khảo sát mômen quán tính một số vật đĩa tròn trong bài thí nghiệm con quay hồi chuyển, đĩa tròn có trục quay vuông góc với mặt phẳng đĩa, đĩa tròn có trục quay nằm trong mặt phẳng đĩa với dụng cụ hãng pasco
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.99 MB, 63 trang )
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƢ PHẠM
BỘ MÔN SƢ PHẠM VẬT LÝ
KHẢO SÁT MÔMEN QUÁN TÍNH MỘT SỐ VẬT ĐĨA TRÒN
TRONG BÀI THÍ NGHIỆM CON QUAY HỒI CHUYỂN, ĐĨA TRÒN
CÓ TRỤC QUAY VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG ĐĨA, ĐĨA TRÒN
CÓ TRỤC QUAY NẰM TRONG MẶT PHẲNG ĐĨA VỚI DỤNG CỤ
HÃNG PASCO
Luận văn tốt nghiệp
Ngành: SƢ PHẠM VẬT LÝ – TIN HỌC
Giáo viên hƣớng dẫn:
Sinh viên thực hiện:
ThS. Lê Văn Nhạn
Hồ Thị Cẩm Tua
Mã số SV: 1117569
Lớp: Sƣ phạm Vật lí – Tin học
Khóa: 37
Cần Thơ, năm 2015
LỜI CẢM ƠN
Trong suốt thời gian làm đề tài luận văn “KHẢO SÁT MÔMEN QUÁN TÍNH
MỘT SỐ VẬT (ĐĨA TRÒN TRONG BÀI THÍ NGHIỆM CON QUAY HỒI CHUYỂN,
ĐĨA TRÒN CÓ TRỤC QUAY VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG ĐĨA, ĐĨA TRÒN CÓ
TRỤC QUAY NẰM TRONG MẶT PHẲNG ĐĨA) VỚI DỤNG CỤ HÃNG PASCO”,
em đã gặp không ít khó khăn. Nhƣng nhờ sự hƣớng dẫn tận tâm của Thầy Lê Văn Nhạn,
thầy đã cung cấp tài liệu và hƣớng dẫn em rất nhiệt tình trong suốt thời gian qua, em xin
chân thành cảm ơn thầy đã giúp em hoàn thành đề tài đúng tiến độ.
Em xin chân thành cảm ơn Thầy Trƣơng Hữu Thành đã sắp xếp phòng thí nghiệm
cho em thực hành, giúp em có những số liệu thật quý báo, góp phần hoàn chỉnh thêm cho
luận văn.
Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô và các bạn trong Bộ môn Sƣ
phạm Vật lí đã hết lòng quan tâm và góp ý trong suốt thời gian em thực hiện đề tài này.
Do còn hạn chế về chuyên môn cũng nhƣ thời gian thực hiện nên đề tài không
tránh khỏi thiếu sót. Em rất mong nhận đƣợc đóng góp của thầy cô và các bạn sinh viên
để đề tài ngày càng hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn
Sinh viên thực hiện
Hồ Thị Cẩm Tua
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đề tài luận văn “KHẢO SÁT MÔMEN QUÁN TÍNH MỘT SỐ
VẬT (ĐĨA TRÒN TRONG BÀI THÍ NGHIỆM CON QUAY HỒI CHUYỂN, ĐĨA
TRÒN CÓ TRỤC QUAY VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG ĐĨA, ĐĨA TRÒN CÓ
TRỤC QUAY NẰM TRONG MẶT PHẲNG ĐĨA) VỚI DỤNG CỤ HÃNG PASCO” là
công trình nghiên cứu do chính tôi thực hiện. Các số liệu, kết quả phân tích trong luận
văn là hoàn toàntrung thực và chƣa từng đƣợc công bố trong bất kì công trình nghiên cứu
nào trƣớc đây.
Mọi tham khảo, trích dẫn đều đƣợc ghi rõ trong danh mục tài liệu tham khảo của
luận văn.
Cần thơ, ngày 23 tháng 05 năm 2015
Tác giả
Hồ Thị Cẩm Tua
Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco
MỤC LỤC
Trang phụ bìa
PHẦN MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ............................................................................................ 1
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ..................................................................................... 1
3. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ............................................................................. 1
4. GIỚI HẠN NGHIÊN CỨU ....................................................................................... 1
PHẦN NỘI DUNG ..................................................................................................... 2
CHƢƠNG 1.ĐỘNG HỌC VẬT RẮN ......................................................................... 2
1. KHÁI NIỆM VẬT RẮN ........................................................................................... 2
2. BẬC TỰ DO ............................................................................................................. 2
3. CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN CỦA VẬT RẮN ..................................................... 2
4.CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN .............................................................. 3
4.1. Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục ......................................... 3
4.2. Chuyển động quay đều .................................................................................. 5
4.3. Vận tốc và gia tốc của một điểm trên vật rắn ................................................ 5
4.4. Chuyển động quay và trƣợt ........................................................................... 6
5.CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG HAY CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG ..................... 7
5.1. Định nghĩa ..................................................................................................... 7
5.2. Phân tích chuyển động................................................................................... 9
5.3. Quỹ đạo và vận tốc của một điểm trên vật rắn .............................................. 9
5.4. Định lí về hình chiếu của vận tốc hai điểm ................................................. 11
5.5. Tâm quay ..................................................................................................... 11
6.CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT ĐIỂM CỐ
ĐỊNH.................................................................................................................................. 13
6.1. Định lí Ơ-le-Đa-lăm-be ............................................................................... 13
6.2. Vận tốc của một điểm trên vật rắn............................................................... 14
7. CHUYỂN ĐỘNG TỔNG QUÁT CỦA VẬT RẮN ............................................... 15
CHƢƠNG 2. ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN ........................................................... 17
1. KHỐI TÂM, TÂM QUÁN TÍNH HAY TRỌNG TÂM......................................... 17
2. MOMENT QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT TRỤC BÁN KÍNH QUÁN TÍNH ...... 18
3. XÁC ĐỊNH KHỐI TÂM CỦA MỘT VÀI VẬT ĐỒNG TÍNH ............................. 19
3.1. Khối tâm của một cung tròn ........................................................................ 19
3.2. Khối tâm của một hình quạt tròn ................................................................. 20
3.3.Khối tâm của một hình chỏm cầu ................................................................. 21
3.4.Khối tâm của một hình quạt cầu ................................................................... 22
4. ĐỊNH LÍ HUY-GHEN ............................................................................................ 23
5. ĐỊNH LÍ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM ..................................................... 24
5.1.Định lí ........................................................................................................... 24
5.2.Hệ quả ........................................................................................................... 25
5.3.Định lí về động lƣợng của khối tâm ............................................................. 26
6. CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ............................................................................ 26
6.1. Định lí bảo toàn chuyển động khối tâm....................................................... 27
6.2. Định lí bảo toàn động lƣợng ........................................................................ 27
6.3.Định lí bảo toàn mômen động lƣợng ............................................................ 28
6.4.Định lí mômen động lƣợng trong chuyển động tƣơng đối quanh khối
tâm ..................................................................................................................... .29
i
Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco
7. ĐỊNH LÍ BẢO TOÀN NĂNG LƢỢNG ................................................................. 31
7.1. Động năng của một cơ hệ ............................................................................ 31
7.2. Hệ vật rắn..................................................................................................... 32
7.3.Định luật bảo toàn cơ năng ........................................................................... 33
7.4.Động năng của một vật rắn .......................................................................... .33
8. HIỆU ỨNG HỒI CHUYỂN .................................................................................... 35
8.1. Chuyển động của một vật rắn quanh một điểm cố định .............................. 35
8.2. Chuyển động của một vật nặng, tròn xoay quanh một điểm cố định .......... 35
8.3.Con quay hồi chuyển .................................................................................... 36
8.4.Khảo sát chuyển động của con quay bằng thực nghiệm .............................. 36
8.4.1.Con quay hồi chuyển tự do ................................................................... 36
8.4.2.Hiệu ứng hồi chuyển ............................................................................. 37
8.4.3.Lý thuyết sơ cấp về hiệu ứng hồi chuyển.............................................. 37
8.4.4.Ứng dụng về hiệu ứng hồi chuyển ........................................................ 39
CHƢƠNG 3. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ VẬT ................................ 41
1.MÔMENQUÁN TÍNH I CỦA MỘT THANH ........................................................ 41
2. MÔMENQUÁN TÍNH I CỦA VÀNH TRÒN ....................................................... 42
3.MÔMENQUÁN TÍNH I CỦA ĐĨA TRÒN ............................................................. 42
4. MÔMEN QUÁN TÍNH I CỦA TRỤ RỖNG ......................................................... 43
5. MÔMEN QUÁN TÍNH I CỦA KHỐI CẦU .......................................................... 44
5.1. Mômen quán tính của khối cầu đặc ............................................................. 45
5.1. Mômen quán tính của khối cầu rỗng ........................................................... 46
CHƢƠNG 4. THỰC NGHIỆM ĐO MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ
VẬT VỚI DỤNG CỤ CỦA HÃNG PASCO ............................................................ 47
1. PHƢƠNG PHÁP ĐO MOMEN QUÁN TÍNH CỦ CON QUAY HỒI
CHUYỂN .................................................................................................................... 47
1.1. Cơ sở lí thuyết.............................................................................................. 47
1.2.Các bƣớc thực hành ...................................................................................... 48
2. ĐO MOMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ VẬT BẰNG DỤNG CỤNG HÃNG
PASCO ............................................................................................................................... 49
2.1 Đo momen quán tính của đĩa tròn trong bài thí nghiệm con quay hồi
chuyển ................................................................................................................. 49
2.1.1. Khảo sát mômen quán tính của đĩa tròn bằng lí thuyết ..................... 49
2.2..1Khảo sát mômen quán tính của đĩa tròn bằng thực nghiệm ................ 50
2.2. Đo momen quán tính của đĩa tròn có trục quay vuông góc với mặt phẳng
đĩa ........................................................................................................................... 51
2.2.1 Khảo sát mômen quán tính của đĩa tròn bằng lí thuyết ......................... 51
2.2.2. Khảo sát mômen quán tính của đĩa tròn bằng thực nghiệm ................. 52
2.3. Đo momen quán tính của đĩa tròn có trục quay nằm trong mặt phẳng đĩa ...... 53
2.3.1. Khảo sát mômen quán tính của đĩa tròn bằng lí thuyết ........................ 53
2.3.2. Khảo sát mômen quán tính của đĩa tròn bằng thực nghiệm ................. 53
PHẦN KẾT LUẬN ................................................................................................... 55
1. KẾT LUẬN ............................................................................................................. 55
2. BÀI HỌC KINH NGHIỆM..................................................................................... 55
3. KIẾN NGHỊ ............................................................................................................ 55
PHỤ LỤC
TÀI LIỆU THAM KHẢO
ii
Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco
PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Vật lí là một ngành khoa học tự nhiên tập trung nghiên cứu vật chất và chuyển
động của nó trong không gian và thời gian, giúp ta có một cách nhìn tổng quát hơn về
thế giới khách quan. Mặc dù, Vật lí bao hàm rất nhiều hiện tƣợng trong tự nhiên,
nhƣng bằng con đƣờng thực nghiệm các nhà khoa học đã kiểm chứng đƣợc tính đúng
đắn của các định luật Vật lí không những trong phạm vi nhất định, mà còn mang lại
nhiều ứng dụng cho xã hội . Chính vì thế, Vật lí là một trong những bộ môn khoa học
cơ bản làm nền tảng cung cấp cơ sở lý thuyết cho một số môn khoa học ứng dụng.
Đối với khoa học kĩ thuật ngày càng tiến bộ nhƣ hiện nay thì phƣơng pháp thực
nghiệm ngày càng cũng phát triển. Nhƣng đối với sinh viên chúng ta còn nhiều hạn
chế, mà việc thực nghiệm với các thí nghiệm để làm sáng tỏ và hiểu sâu hơn về lý
thuyết đã học là rất cần thiết. Cho nên, em chọn đề tài “ KHẢO SÁT MÔMEN
QUÁN TÍNH MỘT SỐ VẬT (ĐĨA TRÒN TRONG BÀI THÍ NGHIỆM CON
QUAY HỒI CHUYỂN, ĐĨA TRÒN CÓ TRỤC QUAY VUÔNG GÓC VỚI MẶT
PHẲNG ĐĨA, ĐĨA TRÒN CÓ TRỤC QUAY NẰM TRONG MẶT PHẲNG ĐĨA)
VỚI DỤNG CỤ HÃNG PASCO ” với mục đích giúp bổ sung kiến thức và hiểu rõ
hơn về mômen quán tính.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
Dùng dụng cụ của hãng Pasco để đo mômen quán tính của một số vật bằng
phƣơng pháp thực nghiệm nhằm mục đích quan sát, nêu giả thiết và kiểm nghiệm lý
thuyết về mômen quán tính của các vật bằng thực nghiệm.
3. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
-
Nghiên cứu về lý thuyết động học vật rắn và động lực học vật rắn.
Chứng minh công thức mômen quán tính của một số vật.
Thực nghiệm đo kiểm chứng mômen quán tính của một số vật.
4. GIỚI HẠN ĐỀ TÀI
Do giới hạn về mặt thời gian và kiến thức, cũng nhƣ hạn chế về dụng cụ thí
nghiệm, nên đề tài chỉ xoay quanh đo mômen quán tính của một số mẫu vật nhƣ: đĩa
tròn trong bài thí nghiệm con quay hồi chuyển, đĩa tròn có trục quay vuông góc với
mặt phẳng đĩa, đĩa tròn có trục quay nằm trong mặt phẳng đĩa.
GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn
1
SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua
Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco
PHẦN NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. ĐỘNG HỌC VẬT RẮN
1. KHÁI NIỆM VẬT RẮN
- Hệ chất điểm là một hệ gồm nhiều vật mà mỗi vật đều coi là một chất điểm. Các
chất điểm trong hệ có thể tƣơng tác lẫn nhau (các lực tƣơng tác đó gọi là nội lực ); đồng
thời có thể tƣơng tác với các vật bên ngoài hệ (các lực tƣơng tác đó gọi là ngoại lực ).[19]
- Vật rắn là một hệ chất điểm phân bố liên tục (theo góc độ vĩ mô ) trong một miền
không gian nào đấy mà khoảng cách giữa hai chất điểm bất kì không thay đổi.
- Nhƣ vậy, vật rắn luôn có hình dạng, kích thƣớc và thể tích nhất định. Trên thực tế,
không có vật rắn tuyệt đối. Bởi lẽ, dƣới ảnh hƣởng của các điều kiện bên ngoài nhƣ: nhiệt
độ, áp suất, lực tác dụng,…thì khoảng cách giữa các phân tử trong vật có thay đổi đôi
chút. Tuy nhiên, trong phạm vi khảo sát, nếu một vật có sự thay đổi không đáng kể trong
quá trình chuyển động, thì khi nghiên cứu chuyển động của nó ta coi vật đó là vật rắn.[1]
2. BẬC TỰ DO
- Khi mô tả chuyển động của một vật rắn, ta phải xác định chuyển động của bất kỳ
điểm nào trên vật rắn. Để xác định vị trí của một vật rắn, chỉ cần biết vị trí của ba điểm
tùy ý, không thẳng hàng trên vật rắn. Nghĩa là, chỉ cần biết vị trí của một tam giác bất kỳ,
gắn liền với vật rắn.
- Để xác định vị trí của một điểm trong không gian, cần ba tọa độ. Vị trí của ba
điểm bất kỳ đƣợc xác định nhờ chín tọa độ. Nhƣng nếu ba điểm ấy ở ba đỉnh của một tam
giác không đổi, thì độ dài không đổi của ba cạnh tam giác đƣợc xác định một cách đơn trị
nhờ tọa độ của ba đỉnh. Vậy chín tọa độ của ba đỉnh tam giác không độc lập đối với nhau,
mà liên hệ với nhau bằng ba phƣơng trình, vì thế chỉ có sáu tọa độ là độc lập. Do đó, để
xác định vị trí của tam giác, tức là xác định vị trí của vật rắn, chỉ cần sáu đại lƣợng (hay
sáu tham số ) độc lập.
- Số tham số độc lập cần phải biết để xác định hoàn toàn vị trí của vật rắn, gọi là số
bậc tự do của vật rắn.
Vật rắn hoàn toàn tự do có sáu bậc tự do.
Nếu vật rắn không hoàn toàn tự do thì số bậc tự do của nó giảm xuống.
Ví dụ:
Nếu vật rắn có một điểm cố định thì ba tọa độ cuả điểm cố định là hoàn toàn xác định
và vật rắn chỉ còn ba bậc tự do. Vật rắn có hai điểm cố định thì vật rắn chỉ có thể quay
quanh đƣờng thẳng qua 2 điểm ấy. Trong sáu tham số độc lập, thì năm tọa độ có khoảng
cách không đổi, đã hoàn toàn xác định và chỉ cần một tham số để xác định vị trí của vật
rắn, tham số ấy là góc do mặt phẳng gắn với vật rắn và đi qua hai điểm cố định, với mặt
phẳng cố định cũng đi qua hai điểm ấy. Vậy vật rắn có hai điểm cố định chỉ có một bậc tự
do.[2]
3. CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN CỦA VẬT RẮN
Định nghĩa: Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động mà mỗi đoạn thẳng
thuộc vật rắn luôn luôn song song với vị trí ban đầu của nó.
Tính chất: Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, quỹ đạo của mọi điểm của vật rắn là
những đƣờng cong bằng nhau, mọi điểm của vật rắn đều có cùng một vận tốc và gia tốc.
Ta có thể chứng minh sau:
GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn
2
SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua
Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco
Giả sử A, B và
,
là vị trí của hai điểm ấy ở các thời điểm t và t’.(Hình 1.1)
Các véctơ định vị của chúng thỏa mãn điều kiện:
Đối với vật rắn bất kì véctơ
luôn có độ lớn không đổi.
Với chuyển động tịnh tiến
luôn có hƣớng không đổi.
Nên:
Quỹ đạo của hai điểm và là hai đƣờng cong bằng nhau, nhƣng tịnh tiến đối với
nhau.
Do
nên đạo hàm đẳng thức (1) theo thời gian:
uur uur
uur uur
drB drA
hay vB vA
dt
dt
dvB dv A
hay aB a A
dt
dt
- Nhờ tính chất này, khi khảo sát chuyển động tịnh tiến chỉ cần khảo sát chuyển
động của một điểm bất kỳ của vật rắn. Vận tốc chung của mọi điểm trên vật rắn gọi là
vận tốc tịnh tiến của vật rắn.[2]
4. CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN
4.1 Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục Δ
Phƣơng trình chuyển động
- Chuyển động quay của một vật rắn quanh một trục Δ là chuyển động trong đó có 2
điểm cố định, trục đi qua 2 điểm cố định đó. Trục cố định đó gọi là trục quay của vật.
- Ta dễ dàng thấy rằng, trong chuyển động quay, mọi điểm của vật rắn ở ngoài trục
quay , đều chuyển động theo những quỹ đạo tròn, có tâm trên và những mặt phẳng
vuông góc với . (Hình 1.2)
GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn
3
SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua
Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco
- Ta chọn quy ƣớc chiều dƣơng quay quanh trục. Dựng mặt phẳng P gắn với vật rắn
và đi qua và mặt phẳng cố định đi qua .
- Vị trí của vật rắn đƣợc xác định bằng một góc tạo bởi và P1 gọi là góc quay
của vật rắn.
- Khi vật quay, góc thay đổi theo thời gian:
= f (t )
(1.2)
- Phƣơng trình (1.2) là phƣơng trình chuyển động quay của vật rắn, nó có cùng một
dạng với phƣơng trình chuyển dộng của một chất điểm trên một đƣờng tròn.
- Nhƣ vậy, vị trí của vật rắn quay quanh một trục cố định đƣợc xác định bởi tham số
là góc quay θ. Do đó, vật rắn có 1 bậc tự do.
Chú ý: Góc quay θ có thể âm hay dƣơng tùy thuộc vào chiều quay dƣơng đã chọn.
Thông thƣờng, ngƣời ta quy ƣớc góc quay θ đƣợc xem là dƣơng nếu vật quay ngƣợc
chiều kim đồng hồ, xem là âm nếu vật quay cùng chiều kim đồng hồ. Đơn vị góc quay θ
là radian (rad).[1]
Vận tốc góc của vật:
- Vận tốc góc trong chuyển động quay của một vật rắn là đại lƣợng đặc trƣng sự
nhanh, chậm của chuyển động và về trị số, bằng góc quay của vật rắn trong một đơn vị
thời gian.
- Vận tốc góc ω trong chuyển động quay của một vật rắn bằng đạo hàm theo thời
gian của góc quay θ.
=
lim
t0
d
=
t
dt
(1.3)
- Nhƣ vậy, vận tóc gốc là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của góc quay.
- Dấu θ cho biết chiều quay của vật quanh trục:
Nếu ω > 0 thì θ tăng theo thời gian và vật rắn quay theo chiều dƣơng.
Nếu ω < 0 vật rắn quay theo chiều âm.
Đơn vị vận tốc góc là rađian trên giây (rad/s).
GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn
4
SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua
Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco
Gia tốc gốc của vật:
- Gia tốc góc trong chuyển động quay của một vật rắn là đại lƣợng đặc trƣng sự
thay đổi về độ lớn của vận tốc góc và về trị số, bằng độ biến thiên của vận tốc góc trong
đơn vị thời gian.
- Gia tốc góc ε trong chuyển động quay của một vật rắn bằng đạo hàm theo thời
gian của vận tốc góc ω, hay đạo hàm bậc hai theo thời gian của góc quay .
Trong đó:
Khi ε = 0 thì ω = const: Vật rắn quay đều.
Khi ω.ε > 0: Vật rắn quay nhanh dần.
Khi ω.ε < 0: Vật rắn quay chậm dần.
Gia tốc góc ε bằng radian trên giây bình phƣơng (rad/s2).
4.2 Chuyển động quay đều
- Chuyển động quay của vật rắn là đều nếu vận tốc góc ω không đổi theo thời gian.
Theo công thức (1.4), ta có:
Tích phân theo t, ta đƣợc:
(1.5)
Với 0 là góc quay của vật rắn ở thời điểm t = 0.
- Công thức (1.5) cho thấy rằng, trong chuyển động quay đều, vận tốc góc ω có thể
tính theo công thức:
- Chuyển động quay đều còn đƣợc đặc trƣng bằng tần số N (là số vòng quay trong
một đơn vị thời gian ), hoặc bằng chu kỳ (là thời gian cần thiết để vật rắn quay đƣợc
một vòng).
- Giữa ba số ω, N, T có các hệ thức:
- Tần số đƣợc đo bằng héc (ký hiệu Hz ). Héc là tần số trong chuyển động quay
đều của một vật rắn, quay đƣợc một vòng trong một giây.[1]
4.3 Vận tốc và gia tốc của một điểm trên vật rắn
- Ta xét một điểm M trên vật rắn (Hình 1.2). Quỹ đạo của M là đƣờng tròn C, nằm
trên mặt phẳng R vuông góc với và có tâm O trên . Véctơ vận tốc của M ở thời
điểm t hƣớng theo tiếp tuyến tại M với C và có độ dài ω.r, r là khoảng cách OM ở từ M
đến trục quay Δ.
GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn
5
SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua
Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco
- Dùng cách biểu diễn véctơ, ta làm nhƣ sau: Lấy trên trục một véctơ có môđun
bằng ω và có chiều tam diện OM , v và là thuận (đó chính là chiều phù hợp với chiều
quay dƣơng trong mặt phẳng R).
- Véctơ v cóđộ dài ω.r, ba véctơ HM , v
và từng
đôi một vuông
góc với nhau,
vậy ta có thể
coi v là tích véctơ của hai véctơ MO và , nghĩa là coi v là mômen đối
với của :
=(
)
(1.7)
- Quy ƣớc gọi véctơ
xác định nhƣ trên, là véctơ vận tốc góc, ta có thể phát biểu:
Trong chuyển động quay của một vật rắn, vận tốc của một điểm bất kỳ trên vật rắn, vận
tốc của một điểm bất kỳ trên vật rắn là mômen đối với điểm ấy của véctơ vận tốc góc .
- Vì mọi điểm của vật rắn đều có cùng vận tốc góc
, vận tốc dài của một điểm
tăng tỷ lệ với khoảng cách từ điểm ấy đến trục quay, mũi của véctơ vận tốc của những
điểm nằm cùng trên một đƣờng thẳng qua Δvà vuông góc với Δ đều ở cùng trên một
đƣờng thẳng.(Hình 1.3).
vM
M
M
Hình 1.3
- Điểm M chuyển động tròn, gia tốc tiếp tuyến
đƣợc xác định bằng các công thức:
và gia tốc pháp tuyến
của
4.4 Chuyển động quay và trƣợt
- Chuyển động quay và trƣợt theo trục là chuyển động quay, trong đó những
điểm của vật rắn nằm trên Δ vẫn ở trên đƣờng thẳng ấy, nhƣng không cố định mà trƣợt
dọc theo đƣờng ấy.
- Gọi là v0 vận tốc trƣợt và là vận tóc góc trong chuyển động quay, ở thời điểm t.
Độ dịch chuyển MM ' của điểm trong khoảng thời gian t, t + dt có thể coi là tổng
hợp của hai độ dịch chuyển: độ dịch chuyển MM1 sinh ra do vật rắn đã quay đi một góc
uuuuur
ur
dt quanh và độ dịch chuyển M 1M do vật rắn đã tịnh tiến một khoảng v0 .dt . (Hình
1.4)
GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn
6
SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua
Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco
O
M
Hình 1.4[1]
- Do đó véctơ vận tốc của là tổng hai véctơ: véctơ vận tốc tƣơng ứng với
chuyển động quay – véctơ này là mômen của đối với c - véctơ vận tốc v0 ứng với
chuyển động tịnh tiến - v0 hƣớng theo . [1]
Nghĩa là:
(1.8)
- Nếu và v0 đều không đổi, thì quỹ đạo của là một đƣờng đinh ốc, trục và
chuyển động của là một chuyển động đinh ốc đều. Sau một chu kỳ của chuyển
động quay, đã quay đƣợc một vòng, đồng thời trƣợt theo phƣơng đƣợc một đoạn:
h v0 .T
Độ dài không đổi h gọi là bƣớc đinh ốc.[1]
(1.9)
5. CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG HAY CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG
5.1 Định nghĩa
- Chuyển động phẳng của một vật rắn là chuyển động trong đó quỹ đạo mọi điểm
của vật rắn đều nằm trong những mặt phẳng song song với một mặt phẳng cố định .
- Khi vật rắn S chuyển động phẳng, mọi điểm trên đƣờng MM’ vuông góc với
đều chuyển động giống nhau (Hình 1.5).
GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn
7
SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua
Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco
y
P
S
M
O
x
Hình 1.5[1]
- Vì vậy, khi nghiên cứu chuyển động chỉ cần nghiên cứu chuyển động của một tiết
diện S bất kỳ của vật rắn, trên một mặt phẳng bất kỳ song song với P. Từ đây trở xuống,
ta lấy mặt phẳng của hình vẽ làm mặt phẳng chứa tiết diện S, và chỉ vẽ tiết diện S.
- Vị trí của S trong mặt phẳng đƣợc hoàn toàn xác định, nếu ta biết vị trí một điểm
A của S, tức là biết hai tọa độ ,
của A, nếu ta biết góc
do đƣờng thẳng
của
S làm với trục x (Hình 1.6). Khi vật rắn chuyển động cả ba số
,
và
đều biến
thiên.
- Muốn mô tả chuyển động của vật rắn, phải biết quy luật biến thiên theo thời gian
của ba đại lại ,
và , tức là phải biết ba hàm:
(1.10)
- Ba phƣơng trình xác định hoàn toàn chuyển động song phẳng của vật rắn chính là
phƣơng trình chuyển động của vật rắn.[1]
GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn
8
SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua
Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco
5.2 Phân tích chuyển động
- Ta xét hai vị trí S và S’ của tiết diện S ở hai thời điểm t và t ' t t (Hình 1.7).
B
(S)
A
Hình 1.7[1]
- Có thể coi nhƣ S và cả vật rắn đã liên tiếp thực hiện hai chuyển động sau đây:
Chuyển động tịnh tiến, trong đó điểm A đi theo quỹ đạo của nó đƣa điểm A
tới A’, và đƣa đoạn AB tới A’B1.
Chuyển động quay quanh điểm A’với góc quay Δφ1 , đƣa đoạn A’B1 tới
A’B’.
- Chuyển động tiếp theo của vật rắn, từ vị trí S’tới vị trí S’’ cũng có thể phân tích
nhƣ vậy thành một chuyển động tịnh tiến theo quỹ đạo của điểm A và một chuyển động
quay quanh điểm A. Và cứ thế tiếp tục mãi.
- Cho Δ→0 ta thấy rằng hai chuyển động tịnh tiến và quay nối tiếp nhau một cách
liên tục.
- Do đó: Bất kỳ chuyển động phẳng nào cũng có thể phân tích thành hai chuyển
động là chuyển động tịnh tiến trong đó mọi điểm của vật rắn đều có chuyển động giống
nhau nhƣ điểm A và chuyển động quay quanh điểm A.
- Chuyển động tịnh tiến đƣợc biểu diễn bằng hai phƣơng trình đầu, còn chuyển
động quay bằng phƣơng trình thứ ba, trong nhóm ba phƣơng trình (1.10).
- Điểm A là điểm tùy ý chọn, nếu ta lấy một điểm ' khác trên S, thì vận tốc và gia
tốc trong chuyển động tịnh tiến sẽ có trị số khác.
- Nhƣng vận tốc góc và gia tốc góc trong chuyển động quay không hề thay dổi. Ta
có thể đƣa vật từ vị trí S sang vị trí S’ bằng phép tịnh tiến BB’ và bằng phép quay tiếp
theo quanh điểm B’.
- Khi đó, đoạn thẳng B’A1 sẽ quay một góc Δφ2 từ B’A1 sang B’A’.
- Ta thấy ngay rằng (do A1B’ và A’B1 song song và cùng chiều) hai góc Δφ1 và Δφ2
bằng nhau và cùng chiều.
- Do đó, hai vận tốc góc
và
cũng phải bằng nhau và
hai gia tốc góc cũng bằng nhau.[1]
5.3 Quỹ đạo và vận tốc của một điểm trên vật rắn
- Gọi M là một điểm cố định trên tiết diện S và r’là khoảng cách AM, α là góc giữa
AB và AM, φ là góc do AB làm với trục Ox.(Hình 1.8)
GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn
9
SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua
Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco
M
y
B
A
B
x
O
y
Hình 1.8
- Nếu chuyển động của S đƣợc xác định bằng các phƣơng trń h (1.10) thì tọa độ x và
y của M đƣợc xác định:
x xA (t ) cos (t )
y y A (t ) sin (t )
(1.11)
- Hai phƣơng trình này xác định chuyển động của M, cũng là phƣơng trình theo
tham số của quỹ đạo M. Đạo hàm theo thời gian của x và y cho ta hai thành phần của
véctơ vận tốc của điểm M .
- Ta có thể viết phƣơng trình vận tốc của điểm M dƣới dạng véctơ. Gọi r , rA và r '
là các véctơ OM , OA và AM .
Ta có:
Lấy đạo hàm theo t , ta đƣợc:
Trong đó:
drA
chính là vận tốc
của điểm A.
dt
drA
chính là vận tốc của điểm M.
dt
Khi rA không đổi tức là khi ta coi điểm A là không chuyển động, vận tốc
của M trong chuyển động quay của S quanh điểm A.
- Gọi v ' là vận tốc ấy, hƣớng vuông góc với AM và có môđun . AM .r ' (ω là
vận tốc góc trong chuyển động quay ).
Do đó:
(1.12)
- Véctơ vận tốc của một điểm M bất kỳ của tiết diện S là tổng hai véctơ: véctơ vận
tốc của một điểm A và véctơ vận tốc của M trong chuyển động quay quanh điểm A.
GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn
10
SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua
Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco
- Tƣơng tự nhƣ khi tổng hợp chuyển động, đôi khi ngƣời ta cũng quy ƣớc gọi vM là
vận tốc tuyệt đối (kí hiệu va ), v A là vận tốc theo (kí hiệu ve ) và v ' là vận tốc tƣơng đối
(kí hiệu vr ).[1]
5.4 Định lý về hình chiếu của vận tốc hai điểm
Định lý: Hình chiếu của vận tốc hai điểm cùng ở trên tiết diện S, lên đƣờng thẳng nối
hai điểm ấy là bằng nhau.
- A và B là hai điểm bất kỳ trên tiết diện S (Hình 1.9).
B
A
(S)
- Theo công thức (1.12), ta có:
Hình 1.9
Trong đó: v ' là vận tốc của B trong chuyển động quay của AB quanh A, luôn luôn
vuông góc với AB.
- Khi chiếu đẳng thức véctơ trên xuống AB, thì hình chiếu của v ' triệt tiêu.
- Dựa vào định lý này, khi đã biết vận tốc của một điểm A và quỹ đạo của một điểm
B ta xác định ngay đƣợc vận tốc của B.[2]
5.5 Tâm quay
Định nghĩa: Tâm quay tức thời I (hay tâm
vận tốc tức thời ) là điểm của tiết diện S có vận
tốc triệt tiêu ở thời điểm t.
B
- Ta chứng minh: Có thể tìm đƣợc một
(S)
điểm I thỏa mãn định nghĩa trên.
- Giả sử
và
là véctơ vận tốc của hai
I
điểm bất kỳ A và B trong tiết diện S và không
A
song song với nhau.
- Vẽ hai đƣờng thẳng qua A và B và vuông
góc với vA , vB . Vì v A và vB không song song với
Hình 1.10
nhau nên hai đƣờng thẳng này gặp nhau ở tại I
(Hình 1.10).
- Nếu vI là vận tốc của I, thì theo định lý trên, hình chiếu của v A và vI lên AI phải
bằng nhau.
- Vì hình chiếu của v A lên AI triệt tiêu, nên hình chiếu của vI lên AI cũng triệt tiêu.
Tƣơng tự, ta thấy hình chiếu của vI và BI cũng phải tiệt tiêu.
GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn
11
SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua
Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco
- Muốn cho hình chiếu của vI trên hai đƣờng không song song AI và BI đồng thời
triệt tiêu , thì vI chỉ có thể triệt tiêu.
- Vậy điểm I đúng là điểm có vận tốc triệt tiêu ở thời điểm t. Điểm I là điểm độc
nhất của tiết diện S có vận tốc triệt tiêu ở thời điểm t. Nếu có một điểm I’ khác trên S
cũng có vận tốc triệt tiêu thì mọi điểm của đƣờng II’ đều đứng yên. Do đó, tiết diện S
(tức là vật rắn ) sẽ đứng yên, điều này trái với giả thiết là S đang chuyển động.
- Áp dụng đẳng thức véctơ vào điểm M , ta đƣợc:
- Nhƣng điểm M có vI 0 , do đó:
Kết luận: Vận tốc của bất kỳ điểm nào trong tiết diện S cũng bằng vận tốc trong
chuyển động tròn, quanh tâm quay tức thời I. Nói một cách khác, chuyển động của tiết
diện S trong mặt phẳng xOy thu về chuyển động quay, với vận tốc góc ω, quanh tâm
quay tức thời I. Vận tốc của một điểm M bất kỳ của S hƣớng theo phƣơng vuông góc với
IM và có trị số .IM
- Khi biết phƣơng của vận tốc của hai điểm M1 , M 2 trong tiết diện S, ta xác định dễ
dàng tâm quay tức thời I (I là giao điểm của hai đƣờng vuông góc tại M1 và M2 với hai
véctơ vận tốc ).
- Trƣờng hợp đặc biệt mà hai đƣờng ấy song song với nhau và không vuông góc với
thì tâm quay I ở vô cực: hai véctơ vận tốc của M1 và M2 song song với nhau và
bằng nhau, chuyển động của S ở thời điểm t là chuyển động tịnh tiến.
- Nếu hai đƣờng vuông góc ấy trùng đúng với M1M2 thì I ở trên M1M2. Khi đó,
muốn xác định I phải biết cả độ lớn của vận tốc hai điểm ấy.
Trong quá trình chuyển động của S, vị trí của tâm quay tức thời I thay đổi
một cách liên tục. Quỹ tích các vị trí liên tiếp của I trong mặt phẳng cố định xOy là một
đƣờng cong C’.(Hình 1.11).
C
J
I
Hình 1.11[1]
Ở thời điểm t hai đƣờng cong C và C’ có một điểm chung I, ở thời điểm
, C đã quay quanh I một góc vô cùng nhỏ
, điểm J của đƣờng C bây giờ
trùng với điểm của đƣờng và trở thành tâm quay tức thời ở thời điểm t’.
Góc quay .dt của C cũng chính là góc quay đƣa dây cung IJ đến trùng với
IJ’.
Góc .dt tiến tới không khi J tiến tới , vậy hai cung IJ và
tiếp xúc với
nhau ở I.
GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn
12
SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua
Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco
Vận tốc của I ở thời điểm t lại triệt tiêu, nên C không trƣợt trên C’.
- Vậy, ta có thể mô tả đầy đủ chuyển động của S, bằng cách cho đƣờng cong C, gắn
với mặt phẳng P chứa tiết diện S lăn không trƣợt trên đƣờng cong C’ nằm trong mặt
phẳng cố định P1 (chứa hai trục Ox , Oy ).
- Vì vậy, chuyển động của S còn gọi là chuyển động của một mặt phẳng trên một
mặt phẳng, hay chuyển động song phẳng, đƣờng C gắn với S gọi là đƣờng lăn, đƣờng
nằm trong mặt phẳng cố định gọi là đƣờng căn cứ. Tiếp điểm I của hai đƣờng ở thời điểm
t chính là tâm quay tức thời ở thời điểm ấy.[1]
6. CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT ĐIỂM CỐ
ĐỊNH
6.1 Định lý Ơ – le – Đa – lăm – be
- Vật rắn có một điểm cố định chỉ có thể quay quanh điểm ấy và chỉ còn ba bậc tự
do: vị trí của vật rắn đƣợc hoàn toàn xác định, khi ta biết vị trí của hai điểm bất kỳ khác,
không thẳng hàng với điểm cố định.
- Giả sử O là điểm cố định, S và là hai vị trí của vật rắn ở hai thời điểm t và
t ' t t (Hình 1.12).
B
(S)
A
D
O
Hình 1.12
- Ta chứng minh rằng, để đƣa vật rắn từ vị trí S sang vị trí S ' , chỉ cần thực hiện một
phép quay độc nhất quanh một trục đi qua O.
Giả sử A là một điểm vật rắn và A ' là vị trí của nó ở thời điểm t’. Gọi B là
điểm của vật rắn mà vào thời điểm t lại ở đúng chỗ ,
là vị trí của B ở thời điểm
Nhƣ thế nghĩa là khi vật rắn chuyển từ vị trí S sang vị trí
thì điểm A
đến vị trí
do điểm chiếm B ở thờ điểm t, còn điểm B đến vị trí .
Ta có:
Ta vẽ mặt phẳng qua ba điểm
và gọi D là hình chiếu của O trên mặt
phẳng ấy.
Ta có:
, do đó
Hai tam giác
và
có ba cạnh bằng nhau, vậy bằng nhau và hai
góc
và
cũng bằng nhau.
GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn
13
SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua
Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco
Gọi Δθ là trị số chung của hai góc ấy, ta thấy rằng, muốn đƣa vật rắn từ vị
trí S sang vị trí , tức là đƣa cho A đến A ' và B từ A ' đến B ' , có thể cho vật rắn quay
một góc Δθ quanh trục OD.[1]
Định lý Ơ-le – Đa-lăm-be:
- Bất kỳ sự dời chỗ nào của một vật rắn có một điểm cố định cũng có thể thực hiện
đƣợc bằng một phép quay độc nhất quanh một trục thích hợp đi qua điểm cố định.
- Định lý này chỉ khẳng định rằng có thể đƣa vật rắn từ vị trí S sang vị trí S’bằng
một phép quay độc nhất.
- Nhƣ thế, có nghĩa là vật rắn có thể chuyển từ vị trí S sang vị trí S ' bằng nhiều
cách. Tuy nhiên, nếu t khá nhỏ thì hai vị trí S và S ' khá gần nhau, góc cũng khá
nhỏ và phép quay độc nhất quanh OD càng gần với chuyển động thực tế của vật rắn, ta
có thể thừa nhận rằng, khi t 0 thì phép quay quanh OD chính là chuyển động
thực, đã đƣa vật rắn từ vị trí S sang vị trí vô cùng gần S.
- Ta cũng gọi
là vận tốc góc của vật rắn ở thời điểm t và biểu
diễn nó bằng một véctơ , hƣớng theo trục quay tức thời OD và có chiều theo quy ƣớc.
- Trục quay tức thời OD không gắn với vật rắn và thƣờng thay đổi một cách liên
tục trong quá trình chuyển động.
- Quỹ tích các vị trí liên tiếp của OD trong vật rắn là một mặt nón N’và trong
không gian cố định là một mặt nón N.
- Chuyển động quay của vật rắn quanh điểm cố định O, nhƣ vậy có thể mô tả là
chuyển động quay của vật rắn chuyển động lăn không trƣợt của một mặt nón trên một
mặt nón khác.[1]
6.2 Vận tốc của một điểm trên vật rắn
- Giả sử M là một điểm trên vật rắn, OD là trục quay tức thời ở thời điểm t, là
véctơ vận tốc góc ở thời điểm t.
- Gọi H là hình chiếu của M trên OD và v là véctơ vận tốc của M.(Hình 1.13)
D
O
v
M
O
Hình 1.13
- Chuyển động của vật rắn ở thời điểm t là chuyển động quay quanh trục OD , với
vận tốc góc .
Áp dụng công thức ta đƣợc:
GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn
14
SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua
Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco
Hay là:
Nhƣng:
Do đó:
- Hai véctơ và OH cùng chiều, tích véctơ của chúng triệt tiêu, ta đƣợc:
Kết luận: Véctơ vận tốc của một điểm M trên vật rắn, bằng tích của véctơ vận tốc
góc với bán kính véctơ của điểm ấy.[1]
7. CHUYỂN ĐỘNG TỒNG QUÁT CỦA VẬT RẮN
- Gọi A là một điểm cố định trên vật rắn và M là một điểm trên vật rắn, xác định bởi
đẳng thức:
.
- Gọi O là gốc tọa độ,
và
là hai bán kính véctơ
và
.
Ta có:
Hay:
Đạo hàm theo t , ta đƣợc:
Trong đó:
là vận tốc
là vận tốc của điểm A.
của điểm M.
là vận tốc trong chuyển động của điểm M.
Khi
A đƣợc coi là không chuyển động, tức là vận tốc trong chuyển động quay của
vật rắn quanh điểm A.
- Gọi là véctơ vận tốc góc ở thời điểm t trong chuyển động quay ấy.
Do đó:
- Đẳng thức này cho thấy rằng chuyển động của vật rắn là tổng hợp của hai chuyển
động: một chuyển động tịnh tiến với vận tốc
và một chuyển động quay với vận tốc
góc quanh điểm A. Cũng nhƣ trong chuyển động phẳng, vận tốc của chuyển động tịnh
tiến phụ thuộc điểm A, còn vận tốc góc không phụ thuộc điểm A.
- Trong trƣờng hợp tổng quát, v A không song song và không vuông góc với . Ta
có thể phân
thành hai thành phần: một thành phần v0 hƣớng theo và một thành
phần v1 vuông góc với , v0 là vận tốc trƣợt của vật rắn dọc theo trục quay tức thời, còn
v1 là vận tốc tịnh tiến của vật rắn trong mặt phẳng P vuông góc với (Hình 1.14)[1]
GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn
15
SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua
Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco
M
A
O
P
Hình 1.14[1]
GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn
16
SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua
Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco
CHƢƠNG 2. ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN
1. KHỐI TÂM, TÂM QUÁN TÍNH HAY TRỌNG TÂM
- Ta xét một hệ n chất điểm A1, A2, A3,…An, khối lƣợng m1, m2, m3,…mn, có tọa độ
….. đối với một điểm gốc O, lấy tùy ý.
- Lấy đạo hàm đối với thời gian đẳng thức xác định bán kính véctơ của khối tâm G
(hay tâm quán tính của hệ) xác định bởi đẳng thức:
mi ri
n
rG
Hay là:
1
n
m
n
m r
i i
1
(2.1)
M
i
1
n
- Với M =
m
i
là khối lƣợng toàn phần của hệ chất điểm.
1
Ta có:
ri OAi OG GAi rG GAi
(2.2)
n
m r m (OG GA )
i i
Do đó:
rG
i
1
M
i
M
n
M rG M OG mi GAi
1
n
mi GAi 0
1
- Công thức (2.2) cho thấy rằng G là điểm độc nhất của hệ thỏa mãn đẳng thức định
nghĩa và thỏa mãn đẳng thức:
(2.3)
- Khi hệ chất điểm đặt trong trọng trƣờng, thì mỗi chất điểm chịu tác dụng một lực
thẳng đứng, hƣớng xuống pi = mig. Tổng hợp lực của n lực song song cùng chiều ấy là
một lực song song và cùng chiều với chúng, và đặt lại một điểm G1 gọi là trọng tâm, xác
định bởi đẳng thức:
n
pi ri
m
g
.
r
g
m
r
i
i
i
i
rG1 1n
(2.4)
mi g
g mi
pi
1
- So sánh (2.1) và (2.4), ta thấy:
nghĩa là G1 trùng với G. Vậy tâm quán
tính trùng với trọng tâm của hệ chất điểm.
- Bây giờ ta xét một vật rắn, khối lƣợng M. Trong vật rắn khối lƣợng phân bố một
cách liên tục. Ta lấy một thể tích nguyên tố dv trong vật rắn. Gọi là khối lƣợng riêng
của nó, thì khối lƣợng dm của dv là: dm= .dv= .dx.dy.dz
GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn
17
SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua
Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco
- Trong trƣờng hợp tổng quát, là hàm của tọa độ r của dv; trong vật rắn, r biến
thiên một cách liên tục, tổng số trong (2.1) biến thành tích phân thể tích, và khối tâm
vật rắn đƣợc định nghĩa là điểm G, xác định bởi đằng thức:
Do đó:
(2.5)
Trong đó: M là khối lƣợng toàn phần của vật.
- Trong đa số các trƣờng hợp thƣờng gặp trong thực tiễn, vật rắn là một khối đồng
tính, khi ấy có trị số không đổi, có thể cho ra ngoài dấu tích phân, và ta đƣợc:
Trong đó: V là thể tích của vật.
- Khối tâm G khi đó đƣợc xác định đơn thuần do các tính chất hình học của vật.[1]
2. MÔMEN QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT TRỤC QUAY CỐ ĐỊNH
- Vị trí của khối tâm không đủ dặc trƣng sự phân bố khối lƣợng trong cơ hệ một
cách đầy đủ. Chẳng hạn, có hai quả nặng A1 và A2 cùng khối lƣợng m đặt hai đầu một
thanh độ dài l (Hình 2.1).
Hình 2.1
- Khối tâm của hệ ở tâm điểm thanh, không phụ thuộc vào chiều dài thanh. Cho
thanh quay quanh một trục vuông góc với thanh và đi qua tâm của thanh, ta thấy rằng
thanh càng dài thì quay càng khó mặc dù khối tâm của hệ không đổi. Sự phân bố khác
nhau của các khối lƣợng đối với khối tâm là có ảnh hƣởng khác nhau đến chuyển động
của hệ, mặc dù khối lƣợng toàn phần và khối tâm của hệ không đổi.
- Vì vậy, ngƣời ta đã đƣa ra thêm một đại lƣợng để đặc trƣng sự phân bố khối lƣợng,
đó là mômen quán tính.[1]
Định nghĩa: Mômen quán tính của một vật đối với một trục Oz là một đại lƣợng vô
hƣớng, xác định bởi đẳng thức:
Trong đó: mi là khối lƣợng và ri là khoảng cách tới Oz của chất điểm ấy trên vật.
- Mômen quán tính giữ một nhiệm vụ quan trọng trong chuyển động quay, nhƣ khối
tâm trong chuyển động tịnh tiến.
Gọi M là khối lƣợng toàn phần của vật, và đặt:
GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn
18
SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua
Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco
I oz mi ri 2 M 2
2
mr
2
i i
M
(2.8)
I
oz
M
Trong đó: gọi là bán kính quán tính (hay bán kính hồi chuyển) của vật đối với
trục Oz và chính là khoảng cách từ Oz đến điểm mà ta phải tập trung toàn bộ khối lƣợng
của vật vào, để điểm ấy có mômen quán tính bằng vật.
- Trong tọa độ Descartes, mômen quán tính đối với các trục x, y và z là:
3. XÁC ĐỊNH KHỐI TÂM CỦA MỘT VÀI VẬT ĐỒNG TÍNH
3.1 Khối tâm của một cung tròn
- Ta xét cung tròn đồng tính AB, trên
đƣờng tròn tâm O, bán kính R.
- Gọi 2 = AOB là góc ở tâm chắn cung
AB và hƣớng trục Ox theo đƣờng phân giác
của góc AOB (hình 2.2). Ox là trục đối xứng
của cung, vậy khối tâm G phải ở trên Ox. Ta
xác định hoành độ xG của G.
- Lấy trên AB một cung nguyên tố MM’,
độ dài dl.
y
B
y
y
x
O
- Theo hình vẽ, ta có dl Rd và
hoành độ của trung điểm của MM’ trùng với
hoành độ của M là Rcos . Gọi
là khối
lƣợng trên đơn vị độ dài thì khối lƣợng dm
của cung MM’ là dm .dl ;
- Thế các trị số này vào công thức (2.6), ta đƣợc:
xG
R
2
. cos .d
1
R
dl
M
A
y
Hình 2.2
2
cos .d
..
.dl
2 R 2 sin
0
- Nhƣng độ dài của cung AB là l = 2R thế vào trên, ta đƣợc:
2 R 2 sin
sin
xG
R
(2.10)
2 R
Khi (cả vòng tròn), thì x = 0, đó là điều hiển nhiên.
2R
Khi , thì sin 1 và xG =
2
GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn
19
SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua
Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco
3.2 Khối tâm của một hình quạt tròn
- Ta xét hình quạt tròn đồng tính AOB tâm O, bán kính R. Cũng gọi 2 AOB là
góc ở tâm của hình quạt và hƣớng trục Ox theo đƣờng phân giác cuả góc AOB (Hình
2.3).
y
B
y
dr H
.
dS
O
x
y
y
R
y
A
y
Hình 2.3[1]
- Cũng do tính chất đối xứng của hình. Khối tâm G của nó cũng ở trên Ox , và ta chỉ
cần xác định hoành độ xG .
- Ta lấy trên hình quạt một diện tích nguyên tố ds, có tâm là ðiểm H gọi r, là tọa
độ cực của H.
- Theo hình vẽ, ta có:
ds rdr.d
xH r cos
- Gọi là khối lƣợng trên đơn vị diện tích của hình quạt, dm là khối lƣợng của diên
tích nguyên tố ds, ta có:
dm .ds .rdr.d
- Thế các giá trị trên vào công thức (2.6), ta đƣợc:
x.dm r.cos . .rdr.d r 2 dr.cos d
xG
dm
.
rdr
.
d
rdr.d
- Hai biến số r và là độc lập: giới hạn tích phân đối với r là O và R, đối với là và + ;
R
1 2
R 2sin
3
R
R2
2
rdr
d
0
2
2 sin
xG R
3
r dr cos d
2
Vậy:
xG
0
(2.11)
Nhận xét: Khối tâm của một hình quạt trùng với khối tâm một cung tròn, cùng góc ở
đỉnh 2 , nhƣng có bán kính nhỏ 2/3.[1]
GVHD: ThS.GVC Lê Văn Nhạn
20
SVTH: Hồ Thị Cẩm Tua
