Đề thi và đáp án môn toán chuyên Lê Quý Đôn Bình Định 2009 2010

SỞ GIÁO DỤC BÌNH ĐỊNH
BÌNH ĐỊNH

KỲ THI TUỶÊN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
NĂM HỌC 2009-2010
Môn thi:Toán (chuyên)
Ngày thi:19/06/2009
Thời gian:150 phút

Đề chính thức

Bài 1(1.5điểm)
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng:
1<

a
b
c
+
+
<2
b+ c c+ a a+ b

Bài 2(2điểm)
Cho 3 số phân biệt m,n,p.Chứng minh rằng phương trình
1
1
1
+
+

= 0 có hai nghiệm phân biệt.
x- m x- n x- p

Bài 3(2điểm)
1
Sn =
+
n
³
3
Với số tự nhiên n,
.Đặt
3 1+ 2
5

(

Chúng minh Sn<

)

1

(

2+ 3

)

+ ... +

1

( 2 n + 1) ( n + n + 1)

1
2

Bài 4(3điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp tròn tâm O có độ dài các cạnh BC = a, AC = b, AB =
c.E là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A sao cho cung EB bằng cung
EC.AE cắt cạnh BC tại D.
a.Chúng minh:AD2 = AB.AC – DB.DC
b.Tính độ dài AD theo a,b,c
Bài 5(1.5điểm)
m
Chứng minh rằng : n -

2 ³

1
n2

(

3+

2

)

Với mọi số nguyên m,n.

**********************************************


P N MễN TON THI VO 10
TRNG CHUYấN Lấ QUí ễN NM 2009
Bi 1:
Vỡ a,b,c l di ba cnh tam giỏc nờn ta cú:a,b,c >0 v a< b+c ,b< a + c , c <
a+b
a
a+ a
2a
<
=
b+ c a+ b+ c a+ b+ c
a
a
>
Mt khỏc
b+ c a+ b+ c
a
a
2a
<
<
(1)
Vy ta cú
a+ b+ c c+ b a+ b+ c

b
b
2b
c
c
2a
<
<
(2);
<
<
(3)
Tng t
a+ b+ c c+ a a+ b+ c
a+ b+ c b+ a a+ b+ c

Nờn ta cú

Cng (1) (2) v (3) v theo v ta cú iu phi chng minh.
Bi 2:
K: x ạ m, n, p PT ó cho (x-n)(x-p)+(x-m)(x-p)+(x-m)(x-n) = 0
3x2 -2(m+n+p)x +mn+mp+np = 0(1)
Ta cú ' = (m + n + p)2 - 3(mn + mp + np) = m2+n2+p2 +2mn+2mp+2np -3mn-3mp1
2

3np = m2+n2+p2 mn-mp-np = [(m-n)2+(n-p)2+(m-p)2] >0
t f(x) = 3x2 -2(m+n+p)x + mn+ mp +np
Ta cú f(m) = 3m2 2m2 -2mn -2mp +mn +mp +np = m2 mn mp +np = (m-n)
(m-p) ạ 0
= >m,n,p khụng phi l nghim ca pt(1)

Vy PT ó cho luụn cú hai nghim phõn bit
Bi 3
Ta có :

<

1

( 2n + 1) ( n + n + 1)

n+ 1-

n

=

=

n+ 1- n
n+ 1- n
=
2n + 1
4n2 + 4n + 1

1 ổ1
= ỗ
ỗ ỗ
ố n
2 n + 1. n 2 ỗ
n +1 - n

4n 2 + 4n
1ổ 1
1
1
1
+
+ ... +
Do ú Sn < ỗỗỗ1 2ố
2
2
3
n

ử
ữ
ữ
ữ
ữ
n + 1ứ
1 ử
1ổ
ữ
ữ
= ỗ
ỗ1 ữ
ữ 2ố
ỗ
n + 1ứ
1

Bi 3:
ã
ã
Ta cú BAD
( Do cung EB = cung EC)
= CAE
ã
ã
V AEC
( Hai gúc ni tip cựng chn cung
= DBA
AC) nờn BAD EAC
BA AE
ị
=
ị AB. AC = AE.AD(1)
AD AC
ã
ã
ã
ã
Ta cú ADC
= BDC
(Đối đỉnh) và CAD
= DBE
(2 gúc ni tip cựng chn cung CE) nờn ACD
BDE
AD DB
ị

=
ị AD.DE = DB.DChay
DC DE

ử
1
ữ
ữ
<
ữ
ữ 2
n + 1ứ
1

C

a

E

AD(AE-AD) = DB.DC
Hay AD2 = AD.AE - DB.DC=AB.AC DB.DC (do (1))

O

b

D

B

c

A


4b)Theo tớnh cht ng phõn giỏc ta cú
DC DB
DC DB DC + DB
a
=
hay
=
=
=
AC AB
b
c
b+ c
b+ c
DC DB
a
a
a 2 bc
.
=
.
ị
DB
.

DC
=
vy b c
2
b+ c b+ c
( b + c)

theo cõu a ta cú AD = AB.AC DB.DC = bc 2

a2 bc

( b + c)

2

ổ
ử
a2 ữ
ỗ
ữ
ỗ
= bc ỗ1 2ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ ( b + c) ứ
ố

ổ
ử

a2 ữ
ỗ
ữ
ỗ
ị AD = bc ỗ1 2ữ
ỗ
ữ
ỗ
b
+
c
) ứữ
ố (

Bi 5:
m
m
là số hữu tỉ và 2là số vô tỉ nên
ạ
n
n

Vỡ

2

Ta xet hai trng hp:
a)

m

>
n

2 Khi đó m 2 > 2n 2 ị m 2

2 n 2 + 1 hay m

2n 2 + 1

T ú suy ra :
m
n

b)

2n2 + 1
n

2

m
<
n

1
2 = 2+ 2 n

2 Khi đó m 2 < 2 n 2 ịÊm 2

1

- 2
1
n2
2=
=
ổ
1
1
2 + 2 + 2 n2 ỗ
2+ 2 +
ỗ
ỗ
n
ỗ
n
ố
2+


ử
n2
ữ
2ữ
ữ
ữ
ứ

2 n 2 - 1 hay m Ê 2n 2 - 1

T ú suy ra :

m
n

=

2 = 2-

1
ổ
n2 ỗ
ỗ
2+
ỗ
ỗ
ố

m

n

2

2n - 1
= 2n

2-


ử n2
1 ữ

2- 2 ữ
ữ
n ữ
ứ

2-

1
=
n2

2- 2+
2+

1
n2

2-

1
n2

1

(

3+

2

)

************************************************

1

(

3+ 2

)