Khai thác tính chất hàm số bậc nhất, bậc hai

Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT

Tháng 8- 2015

KHAI THÁC TÍNH CHẤT HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI
TRONG GIẢI BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

I. Đặt vấn đề
- Có nhiều cách tiếp cận để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
một biểu thức.
- Chuyên đề này chỉ đề cập đến cách khai thác tính chất đơn điệu của hàm số bậc
nhất, hàm số bậc hai một ẩn để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một số
loại biểu thức cơ bản.
II. Các tính chất của hàm số bậc nhất, bậc hai một ẩn được khai thác và sử
dụng
1. Hàm số bậc nhất một ẩn
Xét hàm số y = ax + b = f(x) với x là ẩn; a, b là các tham số, a≠0. Ta có:
- Nếu a > 0 thì, với α≤ x≤β có: f(α)≤f(x)≤f(β); min f(x) = f(α); max f(x) = f(β);
- Nếu a<0 thì với α≤ x≤β có: f(β)≤f(x)≤f(α); min f(x) = f(β); max f(x) = f(α);
2. Hàm số bậc hai một ẩn
Xét hàm số y = a

+bx+c với x là ẩn số; a, b, c là các tham số, a≠0. Ta có:

a) Nếu a > 0 thì:
- với ∀ ℝ => f(x)≥f( ) =
- với ∀ /

∆

; min f(x) = f( );

≤ α≤ x≤β => f(α)≤f(x)≤f(β); min f(x) = f(α); max f(x) = f(β);

- với ∀ /α≤ x≤β≤

=> f(β)≤f(x)≤f(α); min f(x) = f(β); max f(x) = f(α);

- với α≤ ≤β, ∀ /α≤ x≤β => f( )≤f(x)≤ max {f(α); f(β)}; min f(x) = f( );
max f(x) = max {f(α); f(β)};
- Một cách tổng quát:
với ∀ / α≤ x≤β => min f(α); f(β); f( ) ≤ f(x) ≤ max {f(α); f(β)};
1


Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT

Tháng 8- 2015

min f(x) = min f(α); f(β); f( ) ; max f(x) = max {f(α); f(β)}.
* Chứng minh:
- Ta có các biến đổi sau:
i) f(x) = a

+

+bx+c = a

-

∆

với ∀

ℝ;

ii) f(x) = (x- α)(ax+aα+b) + f(α); f(x) = (x- β)(ax+aβ +b) + f(β) với ∀ ,
Một cách tổng quát: f(x) = (x- m)(ax+am+b) + f(m) với ∀
∆

- Từ i) suy ra f(x)≥f( ) =
- Với a > 0, ∀ /

với ∀ ℝ

ℝ;

ℝ;

(đpcm!)

≤ α≤ x≤β thì: (x- α)>0, (ax+aα+b)>(2aα+b)>0; (x- β)<0,

(ax+aβ +b)>(2aα+b)>0 nên từ ii) suy ra f(α)≤f(x)≤f(β) (đpcm!);
- Với a > 0, ∀ / α≤x≤β≤

thì: (x- α)>0, (ax+aα+b)<(2aβ+b)<0; (x- β)<0,

(ax+aβ +b)<(2aβ+b)<0 nên từ ii) suy ra f(β)≤f(x)≤f(α)

(đpcm!);

- Với a > 0, α≤ ≤β, ∀ /α≤ x≤β thì: f( )≤f(x)≤ f(α) và f( )≤f(x)≤ f(β) suy ra
f( )≤f(x)≤ max {f(α); f(β)} (đpcm!).
b) Nếu a < 0 thì:
- với ∀ ℝ => f(x) ≤f( ) =

∆

; max f(x) = ( ) =

∆

;

- Một cách tổng quát:
với ∀ / α≤ x≤β => min {f(α); f(β)}≤f(x)≤ max f(α); f(β); f( ) ;
min f(x) = min {f(α); f(β)} ; max f(x) = max f(α); f(β); f( ) .
* Chứng minh: Như với trường hợp a>0.
* Minh họa bằng đồ thị:

2


Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT

Tháng 8- 2015

III. Các thí dụ
Thí dụ 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của E(x) = x + | − 1|+| − 2|+| − 3|+| − 4| với

ℝ

* Tóm tắt lời giải:
10 − 3
ớ
⎧
ớ 1<
⎪8 −
- Biến đổi E(x) =
+4 ớ 2≤
⎨3 − 2 ớ 3 <
⎪
⎩5 − 10
ớ

≤1
<2
≤3
<4
≥4

- Sử dụng tính chất của hàm số bậc nhất 1 ẩn, tìm được min E(x) = 6 = E(2).
* Nhận xét: Chọn x thích hợp, thay vào, được biểu thức E phức tạp hơn => khó
hình dung lời giải hơn. Chẳng hạn: chọn x = t2+t+1,
có E(t) = t2+t+1+|t + t|+|t + t − 1|+|t + t − 2|+ |t + t − 3|. Tìm min E!
Thí dụ 2.
Biết , ,

ℝ thỏa mãn hệ ràng buộc sau: 2x+y+3z=6; 3x+4y-3z=4; x, y, z ≥ 0

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của F(x, y, z ) = 2x+3y-4z
* Tóm tắt lời giải:
- Từ hệ điều kiện, tính được: x=4-3z; y=3z-2;
- Suy ra: F(x, y, z ) = 2 – z với

≤

≤

≤ .

≤ .

- Từ đó tìm được: min F(x, y, z ) = = F(0; 2; ) và max F = = F(2; 0; )
* Nhận xét: Chọn x, y, z thích hợp, chẳng hạn x=m2, y=(n-1)2, z=(p+1)2, khai
triển rồi thay vào, được biểu thức F phức tạp hơn => khó tìm ra lời giải hơn.
Thí dụ 3.
Cho biểu thức f(x) = x2 + 4x – 6 với

ℝ/ x≥1. Tìn minf(x).

* Tóm tắt lời giải:
- Viết f(x) = (x-1)(x+5) – 1 ; suy ra f(x) ≥ -1 với ∀x≥1 ; f(x) = -1 <=> x = 1
- Vậy với ∀x≥1 minf(x) = -1.

3


Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT

Tháng 8- 2015

Thí dụ 4.
Cho biểu thức g(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) với

ℝ. Tìn min g(x).

* Tóm tắt lời giải:
- Có g(x) =(x+1)(x+4)(x+2)(x+3) = (x2+5x+4)( x2+5x+6);
- Đặt x2+5x+4 = t => t =(x+ )2 - ≥ - với ∀ ℝ ; khi đó g = t(t+2) với t ≥ - g = (t+1)2 -1=> g ≥ -1 ; g = -1 <=> t = -1 <=> x2+5x+4 = -1 <=> x=

±√

.

Thí dụ 5.
Cho h(x) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 với

ℝ . Tìm min h(x)

* Tóm tắt lời giải:
- Viết h(x) = (x2+x+1) = t2.
- với

ℝ thì t= x2+x+1 = (x+ )2 + ≥ => h(x) = t2 ≥

- Từ đó có min h(x) =

, đạt khi x =

Thí dụ 6.
Cho k(x) = 2|x − 5x + 4| - x2 + 5x với

ℝ. Tìm min k(x)

* Tóm tắt lời giải:
- Với

ℝ có: k(x) = −3

- Với

≤ 1, có k(x)=

- Với 1 <
- Với

− 5 + 8=(x-1)(x-4)+4 ≥ 4 ;

< 4, k(x)= −3

≥ 4, k(x)=

−5 +8 ớ ≤1
+ 15 − 8 ớ 1 < < 4
−5 +8 ớ
≥4
+ 15 − 8 =(x-1)(12-3x)+4 ≥ 4;

− 5 + 8=(x-1)(x-4)+4 ≥ 4.

- Từ đó suy ra min k(x) = 4, đạt khi x = 1 hoặc x = 4.
* Nhận xét:
- Nếu xét chẳng hạn 0≤x≤5, sẽ có cả maxk(x) => có bài toán hay và phức tạp hơn;
- Có thể chuyển sang bài toán với nội dung phương trình:
Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: 2|x − 5x + 4| - x2 + 5x = a
4


Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT

Tháng 8- 2015

Thí dụ 7.
Cho p(x) = 4x2 – 4ax + a2 – 2a với
của a để min p(x) = 2.

ế

ℝ/-2≤x≤0, a là tham số. Tìm giá trị

* Tóm tắt lời giải:
- Nếu

> 0 hay a>0, có p(x) = 4x(x-a) + a2 – 2a nên p(x) ≥ a2 – 2a với -2≤x≤0;

suy ra min p(x) = a2 – 2a; min p(x) = 2 <=> a2 – 2a = 2; a>0 <=> a = 1+√3;
- Nếu -2≤ ≤0 hay -4≤a≤0 , có p(x) = (2x-a)2 -2a nên p(x) ≥ -2a với -2≤x≤0;
suy ra min p(x) = – 2a; min p(x) = 2 <=> -2a = 2 <=> a = -1;

- Nếu

<-2 hay a<-4, có p(x) = (x+2)(4x-4a-8) + a2+6a+16 nên p(x) ≥a2+6a+16

với -2≤x≤0; min p(x) = 2 <=> a2+6a+16 = 2 <=> không tồn tại a.
Thí dụ 8.
Tìm giá trị nhỏ nhất của G(x) = x2 + (x+1)2 + (x-1)2 + (x+2)2 + (x-3)2 với

ℝ.

* Tóm tắt lời giải:
- Biến đổi G(x) = x2 - 2x + 15; G = (x-1)2 + 14;
- Từ đó tìm được min G = 14 = G(1).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H(x) = √−

+ 2 + 3 + √−

+ 3 + 10

* Tóm tắt lời giải:
- Điều kiện của x để biểu thức H(x) có nghĩa là: -1≤x≤3.
- Đặt: - x2+2x+3= t(x); có t(x) = (x+1)(3-x) = -(x-1)2+4 nên với -1≤x≤3 thì 0≤t≤4;
- Khi đó có: H = H(t) = √ + √ +
H = √6 khi t = 0; -1≤x≤3 <=> x= -1.

+ 7 ≥ √0 + √0 − 1 + 7 = √6 với 0≤t;

- Từ đó tìm được: min H(x) = √6 = H(-1).
* Nhận xét: Sẽ là sai lầm nếu làm tương tự để tìm max H(x) !
Thí dụ 9.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức I(x, y) = (x – 2y +1)2 + (2x + ay + 5)2
với ,

ℝ; a là tham số.

5


Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT

Tháng 8- 2015

* Tóm tắt lời giải:
−2 +1 =0
- Xét hệ
(1) ; hệ (1) có nghiệm <=> ... <=> a ≠ - 4.
2 +
+5 = 0
- Nếu a ≠ - 4, có I(x, y) ≥ 0 với ∀ ,

ℝ; I(x, y) = 0 <=> (x, y) là nghiệm của hệ

(1); vậy min I(x, y) = 0.
- Nếu a = - 4, có I(x, y) = (x – 2y +1)2 + (2x - 4y + 5)2
- Đặt x-2y+1=t => I = 5t2+12t+9; I = 5( + ) +

; t ℝ.

- Từ đó tìm được min I(x, y) = ; đạt khi x, y là nghiệm của ph/trình: x-2y =
Thí dụ 10.

Cho , ℝ / x, y ≥ 0; x+y=2 (*). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức K(x, y) = (4x2+3y)(4y2+3x) + 25xy (Đề TS ĐH khối D năm 2009)
* Tóm tắt lời giải:
- Đặt t =xy; áp dụng BĐT Côsi và cùng với điều kiện (*) suy ra 0≤t≤ ;
- Biến đổi được K = 16t2 – 2t + 12 = f(t) với 0≤t≤ ;
- Tính được f(0) = 12; f( ) =
- Có f(t) = 16(t t= <=>xy=

)2 +

; f( ) =

=> f(t)≥

;

= f( ) với ∀t/ 0≤t≤ => K(x,y) ≥

; x+y=2; x,y≥0<=> (x;y)=

- Lại có: f(t) = (t- )(16t+2) +

≤

√

√

;

hoặc (x; y)=

với ∀t/ 0≤t≤ => K(x,y) ≤

√

;
√

;

với ,

ℝ/(*);

t= <=> xy= ; x+y=2; x,y≥0 <=> (x;y) = ( ; )
- KL: min K(x,y) =
max K(x,y) =

= f( ); khi (x;y)=

= f( ), đạt khi (x;y) = ( ; ).

* Nhận xét:

6

√

;

√

hoặc (x; y)=

√

;

√

;


Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT

Tháng 8- 2015

Thí dụ 11.
(

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức L(x,y) =

)

với ,

ℝ

* Tóm tắt lời giải:

- Biến đổi được L(x,y) =

; => L(x,y) ≤

- Tìm được minL(x,y) = . Đạt khi x=0; ∀

với ∀ ,

ℝ; L=2 <=> x=0; ∀

ℝ;

ℝ.

* Nhận xét:
Thí dụ 12.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M(x,y) = (8+x2+x)(20-x2-x) với

ℝ

* Tóm tắt lời giải:
- Đặt t = (8+x2+x) => M(x,y) = - t2 + 28t với t ≥
- Có M(x,y) = -(t-14)2+196≤196 với t ≥

;

; M(x,y)=196 <=> t=14<=>x=2; x=-3;

- Từ đó có max M(x,y) = 196. Đạt khi x=2 hoặc x=-3.
* Nhận xét: Lựa chọn các dạng thức khác của t, sẽ được các biểu thức phức tạp và

khó tìm lời giải hơn.
Thí dụ 13.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N(x,y) = - x2 - 26y2 + 10xy – 14x + 76y – 59
với ,

ℝ.

* Tóm tắt lời giải:
- Biến đổi: N(x,y) = -x2 + (10xy – 14x) - 26y2 + 76y – 59
= -(x - (5y-7))2 + (5y-7))2 - 26y2 + 76y – 59 = -(x - (5y-7))2 - y2 + 6y – 10
= -(x - (5y-7))2 – (y – 3)2 – 1. Suy ra N(x,y) ≤ -1 với ,

ℝ.

- N(x,y) = -1 <=> (x - (5y-7))2 = (y – 3)2 = 0 <=> y=3; x=8
- Vậy max N(x,y) = -1, đạt khi x=8 và y=3.
* Nhận xét:

7


Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT

Tháng 8- 2015

+ Xuất phát từ biểu thức F = A2 + B2 + k, bằng cách chọn A theo 2 biến x, y và B
theo y thích hợp, ta được biểu thức F(x,y) và có bài toán tìm min F !
+ Nếu xuất phát từ biểu thức F = A2 + B2 + C2 + k, rồi chọn A theo 3 biến x, y, z;
chọn B theo 2 trong 3 biến x, y, z và C 1 trong 3 biến, ta được biểu thức F(x,y,z)
và có bài toán tìm min F !

Chẳng hạn: từ biểu thức F = A2 + B2 + C2 + k, chọn A = (-2x-3y+4z);
B=√15(x+y) và C =√30 , k = 2015; được F = (-2x-3y+4z)2+(x+y)2+30z 2+ 2015
Hay: F(x,y,z) = 19x2 + 54y2 + 16z2 – 16xz – 24yz + 36xy + 2015
Khi đó có bài toán: Với , ,

ℝ, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

F(x,y,z) = 19x2 + 54y2 + 16z2 – 16xz – 24yz + 36xy + 2015 (đáp số: min F(x,y,z)
= 2015, đạt khi x=y=z=0).
+ Một cách tổng quát, từ biểu thức F = aA2 + bB2 + cC2 + k, (với a, b, c là các
hằng số dương), bằng cách chọn A=(mx+ny+pz)2, B=(rx+sy)2, C=tz2, và k thích
hợp, sẽ có bài toán tìm GTNN của biểu thức F theo ý muốn !
Thí dụ 14.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức O(x,y) = √
, ℝ.

−2 +2 + √

+ 2 + 2 với

* Tóm tắt lời giải:
- Nhận thấy O(x,y) tồn tại và O(x,y) > 0 với ∀ ℝ nên O(x,y) đạt min <=>
O2(x,y) đạt min.
- Có (√

−2 +2+√

= 2x2 + 4 + 2 (

+ 2 + 2)2 =2x2 + 2 + 2√

+ 2) − 4

= 2x2 + 4 + 2√

=> O2(x,y) ≥ 8 với ∀ ℝ; => O(x,y) ≥ 2√2 với ∀

− 2 + 2. √

+2 +2

+4
ℝ; dấu đẳng thức <=> x = 0;

- Vậy min O(x,y) = 2√2.
* Nhận xét:
Thí dụ 15.
Cho biết ,

ℝ/ x2 + y2 = 1. Tìm GTNN và GTLN của M(x,y) = x4 + y4 + mxy

* Tóm tắt lời giải:
8


Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT

Tháng 8- 2015

- Có M(x,y) = -2t2 + mt + 1 với t = xy; do x2 + y2 = 1 và x2 + y2 ≥ 2|xy| suy ra

|t| ≤ ;
- So sánh giá trị

với - và với => xét 3 trưởng hợp:

≤- ;- <

<

;

≥

Từ đó tìm được min M(x,y) và maxM(x,y).
- Nếu m≤-2 hoặc m≥2, có min M(x,y) =

; maxM(x,y) =
;

- Nếu -2
;

; maxM(x,y) = M( ) =

* Nhận xét:
Thí dụ 16.
Cho ,

ℝ / x+y=2; g(x) = x5 + y5. Tìm min g(x)

* Tóm tắt lời giải:
- Đặt x=1+a => y=1-a; g = (1-a)5+(1+a)5 ;
- Có g = (a5+5a4+10a3+10a2+5a+1)+(-a5+5a4-10a3+10a2-5a+1) = 10a4+20a2+1;
Suy ra: g ≥ 1 với ∀a; g = 1 <=> a=0 <=> x=1, y=1.
- Vậy min g(x) = 1, đạt khi x=y=1.
Thí dụ 17.
Với ,

ℝ / x, y≠0, đặt p(x, y) =

- 3( + ) + 5. Tìm min p(x, y)?

+

* Tóm tắt lời giải:
- Đặt ( + ) = t => |t| ≥2; p = t2 – 3t + 3.
- Với t ≥2, có p = (t-2)(t-1) + 1 => p ≥1; p = 1 <=> t = 2 <=> x = y ≠ 0;
- Với t ≤ -2, có p = (t+2)(t-5) +13 => p ≥13 > 1;
- Vậy min p(x, y) = 1, đạt khi x = y ≠ 0.

9

;


Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT

Tháng 8- 2015

IV. Bài tập tham khảo
Bài 1.
với x [1; 2]

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Q =

Với x [1; 2] thì f(x) = x2+2x thỏa mãn 3≤f(x)≤8, suy ra 1≤

≤

Đáp số : min Q = 1, đạt khi x = 1 ; max Q = , đạt khi x = 2.
* Nhận xét : có bài toán hay và khó hơn: Tìm m để phương trình mx2+2mx -3 = 0
có nghiệm x [1; 2]; hoặc Tìm m để phương trình

= m có nghiệm x [1; 2].

Bài 2.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 16x3 – x6 với

ℝ

Đáp số: max P = 64; đạt khi x = 2.
Bài 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 28 + 3x- x 2 + 5 + 4 x- x 2 .
Gợi ý giải: làm như với thí dụ 4; đáp số: min P  3 2 , đạt khi x  5.
với ,

ℝ.

Bài 4.

Biết , , , ℝ; x, y, z, t ≥ 0 thỏa mãn hệ ràng buộc sau: x+7y=50; x+z=60;
y+1=15. Tìm giá trị lớn nhất của F(x, y, z ) = 2x+y+z+t
Đáp: max F = 125; đạt khi x=50, y=0, z=0, t=15
Bài 5.
Với

ℝ, tìm min G(x) biết G(x) = x(1-x)(x-3)(4-x)

Bài 6.
Cho ,

ℝ/ 5(x2 + y2) = 2015 – 8xy. Tìm GTLN của N(x,y) = x2 + y2

Đáp số: maxN(x,y) = 2015, đạt khi x=±
Bài 7.

10

; y= -x.


Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT

Tháng 8- 2015

ℝ, cho f(x) = 2x + |x − 2| + |2x + 1|. Tìm min f(x)

Với

Đáp số: min f(x) = , đạt khi x = - .

Bài 8.
Cho , ,

ℝ / x+y+z=3; h(x) = x2 + y2+z2+xy+yz+zx. Tìm min h(x,y,z) ?

* Tóm tắt lời giải:
Đặt x=1+a; y=1+b => z=1-a-b;
h =(1+a)2+(1+b)2+(1-a-b)2+(1+a)(1+b)+(1+b)(1-a-b)+(1+a)(1-a-b) = a2+b2+ab+6;
h=(a+ )2+ b2+6; g≥6 với ∀a, b; g=6<=>a=b=0<=>x=y=z=1. Vậy min h(x,y,z)=6
Bài 9.
Cho ,

ℝ / x≤1; x+y≥3; đặt k(x, y) = 3x2 + y2 + 3xy. Tìm min k(x, y) ?

* Tóm tắt lời giải:
Đặt x=1-a; x+y=3+b => a, b ≥0; k = (1-a)2 + (2+a+b)2 + 3(1-a)(2+a+b);
k = a2 + b2 – 5a – ab + 7b + 13 = (a –
k=

)2 + b2 + b +

<=> a = ; b = 0. Vậy min k(x, y) =

;k≥

, đạt khi a = ; b = 0.

---------------------------------------------

11

với ∀a, b ≥0;