skkn một số phương pháp giải phương trình mũ – phương trình logarit

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

MỤC LỤC
Trang
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

2
2
3

1. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH MŨ
2. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
3. MỘT SỐ CÔNG THỨC MŨ – LOGARIT CẦN NHỚ

3
3
4

4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
4.1. Phương pháp 1: Giải phương trình mũ cơ bản

5
5

4.2. Phương pháp 2: Đưa về cùng cơ số
4.3. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ
4.4. Phương pháp 4: Đưa về phương trình tích

6

8
13

4.5. Phương pháp 5: Logarit hóa
4.6. Phương pháp 6: Dùng tính đơn điệu của hàm số
4.7. Phương pháp 7: Phương pháp đánh giá

14
15
17

5. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
5.1. Phương pháp 1: Giải phương trình logrit cơ bản

18
18

5.2. Phương pháp 2: Đưa về cùng cơ số
5.3. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ
5.4. Phương pháp 4: Đưa về phương trình tích

19
20
22

5.5. Phương pháp 5: Logarit hóa
5.6. Phương pháp 6: Dùng tính đơn điệu của hàm số
5.7. Phương pháp 7: Phương pháp đánh giá

23

24
26

6. MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG TRONG CÁC NĂM GẦN ĐÂY
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
V. ĐỀ XUẤT, KHUYỄN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

27
27
28

VI. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

29

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 1 -


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
I.

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương trình mũ và phương trình logarit được gọi là phương trình siêu việt.

Khi nói đến phương trình mà chúng ta không nhắc tới phương trình mũ và phương trình

logarit thì thiếu đi vẻ đẹp của phương trình nói riêng và toán học nói chung. Phương
trình mũ – logarit được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học, nên việc nghiên cứu
các phương pháp giải chúng là hết sức quan trọng.
Đối với chương trình toán học phổ thông phương trình mũ – logarit được đưa
vào giảng dạy ở lớp 12. Nhưng thời gian dành để dạy và học về phương trình mũ –
logarit là ít kể cả lí thuyết cũng như thực hành. Mặt khác các bài tập mà sách giao khoa
yêu cầu thì chưa cao, chưa tương ứng đươc như trong các đề thi tuyển sinh.
Trong khi đó trong thi cử và ứng dụng thì ở mức độ cao hơn nhiều. Đặc biệt
là trong các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng nhiều năm nay đã có một số câu liên
quan đến phương trình mũ - logarit. Để giúp các em hiểu sâu hơn về phương trình mũ logarit, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình mũ –
phương trình logarit ”.
II.

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Nghiên cứu đề tài “Một số phương pháp giải phương trình mũ – phương

trình logarit ” để giúp học sinh rèn kỹ năng giải toán về phương trình mũ - logarit, qua
đó phát triển tư duy logic cho học sinh đồng thời nâng cao chất lượng học tập của các
em, tạo được hứng thú học tập môn toán, góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy bộ
môn theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh, góp phần nâng
cao chất lượng đội ngũ học sinh khá giỏi về môn toán, góp phần kích thích sự đam mê,
yêu thích môn toán, phát triển năng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh.
Đối tượng áp dụng: học sinh lớp 12.

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 2 -


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Trong chương trình hoc ở sách giáo khoa chương trình chuẩn để giải phương
trình mũ - phương trình logarit chỉ đề cập đến ba phương pháp giải cơ bản và thường
gặp. Tuy nhiên, có rất nhiều bài toán hay, bài toán thương gặp trong các đề thi tuyển
sinh thì các phương pháp trên lại không giải được. Nên việc đưa thêm một số phương
pháp mới vào giảng dạy cho học sinh để các em nắm bắt được các giải một số bài toán
khó hơn, hay hơn…
III.

TỔ CHỨC THỰC HIỆN VÀ GIẢI PHÁP

1. KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1.1. Phương trình mũ cơ bản
Phương Trình mũ cơ bản là phương trình có dạng a x = b với a > 0, a ≠ 1
1.2. Phương pháp giải
1.2.1. Dùng định nghĩa logarit.
Nếu b > 0, ta có: a x = b ⇔ x = log a b .
Nếu b ≤ 0, phương trình a x = b vô nghiệm.
Dùng sự tương giao của hai đồ thị
Số nghiệm của phương trình a x = b bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
y = a x với đồ thị y = b.
Dựa vào đồ thị của hai hàm số ta có kết luận:
Phương trình a x = b với a > 0, a ≠ 1
b>0
Có nghiệm duy nhất x = log a b
b≤0
vô nghiệm.
2. KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
2.1. Phương trình logarit
Phương trình logarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu

logarit.
2.2. Phương trình logarit cơ bản
Phương trình logarit cơ bản là phương trình có dạng log a x = b với a > 0, a ≠ 1
Phương pháp giải
Theo định nghĩa logarit, ta có: log a x = b ⇔ x = a b
Dùng sự tương giao của hai đồ thị
Số nghiệm của phương trình log a x = b bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
y = log a x với đồ thị y = b.
Vẽ đồ thị hàm số y = log a x và hàm số y = b trên cùng một hệ trục tọa độ.

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 3 -


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Trong cả hai trường hợp, ta đều thấy đồ thị hàm số y = log a x và đồ thị y = b
cắt nhau tại một điểm với mọi b ∈ ¡ .
Kết luận:
phương trình log a x = b , ( a > 0, a ≠ 1 ) luôn có nghiệm duy nhất x = a b với mọi b ∈ ¡
3. MỘT SỐ CÔNG THỨC MŨ VÀ LOGARIT CẦN NHỚ
3.1. Công thức mũ và lũy thừa: a, b là các số thực dương, m, n là các số thực tùy ý
1)

a n = a{
.a...a

n

n soá a

2) a m+ n = a m .a n
3) a

m− n

am
1
= n ⇒ a−n = n
a
a

4) a mn = ( a m ) = ( a n )
n

5)

a nb n = ( ab )

m

6)

an
a
 ÷ = n
b
b

7)

m

a =

8)

m

a .m b = m ab

9)

n

( a)
m

n

=a

n
m

a0 = 1

n

3.2. Công thức logarit: cho 0 < a ≠ 1, b, c là các số dương
1)

log a x = b ⇔ x = a b

2)
3)

log a 1 = 0, log a a = 1

4)

a loga b = b

log a a b = b

5) log a (b.c) = log a b + log a c
Công thức đổi cơ số
1)

log a b =

log c b
log c a

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

 
6) log a  ÷ = log a b − log a c
c

α
7) log a b = α log a b
b

1
log a b
α
1
9) log a n b = log a b
n
10) lg b = log b = log10 b ; ln b = log e b

8)

log aα b =

3)

a logb c = c logb a

Trang - 4 -


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

log a b =

2)

1

log b a

4)

1

log ab c =

1
1
+
log a c log b c

4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
4.1.

Phương pháp 1: Giải phương trình mũ dạng cơ bản
a f ( x ) = b ⇔ f ( x) = log a b, (a > 0, b > 0)

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a) 5x −5 x +6 = 1

b)

c) 3x.2 x+1 = 72

d)

2

2 x 3 4 x .3 x 0,125 = 4 3 2

2.3x +1 − 6.3x −1 − 3x = 15

Giải
x = 2
= 1 ⇔ x2 − 5x + 6 = 0 ⇔ 
x = 3
Vậy phương trình có nghiệm: x = 2; x = 3

a)

5x

2

−5 x + 6

1

1

2x
7
7
2 x −3
7

2
 2 x −3  2

b) 2 x 3 4 x .3 x 0,125 = 4 3 2 ⇔ 22.2 3 .2−3  = 2 3 ⇔  2 3 ÷ = 2 3 ⇔ 2 6 = 2 3




7
2x − 3
2x − 3 7
17
⇔
= log 2 2 3 ⇔
= ⇔ 2 x − 3 = 14 ⇔ x =
6
6
3
2
17
Vậy phương trình có nghiệm: x =
2
x x +1
x
x
c) 3 .2 = 72 ⇔ 2.6 = 72 ⇔ 6 = 36 ⇔ x = log 6 36 ⇔ x = 2
Vậy phương trình có nghiệm: x = 2

d) 2.3x +1 − 6.3x −1 − 3x = 15 ⇔ 6.3x − 2.3x − 3 x = 15

⇔ 3.3x = 15 ⇔ 3x = 5 ⇔ x = log 3 5
Vậy phương trình có nghiệm: x = log3 5
Nhận xét: Đại đa số các phương trình mũ khi giải đều đưa về phương trình mũ cơ

bản. Nên việc giải phương trình mũ cơ bản tốt là điều kiện để giải tốt các phương
trình tiếp theo. Đối với phương trình mũ cơ bản thì cần phải biết cách sử dụng các
công thưc mũ, lũy thừa …

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 5 -


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau:
2

1) 2 x +3 x −2 =

1
4

3) 5x.22 x−1 = 50

5) 2 x +1 + 2 x −2 = 36

=3

4) 2 x +1 . 3 42 x −1 .83− x = 0,125. 8

6) 3x +1 − 2.3x −2 = 25

x 2 −3 x +1

1
2)  ÷
3

4.2.

Phương pháp 2: Đưa về cùng cơ số

Đối với phương trình mũ biến đổi về dạng: a f ( x ) = a g ( x )
Trường hợp 1: Nếu 0 < a ≠ 1 thì a f ( x ) = a g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x )
Trường hợp 2: Nếu a là biểu thức có chứa ẩn x thì
a > 0
a f ( x) = a g ( x) ⇔ 
( a − 1) ( f ( x) − g ( x) ) = 0

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
a) 2 x

2

− x +8

b) ( 3 + 8 )

= 41−3x

2−3 x

1
c) 9  ÷
3

= 3− 8

d) ( x 2 − 2 x + 2)

= 27 x 3 81x +3

x

(

3 x+7

2

f) ( x + 1)

e) ( x 2 − 1) x +2 x = ( x 2 − 1)3

x −3

9− x 2

)

5 x+9

= 3 x 2 − 2x + 2

=1

Giải
2
2
a) 2 x −x +8 = 41−3x ⇔ 2 x −x +8 = 22 −6x ⇔ x 2 − x + 8 = 2 − 6x ⇔ x 2 + 5x + 6 = 0
 x = −2
⇔ x 2 + 5x + 6 = 0 ⇔ 
 x = −3
Vậy phương trình có nghiệm: x = −2; x = −3
b)

( 3+ 8)

3 x+7

(

= 3− 8

)

5 x +9

(

⇔ 3+ 8

)

3 x+7

(

= 3+ 8

)

−5 x −9

⇔ 3 x + 7 = −5 x − 9 ⇔ x = −2

Vậy phương trình có nghiệm: x = −2
2−3 x

c) Ta có:

1
9  ÷
3
x

3x

= 27 x 3 81x +3 ⇔ 32 x.33 x − 2 = 3 2 .3

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

4 x +12
3

17 x + 24
6

⇔ 35 x − 2 = 3

Trang - 6 -


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
⇔ 5x − 2 =

17 x + 24
36
⇔ x=
6
13

Vậy phương trình có nghiệm: x =

36
13

d) điều kiện: 9 − x 2 ≥ 0 ⇔ −3 ≤ x ≤ 3
Khi đó: ( x 2 − 2 x + 2 )

9− x2

(

= 3 x2 − 2x + 2 ⇔ x2 − 2x + 2

)

9− x2

(

= x2 − 2x + 2

)

1
3


1
1


4 5
 2 80
9 − x2 =
9 − x2 =
x =
( n)
x = ±




⇔
⇔
3 ⇔
9
9 ⇔
3
, (vì x 2 − 2 x + 2 > 0, ∀x ∈ ¡ )
 2
 2

 x = 1
( n)
x =1
 x − 2 x + 2 = 1  x − 2 x + 1 = 0
4 5
4 5
;x = −
3
3
 x > 1

  x < −1
2

x
−
1
>

0
2


2
x +2 x
= ( x 2 − 1)3 ⇔  2
⇔   x = ± 2 (n)
e) ( x − 1)
2
( x − 2 ) ( x + 2 x − 3) = 0
 x = 1
(l)

  x = −3
(n)

Vậy phương trình có nghiệm x = −3; x = − 2; x = 2
f) Điều kiện: x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3
vì x ≥ 3 nên x+1 > 0

Vậy phương trình có nghiệm: x = 1; x =

Khi đó: ( x + 1) x −3 = 1 ⇔ ( x + 1) x −3 = ( x + 1) ⇔ x − 3 = 0 ⇔ x = 3 (n)
Vậy phương trình có nghiệm: x = 3
0

Nhận xét: Thực ra phương trình đưa về cùng cơ số cũng gần giống với phương trình
mũ cơ bản. Việc giải các phương trình dạng này chủ yếu là sử dụng tốt các công
thức, các phép biến đổi của mũ và lũy thừa mà thôi.

Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau
1)

2

x2 +3 x − 2

=2

3) 2 x +1 + 2 x −2 = 36

−2

x- 3

x+1

2) ( 10 + 3) x - 1 = ( 10 - 3) x + 3

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

2x - 1

4) 8 x + 1 = 0, 25. ( 2 )

5) 2x + 1.4x - 1.
7x

1

1- x

8

= 16x

6) 2x + 2.5x + 2 = 23x.53x

Trang - 7 -


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

4.3. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ
Dạng 1: Nếu phương trình có dạng đa thức: P ( a ) = 0 với 0 < a ≠ 1
f ( x)
Thì ta đặt: t = a , ( t > 0 ) khi đó ta được phương trình mới: P ( t ) = 0
Dạng 2: Nếu phương trình có dạng đa thức: ma 2 f ( x ) + n(ab) f ( x ) + kb 2 f ( x ) = 0 với
0 < a ≠1, 0 < b ≠1
Thì ta chia hai vế của phương trình cho b 2 f ( x ) (hoặc a 2 f ( x ) ) rồi đặt
f ( x)

f ( x)

a
t = ÷
b

, ( t > 0)

Khi đó ta được phương trình mới như sau: mt 2 + nt + k = 0
Dạng 3: Nếu phương trình có dạng đa thức: α a f ( x ) + β b f ( x ) = λ với 0 < a ≠ 1 , 0 < b ≠ 1
,ab=1
1
t

Thì ta đặt: t = a f ( x ) ⇒ b f ( x ) = , ( t > 0 )
Khi đó ta được phương trình mới: α t 2 − λ t + β = 0
Dạng 4: Nếu phương trình có dạng đa thức: α a

f ( x)

0 < a ≠1

 a f ( x ) + g ( x )
+  f ( x )− g ( x) + β a g ( x ) + λ = 0
 a

với

f ( x)
>0
u = a
Thì ta đặt: 
g ( x)
>0
v = a

Khi đó ta đưa về phương trình tích, hoặc phương trình thuần nhất hoặc hệ
Lưu ý: Một số trường hợp ta đặt ẩn phụ không hoàn toàn. Nghĩa là sau khi đặt ẩn

phụ vẫn còn x. Khi đó ta giải phương trình theo ẩn t còn với x được xem là hằng
số.
Bài tập áp dụng
f ( x)
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau ( Dạng 1: P ( a ) = 0 )

a) 9 x − 4.3x − 45 = 0

b) 4

x−2

+ 16 = 10.2

x− 2

c) 9sin x + 9cos x = 10
2

2

Giải
a) 9 x − 4.3x − 45 = 0 ⇔ 32 x − 4.3x − 45 = 0 (*)
Đặt: t = 3x , t > 0

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 8 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
t = −5 (l)
t = 9 (n)

2
Khi đó (*) trở thành: t − 4t − 45 = 0 ⇔ 

Khi t = 9 ⇒ 3x = 9 ⇔ x = 2
Vậy phương trình có nghiệm: x =2
b) 4 x−2 + 16 = 10.2 x−2
Điều kiện: x ≥ 2
Khi đó: 4 x −2 + 16 = 10.2 x −2 ⇔ 22 x −2 − 10.2
Đặt: t = 2 x −2 , t > 0

x −2

+ 16 = 0 (1)

t = 2 (n)
t = 8 (n)

2
Khi đó (1) trở thành: t − 10t + 16 = 0 ⇔ 

Khi t = 2 ⇒ 2 x − 2 = 2 ⇔ x − 2 = 1 ⇔ x = 3 (n)
Khi t = 8 ⇒ 2 x −2 = 8 ⇔ x − 2 = 3 ⇔ x = 11 (n)
Vậy phương trình có nghiệm: x = 3; x = 11
c) 9sin x + 9cos x = 10 ⇔ 9sin x + 91−sin x = 10 ⇔ 92sin x − 10.9sin x + 9 = 0 (2)
Đặt: t = 9sin x , t > 0
2

2

2

2

2

2

2

t = 1 (n)
t = 9 (n)

2
Khi đó (1) trở thành: t − 10t + 9 = 0 ⇔ 

Khi t = 1 ⇒ 9sin x = 1 ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ
2

2

Khi t = 9 ⇒ 9sin x = 9 ⇔ sin 2 x = 1 ⇔ cosx = 0 ⇔ x =
Vậy phương trình có nghiệm: x =

π
+ kπ ; x = kπ
2

π
+ kπ
2

Nhận xét: Đối với phương trình dạng này chúng ta không đặt ẩn phụ cũng giải được
bình thường. Tuy nhiên việc đặt ẩn phụ sẽ làm cho phương trình đẹp hơn, gọn hơn
chứ không giải nhanh hơn. Khi đặt ẩn phụ cần phải lưu ý điều kiện.
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau ( Dạng 2: ma 2. f ( x ) + n(ab) f ( x ) + kb2. f ( x ) = 0 )
a) 6.4 x − 13.6 x + 6.9 x = 0

b) 42 x − 2.4 x + x + 42 x = 0
2

2

c) 4

3

x + 5 +1

+ 2.2

3

x +5 + x

Giải
2x

x

2
2
a) 6.4 − 13.6 + 6.9 = 0 ⇔ 6  ÷ − 13  ÷ + 6 = 0 ( 1)
3
3
x

x

x

x

2
Đặt: t =  ÷ , t > 0
3

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 9 -

= 2.4 x


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

t =

2
Khi đó (1) trở thành: 6t − 13t + 6 = 0 ⇔ 
t =


2
(n)
3
3
(n)
2

x

2 2
2
Khi t = ⇒  ÷ = ⇔ x = 1
3 3
3
x

3 2
3
Khi t = ⇒  ÷ = ⇔ x = −1
2 3
2

Vậy phương trình có nghiệm: x = 1; x = −1
b) 42 x − 2.4 x + x + 42 x = 0 ⇔ 42( x − x ) − 2.4 x − x + 1 = 0 (2)
Đặt: t = 4 x − x , t > 0

Khi đó (1) trở thành: t 2 − 2t + 1 = 0 ⇔ t = 1 (n)
2

2

2

2

2

x = 1
x = 0
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1; x = 0
3
3
3
3
c) 4 x +5 +1 + 2.2 x +5 + x = 2.4 x ⇔ 4.22 x +5 − x + 2.2 x +5 − x − 2 = 0 (3)
2

x −x
2
Khi t = 1 ⇒ 2 = 1 ⇔ x − x = 0 ⇔ 

Đặt: t = 2

3

x +5 − x

, t >0

t = −1(l )
Khi đó (1) trở thành: 4t + 2t − 2 = 0 ⇔  1
t = ( n)
 2
3
1
1
Khi t = ⇒ 2 x +5 − x = ⇔ 3 x + 5 − x = −1 ⇔ 3 x + 5 = x − 1 ⇔ x + 5 = x 3 − 3x 2 + 3x − 1
2
2
3
2
⇔ x − 3x + 2 x − 6 = 0 ⇔ x = 3
Vậy phương trình có nghiệm: x = 3
2

Nhận xét: Đối với dạng này ngoài cách đặt ẩn phụ ra thì ta có thể phân tích thành
tích các đơn thức, đa thức để giải. Tuy nhiên việc phân tích không phải đơn giản.
Ví dụ 5: Giải các phương trình sau ( Dạng 3: α a f ( x ) + β b f ( x ) = λ )
a) ( 2 + 3 ) + ( 2 − 3 ) = 4
x

x

( 5 − 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) = 2
c) ( 8 + 3 7 ) + 7 ( 8 − 3 7 )
x

x

sinx

b)
x+ 3
sin x

= 16

Giải:
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 10 -


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

a) ( 2 + 3 ) + ( 2 − 3 ) = 4 (1)
x

x

Đặt: t = ( 2 + 3 ) ⇒ ( 2 − 3 ) = , t > 0
x

1
t

x

t = 2 + 3
1
2
t
+
=
4
⇔
t
−
4
t
+
1
=
0
⇔

Khi đó (1) trở thành:
t
t = 2 − 3

Khi t = 2 + 3 ⇒ ( 2 + 3 ) = 2 + 3 ⇔ x = 1
x

Khi t = 2 − 3 ⇒ ( 2 + 3 ) = 2 − 3 ⇔ x = −1
x

Vậy phương trình có nghiệm: x = 1; x = −1
b) Cách 1: ( 5 − 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) = 2
x

x

x

x

x+ 3

x

 5 − 21 
 2+ 3 
⇔ 
+
7
÷

÷
÷
÷ − 8 = 0 (2)
2
2





x

 5 − 21 
 5 + 21  1
⇒ 
Đặt: t = 
÷
÷
÷
÷ = ,t>0
 2 
 2  t
t = 1
7
2
Khi đó (2) trở thành: t + − 8 = 0 ⇔ t − 8t + 7 = 0 ⇔ 
t
t = 7
x

 5 − 21 
Khi t = 1 ⇒ 
÷
÷ =1⇔ x = 0
2


x

 5 − 21 
Khi t = 7 ⇒ 
÷
÷ = 7 ⇔ x = log 5− 21 7
 2 
2
x = 0; x = log 5−

Vậy phương trình có nghiệm:

21

7

2

Cách 2: ( 5 − 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) = 2 x +3 ⇔ ( 5 − 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) = 8.2 x (*)
x

(

x

) (
x

Vì 5 − 21 . 5 + 21

)

x

(

x

= 4 x nên Đặt: t = 5 − 21

x

)

x

(

)

x

⇒ 5 + 21 =

4x
,t >0
t

4x
t + 7. = 8.2 x ⇔ t 2 − 8.2 x t + 7.4 x = 0 (**)
t

Ta có: ∆ ' = 16.4 x − 7.4 x = 9.4 x = ( 3.2 x )

2

Suy ra pt(**) có hai nghiệm: t = 1; t = 7.2 x
Khi t = 1 ⇒ ( 5 − 21 ) = 1 ⇔ x = 0
x

Khi t = 7.2 ⇒ ( 5 − 21 )
x

x

x

 5 − 21 
= 7.2 ⇔ 
÷
÷ = 7 ⇔ x = log 5− 21 7
2


2
x = 0; x = log 5− 21 7
x

Vậy phương trình có nghiệm:

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

2

Trang - 11 -


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

c) ( 8 + 3 7 )

sinx

(

+7 8−3 7

Đặt t = ( 8 + 3 7 )

sin x

(

)

sin x

= 16 (3)

⇒ 8−3 7

)

sin x

1
= ,t >0
t

t = 8 + 3 7
7
= 16 ⇔ t 2 − 16t + 7 = 0 ⇔ 
t
t = 8 − 3 7
sin x
π
= 8 + 3 7 ⇔ sin x = 1 ⇔ x = + k 2π
Khi t = 8 + 3 7 ⇒ 8 + 3 7
2
sin x
π
= 8 − 3 7 ⇔ sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π
Khi t = 8 − 3 7 ⇒ 8 + 3 7
2
π
π
Vậy phương trình có nghiệm: x = + k 2π ; x = − + k 2π
2
2

Khi đó (3) trở thành: t +

(
(

)
)

Nhận xét: Đối với loại này thường thì đưa về phương phương trình bậc hai,bậc ba…
nếu chúng ta không đặt ẩn phụ thì nó rất cồng kềnh những vẫn giải được.
a f ( x ) + g ( x )
f ( x)
g ( x)
α
.
a
+
Ví dụ 6: Giải các phương trình sau ( Dạng 4:
 f ( x ) − g ( x ) + β .a + λ = 0 )
a

a) 2 x + x − 4.2 x − x − 22 x + 4 = 0
c) 22 x − 2 x + 6 = 6
2

b)

2

4x

2

−3 x + 2

+ 4x

2

+6 x +5

= 42 x

2

+3 x + 7

+1

Giải
a) 2 x + x − 4.2 x − x − 22 x + 4 = 0 (1)
2

2

u = 2 x + x
; u > 0, v > 0
Đặt 
2x
v
=
2


2

u = v
4u
− v + 4 = 0 ⇔ uv − 4u − v 2 + 4v = 0 ⇔ ( u − v ) ( v − 4 ) = 0 ⇔ 
v
v = 4
x = 0
= 22 x ⇔ x 2 + x = 2 x ⇔ 
x = 1

Khi đó (1) trở thành: u −
2

x +x
Khi u = v ⇒ 2

Khi v = 4 ⇒ 22 x = 4 ⇔ x = 1
Vậy phương trình có nghiệm: x = 0; x = 1
b) Ta có: 4 x −3 x + 2 + 4 x +6 x +5 = 42 x +3 x + 7 + 1 ⇔ 4 x −3 x + 2 + 4 x +6 x +5 = 4 x −3 x + 2.4 x + 6 x +5 + 1 (2)
2

2

2

2

2

2

2

u = 4 x −3 x + 2
; u > 0, v > 0
Đặt 
x2 +6 x +5
v = 4
2

u = 1
v = 1

Khi đó (2) trở thành: u + v = uv + 1 ⇔ ( u − 1) ( v − 1) = 0 ⇔ 

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 12 -


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

2

x = 1
x = 2
 x = −1
= 1 ⇔ x2 + 6 x + 5 = 0 ⇔ 

 x = −5

x −3 x + 2
= 1 ⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ 
Khi u = 1 ⇒ 4
2

x + 6 x +5
Khi v = 1 ⇒ 4

Vậy phương trình có nghiệm: x = -5; x = -1; x = 1; x = 2
c) 22 x − 2 x + 6 = 6 (3)
u = 2 x > 0
⇒ v2 = u + 6 ⇔ v2 − u = 6
Đặt 
v = u + 6 > 6
2
u = v
u − v = 6
⇒ ( u − v ) (u + v + 1) = 0 ⇔ 
Khi đó (3) trở thành:  2
u + v + 1 = 0
v − u = 6
 2 x = −2 (vn)
⇔ x = log 2 3
Khi u = v ⇒ 2 = 2 + 6 ⇔ 2 − 2 − 6 = 0 ⇔  x
2 = 3
x

x

2x

x

v > 6
⇒ u + v + 1 = 0 (vn)
u > 0

Vì 

Vậy phương trình có nghiệm: x = log 2 3
Nhận xét: Đối với các dạng phương trình trên thì ta cũng có thể tách, thêm bớt rồi
đặt nhân tử chung để đưa về phương trình tích của các đa thức. Tuy nhiên việc đặt
ẩn phụ sẽ đưa bài toán từ phức tạp, cồng kềnh về bài toán gọn hơn và việc giải sẽ
dễ dàng hơn.
Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau

4.4.

2

1) 22 x + 2 x − 6 = 0

3) 7 x − 71− x + 6 = 0

2) (3 + 8) x + 16(3 − 8) x = 8

4) 15.25 x − 34.15 x + 15.9 x = 0

2

2

2

3 x +3

5) 8 x − 2 x + 12 = 0
6) 3 25x − 3 9 x + 3 15 x = 0

Phương pháp 4: Đưa về phương trình tích

Ta tách, thêm, bớt … rồi đặt nhân tử chung để đưa phương trình đã cho thành
tích các đơn thức, đa thức.

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 13 -


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Ví dụ 7: Giải các phương trình sau
b) 4 x 2 + x.3x + 3x +1 = 2 x 2 .3x + 2 x + 6

a) 25.2 x − 10 x + 5x = 25

Giải:
a) 25.2 x − 10 x + 5x = 25 ⇔ 25(2 x − 1) − 5 x (2 x − 1) = 0 ⇔ (25 − 5 x )(2 x − 1) = 0

 25 − 5 x = 0
x = 2
(25 − 5 )(2 − 1) = 0 ⇔  x
⇔
x = 0
 2 − 1 = 0
Vậy phương trình có nghiệm: x = 0; x = 2
x

x

2
x
x +1
2 x
2
x
x
x
b) 4 x + x.3 + 3 = 2 x .3 + 2 x + 6 ⇔ 2 x ( 2 − 3 ) − x ( 2 − 3 ) − 3 ( 2 − 3 ) = 0


 x = log 3 2
 2 − 3x = 0

x
2
⇔ 2 − 3 2x − x − 3 = 0 ⇔  2
⇔  x = −1
 2 x − x − 3 = 0


3
x =
2

3
Vậy phương trình có nghiệm: x = −1; x = ; x = log 3 2
2

(

)(

)

Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau
1)

3) 8 − x.2 x + 2 3− x − x = 0

32 x −3 + (3 x − 10)3 x −2 + 3 − x = 0

4) ( 7 + 3 5 ) + ( 7 − 3 5 ) = 14.2 x
x

2) 12.3x + 3.15x − 5x+1 = 20

x

4.5. Phương pháp 5: logarit hóa
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau
a) 2 x −3 = 3x −7 x +12

b) 2 x −4.52− x = 1

2

2

c) 5x.8

x −1
x

= 500

Giải
a) 2 x −3 = 3x −7 x +12 ⇔ log 3 2 x −3 = log 3 3x −7 x +12 ⇔ ( x − 3) log 3 2 = ( x − 3) ( x − 4 )
2

2

x = 3
⇔ ( x − 3) ( x − 4 − log 3 2 ) = 0 ⇔ 
 x = 4 + log 3 2

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 14 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Vậy phương trình có nghiệm: x = 3; x = 4 + log 3 2
b) 2 x −4.52− x = 1 ⇔ log 2 (2 x −4.52− x ) = 0 ⇔ log 2 2 x − 4 + log 2 52− x = 0
2

2

2

x = 2
⇔ ( x − 2 ) ( x + 2 ) − ( x − 2 ) log 2 5 = 0 ⇔ ( x − 2 ) ( x + 2 − log 2 5 ) = 0 ⇔ 
 x = −2 + log 2 5
Vậy phương trình có nghiệm: x = 2; x = 2 + log 2 5
c) Điều kiện: x ≠ 0
x −1
x −1
x −3
 x −3 x −3 
x
x
3 2
x −3
khi đó: 5 .8 x = 500 ⇔ 5 .8 x = 5 .2 ⇔ 5 .2 x = 1 ⇔ log 2  5 .2 x ÷ = 0


x −3
x −3

1

⇔ log 2 5 x −3 + log 2 2 x = 0 ⇔ ( x − 3) log 2 5 +
= 0 ⇔ ( x − 3 )  log 2 5 + ÷ = 0
x
x

x − 3 = 0
x = 3
⇔
⇔
1
log 2 5 + = 0
 x = − log 5 2
x

Vậy phương trình có nghiệm: x = 3; x = − log 5 2

Nhận xét: Đối với phương trình loại này khi lấy logarit hai vế thường thì sẽ đặt được
nhân tử chung để đưa về phương trình tích đơn giản. Chú ý khi lấy logarit hai vế cần
chọn cơ số tốt thì bài toán sẽ tính dẽ dàng hơn.
Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau
2x

1) 5 7 = 7 5

2x

x

2) 3 x.8 x+2 = 6
4.6.

3) 3x −1.22 x −2 = 129− x
x

4) 8 x+2 = 36.32− x

Phương pháp 6: Dùng tính đơn điệu của hàm số

Lý thuyết
Định lý 1:
Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên khoảng
K thì số nghiệm trên khoản K của phương trình f(x) = a không nhiều hơn một và
f(u) = f(v) ⇔ u = v
Định lí 2:
Nếu hàm số y = f(x) và y = g(x) đơn điệu ngược chiều và liên tục trên khoản K thì
số nghiệm trên khoảng K của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một.

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 15 -


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Định lí 3:
Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K thì f(x) > f(a) ⇔ x > a, ∀x, a ∈ K
Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng K thì f(x) > f(a) ⇔ x < a, ∀x, a ∈ K

Định lý Lagrange:
Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì
∃c ∈ ( a; b ) : F ' ( c ) =

F ( b) − F ( a )
. Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0
b−a

thì ∃c ∈ ( a; b ) : F ' ( c ) = 0 ⇔ F ' ( x ) = 0 có nghiệm thuộc (a;b).
Định lý Rôn:
Nếu hàm số y = f(x) lồi hoặc lõm trên khoảng K thì phương trình f(x) = 0 sẽ không
có quá hai nghiệm thuộc K.
Ví dụ 9: Giải các phương trình sau
a) 5x + 12 x = 13x
d) −2 x − x + 2 x −1 = ( x − 1) 2

b) 3x + 4 x = 2 − 7 x
e) 3x + 2 x = 3 x + 2

2

c)

6 x + 2 x = 5x + 3x

Giải:

a) Ta có: 5x + 12 x = 13x ⇔ 

x

x

5   12 
÷ + ÷ =1
 13   13 

x

x

 5   12 
Xét hàm số f ( x) =  ÷ +  ÷ trên tập R
 13   13 
x

x

 5   5   12   12 
f '( x ) =  ÷ ln  ÷+  ÷ ln  ÷ < 0
 13   13   13   13 

Suy ra f(x) là hàm nghịch biến trên R, mặt khác f(2) = 1 nên f ( x) = 1 ⇔ x = 2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
b) 3x + 4 x = 2 − 7 x
Xét hàm số f ( x) = 3x + 4 x và g ( x) = 2 − 7 x trên tâp ¡
ta có: f '( x) = 3x ln 3 + 4 x ln 4 > 0, ∀x ∈ ¡ và g '( x) = −7 < 0, ∀x ∈ ¡
nên f(x) là hàm luôn đồng biến trên tập R và g(x) là hàm luôn nghịch biến trên tập ¡
mặt khác f (0) = g (0) = 2 ⇒ f ( x ) = g ( x) ⇔ x = 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0

c) Ta có: 6 x + 2 x = 5x + 3x ⇔ 6 x − 5x = 3x − 2 x
Giả sử phương trình có nghiêm α. Khi đó: 6 α − 5α = 3α − 2 α .

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 16 -


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Xét hàm số f ( t ) = ( t + 1) α − t α , với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý
lagrange tồn tại

c ∈ ( 2;5 )

sao cho:

α −1
f ' ( c ) = 0 ⇔ α ( c + 1)
− cα −1  = 0 ⇔ α = 0, α = 1 ,



thử lại

ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của phương trình.
d) Ta có : −2 x − x + 2 x −1 = ( x − 1)2 ⇔ 2 x −1 + x − 1 = 2 x − x + x 2 − x
Xét hàm số f ( t ) = 2 t + t trên tập R
f ' ( t ) = 2t ln 2 + 1 > 0, ∀x ∈ ¡ nên f(t) là hàm đồng biến trên R .
2

2
Vậy phương trình được viết dưới dạng: f ( x − 1) = f ( x − x ) ⇔ x − 1 = x − x ⇔ x = 1
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
e) Ta có: 3x + 2 x = 3 x + 2 .
Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1.
Ta cần chứng minh phương trình không còn nghiệm nào khác.
Xét hàm số f ( x ) = 3x + 2 x − 3x − 2
Ta có: f ' ( x ) = 3x ln 3 + 2 x ln 2 − 3; f '' ( x ) = 3x ln 2 3 + 2 x ln 2 2 > 0
Đồ thị của hàm số này lõm trên R, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm: x = 0; x = 1
2

2

Nhận xét: Đây là loại toán khó khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số thì chúng ta
phải nhẩm được nghiệm, thường thì nghiệm là các số nguyên.
Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau
1) 3x + x − 4 = 0
2) 4 x + 7 x = 9 x + 2
4.7.

3) 2 x + 3 x − 5 x = 0
4) 3 x + 8 x = 4 x + 7 x

Phương pháp 7: Phương pháp đánh giá

Ví dụ 10: Giải các phương trình sau
a) 2 x +1 = 2 − x

b) 1 − 4 x + 2 x +1 = 2 x + 2− x

2

Giải:
a) 2 x +1 = 2 − x
Điều kiện: x ≥ 0
Ta có: VT = 2 x +1 = 2.2 x ≥ 2.20 = 2 (vì x 2 ≥ 0, ∀x )
2

2

2

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 17 -


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Mặt khác: VP = 2 − x ≤ 2, ∀x ≥ 0
 2.2 x = 2
VT
=
VP
⇔
⇔ x=0
Nên


2
−
x
=
2

2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0
b) 1 − 4 x + 2 x +1 = 2 x + 2− x ⇔ 2 − ( 2 x − 1) = 2 x + 2 − x
2

Ta có: VT = 2 − ( 2 x − 1) ≤ 2
2

Mặt khác: VP = 2 x + 2− x ≥ 2 2 x.2− x = 2

(

)

 2 − 2 x − 1 2 = 2
⇔ x=0
Nên VT = VP ⇔  x − x
 2 + 2 = 2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0
Nhận xét: Với loại toán này thì phải biết sử dụng một số bất đẳng thức thông dụng
và biết phân tích và đánh giá.
Bài tập đề nghị

Giải các phương trình sau
1) 3x + 3− x = 3 − x 2

2) − 2 x

2

−x

+2

x −1

= ( x − 1) 2

5. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
5.1.

Phương pháp 1: Giải phương trình logarit dạng cơ bản

log a f ( x ) = b ⇔ f ( x) = a b với 0 < a ≠ 1

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a) log 2 ( 3x + 2 ) = 3

x
c) log 2 ( 9 − 2 ) = 3 − x

b)

(

)

log 2 x 2 + 5 x + 12 = 3

Giải
3
a) log 2 ( 3x + 2 ) = 3 ⇔ 3 x + 2 = 2 ⇔ x = 2
Vậy phương trình có nghiệm: x = 2

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 18 -


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
 x = −1
 x = −4

2
2
3
2
b) log 2 ( x + 5 x + 12 ) = 3 ⇔ x + 5 x + 12 = 2 ⇔ x + 5 x + 4 = 0 ⇔ 

Vậy phương trình có nghiệm: x = −1; x = −4
c) Điều kiện: 9 − 2 x > 0 ⇔ x < 2 log 2 3

2x = 1

 x = 0(n)
log 2 9 − 2 x = 3 − x ⇔ 9 − 2 x = 23− x ⇔ 2 2 x − 9.2 x + 8 = 0 ⇔  x
⇔
 2 = 8
 x = 3( n)
Vậy phương trình có nghiệm: x = 0; x = 3

(

)

Nhận xét: Đa số các phương trình logarit thường đưa về phương trình logarit cơ bản
nên việc giải thành thạo loại này là cần thiết để giải tốt các loại khó hơn.
Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau
1) log 2 (5 x + 1) = 4
2)
5.2.

(

2
3) log5 ( x + 3x + 5 ) = 1

)

log x 2 x 2 − 5 x + 4 = 2

4) log3 (9 x + 8) = x + 2

Phương pháp 2: Đưa về cùng cơ số

Đối với phương trình logarit biến đổi về dạng:
0 < a ≠ 1

log a f ( x ) = log a g ( x) ⇔  f ( x) > 0 hoaëc g(x) > 0
 f ( x) = g ( x)


Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
a) log3 x + log3 ( x + 2) = 1
c) log 4 ( x − 1) + log

1
2 x +1

4

=

b) log 2 (1 + x + 1) − 3log 2 3 x − 40 = 0

1
+ log 2 x + 2
2

Giải
a) Điều kiện: x > 0
2
2

Khi đó: log 3 x + log 3 ( x + 2) = 1 ⇔ log3 [ x( x + 2)] = 1 ⇔ x + 2 x = 3 ⇔ x + 2 x − 3 = 0
 x = 1 (n)
⇔
 x = −3 (l)

Vậy phương trình có nghiệm: x = 1
b) Điều kiện: x > 40

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 19 -


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
log 2 (1 + x + 1) − 3log 2 3 x − 40 = 0 ⇔ log 2 (1 + x + 1) = log 2 ( x − 40 ) ⇔ 1 + x + 1 = x − 40
 x ≥ 41
 x − 41 ≥ 0
 x ≥ 41

⇔ x + 1 = x − 41 ⇔ 
⇔   x = 48 ( n )
2 ⇔  2
 x + 1 = ( x − 41)
 x − 83x + 1680 = 0
  x = 35 l
( )
 
Vậy phương trình có nghiệm: x = 48
c) Điều kiện: x > 1
1

1
1
1
1 1
log 4 ( x − 1) +
= + log 2 x + 2 ⇔ log 2 ( x − 1) + log 2 ( 2 x + 1) = + log 2 ( x + 2 )
log 2 x +1 4 2
2
2
2 2
⇔ log 2 ( x − 1) ( 2 x + 1)  = log 2 ( 2 x + 4 ) ⇔ 2 x 2 − x − 1 = 2 x + 4
 x = −1 ( l )
⇔ 2 x − 3x − 5 = 0 ⇔ 
 x = 5 ( n)

2
2

Vậy phương trình có nghiệm: x =

5
2

Nhận xét: Để giải phương trình đưa về cùng cơ số ta cần phải vận dụng tốt các
công thức logarit và biến đổi thành thạo để đưa về dạng cơ bản…
Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau
1
2

1) log( x3 + 1) − log( x 2 + 2 x + 1) = log x

3) log 4 ( x + 3) − log 2 ( x + 7) + 2 = 0

2) log 2 ( x − 2) − 6log 1 3 x − 5 = 2

4)

8

5.3.

log5 x + log 25 x = log 0,2 3

Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau
a) 1 + log 2 ( x − 1) = log x−1 4
c) x log 9 = x 2 .3log x − x log 3
2

2

2

b) log3 (3x − 1).log 3 (3x+1 − 3) = 6

(

)

(

)

2
2
d) log 2 x − x − 1 + 3log 2 x + x − 1 = 2

Giải:
a) Điều kiện: 1 < x ≠ 2
1 + log 2 ( x − 1) = log x −1 4 ⇔ 1 + log 2 ( x − 1) =

Đặt: t = log 2 ( x − 1)

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

2
log 2 ( x − 1) (1)

Trang - 20 -


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
2
t

t = 1
 t = −2

2
Khi đó (1) trở thành: 1 + t = ⇔ t + t − 2 = 0 ⇔ 

Khi t = 1 ⇒ log 2 ( x − 1) = 1 ⇔ x − 1 = 2 ⇔ x = 3 ( n )
1
4

Khi t = −2 ⇒ log 2 ( x − 1) = −2 ⇔ x − 1 = ⇔ x =
Vậy phương trình có nghiệm: x = 3; x =

5
4

( n)

5
4

b) log3 (3x − 1).log 3 (3x+1 − 3) = 6
Điều kiện: x > 0
log 3 (3x − 1).log 3 (3x +1 − 3) = 6 ⇔ log 3 (3x − 1).log 3 [3.(3x − 1)] = 6 ⇔ log 23 (3x − 1). + log 3 (3x − 1) − 6 = 0

x
Đặt: t = log3 ( 3 − 1)

t = 2
t = −3

2
Khi đó (2) trở thành: t + t − 6 = 0 ⇔ 

x
x
Khi t = 2 ⇒ log 3 ( 3 − 1) = 2 ⇔ 3 − 1 = 9 ⇔ x = log 3 10 (n)

1
 28 
⇔ x = log 3  ÷ (n)
27
 27 
 28 
Vậy phương trình có nghiệm: x = log3 10; x = log 3  ÷
 27 
log 2 9
log 2 3
2 log 2 x
c) x = x .3 − x
(3)
x
x
Khi t = −3 ⇒ log 3 ( 3 − 1) = −3 ⇔ 3 − 1 =

Điều kiện: x > 0
Đặt: t = log 2 x ⇔ x = 2t
Khi đó (3) trở thành:

(

)

2t log2 9 = 22t.3t − 2t log 2 3 ⇔ 9t = 12t − 3t ⇔ 3t 4t − 3t − 1 = 0 ⇔ 4t − 3t − 1 = 0
t

t

3 1
⇔ 4t − 3t − 1 = 0 ⇔  ÷ +  ÷ − 1 = 0
4 4
t

t

3 1
Xét hàm số f (t ) =  ÷ +  ÷ − 1 trên tập R
4  4
t

t

3 3 1 1
Ta có: f '(t ) =  ÷ ln  ÷+  ÷ ln  ÷ < 0 nêm f(t) là hàm nghịch biến trên tập R
4 4 4 4
Mặt khác: f (1) = 0 nên f (t ) = f ( 1) = 0 ⇔ t = 1

Khi t = 1 ⇒ x = 2
Vậy phương trình có nghiệm: x = 2

(

)

(

)

2
2
d) log 2 x − x − 1 + 3log 2 x + x − 1 = 2

(4)

Điều kiện: x ≥ 1

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 21 -

( 2)


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

)(

(

)

2
2

Vì x − x − 1 x + x − 1 = 1

1
t

Đặt: t = x − x 2 − 1 ⇒ x + x 2 − 1 = , t > 0
1
1
Khi đó (4) trở thành: log 2 t + 3log 2  ÷ = 2 ⇔ log 2 t − 3log 2 t = 2 ⇔ log 2 t = −1 ⇔ t = ( n )
t

1
2

1
2

2

1
2

1
4

Khi t = ⇒ x − x 2 − 1 = ⇔ x − = x 2 − 1 ⇔ x 2 − x + = x 2 − 1 ⇔ x =
Vậy phương trình có nghiệm: x =

5
4

( n ) (vì

x ≥ 1)

5
4

Nhận xét: Loại toán đặt ẩn phụ là để đưa từ bài toán phức tạp về bài toán gọn hơn
thôi. Tuy nhiên việc đặt ẩn phụ như thế nào phụ thuộc vào từng bài toán. Lưu ý điều
kiện của ẩn phụ.
Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau
1) 3 log 2 x − log 2 (8 x) + 1 = 0

3) log x 16 + log 2 x 64 = 3

2) 4lg(10 x ) − 6lg x = 2.3lg(100 x )

4)

2

5.4.

2

log 2 x + 10 log 2 x + 6 = 0

Phương pháp 4: Đưa về phương trình tích

Ta tách, thêm, bớt … rồi đặt nhân tử chung để đưa phương trình đã cho thành
tích các đa thức đơn giản để việc giải dễ dàng hơn.
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau
a) log 2 (5 x − 2) log 3 ( x + 1) = log 3 ( x + 1)

b) ( x + 1) log 32 x + 4x log 3 x − 16 = 0

Giải:
2
5
log 2 (5 x − 2) log 3 ( x + 1) = log 3 ( x + 1) ⇔ log 3 ( x + 1) [ log 2 (5 x − 2) − 1] = 0

a) Điều kiện: x >

x = 0( l )
log 3 ( x + 1) = 0
x +1 = 1
⇔
⇔
⇔
 x = 4 ( n)
5 x − 2 = 2
log 2 (5 x − 2) − 1 = 0

5

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 22 -

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Vậy phương trình có nghiệm: x =
b) Điều kiện: x > 0
khi đó ta có:

4
5

( x + 1) log32 x + 4 x log 3 x − 16 = 0 ⇔ x log 3 x ( log3 x + 4 ) + ( log 3 x − 4 ) ( log 3 x + 4 ) = 0
1

x = ( n)
 log 3 x + 4 = 0

⇔ ( log 3 x + 4 ) ( x log 3 x + log 3 x − 4 ) = 0 ⇔ 
⇔
81

 x log 3 x + log 3 x − 4 = 0
 x log 3 x + log 3 x − 4 = 0(*)
t
Đặt t = log3 x ⇔ x = 3
4
4
Khi đó (*) trở thành: 3t.t + t − 4 = 0 ⇔ t = t ⇔ t − t = 0 (1)
3 +1
3 +1

4
Xét hàm số: f (t ) = t − t
trên tập R
3 +1
4.3t ln 3
f
'(
t
)
=
1
+
> 0, ∀t
2
Ta có:
3t + 1

(

)

Nên f(t) là hàm đồng biến trên R.
Mặt khác: f(1) = 0 nên f (t ) = f (1) = 0 ⇔ t = 1 là nghiệm duy nhất của (1)
Khi t = 1 ⇒ x = 3 (n)
Vậy phương trình có nghiệm: x = 3; x =

1
81

Bài tập đề nghị

Giải các phương trình sau
2) log 2 x + log3 x = log 2 x.log3 x

1) x 2 − (3 − 2 x )x + 2(1 − 2 x ) = 0
3) log 22 x + ( x − 4) log 2 x − x + 3 = 0
5.5. Phương pháp 5: Mũ hóa
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau
a) log3 (9 x + 8) = x + 2

b)

log 5 ( x 2 − 6 x − 2) = log 3 x

Giải
3 x = 1
x = 0
⇔
a) log 3 (9 + 8) = x + 2 ⇔ 9 + 8 = 3 ⇔ 3 − 9.3 + 8 = 0 ⇔  x
 x = 3log 3 2
3 = 8
Vậy phương trình có nghiệm: x = 0; x = 3log 3 2
x

x

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

x+2

2x

x

Trang - 23 -


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

b) Điều kiện: x > 3 + 11
log 5 ( x 2 − 6 x − 2) = log 3 x (*)
Đăt: t = log3 x ⇔ x = 3t
Khi đó (*) trở thành: log 5 (32t − 6.3t − 2) = t ⇔ 32t − 6.3t − 2 = 5t ⇔ 9t = 5t + 6.3t + 2
t

t

t

5
1
1
⇔  ÷ + 6  ÷ + 2  ÷ − 1 = 0 (**)
9
3
9
t

t

t

5
1
1
Đặt: f (t ) =  ÷ + 6  ÷ + 2  ÷ − 1 trên tập R
9
3
9
t

t

t

5 5 1 1 1 1
Ta có: f '(t ) =  ÷ ln  ÷+ 6  ÷ ln  ÷+ 2  ÷ ln  ÷ < 0, ∀∈ ¡
9 9 3 3 9 9
Nên f (t ) là hàm nghịch biến trên tập R.
Mặt khác f (2) = 0 suy ra f (t ) = f (2) = 0 ⇔ t = 2 là nghiệm duy nhất của (**)
Khi t = 2 ⇒ x = 9 (n)
Vậy phương trình có nghiệm: x = 9
Nhận xét: Đối với loại toán này khi việc giải bình thường gặp khó khăn hoặc không
giải được nên ta mũ hóa thì sẽ đưa về phương trình mũ và việc giải sẽ dễ dàng hơn.
Lưu ý là chon cơ số hợp lý là điều quan trọng.

Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau
1) log5 x = log7 ( x + 2)

3) x + log5 (5x+1 − 20) = 2

2) 2log 3 tan x = log 2 sin x

4) 2log 6 ( x + 4 x ) = log 4 x

5.6.

Phương pháp 6: Dùng tính đơn điệu của hàm số

Định lý 1:
Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến ) và liên tục trên
khoangr K thì số nghiệm trên khoảng K của phương trình f(x) = a không nhiều hơn
một và f(u) = f(v) ⇔ u = v
Định lí 2:
Nếu hàm số y = f(x) và y = g(x) đơn điệu ngược chiều và liên tục trên khoảng K thì
số nghiệm trên khoảng K của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một.
Định lí 3:
Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K thì f(x) > f(a) ⇔ x > a, ∀x, a ∈ K
Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng K thì f(x) > f(a) ⇔ x < a, ∀x, a ∈ K

Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 24 -


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Ví dụ 6: Giải các phương trình sau:
a) log 7 x = log ( 2 + x )

b) log 22 x + ( x − 1) log 2 x = 6 − 2 x

Giải:
a) Điều kiện: x > 0

(

log 7 x = log 3 2 + x

)

Đặt t = log 7 x ⇔ x = 7

(1)
t

Khi đó (1) trở thành: t = log3  2 +


( )

7 ÷ ⇔ 2 +

t

( 7)

t

t

t
1  7 
= 3 ⇔ 2.  ÷ + 
÷ − 1 = 0 ( *)
3  3 ÷

t

t

t
1  7 
Xét hàm số f ( t ) = 2.  ÷ +  ÷÷ − 1
3  3 

trên tập R

t

t
1 1  7   7 
f ' ( t ) = 2.  ÷ ln  ÷+ 
÷ ln 
÷
÷ < 0, ∀x ∈ ¡
3
3 3  3 ÷
 


Suy ra f(t) là hàm nghịch bến trên R, mặt khác f(2) = 0 nên f (t ) = f (2) = 0 ⇔ t = 2 là
nghiệm duy nhất của (*)
Khi t = 2 ⇔ x = 49 ( n )
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 49
b) Điều kiện: x > 0
Khi đó: log 22 x + ( x − 1) log 2 x = 6 − 2 x ⇔ log 22 x − log 2 x − 6 + x log 2 x + 2 x = 0
⇔ ( log 2 x − 3) ( log 2 x + 2 ) + x ( log 2 x + 2 ) = 0 ⇔ ( log 2 x + 2 ) ( log 2 x + x − 3) = 0
1

x=
log 2 x + 2 = 0

⇔
⇔
4

log 2 x + x − 3 = 0
log 2 x + x − 3 = 0 (**)

Xét hàm số f ( x) = log 2 x + x − 3 với x > 0
Ta có: f '( x) =

1
+ 1 > 0 với x > 0
x ln 2

nên f(x) là hàm luôn đồng biến với x > 0
mặt khác f (2) = 0 ⇒ f ( x) = f ( 2 ) = 0 ⇔ x = 2 ( n ) là nghiệm duy nhất của (**)
1

4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = ; x = 2
Nhận xét: Đây là loại toán khó cần phải nhẩm được nghiệm thương thì nghiệm là
các số nguyên. Nhiều khi chúng ta phải dùng tới đạo hàm cấp hai mới giải được.
.Bài tập đề nghị
Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức

Trang - 25 -