Đề thi HSG cấp tỉnh môn Toán

5 5 5 5 5 5
1
ab bc ca
a b ab b c bc c a ca
+ + ≤
+ + + + + +
3 2 2
( 1) 0x mx mx m− + − + =
( ) ( )
2 2
3 ( ) 4 ( 1),x P x x P x x R
− = − + ∀ ∈
2 2 2
( ) 0p q pq− + =
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2008-2009
Môn thi : TOÁN
Thời gian làm bài : 180 phút
( Không kể thời gian phát đề )
Bài 1. ( 3 điểm )
Tìm tất cả các số nguyên m sao cho phương trình có
một nghiệm nguyên.
Bài 2. ( 3 điểm )
Giả sử p, q, x , y là các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện :
pcot
2
x + qcot
2
y = 1 , pcos
2
x + qcos

2
y = 1 , p sinx = q siny

Chứng minh rằng :
Bài 3. ( 3 điểm )
Tìm tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn :
Bài 4. ( 3 điểm )
Cho a , b, c là những số thực dương sao cho abc = 1 .
Chứng minh rằng :
Bài 5. ( 4 điểm )
Cho tam giác ABC và D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và
CA. Giả sử tia phân giác của góc ADC cắt AC tại N, tia phân giác của góc BDC cắt
BC tại M. Cho MN và CD cắt nhau tại O; EO cắt AC tại P và đường thẳng FO cắt
BC tại Q. Chứng minh rằng CD = PQ.
Bài 6. ( 4 điểm )
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và M là một điểm thay
đổi trên cung nhỏ BC. N là điểm đối xứng của M qua trung điểm I của AB. Gọi H
và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác NAB.
a) Giả sử NK cắt AB tại D, hạ KE vuông góc với BC tại E.
Chứng minh rằng DE đi qua trung điểm của HK.
b) Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác NAB khi M lưu động trên cung nhỏ
BC.
- HẾT -