BT Đại 11 hay có giải

Lượng Giác
1) Cho cota =

3
1
. Tính A = 2
3
sin a − sin a cos a − cos2 a

 1
3 1 + ÷
3(1 + cot 2 a)
1
=  9 =6
• Vì cota = nên sina ≠ 0 ⇒ A =
2
1 − cot a − cot a 1 − 1 − 1
3
3 9
sin α .cos α
3
2) Cho tan α = . Tính giá trị biểu thức : A = 2
.
5
sin α − cos2 α
3
tan
α
15
3
= 5 =−

• Vì tan α = nên cosα ≠ 0 ⇒ A = 2
16
5
tan α − 1 9 − 1
25
cosα + sin α
= 1 + cot α + cot 2 α + cot 3 α
( α ≠ kπ , k ∈ ¢ ) .
3) Chứng minh:
3
sin α
cosα + sin α cosα
1
1
=
.
+
= cot α .(1 + cot 2 α ) + 1 + cot 2 α = 1 + cot α + cot 2 α + cot 3 α
3
2
2
sin α sin α sin α
sin α
tan 2α + cot 2α
π
α
=
4) Rút gọn biểu thức: A =
.
Sau

đó
tính
giá
trị
của
biểu
thức
khi
.
8
1 + cot 2 2α
tan 2α + cot 2α
1
A=
=
.sin 2 2α = tan 2α
2
sin 2α .cos 2α
1 + cot 2α
π
π
π
Khi α = thì A = tan 2. = tan = 1
8
8
4

5) Tính giá trị các biểu thức sau:
A = sin


 π π
11π
25π
π 
π
3 2
6
sin
= sin  4π − ÷sin  6π + ÷ = sin  − ÷sin = −
.
=−
,
3
4

3 
4
 3
4
2 2
4


13π
21π
π 
π
π
π

2
sin
= sin  2π + ÷sin  5π + ÷ = − sin sin = −
6
4

6 
4
6
4
4
4
6) Cho sina + cosa = . Tính sina.cosa
7
4
16
33
sin a + cosa = ⇔ 1 + 2 sin a cos a =
⇔ sin a cos a = −
7
49
98
sin α + cos α sin α
1
1
=
.
+
= tan α (1 + tan2 α ) + 1 + tan 2 α = 1 + tan α + tan 2 α + tan3 α
7) Cmr

3
2
2
cos α cos α cos α
cos α
1
1
−8
4
8) Tính sin α . cos α biết sin α + cos α = − ⇔ 1 + 2sin α cos α = ⇔ 2sin α cos α = ⇔ sin α cos α = −
3
9
9
9
9) Cho cos α – sin α = 0,2. Tính cos3 α − sin3 α ?
B = sin

Ta có: cos α − sin α = 0,2 ⇔ 1 − 2sin α cos α = 0,04 ⇔ sin α cos α = 0,48
Do đó: cos3 α − sin3 α = (cos α − s inα )(1 + sin α cos α ) = 0,2(1 + 0,48) = 0,296
π
. Tính giá trị biểu thức A = (cos a + cos b)2 + (sin a + sin b)2 .
3
A = (cos a + cos b)2 + (sin a + sin b)2 = 2 + 2(cos a cos b + sin a sin b)
π
= 2 + 2 cos(a − b) = 2 + 2 cos = 3
3

10) Cho a − b =

sin a

11) Cho tana = 3 . Tính

sin3 a + cos3 a
sin α
tan α (1 + tan 2 α ) 3(1 + 9) 30 15
=
=
=
=
Vì tan α = 3 ⇒ cos α ≠ 0 ⇒ 3
27 + 1 28 14
sin α + cos3 α
tan3 α + 1

1
1
12) Cho cos a = , cos b = . Tính giá trị biểu thức A = cos(a + b).cos(a − b) .
3

4

1
2

Ta có: A = cos(a + b).cos(a − b) = (cos 2a + cos 2b)
1
9

7
9

Mặt khác ta có cos 2a = 2 cos2 a − 1 = 2. − 1 = − , cos 2b = 2 cos2 b − 1 = 2.
1 7
2 9

7
8

Vậy A =  − − ÷ = −

1
7
−1 = −
16
8

119
144

π
cos3 α − sin3 α
. Sau đó tính giá trị biểu thức A khi α = .
3
1 + sin α cos α
cos3 α − sin3 α (cos α -sin α )(cos2 α + sin α cos α + sin 2 α )
A=
=
1 + sin α cos α

(1 + sin α cos α )
(cos α − sin α )(1 + sin α cos α )
=
= cos α − sin α
(1 + sin α cos α )

13) Rút gọn biểu thức A =

Khi α =

π
π
π 1− 3
thì A = cos − sin =
3
3
3
2

14) Tính các giá trị lượng giác sin2α, cos2α biết cotα = −3 và
1

7π
< α < 4π .
2

1
9
⇒ cos2 α =
10

1 + cot 2 α 10
9
4
• cos 2α = 2 cos2 α − 1 = 2. − 1 =
10
5
2
• sin α =

=

2

• 7π < α < 4π ⇔ 7π < 2α < 8π ⇒ sin 2α < 0 ⇒ sin 2α = − 1 − cos2 2α = − 1 −  4 ÷ = − 3
2
5
5
2sin α + cos α
15) Cho biết tan α = 3 . Tính giá trị của biểu thức:
sin α − 2 cos α
2sin α + cos α 2 tan α + 1
=
=7
Vì tan α = 3 ⇒ cos α ≠ 0 ⇒
sin α − 2 cos α
tan α − 2
cot 2 2α − cos2 2α sin 2α .cos 2α
+
16) Chứng minh biểu thức sau đây không phụ thuộc vào α . A =
cot 2α

cot 2 2α
A=

cot 2 2α − cos2 2α
cot 2 2α

+

sin 2α .cos 2α
= 1 − sin2 2α + sin2 2α = 1
cot 2α

π

Q = sin  − α ÷ sin ( π − α ) Tính P + Q = ?
2

π

Ta có P = sin(π + α ) cos(π − α ) = sin α cos α , Q = sin  − α ÷ sin ( π − α ) = cos α .sin α Vậy P + Q = sin 2α
2


17) Cho P = sin(π + α ) cos(π − α ) và


18) Rút gọn A

π
sin(π + x ) cos  x − ÷tan(7π + x )

− sin x.sin x.tan x

2
A=
=
= − tan 2 x
cos x.cos x.tan x
 3π

cos(5π − x )sin 
+ x ÷tan(2π + x )
 2


π π 

11π
π 
π
π
π
π
π
= cos  π − ÷ = − cos = − cos  − ÷ = −  cos .cos + sin .sin ÷
19)Tính cos
12

12 
12
3 4


3
4
3
4
1 2
3 2
2+ 6
= −  . + . ÷= −
2 2
2 2 
4

20) Cho sin a =

3
với 900 < a < 1800 . Tính cosa, tana.
4

9
7
• Vì 900 < a < 1800 nên cos a < 0 ⇒ cos a = − 1 − sin 2 a = − 1 − = −
16

• tan a =

4

sin a
3 7

=−
cos a
7

21) Chứng minh: sin 4 x − cos4 x = 1 − 2 cos2 x .
• Ta có sin 4 x − cos4 x = (sin2 x − cos2 x )(sin2 x + cos2 x ) = 1 − cos2 x − cos2 x = 1 − 2 cos2 x

3 π
π
 < α < π ÷. Vì < α < π nên cos α < 0 .
4 2

2
sin α
3
7
9
7
=−
⇒ cot α = −
• cos α = − 1 − sin 2 α = − 1 − = −
• tan α =
cosα
3
7
16
4

3π 
3π

b) tan α = 2 2  π < α < ÷ . Vì π < α <
nên cos α < 0 .

2 
2

22) a) sin α =

• cos α = −

1
1 + tan 2 α

=−

1
1 + (2 2)2

=−
π
2

1
2 2
1
sin α = tan α .cos α = −
, cot α =
•
3
3

2 2



π
2




23) Rút gọn A = sin(− x ) + sin(π − x ) + sin  + x ÷+ sin  − x ÷ = − sin x + sin x + cos x + cos x = 2 cos x
1

1

1
1
+
= cos 2 α + sin 2 α = 1
2
2
1 + tan α 1 + cot α
1 + tan a 1 + cot a
b) 1 + sin α + cos α + tan α = 1 + tan α + cos α (1 + tan α ) = (1 + tan α )(1 + cos α )

24) Cmr

a)

2

+

2

=1

~

cos a
cos α
sin α cos2 α + sin α + sin2 α
1 + sin α
1
+ tan a =
+
=
=
=
1 + sin a
1 + sin α cos α
(1 + sin α ).cos α
(1 + sin α ).cos α cos α
2
π
π
25) Cho sin a = với 0 < a < . Vì 0 < a < nên cos α > 0 .
3
2
2

sin α
2
5
4
5
=
⇒ cot α =
• cos α = 1 − sin 2 α = 1 − =
• tan α =
cos α
2
9
3
5
π
1
1
26) Cho 0 < a, b < và tan a = , tan b = . Tính góc a + b =?
2
2
3
1 1
5
+
π
tan a + tan b
π
• 0 < a, b < 2 ⇒ 0 < a + b < π ⇒ tan(a + b) = 1 − tan a tan b = 2 1 31 = 65 = 1 ⇒ a + b = 4
1− .
2 3 6

c)

4
5

27) a) Cho cosα = vaø 00 < α < 900 .


1
cot α + tan α sin α .cos α
1
1
1
25
=
=
• Ta có A = cot α − tan α = cos 2α = cos 2α =
2
2 cos α − 1 2. 16 − 1 7
sin α .cos α
25
2
28) Biết sin α + cos α = 2 , tính sin 2α = ? Ta có (sin α + cosα ) = 2 ⇔ 1 + 2sin α cos α = 2 ⇔ sin 2α = 1

sin3 α − cos3 α
(sin α − cos α )(1 + sin α cos α )
+ sin α + cos α =
+ (sin α + cos α )
sin α − cos α

sin α − cos α
= 1 + sin α cos α + sin α + cos α ⇒ A = (1 + cos α )(1 + sin α )

29) Rút gọn A =

30) Cho A, B, C là 3 góc trong 1 tam giác. Chứng minh rằng:
a) Ta có: A + B + C = π nên A + B = π − C ⇒ sin( A + B) = sin(π − C ) ⇔ sin( A + B) = sin C
b) Ta có:

A+ B π C
A+ B
A+ B
C
π C 
= − ⇒ sin
= sin  − ÷ ⇔ sin
= cos .
2
2 2
2
2 2
2
2

31) Tính giá trị biểu thức A = 8sin2 450 − 2(2 cot 300 − 3) + 3cos 90 0
2

 1 
A = 8sin 45 − 2(2 cot 30 − 3) + 3cos 90 = 8. 
÷ − 2 ( 2. 3 − 3 ) + 3.0 = 4 − 2 3

 2
2

0

0

32) Cho tan x = −4 vaø
Ta có: A =

0

3π
1 + cos2 x
< x < 2π . Tính A =
2
sin2 x

1 + cos2 x
sin 2 x

=

1
sin2 α

+ cot 2 α = 1 + 2 cot 2 α = 1 +
2

2

2
tan2 α

= 1+

2 9
=
16 8

33) Ko phụ thuộc A = ( tan α + cot α ) − ( tan α − cot α ) = (tan2 α + cot 2 α + 2) − (tan 2 α + cot 2 α − 2) = 4
2sin x + 3cos x 2 tan x + 3 −4 + 3
1
=
=
=−
2 cos x − 5sin x 2 − 5 tan x 2 + 10
12
2
2
2
2
1 − 2sin α
2 cos α − 1 cos α − sin α cos2 α − sin 2 α
= cos α − sin α + cos α + sin α = 2 cos α
35) B =
+
=
+
cos α + sin α cos α − sin α

cos α + sin α
cos α − sin α
 1

1 − sin 2 x
= cot 2 x.cos2 x
36) Cmr cot 2 x − cos2 x = cos2 x  2 − 1÷ = cos2 x.
2
sin x
 sin x 

34) Rút gọn A =

37) Cmr ( x sin a − y cos a)2 + ( x cos a + y sin a)2 = x 2 (sin 2 a + cos2 a) + y 2 (sin 2 a + cos2 a) = x 2 + y 2
38) Cmr
cos 2 x 2sin 2 x + cos 2 x = 1 − sin 4 x

(
VT = cos x ( 2sin
2

2

)
x + cos x ) =
2

= ( 1 − sin 2 x ) ( sin 2 x + sin 2 x + cos 2 x ) =
= ( 1 − sin 2 x ) ( 1 + sin 2 x ) =

= 1 − sin 4 x = VP