ứng suất

àS(x)
f(x)

àS(x)

0

Cường độ
f(x)

x

Hình 2.1 Mô hình giao thoa ứng suất mờ - cường độ ngẫu nhiên

2.3. Hồi qui tuyến tính mờ


Trong bài toán đánh giá độ tin cậy của kết cấu, mà cụ thể là tính không chắc chắn tồn
tại trong biến hiệu quả (biến đáp ứng (response variable) hay biến giải thích) khi biến này là
một hàm của các biến ngẫu nhiên khác, hoặc ở dạng tường minh hoặc không tường minh. Vì

các biến là ngẫu nhiên nên chúng có mối quan hệ tự nhiên về xác suất, do vậy, ta có thể sử
dụng thuật toán thống kê Phân tích hồi qui để nghiên cứu và lập mô hình cho mối quan hệ xác
suất này. Thông thường, đối với bài toán phân tích độ tin cậy của kết cấu, biến đáp ứng phụ
thuộc vào nhiều tham số ngẫu nhiên, do vậy phép hồi qui tuyến tính bội thường được sử dụng
trong trường hợp này. Đây là mối quan hệ toán học phức tạp, khó có thể phân tích định tính
dạng của các quan hệ đó.
Trong phương pháp hồi qui thông thường, sự sai lệch giữa các giá trị quan sát và các
ước lượng liên quan đến sự không chính xác (imprecision) hoặc không rõ ràng (vagueness)
của cấu trúc hệ thống. Theo Tanaka, các sai lệch giữa các giá trị thực và các giá trị tính toán
này phụ thuộc vào tính mờ của cấu trúc hệ thống, hay nói một cách khác, là tính mờ của các
tham số hệ thống. Nó được phản ánh trong mô hình hồi qui tuyến tính mờ mà các hệ số hồi
qui của hàm hồi qui là các phần tử mờ. Việc mô hình các hệ tuyến tính mờ được biểu đạt trong
phân tích hồi qui tuyến tính mờ. Mô hình sau đây thể hiện sự phụ thuộc của biến đầu ra
(output variable) từ các biến đầu vào (input variables) [4, 5].
%) A
%x A
%x ... A
%x
(2.4)
Y% f ( x, A
1 1
2 2
n n
~
trong đó, Y là đầu ra mờ, x =[x1, x2, ..., xn]T là vectơ đầu vào được xác định bằng các giá trị
% A
%, A
%
% là một tập hợp của các số mờ. Trong bài viết này, tập hợp của các
thực, và A

1 2 ,..., An
điểm dữ liệu tỏ đã cho là một loạt các giá trị ứng suất và các giá trị của những yếu tố liên quan
của nó thu được từ phương pháp phần tử hữu hạn và xem đó là các mẫu dữ liệu, các mẫu dữ
liệu này được sử dụng để thiết lập hàm hồi qui giữa ứng suất mờ và các phần tử liên quan X =
[x1, x2, ..., xn ] bằng phương pháp hồi qui tuyến tính mờ. Khi mối quan hệ giữa biến phụ thuộc
Y và biến độc lập X không phải là tuyến tính nhưng phức hợp, chúng ta có thể sử dụng
phương pháp phân tích hồi qui tuyến tính bội để giải bài toán.
Khi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn và bằng việc thay đổi giá trị của các tham
số liên quan bởi những sai số quanh giá trị trung bình, ta thu được hàng loạt các giá trị ứng
suất khác nhau, các giá trị này được xem như là các mẫu dữ liệu và được sử dụng để thiết lập
hàm hồi qui giữa ứng suất mờ và các phần tử liên quan X = [x1, x2, ..., xn ] bằng phương pháp
hồi qui tuyến tính mờ.
Giả sử, một tập hợp gồm n biến giải thích (các tham số liên quan đến ứng suất kết cấu)
được thể hiện như sau [6]:
U = [ u1, u2, ..., un, un+1, ..., u2n] = [ x1, x2, ..., xn, x12, x22, ..., xn2 ]
(2.5)
Theo phương pháp hồi qui tuyến tính mờ, ta xác lập được phương trình hồi qui dưới dạng:
y = A1u1 + A2u2 + . . . + A2nu2n .
(2.6)
Trong đó, hệ số hồi qui Aj là một số mờ. Một cách tổng quát, Aj được xác định như một phần
tử mờ tam giác A(a,c), và hàm lệ thuộc của nó được xác định như sau:
1-

àA(z) =

Trong đó:

za
,
c

0,

a-c z a+c
(2.7)
các trường hợp khác

a là giá trị trung tâm của hệ số hồi qui mờ A,
c (c > 0 ) là độ rộng hay sai số của A.
à
1
0


Hình 2.2
Như vậy, vấn đề cơ bản là phải tìm được các tham số mờ Aj (j = 1, ... ,2n), nghĩa là xác
định các cặp tham số mờ (aj, cj).
Hàm tuyến tính mờ phù hợp nhất đối với các dữ liệu đã cho là một hàm mà trong đó
tổng của các sai số (hay độ rộng) ci là bé nhất.
Các ma trận X và Y được sử dụng từ các dữ liệu quan sát để xác định giá trị ước lượng
a của các hệ số trong phương trình hồi qui bằng phương pháp Hồi qui tuyến tính bình phương
bé nhất mờ, ta có:
(2.8)
a [u T u]1[u T y]
Trong đó:
u là ma trận biến số, cỡ Nx2n
y là ma trận ứng suất, cỡ Nx1
Ma trận c được xác định từ điều kiện: tổng của các sai số ci là bé nhất:
N

min J =

c T ui

(2.9)

i 1

aT.ui - (1 - H). cT|ui| yi
aT.ui + (1 - H). cT|ui| yi
với tất cả dữ liệu i = 1, ..., N
trong đó: a là ma trận hệ số, cỡ 2nx1.
H được gọi là mức mờ có giá trị trong khoảng [0, 1].
Thoả mãn:

(2.10)

2.4. Tính toán độ tin cậy
Từ mô hình giao thoa giữa ứng suất mờ và sức bền ngẫu nhiên. ứng suất được mô hình
như một biến mờ với hàm lệ thuộc S~ ( x) , và sức bền được mô hình như một biến ngẫu nhiên
với hàm phân phối f(x). Miền giao nhau giữa hai đường cong thể hiện sự hư hỏng có thể xảy
~
~
ra khi sức bền nhỏ hơn ứng suất S . Kết cấu xảy ra hư hỏng khi < S , nó là một biến cố
mờ, vì vậy theo định nghĩa về xác suất mờ của Lofti A. Zadeh, xác suất hư hỏng của kết cấu
được tính toán bởi hàm biểu diễn sau [7]:
~
(2.11)
F S~ ( x) f ( x)dx
~

~

Và độ tin cậy mờ được xác định: R 1 F 1 S~ ( x) f ( x)dx

(2.12)

Trong phân tích hồi qui tuyến tính mờ, ứng suất của kết cấu là một phần tử tam giác, vì
vậy ta có thể thu được hàm lệ thuộc của ứng suất mờ:

S~ ( x ) =

1-

xm
,
n

m-n x m+n

(2.13)

0,

các trường hợp khác
~
~
trong đó m là giá trị trung tâm của ứng suất mờ S và n là sai số của S .
Khi sự phân phối của sức bền theo qui luật phân phối chuẩn, thì hàm mật độ xác suất
của nó có thể được xác định như sau:

f S ( x)

1



1x

exp
2

2








2





(2.14)
trong đó à là giá trị trung bình của sức bền và là độ lệch chuẩn của .

3. ứng dụng tính toán
Đánh giá độ tin cậy cho một hệ khung bằng thép, tiết diện tròn, đường kính d = 0,12
mét; chiều cao h = 3 mét; khẩu độ l = 4 mét; chịu tải trọng ngoài tác dụng phân bố đều q = 25
kN/m và trọng lượng bản thân của hệ với trọng lượng riêng của vật liệu thép là w = 78,50
kN/m3. Sơ đồ của hệ khung được thể hiện ở Hình (3.1) như sau:
q = 25 kN/m

C

D

d

d

d

A

d = 12 cm
h

B

Hình 3.1 Sơ đồ tính toán

l

Từ bài toán đặt ra, ta có thể xác định các tham số mờ ảnh hưởng đến ứng suất của kết
cấu gồm: tải trọng ngoài q và các kích thước hình học như chiều dài l, chiều cao h, đường kính

d.
Để thực hiện phép phân tích hồi qui tuyến tính mờ, ta cần xây dựng một liệt các tham
số mờ bằng việc thay đổi các giá trị ảnh hưởng trong biên độ khả dĩ, ở đây ta chọn biên độ
thay đổi là 5% so với giá trị trung bình và thu được một ma trận biến số. ứng dụng biểu
thức (2.5):
U = [ u1, u2, ..., un, un+1, ..., u2n] = [ x1, x2, ..., xn, x12, x22, ..., xn2 ]
Ta có:
= [ l, h, d, q, l2, h2, d2, q2 ]
(3.1)
Từ biểu thức (3.1), với sự thay đổi xen kẻ giá trị của các tham số mờ (l, h, d, q) trong
biên độ 5% ta được ma trận biến số có kích cỡ N x 2n.
Với:

n là số lượng các biến ngẫu nhiên mờ.
N là tổng các phép thực hiện thay đổi tham số.

Để xác định được hàng loạt các giá trị ứng suất, ta sử dụng Phương pháp phần tử hữu
hạn với phần mềm SAP 2000 để xác định momen uốn MI và ứng suất I tương ứng tại tiết diện
nguy hiểm. Ma trận biến số và Ma trận ứng suất xác định được từ pp PTHH (Bảng 3.1) sau:
Ma trận biến số

Ma trận ứ.s.

l

h

d

q

l2

h2

d2

q2

M



3,8
3,8
3,8
3,8
3,8

2,85
2,85
2,85
2,85
2,85

11,4
11,4
11,4
12,0
12,0

23,75
25,00
26,25
23,75
25,00

14,44
14,44
14,44
14,44
14,44

8,12
8,12
8,12
8,12
8,12

129,96
129,96
129,96
144,00
144,00

564,06
625,00
689,06
564,06
625,00

22.848
24.011
25174
22.930
24.094

157,08
165,08
173,08
135,16
142,02


3,8
3,8
3,8
3,8
3,8
3,8
3,8
3,8
3,8
3,8

2,85
2,85
2,85
2,85
3,00

3,00
3,00
3,00
3,00
3,00

12,0
12,6
12,6
12,6
11,4
11,4
11,4
12,0
12,0
12,0

26,25
23,75
25,00
26,25
23,75
25,00
26,25
23,75
25,00
26,25

14,44
14,44

14,44
14,44
14,44
14,44
14,44
14,44
14,44
14,44

8,12
8,12
8,12
8,12
9,00
9,00
9,00
9,00
9,00
9,00

144,00
158,76
158,76
158,76
129,96
129,96
129,96
144,00
144,00
144,00

689,06
564,06
625,00
689,06
564,06
625,00
689,06
564,06
625,00
689,06

25.257
23.017
24.181
25.344
23.150
24.329
25.507
23.234
24.412
25.591

148,88
117,20
123,13
129,05
159,16
167,27
175,37

136,95
143,90
150,85

........................................................................................................................................................................
3,8
3,8
3,8
3,8
3,8
3,8
3,8
3,8
3,8
3,8
3,8
3,8
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,2
4,2
4,2
4,2
4,2

4,2
4,2

3,00
3,00
3,00
3,15
3,15
3,15
3,15
3,15
3,15
3,15
3,15
3,15
2,85
2,85
2,85
2,85
2,85
2,85
2,85
2,85
3,15
3,15
3,15
3,15
3,15
3,15
3,15

12,6
12,6
12,6
11,4
11,4
11,4
12,0
12,0
12,0
12,6
12,6
12,6
11,4
11,4
11,4
12,0
12,0
12,0
12,6
12,6
11,4
12,0
12,0
12,0
12,6
12,6
12,6

23,75

25,00
26,25
23,75
25,00
26,25
23,75
25,00
26,25
23,75
25,00
26,25
23,75
25,00
26,25
23,75
25,00
26,25
23,75
25,00
26,25
23,75
25,00
26,25
23,75
25,00
26,25

14,44
14,44
14,44

14,44
14,44
14,44
14,44
14,44
14,44
14,44
14,44
14,44
16,00
16,00
16,00
16,00
16,00
16,00
16,00
16,00
17,64
17,64
17,64
17,64
17,64
17,64
17,64

9,00
9,00
9,00
9,92
9,92

9,92
9,92
9,92
9,92
9,92
9,92
9,92
8,12
8,12
8,12
8,12
8,12
8,12
8,12
8,12
9,92
9,92
9,92
9,92
9,92
9,92
9,92

158,76
158,76
158,76
129,96
129,96
129,96
144,00

144,00
144,00
158,76
158,76
158,76
129,96
129,96
129,96
144,00
144,00
144,00
158,76
158,76
129,96
144,00
144,00
144,00
158,76
158,76
158,76

564,06
625,00
689,06
564,06
625,00
689,06
564,06
625,00
689,06

564,06
625,00
689,06
564,06
625,00
689,06
564,06
625,00
689,06
564,06
625,00
689,06
564,06
625,00
689,06
564,06
625,00
689,06

23.321
24.500
25.679
23.444
24.638
25.832
23.520
24.722
25.916
23.617
24.811

26.055
24.987
26.259
27.531
25.077
26.349
27.621
25.172
26.444
30.748
28.007
29.428
30.849
28.113
29.534
30.955

118,75
124,76
130,76
161,18
169,39
177,60
138,69
145,73
152,77
120,26
126,34
132,42
171,79

180,53
189,28
147,82
155,32
162,82
128,17
134,65
211,40
165,09
173,47
181,84
143,15
150,39
157,62

Theo phương trình (2.6), phương trình hồi qui tuyến tính mờ thiết lập cho ứng suất lớn
nhất tại tiết diện nguy hiểm của kết cấu được biểu diễn như sau:
y =

S%= A1 u1 + A2 u2 + A3 u3 + A4 u4 + A5 u5 + A6 u6 + A7 u7 + A8 u8.

(3.2)

= A1 l + A2 h + A3 d + A4 q + A5 l2 + A6 h2 + A7 d 2 + A8 q2.
(3.3)
Trong đó, Aj được xác định như một phần tử mờ tam giác mờ Aj(aj, cj), tổ hợp các
thành phần mờ từ phương trình hồi qui (3.3) ta được hệ số hồi qui mờ A được xác định như
một phần tử tam giác mờ A(a, c) .

Trường hợp: Chọn mức mờ H = 0,5:

Kết quả thu được các hệ số hồi qui Aj(aj, cj) thể hiện ở Bảng 3.2 như sau:
j

1

2

3

4

5

6

7

8


Aj
aj

162,29

216,11

-143,79

29,59

-11,62

-33,75

4,38

-0,47

cj

0,0169

0,0003

0,044

0,0352

0,0012

0,2393

0,0113

0,0089

Từ kết quả ở Bảng 3.2, thay thế các giá trị của hệ số hồi qui Aj(aj, cj) và các giá trị l, h,
d, q vào phương trình (3.3) ta được: S%= (159,30; 10,87)
Vậy, hàm thuộc của ứng suất mờ S%được xác định như sau:

1à S%(x) =

x 159,30
,
10,87

148,43 x 170,17

(3.4)

0,
các trường hợp khác
Trong đó: m = 159,30 là giá trị trung tâm của ứng suất mờ S%.
n = 10,87 là sai số của ứng suất mờ S%.
Xem sự phân phối cường độ vật liệu thép theo qui luật phân phối chuẩn. Từ sổ tay kết
cấu, ta có giá trị trung bình của cường độ thép = 210 MPa, chọn độ lệch chuẩn bằng 10%
giá trị trung bình, ta được = 21 MPa. ứng dụng Phương trình (2.11), Kết quả thu được xác
suất hư hỏng mờ: F%= 0,012412
%= 1 - F%= 0,987588
Như vậy, xác suất an toàn mờ: R
4. kết luận
Từ các mô hình toán học được trình bày ở phần lý thuyết cơ sở, những diễn toán được
áp dụng cụ thể qua ví dụ tính toán và các kết quả thu nhận được, chúng ta nhận thấy rằng, đối
với bài toán đánh giá độ tin cậy theo lý thuyết tập mờ, các sai số ngẫu nhiên của các tham số
tính toán được thực hiện đan xen và hoán chuyển (alternative) với nhau, nó thể hiện tính ngẫu
nhiên mờ (fuzzy random). Sự phối hợp phương pháp phần tử hữu hạn như một công cụ toán
học là một điều kiện thuận lợi giúp ta thu được hàng loạt các giá trị ứng suất trong phạm vi
biên độ thay đổi, làm tiền đề cho việc thực hiện phép phân tích hồi qui tuyến mờ, đồng thời
cũng là giải pháp tối ưu giúp cho chúng ta có thể ứng dụng mô hình tính toán một cách rộng
rãi đối với các kết cấu phức tạp khi việc xác định ứng suất không thể biểu diễn cụ thể bằng các

công thức toán học hoặc trong các trường hợp số lượng biến ngẫu nhiên không xác định rõ
ràng.
tài liệu tham khảo
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]

[6]
[7]

H. J. Zimmermann, Fuzzy Set Theory and Its applications, second edition, Kluwer Academic
Puplishers, Boston/London, 1991.
Nguyn Hong Phng, Bựi Cụng Cng, Nguyn Doón Phc, Phan Xuõn Minh, Chu Vn
H, H m v ng dng, Nh xut bn Khoa hc v K thut, H ni, 1998.
Bựi Cụng Cng, Nguyn Doón Phc, H m, Mng Ntron v ng dng, Nh xut
bn
Khoa hc v K thut, H ni, 2002.
Palle Thoft - Christensen, Yoshisada Murotsu, Application of Structural Systems Reliability
Theory, Japan, 1986.
K.K. Yen, S. Ghoshray, G. Roig, A linear regression model using triangular fuzzy number
coefficients, Department of Electrical & Computer Engineering, Florida International
University, Miami, USA, 1997.
Libing, Zhu Meilin, Xukai, A practical engineering method for fuzzy reliabilityanalysis of
mechanical structures, Huazhong University of Science & Technology, China, 1999.
Quimi Jiang, Chun-Hsien Chen, A numerical algorithm of fuzzy reliability, School of
Mechanical and Production Engineering, Nanyang Technological University, Singapore, 2003.