Đề thi và đáp án môn toán chuyên Hải Phòng 2009 2010

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
CHUYÊN CỦA HẢI PHÒNG
NĂM HỌC 2009-2010
Bài 1 : ( 1 điểm )
Cho x =

(

4+2 3 − 3
5+2

)

3

17 5 − 38 − 2

tính P = ( x 2 + x + 1)

2009

Bài 2 : ( 1, 5 điểm ) : cho hai phương trình x2 + b.x + c = 0 ( 1 )
và x2 - b2 x + bc = 0 (2 )
biết phương trình ( 1 ) có hai nghiệm x1 ; x2 và phương trình ( 2 ) có hai nghiệm
x3 ; x4 thoả mãn điều kiện x3 − x1 = x4 − x2 = 1 . xác định b và c
Bài 3 : ( 2 điểm )


1. Cho các số dương a; b; c . Chứng minh rằng ( a + b + c )  + + ÷ ≥ 9
a b c
1



1

1



2. Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c ≤ 3 . Chứng ming rằng
1
2009
+
≥ 670
2
2
a +b +c
ab + bc + ca
2

Bài 4 : ( 3, 5 điểm )
Cho tam giác ABC với BC = a ; CA = b ; AB = c( c < a ; c< b ) . Gọi M ; N lần lượt
là các tiếp điểm của đường tròn tâm ( O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC và
BC . Đường thẳng MN cắt các tia AO : BO lần lượt tại P và Q . Gọi E; F lần lượt là
trung điểm của AB ; AC
1. Chứng minh tứ giác AOQM ; BOPN ; AQPB nội tiếp
2. Chứng minh Q; E; F thẳng hàng
3. Chứng minh

MP + NQ + PQ OM

=
a+b+c
OC

Bài 5 : ( 2 điểm )
1. Giải phương trình nghiệm nguyên 3x - y3 = 1
2. Cho bảng ô vuông kích thước 2009 . 2010, trong mỗi ô lúc đầu đặt một viên
sỏi . Gọi T là thao tác lấy 2 ô bất kì có sỏi và chuyển từ mỗi ô đó một viên sỏi
đưa sang ô bên cạnh ( là ô có chung cạnh với ô có chứa sỏi ) . Hỏi sau một số
hữu hạn phép thực hiện các thao tác trên ta có thể đưa hết sỏi ở trên bảng về
cùng một ô không


Lời giải
Bài 1 :
x=

=
3

(

4+2 3 − 3
5+2

( 17

)

3

17 5 − 38 − 2
1

)(

3 +1− 3

=

(

3

)

5 − 38 17 5 + 38 − 2

=

)

3

5 + 2 (17 5 − 38) − 2
1
= −1
1− 2

vậy P = 1

Bài 2 : vì x3 − x1 = x4 − x2 = 1 => x3 = x1 + 1; x4 = x2 + 1
 x1 + x2 = −b(1)
 x . x = c(2)
 1 2
Theo hệ thức Vi ét ta có  x + 1 + x + 1 = b2 (3)
( 1 ) ( 2 )
( x + 1) . ( x + 1) = bc(4)
2
 1

Từ (1 ) và ( 3 ) => b2 + b - 2 = 0  b = 1 ; b = -2
từ ( 4 ) => x1. x2 + x1 + x2 + 1 = bc => c - b + 1 = bc ( 5 )
+) với b = 1 thì ( 5 ) luôn đúng , phương trình x2 + +b x + c = 0 trở thành
X2 + x + 1 = 0 có nghiệm nếu ∆ = 1 − 4c ≥ 0 ⇔ c ≤

1
4

+) với b = -2 ( 5 ) trở thành c + 3 = -2 c => c = -1 ; phương trình x2 + b x + c = 0
trở thành x2 - 2 x - 1 = 0 có nghiệm là x = 1 ± 2
1
4

vậy b= 1; c c ≤ ;
b = -2 ; c = -1
Bài 3 :
1. Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương
1 1 1
1
+ + ≥33

a b c
abc

a + b + c ≥ 3 abc


=> ( a + b + c )  + + ÷ ≥ 9
a b c
1

1



1



dấu “=” sảy ra  a = b = c
2. ta có ab + bc + ca ≤ a + b + c
2

⇒

2

2

( a + b + c)
⇒ ab + bc + ca ≤

3

2

≤3

2007
≥ 669
ab + bc + ca

Áp dụng câu 1 ta có
1
1
1

 2
2
2
+
+
 2
÷( a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ) ≥ 9
2
2
ab + bc + ca ab + bc + ca 
a +b +c
1
1
9
=> a 2 + b2 + c 2 + ab + bc + ca ≥ a + b + c 2 ≥ 1

(
)

vậy

1
2009
+
≥ 670 . dấu “=” sảy ra  a = b = c = 1
2
2
a +b +c
ab + bc + ca
2


(

1
·
·
·
µ
BOP
= BAO
+ ABO
= µA + B
2
µ 1
1800 − C

Bài 4 : a) ta có PNC
·
µ
=
= µA + B
2
2
·
·
⇒ BOP
= PNC

(

)

)

=> tứ giác BOPN nội tiếp
+) tương tự tứ giác AOQM nội tiếp
·
·
+) do tứ giác AOQM nội tiếp=> AQO
= AMO
= 900
·
·
tứ giác BOPN nội tiếp => BPO
= BNO
= 900

·
·
=> AQB
= APB
= 900 => tứ giác AQPB nội tiếp
b ) tam giác AQB vuông tại Qcó QE là trung tuyến nên QE = EB = EA
1
2

·
·
µ = QBC
·
= EBQ
= B
=> EQB
=> QE //BC

Mà E F là đường trung bình của tam giác ABC nên E F //BC
 Q; E; F thẳng hàng
c)
MP OM OP
=
=
a
OC OB
NQ ON OM
∆NOQ ~ ∆COA( g − g ) ⇒
=
=

b
OC OC
PQ OP OM
∆POQ ~ ∆BOA( g − g ) ⇒
=
=
c
OB OC
OM MP NQ PQ MP + NQ + PQ
=>
=
=
=
=
OC
a
b
c
A+ B +C
∆MOP ~ ∆COB ( g − g ) ⇒

Bài 5 :
1) 3x - y3 = 1
 y + 1 = 3m
 y = 3m − 1


⇒ 3x = ( y + 1) ( y 2 − y + 1) => tồn tại m; n sao cho  y 2 − y + 1 = 3n ⇔ 9m − 3.3m + 3 = 3n
m + b = x
m + b = x




+) nếu m = 0 thì y = 0 và x = 0
m
m
n
9 − 3.3 + 3M3
3 M3
⇔ n
+) nếu m > 0 thì  m
m
9 − 3.3 + 3M9
3 M9

⇔ n =1

=> 9 − 3.3 + 3 = 3 ⇒ 3 ( 3 − 3) = 0 => m = 1 => y = 2 ; x = 2
vậy p/ trình có hai nghiệm là ( 0 ; 0 0 ; ( 2 ; 2 )
2.Ta tô màu các ô vuông của bảng bằng hai màu đen trắng như bàn cờ vua
Lúc đầu tổng số sỏi ở các ô đen bằng 1005 . 2009 là một số lẻ
sau mối phép thực hiện thao tác T tổng số sỏi ở các ô đen luôn là số lẻ
vậy không thể chuyển tất cả viên sỏi trên bẳng ô vuông về cùng một ô sau một số hữu
hạn các phép thưc hiện thao tác T
m

m

m

m