CÀI ĐẶT PHẦN MỀM TÍNH BAO ĐÓNG (A+) VÀ KIỂM TRA TÍNH BCNF CỦA SƠ ĐỒ QUAN HỆ

Một số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn trong hệ cơ sở dữ liệu
MỞ ĐẦU
Cơ sở dữ liệu (CSDL) là một trong những lĩnh vực được tập trung
nghiên cứu của tin học nhằm giải quyết các vấn đề về quản lý, tìm kiếm và xử
lý thông tin trên các hệ thống thông tin lớn, đa dạng và phức tạp. Cùng với sự
phát triển mạnh mẽ của tin học và máy tính trong đời sống kinh tế, văn hoá, xã
hội,...việc nghiên cứu CSDL ngày một phát triển rộng rãi và hoàn thiện hơn.
Hiện nay có rất nhiều loại mô hình cho các hệ CSDL như:
Mô hình mạng (Network model)
Mô hình phân cấp (Hierachical model)
Mô hình quan hệ (Relational model)
Từ những năm 1970, mô hình dữ liệu quan hệ do E.F Codd đưa ra đã
tạo ra cơ sở toán học chặt chẽ với cấu trúc hoàn chỉnh làm nền tảng cho các
vấn đề nghiên cứu lý thuyết về CSDL. Với ưu điểm về tính cấu trúc và khả
năng hình thức phong phú, CSDL quan hệ dễ dàng mô phỏng các hệ thông tin
đa dạng trong thực tiễn tạo điều kiện lưu trữ thông tin tiết kiệm, có tính độc
lập và nhất quán cao, dễ sửa đổi, bổ sung cũng như khai thác dữ liệu, mô hình
quan hệ có sự phát triển mạnh mẽ về lý thuyết và ngày càng được sử dụng
rộng rãi trong việc thiết kế các CSDL lớn và phức tạp. Ngôn ngữ quản trị dữ
liệu cho mô hình quan hệ khá trong sáng và tự nhiên, do đó dễ học, dễ sử
dụng, điều này lý giải cho sự phát triển mạnh mẽ không ngừng của các hệ
quản trị CSDL trên máy tính IBM-PC như: Dbase, Foxbase, Foxpro, Access,
SQL Forwin, Oracle,...
Mô hình dữ liệu quan hệ đặt trọng tâm hàng đầu không phải tính hiệu
quả của máy tính, mà sự mô phỏng trực quan dữ liệu theo quan điểm người
dùng, cung cấp mô hình dữ liệu đơn giản, dễ hiểu, chặt chẽ và có khả năng tự
Hoàng Văn Thủy
1
Một số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn trong hệ cơ sở dữ liệu
động hoá thiết kế. Trong bản luận văn này em đã trình bầy một số kiến thức
cơ bản về cơ sở dữ liệu và áp dụng kiến thức này xây dựng chương trình:

+ Tính bao đóng (A
+
).
+ Kiểm tra một sơ đồ quan hệ có phải là BCNF hay không ?
Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Vũ Đức Thi đã tận tình hướng
dẫn em trong quá trình làm luận văn, và em cũng xin chân thành cảm ơn Khoa
Công Nghệ Thông Tin - Trường Đại Học Đông Đô đã tạo điều kiện thuận lợi
cho em hoàn thành luận văn này.
Do luận văn này được xây dựng trong thời gian eo hẹp với vốn kiến
thức hạn chế, cho nên luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót. Em
mong nhận được những ý kiến đóng góp để kiến thức cũng như chương trình
được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, Ngày 28 tháng 5 năm 2000
Người viết
Hoàng Văn Thủy
MỤC LỤC
Hoàng Văn Thủy
2
Một số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn trong hệ cơ sở dữ liệu
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHƯƠNG I: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MÔ HÌNH
CƠ SỞ DỮ LIỆU QUAN HỆ . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Quan hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Phụ thuộc hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 8
1.3 Hệ tiên đề Armstrong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4 Hàm đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Sơ đồ quan hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.6 Bao đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 Khoá của quan hệ, lược đồ quan hệ, họ f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.8 Tập các phản khóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.9 Nửa dàn giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.10 Hệ bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.11 Thể hiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.12 Sơ đồ quan hệ tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.13 Thuộc tính cơ bản, thuộc tính thứ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.14 Một số thuật toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
CHƯƠNG II: DẠNG CHUẨN ĐỐI VỚI QUAN HỆ VÀ
SƠ ĐỒ QUAN HỆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Hoàng Văn Thủy
3
Một số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn trong hệ cơ sở dữ liệu
2.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.2 Dạng chuẩn 2NF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
2.3 Dạng chuẩn 3NF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
2.4 Dạng chuẩn BCNF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Các thuật toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

CHƯƠNG III: CHUẨN HÓA DỮ LIỆU TRONG THỰC TẾ . . .
52
3.1 Dạng chuẩn thứ nhất (1NF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
3.2 Dạng chuẩn 2 (2NF ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
3.3 Dạng chuẩn 3 (3NF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
3.4 Dạng chuẩn Boyce Codd (BCNF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60

CHƯƠNG IV: CÀI ĐẶT PHẦN MỀM TÍNH BAO ĐÓNG (A
+
)
VÀ KIỂM TRA TÍNH BCNF CỦA SƠ ĐỒ QUAN HỆ . . . . . . 63
4.1 Các Thuật toán được sử dụng trong chương trình. . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
4.1.1 Thuật toán tính bao đóng (A
+
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
4.1.2 Thuật toán kiểm tra một sơ đồ quan hệ có là BCNF hay không . . . . . .
63
4.2 Phân tích thông tin đầu vào . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.3 Phân tích thông tin đầu ra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
4.4 Thiết kế chương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Hoàng Văn Thủy
4
Một số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn trong hệ cơ sở dữ liệu
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
CHƯƠNG I
NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MÔ HÌNH
CƠ SỞ DỮ LIỆU QUAN HỆ

Trong mục này trình bầy những khái niệm cơ bản nhất về mô hình dữ
liệu quan hệ của E.F.Codd. Những khái niệm cơ bản này gồm các khái niệm
về quan hệ, phụ thuộc hàm, hệ tiên đề Armstrong, khoá,..
Những khái niệm này đóng vai trò rất quan trọng trong mô hình dữ liệu
quan hệ. Chúng được dùng nhiều trong việc thiết kế hệ quản trị cơ sở dữ liệu

(CSDL) như: Dbase, Foxbase, Foxpro, Oracle, Mega,..
1.1 Quan hệ .
Định nghĩa 1.
Cho R={a
1
,a
2
,..,a
n
} là một tập hữu hạn không rỗng các tập thuộc tính.
Mỗi thuộc tính a
i
có một miền giá trị là D
ai
. Khi đó r là một tập các bộ
{h
1
,h
2
,..,h
m
} được gọi là một quan hệ trên R với h
j
(j =1, 2,..,m) là một hàm:
h
j
: R → ∪ Da
i
Hoàng Văn Thủy
5

Một số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn trong hệ cơ sở dữ liệu
a
i
∈ R
Sao cho: h
j
( a
i
) ∈ D
ai
Với định nghĩa này chúng ta sẽ lập được bảng tương đương và một
bảng tương đương cũng sẽ chuyển được về định nghĩa này:
a
1
a
2
............... a
n
h
1
(a
1
) h
1
(a
2
) ............... h
1
(a
n

)
h
2
(a
1
) h
2
(a
2
) ............... h
2
(a
n
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
h
m
(a
1
) h
m
(a
2
) ............... h
m
(a
n
)
Nhận xét:
- Định nghĩa này là quan trọng, toàn bộ cơ sở dữ liệu dựa trên định

nghĩa này, nó là hạt nhân của cơ sở dữ liệu quan hệ.
- Vì h
1
, h
2
,.., h
m
là các thành phần trong tập hợp quan hệ trong r, cho nên các
file đó là khác nhau, vì vậy không chấp nhận có hai bản ghi trùng nhau trong
một file dữ liệu.
Ví dụ: Để lưu dữ thông tin về các mặt hàng, người ta sử dụng bảng sau:
MẶTHÀNG
Hoàng Văn Thủy
6
Một số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn trong hệ cơ sở dữ liệu
Mã hàng Tên hàng Màu sắc Trọng lượng Tỉnh
P1 Gạch men Trắng 120 Hà Nội
P2 Sơn Xanh 450 Ninh Bình
P3 Kính Nâu 800 Bình Định
P4 Bồn tắm Trắng 1000 Phú Thọ
Chúng ta có thể quy định kích thước cho các thuộc tính (các trường) như
sau:
Tên thuộc tính Kiểu Kích thước
Mã hàng Ký tự 5
Tên hàng Ký tự 30
Màu sắc Ký tự 15
Trọng lượng Số 10
Tỉnh Ký tự 20
Có nghĩa là chúng ta quy định:
Thuộc tính Mă hàng là một xâu ký tự có độ dài không quá 5

Thuộc tính Tên hàng là một xâu ký tự có độ dài không quá 30
Thuộc tính Mầu sắc là một xâu ký tự có độ dài không qúa 15
Trọng lượng là một số nguyên không quá 10
Tỉnh là một xâu ký tự không quá 20
Như vậy ta có tập thuộc tính
MẶTHÀNG = { Mã hàng, Tên hàng, Màu sắc, Trọng lượng, Tỉnh}
Ở đây D
Mã hàng
là tập các xâu ký tự độ dài không quá 5
D
Tên hàng
là tập các xâu ký tự độ dài không quá 30
D
Màu sắc
là tập các xâu ký tự độ dài không quá 15
D
Trọng lượng
là tập các xâu ký tự độ dài không quá 10
D
Tỉnh
là tập các xâu ký tự độ dài không quá 20
Hoàng Văn Thủy
7
Một số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn trong hệ cơ sở dữ liệu
Khi đó chúng ta có các quan hệ r = {h
1
, h
2
, h
3

, h
4
}, ở đây đối với bản ghi thứ
nhất (dòng thứ nhất) chúng ta có
h
1
(Mã hàng) = p
1
h
1
(Tên hàng) = Gạch men
h
1
(Màu sắc) = Trắng
h
1
(Trọng lượng) = 120
h
1
(Tỉnh) = Hà nội.
1.2 Phụ thuộc hàm
Khái niệm về phụ thuộc hàm trong một quan hệ là rất quan trọng trong
việc thiết kế mô hình dữ liệu. Năm 1970 E.F Codd đã đề cập phụ thuộc hàm
trong mô hình dữ liệu quan hệ, nhằm giải quyết việc phân rã không tổn thất
thông tin. Định nghĩa về khái niệm này được phát biểu như sau:
Định nghĩa 2. (phụ thuộc hàm)
Cho R = { a
1
, a
2

,.., a
n
} là tập các thuộc tính, r = { h
1
, h
2
,.., h
m
} là một
quan hệ trên R, và A, B ⊆ R ( A, B là tập cột hay tập thuộc tính ). Khi đó ta
nói A xác định hàm cho B hay B phụ thuộc hàm vào A trong r

f
( ký pháp A → B ) nếu:

r
( ∀ h
i
, h
j
∈ r) (( ∀a ∈ A ) ( h
i
(a) = h
j
(a)) ⇒ ( ∀b ∈ B ) ( h
i
(b) = h
j
(b) ))

Ta sẽ viết (A, B) hay A → B thay cho A B
Đặt F
r
={(A, B): A, B ⊆ R, A → B }
Lúc đó F
r
được gọi là họ đầy đủ các phụ thuộc hàm của r .
Nhận xét:
Hoàng Văn Thủy
8
r
f
Một số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn trong hệ cơ sở dữ liệu
- Ta có thể thấy rằng B mà phụ thuộc hàm vào A, nếu hai dòng bất kỳ mà
các giá trị của tập thuộc tính A mà bằng nhau từng cặp một, thì kéo theo các
giá trị trên tập thuộc tính B cũng phải bằng nhau từng cặp một.
- Với định nghĩa này dễ thấy rằng trong các file dữ liệu cột, mã số hoặc số
thứ tự không thể bằng nhau.
Ví dụ: Xét quan hệ
THISINH
SBD HOTEN DIACHI TINH KHUVỰC
BKA0001 Nguyễn Văn An 12 Kỳ lừa Lạng Sơn 0
BKA0002 Nguyễn Hải Anh 16 Hàng đào Hà Nội 3
BKA0003 Trần Thúy Anh 33 Hàng bồ Hà Nội 3
BKA0004 Vũ Thúy Anh 89 Văn lãng Lạng Sơn 0
BKA0005 Vũ Vân Anh 40 Trần hưng đạo Hải Dương 2
Trong quan hệ THISINH, dựa vào định nghĩa phụ thuộc hàm của quan
hệ ta có:
{ TINH } → { KHUVUC }

{ SBD } → { HOTEN, DIACHI, TINH, KHUVUC }
Khái niệm phụ thuộc hàm miêu tả một loại ràng buộc ( phụ thuộc dữ
liệu) xẩy ra tự nhiên nhất giữa các tập thuộc tính.
Phụ thuộc hàm trên tập các thuộc tính R là một dãy các ký tự có dạng
A → B, ở đây A, B ⊆ R. Ta nói phụ thuộc hàm A → B đúng trong
r nếu A B . Ta nói rằng r thoã mãn A → B.
Hoàng Văn Thủy
9
r
f
Một số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn trong hệ cơ sở dữ liệu
Dễ thấy F
r
là tập tất cả các phụ thuộc hàm đúng trong r.
1.3 Hệ tiên đề Armstrong.
Năm 1974, Armstrong đã chỉ ra được bốn đặc trưng cho một tập phụ
thuộc hàm của một file dữ liệu nào đó. Chúng được gọi là hệ tiên đề
Armstrong.
Định nghĩa 3. (Hệ tiên đề Armstrong)
Cho trước R = {a
1
, a
2
,.., a
n
} là một tập hữu hạn không rỗng các thuộc
tính.
ta gọi P(R) x P(R) = {(A, B) : A, B ⊆ R }
Khi đó : Y ⊆ P(R) x P(R) là họ f nếu
∀ A, B, C, D ⊆ R có

1). (A, A) ∈ Y
2). (A, B) ∈ Y, (B, C) ∈ Y ⇒ (A, C) ∈ Y
3). (A, B) ∈ Y, A ⊆ C, D ⊆ B ⇒ (C, D) ∈ Y
4). (A, B) ∈ Y, (C, D) ∈ Y ⇒ (A ∪ C, B ∪D) ∈ Y
Hệ quả 4. (Tính đầy đủ cuả hệ tiên đề Armstrong)
Armstrong đã chỉ ra rằng, nếu Y là một họ f tuỳ ý thì tồn tại quan hệ r
sao cho F
r
= Y.
- A A ⇒ (A, A) ∈ F
r
A B
- ⇒ A C
B C
- A B (A ⊆ C, D ⊆ B) ⇒ C D
Ví dụ: Cho r
1
, r
2
là các quan hệ:
a b a b
1 0 1 0
Hoàng Văn Thủy
10
r
r
r
r
r
r

Một số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn trong hệ cơ sở dữ liệu
r
1
= 1 1 r
2
= 1 1
2 3 2 3
1 2 1 2
Có thể thấy rằng r
1
và r
2
khác nhau nhưng F
r1
= F
r2
.
Như vậy là tương quan giữa các lớp quan hệ với các lớp họ phụ thuộc
hàm được thể hiện bằng hình vẽ sau:


Lớp các quan hệ Lớp các phụ thuộc hàm
1.4 Hàm đóng.
Định nghĩa 5. (Hàm đóng)
Một hàm L : P(R) → P(R), ( P(R) là tập các tập con của R ) được gọi là
hàm đóng trên R nếu với mọi A, B ∈ P(R):
- A ⊆ L(A)
- Nếu A ⊆ B thì L(A) ⊆ L(B)
- L (L(A)) = L (A).
Định lý 6.

Nếu F là một họ f và chúng ta đặt L
F
(A) = { a: a ∈R: (A,{a}) ∈F}
Thì L
F
là một hàm đóng. Ngược lại nếu L là một hàm đóng thì tồn tại duy
nhất một họ f F trên R sao cho L = L
F
. F được chỉ ra theo cách sau:
F = {(A, B): A, B ⊆ R, B ⊆ L(A)}.
Như vậy, chúng ta thấy có sự tương ứng 1 - 1 giữa lớp các hàm đóng
và lớp các họ f. Sự tương ứng này được minh hoạ bằng hình vẽ sau:
Hoàng Văn Thủy
11
Một số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn trong hệ cơ sở dữ liệu
Lớp các họ phụ thuộc hàm Lớp các hàm đóng
1.5 Sơ đồ quan hệ.
Định nghĩa 7.
Cho trước R = {a
1
, a
2
,.., a
n
} là tập các thuộc tính.
Khi đó s là một sơ đồ quan hệ, s = < R, F >
A
1
→ B
1

A
2
→ B
2
F = . . . . . .
. . . . . .
A
t
→ B
t
ở đây A
i
, B
i
⊆ R ( i = 1,...,t ) và A
i
→ B
i
là phụ thuộc hàm
Ví dụ: Cho sơ đồ quan hệ s = < R, F >, với R = {a
1
, a
2
, a
3
, a
4
}
{a
1

} → {a
3
, a
4
} cột 1 xác định hàm với cột 3 cột 4
F = {a
2
} → {a
3
} cột 2 xác định hàm với cột 3
{a
3
} → {a
4
} cột 3 xác định hàm với cột 4
1.6 Bao đóng
Định nghĩa 8. (Bao đóng của các tập phụ thuộc hàm)
Giả sử F là tập các phụ thuộc hàm trên sơ đồ quan hệ s = < R, F >. Gọi
F
+
là tập tất cả các phụ thuộc hàm có thể suy dẫn lôgic từ F bởi các luật của
hệ tiên đề Armstrong. Khi ấy F
+
được gọi là bao đóng của F.
Hoàng Văn Thủy
12
Một số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn trong hệ cơ sở dữ liệu
Định nghĩa 9. (Bao đóng của tập các thuộc tính)
Giả sử s = < R, F > là sơ đồ quan hệ trên tập các thuộc tính R, A ⊆ R
ký hiệu A

+
= { a: A →{a} ∈ F
+
}. A
+
được gọi là bao đóng của A trên s
Rõ ràng A → B ∈ F
+
nếu và chỉ nếu B ⊆ A
+
.
Định nghĩa 10. ( Bao đóng của một tập thuộc tính trên tập phụ thuộc
hàm của một quan hệ)
Giả sử r = { h
1
, h
2
,.., h
m
} là một quan hệ trên R = { a
1
, a
2
,..., a
m
}.
Ta đặt
A
+
r

={a : A {a}}
A
+
r
được gọi là bao đóng của A trên r
1.7 Khóa của quan hệ, sơ đồ quan hệ, họ f.
Định nghĩa 11.
Giả sử r = { h
1
, h
2
,.., h
m
} là một quan hệ, s = < R, F > là một sơ đồ
quan hệ, trong đó R = {a
1
, a
2
,..., a
n
} là tập các thuộc tính, F là tập tất cả các
phụ thuộc hàm trên R. Gọi Y là một họ f trên R và A ⊆ R. Khi ấy A là một
khoá của r ( tương ứng là một khoá của s, một khóa của Y) nếu:
A R ( A → R ∈ F
+
, (A, R) ∈Y).
Nghĩa là A phải thoả mãn các tính chất sau đây:
Với bất kỳ hai bộ h
1
, h

2
∈ r đều tồn tại một thuộc tính a ∈ A sao cho h
1
(a) ≠
h
2
(a). Nói cách khác, không tồn tại hai bộ mà có giá trị bằng nhau trên mọi
tập thuộc tính của A. Điều kiện này có thể viết t
1
(A) ≠ t
2
(A). Do vậy, mỗi giá
trị của A xác định là duy nhất. Khi biết giá trị thuộc tính trong A sẽ biết được
các giá trị của thuộc tính khác.
Theo định nghĩa của Codd: Nếu có hai dòng bằng nhau trên các giá trị
của khoá A thì sẽ kéo theo bằng nhau trên tất cả các cột còn lại. Như vậy sẽ
Hoàng Văn Thủy
13
f
r
f
r
Một số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn trong hệ cơ sở dữ liệu
có hai cột bằng nhau, điều này không thể có được và nếu có thì đấy là dữ liệu
nhầm lẫn.
Chúng ta gọi A ( A ⊆ R) là một khoá tối tiểu của r ( tương ứng của s,
của Y) nếu:
+ A là một khoá của r (s,Y) tức A → R
+ Bất kỳ một tập con thực sự của A không là khoá của r (s, Y) hay
không tồn tại A' tập con thực sự A' ⊂ A mà A' → R.

Nhận xét:
Khoá chính là hình ảnh của cột mã số hay số thứ tự (vì số thứ tự không
thể chùng nhau được).
Khóa đóng một vai trò rất quan trọng vì nhờ có nó người ta mới tìm
kiếm được (tìm kiếm bản ghi ). Phép toán tìm kiếm bản ghi trong file dữ liệu
là phép toán quan trọng nhất vì chỉ sau khi tìm kiếm song thì người ta mới
tiến hành loại bỏ bản ghi ấy hoặc bổ sung một bản ghi mới vào trước hoặc
sau bản ghi mà ta đã tìm được.
Dù rằng dễ thấy A có thể chính bằng R nhưng người ta vẫn phải đi tìm
khóa tối tiểu, tức là khóa nhỏ nhất mà không thể nhỏ hơn được nữa để việc so
sánh các giá trị khóa với nhau trong quá trình tìm kiếm bản ghi là nhanh nhất.
Một sơ đồ quan hệ có thể có nhiều khóa, thậm chí còn có nhiều khoá
tối tiểu.
Ví dụ: Ta có bảng quan hệ sau:
BAN_HANG
MH TEN_HANG SO_LUONG (kg)
1001 Thép phi 8 1000
1002 Sắt phi 14 500
2012 Xi măng 2000
Hoàng Văn Thủy
14
Một số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn trong hệ cơ sở dữ liệu
Trong bảng trên mã số mặt hàng (MH) là khoá. Mỗi giá trị MH đều
xác định duy nhất một loại mặt hàng trong quan hệ BAN_HANG
Ký hiệu K
r
, K
s
, K
y

là tập tất cả các khoá tối tiểu của r (s, Y).
Nếu ta có: K ={K
1
, K
2
,.., K
n
}
ở đây, K
i
(i = 1,.., t) là các tập con của R, nếu có tính chất sau:
+ K
i
không bao giờ nằm trong K
j
( K
i
⊆ K
j
) thì K được gọi là một hệ
Sperner.
Dễ thấy K
r
, K
s
, K
v
là hệ Sperner trên R.
1.8 Tập các phản khoá
Tập phản khóa đóng vai trò quan trọng trong quá trình nghiên cứu cấu

trúc logic của các họ phụ thuộc hàm, khóa, dạng chuẩn, quan hệ Armstrong,
đặc biệt đối với các bài toán tổ hợp trong mô hình dữ liệu quan hệ.
Đinh nghĩa 12.
Giả sử K = {K
1
, K
2
,.., K
t
} là một hệ Sperner trên R = {a
1
, a
2
,.., a
n
}. Ta
định nghĩa tập các phản khoá của K ký hiệu K
-1
như sau:
K
-1
= { A ⊂ R : (B ∈ K) ⇒ ( B ⊄ A) và ( A ⊂ C) ⇒ ( ∃B ∈ K) (B ⊆ C)}
Nhận xét:
Nếu K đóng vai trò là một tập các khoá tối tiểu của một sơ đồ quan hệ
nào đó thì theo định nghĩa K
-1
là tập tất cả các tập không phải là khoá lớn
nhất.
- Dễ thấy rằng K
-1

cũng là hệ Sperner trên R.
Hoàng Văn Thủy
15
Một số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn trong hệ cơ sở dữ liệu
- Ở đây ta luôn giả thiết rằng nếu một hệ Sperner đóng vai trò tập các khoá
tối tiểu (tập các phản khóa), thì hệ Sperner không rỗng ( Không chứa
R).
- Demertovics.J. đã chứng tỏ rằng nếu K là một hệ Sperner tuỳ ý, thì tồn tại
một sơ đồ quan hệ s sao cho K
s
= K và tồn tại quan hệ r để K
r
= K.
1.9 Nửa dàn giao
Định nghĩa13.
Cho I ⊆ P(R). Khi đó I được gọi là nửa dàn giao nếu
R ∈ I và A, B ∈ I ⇒ A ∩ B ∈ I.
Định nghĩa 14.
Giả sử I là một nửa giàn giao. Giả sử M ⊆ P(R). Ký hiệu
M
+
= { ∩M': M' ⊆ M}. Ta nói rằng M là hệ sinh của I nếu và chỉ nếu M
+
= I.
Chú ý: R ∈ M
+
nhưng không thuộc M vì nó là giao của một họ rỗng các tập
hợp.
- Ký hiệu N
I

={A∈I: A ≠ ∩{A' ∈I: A ⊂ A'}}.
- Demertovics.J đã chứng minh được rằng N
I
là hệ sinh nhỏ nhất và
duy nhất của I. Do vậy với mọi hệ sinh N' của I ta có N
I
⊂ N'.
1.10 Hệ bằng nhau .
Định nghĩa 15.
Giả sử r = { h
1
, h
2
,.., h
m
} là một quan hệ trên R = { a
1
, a
2
,.., a
n
}
Đặt E
r
= { E
ij
: 1 ≤ i<j ≤ | r | } trong đó E
ij
= {a ∈ R: h
i

(a) = h
j
(a)},
E
r
được gọi là hệ bằng nhau của r
Giả sử M
r
= { A∈P (R) : ∃ E
ij
= A, ∃ E
pq
:A ⊂ E
pq
}
Khi đó M
r
được gọi là hệ bằng nhau cực đại của r .
Hoàng Văn Thủy
16
Một số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn trong hệ cơ sở dữ liệu
Nhận xét:
Hệ bằng nhau và hệ bằng nhau cực đại đóng một vai trò quan trọng
trong các thuật toán thiết kế cũng như mối quan hệ giữa các lớp quan hệ và
lớp các phụ thuộc hàm trong quá trình nghiên cứu cấu trúc logic của lớp các
phụ thuộc hàm.
Ví dụ: Cho quan hệ r.
a
1
a

2
a
3
a
4
a
5
1 1 0 1 0
1 0 0 3 0
3 1 1 3 1
5 1 0 3 0
Hoàng Văn Thủy
17
Một số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn trong hệ cơ sở dữ liệu
E
12
= {a
1
,

a
3
, a
5
}
E
13
= {

a

2
}
E
r
= E
14
= {a
2
,

a
3
, a
5
}
E
23
= {a
4
}
E
24
= {a
3
,

a
4
, a
5

}
E
34
= {a
2
,

a
4
}

{a
1
,

a
3
, a
5
}
M
r
= {a
2
,

a
4

{a

2
,

a
3
, a
5
}
{a
3
,

a
4
, a
5
}
Vậy M
r
là hệ bằng nhau cực đại của r.
1.11. Thể hiện.
Định nghĩa 16.
Giả sử r là một quan hệ trên R và F là một họ f trên R. Ta nói r thể
hiện F nếu F
r
= F. Chúng ta có thể nói r là một quan hệ Armstrong của F
Định lý 17. (Điều kiện cần và đủ để một quan hệ là thể hiện của một họ
f cho trước)
Giả sử r = {h
1

, h
2
,..., h
m
}là một quan hệ, F là một họ f trên R thì thể
hiện F nếu và chỉ nếu với mọi A ⊆ R
∩ E
ij
nếu tồn tại E
ij
∈ E
r
: A ⊆ E
ij
L
Fr
(A) =
R ngược lại
ở đây L
F
(A) = {a ∈ R: (A,{a}) ∈ F} và E
r
là hệ bằng nhau của r
Hoàng Văn Thủy
A ⊆ Eij
18
Một số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn trong hệ cơ sở dữ liệu
Khi ấy ta cũng có thể nói r là một quan hệ Armstrong của F.
Chứng minh:
Trước hết ta sẽ chứng minh rằng nếu r là một quan hệ trên

R và A ⊆ R:
∩ E
ij
nếu tồn tại E
ij
∈ E
r
: A ⊆ E
ij
L
Fr
(A) =
R ngược lại
Trường hợp 1: Giả sử không tồn tại E
ij
∈ E
r
sao cho A ⊆ E
ij
, như vậy với
mọi h
i
, h
j
∈ r tồn tại a ∈ A : h
i
(a) ≠ h
j
(a). Do đó theo định nghĩa phụ thuộc
hàm ta có A → R.

Nhưng do định nghĩa của L
Fr
: L
Fr
(A) = {a ∈ R: (A, {a}) ∈L
Fr
}.

Như
vậy L
Fr
(a) = R
- Hiển nhiên L
Fr
(∅) = ∩ E
ij
Trường hợp 2: Giả sử A ≠ ∅ và tồn tại E
ij
∈ E
r
sao cho A ⊆ E
ij
. Khi ấy ta
đặt
V = { E
ij
: A ⊆ E
ij
, E
ij

∈ E
r
} và E = ∩E
ij

Eij
∈
V
Dễ thấy A ⊆ E.
+ Nếu V = E
r
thì mọi E
ij
đều

chứa A và E, do đó ∀a ∈ A, ∀i,j :
h
i
(a) = h
j
(a) ∀b ∈ E ∀i,j : h
i
(b) = h
j
(b). Vậy ta có thể nói A → E
hay (A, E) ∈ F
r
.
+ Nếu V ≠ E
r

thì
Hoàng Văn Thủy
A ⊆ E
ij
19
Một số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn trong hệ cơ sở dữ liệu
∀ E
ij
∉ V bao giờ cũng tồn tại a ∈A sao cho h
i
(a) ≠ h
j
(a). Do đó h
i
(a) =
h
j
(a) ∀ a ∈A chỉ có thể xẩy ra với các i,j có E
ij
∈V.
Khi ấy ∀b ∈ E : h
i
(b) = h
j
(b) với những i, j có E
ij
∈ V (do định nghĩa
của E)
Suy ra (A, E) ∈ F
r

.
Từ định nghĩa của L
Fr
: L
Fr
(A) ={a∈R: (A,{a})∈ F
r
} và (A, E) ∈ F
r
ta có
A ⊆ E ⊆ L
Fr
(A).
Vì r là một quan hệ trên R ta có E ⊂ R. Như vậy (E, L
Fr
(A))∈F
r
(1)
Ta sẽ chứng minh rằng E = L
Fr
(A).
Giả sử L
Fr
(A) chứa thuộc tính c, c∉E. Khi đó tồn tại E
ij
∈V mà c ∉ E
ij
do đó tồn tại cặp h
i
, h

j
∈ r mà ∀b ∈E: h
i
(b) = h
j
(b) nhưng h
i
(c) ≠ h
j
(c).
Như vậy theo định nghĩa phụ thuộc hàm, c không phụ thuộc hàm vào E,
trái với (1).
Ta có thể kết luận L
Fr
(A) = E = ∩ E
ij
Eij
∈
V
Như vậy L
Fr
(A) = L
Fr
(A) . Do định lý về sự tương ứng 1-1 giữa các
hàm đóng và họ f, điều đó tương đương với F = F
r
.
Hệ quả 18.
Giả sử r là một quan hệ, F là một họ f trên R. Khi đó r thể hiện F nếu
và chỉ nếu Z(L

Fr
) = E
r
+
Định nghĩa 19.
Cho trước quan hệ r và hệ Sperner K trên R. Chúng ta nói rằng r thể
hiện K nếu K
r
= K.
Định nghĩa 20.
Cho F là một họ f trên R, (A, B) là một phần tử của F.
Hoàng Văn Thủy
20
Một số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn trong hệ cơ sở dữ liệu
Ta nói (A, B) là một phụ thuộc có vế phải cực đại của F nếu với mọi B' (B
⊆ B') và (A, B') ∈ F kéo theo B = B'.
Ta ký hiệu M(F) là tập tất cả các phụ thuộc có vế phải cực đại của F
Định nghĩa 21.
Ta nói rằng B là vế phải cực đại của F nếu có A sao cho (A, B) ∈
M(F) và ta ký hiệu I(F) là tập tất cả các vế phải cực đại của F.
1.12 Sơ đồ quan hệ tương đương.
Định nghĩa 22.
Giả sử s = <R, F> và t = <R, G> là hai lược đồ quan hệ trên R. Ta
nói s là tương đương với t nếu F
+
= G
+
. Trong trường hợp này ta có thể nói
s là phủ định của t hoặc t là phủ định của s.
Nhận xét:

Dễ dàng kiểm tra xem t và s có tương đương không, bằng cách sau:
Lấy mỗi phụ thuộc hàm Y → Z của F kiểm tra xem có thuộc G
+
hay không
và ngược lại.
Ví dụ: Xét hai sơ đồ quan hệ
s = <R, F> và t = <R, G> trong đó
R = {a, b, c, d}
{a, b} → {c}
F = {a} → {d}
{b, d} → {c}
{a, b, d} → {c, d}
G = {a} → {d}
{b, d} → {c}
Hoàng Văn Thủy
21
Một số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn trong hệ cơ sở dữ liệu
Xét từng phụ thuộc hàm trong F. Hai phụ thuộc hàm sau đã nằm trong G
Xét {a, b}→{c}. Kiểm tra xem phụ thuộc hàm này có thuộc G
+
hay không.
Tính {a, b}
+
đối với G
A
0
= {a, b}
A
1
= {a, b, d} = R do {a} → {d}

A
2
= {a, b, c, d} = R do {a, b, d} → {c}
Ta tìm được {a, b}
+
={a, b, c, d}.
Vậy {c} ∈ {a, b}
+
đối với G, tức là {a, b} →{c}∈ G
+
Xét từng phụ thuộc hàm trong G. Hai phụ thuộc hàm sau đã nằm trong F.
Xét phụ thuộc hàm {a, b, d} → {c, d}∈ G. Kiểm tra xem phụ thuộc hàm
này có thuộc F
+
hay không.
Tính {a, b, d}
+
đối với G:
A
0
= {a, b, d}
A
1
= {a, b, c, d} = R do {a, b}→{c}
Ta tìm được {a, b, d}
+
={a, b, c, d}.
Vậy c, d ∈ {a, b, d}
+
đối với F, tức là {a, b, d}→{c, d}∈ F

+
Định nghĩa 23. (Hai quan hệ tương đương với nhau)
Giả sử r
1
và r
2
là hai quan hệ trên R. Khi đó r
1
tương đương với r
2
nếu F
r1
= F
r2
.
Định lý 24.
Giả sử r và v là hai quan hệ trên R. Khi đó r tương đương với v khi
và chỉ khi N
r
= N
v
.
Hoàng Văn Thủy
22
Một số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn trong hệ cơ sở dữ liệu
1.13 Thuộc tính cơ bản, thuộc tính thứ cấp.
Định nghĩa 25. (Thuộc tính cơ bản, thuộc tính thứ cấp)
Giả sử r = { h
1
, h

2
,.., h
m
} là một quan hệ trên R = { a
1
, a
2
,.., a
n
} và K
r
là tập tất cả các khóa tối tiểu của r. Ta nói a là một thuộc tính cơ bản của r
nếu tồn tại một khoá tối tiểu K (K ∈ K
r
) để a là một phần tử của K.
Nếu a không là thuộc tính cơ bản, a sẽ được gọi là thuộc tính thứ cấp.
Nhận xét:
Thuộc tính cơ bản và thuộc tính thứ cấp đóng một vai trò quan trọng
trong việc chuẩn hóa các sơ đồ quan hệ và các quan hệ.
Đinh lý 26.
Cho trước một sơ đồ quan hệ s = < R, F > và một thuộc tính a. Bài
toán xem a có phải là thuộc tính cơ bản hay không là bài toán NP - đầy
đủ.
1.14 Một số thuật toán liên quan
Thuật toán 1. (Tìm tập các thuộc tính cơ bản của một quan hệ trên R)
Input: r = { h
1
, h
2
, ..., h

m
} là một quan hệ trên R
Output: V là tập tất cả các thuộc tính cơ bản của r
Phương pháp:
Bước 1: Từ r = { h
1
, h
2
,.., h
m
} ta xây dựng một tập E
r
E
r
= {E
ij
:

1≤

i < j ≤ m }
Trong đó E
ij
= { a : a ∈ R và h
i
(a) = h
j
(a) }
Bước 2: Từ E
r

ta xây dựng tập M
Hoàng Văn Thủy
23
Một số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn trong hệ cơ sở dữ liệu
M = { B ∈ P(R): Tồn tại E
ij
∈ E
r
: E
ij
= B }
Bước 3: Từ M xây dựng tập M
r
M
r
= { B ∈ P(R) : ∀B' ∈ M : B ⊄ B' }
Bước 4: Xây dựng tập V = R\ ∩ M
r
Nhận xét:
Ta thấy m( m-1) ≥ E
r
M ≥ M
r
)
Do vậy M
r
được tính bằng thuật toán thời gian đa thức. Suy ra V tính được
bằng thời gian đa thức theo số hàng và số cột của r
Ví dụ: Xét quan hệ ( A B C D )
1 0 1 1

0 1 1 0
1 1 0 1
0 2 0 0
Bước 1: Tính E
r
E
12
= {C} E
13
= {A, D} E
14
= {∅}
E
23
= {B} E
24
= {A, D}
E
34
= {C}
Bước 2: Tính M = {{A, D},{B},{C},{∅}}
Bước 3: Tính M
r
= {{A, D},{B},{C}}
Bước 4: V = R\ ∩ M
r
= {A, B, C, D }\ {∅} = {A, B, C, D } suy ra V = R.
Như thế mọi thuộc tính của r đều là cơ bản.
Định lý 27.
Tồn tại một thuật toán để xác định một thuộc tính bất kỳ của một

quan hệ có là cơ bản hay không với thời gian đa thức theo số hàng và số
cột của r.
Hoàng Văn Thủy
24
Một số vấn đề liên quan đến dạng chuẩn trong hệ cơ sở dữ liệu
Một vấn đề thường xuyên xảy ra là đối với một sơ đồ quan hệ cho
trước (s = <R, F>), và một phụ thuộc hàm A → B, chúng ta muốn biết
A →B có là phần tử của F
+
hay không. Để trả lời câu hỏi này chúng ta cần
tính bao đóng F
+
của tập các phụ thuộc hàm F.
Tuy nhiên tính F
+
trong trường hợp tổng quát là rất khó khăn và tốn
kếm thời gian vì các tập phụ thuộc hàm thuộc F
+
là rất lớn cho dù F có thể
là nhỏ. Chẳng hạn, F = {A → B
1
, A → B
2
,.... A → B
n
}, khi đó F
+
bao gồm
cả những phụ thuộc hàm A → Y với Y ⊆ {B
1

∪ B
2
∪ ... ∪ B
n
}, như vậy ta
sẽ có 2
n
tập con Y. Trong khi đó việc tính bao đóng của tập thuộc tính A
lại không khó. Theo kết quả đã trình bầy ở trên thì việc kiểm tra A → B ∈
F
+
không khó hơn việc tính A
+
.
Ta có thể tính bao đóng của sơ đồ quan hệ (A
+
) theo thuật toán sau:
Thuật toán 2. (Tính bao đóng của một tập các thuộc tính trên tập các
phụ thuộc hàm đối với sơ đồ quan hệ)
Input : s = < R, F > là một sơ đồ quan hệ trong đó
R = (a
1
, a
2
,.., a
n
) là tập hữu hạn các thuộc tính.
F là tập các phụ thuộc hàm và A ⊆ R
Output : A
+

là bao đóng của A đối với F.
Phương pháp: Lần lượt tính các tập thuộc tính A
o
, A
1
như sau:
1). A
0
= A
2). A
i
= A
i-1
∪ {a} nếu ∃ (C → D) ∈ F, {a} ∈ D và C ⊆ A
i-1
3). Rõ ràng A = A
0
⊆ A
1
⊆ ... ⊆ A
i
⊆ R và R hữu hạn nên tồn tại i sao cho
A
i
= A
i+1
Khi ấy thuật toán dừng và A
i
chính là A
+

Ví dụ: Xét sơ đồ quan hệ s = < R, F > trong đó
Hoàng Văn Thủy
25