Tuyển tập Đáp án Tốt nghiệp THPT môn Toán từ năm 2002 2015

kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông
năm học 2002 2003
-------------------

bộ giáo dục và đào tạo
--------------------

hớng dẫn chấm Đề chính thức
môn toán

* Bản hớng dẫn chấm thi này có 4 trang *
I. Các chú ý khi chấm thi
1) Hớng dẫn chấm thi (HDCT) này nêu biểu điểm chấm thi tơng ứng với đáp án nêu dới đây.
2) Nếu thí sinh có cách giải đúng, cách giải khác với đáp án, thì ngời chấm cho điểm theo số
điểm qui định dành cho câu ( hay phần ) đó.
3) Việc vận dụng HDCT chi tiết tới 0,25 điểm phải thống nhất trong tất cả các tổ chấm thi môn
Toán của Hội đồng.
4) Sau khi cộng điểm toàn bài mới làm tròn điểm môn thi theo qui định chung.
II. Đáp án và cách cho điểm
Bài 1 (3 điểm).
1. (2, 5 điểm)
- Tập xác định R \ { 2}.
- Sự biến thiên:
a) Chiều biến thiên:

(0, 25 điểm)
x2 + 4 x 3

x =1
, y' = 0
x 2

x=3
( x 2) 2
y< 0 với x ( ; 1 ) (3 ; ) : hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; 1), (3 ;+ ) .
y > 0 với x (1; 2 ) (2; 3): hàm số đồng biến trên các khoảng (1; 2), (2; 3).
b) Cực trị:
Hàm số có hai cực trị: cực tiểu yCT = y(1) = 2 , cực đại yCĐ = y(3) = - 2.
c) Giới hạn:

y =



x+2

1

lim y = lim
x 2
x 2

,y'=

2
x + 4x 5
x 2

=+ ,

lim y = lim
x 2+

x 2+

2
x + 4x 5
x 2

= .

(0, 25 điểm)

Đồ thị có
(0, 25 điểm)

tiệm cận đứng x = - 2.



(0, 75 điểm)

1

lim [ y ( x + 2)] = lim (
) = 0 . Đồ
x
x x 2

thị có tiệm cận xiên y = - x + 2.

(0, 25 điểm)

d) Bảng biến thiên:
x
y
y



1
-

0

+

+

3

+

+
+

CT
2

- Đồ thị:

2

0

-

-2
CĐ
- -

-

(0, 25 điểm)


Hớng dẫn chấm thi TNTHPT năm 2003: đề chính thức

Vẽ đúng dạng đồ thị :
+ Giao với Oy: tại điểm
(0; 2,5)
+ Đồ thị có tâm đối xứng
điểm ( 2 ; 0).

tại

+ Đồ thị có hai tiệm cận:

x = 2 và y = - x + 2.
(0, 50 điểm)
2. ( 0, 5 điểm)

y = x+2+

m 2 6m 1
,
x+m2

đồ thị có tiệm cận đứng là x = 2 khi và chỉ khi lim y =
x 2

m 2 6m 1
= . Qua giới hạn có 2 + m 2 = 0 hay m = 0.
x2 x + m 2

lim

Với m = 0 ta có

y=

1
x2 + 4x 5
= x+2
x2
x 2

(0, 25 điểm)

; nên đồ thị hàm số có tiệm cận

xiên là y = - x +2.
Vậy giá trị cần tìm của m là m = 0.
Bài 2 (2 điểm )
1. (1 điểm)

f ( x) =




x3 + 3 x 2 + 3 x 1
( x + 1)

2

= x +1

(0, 25 điểm)

2
( x + 1) 2

x3 + 3 x 2 + 3 x 1
x2
2
dx =
+x+
+ C;
2
x +1

( x + 1) 2

Vì F (1) =

(0, 75 điểm)

1
13
x2
2
13
+x+
.
nên C = . Do đó F ( x) =
2
x +1 6
3
6

(0, 25 điểm)

2. ( 1 điểm)

Giải phơng trình:
2 x 2 10 x 12
=
x+2

0

ta tìm đợc các cận lấy tích phân
là: - 1 và 6.
(0, 25 điểm)

Diện tích hình phẳng S cần tìm
S=

6



1

6

6

2 x 2 10 x 12
16
2 x 2 + 10 x + 12
dx = (14 2 x
) dx
0 dx =
x+2
x+2
x+2
1
1

2


Hớng dẫn chấm thi TNTHPT năm 2003: đề chính thức

= (14 x x 2 16 ln x + 2 )

6
= 63 16 ln 8.
1

(0, 75 điểm)

Bài 3 (1, 5 điểm)
1. (1 điểm).
Giả sử điểm M ở góc phần t thứ nhất và M = (x; y). Khi đó theo đầu bài ta có
các hệ thức: các bán kính qua tiêu MF = a + ex = 15, MF = a - ex = 9, khoảng
1

cách giữa các đờng chuẩn: 2 .

a
e

2

= 36. Vậy a = 12, e =

2
3

, x=

9
2

.

(0, 75 điểm)

Vì c = a.e = 8 và có b = a - c = 80 nên phơng trình chính tắc của elíp (E) là
2

2

2

x

2

144

y

+

2
=1

80

(0, 25 điểm)

2. (0, 5 điểm).
9
2

Tiếp tuyến với elíp (E) tại điểm M( ;

5 11
) là
2

Trên elíp (E) còn 3 điểm có toạ độ là (-

9
2

x + 11 y = 32 .

(0, 25 điểm)

5 11
5 11
5 11
9

9
), ( ; ), (- ; )
2
2
2
2
2

;

cũng có các bán kính qua tiêu là 9 và 15. Do đó ta còn có 3 phơng trình tiếp tuyến
với elíp (E) tại các điểm (tơng ứng) đó là : - x + 11 y = 32 , x 11 y = 32 ,
x + 11 y = 32

(0, 25 điểm)

Bài 4 (2, 5 điểm)
1. (1 điểm)
Theo đầu bài ta có A= (2; 4; -1), B = (1; 4; -1), C = (2; 4; 3), D = (2; 2; -1). Do đó:

AB AC
AB . AC = ( 1).0 + 0.0 + 0.4 = 0

AC AD
AC . AD = 0.0 + 0.( 2) + 4.0 = 0

AB . AD = ( 1).0 + 0.( 2) + 0.0 = 0 AB AD

(0, 75 điểm)

Thể tích khối tứ diện ABCD tính theo công thức
VABCD =

1
6


[ AB , AC ]. AD

=

4
3

(do


[ AB , AC ] = (0; 4; 0) )

(0,2 5 điểm)

2. (0, 75 điểm)
Đờng thẳng CD nằm trên mặt phẳng (ACD) mà mặt phẳng (ACD) AB nên
đờng vuông góc chung của AB và CD là đờng thẳng qua A và vuông góc với CD.


Vậy đờng thẳng có vectơ chỉ phơng u =

1
2

[ AB, CD ] = (0; 2; 1)

và phơng trình

tham số là:
x =2

y = 4 2t
z = 1 + t





(0, 50 điểm)


Mặt phẳng (ABD) có vectơ pháp tuyến n = [ AB , AD ] = (0; 0; 2). Vậy góc nhọn
giữa và mặt phẳng (ABD) xác định bởi biểu thức:

3


Hớng dẫn chấm thi TNTHPT năm 2003: đề chính thức


n.u

n . u

sin =

=

0.0 + 0.( 2) + 2.1

2

=

2

22 . ( 2) + 12

2 5

=

5
5

(0, 25 điểm)

3. (0, 75 điểm)
Phơng trình mặt cầu (S) có dạng:
x 2 + y 2 + z 2 + 2 ax + 2 by + 2 cz + d = 0
Bốn điểm A, B, C, D nằm trên mặt cầu nên có toạ độ thoả mãn phơng trình trên.

Do đó các hệ số a, b, c, d là nghiệm của hệ phơng trình sau:
A (S )
21 + 4a + 8b 2c + d = 0
18 + 2a + 8b 2c + d = 0
B (S )


C (S )
29 + 4a + 8b + 6c + d = 0
9 + 4a + 4b 2c + d = 0
D (S )
Giải hệ này có a =

3
2

, b = -3, c = - 1, d = 7. Do đó phơng trình mặt cầu (S) là:

x 2 + y 2 + z 2 3x 6 y 2 z + 7 = 0 .
3

21

2

2

Mặt cầu (S) có tâm K = ( ; 3; 1) và bán kính R =

(0, 50 điểm)

; phơng trình của mặt

phẳng (ABD) là: z + 1 = 0. Phơng trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABD)
có dạng z + d = 0. Mặt phẳng đó là tiếp diện của mặt cầu (S) khi và chỉ khi khoảng
cách từ tâm K đến mặt phẳng đó bằng R:
1.1 + d
2

2

2
0 + 0 +1

=

21 2

21

d1 =
2

2

, d2 =

21 + 2
2

.

Vậy có hai tiếp diện của mặt cầu (S) cần tìm là:
(1): z +
(2): z
Bài 5 (1 điểm).
y

y +1

Hệ thức C x +1 : C x

21 2
2
21 + 2
2

=0
=0

(0, 25 điểm)

y 1
: Cx
= 6 : 5 : 2 với x và y là các số nguyên dơng mà

2 y+1 x cho hệ phơng trình sau:
y+1
Cy
C x

x +1 =
6
5
y
C x +1 C yx1
6 = 2
Giải hệ:
( x + 1)!
1
x!
x +1


6 y!( x + 1 y )! = 5( y + 1)!( x y 1)! 6( x y )( x + 1 y ) = 5( y + 1)
x = 8



( x + 1)!
x!
x +1 1
y = 3


=
=
6 y!( x + 1 y )! 2( y 1)!( x y + 1)!
6y
2

(0, 50 điểm)

(0, 50 điểm)

--------- HếT ---------

4


bộ giáo dục và đào tạo
.......................

kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông
năm học 2003 2004
.....................

hớng dẫn chấm
đề chính thức

Môn thi: Toán

Bản hớng dẫn chấm có 4 trang

I. Các chú ý khi chấm thi
1) Hớng dẫn chấm thi (HDCT) này nêu biểu điểm chấm thi tơng ứng với đáp án dới
đây.
2) Nếu thí sinh có cách giải đúng khác với đáp án, thì ngời chấm cho điểm theo số
điểm qui định dành cho câu ( hay phần ) đó.
3) Việc vận dụng HDCT chi tiết tới 0,25 điểm phải thống nhất trong tất cả các tổ chấm
thi môn Toán của Hội đồng.

4) Sau khi cộng điểm toàn bài mới làm tròn điểm môn thi theo qui định chung.
II. Đáp án và cách cho điểm
(4 điểm)

Bài 1
1. (2, 5 điểm)
- Tập xác định R .
- Sự biến thiên:

0, 25

a) Chiều biến thiên:


1
y = x 3 x 2 , y ' = x 2 2x ,
3

x=0

y' = 0

x=2

;

y< 0 với x (0; 2 ) : hàm số nghịch biến trên khoảng (0 ; 2 ) ,
y > 0 với x ( ; 0 ) (2; +): hàm số đồng biến trên các khoảng (- ; 0),
(2; +).

0, 75

b) Cực trị:


Hàm số có hai cực trị: cực đại yCĐ = y(0) = 0, cực tiểu yCT = y(2) =

c) Giới hạn:
lim


x

y=,

lim y = + , đồ thị không có tiệm cận.
x+

d) Bảng biến thiên:

x
-
y

+

0
0

2

0

-

4
3

.

0, 25

0, 25

+
+
+

0
CĐ
y



-



1

CT

4
3

0, 25


e) Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị:
y= 2x 2, y = 0 x = 1. Ta có y(1) =
-

x

,

+

-

0

lồi

đ. uốn
U( 1;

- Đồ thị:


3

1

y
Đồ thị

2



+
2
3

0, 25

lõm
)

y

O

-1





1

2

3

Vẽ đúng dạng đồ thị :
+ Giao với Oy: (0; 0)
+ Giao với Ox: (0; 0) , (3; 0)
+ Tâm đối xứng của đồ thị:

x

2

U(1;

3
4

2
3

0, 50

)

3

2. (1,0 điểm)
Nêu đợc điều kiện cần và đủ để đờng thẳng d với hệ số góc k đi qua
điểm (3; 0) có phơng trình y = k(x-3) tiếp xúc với (C) là hệ phơng

trình sau có nghiệm






1 3
x x 2 = k ( x 3)
3

x 2 2x = k

0, 25
0, 50
0, 25

Tìm đợc hai nghiệm (x; k) là: (0 ; 0) , (3 ; 3) .
Viết đợc hai phơng trình tiếp tuyến: y = 0 , y = 3x 9 .
3. (0,50 điểm)



3

1
3
0

3

1
9
0

V = ( x 3 x 2 ) 2 dx = ( x 6

=(

2 5
x + x 4 ) dx
3

0, 25

x 7 x 6 x 5 3 81
(đvtt).

+ ) =
63 9
5 0 35

0, 25
(1 điểm)

Bài 2
Tính đúng đạo hàm của hàm số y = 2sinx

4 3
sin x :

3

0, 25

y' = 2 cosx 4sin 2 x cosx.

Tìm đợc các điểm tới hạn trên đoạn [0; ] : y = 0 x {
2

3
2

,

4

,

4

}.

0, 25




3
Tính các giá trị y(0), y(), y( ) , y ( ) , y ( )
2

4

4
2 2
min y = 0 , max y =
.
3
[0; ]
[0; ]

0, 50
(1,5 điểm)

Bài 3
1. (0,75 điểm).
16
).
5
3. x 16. y
Viết đợc phơng trình tiếp tuyến của (E) tại M:
+
=1
25 5.16
3x y
Hay
+ = 1.
25 5

Tìm tọa độ điểm M(3; m) thuộc (E), m>0: M = (3;

2. (0, 75 điểm).
Tìm đợc A F1 + A F2 = B F1 + B F2 = 10 .

0, 50

0, 25

0, 50

Tính đợc A F2 + B F1 = 20 (A F1 + B F2 ) = 12.

0, 25
(2,5 điểm)

Bài 4
1. (1 điểm)


AB , AC , AD đồng phẳng [ AB, AC ]. AD



AB = (0; 4; 0) , AC = ( 3; 4; 0 ) , AD = ( 3; 0; 0 ) ;

Nêu đợc ba vectơ
Tính đợc:

[ AB, AC ] = (0; 0; 12)



= 0,



; [ AB, AC ]. AD = 3.0 + 0.0 + 0.(-12) = 0.
( Ghi chú: Nếu thí sinh lập luận bốn điểm đã cho cùng nằm trên mặt phẳng
z = 2 thì chấm đạt điểm tối đa)

0,2 5

0, 75

2. (1,0 điểm)
Nêu đợc A = (1; -1; 0), phơng trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng:
x 2 + y 2 + z 2 + 2 ax + 2 by + 2 cz + d = 0 (*)
Nêu đợc bốn điểm A, B , C , D nằm trên mặt cầu (S) nên có toạ độ thoả mãn
phơng trình (*) và các hệ số a, b, c, d là nghiệm của hệ phơng trình :







2 + 2a 2b + d = 0

A' (S)

14 + 2a + 6b + 4c + d = 0

B (S)

29 + 8a + 6b + 4c + d = 0

C (S)

21 + 8a 2b + 4c + d = 0

D (S)

0, 50

5

Giải hệ tìm đợc: a = , b = -1, c = - 1, d = 1; phơng trình mặt cầu
2

(S) :

x

2

+ y 2 + z 2 5x 2 y 2 z + 1 = 0 .

3

0, 50


3. (0,50 điểm)
5

Tìm đợc tâm I = ( ; 1; 1) của mặt cầu (S) và vectơ pháp tuyến
2

3
IA' = ( ; 2; 1) của tiếp diện ().
2

0, 25

Viết đợc phơng trình tiếp diện () của mặt cầu (S) tại điểm Alà:
3x + 4y + 2z +1= 0.

(1 điểm)

Bài 5
Viết đợc:

0, 25

P

n+5

(n k ) !

60 A kn++23

kn

(n + 5)(n + 4)(n k + 1) 60

Xét với n > 4 : khẳng định bất phơng trình vô nghiệm.
Xét với n {0, 1, 2 , 3} tìm đợc các nghiệm (n; k) của bất phơng trình
là:
(0; 0) , (1; 0) , (1; 1) , (2; 2) , (3; 3).

--------- HếT ---------

4

0, 50
0, 25
0, 25


bộ giáo dục và đào tạo
----------------------

kỳ thi tốt nghiệp
bổ túc Trung Học Phổ Thông
Năm học 2003 2004

Hớng dẫn chấm

----------------------

đề chính thức

môn thi: toán
Bản hớng dẫn chấm có 5 trang
(4 điểm)

Bài 1
Câu 1 (2,75 điểm)
Khi m = 1 ta có hàm số y = f ( x ) = x 3 3x 2 + 4
a) Tập xác định: R
b) Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y = 3x2 6x = 3x(x 2);
y = 0 x = 0 hoặc x = 2.
y > 0 trên các khoảng (- ; 0) và (2 ; + );
y < 0 trên khoảng (0 ; 2).
+ Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = f(0) = 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = f(2) = 0
+ Giới hạn:
lim y = + và lim y = . Đồ thị không có tiệm cận.
x +

0,25
0,25

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25

x

+ Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị:
y = 6x 6
y = 0 khi x = 1, qua x = 1 ta có y đổi dấu từ âm sang dơng, f(1) = 2
Đồ thị lồi trong khoảng (- ; 1), lõm trong khoảng (1 ; + ) và có
điểm uốn U(1; 2)
(Thí sinh không nêu đợc tính lồi, lõm của đồ thị mà chỉ tìm
đợc điểm uốn vẫn cho 0,25 điểm)
+ Bảng biến thiên:
x
y

-
+

y
-

0
0
4

1
-

2
0

-

0,25

+
+
+

0,25

2
0

(Trong bảng biến thiên không ghi điểm uốn vẫn cho 0,25điểm)
c) Đồ thị:
+ Giao điểm với các trục toạ độ
Trục Oy: x = 0 y = 4
Trục Ox: y = 0 hay x3 - 3x2 + 4 = 0 (x + 1)(x - 2)2 = 0
x1= - 1, x2 = x3 = 2.
1

0,25


+ Đồ thị:
y

4

2

0,25
-1

O

1

2

3

x

Câu 2 (0,5 điểm)
Ta có f(1) = 2 và f(1) = 3 . 12 - 6 . 1 = - 3
Phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C1) tại x = 1
y - 2 = - 3 (x - 1)
y=-3x+5

0,25

0,25

Câu 3 (0,75 điểm)
Ta có y = 3x2 - 6mx = 3x(x - 2m)
y = 0 x1 = 0 hoặc x2 = 2m

Do y là tam thức bậc hai nên đổi dấu qua các nghiệm khi x1 x 2;
m 0, hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.

0,25

Các điểm cực trị của đồ thị (Cm) là:
(0 ; 4m3) và (2m ; 0)

0,25

Để hai điểm này đối xứng nhau qua đờng thẳng y = x thì
m = 0 (loạ i)
4m = 2m
m = 2 ; m = 2
1
2
2
2

3

2
2
hoặc m 2 =
thì các điểm cực đại và điểm cực tiểu của
2
2
đồ thị (C m1 ), (C m 2 ) sẽ đối xứng với nhau qua đờng thẳng y = x.

Vậy m1 =

2

0,25


(2 điểm)

Bài 2
Câu 1 (1,25 điểm)
Vẽ đúng tam giác ABC

0,25

y

A

5
4

C

H
B

1
O

1

4

5

7



0,25

Viết đợc: AB = (5 - 4 ; 4 - 5) = (1; - 1)
Phơng trình đờng thẳng AB :


x

x 4 y5
hay x + y 9 = 0
=
1
1

Viết đợc: AC = (7 4; 5 5) = (3; 0)
Phơng trình đờng thẳng AC :

x 4 y5
hay y 5 = 0
=
3

0

Câu 2 (0,75 điểm)
Tính đợc AC = 3

0,25
0,25

0,25

0,25

Kẻ BH vuông góc với AC, tính đợc BH = 1

0,25

Gọi S là diện tích của tam giác ABC, ta có:
S=

1
1
3
AC . BH = . 3 . 1 = (đvdt)
2
2
2

0,25

3

(2,5 điểm)

Bài 3
Câu 1 (0,5 điểm)
Toạ độ giao điểm A của đờng thẳng d với mặt phẳng (P) ứng với
tham số t là nghiệm của phơng trình sau:
1 + 10 t + 9 (1 + t ) + 5 (- 1 - 2 t ) + 4 = 0
9 t + 9 = 0 hay t = -1
Toạ độ điểm A:

x = 1 + 10(1) = 9

hay A (- 9; 0; 1)
y = 1 1 = 0
z = 1 2(1) = 1


0,25

0,25

Câu 2 (1,25 điểm)


Đờng thẳng d có vectơ chỉ phơng là a = (10; 1; -2), đờng thẳng d1


có vectơ chỉ phơng là b = (31; -5; 1).

1 31 31 5
5 1
=(9; 72; 81)
;
;
u = b , a =
1

1 2 2 10 10
Lấy M0(1; 1; -1) d và M1(2; 2; -3) d1 M 0 M 1 = (1; 1; -2)




0,25
0,25



Ta có: b , a . M 0 M 1 = - 81 0




Vậy: Hai đờng thẳng d và d1 chéo nhau.

0,25

Mặt phẳng (Q) chứa đờng thẳng d và song song với đờng thẳng d1 nên

(Q) đi qua điểm A(-9; 0; 1) và nhận u = (9; 72; 81) (hay u 1 = (1; 8; 9))
là vectơ pháp tuyến.

0,25

Phơng trình mặt phẳng (Q) là: 1(x + 9) + 8(y 0) + 9(z 1) = 0
hay x + 8y + 9z = 0

0,25

Câu 3 (0,75 điểm)
x + 8 y + 9 z = 0
x + 9 y + 5z + 4 = 0

Phơng trình tổng quát của đờng thẳng là:


0,25



Ta có u 1 = (1; 8; 9) và u 2 = (1; 9; 5) lần lợt là các véc tơ pháp tuyến
của (Q) và (P). Đờng thẳng có một véc tơ chỉ phơng là:
8 9 9 1 1 8
= ( - 41; 4; 1)
;
;

c = u 1 , u 2 =

9
5
5
1
1
9






0,25

Mặt khác A (-9; 0; 1) , nên ta có phơng trình chính tắc của đờng
thẳng là:
x + 9 y z 1
= =
1
41 4

0,25
4


(1,5 điểm)

Bài 4

Câu 1 (0,75 điểm)
1

I=

0
1

1

dx
x 5x + 6
2

dx

(x 2)(x 3)

=

0

1

dx
dx

x 3 0 x 2
0

=

1

= ln x 3

0,25
1

0,25

- ln x 2
0

0

= ln 2 ln 3 (ln1 ln2) = ln

0,25

4
3

Câu 2 (0,75 điểm)
Mỗi số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau đợc lập nên từ bốn chữ số
1, 4, 5, 9 là một hoán vị của bốn số 1, 4, 5, 9. Vậy số các số tự nhiên có
thể lập đợc theo yêu cầu bằng số hoán vị của 4 phần tử:
P4 = 4 ! = 24

0,25

Bảng 24 số tự nhiên đó là:
1945

1954

1549

1594

1459

1495

4915

4951

4519

4591

4159

4195

5914

5941

5419

5491

5149

5194

9514

9541

9415

9451

9145

9154

0,5

Nếu thí sinh viết đúng từ 8 số đến 23 số tự nhiên thì cho 0,25 điểm.
Nếu thí sinh viết đúng dới 8 số tự nhiên thì không cho điểm.
Ghi chú: Nếu thí sinh có lập luận khác và viết đúng bảng 24 số tự nhiên
trên vẫn cho 0,75 điểm.

Chú ý:
Thí sinh có thể làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa đối với từng phần
hoặc toàn bài.

Điểm toàn bài là một số nguyên hoặc một số thập phân mà phần thập phân chỉ
có một chữ số là 0 hoặc 5 đợc làm tròn sau khi đã cộng điểm toàn bài theo qui
định sau:
Nếu 7,0 điểm hoặc 7,5 điểm thì vẫn giữ nguyên là 7,0 điểm hoặc 7,5 điểm.
Nếu 7,25 điểm hoặc 7,75 điểm thì làm tròn thành 7,5 điểm hoặc 8,0 điểm.
------------------------- Hết -------------------------

5


B GIO DC V O TO

K THI TT NGHIP TRUNG HC PH THễNG
NM HC 2004 - 2005
--------------

HNG DN CHM THI
CHNH THC MễN: TON
(Bn hng dn chm gm: 04 trang)
I. Hng dn chung
1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ
điểm nh hớng dẫn quy định (đối với từng phần).
2. Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn chấm phải
đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất thực hiện trong
Hội đồng chấm thi.
3. Sau khi cng im ton bi mi lm trũn im thi, theo nguyờn tc:
im ton bi c lm trũn n 0,5 im (l 0,25 lm trũn thnh 0,5; l 0,75 lm
trũn thnh 1,0 im).
II. ỏp ỏn v thang im.

Bi 1 (3,5 im).
1 (2 im).

y=

2x + 1
1
= 2
x +1
x +1

TX: R \ {1} .
S bin thiờn:
1
> 0, x 1.
y' =
2
( x + 1)

0,25

0,25

Hm s ng bin trờn cỏc khong ( ; 1) v ( 1; + ) .
Hm s khụng cú cc tr.
Gii hn v tim cn:
lim y = 2 ng thng y = 2 l tim cn ngang.


0,25

0,25

x

lim y = +, lim + y = ng thng x = -1 l tim cn ng.

x 1

x 1

1

0,25


• Bảng biến thiên:
x
y'

-∞

+∞

-1
+

+

2

+∞

y

0,25

-∞

2

• Đồ thị:
⎛ 1 ⎞
Đồ thị cắt trục Ox tại điểm ⎜ − ;0 ⎟ và cắt trục Oy tại điểm ( 0;1) .
⎝ 2 ⎠

y

2
1
-1

−

1
2

0,5

0

x

2 (0,75 điểm). Diện tích hình phẳng
0
1 ⎞
⎛
•
S = ∫ ⎜2−
⎟ dx
x +1⎠
1⎝
−

0,25

2

•

= ( 2x − ln ( x + 1) )

•

= 1 − ln 2 (đvdt).

0
−

1
2

0,25
0,25

2


3 (0,75 điểm).
• Đường thẳng (d) đi qua A(-1; 3),với hệ số góc k có phương trình:
y = k(x+1) + 3.
• (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
⎧ 2x + 1
⎪ x + 1 = k ( x + 1) + 3 (1)
⎪
⎨ 1
⎪
=k
(2)
2
⎪⎩ ( x + 1)
1
• Thay k từ (2) vào (1) và rút gọn ta được x = - 3. Suy ra k = .
4
1
13
Tiếp tuyến của (C) đi qua A là (d): y = x + .
4
4

Bài 2 (1,5 điểm).
1 (0,75 điểm).
⎪⎧u = x + sin 2 x ⎧du = (1 + 2sinx.cosx)dx
⇒⎨
•
Đặt ⎨
.
⎩ v = sinx
⎩⎪dv = cosxdx

0,25

0,25

0,25

0,25

π

•

•

I=

((

π 2
2

x + sin x sinx 2 − ∫ (1 + 2sinx.cosx ) sin xdx
0 0

)

)

π
2

0,25

π
2

⎛π ⎞
= ⎜ + 1⎟ − ∫ sin xdx − 2 ∫ sin 2 xd(sin x)
⎝2 ⎠ 0
0
π
= ( + 1) + cos x
2

π
2
0

2
− sin 3 x
3

π
2
0

=

π 2
− .
2 3

2 (0,75 điểm).
•Tập xác định: R. y' = 3x2 - 6mx + (m2 - 1).

• Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 2 thì y'(2) = 0.
Suy ra m2 - 12m + 11 = 0 ⇒ m = 1 hoặc m = 11.
• Thử lại:
Với m = 1 thì y''(2) = 6 > 0, do đó x = 2 không phải là điểm cực đại của
hàm số.
Với m = 11 thì y''(2) = 12 - 66 < 0, do đó x = 2 là điểm cực đại của hàm
số.
Kết luận: m = 11.
Bài 3 (2 điểm).
1 (0,5 điểm).
• Ta có: 2p = 8 ⇒ p = 4.
• Tiêu điểm F(2; 0), đường chuẩn (∆): x = - 2.

3

0,25

0,25
0,25

0,25

0,25
0,25


2 (0,75 điểm).
• M(x; y) ∈(P), y = 4 ⇒ x = 2.
• Tiếp tuyến của (P) tại M(2; 4): 4.y = 4(2 + x) ⇔ x - y + 2 = 0.
3 (0,75 điểm).
⎧FA = x1 + 2
• Áp dụng công thức bán kính qua tiêu ta có: ⎨
.
⎩FB = x 2 + 2

• Suy ra AB = AF + FB = x1 + x2 + 4.

0,25
0,5

0,5
0,25

Bài 4 (2 điểm).
1 (1 điểm).
⎧ x = 2t

⎪
• Phương trình tham số của (∆1): ⎨ y = 1 − t .
⎪z = t
⎩
G
• (∆1) đi qua điểm A(0; 1; 0) và có vectơ chỉ phương u = ( 2; −1;1) ,
G
(∆2) đi qua điểm B(1; 0; 0) và có vectơ chỉ phương v = ( −1;1; −1) .
G G
JJJG
⎡ u, v ⎤ = ( 0;1;1) , AB = (1; −1;0 ) .
•
⎣
⎦
G G JJJG
⎡ u, v ⎤ .AB = −1 ≠ 0 ⇒ (∆1) và (∆2) chéo nhau.
•
⎣
⎦
2 (1 điểm).
• Gọi (P) là tiếp diện cần tìm. Vì (P) song song với (∆1) và (∆2) nên có
G
G G
vectơ pháp tuyến n = ⎡⎣ u, v ⎤⎦ = ( 0;1;1) .

Phương trình của (P) có dạng: y + z + m = 0.
• Mặt cầu (S) có tâm I(1; - 1; - 2) và bán kính R = 3.
• Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu nên d(I, (P)) = R hay
m−3
= 3 ⇔ m = 3±3 2 .

2
• Với m = 3 + 3 2 ⇒ ( P1 ) : y + z + 3 + 3 2 = 0 .
Với m = 3 − 3 2 ⇒ ( P2 ) : y + z + 3 − 3 2 = 0 .
Cả hai mặt phẳng trên đều thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 5 (1 điểm).
• Điều kiện: n ≥ 2.
• Bất phương trình đã cho tương đương với
( n + 3)! > 5 n!
5
Cnn +3 > A n2 ⇔
2
n!.3!
2 ( n − 2 )!

•

0,25

0,25
0,25
0,25

0,25
0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

⇔ n 3 − 9n 2 + 26n + 6 > 0
⇔ n n 2 − 9n + 26 + 6 > 0 , luôn đúng với mọi n ≥ 2.

(

)

Kết luận: n ∈N, n ≥ 2.

0,5

.......HẾT.......
4


Bộ giáo dục và đào tạo

kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2006
Môn thi: Toán - Trung học phổ thông phân ban

Đề thi chính thức

hớng dẫn chấm THi
Bản hớng dẫn chấm gồm: 05 trang
I. Hớng dẫn chung
1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ
điểm từng phần nh hớng dẫn quy định.
2. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn chấm

phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất thực hiện
trong Hội đồng chấm thi.
3. Sau khi cộng điểm toàn bài mới làm tròn điểm thi theo nguyên tắc: Điểm toàn bài
đợc làm tròn đến 0,5 điểm ( lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0
điểm)
II. Đáp án và thang điểm
Đáp án

Điểm

Câu 1
1. (2,5 điểm)
(4,0 điểm) a) Tập xác định: R.
b) Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
y' = 3x 2 + 6x .
y' = 0 x = 0 hoặc x = 2.
Trên các khoảng ( ; 0 ) và ( 2;+ ) , y' < 0 hàm số nghịch biến.

Trên khoảng (0; 2), y' > 0 hàm số đồng biến.
Chú ý: Nếu chỉ xét dấu y' hoặc chỉ nêu các khoảng đồng biến, nghịch
biến thì vẫn cho 0,25 điểm.
Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = y(0) = 0.
Hàm số đạt cực đại tại x = 2; yCĐ = y(2) = 4.
Giới hạn ở vô cực:
lim y = +; lim y = .
x

x +

Bảng biến thiên:
x

y'
+

0
0

2
0
4

+



0,25
0,25

0,25

0,25
0,25
0,25

+

0,50

y



0
1


y

(C)

c) Đồ thị:
Giao điểm với các trục tọa độ :
(0; 0) và (3; 0).

4
m
x
O

2 3

0,50
2. (0,75 điểm)
x3 + 3x 2 m = 0 x3 + 3x 2 = m (1)
Số nghiệm của phơng trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) và đờng
thẳng y = m.
Dựa vào sự tơng giao của đồ thị (C) và đờng thẳng y = m ta có:

Nếu m < 0 hoặc m > 4 thì phơng trình có 1 nghiệm.
Nếu m = 0 hoặc m = 4 thì phơng trình có 2 nghiệm.
Nếu 0 < m < 4 thì phơng trình có 3 nghiệm.
3. (0,75 điểm)
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm.

0,25

0,50

3

Từ đồ thị ta có: S =

x

3

+ 3x 2 dx

0,25

0

3

x4

= (x + 3x )dx = + x3
4

0
0
27
=
(đvdt).
4
3

3

Câu 2
(2,0điểm)

2

1. (1,0 điểm)
22x + 2 9.2 x + 2 = 0 4.(2 x )2 9.2 x + 2 = 0

2 = 2
x 1
2 =

4
x = 1 hoặc x = 2 .
Phơng trình đã cho có hai nghiệm x = 1; x = 2.
2. (1,0 điểm)
= 7.
5+i 7 5
7
x1 =

= +i
;
4
4
4

0,25
0,25

0,25

x

x2 =

5i 7 5
7
= i
.
4
4
4

Phơng trình có hai nghiệm x1 =

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

5
7
5
7
+i
; x2 = i
.
4
4
4
4
2

0,25


Chú ý: Nếu bài làm không có hình vẽ đúng thì không cho điểm.
Câu 3
(2,0 điểm)
S

.I

A

B

D

C
1. (1,0 điểm)
Gọi độ dài đờng cao hình chóp là h, diện tích đáy hình chóp là S ABCD .
Ta có: h = SA = SB 2 AB 2 = a 2;
S ABCD = a 2 .
1
1
Gọi V là thể tích của khối chóp. Ta có: V = S ABCD .h = a 3 2 (đvtt).
3
3

2. (1,0 điểm)
Gọi I là trung điểm cạnh SC.
SA(ABCD) SAAC SAC vuông tại A IA = IC = IS (1).
CB AB, CB SA CB (SAB) CB SB SBC vuông tại B
IB = IC = IS (2).
Chứng minh tơng tự: SDC vuông tại D ID = IC = IS (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra: trung điểm I của cạnh SC cách đều các đỉnh của
hình chóp S.ABCD I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
1. (1,0 điểm)
Câu 4a
(2,0 điểm) Đặt t = e x 1 e x = t 2 + 1, e x dx = 2tdt .
x = ln2 t = 1; x = ln5 t = 2.

0,25
0,25
0,50

0,25
0,25

0,25
0,25

0,25

2

I = 2 (t 2 + 2)dt

0,25

1
2

t3

= 2
+ 2t
3
1
26
.
=
3

0,25
0,25

3

2. (1,0 điểm)
Gọi x là hoành độ tiếp điểm, theo giả thiết ta có: y'(x) = 3 (1)

(1)

x 2 4x + 6

(x 2)

2

= 3 x = 1 hoặc x = 3.

Tọa độ các tiếp điểm: A(1; 0), B(3; 2).
Phơng trình tiếp tuyến tại A: y = 3(x 1) y = 3x 3.
Phơng trình tiếp tuyến tại B: y = 3(x 3) 2 y = 3x 11.
(Thỏa mãn yêu cầu đề bài).
Câu 4b
1. (1,0 điểm)
(2,0 điểm)
x y z
Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C có phơng trình: + + = 1
2 3 6


3x
+
2y
+

z
6
=
0.
JJJG
JJJG
AB = (2; 3; 0), AC = (2; 0; 6) .
JJJG JJJG
1 JJJG JJJG
AB AC = (18; 12; 6) S ABC = AB AC = 3 14 (đvdt).
2
2. (1,0 điểm)
2

G là trọng tâm tam giác ABC: G = ; 1; 2 .
3

1 1
Tâm I của mặt cầu là trung điểm OG: I = ; ; 1 .
3 2
7
Bán kính mặt cầu: R = OI = .
6
2
2
1
1
49
2

Phơng trình mặt cầu: x + y + ( z 1) = .
3
2
36

Câu 5a
1. (1,0 điểm)
(2,0 điểm)
u = 2x + 1 du = 2dx

Đặt
x
x
dv = e dx v = e .
x

0,25

0,25
0,25
0,25

0,50
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

1

1

J = (2x + 1)e 2 e x dx
0

0,25

0

1

1

= (2x + 1)e x (2e x )
0
0
= e + 1.
2. (1,0 điểm)
1
Tính đợc y' =
.
(x + 1)2
3
1
y 0 = y(3) = ; y'(3) = .
2

4

0,25
0,25
0,25
0,50

1
3
Phơng trình tiếp tuyến: y = x + .
4
4

4

0,25


Câu 5b
1JJJ
. (1,0
G điểm) JJJG
(2,0 điểm) AB = (1;0; 1), AC = (2; 1;2) .
JJJG JJJG
AB.AC = 0. Suy ra điều phải chứng minh.
JJJG
Vectơ chỉ phơng của đờng thẳng AB: AB = (1;0; 1).
x = 1 + t

Phơng trình tham số của đờng thẳng AB: y = 1

z = 2 t .

2. (1,0 điểm)
Gọi
JJJGM(x; y; z).
JJJG
MB = (0 x;1 y;1 z), MC = (1 x;0 y;4 z).

0 x = 2(1 x)
JJJG
JJJG

MB = 2MC 1 y = 2(0 y)
1 z = 2(4 z)

2

x = 3

1

2 1
y = M ; ;3 .
3
3 3

z = 3


Gọi (P) là mặt phẳng qua MJJJvà

G vuông góc với đờng thẳng BC.
Vectơ pháp tuyến của (P): BC = (1; 1;3).
28
Phơng trình mặt phẳng (P): x y + 3z
= 0.
3


...Hết...

5

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

0,25

0,25
0,25


Bộ giáo dục và đào tạo

kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2006
Môn thi: Toán - Trung học phổ thông không phân ban

Đề thi chính thức

hớng dẫn chấm THi
Bản hớng dẫn chấm gồm 04 trang
I. Hớng dẫn chung
1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ
điểm từng phần nh hớng dẫn quy định.
2. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn chấm
phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất thực hiện
trong Hội đồng chấm thi.
3. Sau khi cộng điểm toàn bài mới làm tròn điểm thi theo nguyên tắc: Điểm toàn bài
đợc làm tròn đến 0,5 điểm ( lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0
điểm).
II. Đáp án và thang điểm
Đáp án
Câu 1
(3,5 điểm)

Điểm

1. (2,5 điểm)
a) Tập xác định: R
b) Sự biến thiên:
2
Chiều biến thiên: y' = 3x 12x + 9 ; y' = 0 x = 1 hoặc x = 3.

0,25
0,25

y' > 0 trên các khoảng (;1) và ( 3;+ ) , y' < 0 trên khoảng (1; 3).

Khoảng đồng biến (;1) và ( 3;+ ) , khoảng nghịch biến (1; 3).
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 1, yCĐ = y(1) = 4;
hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, yCT = y(3) = 0.
Giới hạn: lim y = ; lim y = + .
x

x +

0,25
0,25
0,25

Tính lồi, lõm và điểm uốn:
y '' = 6x 12, y '' = 0 x = 2 .

x
y"





Đồ thị

lồi

Bảng biến thiên:

x

y'

+

y

+

2
0

+

Điểm uốn
U(2; 2)

1

2

3

0



0

4

0,25

lõm
+
+
+

2

0
1

0,50


c) Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị với các
trục tọa độ: (0; 0), (3; 0).
Đồ thị có tâm đối xứng
U(2; 2).
Đồ thị (C) nh hình bên.

y
(C)

4

0,50

2
x
0

Câu 2
(1,5 điểm)

1

2

4

2. (0,5 điểm)
Điểm uốn U(2; 2), y' ( 2 ) = 3 .
Phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn:
y 2 = 3(x 2) y = 3x + 8.
3. (0,5 điểm)
Điểm cực đại (1; 4), điểm cực tiểu (3; 0).
Trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm CĐ, CT là điểm uốn U(2; 2).
Đờng thẳng y = x + m2 m đi qua U(2; 2)
2 = 2 + m2 m m = 0 hoặc m = 1.
1. (0,75 điểm)
Giải phơng trình: ex = 2 x = ln2.
1



(

)

1
ln 2

(e

e 2 dx =

dt
= ln t
t
3
1. (1,0 điểm)

0,25

0,25

= (e 2) (2 2ln2) = e + 2ln2 4 (đvdt).

0,25

4
3

x

ln 2

0,25

dt = 2sinxcosx dx = sin2xdx; x = 0 t = 3, x =
I=

0,25

1

x

2. (0,75 điểm)
Đặt t = 4 cos2x.

4

0,25

0,25

ln 2

= e x 2x

0,25

2)dx

Diện tích hình phẳng cần tìm: S =

Câu 3
(2,0 điểm)

3


t = 4.
2

4
= ln 4 ln3 = ln .
3

x2 y2
Phơng trình (H) có dạng: 2 2 = 1 a2 = 4, b2 = 5 c2 = 9.
a
b
Tọa độ các tiêu điểm: ( 3; 0), (3; 0), các đỉnh: ( 2; 0), (2; 0).
5
5
Phơng trình các tiệm cận: y =
x; y =
x.
2
2
2

0,25
0,25

0,25
0,50
0,25


2. (1,0 điểm)
Phơng trình đờng thẳng qua M(2; 1): m(x 2) + n(y 1) = 0
mx + ny 2m n = 0 , với m2 + n2 0.

0,25

Điều kiện tiếp xúc: 4m2 5n2 = (2m + n)2 , với 2m + n 0
n = 0

3n + 2m = 0.
n = 0, chọn m = 1.
Phơng trình tiếp tuyến: x 2 = 0.
3n + 2m = 0, chọn m = 3, n = 2.
Phơng trình tiếp tuyến: 3x 2y 4 = 0 .
Câu 4
(2,0 điểm)

0,25
0,25
0,25

1. (0,75 điểm)

2 4
Toạ độ điểm G ; ; 0 .

3 3

0,25

JJJG 2 4
Véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng OG: OG = ; ; 0 .
3 3
x y z
Phơng trình đờng thẳng OG: = = .
1 2 0
2. (0,75 điểm)
Phơng trình mặt cầu (S) có dạng:
x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 .
O, A, B, C (S), ta có hệ phơng trình:
d = 0
d = 0
a = 1
2a 2c + d + 2 = 0
b = 1
b = 1






2a + 4b + 2c + d + 6 = 0
a c = 1 c = 0
4b + d + 4 = 0
a + c = 1 d = 0.

Phơng trình mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 2x 2y = 0 .
3. (0, 5 điểm)
Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm.
JJJG 2 4
OG = ; ; 0 Véc tơ pháp tuyến của (P): (1;2;0).
3 3
Phơng trình (P) có dạng: x + 2y + D = 0.
Mặt cầu (S) có tâm I = (1; 1; 0), bán kính R = 2 .
D = 3 + 10
3+D
Điều kiện tiếp xúc:
= 2
5
D = 3 10.
Vậy, có hai mặt phẳng (P) lần lợt có phơng trình:
x + 2y 3 + 10 = 0; x + 2y 3 10 = 0.
Chú ý: Mặt cầu qua O, A, B, C có đờng kính AB .
3

0,25
0,25

0,25

0,25
0,25

0,25

0,25