Đề Thi HSG Cấp Tỉnh Môn Toán 12 Năm 2009 2010

SỞ GD&ĐT KHÁNH HÒA

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2009-2010
MÔN TOÁN - LỚP 12 THPT - BẢNG A
Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
------------------------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1.(4 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Chứng minh :
2
1
( sin A + sin B + sin C ) + ( tan A + tanB + tanC ) > π .
3
3
Bài 2.(4 điểm) Giải phương trình :
3

7x + 1 − 3 x 2 − x − 8 + 3 x 2 − 8x − 1 = 2 .

Bài 3.(3 điểm) Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn phương trình :

3(x − 3) 2 + 6y 2 + 2z 2 + 3y 2 z 2 = 33 .
Bài 4.(3 điểm) Cho 2 điểm cố định A và B. Hai đường thẳng (d 1) và (d2) lần lượt đi qua A, B
·
·
− MBA
= 900 . Tìm quỹ tích điểm M.
và cắt nhau ở M sao cho : MAB
Bài 5.(3 điểm) Cho khối tứ diện ABCD, M là một điểm nằm bên trong tứ diện, các đường

thẳng AM, BM, CM, DM lần lượt cắt các mặt (BCD), (ACD), (ABD), và (ABC) tại
A1, B1, C1, D1.
a. Chứng minh rằng :

MA1 MB1 MC1 MD1
+
+
+
không đổi .
AA1 BB1 CC1 DD1

b. Tìm vị trí của điểm M để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất :
P=

AM
BM
CM
DM
+
+
+
.
MA1
MB1
MC1
MD1

Bài 6.(3 điểm) Cho n đường tròn giao nhau và chiếm trên mặt phẳng một diện tích bằng 1.
Chứng minh rằng có thể chọn ra một số đường tròn không giao nhau từng cặp mà tổng
diện tích của các hình tròn này không nhỏ hơn 1/9.

--------- HẾT --------Ghi chú:

Đề thi này có 01 trang;
Giám thị không giải thích gì thêm.